लाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन तालिका। माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में लाप्लास फ़ंक्शन की गणना

लाप्लास फ़ंक्शन एक गैर-प्राथमिक फ़ंक्शन है और इसका उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों और संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत और सांख्यिकी दोनों में किया जाता है। लाप्लास फ़ंक्शन को ज्ञान और प्रशिक्षण के एक निश्चित सेट की आवश्यकता होती है, क्योंकि यह आपको लागू और सैद्धांतिक अनुप्रयोगों के क्षेत्र में विभिन्न समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है और इसे अक्सर संभाव्यता अभिन्न कहा जाता है। आइए देखें कि इस फ़ंक्शन का उपयोग एक्सेल में कैसे किया जा सकता है और यह कैसे कार्य करता है।

एक्सेल में प्रोबेबिलिटी इंटीग्रल या लाप्लास फ़ंक्शन "NORMSDIST" ऑपरेटर से मेल खाता है, जिसका सिंटैक्स है: "=NORMSDIST(z)। प्रोग्राम के नए संस्करणों में, ऑपरेटर का नाम "NORM.ST.DIST" भी ​​है। और थोड़ा संशोधित वाक्यविन्यास "=NORM.ST.DIST(z; इंटीग्रल)।

"Z" तर्क वितरण के संख्यात्मक मान के लिए जिम्मेदार है। "इंटीग्रल" तर्क दो मान लौटाता है - "1" - इंटीग्रल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन, "0" - वज़न वितरण फ़ंक्शन।

हमने सिद्धांत को सुलझा लिया है। आइए अभ्यास की ओर आगे बढ़ें। आइए एक्सेल में लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग देखें।

1. किसी सेल में एक मान लिखें और अगले सेल में एक फ़ंक्शन डालें।

2. आइए फ़ंक्शन को मैन्युअल रूप से लिखें "=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. या हम फ़ंक्शन इंसर्शन विज़ार्ड का उपयोग करते हैं - "स्टेटिक" श्रेणी पर जाएं और "पूर्ण वर्णमाला सूची" इंगित करें।

4. दिखाई देने वाली फ़ंक्शन तर्क विंडो में, प्रारंभिक मान इंगित करें। हमारा मूल सेल "Z" वेरिएबल के लिए जिम्मेदार होगा, और "1" को "इंटीग्रल" में सम्मिलित करेगा। हमारा फ़ंक्शन संचयी वितरण फ़ंक्शन लौटाएगा।

5. हम इस फ़ंक्शन "NORM.ST.DIST" के लिए मानक सामान्य अभिन्न वितरण का तैयार समाधान प्राप्त करते हैं। लेकिन इतना ही नहीं, हमारा लक्ष्य लाप्लास फ़ंक्शन या संभाव्यता अभिन्न को खोजना था, तो चलिए कुछ और कदम उठाते हैं।

6. लाप्लास फ़ंक्शन का तात्पर्य है कि परिणामी फ़ंक्शन के मान से "0.5" घटाया जाना चाहिए। हम फ़ंक्शन में आवश्यक ऑपरेशन जोड़ते हैं। हम "एंटर" दबाते हैं और अंतिम समाधान प्राप्त करते हैं। वांछित मान सही है और शीघ्रता से मिल जाता है।

एक्सेल किसी भी सेल वैल्यू, सेल की रेंज या सेल संदर्भ के लिए इस फ़ंक्शन की आसानी से गणना करता है। "NORM.ST.DIST" फ़ंक्शन संभाव्यता अभिन्न अंग की खोज के लिए एक मानक ऑपरेटर है या, जैसा कि इसे लाप्लास फ़ंक्शन भी कहा जाता है।

बेयस फॉर्मूला

घटनाएँ B 1, B 2,…, B n असंगत हैं और एक पूर्ण समूह बनाती हैं, अर्थात। पी(बी 1)+ पी(बी 2)+…+ पी(बी एन)=1. और घटना A को केवल तभी घटित होने दें जब घटनाओं B 1,B 2,…,B n में से कोई एक प्रकट हो। फिर कुल संभाव्यता सूत्र का उपयोग करके घटना A की संभावना ज्ञात की जाती है।

माना कि घटना A पहले ही घटित हो चुकी है। फिर बेयस सूत्र का उपयोग करके परिकल्पना बी 1, बी 2,…, बी एन की संभावनाओं को कम करके आंका जा सकता है:

बर्नौली का सूत्र

मान लीजिए कि n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में A घटित हो भी सकता है और नहीं भी। घटना A के घटित होने (गैर-घटना) की संभावना समान और p (q=1-p) के बराबर है।

यह संभावना कि n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A ठीक एक बार घटित होगी (किस क्रम के आधार पर) बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है:

n स्वतंत्र परीक्षणों में एक घटना घटित होने की प्रायिकता है:

ए)। P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1) से कम।

बी)। एक से अधिक बार P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n)।

वी). कम से कम बार P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n)।

जी)। k गुना P n (0)+P n (1)+…+P n (k) से अधिक नहीं।

लाप्लास के स्थानीय और अभिन्न प्रमेय।

हम इन प्रमेयों का उपयोग तब करते हैं जब n पर्याप्त बड़ा होता है।

स्थानीय लाप्लास प्रमेय

n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के ठीक 'k' बार घटित होने की प्रायिकता लगभग बराबर है:

सकारात्मक मानों (x) के लिए फ़ंक्शंस की तालिका Gmurman समस्या पुस्तक में परिशिष्ट 1, पृष्ठ 324-325 में दी गई है।

चूँकि () सम है, हम ऋणात्मक मानों (x) के लिए उसी तालिका का उपयोग करते हैं।

लाप्लास का अभिन्न प्रमेय.

n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के कम से कम `k' बार घटित होने की प्रायिकता लगभग बराबर है:

लाप्लास फ़ंक्शन

सकारात्मक मूल्यों के लिए कार्यों की तालिका Gmurman समस्या पुस्तक में परिशिष्ट 2, पृष्ठ 326-327 में दी गई है। 5 से अधिक मानों के लिए हम Ф(х)=0.5 निर्धारित करते हैं।

चूँकि लाप्लास फ़ंक्शन विषम Ф(-х)=-Ф(х) है, तो नकारात्मक मानों (x) के लिए हम उसी तालिका का उपयोग करते हैं, केवल हम फ़ंक्शन मानों को ऋण चिह्न के साथ लेते हैं।

असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम

द्विपद वितरण कानून.

अलग- एक यादृच्छिक चर, जिसके संभावित मान अलग-अलग पृथक संख्याएँ हैं, जिन्हें यह चर कुछ संभावनाओं के साथ लेता है। दूसरे शब्दों में, असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों को क्रमांकित किया जा सकता है।

असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या परिमित या अनंत हो सकती है।

असतत यादृच्छिक चर को बड़े अक्षरों X द्वारा और उनके संभावित मानों को छोटे अक्षरों X1, x2, x3... द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए.

X पासे पर फेंके गए अंकों की संख्या है; X छह संभावित मान लेता है: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 संभावनाओं के साथ p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. .p6 =1/6.

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियमइसके संभावित मूल्यों और उनकी संगत संभावनाओं की एक सूची को नाम दें।

वितरण कानून दिया जा सकता है:

1. एक तालिका के रूप में.

2. विश्लेषणात्मक - सूत्र के रूप में।

3. ग्राफ़िक रूप से। इस मामले में, आयताकार XOP समन्वय प्रणाली में, बिंदु M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn) का निर्माण किया जाता है। ये बिंदु सीधे खंडों द्वारा जुड़े हुए हैं। परिणामी आकृति कहलाती है वितरण बहुभुज.

असतत यादृच्छिक चर (x) के वितरण का नियम लिखने के लिए, इसके सभी संभावित मानों को सूचीबद्ध करना और संबंधित संभावनाओं को खोजना आवश्यक है।

यदि बर्नौली सूत्र का उपयोग करके संबंधित संभावनाएं पाई जाती हैं, तो ऐसे वितरण कानून को द्विपद कहा जाता है।

उदाहरण क्रमांक 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175।

असतत यादृच्छिक चर के संख्यात्मक मान।

अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन।

असतत यादृच्छिक चर के औसत मान की विशेषता गणितीय अपेक्षा है।

गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर उसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है। वे। यदि वितरण कानून दिया गया है, तो गणितीय अपेक्षा

यदि असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है, तो

इसके अलावा, समानता के दाईं ओर की श्रृंखला बिल्कुल मिलती है, और सभी संभावनाओं का योग पाई एक के बराबर है।

गणितीय अपेक्षा के गुण.

1. एम(सी)=सी, सी=स्थिर।

2. एम(सीएक्स)=सीएम(एक्स)

3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)

4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).

5. द्विपद वितरण नियम के लिए, गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा पाई जाती है:

गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के फैलाव की विशेषताएं फैलाव और मानक विचलन हैं।

झगड़ाअसतत यादृच्छिक चर (x) को वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। D(x)=M(x-M(x)) 2.

सूत्र का उपयोग करके फैलाव की गणना करना सुविधाजनक है: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.

फैलाव के गुण.

1. डी(एस)=0, सी=स्थिरांक।

2. डी(सीएक्स)=सी 2 डी(एक्स)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. द्विपद बंटन नियम का प्रकीर्णन

मानक विचलनएक यादृच्छिक चर को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है।

उदाहरण। 191, 193, 194, 209, डी/जेड।

सतत यादृच्छिक चर (आरसीवी) की संभावनाओं का संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ)। निरंतर- एक मात्रा जो किसी परिमित या अनंत अंतराल से सभी मान ले सकती है। एनएसवी के लिए कई संभावित मान हैं और इसे दोबारा क्रमांकित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए.

प्रक्षेप्य द्वारा दागे जाने पर तय की गई दूरी एनएसवी है।

IFR को एक फ़ंक्शन F(x) कहा जाता है, जो प्रत्येक मान x के लिए संभावना निर्धारित करता है कि NSV X मान X लेगा<х, т.е. F(x)=Р(X

अक्सर IFR की जगह FR कहते हैं।

ज्यामितीय रूप से, समानता F(x)=P(X

IF के गुण.

1. IF मान अंतराल से संबंधित है, अर्थात। एफ(एक्स).

2. IF एक गैर-घटता हुआ फलन है, अर्थात्। x2>x1.

परिणाम 1. संभावना है कि एनएसवी एक्स अंतराल (ए; बी) में निहित मान लेगा, इस अंतराल पर अभिन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है, यानी।

पी(ए

परिणाम 2. संभावना है कि एनएसवी एक्स एक विशिष्ट मान लेगा, उदाहरण के लिए, x1=0, 0 के बराबर है, यानी। पी(x=x1)=0.

3. यदि NSV X के सभी संभावित मान (a;c) से संबंधित हैं, तो x पर F(x)=0<а, и F(x)=1 при х>वी

परिणाम 3. निम्नलिखित सीमा संबंध मान्य हैं।

सतत यादृच्छिक चर (आरएनवी) (संभावना घनत्व) की संभावनाओं का विभेदक वितरण फ़ंक्शन (डीडीएफ)।

डीएफ एफ(एक्स)एनएसवी की संभाव्यता वितरण IFR का प्रथम व्युत्पन्न कहा जाता है:

अक्सर, पीडीआर के बजाय, वे संभाव्यता घनत्व (पीडी) कहते हैं।

परिभाषा से यह पता चलता है कि, DF F(x) को जानकर, हम DF f(x) पा सकते हैं। लेकिन व्युत्क्रम परिवर्तन भी किया जाता है: DF f(x) को जानकर, आप DF F(x) पा सकते हैं।

संभावना है कि NSV X (a;b) से संबंधित मान लेगा:

ए)। यदि IF दिया गया है, तो परिणाम 1.

बी)। यदि डीएफ निर्दिष्ट है

डीएफ के गुण.

1. डीएफ - नकारात्मक नहीं, अर्थात। .

2. () के भीतर DF का अनुचित अभिन्न अंग 1 के बराबर है, यानी। .

परिणाम 1. यदि एनएसवी एक्स के सभी संभावित मान (ए;सी) से संबंधित हैं, तो।

उदाहरण। क्रमांक 263, 265, 266, 268, 1111, 272, डी/जेड।

एनएसवी की संख्यात्मक विशेषताएं।

1. एनएसवी एक्स की गणितीय अपेक्षा (एमई), जिसके संभावित मान संपूर्ण ओएक्स अक्ष से संबंधित हैं, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

यदि NSV X के सभी संभावित मान (a;c) से संबंधित हैं, तो MO सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अलग-अलग मात्राओं के लिए संकेतित सभी MO गुण निरंतर मात्राओं के लिए भी संरक्षित हैं।

2. एनएसवी एक्स का फैलाव, जिसके संभावित मान संपूर्ण ओएक्स अक्ष से संबंधित हैं, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

यदि एनएसवी एक्स के सभी संभावित मान (ए;सी) से संबंधित हैं, तो फैलाव सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अलग-अलग मात्राओं के लिए निर्दिष्ट सभी फैलाव गुणों को निरंतर मात्राओं के लिए भी संरक्षित किया जाता है।

3. एनएसवी एक्स का मानक विचलन उसी तरह निर्धारित किया जाता है जैसे अलग-अलग मात्राओं के लिए:

उदाहरण। क्रमांक 276, 279, एक्स, डी/जेड।

ऑपरेशनल कैलकुलस (ओसी)।

OR एक ऐसी विधि है जो आपको कार्यों के विभेदन और एकीकरण के संचालन को सरल क्रियाओं में कम करने की अनुमति देती है: इन कार्यों की तथाकथित छवियों के तर्क द्वारा गुणा और भाग।

OI के प्रयोग से कई समस्याओं का समाधान करना आसान हो जाता है। विशेष रूप से, स्थिर गुणांकों और ऐसे समीकरणों की प्रणालियों के साथ एलडीई के एकीकरण की समस्याएं, उन्हें रैखिक बीजगणितीय में कम करना।

मूल और छवियाँ. लाप्लास रूपांतरित होता है।

एफ(टी)-मूल; एफ(पी)-छवि।

संक्रमण f(t)F(p) कहलाता है लाप्लास परिवर्तन.

किसी फ़ंक्शन f(t) के लाप्लास रूपांतरण को F(p) कहा जाता है, जो एक जटिल चर पर निर्भर करता है और सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

इस समाकलन को लाप्लास समाकलन कहा जाता है। इस अनुचित अभिन्न के अभिसरण के लिए, यह मान लेना पर्याप्त है कि अंतराल में f(t) टुकड़ावार निरंतर है और कुछ स्थिरांक M>0 के लिए है और असमानता को संतुष्ट करता है

ऐसे गुणों वाले फ़ंक्शन f(t) को कहा जाता है मूल, और मूल से उसकी छवि में संक्रमण कहा जाता है लाप्लास परिवर्तन.

लाप्लास परिवर्तन के गुण.

सूत्र (2) का उपयोग करके छवियों का प्रत्यक्ष निर्धारण आमतौर पर कठिन होता है और लाप्लास ट्रांसफॉर्म के गुणों का उपयोग करके इसे काफी सुविधाजनक बनाया जा सकता है।

मान लीजिए कि F(p) और G(p) क्रमशः मूल f(t) और g(t) की छवियां हैं। तब निम्नलिखित गुण-संबंध कायम रहते हैं:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - समरूपता गुण।

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - योगात्मकता गुण।

3. f(t)F(p-) - विस्थापन प्रमेय।

मूल के nवें व्युत्पन्न का एक छवि में संक्रमण (मूल के विभेदन का प्रमेय)।

लाप्लास के स्थानीय और अभिन्न प्रमेय

यह लेख इसके बारे में पाठ की स्वाभाविक निरंतरता है स्वतंत्र परीक्षण, हम कहाँ मिले थे बर्नौली का सूत्रऔर विषय पर विशिष्ट उदाहरणों पर काम किया। लाप्लास (मोइवर-लाप्लास) के स्थानीय और अभिन्न प्रमेय एक समान समस्या को इस अंतर के साथ हल करते हैं कि वे पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों पर लागू होते हैं। "स्थानीय", "अभिन्न", "प्रमेय" शब्दों पर प्रकाश डालने की कोई आवश्यकता नहीं है - सामग्री को उसी आसानी से महारत हासिल है जिसके साथ लाप्लास ने नेपोलियन के घुंघराले सिर को थपथपाया था। इसलिए, बिना किसी जटिलता और प्रारंभिक टिप्पणियों के, आइए तुरंत एक प्रदर्शन उदाहरण पर विचार करें:

सिक्के को 400 बार उछाला जाता है। 200 बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

चारित्रिक विशेषताओं के अनुसार ही यहां आवेदन करना चाहिए बर्नौली का सूत्र . आइए याद करें इन अक्षरों का अर्थ:

- संभावना है कि स्वतंत्र परीक्षणों में एक यादृच्छिक घटना ठीक एक बार घटित होगी;
– द्विपद गुणांक;
- प्रत्येक परीक्षण में एक घटना के घटित होने की संभावना;

हमारे कार्य के संबंध में:
- परीक्षणों की कुल संख्या;
- थ्रो की संख्या जिसमें सिर गिरना चाहिए;

इस प्रकार, संभावना है कि 400 सिक्के उछालने के परिणामस्वरूप, हेड ठीक 200 बार दिखाई देगा: ... रुकें, आगे क्या करना है? माइक्रोकैलकुलेटर (कम से कम मेरा) 400वीं डिग्री का सामना करने में विफल रहा और उसने आत्मसमर्पण कर दिया भाज्य. लेकिन मैं किसी उत्पाद के माध्यम से कुछ गणना नहीं करना चाहता था =) आइए उपयोग करें मानक एक्सेल फ़ंक्शन, जो राक्षस को संसाधित करने में कामयाब रहा:।

मैं आपका ध्यान उस ओर आकर्षित करना चाहता हूं जो प्राप्त हुआ है एकदम सहीअर्थ और ऐसा समाधान आदर्श प्रतीत होता है। पहली नज़र में। यहां कुछ सम्मोहक प्रतिवाद दिए गए हैं:

- सबसे पहले, सॉफ़्टवेयर हाथ में नहीं हो सकता है;
- और दूसरी बात, समाधान गैर-मानक दिखेगा (काफी संभावना के साथ आपको अपना मन बदलना होगा);

इसलिए, प्रिय पाठकों, निकट भविष्य में हम उम्मीद करते हैं:

स्थानीय लाप्लास प्रमेय

यदि प्रत्येक परीक्षण में किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना स्थिर है, तो प्रत्येक परीक्षण में घटना के ठीक एक बार घटित होने की संभावना लगभग बराबर है:
, कहाँ ।

इसके अलावा, जितना बड़ा होगा, गणना की गई संभावना उतनी ही बेहतर होगी, प्राप्त सटीक मान का अनुमान लगाया जाएगा (कम से कम काल्पनिक रूप से)बर्नौली के सूत्र के अनुसार. परीक्षणों की अनुशंसित न्यूनतम संख्या लगभग 50-100 है, अन्यथा परिणाम सच्चाई से बहुत दूर हो सकता है। इसके अलावा, स्थानीय लाप्लास प्रमेय बेहतर काम करता है क्योंकि संभावना 0.5 के करीब होती है, और इसके विपरीत - यह शून्य या एक के करीब मूल्यों के लिए एक महत्वपूर्ण त्रुटि देता है। इस कारण से, सूत्र के प्रभावी उपयोग के लिए एक और मानदंड असमानता है () .

इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि, तो 50 परीक्षणों के लिए लाप्लास के प्रमेय का अनुप्रयोग उचित है। लेकिन यदि और , तो भी एक अनुमान है (सटीक मूल्य के लिए)बुरा होगा.

क्यों और किसी विशेष समारोह के बारे में हम कक्षा में इस बारे में बात करेंगे सामान्य संभाव्यता वितरण, लेकिन अभी हमें मुद्दे के औपचारिक कम्प्यूटेशनल पक्ष की आवश्यकता है। खास तौर पर एक महत्वपूर्ण तथ्य यह है समानतायह फ़ंक्शन: .

आइए अपने उदाहरण से संबंध को औपचारिक बनाएं:

समस्या 1

सिक्के को 400 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चित ठीक-ठीक उतरेंगे:

क) 200 बार;
बी) 225 बार।

कहाँ से शुरू करें समाधान? सबसे पहले, आइए ज्ञात मात्राएँ लिखें ताकि वे हमारी आँखों के सामने हों:

- स्वतंत्र परीक्षणों की कुल संख्या;
- प्रत्येक थ्रो में चित आने की संभावना;
– सिर उतरने की संभावना.

a) आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि 400 उछालों की श्रृंखला में सिर ठीक एक बार आएगा। परीक्षणों की बड़ी संख्या के कारण, हम लाप्लास के स्थानीय प्रमेय का उपयोग करते हैं: , कहाँ .

पहले चरण में, हम तर्क के आवश्यक मान की गणना करते हैं:

आगे हम संबंधित फ़ंक्शन मान पाते हैं:। यह कई मायनों में किया जा सकता है। सबसे पहले, निःसंदेह, प्रत्यक्ष गणनाएँ स्वयं सुझाती हैं:

गोलाई आमतौर पर दशमलव के 4 स्थानों तक की जाती है।

प्रत्यक्ष गणना का नुकसान यह है कि प्रत्येक माइक्रोकैलकुलेटर घातांक को पचा नहीं सकता है; इसके अलावा, गणना विशेष रूप से सुखद नहीं होती है और इसमें समय लगता है। इतना कष्ट क्यों? उपयोग टर्वर कैलकुलेटर (बिंदु 4)और तुरंत मूल्य प्राप्त करें!

इसके अलावा, वहाँ है फ़ंक्शन मान तालिका, जो संभाव्यता सिद्धांत पर लगभग किसी भी पुस्तक में है, विशेष रूप से, पाठ्यपुस्तक में वी.ई. Gmurman. यदि आपने इसे अभी तक डाउनलोड नहीं किया है, तो इसे डाउनलोड करें - इसमें बहुत सारी उपयोगी चीजें हैं ;-) और यह अवश्य सीखें कि तालिका का उपयोग कैसे करें (अभी!)- उपयुक्त कंप्यूटिंग उपकरण हमेशा हाथ में नहीं हो सकता है!

अंतिम चरण में, हम सूत्र लागू करते हैं :
- संभावना यह है कि 400 सिक्के उछालने पर चित ठीक 200 बार आएगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्राप्त परिणाम गणना किए गए सटीक मान के बहुत करीब है बर्नौली का सूत्र.

बी) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 400 परीक्षणों की श्रृंखला में शीर्ष ठीक एक बार दिखाई देंगे। हम लाप्लास के स्थानीय प्रमेय का उपयोग करते हैं। एक, दो, तीन - और आपका काम हो गया:

– वांछित संभावना.

उत्तर:

अगला उदाहरण, जैसा कि कई लोगों ने अनुमान लगाया है, प्रसव के लिए समर्पित है - और यह आपको स्वयं तय करना है :)

समस्या 2

लड़का होने की संभावना 0.52 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 100 नवजात शिशुओं में बिल्कुल: a) 40 लड़के, b) 50 लड़के, c) 30 लड़कियाँ होंगी।

परिणामों को 4 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।

...वाक्यांश "स्वतंत्र परीक्षण" यहाँ दिलचस्प लगता है =) वैसे, वास्तविक सांख्यिकीय संभावनाविश्व के कई क्षेत्रों में लड़के की जन्म दर 0.51 से 0.52 के बीच है।

पाठ के अंत में किसी कार्य का एक अनुमानित उदाहरण।

सभी ने देखा कि संख्याएँ काफी छोटी निकलीं, और यह भ्रामक नहीं होना चाहिए - आखिरकार, हम व्यक्तिगत संभावनाओं के बारे में बात कर रहे हैं, स्थानीयमान (इसलिए प्रमेय का नाम)। और ऐसे कई मूल्य हैं, और, लाक्षणिक रूप से कहें तो, संभावना "हर किसी के लिए पर्याप्त होनी चाहिए।" सच है, कई घटनाएँ होंगी लगभग असंभव.

मैं सिक्कों के उदाहरण का उपयोग करके उपरोक्त को समझाता हूं: चार सौ परीक्षणों की एक श्रृंखला में, हेड सैद्धांतिक रूप से 0 से 400 बार गिर सकते हैं, और ये घटनाएं बनती हैं पूरा समूह:

हालाँकि, इनमें से अधिकांश मान केवल मामूली हैं, उदाहरण के लिए, संभावना है कि सिर 250 बार दिखाई देंगे पहले से ही दस मिलियन में से एक है:। जैसे मूल्यों के बारे में आइए चतुराई से चुप रहें =)

दूसरी ओर, मामूली परिणामों को कम करके नहीं आंका जाना चाहिए: यदि यह केवल के बारे में है, तो सिर उतरने की संभावना, मान लीजिए, 220 से 250 बार तक, बहुत ध्यान देने योग्य होगा.

अब आइए सोचें: इस संभावना की गणना कैसे करें? गिनती मत करो असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेयमात्रा:

ये मान बहुत सरल हैं मिलाना. और किसी चीज़ का संयोजन, जैसा कि आप जानते हैं, कहलाता है एकीकरण:

लाप्लास का अभिन्न प्रमेय

यदि प्रत्येक परीक्षण में किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की प्रायिकता स्थिर है, तो प्रायिकता कि घटना परीक्षणों में घटित होगी न कम और न अधिक बार (समय से लेकर समय तक सम्मिलित), लगभग इसके बराबर है:

इस मामले में, निस्संदेह, परीक्षणों की संख्या भी काफी बड़ी होनी चाहिए और संभावना बहुत छोटी/अधिक नहीं होनी चाहिए (लगभग), अन्यथा सन्निकटन महत्वहीन या ख़राब होगा।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है लाप्लास फ़ंक्शन, और इसके मानों को फिर से एक मानक तालिका में संक्षेपित किया गया है ( ढूंढें और इसके साथ काम करना सीखें!!). एक माइक्रोकैलकुलेटर यहां मदद नहीं करेगा, क्योंकि इंटीग्रल गैर-संयोजन योग्य है। लेकिन एक्सेल में संबंधित कार्यक्षमता है - उपयोग बिंदु 5 डिज़ाइन योजना.

व्यवहार में, सबसे सामान्य मूल्य हैं:
- इसे अपनी नोटबुक में कॉपी करें।
से शुरू करते हुए, हम यह मान सकते हैं कि, या, इसे और अधिक सख्ती से लिखने के लिए:

इसके अलावा, लाप्लास फ़ंक्शन विषम: , और इस संपत्ति का उन कार्यों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है जिनसे हम पहले ही थक चुके हैं:

समस्या 3

निशानेबाज द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.7 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 100 शॉट्स के साथ लक्ष्य पर 65 से 80 बार प्रहार किया जाएगा।

मैंने सबसे यथार्थवादी उदाहरण चुना, अन्यथा मुझे यहां कई कार्य मिले जिनमें शूटर हजारों शॉट फायर करता है =)

समाधान: इस समस्या में हम बात कर रहे हैं बार-बार स्वतंत्र परीक्षण, और उनकी संख्या काफी बड़ी है. शर्त के अनुसार, आपको यह प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है कि लक्ष्य कम से कम 65 बार मारा जाएगा, लेकिन 80 से अधिक बार नहीं, जिसका अर्थ है कि आपको लाप्लास के अभिन्न प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है:, जहां

सुविधा के लिए, आइए मूल डेटा को एक कॉलम में फिर से लिखें:
- कुल शॉट्स;
- हिट की न्यूनतम संख्या;
- हिट की अधिकतम संख्या;
- प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को भेदने की संभावना;
- प्रत्येक शॉट के चूकने की संभावना।

इसलिए, लाप्लास का प्रमेय एक अच्छा सन्निकटन देगा।

आइए तर्कों के मूल्यों की गणना करें:

मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि काम को पूरी तरह से उसकी जड़ों से निकालना जरूरी नहीं है। (जैसा कि समस्या लेखक संख्याओं को "समायोजित" करना पसंद करते हैं)- बिना किसी संदेह के, जड़ निकालें और परिणाम को गोल करें; मैं 4 दशमलव स्थान छोड़ने का आदी हूँ। लेकिन परिणामी मानों को आमतौर पर 2 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित किया जाता है - यह परंपरा यहीं से आती है फ़ंक्शन मान तालिकाएँ, जहां तर्क बिल्कुल इसी रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।

हम उपरोक्त तालिका का उपयोग करते हैं या टर्वर के लिए डिज़ाइन लेआउट (बिंदु 5).
एक लिखित टिप्पणी के रूप में, मैं आपको निम्नलिखित वाक्यांश डालने की सलाह देता हूं: हम संबंधित तालिका का उपयोग करके फ़ंक्शन मान पाएंगे:

- संभावना है कि 100 शॉट्स के साथ लक्ष्य 65 से 80 बार मारा जाएगा।

फ़ंक्शन की विषम संख्या का लाभ उठाना सुनिश्चित करें!बस मामले में, मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

तथ्य यह है कि फ़ंक्शन मान तालिकाइसमें केवल सकारात्मक "X" है, और हम काम कर रहे हैं (कम से कम "किंवदंती" के अनुसार)एक मेज के साथ!

उत्तर:

परिणाम को प्रायः 4 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित किया जाता है (फिर से तालिका प्रारूप के अनुसार).

इसे स्वयं हल करने के लिए:

समस्या 4

इमारत में 2500 लैंप हैं, उनमें से प्रत्येक के शाम को जलने की प्रायिकता 0.5 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शाम को कम से कम 1250 और अधिक से अधिक 1275 लैंप जलाए जाएंगे।

पाठ के अंत में अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचाराधीन कार्य अक्सर "अवैयक्तिक" रूप में होते हैं, उदाहरण के लिए:

कुछ प्रयोग किए गए हैं जिसमें 0.5 की संभावना के साथ एक यादृच्छिक घटना घटित हो सकती है। प्रयोग को अपरिवर्तित परिस्थितियों में 2500 बार दोहराया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 2500 प्रयोगों में घटना 1250 से 1275 बार घटित होगी

और इसी तरह के फॉर्मूलेशन छत के माध्यम से हैं। कार्यों की घिसी-पिटी प्रकृति के कारण, वे अक्सर स्थिति पर पर्दा डालने की कोशिश करते हैं - यह किसी तरह विविधता लाने और समाधान को जटिल बनाने का "एकमात्र मौका" है:

समस्या 5

संस्थान में 1000 छात्र पढ़ते हैं। भोजन कक्ष में 105 सीटें हैं। प्रत्येक छात्र बड़े ब्रेक के दौरान प्रायिकता 0.1 के साथ कैफेटेरिया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक सामान्य स्कूल के दिन:

क) भोजन कक्ष दो-तिहाई से अधिक भरा नहीं होगा;
ख) सभी के लिए पर्याप्त सीटें नहीं हैं।

मैं आपका ध्यान "नियमित स्कूल दिवस पर" महत्वपूर्ण खंड की ओर आकर्षित करना चाहता हूं - यह सुनिश्चित करता है कि स्थिति अपेक्षाकृत अपरिवर्तित बनी रहे। छुट्टियों के बाद, काफी कम छात्र संस्थान में आ सकते हैं, और "ओपन डोर्स डे" पर एक भूखा प्रतिनिधिमंडल आ सकता है =) यानी, "असामान्य" दिन पर संभावनाएँ काफ़ी भिन्न होंगी।

समाधान: हम लाप्लास के अभिन्न प्रमेय का उपयोग करते हैं, जहां

इस कार्य में:
- संस्थान में कुल छात्र;
- संभावना है कि एक छात्र लंबे ब्रेक के दौरान कैफेटेरिया जाएगा;
– विपरीत घटना की संभावना.

क) आइए गणना करें कि कितनी सीटें कुल संख्या का दो-तिहाई हिस्सा बनाती हैं: सीटें

आइए इसकी प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सामान्य स्कूल के दिन कैफेटेरिया दो-तिहाई से अधिक भरा नहीं होगा। इसका मतलब क्या है? इसका मतलब है कि बड़े ब्रेक के दौरान 0 से 70 लोग आएंगे। यह तथ्य कि कोई नहीं आता या केवल कुछ छात्र ही आते हैं - घटनाएँ हैं व्यावहारिक रूप से असंभवहालाँकि, लाप्लास के अभिन्न प्रमेय को लागू करने के उद्देश्य से, इन संभावनाओं को अभी भी ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार:

आइए संबंधित तर्कों की गणना करें:

नतीजतन:

- संभावना है कि सामान्य स्कूल के दिन कैफेटेरिया दो-तिहाई से अधिक भरा नहीं होगा।

अनुस्मारक : जब लाप्लास फ़ंक्शन को बराबर माना जाता है।

हालाँकि यह भीड़ को खुश करने वाला है =)

बी) घटना "हर किसी के लिए पर्याप्त सीटें नहीं हैं"यह है कि बड़े ब्रेक के दौरान 106 से 1000 लोग दोपहर के भोजन के लिए भोजन कक्ष में आएंगे (मुख्य बात यह है कि इसे अच्छी तरह से कॉम्पैक्ट करना =))।यह स्पष्ट है कि उच्च उपस्थिति अविश्वसनीय है, लेकिन फिर भी: .

हम तर्कों की गणना करते हैं:

इस प्रकार, संभावना है कि सभी के लिए पर्याप्त सीटें नहीं होंगी:

उत्तर:

अब आइए एक पर ध्यान केंद्रित करें महत्वपूर्ण बारीकियांविधि: जब हम गणना करते हैं एक एकल खंड, तो सब कुछ "बादल रहित" है - विचार किए गए टेम्पलेट के अनुसार निर्णय लें। हालाँकि, अगर हम विचार करें घटनाओं का पूरा समूहदिखाया जाना चाहिए एक निश्चित सटीकता. मैं अभी चर्चा की गई समस्या के उदाहरण का उपयोग करके इस बिंदु को समझाता हूं। बिंदु "बी" पर हमने संभावना पाई कि सभी के लिए पर्याप्त सीटें नहीं होंगी। आगे, उसी योजना का उपयोग करके, हम गणना करते हैं:
– संभावना है कि पर्याप्त स्थान होंगे।

इन घटनाओं के बाद से विलोम, तो संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए:

क्या बात क्या बात? - यहां सब कुछ तार्किक लगता है। मुद्दा यह है कि लाप्लास फ़ंक्शन है निरंतर, लेकिन हमने ध्यान नहीं दिया मध्यान्तर 105 से 106 तक। यहीं पर 0.0338 टुकड़ा गायब हो गया। इसीलिए उसी मानक सूत्र का उपयोग करनागणना की जानी चाहिए:

ख़ैर, या इससे भी सरल:

सवाल उठता है: क्या होगा अगर हम पहली बार मिलें? फिर समाधान का दूसरा संस्करण होगा:

लेकिन यह कैसे हो सकता है?! - दोनों विधियाँ अलग-अलग उत्तर देती हैं! यह सरल है: लाप्लास का अभिन्न प्रमेय एक विधि है बंद करनागणना, और इसलिए दोनों तरीके स्वीकार्य हैं।

अधिक सटीक गणना के लिए आपको इसका उपयोग करना चाहिए बर्नौली का सूत्रऔर, उदाहरण के लिए, एक्सेल फ़ंक्शन बिनोमिडस्ट. नतीजतन इसका अनुप्रयोगहम पाते हैं:

और मैं उन साइट आगंतुकों में से एक के प्रति अपना आभार व्यक्त करता हूं जिन्होंने इस सूक्ष्मता पर ध्यान आकर्षित किया - यह मेरी दृष्टि के क्षेत्र से बाहर हो गया, क्योंकि घटनाओं के एक पूरे समूह का अध्ययन व्यवहार में शायद ही कभी पाया जाता है। जो लोग रुचि रखते हैं वे स्वयं इससे परिचित हो सकते हैं