Simetrija kao kriterij vanjske ljepote. Asimetrija lica: uzroci patoloških poremećaja i metode njihove korekcije

)
Datum od: 2017-10-17 Prikazi: 18 963 Razred: 5.0

Svrha obuke: ispraviti asimetriju lica u 3 točke (obrve, oči, usne).

Ljudsko lice nije simetrično, baš kao i tijelo, iu tome nema ničeg iznenađujućeg.

Međutim, postoje slučajevi kada je asimetrija lica izražena i pruža vam psihičku nelagodu. Odmah ću rezervirati da se sve vrste asimetrije ne mogu ispraviti uz pomoć vježbi.

Asimetrija se ne može ispraviti vježbama ako:

• uzrokovana je deformacijama kostiju;
• patološki deformiteti;
• vrlo "stari" neuritis facijalnog živca;
• u nekim slučajevima, posljedice injekcija Botoxa, tzv.

Uzroci asimetrije

Također, asimetrija lica uvelike ovisi o stanju vašeg tijela. O odnosu lica i tijela.

Ukratko, kod skolioze, lordoze, iskrivljenja zdjelice i drugih promjena u mišićno-koštanom sustavu dolazi do asimetrije i njezino ispravljanje treba početi od peta!

Ali ASIMETRIJA može biti rezultat pretjeranih izraza lica, facijalnih ludorija i navika u ponašanju. Sve to otkriva pomno promatranje vašeg lica na snimci, primjerice.

Osmijeh, govor, žvakanje samo s jedne strane ili stalno podizanje jedne od obrva. Sjećate li se postojanja mišićne memorije? I ona se sjeća tebe i stalno povlači aktivnu obrvu prema gore, a jedno oko vizualno čini manje.

Kako izmjeriti asimetriju?

Kako provjeriti simetriju lica? Trebam fotku! Maknite kosu s lica, zamolite vas da se slikate. Fotografija je poput putovnice: ne smijemo se, ne pokušavamo izgledati cool na slici.

Uzimamo ravnalo i povlačimo vodoravnu liniju preko očiju (u zjenicama), preko obrva, preko usana. Počnite s očima. Uostalom, naša unutarnja libela (libela) teži prema horizontu upravo u području očiju, tako da možete hodati glatko i ne pasti.

A sada gledamo 3 rezultirajuće linije. Možda će jedna obrva biti viša, a druga niža, kutovi usana možda neće biti na istoj liniji.

Imajte na umu da postoje prihvatljive vrijednosti asimetrije i to je potpuno prirodno i ne zahtijeva prilagodbu.

Tamo gdje ima odstupanja od horizonta, treba raditi s mišićima, a nekima će biti dovoljno korigirati stereotipe ponašanja i sve će sjesti na svoje mjesto na licu.

Vježbe za lice s asimetrijom

Prijeđimo na vježbe.Usput, mogu se kombinirati s bilo kojim od kompleksa:,. Samo ih dodajte svom programu treninga. Na primjer, izvođenje, zatim radite vježbe za ispravljanje asimetrije iste zone.

U primjeru razmatram opciju ispravljanja jednostrane asimetrije lica, kada dio lica koji se nalazi niže u odnosu na njegovu polovicu radi lošije, manje ga osjećate! Na primjer, lijeva obrva, lijevo oko, lijevi ugao usana su niži nego na desnoj strani lica - ova asimetrija se zove JEDNOSTRANA.

Asimetrija lica može biti dijagonalna, složena. U takvim slučajevima bolje je odabrati vježbe pojedinačno.

Preporučeno 30 ponavljanja, na zadnjem računu statično kašnjenje 5 sekundi. Trening se temelji na provedbi "BASE" - osnovnih vježbi s dodatkom posebnih vježbi za ispravljanje asimetrije pojedine zone.

Čelo. Korekcija obrva

Vježba broj 1: Podignite obrve

Ovo je osnovna vježba. Kada to radite, obratite pozornost na obrve? Koji se gore diže? Što manje osjećate?

Stavite prste preko obrva. Gurnite obrve s naporom, odupirajte se prstima. Pazite da tijekom vježbe nema horizontalnih bora na čelu, pokušajte se opustiti i spustiti ramena, čvrsto pričvrstiti kožu iznad obrva. Nakon završetka vježbe, prstima tapkajte po čelu.

Prijeđimo na skup vježbi za korekciju različitih položaja visine obrva:

Vježba broj 2: naizmjenično podizanje obrva

Na čelo, iznad obrva, stavite prste i falange lagano držite kožu kako se ne bi skupila u nabore. Sada naizmjenično podižite obrve: zatim lijevu, pa desnu.

Osjetite koja se obrva gore diže ili se kod podizanja jedne obrve javlja napetost i nelagoda. Obrvu koja se gore diže potrebno je izvući na 2 računanja: 1-podići, 2-istegnuti. Nakon završetka vježbe, prstima tapkajte po čelu.

Vježba broj 3: podizanje jedne obrve

Nakon što ste pronašli obrvu koja lošije funkcionira i nalazi se niže, potrebno ju je posebno "trenirati".

Rukom fiksiramo obrvu koja se nalazi iznad, a drugu podignemo, držeći kožu preko obrve falangama prstiju kako se ne bi skupila u nabore. Nakon završetka vježbe, prstima tapkajte po čelu.

Oči

Opći video:

Vježba broj 1: ojačati gornji kapak

Ovo je osnovna vježba. Tijekom izvođenja pratite osjećaje pod kažiprstima, ispod jednog od prstiju postoji pulsiranje, drhtanje mišića bit će manje izraženo. Kada zatvorite ovo oko, pokušajte gornjim kapkom malo jače pritisnuti donji kapak. VAŽNO! Ne pritiskajte jako prstima i ne istežite kožu u različitim smjerovima!

Prstima držimo kutove očiju i uz malo napora zatvorimo oči, pritišćući gornji kapak na donji. Pokušajte zadržati obrve na mjestu i ne spuštati se iza gornjeg kapka, opustite čelo. Zatim otvorimo oči. Nakon izvođenja vježbe trepnite očima.

Vježba broj 2: izmjenični rad očiju

Zatvorimo oči jedan po jedan. Kažiprst i srednji prst stavljamo u kutove očiju, ne pritiskamo i ne povlačimo kožu. Redom zatvaramo oči: lijevo, desno, lijevo .... Kad zatvorite jedno oko, drugo morate držati otvorenim. Pazite da opustite čelo kako obrva ne bi pala zajedno s gornjim kapkom. Nakon izvođenja vježbe trepnite očima.

Kutovi usana

Opći video:

Vježba broj 1: pomaže podići spuštene kutove usana

Ovo je osnovna vježba. Prsti fiksiraju nazolabijalnu zonu (od kuta usta do nosnice). Podižemo kutove usana prema gore, kao da se smiješimo, prstima se odupiremo, pokreti kutova usana idu gore ispod očiju, dok je središte usana opušteno. Pokušajte ne "voziti" prstima po licu, pri podizanju, kut usana se oslanja na vaše prste.

Vježba broj 2 naizmjenično podizanje uglova usana

Prsti fiksiraju nazolabijalnu zonu (od kuta usta do nosnice). REDOM podižemo kutove usana prema gore, kao da se smiješimo jednim kutom usana, odupiremo se prstima, pokreti kutova usana idu gore ispod očiju, dok je središte usana opušteno. Pokušajte ne "voziti" prstima po licu, pri podizanju, kut usana se oslanja na vaše prste.

Vježba broj 3 podizanje jednog kuta usana

Prstima fiksiramo nazolabijalnu zonu (od kuta usta do nosnice) sa strane kuta usana, koji se nalazi ispod. Suprotni kut usta jednostavno fiksiramo rukom kako se ne bi uključio u posao. Podižemo kut usana prema gore, kao da se smiješimo jednim kutom usana, odupiremo se prstima, pokret kuta usana ide gore ispod oka, dok je središte usana opušteno. Pokušajte ne "voziti" prstima po licu, pri podizanju, kut usana se oslanja na vaše prste.

p.s. Razvijam individualne programe obuke za izgradnju Facebooka, vodim nastavu putem Skypea. Ako si zainteresiran -

Utvrđivanje asimetrije lica postalo je svojevrsna senzacija, budući da je asimetrija rijetko evidentna. Pokazalo se da se ljudi razlikuju po stupnju svoje asimetrije jednako kao i po crtama lica. To su potvrdila ne samo mjerenja, već i usporedba portreta sastavljenih od fotografija desne i lijeve polovice (jedna od njih pri ispisu mora biti okrenuta naopako) s običnim portretom osobe snimljenom točno ispred. Dobijete potpuno drugačija lica.

Na svijetu ne postoji savršena simetrija. Pogrešno je smatrati simetriju lica nužnim uvjetom za njegovu ljepotu. Mješavina nasljednih osobina ne može se ne odraziti na licu djeteta. Za procjenu ljepote lica važna je kombinacija crta i lagana asimetrija, koja je, usput rečeno, svojstvena licima svih ljudi i nimalo ne umanjuje zasluge portreta. Čak ni na skulpturama Miloske Venere i Apolona Belvedere njihova lica nemaju potpunu simetriju. S razlogom možemo reći da ne postoji niti jedna osoba s neospornom strogom simetrijom desne i lijeve polovice. Vjerojatno je zato Klaudije Galen napisao da se "prava ljepota izražava u savršenstvu svrhe i da je prvi cilj svih dijelova svrhovitost strukture". Nedvojbeno je P. F. Lesgaft bio u pravu kada je napisao da bi „skladnim razvojem svih mišića i mišićnih skupina lice izgubilo svoj određeni izraz. Individualnost crta lica stječe se čestom uporabom odgovarajućih mišića.

Michelle Monaghan

Dakle, valja prepoznati kao činjenicu asimetriju lica, odnosno nejednakost njegove desne i lijeve polovice: jedna od njih je u pravilu šira, druga uža, jedna viša, druga niža. . Razlog asimetrije je u većini slučajeva neravnina strukturnih elemenata kostiju lubanje. Na licu osobe, povećanje asimetrije je zbog specifičnosti izraza lica (fiziološka asimetrija).

Naomi Watts

Postoje znanstveni radovi u kojima znanstvenici identificiraju sljedeće obrasce asimetrije lica. Ako je jedna polovica lica viša, onda je i uža. U ovom slučaju, obrva se nalazi više nego na suprotnoj, široj polovici lica, palpebralna fisura je veća. Čini se da je oko kao cjelina okrenuto prema gore. Lijeva polovica lica obično je viša od desne. Mnogi autori još uvijek smatraju da je desna polovica lica veća od lijeve, oštrije strši i izražava muškost. Lijeva polovica općenito je mekša, odražavajući značajke ženstvenosti.

Kate Bosworth

Asimetrija lica dugo se smatrala odrazom opće asimetrije tijela. Pokušalo se restaurirati lice na portretu iz točne polovice fotografije i njezine zrcalne slike. Desna i lijeva polovica davale su različite slike. Nisu odgovarali originalu. Mimička asimetrija, iako superponirana na disproporcije desne i lijeve polovice lubanje lica, također ima svoje karakteristike. Utvrđeno je da je živčana regulacija desnih mimičnih mišića bogatija, lakše se reproduciraju pokreti glave i očiju udesno. Čak je i škiljenje desnog oka uobičajenije.

Kandidat medicinskih znanosti, plastični kirurg ""

Leonardo da Vinci je još u 15. stoljeću izradio crteže koji prikazuju “božanske” proporcije ljudskog lica i tijela, koje su i danas standard (slika 1). Međutim, ove proporcije ne uzimaju u obzir činjenicu da u živoj prirodi ne postoje apsolutno simetrični objekti: u bilo kojem od njih uvijek postoji jedinstvo simetrije i asimetrije.

Riža. 1.

Ljudi su kroz povijest pokušavali "izmjeriti" ljepotu, opisati je matematičkim formulama ili geometrijskim proporcijama, omogućujući je na taj način rekreirati. Dakle, u staroj Grčkoj, red i sklad promatrani u prirodi bili su personificirani u sjajnim slikama bogova i božica, ovjekovječenih u prekrasnim kipovima.

Prema grčkim kiparima, simetrija karakterizira sklad, proporcionalnost, harmoniju prirodnih tijela i ljudskog tijela. Stoga su pojmovi simetrije i ljepote identični. Dovoljno je prisjetiti se strogo simetrične konstrukcije arhitektonskih spomenika, redovito ponavljajućih uzoraka tradicionalnih ukrasa, nevjerojatnog sklada grčkih vaza (slika 2).

Činjenica asimetrije lica i tijela osobe bila je poznata umjetnicima i kiparima antičkog svijeta i koristili su je kako bi stvorenim djelima dali izražajnost i duhovnost.

Upečatljiv primjer asimetrije je lice Miloske Venere (slika 3). Pobornici simetrije kritizirali su asimetriju oblika ovog univerzalno priznatog standarda ženske ljepote, vjerujući da bi Venerino lice bilo ljepše da je simetrično. No, gledajući kompozitne snimke vidimo da to nije tako.

Sam koncept "simetrije" izravno je povezan sa skladom. Dolazi od starogrčke riječi συμμετρία (proporcionalnost) i označava nešto skladno i proporcionalno u objektu. Koncept "zrcalne" simetrije primjenjiv je na osobu. Ta je simetrija glavni izvor našeg estetskog divljenja dobro proporcionalnom ljudskom tijelu.

Takva simetrija nije samo lijepa, već i funkcionalna. Dakle, simetrični udovi olakšavaju kretanje u prostoru, položaj očiju - za stvaranje ispravne vizualne slike, ravni nosni septum osigurava odgovarajuće disanje. Međutim, simetričnost živih organizama ne očituje se s matematičkom točnošću zbog neravnomjernog razvoja i funkcije.

Simetrija lica i standardi ljepote

S vremenom su se standardi ljepote mijenjali, ali principi i parametri koji određuju omjere i proporcije lica, a time i njegovu privlačnost, sačuvani su od davnina. Da bi lice bilo skladno, njegovi različiti dijelovi moraju biti povezani u određenom omjeru, uz pomoć kojeg se postiže ukupna ravnoteža. Nijedan dio lica ne postoji niti funkcionira odvojeno od ostalih. Svaka promjena na bilo kojem dijelu lica imat će stvaran ili prividan učinak na percepciju ostalih dijelova i lica u cjelini.

Prirodno je da sve proporcije ljudskog lica imaju samo približnu vrijednost za njegovu estetiku zbog nekoliko razloga:

• Prvo, proporcije lica variraju ovisno o dobi, spolu, fizičkom razvoju osobe i uvelike su određene individualnim strukturnim značajkama.
• Drugo, procjena proporcionalnosti postaje kompliciranija ovisno o položaju glave.
• Treća poteškoća leži u asimetriji ljudskog lica, koja se često očituje u obliku nosa, položaju palpebralnih fisura i obrva te položaju uglova usana. Dvije strane lica ne daju istu zrcalnu sliku, čak i ako lice percipiramo kao savršeno ispravno.

Dakle, činjenica asimetrije lica, izražena nejednakom desnom i lijevom polovicom, od kojih je jedna u pravilu šira i viša, druga uža i niža, danas je općepriznata.

Iz fotografija prikazanih na slici 4. vidljivo je da se apsolutno simetrična lica jasno razlikuju od izvorne slike lica s prirodnom asimetrijom. Po našem mišljenju, "sintetički" simetrična lica nisu tako privlačna, kao i na originalnim fotografijama, iako smo za izradu kompozitnih portreta odabrali lica glumaca čija je pojava najviše ocijenjena. Štoviše, upravo ta lica imaju izraženiju simetriju nego što je to uočeno kod većine ljudi, ali blaga asimetrija samo naglašava njihovu privlačnost.

Ljepota u asimetriji?

Dakle, je li asimetrija svojstvena svima nama doista lijepa ili ne? Sasvim je očito da značajna kršenja simetrije u strukturi lica ne smatramo privlačnima. No, mala odstupanja od simetrije ne unose disharmoniju, već samo povoljno ističu individualnost.

Većina pacijenata koji se obraćaju plastičnom kirurgu ne primjećuju asimetriju proporcija lica i tijela. Stoga je jedan od važnih zadataka kirurga tijekom konzultacija skrenuti pozornost pacijenta na značajke njegovih proporcija, detaljno opisati nadolazeće promjene kao rezultat operacije. Ispravljanje asimetrije lica uvelike je olakšano korištenjem minimalno invazivnih metoda, kao što su i.

Dakle, izražena asimetrija obično se smatra neestetskom, au takvim slučajevima želja za postizanjem simetričnijeg izgleda sasvim je prirodna i može poslužiti kao indikacija za plastičnu operaciju. Međutim, lagana asimetrija lica samo ga čini privlačnim i individualnim, pa stoga ne biste trebali težiti apsolutnoj simetriji.

Simetrija i proporcionalnost važne su komponente vanjske ljepote osobe, au nekim slučajevima i pokazatelji zdravlja. Ali ne znaju svi procijeniti proporcije i simetriju svog lica i tijela. Upravo o tome će biti riječi.

Može li dugačak nos uopće ne pokvariti izgled osobe? Definitivno da. Ako je nos u proporciji s njegovim licem.

Da biste procijenili proporcije svog lica, morate otići do ogledala i izmjeriti tri udaljenosti:
od granice rasta kose na čelu do mosta nosa
od vrha nosa do gornje usne
od gornje usne do brade.

Ako su jednaki, sretni ste vlasnik proporcionalnog lica.

Ako nije, onda postoji nesrazmjer, što uopće nije razlog za malodušnost. Prvo, to može biti određena privlačnost i originalnost lica, a drugo, proporcije se mogu promijeniti.

Povećanje ili smanjenje prve udaljenosti može se postići uz pomoć frizura, kao i davanje određenog oblika obrvama. Druga udaljenost se gotovo uvijek korigira promjenom duljine nosa. Pravilno odabrani ruž za usne ili trajnija mjera - povećanje usana - može vizualno utjecati na treću udaljenost.

Simetriju lica također je lako procijeniti. Potrebno je obratiti pozornost na položaj i oblik uparenih anatomskih struktura: obrve, oči, uši, nazolabijalne bore.

Ako se nalaze na istoj razini i imaju isti oblik, tada je lice simetrično. Simetrija lica je vrlo važna ne samo s estetskog gledišta. Njegovo iznenadno kršenje važan je dijagnostički znak niza ozbiljnih neuroloških bolesti.

Najlakše je procijeniti proporcije tijela prema njegovim volumenima: volumenu prsa, struka i bokova.

U proporcionalno sklopljenom čovjeku prevladava volumen prsa. Geometrijski, ideal muške figure je jednakokračni trokut okrenut naopako.

U proporcionalnoj ženskoj figuri, volumen prsa i kukova približno su jednaki. A struk bi trebao biti 1/3 manji od ova dva volumena. Dovoljno je prisjetiti se dobro poznatog standarda: 90 cm -60 cm -90 cm. Međutim, omjer 120cm-80cm-120cm nije ništa manje proporcionalan. Geometrijski izraz ideala je oblik pješčanog sata.

Vizualno željene proporcije postižu se odjećom, donjim rubljem s korzetom, određenim fizičkim vježbama. Međutim, postoje problematična područja koja je prilično teško ispraviti, na primjer, zloglasne "hlače" - gornji dio bočnih površina bedara. Ovdje liposukcija može pomoći.

Simetričnost tijela također se ocjenjuje uparenim formacijama. Ključne kosti, bradavice, lopatice, prednje gornje ilijačne bodlje, glutealni nabori trebaju biti na istoj razini.

Vrijedno je znati da je vidljiva povreda simetrije tijela uvijek razlog za temeljito ispitivanje mišićno-koštanog sustava.

Općenito, kada procjenjujete svoj izgled prema bilo kojem parametru, bilo da se radi o proporcionalnosti, simetriji ili nečem drugom, ne morate biti pretjerano izbirljivi.

Određene osobine, nesavršenosti, disproporcije - to je ono što nas razlikuje jedne od drugih, a samim time nas čini jedinstvenima.

Još nećemo shvatiti postoji li zaista apsolutno simetrična osoba. Svatko će, naravno, imati madež, pramen kose ili neki drugi detalj koji narušava vanjsku simetriju. Lijevo oko nikada nije potpuno isto kao desno, a kutovi usana su na različitim visinama, barem kod većine ljudi. Ipak, to su samo manje nedosljednosti. Nitko neće sumnjati da je izvana osoba izgrađena simetrično: lijeva ruka uvijek odgovara desnoj ruci i obje ruke su potpuno iste! Stop. Ovdje vrijedi stati. Kad bi nam ruke doista bile potpuno iste, mogli bismo ih promijeniti bilo kada. Moglo bi se, recimo, transplantacijom presaditi lijeva ruka u desnu ruku, ili, jednostavnije, lijeva rukavica bi onda pristajala desnoj ruci, ali to zapravo nije tako.

Pa, naravno, svi znaju da je sličnost između naših ruku, ušiju, očiju i drugih dijelova tijela ista kao između predmeta i njegovog odraza u ogledalu. Knjiga pred vama posvećena je pitanjima simetrije i zrcalne refleksije.

Mnogi umjetnici pomno su pazili na simetriju i proporcije ljudskog tijela, barem dok ih nije vodila želja da u svojim djelima što bolje slijede prirodu. Poznati su kanoni prodora koje su sastavili Albrecht Dürer i Leonardo da Vinci. Prema tim kanonima, ljudsko tijelo nije samo simetrično, već i proporcionalno. Leonardo je otkrio da se tijelo uklapa u krug i kvadrat. Dürer je tražio jednu mjeru koja bi bila u određenom omjeru s duljinom trupa ili noge (takvom mjerom smatrao je duljinu ruke do lakta).

U suvremenim slikarskim školama najčešće se kao jedinstvena mjera uzima okomita veličina glave. Uz određenu pretpostavku, možemo pretpostaviti da je duljina tijela osam puta veća od veličine glave. Na prvi pogled to izgleda čudno. Ali ne smijemo zaboraviti da se većina visokih ljudi razlikuje po izduženoj lubanji i, obrnuto, rijetko je pronaći niskog debelog čovjeka s izduženom glavom.

Veličina glave proporcionalna je ne samo duljini tijela, već i dimenzijama ostalih dijelova tijela. Svi su ljudi građeni na tom principu, po čemu smo uglavnom slični jedni drugima. (Na sličnost ili sličnost vratit ćemo se za nekoliko stranica.) No, naši se omjeri samo približno slažu, pa su stoga ljudi samo slični, ali ne i isti. U svakom slučaju, svi smo mi simetrični! Osim toga, neki umjetnici u svojim radovima posebno ističu ovu simetriju.

SAVRŠENA SIMETRIJA JE DOSADNA

I u odjeći, osoba također, u pravilu, pokušava zadržati dojam simetrije: desni rukav odgovara lijevoj, desna noga odgovara lijevoj.

Gumbi na sakou i na košulji stoje točno na sredini, a ako se odmaknu od nje, onda na simetričnim razmacima. Rijetko koja žena ima hrabrosti odjenuti istinski asimetričnu haljinu (kasnije ćemo vidjeti koliko je odstupanje od simetrije prihvatljivo).

Ali na pozadini ove opće simetrije u malim detaljima, namjerno dopuštamo asimetriju, na primjer, češljamo kosu na bočni dio - lijevo ili desno. Ili, recimo, postavljanje asimetričnog džepa na prsa na odijelu, često podcrtanog rupčićem. Ili stavljanje prstena na domali prst samo jedne ruke. Ordeni i značke nose se samo na jednoj strani prsa (češće na lijevoj).

Potpuna savršena simetrija izgledala bi nepodnošljivo dosadno. Upravo mala odstupanja od njega daju karakteristična, individualna obilježja. Poznati autoportret Albrechta Dürera na prvi se pogled čini apsolutno simetričnim. No, ako bolje pogledate, primijetit ćete mali asimetrični detalj koji slici daje živost i vitalnost: pramen kose u blizini razdjeljka.

A pritom ponekad čovjek pokušava naglasiti, ojačati razliku između ljevice i desnice. U srednjem vijeku muškarci su se u jednom trenutku razmetali pantalonama s nogavicama različitih boja (na primjer, jedna crvena, a druga crna ili bijela). A ovih su dana bile popularne traperice sa svijetlim zakrpama ili mrljama u boji. Ali takva je moda uvijek kratkog vijeka. Samo taktična, skromna odstupanja od simetrije ostaju dugo vremena.

ŠTO JE SLIČNOST?

Često kažemo da su neke dvije osobe slične jedna drugoj. Djeca uglavnom liče na svoje roditelje (barem prema njihovim bakama). Slično ali ne isto!

Pokušajmo shvatiti što se podrazumijeva pod sličnošću ili sličnošću u matematici. Na sličnim slikama, odgovarajući segmenti su međusobno proporcionalni. U našem slučaju, ovu situaciju možemo formulirati na sljedeći način: slični nosovi imaju isti oblik, ali se mogu razlikovati u veličini. U tom slučaju, svaki pojedini dio nosa (na primjer, most nosa) trebao bi biti proporcionalan svim ostalima.

Ovaj zakon sličnosti ponekad je prepun začkoljica. Na primjer, u ovakvom zadatku:

Visina tornja A je 10 m. Na nekoj udaljenosti X od njega nalazi se toranj B od šest metara. Ako povučemo ravne linije od podnožja i od vrha tornja A kroz vrh tornja B, tada će se susresti , odnosno s podnožjem i vrhom kule C, koja ima visinu od 15 m. Kolika je udaljenost od tornja A do tornja B?

Čini se da je za rješenje dovoljno uzeti u ruke šestar i ravnalo. Ali tada se ispostavlja da će odgovora biti beskonačno mnogo. Drugim riječima, ne može biti jednoznačnog odgovora na pitanje o vrijednosti X.

U ovoj ćete se knjizi često susresti s problemima koji zahtijevaju razmišljanje. Ovo ima određeno pedagoško značenje. Takvi problemi, čak i ako nemaju rješenja, kao što je gore predloženi, tiču ​​se nekog problema koji leži na granicama našeg znanja. Uglavnom, upravo su to granice pred kojima famozni “zdrav razum” popušta, a samo striktno matematičko logično razmišljanje, uz prirodoslovna znanja, može dovesti do ispravne odluke.

Vratimo se opet čovjeku: pri usporedbi živih bića sličnost se jasno osjeća ako im se proporcije podudaraju. Stoga djeca i odrasli mogu biti slični. Iako su masa i veličina bilo kojeg dijela tijela, bilo da se radi o nosu ili ustima, različiti, ali proporcije sličnih jedinki su iste.

Upečatljiv primjer sličnosti je vizualna procjena udaljenosti uz pomoć palca. Na taj način vojska i mornari procjenjuju udaljenost između dvije točke na tlu ili moru, uspoređujući ih sa širinom prsta ili šake. U najjednostavnijem slučaju zatvore jedno oko i otvorenim okom gledaju u prst ispružene ruke, koristeći ga kao nišan.

Prilikom nišanjenja palcem ispružene ruke (jednom lijevim i jednom desnim okom) prst "odskoči" za oko 6°

Ako otvorite prethodno zatvoreno oko (i zatvorite drugo), prst će se pomaknuti u stranu za vidljivu udaljenost. U stupnjevima, ova udaljenost je 6°. A osim toga, veličina ovog "skoka" (unutar margine pogreške) jednaka je za sve ljude! Dakle, desna bočna družina, momak od dva metra visine, i najmanji - lijevobočni, svega šezdesetak metara, uspoređujući ove "skokove" prsta, dobit će istu vrijednost.

Razlog ovog fenomena u konačnici leži u sličnosti ljudi i, naravno, u zakonima optike kojima se naš vid pokorava.

Također je poznato "pravilo šake" - u najizravnijem smislu riječi - za grubu procjenu veličine kuta. Ako jednim okom pogledamo šaku ispružene ruke (ovaj put istim okom), tada će širina šake biti 10°, a razmak između dviju kostiju falangi 3°. Šaka i palac koji strše u stranu bit će 15 °. Kombinacijom ovih mjerenja možete približno izmjeriti sve kutove na tlu.

I na kraju, još jedna kutna mjera našeg tijela, koja može biti korisna za domaću zadaću. Kut između palca i malog prsta raširenog dlana je 90°. Čini se malo vjerojatnim, ali sve možete odmah sami provjeriti prislonivši ispružene prste dlana na kut naše knjige. Postavite mali prst strogo paralelno s jednim rubom i pomičite ruku prema dolje duž njega sve dok palac također ne legne na donji rub. Uvjeren?

Naravno, ovdje se pogreška ponekad pokaže relativno velikom, jer ovisno o dobi i razvijenosti šake palac može biti odmaknut na različite udaljenosti. Ali za prvi test, koji vam omogućuje da odlučite da li izmjereni kut značajno odstupa od ravne linije, ova metoda je sasvim prikladna.

LINIJA I RAVNICA

Maštoviti su odavno primijetili da zakoni podudarnosti, tako strogi za dvije dimenzije, često zahtijevaju korištenje treće dimenzije kada se primjenjuju u praksi.

Kada se stol postavlja za veliki prijem, salvete se obično savijaju u trokut. Ali vrijedi sakupiti ove trokute na hrpu, jedan na drugom, jer se ispostavlja da su ti trokuti dvije vrste: neki odmah "pristaju" jedan drugom, dok se drugi moraju okrenuti "na desnu stranu" . Sličan problem nastaje kod štancanja malih dijelova, kada netko pokušava složiti gotove proizvode.

Uobičajeno je da pjesnici i pisci maštaju oko više ili manje vjerojatnih situacija. Dakle, postoje djela u kojima je život prikazan u dvodimenzionalnom prostoru (gdje se "salveta" nikako ne može okrenuti).

Neki autori idu i dalje i pokušavaju zamisliti život u jednodimenzionalnom prostoru, u Zemlji linija – Linelandu. Lineland je naseljen samo tankim drvenim štapićima, koji se u najjednostavnijem slučaju međusobno ne razlikuju. No, vrijedi im dati glave (odmah mi padaju na pamet šibice!), i odmah imaju dvije mogućnosti.

Ili su sve šibice okrenute u jednom smjeru - tada njihova kombinacija ne uzrokuje poteškoće. Ili neke šibice leže glavom ulijevo, a neke leže glavom udesno. Linelandski matematičar nema praktičan način prevođenja "lijevih" podudaranja u "desna" podudaranja. Ali matematičar iz Zemlje ravnine - Ravnice, koja ima još jednu dimenziju, odmah će pronaći jednostavno rješenje: okrenut će šibicu u ravnini.

No, prema nekim piscima, ni život u Ravnoj zemlji nije tako lak. Zamislite da su stanovnici ove zemlje mali pravokutnici s okom (a imaju samo jedno oko) u jednom od uglova. Ono, naravno, može vidjeti samo takav pravokutnik u ravnini, a nikada ne uspijeva pogledati tu ravninu odozgo. Dakle, nijedan Flatlander nikada neće moći zamisliti kako on stvarno izgleda: za to je već potreban pogled iz trodimenzionalnog prostora. Kuće Ravnozemaca bile bi otprilike iste kao na dječjim crtežima. S tom razlikom što bi vrata bila sa strane i otvarala bi se samo u istoj ravnini. No, šarke vrata trebale bi biti napravljene izvan ravnine, iznad ili ispod nje. Osim toga, bio bi potreban složen sustav podupirača koji bi spriječio rušenje zida kuće kada njezini stanovnici žele otvoriti vrata. A dva Flatlanđanina mogla bi se pogledati samo ako bi jedan od njih uspio stati na glavu.

Situacija bi bila još kompliciranija da Ravnicu naseljavaju dva naroda. Recimo ljevoruki i desnoruki Ravnozemci. Za oslikavanje svih mogućih posljedica takve situacije potrebno je puno mašte, pogotovo s obzirom na to da smo navikli razmišljati trodimenzionalno!

Budući da su i Lineland i Flatland piscima predstavljeni u duhovitom svjetlu, ne čudi da je literatura o ovoj temi nastala u Engleskoj.

Godine 1880 Engleski pedagog Edwin Ebony Abbott napisao je knjigu o Ravnoj zemlji i njezinim stanovnicima ( Abbott E. E. Flatland. U: Abbott E. E. Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlander Abbott, nakon što je u snu pao u Lineland, uzalud pokušava tamošnje stanovnike uvjeriti u postojanje aviona.

U tijeku radnje, jedan od Flatlandera uspijeva spoznati trodimenzionalni prostor, zbog čega je prepoznat kao "najluđi od ludih".

Više od dvadeset godina kasnije, 1907., C. G. Hinton objavio je The Incident in Flatland. U njemu ratuju dva ravničarska naroda. Budući da su svi Ravnozemci okrenuti u istom smjeru, jedan od Naroda uvijek je beznadno izgubljen: ne može se okrenuti i uzvratiti udarac u pravom smjeru - omraženi neprijatelj neprestano mu sjedi za vratom. Ali na kraju dobro pobjeđuje. Neka pametna glava primijeti da se Ravnica nalazi na lopti i stoga je moguće trčeći oko nje zaći iza neprijateljskih linija.

Autor romana svoju priču gradi na prešutnoj pretpostavci da se Ravnozemci mogu kretati samo određenim općim pravcima, isključujući bočne zaobilaznice, te da im je nemoguće prevrnuti neprijatelja preko glave.

Kao što vidite, iznesene su najsofisticiranije teorije o životu u dvodimenzionalnom prostoru, ali nikada nisu našle primjenu. Čovjek mora misliti da bi i ove knjige i njihovi autori već odavno bili zaboravljeni da Lineland i Flatland nisu bili toliko potrebni za objašnjenje teorije zrcalne refleksije i da se sastavljači brzopletih problema nisu morali uvijek iznova obraćati Ravnoj zemlji kako bi izvukli ideje iz svoje dvodimenzionalnosti (usput, ne tako davno u Mađarskoj je nastao crtani film o putovanju školarca Adoljara u Ravnicu).

Između ostalog, Flatlanders prevoze robu kotrljajućim platformama u krugove. Kad god teret prođe krug, lokalni prijevoznik kotrlja krug naprijed i postavlja ga ispred platforme.

Ovdje ima mnogo zanimljivih problema. Ali nas zanima samo jedno: ako se osovina kotača giba brzinom od 10 m u minuti, kojom brzinom se giba teret?

O našem zemaljskom autu znamo da se nijedan kotač (točnije nijedna osovina kotača) ne može kretati brže od cijelog automobila. Ali u ravnom automobilu kotač nije kruto povezan s teretom. Razmišljajući o tome, nije teško shvatiti da je teret ovdje uključen u dva pokreta.

Prvo, kreće se zajedno s osi rotacije kotača (to je isto kao kod automobila). Osim toga, teret se još uvijek kotrlja po obodu kotača, a pritom brzinom također jednakom brzini vrtnje osovine. Stoga se općenito teret kotrlja dvostrukom brzinom kotača. Naravno, teret se mora kretati brže, barem zato što su kotači uvijek zaostali i moraju se stalno pomicati naprijed.

Neki će čitatelji pomisliti: “Problem je stvarno zanimljiv, ali što onda?”

Međutim, princip ravnozemnog transporta nalazi svoje mjesto u našoj tehnologiji. Dakle, dizajner, koji dizajnira vrata u maloj sobi (na primjer, u blizini malog dizala), prisiljen je napustiti šarke. Dijeli vrata na dvije polovice (ako, naravno, misli na takav trik!), Koje idu paralelno jedna s drugom. Jedna polovica vrata je čvrsto pričvršćena na os valjka, a druga se pomiče duž opsega ovog valjka. Dok se jedna polovica pomiče polovicom širine vrata, druga ima vremena pretrčati cijelu širinu vrata (dvostruko većom brzinom).

Ne gledajmo s prezirom na Ravninu i spisateljske fantazije. Pretpostavimo da Ravnozemci žive na površini zemaljske kugle. Ova površina je toliko velika da stanovnici možda neće primijetiti njenu zakrivljenost. Naravno, misle da žive u ravnini, jer ne mogu zamisliti sferu: uostalom, treća im je dimenzija u principu nepoznata. Stoga ravnozemski profesori razvijaju ravničarsku matematiku koja se uči u školama. Djeca tamo upamte, na primjer, takvu definiciju: dvije paralelne crte sijeku se na konačnoj udaljenosti. Ili: zbroj kutova trokuta veći je od 180°. Mi, ljudi trodimenzionalnog prostora, znamo da je sferna površina dvodimenzionalni neeuklidski prostor koji se ne uklapa u uobičajenu euklidsku geometriju.

Gledajući globus, vidimo da se dva meridijana, paralelna na ekvatoru, sijeku na polu. Gledajući globus, također se može uvjeriti da dva meridijana s ekvatorom čine kut od 90 °. Na mjestu sjecišta na polu nastaje drugi kut. A zbroj sva tri kuta ionako je veći od 180°. Ali jadni Ravnozemci, naravno, sve to ne mogu ni zamisliti. Sigurni su da žive u avionu.

Jedan skeptični matematičar, Carl Friedrich Gauss (1777.-1855.), ozbiljno se zapitao jesmo li mi ljudi u istoj poziciji kao Ravnozemljani. Možda, mislio je Gauss, i mi živimo u neeuklidskom svijetu, ali to jednostavno ne primjećujemo. Kad bi to bio slučaj, prostor bi bio zakrivljen (što svakako ne bismo mogli zamisliti), a dovoljno velik trokut imao bi zbroj kutova različit od 180°. Gauss je izmjerio trokut između Brockena, Inselberga i High Hagena, ali nije našao značajna odstupanja od 180°. To, naravno, nije moglo poslužiti kao nepobitan dokaz, jer je trokut ipak mogao biti premali.

Međutim, ne može se jednostavno usporediti dotični neeuklidski prostor s prostorom u teoriji relativnosti. Mi Ravnozemci i Gauss govorimo o čisto geometrijskom, prostornom problemu io tome jesu li neki aksiomi istiniti (primjerice, o sjecištu dviju paralelnih pravaca u beskonačnosti). Pristalice teorije relativnosti uvode vrijeme kao četvrtu prostornu koordinatu.

O KONGRUENCIJI

Dva su ravna lika sukladna ako su im svi kutovi i svi odsječci između odgovarajućih točaka jednaki.

U školi učimo teoreme o podudarnosti trokuta. Utvrđeno je, na primjer, da su površine trokuta jednake ako imaju jednu stranicu i dva kuta koji su joj pridruženi. To znači da, iako možete upotrijebiti stranu i dva ugla uz nju za izradu trokuta, trokuti se moraju podudarati sa svim svojim dijelovima.

U kolokvijalnom govoru (kojim se koristimo u ovoj knjizi) možemo reći da se sukladne ravnine točno preklapaju ili, obrnuto, ako jedna ravninska figura točno preklapa drugu, onda su sukladne. Isto vrijedi i za trodimenzionalna tijela: ako se mogu kombinirati, onda su sukladna.

Pogledajte trokute prikazane na slici. Svi su oni podudarni. Očito će se oba trokuta postavljena s lijeve strane poravnati ako se jednostavno pomaknu. I evo trokuta smještenog desno, iako je sukladan s dva lijeva, ali ga ne možemo spojiti s njima samo kretanjem u ravnini. Kako god ga zarotirali u ravnini, on nikada neće stati ni s jednim lijevim trokutom. Da biste to postigli, potrebno je podići trokut iznad ravnine, rotirati ga u prostoru i vratiti u ravninu. Ali ako usporedimo međusobni raspored trokuta spojenih pomakom i invertiranjem, vidjet ćemo da se u oba slučaja njihove različite stranice podudaraju. Kada se reže, donja površina jednog papirnatog trokuta preklapa se s gornjom površinom drugog trokuta. Prostorna orijentacija površine lista papira nije se promijenila. U ovom slučaju se govori o identičnoj podudarnosti. Ako se pri rotaciji u prostoru obje gornje površine papira spoje, ravne figure nazivaju se zrcalno podudarne.

Ravninske figure nazivamo sukladnim, koje percipiramo kao jednake i koje se mogu međusobno kombinirati pomicanjem u ravnini ili rotacijom u prostoru.

KONGRUENCIJA TROKUTA

Podudarnost - svojstvo geometrijskih likova u ravnini da se međusobno podudaraju po veličini i obliku.

Oblici koji se mogu međusobno kombinirati rotacijom i (ili) pomakom identično su sukladni.

Zrcalno-kongruentne su figure za čiju kombinaciju je potrebna dodatna operacija zrcalne refleksije.

Četiri su znaka podudarnosti trokuta. Trokuti su sukladni ako:

1) tri stranice jednog trokuta jednake su trima stranicama drugog (S, S, S);

2) dvije stranice i između njih zatvoreni unutarnji kut jednog trokuta jednaki su dvjema stranicama i između njih zatvorenim unutarnjim kutom drugog trokuta (S, W, S);

3) dvije stranice i kut nasuprot njihovoj najvećoj u jednom trokutu jednaki su dvjema stranicama i kutu nasuprot njihovoj najvećoj u drugom trokutu (S, S, W);

4) stranica i oba uz nju pridružena unutarnja kuta jednog trokuta jednaki su stranici i oba uz nju pridružena unutarnja kuta drugog trokuta (W, S, W).

SLIČNOST

Podudarnost ravnih figura po obliku, ali ne i po veličini, naziva se sličnost.

Svaki kut jedne od figura odgovara jednakom kutu slične figure.

Na sličnim slikama, odgovarajući segmenti su proporcionalni.

Pomicanjem, rotiranjem i (ili) zrcaljenjem dvije slične figure mogu se dovesti u položaj homotetije. U tom su položaju odgovarajuće stranice obje figure paralelne jedna s drugom.

OSNA SIMETRIJA

Neka je ravnina podijeljena pravcem s na dvije poluravnine. Zakrenemo li sada jednu poluravninu oko pravca 5 za 180°, tada će se sve točke te poluravnine poklapati s točkama druge poluravnine.

Pravac s naziva se osi simetrije.

Budući da su točke na obrnutoj poluravnini u zrcalnom položaju u odnosu na svoj izvorni položaj, ovaj se preokret naziva i zrcalna slika. Ako se linije koje označavaju neke smjerove rotacije primijene na jednu poluravninu, tada će se nakon zrcalne refleksije ovaj smjer promijeniti u suprotan. Stoga jedna operacija zrcaljenja proizvodi zrcalno podudarne figure. Dvije takve operacije dovode do identično podudarnih figura. Oni odgovaraju pomaku, odnosno rotaciji.

RADIJALNA SIMETRIJA

Radijalno simetrične figure mogu se međusobno poravnati rotacijom oko točke S. Ta se točka naziva središtem simetrije.

Prilikom rotacije, odgovarajuće točke figura se kombiniraju. Smjer rotacije se ne mijenja. Ovako reflektirana figura identično je sukladna.

Naknadne operacije rotacije neće ni na koji način utjecati na identitet figura. Kod kuta rotacije od 180° govori se o centralnoj simetriji.

TRIK S KOCKOM

Učitelji kažu da igra s kockama razvija prostornu maštu. A sada roditelji svojim potomcima kupuju kutije sa svijetlim kockama zalijepljenim fragmentima slika iz popularnih bajki. Pravilnim slaganjem ovih kockica vidjet ćete Crvenkapicu sa sivim vukom ili Snjeguljicu sa sedam patuljaka.

Zapravo, ovakve kocke i slagalice razvijaju prostornu maštu ne samo kod djece, već kod svih - od malih do velikih. Ponekad moramo složiti kocku od raznih oblika trupaca.

Nakon detaljnijeg pregleda ovih pojedinačnih elemenata, ispada da najmanje dva od njih imaju isti oblik i veličinu, ali se međusobno odnose poput lijeve i desne rukavice. Tvorci zagonetki ove vrste očito se nadaju da igrači neće odmah shvatiti ovu razliku. Prisjetimo li se koliko smo puta brkali desnu i lijevu rukavicu, morat ćemo priznati da takve nade nisu neutemeljene.

Gotovo je nemoguće kombinirati ove elemente. Treba napomenuti da, koristeći ovdje (ili negdje niže) izraz "praktično moguće", mislimo na provedbu takvog zadatka u praksi.

Ali postoje i matematičke ili fizičke metode koje omogućuju kombiniranje elemenata barem teoretski ili prema vanjskim znakovima - to će biti predmet daljnjeg razmatranja. A budući da se ovdje raspravljalo o kombinaciji jednog elementa s drugim, treba posebno istaknuti jednu važnu okolnost. U Flatlandu bi bilo moguće kombinirati ravne figure tako da ih izvadite iz aviona i okrenete u prostoru. U Linelandu bi na isti način bila potrebna samo jedna dimenzija više: jedna rotacija u ravnini i segmenti postaju kompatibilni.

Ali prostorne konstrukcije možemo rotirati samo u prostoru! A budući da je četvrta dimenzija, usprkos svim Gaussovim razmišljanjima, zatvorena za nas, čak je teško zamisliti kako se praktički (!) naše "cigle" mogu rasporediti negdje drugdje osim u trodimenzionalni prostor tako da budu poravnate sa svakim drugo!

U svakodnevnom životu vrlo često moramo rješavati takve zagonetke (naglašavam: rješavati praktično, a ne igrati se!), na primjer, prilikom pakiranja raznih predmeta. Ili, na primjer, zamislite radijatore centralnog grijanja. Za neke od njih, ventil za podešavanje je s lijeve strane, za druge - s desne strane. Kako spojiti nekoliko radijatora u jednu bateriju?

Hladnjaci, štednjaci i ostali kućanski predmeti obično se izrađuju s desnom i lijevom ručkom, ključevima, slavinama. Fantastična mogućnost pretvaranja ovakvih objekata u četvrtu dimenziju razveselila bi sve koji se bave njihovim transportom i montažom.

POGLEDAJTE RJEČNIK!

Na početku knjige čovjeka smo nazvali simetričnim bićem. U budućnosti se pojam "simetrija" više nije koristio. No, vjerojatno ste već primijetili da smo se u svim slučajevima kada su odsječci, ravni likovi ili prostorna tijela bili slični, ali bez dodatnih radnji bilo nemoguće, “praktički” nemoguće spojiti, susreli s fenomenom simetrije. Ti su se elementi slagali jedan s drugim, poput slike i njezine zrcalne slike. Kao lijeva i desna ruka. Ako se potrudimo zaviriti u Rječnik stranih riječi, naći ćemo da simetrija znači “proporcionalnost, puna podudarnost u rasporedu dijelova cjeline u odnosu na središnju crtu, središte... takav raspored točaka u odnosu na točka (centar simetrije), pravac (os simetrije) ili ravnina (ravnina simetrije), u kojoj svake dvije odgovarajuće točke koje leže na istoj ravnici koja prolazi središtem simetrije, na istoj okomici na os ili ravnina simetrije, na istoj su udaljenosti od njih ... "( Rječnik stranih riječi: ur. 7., revidirano. -M.; Ruski jezik 1980, str. 465)

I to nije sve, kao što to često biva sa stranim riječima, riječ "simetrija" ima mnogo značenja. To je prednost takvih izraza, da se mogu koristiti kada ne žele dati jednoznačnu definiciju, ili jednostavno ne znaju jasnu razliku između dva predmeta.

Izraz "proporcionalan" koristimo u odnosu na osobu, sliku ili bilo koji predmet, kada nam manje nedosljednosti ne dopuštaju upotrebu riječi "simetričan".

Budući da preturamo po referentnim knjigama, pogledajmo Enciklopedijski rječnik ( Sovjetski enciklopedijski rječnik - M.: Sovjetska enciklopedija, 1980, str. 1219-1220 (prikaz, stručni).). Ovdje nalazimo šest članaka koji počinju riječju "simetrija". Osim toga, ova se riječ nalazi u mnogim drugim člancima.

U matematici riječ "simetrija" ima najmanje sedam značenja (među njima su simetrični polinomi, simetrične matrice). U logici postoje simetrični odnosi. Simetrija igra važnu ulogu u kristalografiji (o tome ćete nešto pročitati kasnije u ovoj knjizi). Zanimljivo se tumači pojam simetrije u biologiji. Opisuje šest različitih vrsta simetrije. Doznajemo, na primjer, da su ctenofori asimetrični, dok su cvjetovi zmaja bilateralno simetrični. Utvrdit ćemo da simetrija postoji u glazbi i koreografiji (u plesu). Ovdje ovisi o izmjeni ciklusa. Ispada da su mnoge narodne pjesme i plesovi građeni simetrično.

Dakle, trebamo se dogovoriti o kakvoj ćemo vrsti simetrije govoriti. Bez obzira na prirodu predmeta koji se razmatraju, glavni interes za nas bit će zrcalna simetrija - simetrija lijeve i desne strane. Vidjet ćemo da će nas ovo prividno ograničenje odvesti daleko u svijet znanosti i tehnologije i omogućiti nam da s vremena na vrijeme testiramo sposobnosti našeg mozga (budući da je on taj koji je programiran za simetriju).

IGRA TOČKI I CRTA

Još nismo napustili Lineland i Flatland. I za to postoji poseban razlog. Čak i ako tamo nema stanovnika, onda su same ravne linije i ravnine sasvim stvarne!

Razmislimo o situaciji sa simetrijom na ravnoj liniji. Uz pomoć dvije šibice možemo vrlo jednostavno zamisliti dva moguća slučaja. (Već smo ranije razmotrili neke aspekte ove situacije.) Šibice mogu ležati s glavom u jednom smjeru. Tada se lako spajaju. Ili glave (ili napojnice) jedni drugima. U ovom slučaju, postoji točka na liniji na kojoj se zrcalo može postaviti na takav način da izgleda kao da se podudara s njegovim odrazom. Drugim riječima, na liniji se nalazi središte simetrije. Morat ćemo zamisliti da zrcalo stane u jednu točku i odražava polupravac. U matematičkom zaključivanju to je sasvim moguće.

Ravni likovi se "reflektiraju" u osi simetrije

Kod konstruiranja na ravnini naše zrcalo može i dalje ostati točka ili može biti ravna linija. Vjerojatno je ispravnije reći obrnutim redoslijedom: ravna crta ili točka poslužit će kao zrcalo. Uostalom, ako negdje postoji ravna linija, onda je na njoj moguće točkasto središte simetrije.

Zrcalni odrazi polovica ravnina izgledaju isto kao prave ravnine: rotacijom ravnine oko ravne crte - zrcala - može se kombinirati s refleksijom, pa je stoga nastao izraz "os simetrije".

Krug ima beskonačan broj osi simetrije. "List djeteline" - samo jedan

Dakle, sada znamo što su centar simetrije i os simetrije, a također i da je neki objekt (uzmimo ovu neutralnu riječ) simetričan ako je jedna njegova polovica povezana s drugom, poput slike i njezine zrcalne slike.

Kružnica ima beskonačan broj osi simetrije i sve one prolaze kroz zajedničko središte simetrije. Druge figure imaju konačan broj osi simetrije, ali svejedno sve osi (dvije ili više njih) prolaze kroz središte simetrije. To znači da možemo rotirati oblik na određeni kut (maksimalno 180°) i on će opet ležati točno na istom mjestu kao prije rotacije.

Nastavimo naše razmišljanje o zrcalnoj simetriji. Lako je ustanoviti da se svaka simetrična ravna figura može spojiti sama sa sobom uz pomoć zrcala. Iznenađujuće je da su tako složene figure poput petokrake zvijezde ili jednakostraničnog peterokuta također simetrične. Kao što slijedi iz broja osi, one se odlikuju upravo visokom simetrijom. I obrnuto: nije tako lako razumjeti zašto tako naizgled pravilan lik, poput kosog paralelograma, nije simetričan. Isprva se čini da bi os simetrije mogla ići paralelno s jednom od njegovih stranica. Ali vrijedi mentalno pokušati to koristiti, jer se odmah uvjeravate da to nije tako. Asimetrična i spiralna.

Začudo, takva figura koja izgleda "simetrično", poput paralelograma, ne samo da nema osi simetrije, već i zrcalne simetrije općenito.

Dok simetrične figure u potpunosti odgovaraju svom odrazu, nesimetrične se razlikuju od njega: od spirale koja se uvija s desna na lijevo, spirala koja se uvija slijeva nadesno ispada u zrcalu. Ovo se svojstvo često koristi u masovnim igrama i natjecanjima koje održava televizija. Igrači su pozvani da, gledajući se u ogledalo, nacrtaju neku vrstu asimetrične figure, poput spirale. Zatim još jednom nacrtajte "potpuno istu" spiralu, ali bez ogledala. Usporedba oba crteža pokazuje da su se spirale pokazale različitima: jedna se okreće s lijeva na desno, druga s desna na lijevo.

Ali ono što ovdje izgleda kao šala, u praktičnom životu stvara mnogo poteškoća ne samo djeci, već i odraslima. Često djeca neka slova pišu "naopako". Njihovo latinično N izgleda kao I, umjesto S i Z, dobivaju S i Z. Promotrimo li pomno slova latinske abecede (a to su, zapravo, također plosnate figure!), vidjet ćemo simetrična i asimetrična jedni među njima. Slova kao što su N, S, Z nemaju os simetrije (kao ni F, G, J, L, P, Q i R). Ali N, S i Z posebno je lako napisati "obrnuto" ( Imaju centar simetrije. - Cca. izd). Ostala velika slova imaju barem jednu os simetrije. Slova A, M, T, U, V, W i Y mogu se podijeliti na pola uzdužnom osi simetrije. Slova B, C, D, E, I, K - poprečna os simetrije. Slova H, O i X imaju dvije međusobno okomite osi simetrije.

Postavite li slova ispred zrcala, paralelno s crtom, primijetit ćete da se u zrcalu mogu čitati i ona s vodoravnom osi simetrije. Ali oni u kojima se os nalazi okomito ili je potpuno odsutna postaju "nečitljivi".

Vrlo je zanimljivo pitanje zašto se slova s ​​uzdužnom osi ponašaju drugačije nego s poprečnom. Možda ćete razmisliti o tome. O razlogu ovog fenomena bit će riječi kasnije.

Ima djece koja pišu lijevom rukom, a sva slova dobiju u zrcalnom, reflektiranom obliku. Dnevnici Leonarda da Vincija pisani su zrcalnim slovima. Vjerojatno ne postoji dobar razlog zašto bismo pisali pisma na način na koji to pišemo. Malo je vjerojatno da je zrcalni font teže svladati od našeg uobičajenog.

To ne bi olakšalo pravopis, a neke se riječi, poput OTTO, ne bi uopće promijenile. Postoje jezici u kojima se natpis znakova temelji na prisutnosti simetrije. Dakle, u kineskom pismu, hijeroglif znači točno pravu sredinu.

U arhitekturi se osi simetrije koriste kao sredstvo izražavanja arhitektonske namjere. U tehnici su osi simetrije najjasnije naznačene tamo gdje je potrebno odstupanje od nule, kao na primjer na upravljaču kamiona ili na upravljaču broda.

NAŠ SVIJET U OGLEDALU

Iz Linelanda smo preuzeli koncept centra simetrije, a iz Flatlanda - o osi simetrije. U trodimenzionalnom svijetu prostornih tijela, u kojem živimo, postoje ravnine simetrije, odn. “Ogledalo” uvijek ima jednu dimenziju manje od svijeta koji odražava. Kada se promatraju okrugla tijela, odmah je jasno da imaju ravnine simetrije, ali koliko točno, nije uvijek lako odlučiti.

Stavimo lopticu ispred zrcala i počnimo je polako okretati: slika u zrcalu neće se ni po čemu razlikovati od originala, naravno, ako lopta nema nikakvih karakterističnih obilježja na svojoj površini. Loptica za stolni tenis otkriva bezbrojne ravnine simetrije. Uzmite nož, odrežite polovicu lopte i stavite je ispred ogledala. Odraz u zrcalu ponovno će nadopuniti ovu polovicu do cijele lopte.

Ali ako uzmemo globus i razmotrimo njegovu simetriju, uzimajući u obzir geografske konture označene na njemu, tada nećemo naći niti jednu ravninu simetrije.

U Ravnoj zemlji, lik s bezbrojnim osi simetrije bio je krug. Stoga ne trebamo biti iznenađeni što su u svemiru slična svojstva svojstvena lopti. Ali ako je krug jedini takve vrste, onda u trodimenzionalnom svijetu postoji niz tijela koja imaju beskonačan broj ravnina simetrije: ravni cilindar s kružnicom u osnovi, stožac s kružnicom ili hemisferična baza, lopta ili segment lopte. Ili uzmimo primjere iz života: cigareta, cigara, čaša, kuglica sladoleda u obliku korneta, komad žice, lula.

Promotrimo li ta tijela izbliza, primijetit ćemo da se sva ona na ovaj ili onaj način sastoje od kružnice kroz koju prolazi beskonačan broj osi simetrije od kojih prolazi beskonačan broj ravnina simetrije. Većina tih tijela (nazivaju se rotacijskim tijelima) također imaju, naravno, centar simetrije (centar kružnice) kroz koji prolazi barem jedna os simetrije.

Jasno je vidljiva, na primjer, os korneta sladoleda. Prolazi od sredine kruga (strši iz sladoleda!) do oštrog kraja funky korneta. Skup elemenata simetrije tijela doživljavamo kao neku vrstu mjere simetrije. Lopta je, bez sumnje, u smislu simetrije nenadmašno utjelovljenje savršenstva, ideal. Stari Grci su ga doživljavali kao najsavršenije tijelo, a krug, dakako, kao najsavršeniji ravni lik.

Općenito, ove su ideje do danas sasvim prihvatljive. Nadalje, grčki su filozofi zaključili da svemir, naravno, mora biti izgrađen po modelu matematičkog ideala. Ovaj zaključak rezultirao je pogreškama čije ćemo posljedice opisati kasnije. Jasno je da stari Grci još nisu imali mahune za sladoled! Inače bi takav prozaičan objekt, koji ima nebrojeno mnogo ravnina simetrije, mogao narušiti njihov skladni sustav.

Ako za usporedbu razmotrimo kocku, vidjet ćemo da ona ima devet ravnina simetrije. Tri od njih raspolavljaju njegova lica, a šest prolaze kroz vrhove. U usporedbi s loptom to, naravno, nije dovoljno.

Ali postoje li tijela koja po broju ravnina zauzimaju srednji položaj između lopte i kocke? Bez sumnje, da. Treba samo upamtiti da krug, u biti, izgleda kao da se sastoji od poligona. To smo prošli u školi kada smo računali broj pi. Ako nad svakim n-kutom podignemo n-kutnu piramidu, tada kroz nju možemo povući n ravnina simetrije.

Mogla bi se smisliti cigara s 32 strane koja bi imala odgovarajuću simetriju!

Ali ako kocku ipak doživljavamo kao simetričniji objekt od ozloglašene batice za sladoled, onda je to zbog strukture površine. Kugla ima samo jednu površinu. Kocka ih ima šest - prema broju stranica, a svaka strana je predstavljena kvadratom. Funtik sa sladoledom sastoji se od dvije površine: kruga i školjke u obliku stošca.

Već više od dva tisućljeća (vjerojatno zbog izravne percepcije) tradicionalno se preferiraju "proporcionalna" geometrijska tijela. Grčki filozof Platon (427.-347. pr. Kr.) otkrio je da se samo pet volumetrijskih tijela može sagraditi od pravilnih sukladnih ravnih figura.

Od četiri pravilna (jednakostranična) trokuta dobije se tetraedar (tetraedar). Od osam pravilnih trokuta možete izgraditi oktaedar (oktaedar) i, konačno, od dvadeset pravilnih trokuta - ikosaedar. I samo od četiri, osam ili dvadeset identičnih trokuta možete dobiti trodimenzionalno geometrijsko tijelo. Od kvadrata možete napraviti samo jednu trodimenzionalnu figuru - heksaedar (heksahedron), a od jednakostraničnog peterokuta - dodekaedar (dodekaedar).

A što je u našem trodimenzionalnom svijetu potpuno lišeno zrcalne simetrije?

Ako je u Ravnoj zemlji bila ravna spirala, onda će u našem svijetu sigurno biti spiralno stubište ili spiralna bušilica. Osim toga, postoje tisuće asimetričnih stvari i predmeta u životu i tehnologiji oko nas. U pravilu, vijak ima desni navoj. Ali ponekad postoji i ljevica. Dakle, radi veće sigurnosti, boce za propan opremljene su lijevim navojem tako da se na njih ne može zavrnuti ventil-reduktor namijenjen, na primjer, za bocu s drugim plinom. U svakodnevnom životu to znači da u kampiranju, prije kuhanja na kamperskom štednjaku, uvijek treba probati na koju se stranu boca odvrće.

Između lopte i kocke, s jedne strane, i spiralnog stubišta, s druge strane, postoji još mnogo stupnjeva simetrije. Kocki možete postupno oduzimati ravnine simetrije, osi i središte, sve dok ne dođemo u stanje potpune asimetrije.

Gotovo na kraju ovog niza simetrije stojimo mi, mi ljudi, sa samo jednom ravninom simetrije koja dijeli naše tijelo na lijevu i desnu polovicu. Stupanj simetrije koji imamo isti je kao, na primjer, onaj običnog glinenca (mineral koji zajedno sa tinjcem i kvarcom tvori gnajs ili granit).

PET PLATONA

Za pravilne poliedre vrijede sljedeće tvrdnje:

1. U svakom poliedru (uključujući i pravilan), zbroj svih kutova između bridova koji konvergiraju u jednom vrhu uvijek je manji od 360°.

2. Po Eulerovom teoremu za konveksne politope

gdje je e broj vrhova, ƒ je broj stranica i k je broj bridova.

Lica pravilnih poliedara mogu biti samo sljedeći pravilni mnogokuti:

3, 4 ili 5 jednakostraničnih trokuta od 60°. Šest takvih trokuta već daje 60° X 6 = 360° i, prema tome, ne može ograničiti poliedarski kut.

Tri kvadrata (90° X 3 = 270°), 3 pravilna peterokuta (108° X 3 = 324°), 3 pravilna šesterokuta (120° X 3 = 360°) ograničavaju poliedarski kut.

Iz Eulerovog teorema i oblika ploha slijedi da postoji samo 5 pravilnih poliedara:

Tablica od pet pravilnih poliedara

Oblici lica	Broj				Platonova tijela
	lica u jednom tjemenu	vrhovi	lica	rebra
Jednakostranični trokuti	3	4	4	6	Tetraedar
Isti	4	6	8	12	Oktaedar
Isti	5	12	20	30	ikosaedar
kvadrati	3	8	6	12	Heksaedar (kocka)
Ispravni peterokuti	3	20	12	20	Pentagon dodekaedar

(Bilo koje lice pentagona-dodekaedra je peterokutna figura, u kojoj su četiri strane jednake jedna drugoj, ali različite od pete. - Cca. prijevod)