परीक्षा से तर्कहीन असमानताओं को हल करना। तर्कहीन असमानताओं को हल करने के लिए कुछ सिफारिशें

टी.डी. इवानोवा

अतार्किक असमानताओं को हल करने की विधियाँ

सीडीओ एवं एनआईटी एसआरपीटीएल

यूडीसी 511 (ओ75.3)

बीबीके 22. 1Y72

टी.डी. इवानोवा द्वारा संकलित

समीक्षक: बैशेवा एम.आई.- शैक्षणिक विज्ञान के उम्मीदवार, विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर

गणित संकाय का गणितीय विश्लेषण

याकुत्स्क के गणित और सूचना विज्ञान संस्थान

स्टेट यूनिवर्सिटी

अतार्किक असमानताओं को हल करने के तरीके: कार्यप्रणाली मैनुअल

एम 34 ग्रेड 9-11/कंप्यूटर के छात्रों के लिए। इवानोवा टी.डी. सुन्तार सुनतार्स्की उलुस से

आरएस (वाई): सीडीओ एनआईटी एसआरपीटीएल, 2007, - 56 पी।

यह मैनुअल माध्यमिक विद्यालयों के हाई स्कूल के छात्रों के साथ-साथ तर्कहीन असमानताओं को हल करने के लिए एक पद्धतिगत मार्गदर्शिका के रूप में विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वाले छात्रों को संबोधित है। मैनुअल अतार्किक असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों की विस्तार से जांच करता है, मापदंडों के साथ अतार्किक असमानताओं को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है, और उन्हें स्वयं हल करने के लिए उदाहरण भी प्रदान करता है। शिक्षक "अतार्किक असमानताएँ" विषय की समीक्षा करते समय स्वतंत्र कार्य के लिए मैनुअल का उपयोग उपदेशात्मक सामग्री के रूप में कर सकते हैं।

मैनुअल छात्रों के साथ "अतार्किक असमानताएं" विषय का अध्ययन करने में शिक्षक के अनुभव को दर्शाता है।

कार्य प्रवेश परीक्षाओं की सामग्री, पद्धति संबंधी समाचार पत्रों और पत्रिकाओं, पाठ्यपुस्तकों से लिए गए हैं, जिनकी एक सूची मैनुअल के अंत में दी गई है

यूडीसी 511 (ओ75.3)

बीबीके 22. 1Y72

 टी.डी. इवानोवा, कॉम्प., 2006।

 सीडीओ एनआईटी एसआरपीटीएल, 2007।

प्रस्तावना 5

परिचय 6

खंड I. सरलतम अपरिमेय असमानताओं को हल करने के उदाहरण 7

धारा II. प्रपत्र की असमानताएँ
>जी(एक्स), जी(एक्स), जी(एक्स) 9

धारा III. स्वरूप की असमानताएँ
;
;

;
13

धारा IV. सम घात 16 की अनेक जड़ों वाली असमानताएँ

खंड V. प्रतिस्थापन विधि (एक नए चर का परिचय) 20

धारा VI. फॉर्म f(x) की असमानताएँ
0; एफ(एक्स)0;

धारा सातवीं. स्वरूप की असमानताएँ
25

धारा आठवीं. मौलिक अभिव्यक्ति परिवर्तनों का उपयोग करना

अपरिमेय असमानताओं में 26

धारा IX. अपरिमेय असमानताओं का आलेखीय समाधान 27

धारा X. मिश्रित प्रकार की असमानताएँ 31

धारा XI. किसी फ़ंक्शन की एकरसता संपत्ति का उपयोग करना 41

धारा XII. फ़ंक्शन प्रतिस्थापन विधि 43

धारा XIII. असमानताओं को सीधे हल करने के उदाहरण

अंतराल विधि 45

धारा XIV. पैरामीटर 46 के साथ अपरिमेय असमानताओं को हल करने के उदाहरण

साहित्य 56

समीक्षा

यह शिक्षण सहायता कक्षा 10-11 के छात्रों के लिए है। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, स्कूली छात्रों और आवेदकों को अतार्किक असमानताओं को हल करने में विशेष कठिनाइयों का अनुभव होता है। यह इस तथ्य के कारण है कि स्कूली गणित में इस खंड पर पर्याप्त रूप से विचार नहीं किया जाता है; ऐसी असमानताओं को हल करने के विभिन्न तरीकों पर अधिक विस्तार से विचार नहीं किया जाता है। इसके अलावा, स्कूल के शिक्षकों को पद्धति संबंधी साहित्य की कमी महसूस होती है, जो विभिन्न दृष्टिकोणों और समाधान विधियों का संकेत देने वाली सीमित मात्रा में समस्या सामग्री में प्रकट होती है।

मैनुअल अतार्किक असमानताओं को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है। इवानोवा टी.डी. प्रत्येक अनुभाग की शुरुआत में, छात्रों को विधि के मुख्य विचार से परिचित कराता है, फिर स्पष्टीकरण के साथ उदाहरण दिखाता है, और स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएं भी पेश करता है।

संकलक छात्रों के ज्ञान की बढ़ती आवश्यकताओं के साथ उच्च शिक्षा संस्थानों में प्रवेश करते समय सामने आने वाली अतार्किक असमानताओं को हल करने के लिए सबसे "प्रभावी" तरीकों का उपयोग करता है।

इस मैनुअल को पढ़कर छात्र जटिल अतार्किक असमानताओं को हल करने में अमूल्य अनुभव और कौशल प्राप्त कर सकते हैं। मेरा मानना ​​है कि यह मैनुअल विशेष कक्षाओं में काम करने वाले गणित शिक्षकों के साथ-साथ वैकल्पिक पाठ्यक्रमों के डेवलपर्स के लिए भी उपयोगी होगा।

शैक्षणिक विज्ञान के उम्मीदवार, गणितीय विश्लेषण विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर, गणित संकाय, गणित और सूचना विज्ञान संस्थान, याकूत राज्य विश्वविद्यालय

बैशेवा एम.आई.

प्रस्तावना

यह मैनुअल माध्यमिक विद्यालयों के हाई स्कूल के छात्रों के साथ-साथ तर्कहीन असमानताओं को हल करने के लिए एक पद्धतिगत मार्गदर्शिका के रूप में विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वाले छात्रों को संबोधित है। मैनुअल तर्कहीन असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों की विस्तार से जांच करता है, तर्कहीन असमानताओं को हल करने के अनुमानित उदाहरण प्रदान करता है, मापदंडों के साथ तर्कहीन असमानताओं को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है, और उन्हें स्वयं हल करने के लिए उदाहरण भी प्रदान करता है; उनमें से कुछ के लिए, संक्षिप्त उत्तर और निर्देश दिया जाता है।

उदाहरणों का विश्लेषण करते समय और असमानताओं को स्वतंत्र रूप से हल करते समय, यह माना जाता है कि छात्र रैखिक, द्विघात और अन्य असमानताओं को हल करना जानता है, और असमानताओं को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों को जानता है, विशेष रूप से, अंतराल की विधि। असमानता को कई तरीकों से हल करने का प्रस्ताव है।

शिक्षक "अतार्किक असमानताएँ" विषय की समीक्षा करते समय स्वतंत्र कार्य के लिए मैनुअल का उपयोग उपदेशात्मक सामग्री के रूप में कर सकते हैं।

मैनुअल छात्रों के साथ "अतार्किक असमानताएं" विषय का अध्ययन करने में शिक्षक के अनुभव को दर्शाता है।

समस्याओं का चयन उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रवेश परीक्षाओं की सामग्री, गणित पर पद्धति संबंधी समाचार पत्रों और पत्रिकाओं "फर्स्ट सितंबर", "स्कूल में गणित", "क्वांटम", पाठ्यपुस्तकों से किया गया था, जिनकी एक सूची मैनुअल के अंत में दी गई है। .

परिचय

अपरिमेय असमानताएँ वे होती हैं जिनमें चर या चर का कोई फलन मूल चिन्ह के नीचे प्रवेश करता है।

अतार्किक असमानताओं को हल करने की मुख्य मानक विधि जड़ से छुटकारा पाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को क्रमिक रूप से एक शक्ति तक बढ़ाना है। लेकिन यह ऑपरेशन अक्सर बाहरी जड़ों की उपस्थिति या जड़ों के नुकसान की ओर ले जाता है, यानी। असमानता की ओर ले जाता है जो मूल असमानता है। इसलिए, हमें परिवर्तनों की तुल्यता की बहुत सावधानीपूर्वक निगरानी करनी चाहिए और चर के केवल उन मूल्यों पर विचार करना चाहिए जिनके लिए असमानता समझ में आती है:

यदि मूल एक सम डिग्री है, तो मूल अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक होनी चाहिए और मूल का मान भी एक गैर-नकारात्मक संख्या होनी चाहिए।

यदि घात का मूल एक विषम संख्या है, तो मूलांक अभिव्यक्ति कोई भी वास्तविक संख्या ले सकती है और मूल का चिह्न मूलांक अभिव्यक्ति के चिह्न से मेल खाता है।

असमानता के दोनों पक्षों को एक समान शक्ति तक बढ़ाना तभी संभव है जब पहले यह सुनिश्चित कर लिया जाए कि वे गैर-नकारात्मक हैं;

किसी असमानता के दोनों पक्षों को एक ही विषम शक्ति तक उठाना हमेशा एक समतुल्य परिवर्तन होता है।

अध्यायमैं. सरल अतार्किक असमानताओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1- 6:

समाधान:

1. ए)
.

बी)
.

2. ए)

बी)

3. ए)
.

बी)
.

4. ए)

बी)

5. ए)
.

बी)

6. ए)
.

बी)
.

7.

8. ए)
.

बी)

9. ए)
.

बी)

11.

12. x का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जो असमानता को संतुष्ट करता हो

13. क) असमानता के समाधान अंतराल का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए

बी) x के सभी पूर्णांक मानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें जिसके लिए असमानता का समाधान 4 है

14. असमानता का सबसे छोटा नकारात्मक समाधान खोजें

15. ए)
;

बी)

खंड II. फॉर्म की असमानताएँ >g(x), g(x),जी(एक्स)

उसी प्रकार जैसे उदाहरण 1-4 को हल करते समय, हम संकेतित प्रकार की असमानताओं को हल करते समय तर्क करते हैं।

उदाहरण 7 : असमानता का समाधान करें
> एक्स + 1

समाधान: डीजेड असमानता: एक्स-3. दाईं ओर के लिए दो संभावित मामले हैं:

ए) एक्स+ 10 (दाईं ओर गैर-नकारात्मक है) या बी) एक्स + 1

विचार करें क) यदि एक्स+10, यानी एक्स- 1, तो असमानता के दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हैं। हम दोनों पक्षों को वर्गाकार करते हैं: एक्स + 3 >एक्स+ 2एक्स+ 1. हमें द्विघात असमानता प्राप्त होती है एक्स+ एक्स – 2 एक्स x - 1, हमें -1 मिलता है

विचार करें बी) यदि एक्स+1 x x -3

केस ए) -1 और बी के समाधानों का संयोजन एक्स-3, आइए उत्तर लिखें: एक्स
.

उदाहरण 7 को हल करते समय सभी तर्कों को इस प्रकार लिखना सुविधाजनक है:

मूल असमानता असमानताओं की प्रणालियों के एक समूह के बराबर है
.

एक्स

उत्तर: .

प्रपत्र की असमानताओं को हल करने के लिए तर्क

1.> जी(एक्स); 2. जी(एक्स); 3. जी(एक्स); 4. जी(एक्स) को संक्षेप में निम्नलिखित चित्र के रूप में लिखा जा सकता है:

मैं। > जी(एक्स)

2. जी(एक्स)

3. जी(एक्स)

4. जी(एक्स)
.

उदाहरण 8 :
एक्स।

समाधान: मूल असमानता व्यवस्था के समतुल्य है

x>0

उत्तर: एक्स
.

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

बी)

बी)
.

बी)

बी)

20. ए)
एक्स

बी)

21. ए)

और किसी मामले में, हम आपको याद दिलाते हैं कि आप हमारी वेबसाइट पर ऐसा कर सकते हैं। अभी ...अचानक तुम्हें पता नहीं चलता।

महत्वपूर्ण लेख!यदि आपको फ़ार्मुलों के स्थान पर गॉब्लेडगूक दिखाई देता है, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 दबाएँ (विंडोज़ पर) या Cmd+R (मैक पर)।

ओडीजेड

क्या आपको याद है ODZ क्या है?

उदाहरण के लिए, एक समीकरण में एक वर्गमूल होता है। और यदि मूल अभिव्यक्ति नकारात्मक है तो वर्गमूल का कोई अर्थ नहीं है। अर्थात्, इस मामले में, डीएल असमानताओं का समाधान है।

प्रत्येक समस्या में जड़ युक्त ODZ को खोजने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण के लिए, इस कार्य को लें:

वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है, अर्थात् मूल अभिव्यक्ति स्वतः ही गैर-नकारात्मक होती है! तो अतिरिक्त लेखन क्यों?

लेकिन कुछ मामलों में यह बहुत उपयोगी हो सकता है। इसके अलावा, कभी-कभी आप केवल ODZ ढूंढकर किसी उदाहरण को हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

लेकिन हमें याद है कि वर्गमूल सदैव ऋणात्मक नहीं होता है। इसलिए यह हमेशा बड़ा रहेगा. इसका मतलब है कि समस्या का समाधान ODZ होगा:

स्वरूप की असमानताएँ।

स्वाभाविक रूप से, असमानता का संकेत सख्त नहीं हो सकता है।

इस असमानता को कैसे हल करें?

आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, यानी मूल अभिव्यक्ति जितनी बड़ी होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा। इसलिए, दो जड़ों में से, बड़ी मूल अभिव्यक्ति वाला अधिक बड़ा होता है।

लेकिन यह अकारण नहीं है कि हमें हाल ही में ODZ के बारे में याद आया। क्या इस असमानता की कोई सीमा है?

वास्तव में, असमानता को समझने के लिए, यह आवश्यक है कि दोनों मूल अभिव्यक्तियाँ गैर-नकारात्मक हों:

लेकिन चूँकि पहली अभिव्यक्ति दूसरी से बड़ी है, इसलिए यह आवश्यक है कि केवल दूसरा गैर-नकारात्मक हो:

यदि असमानता सख्त नहीं होगी तो यह नियम कैसा दिखेगा? इस कदर:

आप खुद सोचिये कि ऐसा क्यों है.

अब असमानता के दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें वर्गित कर सकते हैं:

अब हम टेम्पलेट का उपयोग करके हल करते हैं:

अब आपको संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है, और। आइए विषय को याद करें:

तब सिस्टम बदल जाएगा:

स्वरूप की असमानताएँ।

यहां सब कुछ थोड़ा सरल है: चूंकि जड़ गैर-नकारात्मक है, तो इस असमानता का दाहिना पक्ष गैर-नकारात्मक होना चाहिए:

डिग्री की जड़ें बड़ी हैं

यदि असमानता का मूल वर्गाकार नहीं है तो उसकी डिग्री की समता महत्वपूर्ण है।

I. सम डिग्री की जड़ें।

जड़ें, आदि. डिग्रियाँ एक-दूसरे से बहुत मिलती-जुलती हैं, और उनके साथ समीकरणों को हल करने का सिद्धांत बिल्कुल समान है। तथ्य यह है कि एक सम मूल को हमेशा एक वर्गमूल में घटाया जा सकता है (विषय याद रखें!):

उदाहरण के लिए:

द्वितीय. विषम डिग्री की जड़ें.

विषम शक्तियों (,...) के साथ सब कुछ बहुत आसान है!

सच तो यह है कि किसी भी संख्या से एक विषम मूल निकाला जा सकता है! (फिर, यदि आप यह नहीं जानते, तो विषय याद रखें!)

इसका मतलब क्या है?

अब कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, कोई प्रतिबंध नहीं है - हम बस सब कुछ आवश्यक सीमा तक बढ़ाते हैं और निर्णय लेते हैं:

अतार्किक असमानताएँ. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

अतार्किक असमानताएक असमानता है जिसके मूल में एक चर होता है

1. रूप की असमानताएँ।

2. रूप की असमानताएँ या।

3. स्वरूप की असमानताएँ।

4. रूप की असमानताएँ।

5. रूप की असमानताएँ।

6. सम अंश की जड़ें।

उदाहरण के लिए:

7. विषम डिग्री की जड़ें.

विषम मूल किसी भी संख्या से लिया जा सकता है!

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, कम बजट में कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...

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लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

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लेकिन आप खुद सोचिये...

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इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।

परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

आपको चाहिये होगा समय रहते समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या आपके पास समय नहीं होगा।

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निष्कर्ष के तौर पर...

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इस विषय के कार्यों को अच्छी तरह से हल करने के लिए, आपको पिछले कुछ विषयों से सिद्धांत में पूरी तरह से महारत हासिल करने की आवश्यकता है, विशेष रूप से "तर्कसंगत समीकरण और प्रणाली" और "तर्कसंगत असमानताएं" विषयों से। आइए अब अपरिमेय असमानताओं (अर्थात जड़ों वाली असमानताएं) को हल करने में उपयोग किए जाने वाले मुख्य प्रमेयों में से एक को लिखें। तो यदि दोनों कार्य करते हैं एफ(एक्स) और जी(x) गैर-नकारात्मक हैं, तो असमानता:

निम्नलिखित असमानता के बराबर:

दूसरे शब्दों में, यदि किसी असमानता के बाएँ और दाएँ पर गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं, तो इस असमानता को किसी भी शक्ति तक सुरक्षित रूप से उठाया जा सकता है। ठीक है, यदि आपको संपूर्ण असमानता को एक विषम शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है, तो इस मामले में यह आवश्यक भी नहीं है कि असमानता के बाएँ और दाएँ पक्ष गैर-नकारात्मक हों। इस प्रकार, बिना किसी प्रतिबंध के किसी भी असमानता को एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है. आइए हम एक बार फिर इस बात पर जोर दें कि किसी असमानता को एक समान शक्ति तक बढ़ाने के लिए, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि इस असमानता के दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हों।

यह प्रमेय अतार्किक असमानताओं में बहुत प्रासंगिक हो जाता है, अर्थात्। जड़ों वाली असमानताओं में, जहां अधिकांश उदाहरणों को हल करने के लिए असमानताओं को कुछ हद तक बढ़ाना आवश्यक है। बेशक, अतार्किक असमानताओं में, किसी को बहुत सावधानी से ओडीजेड को ध्यान में रखना चाहिए, जो मुख्य रूप से दो मानक स्थितियों से बनता है:

• सम अंशों के मूलों में गैर-नकारात्मक भाव होने चाहिए;
• भिन्नों के हरों में शून्य नहीं होना चाहिए।

आइए हम भी उसे याद रखें सम मूल का मान सदैव ऋणात्मक नहीं होता है।

उपरोक्त के अनुसार, यदि एक अपरिमेय असमानता में दो से अधिक वर्गमूल हैं, तो असमानता (या किसी अन्य सम शक्ति) का वर्ग करने से पहले, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि असमानता के प्रत्येक पक्ष पर गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं, अर्थात। वर्गमूलों का योग. यदि असमानता के एक तरफ जड़ों में अंतर है, तो ऐसे अंतर के संकेत के बारे में पहले से कुछ भी पता नहीं चल सकता है, जिसका अर्थ है कि असमानता को एक समान शक्ति तक बढ़ाना असंभव है। इस मामले में, आपको उन जड़ों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है जिनके सामने शून्य चिह्न हैं, उन्हें असमानता के विपरीत पक्षों (बाएं से दाएं या इसके विपरीत) में स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, इसलिए जड़ों के सामने ऋण चिह्न प्लस में बदल जाएगा, और केवल असमानता के दोनों पक्षों पर मूलों का योग प्राप्त किया जाएगा। इसके बाद ही पूरी असमानता को दूर किया जा सकता है।

गणित के अन्य विषयों की तरह, अपरिमेय असमानताओं को हल करते समय आप इसका उपयोग कर सकते हैं परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि. मुख्य बात यह नहीं भूलना है कि प्रतिस्थापन शुरू करने के बाद, नई अभिव्यक्ति सरल हो जानी चाहिए और इसमें पुराना चर शामिल नहीं होना चाहिए। इसके अलावा, आपको रिवर्स रिप्लेसमेंट करना नहीं भूलना चाहिए।

आइए हम कई अपेक्षाकृत सरल लेकिन सामान्य प्रकार की अतार्किक असमानताओं पर ध्यान दें। ऐसी असमानताओं का पहला प्रकार है जब सम डिग्री की दो जड़ों की तुलना की जाती है, अर्थात। फॉर्म में असमानता है:

इस असमानता में दोनों तरफ गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं, इसलिए इसे सुरक्षित रूप से 2 की शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है एन, जिसके बाद, ODZ को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

कृपया ध्यान दें कि ODZ केवल मूल अभिव्यक्ति के लिए लिखा गया है जो छोटी है। दूसरी अभिव्यक्ति स्वचालित रूप से शून्य से बड़ी होगी, क्योंकि यह पहली अभिव्यक्ति से बड़ी है, जो बदले में शून्य से भी बड़ी है।

मामले में जब एक सम मूल को कुछ तर्कसंगत अभिव्यक्ति से बड़ा माना जाता है

ऐसी असमानता का समाधान दो प्रणालियों के एक सेट में जाकर किया जाता है:

और अंत में, मामले में जब एक सम डिग्री का मूल कुछ तर्कसंगत अभिव्यक्ति से कम माना जाता है, अर्थात। उस स्थिति में जब फॉर्म में अतार्किक असमानता हो:

ऐसी असमानता का समाधान सिस्टम को पास करके किया जाता है:

ऐसे मामलों में जहां एक विषम डिग्री की दो जड़ों की तुलना की जाती है, या एक विषम डिग्री की जड़ को कुछ तर्कसंगत अभिव्यक्ति से अधिक या कम माना जाता है, आप पूरी असमानता को वांछित विषम डिग्री तक बढ़ा सकते हैं, और इस प्रकार सभी से छुटकारा पा सकते हैं जड़ें। इस मामले में, कोई अतिरिक्त ODZ उत्पन्न नहीं होता है, क्योंकि असमानताओं को बिना किसी प्रतिबंध के एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है, और विषम शक्तियों की जड़ों के नीचे किसी भी संकेत की अभिव्यक्ति हो सकती है।

सामान्यीकृत अंतराल विधि

ऐसे मामले में जब कोई जटिल अपरिमेय समीकरण होता है जो ऊपर वर्णित किसी भी मामले के अंतर्गत नहीं आता है, और जिसे कुछ घात तक बढ़ाकर हल नहीं किया जा सकता है, आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता है सामान्यीकृत अंतराल विधि, जो इस प्रकार है:

• डीएल को परिभाषित करें;
• असमानता को रूपांतरित करें ताकि दाहिनी ओर एक शून्य हो (बाईं ओर, यदि संभव हो तो, एक सामान्य विभाजक को कम करें, गुणनखंड करें, आदि);
• अंश और हर की सभी जड़ों को ढूंढें और उन्हें संख्या अक्ष पर प्लॉट करें, और यदि असमानता सख्त नहीं है, तो अंश की जड़ों पर पेंट करें, लेकिन किसी भी स्थिति में हर की जड़ों को बिंदीदार के रूप में छोड़ दें;
• परिवर्तित असमानता में किसी दिए गए अंतराल से एक संख्या प्रतिस्थापित करके प्रत्येक अंतराल पर संपूर्ण अभिव्यक्ति का चिह्न खोजें। इस मामले में, अक्ष पर बिंदुओं से गुजरते समय किसी भी तरह से संकेतों को वैकल्पिक करना संभव नहीं है। इस अभिव्यक्ति में अंतराल से मान को प्रतिस्थापित करके प्रत्येक अंतराल पर एक अभिव्यक्ति का संकेत निर्धारित करना आवश्यक है, और इसी तरह प्रत्येक अंतराल के लिए। यह अब संभव नहीं है (यह, कुल मिलाकर, सामान्यीकृत अंतराल विधि और सामान्य विधि के बीच का अंतर है);
• ओडीजेड और असमानता को संतुष्ट करने वाले अंतरालों का प्रतिच्छेदन ढूंढें, लेकिन असमानता को संतुष्ट करने वाले व्यक्तिगत बिंदुओं को न खोएं (गैर-सख्त असमानताओं में अंश की जड़ें), और उत्तर से सभी जड़ों को बाहर करना न भूलें सभी असमानताओं में विभाजक।

• पीछे
• आगे

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी कैसे करें?

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी करने के लिए, अन्य बातों के अलावा, तीन सबसे महत्वपूर्ण शर्तों को पूरा करना आवश्यक है:

1. सभी विषयों का अध्ययन करें और इस साइट पर शैक्षिक सामग्री में दिए गए सभी परीक्षण और असाइनमेंट पूरे करें। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ भी नहीं चाहिए, अर्थात्: भौतिकी और गणित में सीटी की तैयारी, सिद्धांत का अध्ययन करने और समस्याओं को हल करने के लिए हर दिन तीन से चार घंटे समर्पित करें। तथ्य यह है कि सीटी एक ऐसी परीक्षा है जहां केवल भौतिकी या गणित जानना ही पर्याप्त नहीं है, आपको विभिन्न विषयों और अलग-अलग जटिलता पर बड़ी संख्या में समस्याओं को जल्दी और बिना असफलता के हल करने में सक्षम होना चाहिए। उत्तरार्द्ध को हजारों समस्याओं को हल करके ही सीखा जा सकता है।
2. भौतिकी में सभी सूत्र और नियम, और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, यह करना भी बहुत आसान है; भौतिकी में केवल लगभग 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में तो इससे भी कम। इनमें से प्रत्येक विषय में जटिलता के बुनियादी स्तर की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, अधिकांश सीटी को सही समय पर पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना किसी कठिनाई के हल किया जा सकता है। इसके बाद आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में ही सोचना होगा।
3. भौतिकी और गणित में रिहर्सल परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों पर निर्णय लेने के लिए प्रत्येक आरटी पर दो बार जाया जा सकता है। फिर से, सीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, आपको समय की उचित योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण बात, उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में भी सक्षम होना चाहिए, बिना उत्तरों और समस्याओं की संख्या, या अपने स्वयं के अंतिम नाम को भ्रमित करना। इसके अलावा, आरटी के दौरान, समस्याओं में प्रश्न पूछने की शैली की आदत डालना महत्वपूर्ण है, जो डीटी में एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी में उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो कि आपकी क्षमता की अधिकतम सीमा है।

कोई गलती मिली?

यदि आपको लगता है कि आपको प्रशिक्षण सामग्री में कोई त्रुटि मिली है, तो कृपया इसके बारे में ईमेल द्वारा लिखें। आप सोशल नेटवर्क () पर भी त्रुटि की रिपोर्ट कर सकते हैं। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, समस्या की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में वह स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि संदिग्ध त्रुटि क्या है। आपके पत्र पर किसी का ध्यान नहीं जाएगा, त्रुटि को या तो ठीक कर दिया जाएगा, या आपको समझाया जाएगा कि यह त्रुटि क्यों नहीं है।

इस पाठ में हम अतार्किक असमानताओं को हल करने पर ध्यान देंगे और विभिन्न उदाहरण देंगे।

विषय: समीकरण एवं असमानताएँ। समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली

पाठ:अतार्किक असमानताएँ

अतार्किक असमानताओं को हल करते समय, असमानता के दोनों पक्षों को कुछ हद तक ऊपर उठाना अक्सर आवश्यक होता है; यह एक काफी जिम्मेदार ऑपरेशन है। आइए सुविधाओं को याद करें।

असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग किया जा सकता है यदि वे दोनों गैर-नकारात्मक हों, केवल तभी हम वास्तविक असमानता से वास्तविक असमानता प्राप्त कर सकते हैं।

किसी भी स्थिति में असमानता के दोनों पक्षों को घन किया जा सकता है; यदि मूल असमानता सत्य थी, तो घन करने पर हमें सही असमानता प्राप्त होती है।

प्रपत्र की असमानता पर विचार करें:

मूल अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक होनी चाहिए। फ़ंक्शन कोई भी मान ले सकता है; दो मामलों पर विचार करने की आवश्यकता है।

पहले मामले में, असमानता के दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हैं, हमें इसे वर्गित करने का अधिकार है। दूसरे मामले में, दाहिना पक्ष नकारात्मक है, और हमें इसे वर्गित करने का कोई अधिकार नहीं है। इस मामले में, असमानता के अर्थ को देखना आवश्यक है: यहां सकारात्मक अभिव्यक्ति (वर्गमूल) नकारात्मक अभिव्यक्ति से अधिक है, जिसका अर्थ है कि असमानता हमेशा संतुष्ट होती है।

तो, हमारे पास निम्नलिखित समाधान योजना है:

पहली प्रणाली में, हम कट्टरपंथी अभिव्यक्ति की अलग से रक्षा नहीं करते हैं, क्योंकि जब प्रणाली की दूसरी असमानता संतुष्ट होती है, तो कट्टरपंथी अभिव्यक्ति स्वचालित रूप से सकारात्मक होनी चाहिए।

उदाहरण 1 - असमानता का समाधान करें:

आरेख के अनुसार, हम असमानताओं की दो प्रणालियों के समतुल्य सेट की ओर बढ़ते हैं:

आइए स्पष्ट करें:

चावल। 1 - उदाहरण 1 के समाधान का चित्रण

जैसा कि हम देखते हैं, जब हम अतार्किकता से छुटकारा पाते हैं, उदाहरण के लिए, वर्ग करते समय, हमें प्रणालियों का एक सेट मिलता है। कभी-कभी इस जटिल डिज़ाइन को सरल बनाया जा सकता है। परिणामी सेट में, हमें पहली प्रणाली को सरल बनाने और समकक्ष सेट प्राप्त करने का अधिकार है:

एक स्वतंत्र अभ्यास के रूप में, इन सेटों की समानता साबित करना आवश्यक है।

प्रपत्र की असमानता पर विचार करें:

पिछली असमानता के समान, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

पहले मामले में, असमानता के दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हैं, हमें इसे वर्गित करने का अधिकार है। दूसरे मामले में, दाहिना पक्ष नकारात्मक है, और हमें इसे वर्गित करने का कोई अधिकार नहीं है। इस मामले में, असमानता के अर्थ को देखना आवश्यक है: यहां सकारात्मक अभिव्यक्ति (वर्गमूल) नकारात्मक अभिव्यक्ति से कम है, जिसका अर्थ है कि असमानता विरोधाभासी है। दूसरी व्यवस्था पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

हमारे पास एक समतुल्य प्रणाली है:

कभी-कभी अतार्किक असमानताओं को रेखांकन द्वारा हल किया जा सकता है। यह विधि तब लागू होती है जब संबंधित ग्राफ़ काफी आसानी से बनाए जा सकते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पाए जा सकते हैं।

उदाहरण 2 - असमानताओं को ग्राफिक रूप से हल करें:

ए)

बी)

हम पहली असमानता को पहले ही हल कर चुके हैं और उत्तर जानते हैं।

असमानताओं को ग्राफ़िक रूप से हल करने के लिए, आपको बाईं ओर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ और दाईं ओर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाना होगा।

चावल। 2. कार्यों के ग्राफ़ और

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, परवलय को एक परवलय में बदलना (इसे y-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंबित करना) आवश्यक है, और परिणामी वक्र को 7 इकाइयों को दाईं ओर स्थानांतरित करना आवश्यक है। ग्राफ़ पुष्टि करता है कि यह फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरस रूप से घटता है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है और इसे बनाना आसान है। y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु (0;-1) है।

पहला कार्य एकरस रूप से घटता है, दूसरा एकरस रूप से बढ़ता है। यदि समीकरण का एक मूल है, तो वह एकमात्र है; ग्राफ़ से इसका अनुमान लगाना आसान है: .

जब तर्क का मान मूल से कम होता है, तो परवलय सीधी रेखा के ऊपर होता है। जब तर्क का मान तीन और सात के बीच होता है, तो सीधी रेखा परवलय के ऊपर से गुजरती है।

हमारे पास उत्तर है:

अपरिमेय असमानताओं को हल करने की एक प्रभावी विधि अंतराल विधि है।

उदाहरण 3 - अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करें:

ए)

बी)

अंतराल विधि के अनुसार अस्थायी रूप से असमानता से दूर जाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, दी गई असमानता में सभी चीज़ों को बाईं ओर ले जाएं (दाईं ओर शून्य प्राप्त करें) और बाईं ओर के बराबर एक फ़ंक्शन पेश करें:

अब हमें परिणामी फ़ंक्शन का अध्ययन करने की आवश्यकता है।

ओडीजेड:

हमने पहले ही इस समीकरण को ग्राफ़िक रूप से हल कर लिया है, इसलिए हम मूल को निर्धारित करने पर ध्यान केंद्रित नहीं करते हैं।

अब अचर चिह्न के अंतरालों का चयन करना और प्रत्येक अंतराल पर फलन का चिह्न निर्धारित करना आवश्यक है:

चावल। 3. उदाहरण के लिए चिह्न की स्थिरता का अंतराल 3

आइए याद रखें कि अंतराल पर संकेतों को निर्धारित करने के लिए, एक परीक्षण बिंदु लेना और इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है; फ़ंक्शन पूरे अंतराल में परिणामी संकेत को बनाए रखेगा।

आइए सीमा बिंदु पर मान की जाँच करें:

उत्तर स्पष्ट है:

निम्नलिखित प्रकार की असमानताओं पर विचार करें:

सबसे पहले, आइए ODZ लिखें:

जड़ें मौजूद हैं, वे गैर-नकारात्मक हैं, हम दोनों पक्षों को वर्गाकार कर सकते हैं। हम पाते हैं:

हमें एक समतुल्य प्रणाली मिली:

परिणामी प्रणाली को सरल बनाया जा सकता है। जब दूसरी और तीसरी असमानताएँ संतुष्ट हो जाती हैं, तो पहली असमानताएँ स्वतः ही सत्य हो जाती हैं। हमारे पास है::

उदाहरण 4 - असमानता को हल करें:

हम योजना के अनुसार कार्य करते हैं - हमें एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है।