Kako izračunati površinu paralelopipeda. Bočna površina različitih piramida

Prilikom priprema za ispit iz matematike učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih strana do cijele površine. Ako je situacija jasna s bočnim stranama, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.

Što učiniti kada se pronađe područje baze piramide?

To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. I ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili netočan. U USE zadacima od interesa za školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.

pravokutni trokut

To je jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označen slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kvadrat

Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:

Proizvoljni pravilni n-kut

Istu oznaku ima stranica poligona. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Kako postupiti pri izračunu bočne i ukupne površine?

Budući da je baza pravilan lik, sva su lica piramide jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, potrebna vam je formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.

Površina jednakokračnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:

S \u003d ½ P * A, gdje je P opseg baze piramide.

Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njenom vrhu (α). Tada bi trebalo koristiti takvu formulu za izračunavanje bočne površine piramide:

S = n/2 * u 2 sin α .

Zadatak #1

Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako joj baza leži sa stranicom od 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.

Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Budući da je apotem poznat, možete odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Za trokut na bazi dobit će se sljedeća vrijednost površine: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odgovor. 10√3 cm2.

Zadatak #2

Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina stranice baze je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Morate znati njegovu površinu.

Riješenje. Kako je poliedar četverokutan i pravilan, onda mu je baza kvadrat. Naučivši područja baze i bočnih strana, bit će moguće izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A na bočnim stranama poznate su sve stranice trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.

Prvi izračuni su jednostavni i dovode do ovog broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.

Ispada: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.

Zadatak #3

Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. U njemu je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.

Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugo je malo teže.

Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.

Željeni apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Sada možete izračunati željenu vrijednost: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Odgovor. 96 cm2.

Zadatak #4

Stanje. Ispravna stranica njegove baze je 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je površina bočne površine ovog poliedra?

Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao što je opisano u problemu br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.

Prije svega, površina baze izračunava se pomoću gornje formule: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Ostaje izračunati površinu svakog takvog trokuta koristeći Heronovu formulu, a zatim je pomnožiti sa šest i dodati onom koji je ispao za baza.

Izračuni pomoću Heronove formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.

Odgovor. Baza - 726√3 cm 2, bočna površina - 3960 cm 2, cjelokupna površina - 5217 cm 2.

Cilindar je lik koji se sastoji od cilindrične plohe i dva paralelna kruga. Izračunavanje površine cilindra je problem u geometrijskoj grani matematike, koji se vrlo jednostavno rješava. Postoji nekoliko metoda za njegovo rješavanje, koje se kao rezultat uvijek svode na jednu formulu.

Kako pronaći površinu cilindra - pravila izračuna

• Da biste saznali površinu cilindra, trebate dodati dvije osnovne površine s površinom bočne površine: S \u003d S strana + 2 S glavna. U detaljnijoj verziji ova formula izgleda ovako: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočna površina danog geometrijskog tijela može se izračunati ako su poznati njegova visina i polumjer kruga koji leži ispod baze. U ovom slučaju možete izraziti radijus iz opsega, ako je zadan. Visina se može pronaći ako je vrijednost generatrixa navedena u uvjetu. U ovom slučaju, generatrix će biti jednaka visini. Formula za bočnu plohu zadanog tijela izgleda ovako: S= 2 π rh.
• Površina baze izračunava se formulom za pronalaženje površine kruga: S osn= π r 2 . U nekim zadacima radijus možda nije zadan, ali je zadan opseg. Ovom se formulom radijus izražava prilično jednostavno. S=2π r, r= S/2π. Također se mora zapamtiti da je radijus pola promjera.
• Prilikom izvođenja svih ovih izračuna, broj π se obično ne prevodi u 3,14159 ... Samo ga trebate dodati pored numeričke vrijednosti koja je dobivena kao rezultat izračuna.
• Nadalje, potrebno je samo pomnožiti pronađenu površinu baze s 2 i dodati dobivenom broju izračunatu površinu bočne površine figure.
• Ako problem pokazuje da cilindar ima aksijalni presjek i da je ovo pravokutnik, tada će rješenje biti malo drugačije. U ovom slučaju, širina pravokutnika bit će promjer kruga koji leži u podnožju tijela. Duljina figure bit će jednaka generatrisi ili visini cilindra. Potrebno je izračunati željene vrijednosti i zamijeniti ih u već poznatu formulu. U ovom slučaju, širina pravokutnika mora se podijeliti s dva da bi se pronašla površina baze. Da bismo pronašli bočnu plohu, duljina se množi s dva radijusa i brojem π.
• Možete izračunati površinu zadanog geometrijskog tijela kroz njegov volumen. Da biste to učinili, trebate izvesti vrijednost koja nedostaje iz formule V=π r 2 h.
• Nema ništa teško u izračunavanju površine cilindra. Vi samo trebate znati formule i moći iz njih izvesti količine potrebne za izračune.

Površina piramide. U ovom ćemo članku s vama razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Dopustite mi da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je baza pravilan poligon, vrh piramide je projiciran u središte tog poligona.

Bočna strana takve piramide je jednakokračni trokut.Visina ovog trokuta, povučena s vrha pravilne piramide, naziva se apotem, SF je apotem:

U dolje prikazanoj vrsti problema potrebno je pronaći površinu cijele piramide ili površinu njezine bočne površine. Blog je već razmatrao nekoliko problema s pravilnim piramidama, gdje se postavljalo pitanje pronalaženja elemenata (visina, osnovni rub, bočni rub), .

U zadatcima ispita u pravilu se razmatraju pravilne trokutne, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio probleme s pravilnim peterokutnim i sedmerokutnim piramidama.

Formula za površinu cijele površine je jednostavna - trebate pronaći zbroj površine baze piramide i površine njezine bočne površine:

Razmotrite zadatke:

Stranice baze pravilne četverokutne piramide su 72, bočni bridovi su 164. Nađite površinu ove piramide.

Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:

*Bočnu plohu čine četiri trokuta jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.

Površina strane piramide može se izračunati pomoću:

Dakle, površina piramide je:

Odgovor: 28224

Stranice baze pravilne šesterokutne piramide su 22, bočni rubovi su 61. Pronađite površinu bočne površine ove piramide.

Osnova pravilne šesterokutne piramide je pravilni šesterokut.

Bočna površina ove piramide sastoji se od šest područja jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:

Pronađite površinu trokuta koristeći Heronovu formulu:

Dakle, bočna površina je:

Odgovor: 3240

*U gore navedenim problemima, područje bočne strane može se pronaći pomoću različite formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.

27155. Odredite površinu pravilne četverokutne piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.

Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:

Površina baze je 36, jer je to kvadrat sa stranicom 6.

Bočna površina sastoji se od četiri lica, koja su jednaki trokuti. Da biste pronašli područje takvog trokuta, morate znati njegovu bazu i visinu (apotem):

* Površina trokuta jednaka je polovici proizvoda baze i visine povučene na ovu bazu.

Baza je poznata, jednaka je šest. Nađimo visinu. Razmotrimo pravokutni trokut (označen žutom bojom):

Jedan krak je jednak 4, jer je to visina piramide, drugi je jednak 3, jer je jednak polovici ruba baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

Dakle, površina bočne površine piramide je:

Dakle, površina cijele piramide je:

Odgovor: 96

27069. Stranice baze pravilne četverokutne piramide su 10, bočni bridovi su 13. Nađite površinu ove piramide.

27070. Stranice baze pravilne šesterokutne piramide su 10, bočni rubovi su 13. Nađite površinu bočne površine ove piramide.

Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi baza je ortogonalna projekcija bočne plohe, dakle:

P- opseg baze, l- apotem piramide

*Ova formula se temelji na formuli za površinu trokuta.

Ako želite saznati više o tome kako su te formule izvedene, nemojte to propustiti, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindričnom plohom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo na primjer nekoliko problema.

Cilindar ima tri površine: gornju, donju i bočnu površinu.

Gornji i donji dio cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2 . Stoga će formula za površinu dva kruga (gornji i donji dio cilindra) izgledati kao πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljena stijenka cilindra. Kako bismo što bolje predstavili ovu plohu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična konzerva koja nema gornji poklopac i dno. Napravimo okomiti rez na bočnoj stijenci od vrha do dna staklenke (korak 1 na slici) i pokušajmo što više otvoriti (ispraviti) dobivenu figuru (korak 2).

Nakon potpunog otkrivanja rezultirajuće staklenke, vidjet ćemo poznatu figuru (Korak 3), ovo je pravokutnik. Površina pravokutnika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak na izvorni cilindar. Vrh izvornog valjka je kružnica, a znamo da se opseg kružnice izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označen crvenom bojom.

Kada se bočna stijenka cilindra potpuno raširi, vidimo da opseg postaje duljina pravokutnika. Stranice tog pravokutnika bit će opseg (L = 2πr) i visina valjka (h). Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih stranica - S = duljina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje bočne površine cilindra.

Formula za površinu bočne površine cilindra
S strana = 2prh

Puna površina cilindra

Na kraju, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobivamo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini baze cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identičnom formulom 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r je polumjer cilindra, h je visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra pomoću primjera.

1. Polumjer baze cilindra je 2, visina je 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina računa se po formuli: S strana. = 2prh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočna površina cilindra je 37,68.

2. Kako pronaći površinu valjka ako je visina 4, a polumjer 6?

Ukupna površina izračunava se po formuli: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- Ovo je poliedarska figura, u čijoj osnovi leži poligon, a preostala lica predstavljena su trokutima sa zajedničkim vrhom.

Ako je baza kvadrat, onda se zove piramida četverokutan, ako je trokut trokutasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na bazu. Također se koristi za izračunavanje površine apotema je visina bočne plohe spuštena od njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina njezinih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ova metoda izračuna se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide izračunava se kroz perimetar baze i apoteme:

Razmotrite primjer izračuna površine bočne površine piramide.

Neka je dana piramida s bazom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotem a = 5 cm. Odredite površinu bočne površine piramide.
Nađimo opseg. Budući da su sva lica baze jednaka, tada će opseg peterokuta biti jednak:
Sada možete pronaći bočno područje piramide:

Površina pravilne trokutaste piramide

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od baze u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake površine.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na mnogo načina. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračunavanje kroz perimetar i apotem, ili možete pronaći područje jednog lica i pomnožiti ga s tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i duljinu baze. Razmotrite primjer izračuna bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Dana je piramida s apotemom a = 4 cm i osnovnom plohom b = 2 cm. Odredite površinu bočne površine piramide.
Prvo pronađite područje jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formuli:
Budući da su u pravilnoj piramidi sve strane iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbroju površina tri lica. Odnosno:

Površina krnje piramide

krnji Piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide vrlo je jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme: