6 भागों से एक चीनी क्यूब कैसे इकट्ठा करें। सलाखों से बनी लकड़ी की पहेली गांठें

की तारीख: 2013-11-07

दुनिया को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि इसमें चीजें लोगों की तुलना में अधिक समय तक जीवित रह सकती हैं, अलग-अलग समय पर और अलग-अलग देशों में उनके अलग-अलग नाम हो सकते हैं, हम द सिम्पसंस गेम भी खेल सकते हैं। चित्र में आप जो खिलौना देख रहे हैं उसे हमारे देश में "एडमिरल मकारोव पहेली" के नाम से जाना जाता है। अन्य देशों में इसके अन्य नाम भी हैं, जिनमें से सबसे आम हैं "डेविल्स क्रॉस" और "डेविल्स नॉट"।

यह गांठ 6 वर्गाकार पट्टियों से जुड़ी होती है। सलाखों में खांचे होते हैं, जिसकी बदौलत गाँठ के केंद्र में सलाखों को पार करना संभव होता है। सलाखों में से एक में खांचे नहीं होते हैं; इसे असेंबली में सबसे बाद में डाला जाता है, और जब अलग किया जाता है, तो इसे पहले हटा दिया जाता है।

इस पहेली का लेखक अज्ञात है. यह कई सदियों पहले चीन में दिखाई दिया था। मानवविज्ञान और नृवंशविज्ञान के लेनिनग्राद संग्रहालय में नाम दिया गया है। पीटर द ग्रेट, जिसे "कुन्स्तकमेरा" के नाम से जाना जाता है, भारत का एक प्राचीन चंदन का बक्सा है, जिसके 8 कोनों में फ्रेम बार के चौराहे 8 पहेलियाँ बनाते हैं। मध्य युग में, नाविक और व्यापारी, योद्धा और राजनयिक ऐसी पहेलियों से अपना मनोरंजन करते थे और साथ ही उन्हें दुनिया भर में ले जाते थे। एडमिरल मकारोव, जो अपनी अंतिम यात्रा और पोर्ट आर्थर में मृत्यु से पहले दो बार चीन गए थे, खिलौने को सेंट पीटर्सबर्ग ले आए, जहां यह धर्मनिरपेक्ष सैलून में फैशनेबल बन गया। पहेली अन्य रास्तों से होते हुए रूस की गहराइयों में भी घुस गई। यह ज्ञात है कि रूसी-तुर्की युद्ध से लौट रहे एक सैनिक द्वारा शैतान का बंडल ब्रांस्क क्षेत्र के ओलसुफ़ेवो गांव में लाया गया था।

आजकल आप किसी स्टोर में पहेली खरीद सकते हैं, लेकिन इसे स्वयं बनाना अधिक सुखद है। घरेलू संरचना के लिए सलाखों का सबसे उपयुक्त आकार: 6x2x2 सेमी।

तरह-तरह की गांठें

हमारी सदी की शुरुआत से पहले, खिलौने के अस्तित्व के कई सौ वर्षों में, चीन, मंगोलिया और भारत में पहेली के सौ से अधिक वेरिएंट का आविष्कार किया गया था, जो बार में कटआउट के विन्यास में भिन्न थे। लेकिन दो विकल्प सबसे लोकप्रिय बने हुए हैं। चित्र 1 में दिखाए गए प्रश्न को हल करना काफी आसान है; बस इसे बनाएं। यह प्राचीन भारतीय बक्से में उपयोग किया जाने वाला डिज़ाइन है। चित्र 2 की पट्टियों का उपयोग "डेविल्स नॉट" नामक पहेली बनाने के लिए किया जाता है। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, इसे हल करने की कठिनाई के कारण इसे यह नाम मिला।

चावल। 1 "शैतान की गाँठ" पहेली का सबसे सरल संस्करण

यूरोप में, जहां पिछली शताब्दी के अंत से, "डेविल्स नॉट" व्यापक रूप से जाना जाने लगा, उत्साही लोगों ने विभिन्न कटआउट कॉन्फ़िगरेशन के साथ बार का आविष्कार करना और सेट बनाना शुरू कर दिया। सबसे सफल सेटों में से एक आपको 159 पहेलियाँ प्राप्त करने की अनुमति देता है और इसमें 18 प्रकार के 20 बार होते हैं। हालाँकि सभी नोड्स बाह्य रूप से अप्रभेद्य हैं, वे अंदर से पूरी तरह से अलग तरीके से व्यवस्थित हैं।

चावल। 2 "एडमिरल मकारोव की पहेली"

बल्गेरियाई कलाकार, प्रोफेसर पेट्र चुखोव्स्की, विभिन्न संख्या में सलाखों से कई विचित्र और सुंदर लकड़ी की गांठों के लेखक, ने "डेविल्स नॉट" पहेली पर भी काम किया। उन्होंने बार कॉन्फ़िगरेशन का एक सेट विकसित किया और इसके एक साधारण उपसमूह के लिए 6 बार के सभी संभावित संयोजनों का पता लगाया।

इस तरह की खोजों में सबसे अधिक दृढ़ निश्चयी डच गणित के प्रोफेसर वान डी बोअर थे, जिन्होंने अपने हाथों से कई सौ बारों का एक सेट बनाया और तालिकाओं को संकलित किया, जिसमें दिखाया गया कि 2906 प्रकार की गांठों को कैसे इकट्ठा किया जाए।

यह 60 के दशक में था, और 1978 में, अमेरिकी गणितज्ञ बिल कटलर ने एक कंप्यूटर प्रोग्राम लिखा और, विस्तृत खोज का उपयोग करते हुए, यह निर्धारित किया कि 6-टुकड़े वाली पहेली के 119,979 प्रकार थे, जो उभार और अवसाद के संयोजन में एक दूसरे से भिन्न थे। बार, साथ ही प्लेसमेंट बार, बशर्ते कि असेंबली के अंदर कोई खालीपन न हो।

इतने छोटे खिलौने के लिए आश्चर्यजनक रूप से बड़ी संख्या! अतः समस्या के समाधान के लिए एक कंप्यूटर की आवश्यकता थी।

कंप्यूटर पहेलियाँ कैसे सुलझाता है??

निःसंदेह, किसी व्यक्ति की तरह नहीं, लेकिन किसी जादुई तरीके से भी नहीं। कंप्यूटर एक प्रोग्राम के अनुसार पहेलियाँ (और अन्य समस्याएं) हल करता है; प्रोग्राम प्रोग्रामर द्वारा लिखे जाते हैं। वे जैसा चाहें वैसा लिखते हैं, लेकिन इस तरह से कि कंप्यूटर समझ सके। कंप्यूटर लकड़ी के ब्लॉकों में हेरफेर कैसे करता है?

हम मान लेंगे कि हमारे पास 369 बार का एक सेट है, जो प्रोट्रूशियंस की कॉन्फ़िगरेशन में एक दूसरे से भिन्न है (यह सेट पहली बार वान डी बोअर द्वारा निर्धारित किया गया था)। इन पट्टियों का विवरण कंप्यूटर में दर्ज किया जाना चाहिए। किसी ब्लॉक में न्यूनतम कटआउट (या फलाव) एक घन है जिसका किनारा ब्लॉक की मोटाई के 0.5 के बराबर होता है। चलिए इसे इकाई घन कहते हैं। पूरे ब्लॉक में 24 ऐसे घन हैं (चित्र 1)। कंप्यूटर में, प्रत्येक ब्लॉक के लिए, 6x2x2=24 संख्याओं की एक "छोटी" सरणी बनाई जाती है। कटआउट वाला एक ब्लॉक "छोटे" सरणी में 0s और 1s के अनुक्रम द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है: 0 एक कटआउट क्यूब से मेल खाता है, 1 पूरे से मेल खाता है। प्रत्येक "छोटी" सारणी की अपनी संख्या होती है (1 से 369 तक)। उनमें से प्रत्येक को पहेली के अंदर ब्लॉक की स्थिति के अनुरूप 1 से 6 तक की संख्या दी जा सकती है।

चलिए अब पहेली की ओर बढ़ते हैं। आइए कल्पना करें कि यह 8x8x8 मापने वाले घन के अंदर फिट बैठता है। एक कंप्यूटर में, यह क्यूब 8x8x8 = 512 संख्या कोशिकाओं से युक्त एक "बड़े" सरणी से मेल खाता है। एक क्यूब के अंदर एक निश्चित ब्लॉक रखने का अर्थ है "बड़े" सरणी की संबंधित कोशिकाओं को दिए गए ब्लॉक की संख्या के बराबर संख्याओं से भरना।

6 "छोटी" सरणियों और मुख्य सरणियों की तुलना करने पर, कंप्यूटर (यानी, प्रोग्राम) एक साथ 6 बार जोड़ता हुआ प्रतीत होता है। संख्याओं को जोड़ने के परिणामों के आधार पर, यह निर्धारित करता है कि मुख्य सरणी में कितनी और किस प्रकार की "खाली", "भरी हुई" और "अतिप्रवाह" कोशिकाएं बनीं। "खाली" कोशिकाएँ पहेली के अंदर खाली जगह से मेल खाती हैं, "भरी" कोशिकाएँ सलाखों में उभार से मेल खाती हैं, और "भीड़" कोशिकाएँ दो एकल क्यूब्स को एक साथ जोड़ने के प्रयास से मेल खाती हैं, जो निश्चित रूप से निषिद्ध है। ऐसी तुलना कई बार की जाती है, न केवल अलग-अलग बार के साथ, बल्कि उनके घुमावों, "क्रॉस" में उनके द्वारा लिए गए स्थान आदि को भी ध्यान में रखते हुए।

परिणामस्वरूप, उन विकल्पों का चयन किया जाता है जिनमें खाली या अधिक भरे हुए सेल नहीं होते हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, 6x6x6 कोशिकाओं की एक "बड़ी" सरणी पर्याप्त होगी। हालाँकि, यह पता चला है कि सलाखों के संयोजन हैं जो पहेली की आंतरिक मात्रा को पूरी तरह से भर देते हैं, लेकिन उन्हें अलग करना असंभव है। इसलिए, प्रोग्राम को असेंबली को डिस्सेम्बली की संभावना के लिए जांचने में सक्षम होना चाहिए। इस उद्देश्य के लिए, कटलर ने 8x8x8 सरणी ली, हालांकि इसके आयाम सभी मामलों का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

यह पहेली के एक विशिष्ट संस्करण के बारे में जानकारी से भरा है। सरणी के अंदर, प्रोग्राम बार को "स्थानांतरित" करने का प्रयास करता है, अर्थात, यह "बड़े" सरणी में 2x2x6 कोशिकाओं के आयाम वाले बार के हिस्सों को स्थानांतरित करता है। पहेली की धुरी के समानांतर, 6 दिशाओं में से प्रत्येक में 1 सेल द्वारा गति होती है। उन 6 प्रयासों के परिणाम जिनमें कोई "अतिभरी" कोशिकाएँ नहीं बनी हैं, उन्हें अगले छह प्रयासों के लिए प्रारंभिक स्थिति के रूप में याद किया जाता है। नतीजतन, सभी संभावित आंदोलनों का एक पेड़ तब तक बनाया जाता है जब तक कि एक ब्लॉक पूरी तरह से मुख्य सरणी को नहीं छोड़ देता है या, सभी प्रयासों के बाद, "ओवरफिल्ड" कोशिकाएं बनी रहती हैं, जो एक ऐसे विकल्प से मेल खाती है जिसे अलग नहीं किया जा सकता है।

इस प्रकार कंप्यूटर पर "डेविल्स नॉट" के 119,979 वेरिएंट प्राप्त किए गए, जिनमें 108 नहीं, जैसा कि पूर्वजों का मानना ​​था, लेकिन 6402 वेरिएंट शामिल थे, जिनमें 1 पूरा ब्लॉक बिना कट के था।

सुपरनोड

आइए ध्यान दें कि कटलर ने सामान्य समस्या का अध्ययन करने से इनकार कर दिया - जब नोड में आंतरिक रिक्तियां भी होती हैं। इस मामले में, 6 बार से नोड्स की संख्या बहुत बढ़ जाती है और व्यवहार्य समाधान खोजने के लिए आवश्यक विस्तृत खोज आधुनिक कंप्यूटर के लिए भी अवास्तविक हो जाती है। लेकिन जैसा कि हम अब देखेंगे, सबसे दिलचस्प और कठिन पहेलियाँ सामान्य मामले में सटीक रूप से समाहित होती हैं - पहेली को सुलझाना तब तुच्छ से दूर किया जा सकता है।

रिक्तियों की उपस्थिति के कारण, एक को पूरी तरह से अलग करने से पहले कई छड़ों को क्रमिक रूप से स्थानांतरित करना संभव हो जाता है। एक गतिमान ब्लॉक कुछ सलाखों को खोलता है, अगले ब्लॉक की गति की अनुमति देता है, और साथ ही अन्य सलाखों को संलग्न करता है।

अलग करते समय आपको जितनी अधिक जोड़-तोड़ करने की आवश्यकता होगी, पहेली संस्करण उतना ही दिलचस्प और कठिन होगा। सलाखों में खांचे इतनी चतुराई से व्यवस्थित किए गए हैं कि समाधान ढूंढना एक अंधेरी भूलभुलैया में भटकने जैसा है, जिसमें आपको लगातार दीवारों या मृत सिरों का सामना करना पड़ता है। इस प्रकार की गाँठ निस्संदेह एक नए नाम की हकदार है; हम इसे "सुपरनोड" कहेंगे। सुपरनॉट की जटिलता का एक माप व्यक्तिगत सलाखों के आंदोलनों की संख्या है जो पहले तत्व को पहेली से अलग करने से पहले किया जाना चाहिए।

हम नहीं जानते कि पहला सुपरनोड किसने बनाया था। सबसे प्रसिद्ध (और हल करने में सबसे कठिन) दो सुपरनॉट हैं: कठिनाई 5 का "बिल का कांटा", डब्ल्यू कटलर द्वारा आविष्कार किया गया, और कठिनाई 7 का "डबॉइस सुपरनॉट"। अब तक, यह माना जाता था कि कठिनाई की डिग्री 7 को शायद ही पार किया जा सका। हालाँकि, इस लेख के पहले लेखक ने "डबॉइस नॉट" में सुधार करने और जटिलता को 9 तक बढ़ाने में कामयाबी हासिल की, और फिर, कुछ नए विचारों का उपयोग करते हुए, जटिलता 10, 11 और 12 के साथ सुपरनॉट्स प्राप्त किए। लेकिन संख्या 13 दुर्गम बनी हुई है। शायद संख्या 12 सुपरनोड की सबसे बड़ी कठिनाई है?

सुपरनोड समाधान

सुपरनॉट्स जैसी कठिन पहेलियों के चित्र उपलब्ध कराना और उनके रहस्यों को उजागर न करना पहेली विशेषज्ञों के लिए भी बहुत क्रूर होगा। हम सुपरनॉट्स का समाधान एक संक्षिप्त, बीजगणितीय रूप में देंगे।

जुदा करने से पहले, हम पहेली लेते हैं और उसे उन्मुख करते हैं ताकि भाग संख्याएँ चित्र 1 के अनुरूप हों। जुदा करने का क्रम संख्याओं और अक्षरों के संयोजन के रूप में लिखा जाता है। संख्याएं सलाखों की संख्या दर्शाती हैं, अक्षर चित्र 3 और 4 में दिखाए गए समन्वय प्रणाली के अनुसार आंदोलन की दिशा दर्शाते हैं। किसी अक्षर के ऊपर एक रेखा का अर्थ निर्देशांक अक्ष की नकारात्मक दिशा में गति है। एक कदम ब्लॉक को उसकी चौड़ाई का 1/2 भाग स्थानांतरित करना है। जब कोई ब्लॉक एक साथ दो कदम चलता है, तो उसकी गति को कोष्ठक में 2 के घातांक के साथ लिखा जाता है। यदि कई भाग जो आपस में जुड़े हुए हैं, एक साथ चलते हैं, तो उनकी संख्या कोष्ठक में संलग्न होती है, उदाहरण के लिए (1, 3, 6) x . पहेली से ब्लॉक को अलग करने का संकेत एक ऊर्ध्वाधर तीर द्वारा किया जाता है।

आइए अब हम सर्वोत्तम सुपरनोड्स का उदाहरण दें।

डब्ल्यू कटलर की पहेली ("बिल का कांटा")

इसमें भाग 1, 2, 3, 4, 5, 6 शामिल हैं, जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है। इसे हल करने के लिए एक एल्गोरिदम भी वहां दिया गया है। यह दिलचस्प है कि जर्नल साइंटिफिक अमेरिकन (1985, नंबर 10) इस पहेली का एक और संस्करण देता है और रिपोर्ट करता है कि "बिल्स थॉर्न" के पास एक अनूठा समाधान है। विकल्पों के बीच अंतर केवल एक ब्लॉक में है: चित्र 3 में भाग 2 और 2 बी।

चावल। 3 "बिल्स थॉर्न", एक कंप्यूटर का उपयोग करके विकसित किया गया।

इस तथ्य के कारण कि भाग 2 बी में भाग 2 की तुलना में कम कट हैं, चित्र 3 में दर्शाए गए एल्गोरिदम का उपयोग करके इसे "बिल के कांटे" में डालना संभव नहीं है। यह माना जाना बाकी है कि साइंटिफिक अमेरिकन की पहेली किसी अन्य तरीके से इकट्ठी की गई है।

यदि यह मामला है और हम इसे इकट्ठा करते हैं, तो उसके बाद हम भाग 2 बी को भाग 2 से बदल सकते हैं, क्योंकि बाद वाला 2 बी से कम मात्रा लेता है। परिणामस्वरूप, हमें पहेली का दूसरा समाधान मिलेगा। लेकिन "बिल्स थॉर्न" का एक अनूठा समाधान है, और हमारे विरोधाभास से केवल एक ही निष्कर्ष निकाला जा सकता है: दूसरे संस्करण में ड्राइंग में एक त्रुटि थी।

इसी तरह की गलती एक अन्य प्रकाशन (जे. स्लोकम, जे. बोटरमैन्स "पहेलियाँ पुरानी और नई", 1986) में की गई थी, लेकिन एक अलग ब्लॉक में (चित्र 3 में विवरण 6 सी)। यह उन पाठकों के लिए कैसा था जिन्होंने इन पहेलियों को सुलझाने की कोशिश की, और शायद अभी भी कोशिश कर रहे हैं?