यादृच्छिक चर वितरण द्वारा दिया जाता है। असतत यादृच्छिक चर

असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, निरंतर यादृच्छिक चर को इसके वितरण कानून की तालिका के रूप में निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है क्योंकि इसके सभी मानों को एक निश्चित क्रम में सूचीबद्ध करना और लिखना असंभव है। एक सतत यादृच्छिक चर को निर्दिष्ट करने का एक संभावित तरीका वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करना है।

परिभाषा। वितरण फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जो संभावना निर्धारित करता है कि एक यादृच्छिक चर वह मान लेगा जो संख्या अक्ष पर बिंदु x के बाईं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात।

कभी-कभी "वितरण फलन" शब्द के स्थान पर "अभिन्न फलन" शब्द का प्रयोग किया जाता है।

वितरण फ़ंक्शन गुण:

1. वितरण फ़ंक्शन का मान खंड से संबंधित है: 0F(x)1
2. F(x) एक गैर-घटता हुआ फलन है, अर्थात्। एफ(एक्स 2)एफ(एक्स 1), यदि एक्स 2 >एक्स 1

परिणाम 1. संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल (ए, बी) में निहित मान लेगा, इस अंतराल पर वितरण फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है:

पी(एएक्स

उदाहरण 9. एक यादृच्छिक चर X एक वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है:

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X अंतराल (0;2): P(0) से संबंधित मान लेगा

समाधान: चूंकि अंतराल (0;2) पर शर्त के अनुसार, F(x)=x/4+1/4, तो F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. तो पी(0

परिणाम 2. एक सतत यादृच्छिक चर X के एक विशिष्ट मान लेने की प्रायिकता शून्य है।

उपफल 3. यदि यादृच्छिक चर के संभावित मान अंतराल (ए;बी) से संबंधित हैं, तो: 1) एक्सए के लिए एफ(एक्स)=0; 2) F(x)=1 xb पर।
निम्नलिखित सीमा संबंध मान्य हैं:

वितरण फ़ंक्शन का ग्राफ़ सीधी रेखाओं y=0, y=1 (पहली संपत्ति) द्वारा सीमित बैंड में स्थित है। जैसे ही x अंतराल (a;b) में बढ़ता है, जिसमें यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान शामिल होते हैं, ग्राफ़ "ऊपर उठता है"। Xa के लिए, ग्राफ़ के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं; xb पर, ग्राफ़ के निर्देशांक एक के बराबर हैं:

चित्र 1

उदाहरण 10. एक पृथक यादृच्छिक चर X एक वितरण तालिका द्वारा दिया गया है:

एक्स	1	4	8
पी	0.3	0.1	0.6

वितरण फ़ंक्शन ढूंढें और उसका ग्राफ़ बनाएं।
समाधान: वितरण फलन को विश्लेषणात्मक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

चित्र 2

परिभाषा: एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व फ़ंक्शन f(x) है - वितरण फ़ंक्शन F(x) का पहला व्युत्पन्न: f(x)=F"(x)

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि वितरण फलन वितरण घनत्व का प्रतिअवकलन है।

प्रमेय. संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर

(8)

संभाव्यता घनत्व वितरण के गुण:

1. संभाव्यता घनत्व एक गैर-नकारात्मक कार्य है: f(x)0।
2. एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व का -∞ से +∞ तक निश्चित अभिन्न अंग 1 के बराबर है: f(x)dx=1।
3. एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व का -∞ से x तक निश्चित अभिन्न अंग इस चर के वितरण फ़ंक्शन के बराबर है: f(x)dx=F(x)

उदाहरण 11. एक यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X अंतराल (0.5;1) से संबंधित मान लेगा।

समाधान: आवश्यक संभाव्यता:

आइए हम असतत मात्राओं की संख्यात्मक विशेषताओं की परिभाषा को निरंतर मात्राओं तक विस्तारित करें। मान लीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर X को वितरण घनत्व f(x) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है।

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, जिसके संभावित मान खंड से संबंधित हैं, एक निश्चित अभिन्न अंग कहलाते हैं:

M(x)=xf(x)dx (9)

यदि संभावित मान संपूर्ण ऑक्स अक्ष से संबंधित हैं, तो:

M(x)=xf(x)dx (10)

एक सतत यादृच्छिक चर X का मोड M 0 (X) इसका संभावित मान है जिससे वितरण घनत्व का स्थानीय अधिकतम मेल खाता है।

एक सतत यादृच्छिक चर X का माध्य M e (X) इसका संभावित मान है, जो समानता द्वारा निर्धारित होता है:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर का प्रसरण उसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा है। यदि X के संभावित मान खंड से संबंधित हैं, तो:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
या
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

यदि संभावित मान संपूर्ण x-अक्ष से संबंधित हैं, तो।

अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक चर को एक चर कहा जाता है, जो प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक कारणों के आधार पर, पहले से अज्ञात एक मान लेता है। यादृच्छिक चर को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ उनके प्रकार के अनुसार, यादृच्छिक चर हो सकते हैं अलगऔर निरंतर.

असतत यादृच्छिक चर- यह एक यादृच्छिक चर है जिसका मान गणनीय से अधिक नहीं हो सकता है, अर्थात परिमित या गणनीय। गणनीयता से हमारा तात्पर्य यह है कि एक यादृच्छिक चर के मानों को क्रमांकित किया जा सकता है।

उदाहरण 1 . यहां असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण दिए गए हैं:

a) $n$ शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।

बी) सिक्का उछालते समय गिराए गए प्रतीकों की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।

ग) बोर्ड पर आने वाले जहाजों की संख्या (मूल्यों का एक गणनीय सेट)।

घ) पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की संख्या (मूल्यों का गणनीय सेट)।

1. असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम।

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ संभावनाओं $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ के साथ मान $x_1,\dots ,\ x_n$ ले सकता है। इन मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच के पत्राचार को कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम. एक नियम के रूप में, यह पत्राचार एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति मानों को इंगित करती है $x_1,\dots ,\ x_n$, और दूसरी पंक्ति में संभावनाएं शामिल हैं $p_1,\dots ,\ p_n$ के अनुरूप ये मूल्य.

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और x_1 और x_2 और \dots और x_n \\
\hline
p_i और p_1 और p_2 और \dots और p_n \\
\hline
\end(सरणी)$

उदाहरण 2 . मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ एक पासा उछालने पर प्राप्त अंकों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मान ले सकता है: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$। इन सभी मानों की संभावनाएँ $1/6$ के बराबर हैं। फिर यादृच्छिक चर $X$ के संभाव्यता वितरण का नियम:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(सरणी)$

टिप्पणी. चूँकि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण नियम में घटनाएँ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, तो संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, अर्थात $ \sum(p_i)=1$.

2. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।

एक यादृच्छिक चर की अपेक्षाइसका "केंद्रीय" अर्थ निर्धारित करता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना $x_1,\dots ,\ x_n$ मानों और इन मानों के अनुरूप संभावनाओं $p_1,\dots ,\ p_n$ के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है, अर्थात : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. अंग्रेजी भाषा के साहित्य में, एक अन्य संकेतन $E\left(X\right)$ का उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण$M\बाएं(X\दाएं)$:

1. $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों के बीच स्थित है।
2. किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है, अर्थात। $M\left(C\right)=C$.
3. स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के चिह्न से निकाला जा सकता है: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

उदाहरण 3 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\ओवर (6))+4\cdot ((1)\ओवर (6))+5\cdot ((1)\ओवर (6))+6\cdot ((1) )\ओवर (6))=3.5.$$

हम देख सकते हैं कि $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे ($1$) और सबसे बड़े ($6$) मानों के बीच स्थित है।

उदाहरण 4 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3X+5$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ मिलता है cdot 2 +5=$11.

उदाहरण 5 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=4$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $2X-9$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ मिलता है cdot 4 -9=-1$.

3. असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।

समान गणितीय अपेक्षाओं वाले यादृच्छिक चर के संभावित मान उनके औसत मूल्यों के आसपास अलग-अलग तरीके से फैल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो छात्र समूहों में संभाव्यता सिद्धांत में परीक्षा का औसत स्कोर 4 निकला, लेकिन एक समूह में सभी अच्छे छात्र निकले, और दूसरे समूह में केवल सी छात्र और उत्कृष्ट छात्र थे। इसलिए, एक यादृच्छिक चर की एक संख्यात्मक विशेषता की आवश्यकता है जो यादृच्छिक चर के मूल्यों के गणितीय अपेक्षा के आसपास प्रसार को दिखाएगी। यह विशेषता है फैलाव.

असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण$X$ इसके बराबर है:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

अंग्रेजी साहित्य में $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ का प्रयोग किया जाता है। बहुत बार विचरण $D\left(X\right)$ की गणना सूत्र $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) का उपयोग करके की जाती है बाएँ(X \दाएँ)\दाएँ))^2$।

फैलाव गुण$D\left(X\right)$:

1. विचरण हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X\right)\ge 0$.
2. स्थिरांक का प्रसरण शून्य है, अर्थात $D\left(C\right)=0$.
3. स्थिरांक गुणनखंड को विचरण के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है, बशर्ते कि वह वर्गांकित हो, अर्थात। $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के बीच अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

उदाहरण 6 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना करें।

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\ओवर (6))\cdot (\left(6-3.5\दाएं))^2=((35)\ओवर (12))\लगभग 2.92.$$

उदाहरण 7 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $4X+1$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= पाते हैं 16D\ बाएँ(X\दाएँ)=16\cdot 2=32$.

उदाहरण 8 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=3$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3-2X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= पाते हैं 4D\ बाएँ(X\दाएँ)=4\cdot 3=12$.

4. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन।

वितरण श्रृंखला के रूप में एक असतत यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने की विधि एकमात्र नहीं है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है - वितरण फ़ंक्शन।

वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ को एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ कहा जाता है, जो यह संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेगा, अर्थात, $F\ बाएँ(x\दाएँ )=P\बाएँ(X< x\right)$

वितरण फलन के गुण:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. संभावना है कि यादृच्छिक चर $X$ अंतराल $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ से मान लेगा, इसके अंत में वितरण फ़ंक्शन के मानों के बीच अंतर के बराबर है अंतराल: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - न घटने वाला।
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \दाएं)=1\ )$.

उदाहरण 9 . आइए उदाहरण $2$ से असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून के लिए वितरण फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ ढूंढें।

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(सरणी)$

यदि $x\le 1$, तो, जाहिर है, $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X सहित)< 1\right)=0$).

यदि $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

यदि $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

यदि $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

यदि $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

यदि $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

यदि $x > 6$, तो $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

तो $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,पर\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ पर\ 2< x\le 3,\\
1/2,पर\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ पर\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ के लिये\ x > 6.
\end(मैट्रिक्स)\right.$

4. एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व

वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट किया जा सकता है एफ(एक्स) . असाइनमेंट का यह तरीका एकमात्र नहीं है। एक सतत यादृच्छिक चर को किसी अन्य फ़ंक्शन का उपयोग करके भी निर्दिष्ट किया जा सकता है जिसे वितरण घनत्व या संभाव्यता घनत्व (कभी-कभी विभेदक फ़ंक्शन भी कहा जाता है) कहा जाता है।

परिभाषा4.1: एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व एक्सफ़ंक्शन को कॉल करें एफ (एक्स) - वितरण फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न एफ(एक्स) :

एफ ( एक्स ) = एफ "( एक्स ) .

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि वितरण फलन वितरण घनत्व का प्रतिअवकलन है। ध्यान दें कि वितरण घनत्व एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का वर्णन करने के लिए लागू नहीं है।

एक निरंतर यादृच्छिक चर के किसी दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना

वितरण घनत्व को जानकर, आप इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि एक सतत यादृच्छिक चर किसी दिए गए अंतराल से संबंधित मान लेगा।

प्रमेय: संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर X अंतराल से संबंधित मान लेगा (ए, बी), से सीमा में लिए गए वितरण घनत्व के एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर हैएपहलेबी :

सबूत:हम अनुपात का उपयोग करते हैं

पी(ए ≤ एक्सबी) = एफ(बी) – एफ(ए).

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र के अनुसार,

इस प्रकार,

.

क्योंकि पी(ए ≤ एक्स बी)= पी(ए एक्स बी) , तो हम अंततः प्राप्त करते हैं

.

ज्यामितीय रूप से, प्राप्त परिणाम की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित मान लेगा (ए, बी), अक्ष से घिरे एक वक्ररेखीय समलंब के क्षेत्रफल के बराबरबैल, वितरण वक्रएफ(एक्स) और सीधाएक्स = एऔरएक्स = बी.

टिप्पणी:विशेषकर, यदि एफ(एक्स) - फ़ंक्शन सम है और अंतराल के सिरे मूल के सापेक्ष सममित हैं

.

उदाहरण।एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता घनत्व दिया गया है एक्स

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्सअंतराल (0.5, 1) से संबंधित मान लेगा।

समाधान:आवश्यक संभाव्यता

.

ज्ञात वितरण घनत्व से वितरण फ़ंक्शन ढूँढना

वितरण घनत्व को जानना एफ(एक्स) , हम वितरण फलन पा सकते हैं एफ(एक्स) सूत्र के अनुसार

.

वास्तव में, एफ(एक्स) = पी(एक्स एक्स) = पी(-∞ एक्स एक्स) .

इस तरह,

.

इस प्रकार, वितरण घनत्व को जानकर आप वितरण फलन ज्ञात कर सकते हैं। निःसंदेह, किसी ज्ञात वितरण फलन से वितरण घनत्व ज्ञात किया जा सकता है, अर्थात्:

एफ(एक्स) = एफ"(एक्स).

उदाहरण।दिए गए वितरण घनत्व के लिए वितरण फ़ंक्शन खोजें:

समाधान:आइए सूत्र का उपयोग करें

अगर एक्स ≤ ए, वह एफ(एक्स) = 0 , इस तरह, एफ(एक्स) = 0 . अगर ए, फिर एफ(एक्स) = 1/(बी-ए),

इस तरह,

.

अगर एक्स > बी, वह

.

तो, आवश्यक वितरण फ़ंक्शन

टिप्पणी:हमने एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन प्राप्त किया (समान वितरण देखें)।

वितरण घनत्व के गुण

संपत्ति 1:वितरण घनत्व एक गैर-नकारात्मक कार्य है:

एफ ( एक्स ) ≥ 0 .

संपत्ति 2:-∞ से ∞ तक की सीमा में वितरण घनत्व का अनुचित अभिन्न अंग एकता के बराबर है:

.

टिप्पणी:वितरण घनत्व ग्राफ कहलाता है वितरण वक्र.

टिप्पणी:सतत् यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व को वितरण नियम भी कहा जाता है।

उदाहरण।यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का निम्न रूप है:

एक स्थिर पैरामीटर खोजें ए.

समाधान:वितरण घनत्व को शर्त को पूरा करना होगा, इसलिए हमें आवश्यकता होगी कि समानता संतुष्ट हो

.

यहाँ से
. आइए अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग खोजें:

.

आइए अनुचित अभिन्न की गणना करें:

इस प्रकार, आवश्यक पैरामीटर

.

वितरण घनत्व का संभावित अर्थ

होने देना एफ(एक्स) - एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्स. वितरण घनत्व की परिभाषा के अनुसार, एफ(एक्स) = एफ"(एक्स) , या

अंतर एफ(एक्स+∆x) -एफ(एक्स) इसकी संभावना निर्धारित करता है एक्सअंतराल से संबंधित मान लेगा (एक्स, एक्स+∆х). इस प्रकार, संभाव्यता अनुपात की सीमा यह है कि एक सतत यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित मान लेगा (एक्स, एक्स+∆х), इस अंतराल की लंबाई तक (at ∆х→0) बिंदु पर वितरण घनत्व के मान के बराबर है एक्स.

तो समारोह एफ(एक्स) प्रत्येक बिंदु के लिए संभाव्यता वितरण घनत्व निर्धारित करता है एक्स. डिफरेंशियल कैलकुलस से यह ज्ञात होता है कि किसी फ़ंक्शन की वृद्धि लगभग फ़ंक्शन के डिफरेंशियल के बराबर होती है, अर्थात।

क्योंकि एफ"(एक्स) = एफ(एक्स) और डीएक्स = ∆ एक्स, वह एफ(एक्स+∆ एक्स) - एफ(एक्स) ≈ एफ(एक्स)∆ एक्स.

इस समानता का संभाव्य अर्थ है: संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित मान लेगा (एक्स, एक्स+∆ एक्स) बिंदु x पर संभाव्यता घनत्व और अंतराल ∆x की लंबाई के उत्पाद के लगभग बराबर है.

ज्यामितीय रूप से, इस परिणाम की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित मान लेगा (एक्स, एक्स+∆ एक्स) आधार ∆х और ऊंचाई वाले एक आयत के क्षेत्रफल के लगभग बराबर हैएफ(एक्स).

5. असतत यादृच्छिक चर के विशिष्ट वितरण

5.1. बर्नौली वितरण

परिभाषा5.1: यादृच्छिक मूल्य एक्स, दो मान ले रहा है 1 और 0 संभावनाओं के साथ ("सफलता") पीऔर ("विफलता") क्यू, बुलाया बर्नौलीव्स्काया:

, कहाँ क=0,1.

5.2. द्विपद वितरण

इसका उत्पादन होने दीजिए एन स्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में घटना एप्रकट हो भी सकता है और नहीं भी। सभी परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता स्थिर और समान होती है पी(इसलिए घटित न होने की संभावना क्यू = 1 - पी).

यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एइन परीक्षणों में. यादृच्छिक मूल्य एक्समान लेता है 0,1,2,… एनबर्नौली सूत्र द्वारा गणना की गई संभावनाओं के साथ: , कहाँ क = 0,1,2,… एन.

परिभाषा5.2: द्विपदबर्नौली के सूत्र द्वारा निर्धारित संभाव्यता वितरण कहा जाता है।

उदाहरण।लक्ष्य पर तीन गोलियाँ चलाई गईं, और प्रत्येक गोली लगने की संभावना 0.8 है। हम एक यादृच्छिक चर पर विचार करते हैं एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या. इसकी वितरण श्रृंखला ज्ञात कीजिए।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्समान लेता है 0,1,2,3 बर्नौली सूत्र द्वारा गणना की गई संभावनाओं के साथ, जहां एन = 3, पी = 0,8 (हिट की संभावना), क्यू = 1 - 0,8 = = 0,2 (लापता होने की संभावना).

इस प्रकार, वितरण श्रृंखला का निम्नलिखित रूप है:

बड़े मानों के लिए बर्नौली सूत्र का उपयोग करें एनकाफी कठिन है, इसलिए, संबंधित संभावनाओं की गणना करने के लिए, स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग करें, जो आपको लगभग किसी घटना के घटित होने की संभावना का पता लगाने की अनुमति देता है। कएक बार हर एनपरीक्षण यदि परीक्षणों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है।

स्थानीय लाप्लास प्रमेय: यदि संभावना पीकिसी घटना का घटित होना ए
वह घटना ए में दिखाई देगा एनबिल्कुल परीक्षण करता है कसमय, लगभग बराबर (जितना अधिक सटीक, उतना अधिक)। एन) फ़ंक्शन मान
, कहाँ
, .

नोट 1:फ़ंक्शन मान वाली तालिकाएँ
, परिशिष्ट 1 में दिए गए हैं, और
. समारोह मानक सामान्य वितरण का घनत्व है (सामान्य वितरण देखें)।

उदाहरण:घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए बिलकुल आ जायेगा 80 एक बार हर 400 परीक्षण यदि प्रत्येक परीक्षण में इस घटना के घटित होने की संभावना बराबर है 0,2.

समाधान:शर्त से एन = 400, क = 80, पी = 0,2 , क्यू = 0,8 . आइए कार्य डेटा द्वारा निर्धारित मूल्य की गणना करें एक्स:
. परिशिष्ट 1 की तालिका से हम पाते हैं
. तब आवश्यक प्रायिकता होगी:

यदि आपको किसी घटना की प्रायिकता की गणना करने की आवश्यकता है एमें दिखाई देगा एनपरीक्षण भी कम नहीं क 1 एक बार और नहीं क 2 कई बार, आपको लाप्लास के अभिन्न प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है:

लाप्लास का अभिन्न प्रमेय: यदि संभावना पीकिसी घटना का घटित होना एप्रत्येक परीक्षण में शून्य और एक से स्थिर और भिन्न है, तो संभावना है वह घटना ए में दिखाई देगा एनसे परीक्षण क 1 पहले क 2 समय, लगभग एक निश्चित अभिन्न के बराबर

, कहाँ
और
.

दूसरे शब्दों में, किसी घटना की प्रायिकता ए में दिखाई देगा एनसे परीक्षण क 1 पहले क 2 समय, लगभग बराबर

कहाँ
, और .

नोट 2:समारोह
लाप्लास फ़ंक्शन कहा जाता है (सामान्य वितरण देखें)। फ़ंक्शन मान वाली तालिकाएँ , परिशिष्ट 2 में दिए गए हैं, और
.

उदाहरण:इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इनमें से 400 बेतरतीब ढंग से चुने गए हिस्से 70 से 100 हिस्सों में से अप्रयुक्त हो जाएंगे, यदि संभावना है कि हिस्सा गुणवत्ता नियंत्रण निरीक्षण में उत्तीर्ण नहीं हुआ है 0,2.

समाधान:शर्त से एन = 400, पी = 0,2 , क्यू = 0,8, क 1 = 70, क 2 = 100 . आइए एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमा की गणना करें:

;
.

इस प्रकार हमारे पास है:

परिशिष्ट 2 की तालिका से हमें यह पता चलता है
और
. तब आवश्यक प्रायिकता है:

नोट 3:स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में (जब n बड़ा है, p छोटा है), पॉइसन सूत्र का उपयोग किसी घटना के ठीक k बार घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है (पॉइसन वितरण देखें)।

5.3. पॉसों वितरण

परिभाषा5.3: असतत यादृच्छिक चर को कहा जाता है पॉइसन,यदि इसके वितरण कानून का निम्नलिखित रूप है:

, कहाँ
और
(नियत मान)।

पॉइसन यादृच्छिक चर के उदाहरण:

किसी समयावधि में स्वचालित स्टेशन पर कॉलों की संख्या टी.

किसी समयावधि में किसी रेडियोधर्मी पदार्थ के क्षय कणों की संख्या टी.

एक निश्चित अवधि में कार्यशाला में आने वाले टीवी की संख्या टीबड़े शहर में .

किसी बड़े शहर में किसी चौराहे की स्टॉप लाइन पर पहुंचने वाली कारों की संख्या .

नोट 1:इन संभावनाओं की गणना के लिए विशेष तालिकाएँ परिशिष्ट 3 में दी गई हैं।

नोट 2:स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में (कब एनमहान, पीकिसी घटना के सटीक रूप से घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं है)। कपॉइसन के सूत्र का उपयोग करते समय:
, कहाँ
, अर्थात्, घटनाओं के घटित होने की औसत संख्या स्थिर रहती है।

नोट 3:यदि कोई यादृच्छिक चर है जो पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, तो आवश्यक रूप से एक यादृच्छिक चर है जो घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और, इसके विपरीत (घातीय वितरण देखें)।

उदाहरण।प्लांट को बेस पर भेजा गया 5000 अच्छी गुणवत्ता वाले उत्पाद. परिवहन के दौरान उत्पाद के क्षतिग्रस्त होने की संभावना बराबर है 0,0002 . प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वास्तव में तीन अनुपयोगी उत्पाद आधार पर पहुंचेंगे।

समाधान:शर्त से एन = 5000, पी = 0,0002, क = 3. हम ढूंढ लेंगे λ: λ = एन.पी.= 5000·0.0002 = 1.

पॉइसन सूत्र के अनुसार, वांछित संभावना इसके बराबर है:

, यादृच्छिक चर कहाँ है एक्स- अनुपयोगी उत्पादों की संख्या.

5.4. ज्यामितीय वितरण

स्वतंत्र परीक्षण किए जाएं, जिनमें से प्रत्येक में घटना के घटित होने की संभावना है एके बराबर पी(0 पी

क्यू = 1 - पी. घटना सामने आते ही चुनौतियाँ समाप्त हो जाती हैं ए. इस प्रकार, यदि कोई घटना एइसमें दिखाई दिया क-वें परीक्षण, फिर पिछले में क – 1 यह परीक्षणों में दिखाई नहीं दिया.

आइए हम इसे निरूपित करें एक्सअसतत यादृच्छिक चर - घटनाओं की पहली घटना से पहले किए जाने वाले परीक्षणों की संख्या ए. जाहिर है, संभावित मूल्य एक्सप्राकृत संख्याएँ हैं x 1 = 1, x 2 = 2, ...

पहले चलो क-1 परीक्षण घटना एनहीं आया, लेकिन अंदर क-वाँ परीक्षण उपस्थित हुआ। स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार, इस "जटिल घटना" की संभावना, पी (एक्स = क) = क्यू क -1 पी.

परिभाषा5.4: एक असतत यादृच्छिक चर है ज्यामितीय वितरण, यदि इसके वितरण कानून का निम्नलिखित रूप है:

पी ( एक्स = क ) = क्यू क -1 पी , कहाँ
.

नोट 1:विश्वास क = 1,2,… , हमें पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति मिलती है पीऔर हर क्यू (0क्यू. इसी कारण वितरण को ज्यामितीय कहा जाता है।

नोट 2:पंक्ति
अभिसरण होता है और इसका योग एक के बराबर होता है। वास्तव में, श्रृंखला का योग बराबर है
.

उदाहरण।बंदूक को लक्ष्य पर तब तक फायर किया जाता है जब तक कि पहला प्रहार न हो जाए। लक्ष्य भेदने की सम्भावना पी = 0,6 . तीसरे शॉट पर हिट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान:शर्त से पी = 0,6, क्यू = 1 – 0,6 = 0,4, क = 3. आवश्यक संभावना है:

पी (एक्स = 3) = 0,4 2 ·0.6 = 0.096.

5.5. हाइपरज्यामितीय वितरण

आइए निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। पार्टी को बाहर आने दो एनउत्पाद उपलब्ध हैं एममानक (एमएन). बैच से बेतरतीब ढंग से लिया गया एनउत्पाद (प्रत्येक उत्पाद को समान संभावना के साथ निकाला जा सकता है), और चयनित उत्पाद अगले उत्पाद को चुनने से पहले बैच में वापस नहीं किया जाता है (इसलिए, बर्नौली फॉर्मूला यहां लागू नहीं है)।

आइए हम इसे निरूपित करें एक्सयादृच्छिक चर - संख्या एममानक उत्पादों के बीच एनचयनित। फिर संभावित मान एक्स 0, 1, 2,… होगा मिनट; आइए उन्हें लेबल करें और... द्वारास्वतंत्र चर (फ़ॉन्ड्स) के मान बटन का उपयोग करें ( अध्याय ...

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9. सतत यादृच्छिक चर, इसकी संख्यात्मक विशेषताएँ

एक सतत यादृच्छिक चर को दो फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। यादृच्छिक चर X का अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शनसमानता द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन कहा जाता है
.

इंटीग्रल फ़ंक्शन असतत और निरंतर यादृच्छिक चर दोनों को निर्दिष्ट करने का एक सामान्य तरीका प्रदान करता है। सतत यादृच्छिक चर के मामले में. सभी घटनाओं की समान संभावना है, इस अंतराल पर अभिन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर, यानी। उदाहरण के लिए, उदाहरण 26 में निर्दिष्ट असतत यादृच्छिक चर के लिए, हमारे पास है:

इस प्रकार, विचाराधीन फ़ंक्शन के अभिन्न फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऑक्स अक्ष के समानांतर दो किरणों और तीन खंडों का एक संघ है।

उदाहरण 27. निरंतर यादृच्छिक चर X को अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है

.

इंटीग्रल फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और प्रायिकता ज्ञात करें कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर X अंतराल (0.5;1.5) में एक मान लेगा।

समाधान। अंतराल पर
ग्राफ़ सीधी रेखा y = 0 है। 0 से 2 के अंतराल में समीकरण द्वारा दिया गया एक परवलय है
. अंतराल पर
ग्राफ़ सीधी रेखा y = 1 है।

संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप यादृच्छिक चर X अंतराल (0.5;1.5) में एक मान लेगा, सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है।

इस प्रकार, ।

अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन के गुण:

किसी अन्य फ़ंक्शन का उपयोग करके निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करना सुविधाजनक है, अर्थात्, संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन
.

संभावना है कि यादृच्छिक चर X द्वारा ग्रहण किया गया मान अंतराल के भीतर आता है
, समानता से निर्धारित होता है
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ कहा जाता है वितरण वक्र. ज्यामितीय रूप से, एक यादृच्छिक चर
.

संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के गुण:

9.1. सतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ

अपेक्षित मूल्यएक सतत यादृच्छिक चर X का (औसत मान) समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है
.

M(X) द्वारा निरूपित किया जाता है ए. सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा में असतत यादृच्छिक चर के समान गुण होते हैं:

झगड़ाअसतत यादृच्छिक चर X, इसकी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है, अर्थात। . एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण सूत्र द्वारा दिया जाता है
.

फैलाव में निम्नलिखित गुण हैं:

किसी सतत यादृच्छिक चर का विचरण ज्ञात करने के लिए अंतिम गुण का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है।

मानक विचलन की अवधारणा को इसी तरह पेश किया गया है। सतत का मानक विचलनयादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है, अर्थात
.

उदाहरण 28. एक सतत यादृच्छिक चर X को संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है
अंतराल (10;12) में, इस अंतराल के बाहर फ़ंक्शन का मान 0 है। 1 खोजें) पैरामीटर का मान ए, 2) गणितीय अपेक्षा एम(एक्स), विचरण
, मानक विचलन, 3) अभिन्न फलन
और अभिन्न और विभेदक कार्यों के ग्राफ़ बनाएं।

1). पैरामीटर खोजने के लिए एसूत्र का प्रयोग करें
. हम इसे प्राप्त कर लेंगे. इस प्रकार,
.

2). गणितीय अपेक्षा ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है
.

हम सूत्र का उपयोग करके विचरण ज्ञात करेंगे:
, अर्थात। .

आइए सूत्र का उपयोग करके मानक विचलन ज्ञात करें:, जिससे हमें वह मिलता है
.

3). अभिन्न फ़ंक्शन को संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के माध्यम से निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:
. इस तरह,
पर
, = 0 पर
यू = 1 बजे
.

इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 4. और अंजीर. 5.

चित्र.4 चित्र.5.

9.2. एक सतत यादृच्छिक चर का समान संभाव्यता वितरण

एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण के बराबरअंतराल पर यदि इसकी संभाव्यता घनत्व इस अंतराल पर स्थिर है और इस अंतराल के बाहर शून्य के बराबर है, अर्थात। . इस मामले में यह दिखाना आसान है
.

यदि अंतराल
तब अंतराल में समाहित है
.

उदाहरण 29.एक तात्कालिक सिग्नल घटना एक बजे से पांच बजे के बीच होनी चाहिए। सिग्नल प्रतीक्षा समय एक यादृच्छिक चर X है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सिग्नल का पता दोपहर दो से तीन बजे के बीच लगाया जाएगा।

समाधान। यादृच्छिक चर
.

शैक्षणिक एवं अन्य साहित्य में इसे प्रायः साहित्य में निरूपित किया जाता है
.

9.3. सतत यादृच्छिक चर का सामान्य संभाव्यता वितरण

एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण को सामान्य कहा जाता है यदि इसका संभाव्यता वितरण कानून संभाव्यता घनत्व द्वारा निर्धारित किया जाता है
. ऐसी मात्रा के लिए ए- अपेक्षित मूल्य,
- मानक विचलन।

प्रमेय. सामान्य रूप से वितरित निरंतर यादृच्छिक चर के किसी दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना
सूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है
, कहाँ
- लाप्लास समारोह.

इस प्रमेय का एक परिणाम तीन सिग्मा नियम है, अर्थात्। यह लगभग निश्चित है कि एक सामान्य रूप से वितरित, निरंतर यादृच्छिक चर X अंतराल में अपना मान लेता है
. यह नियम सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है
, जो तैयार किए गए प्रमेय का एक विशेष मामला है।

उदाहरण 30.टीवी का परिचालन जीवन एक यादृच्छिक चर एक्स है, जो सामान्य वितरण कानून के अधीन है, 15 साल की वारंटी अवधि और 3 साल के मानक विचलन के साथ। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि टीवी 10 से 20 वर्ष तक चलेगा।

समाधान। समस्या की स्थितियों के अनुसार गणितीय अपेक्षा ए= 15, मानक विचलन.

पता लगाते हैं . इस प्रकार, टीवी के 10 से 20 वर्ष तक चलने की संभावना 0.9 से अधिक है।

9.4. चेबीशेव की असमानता

घटित होना चेबीशेव की लेम्मा. यदि एक यादृच्छिक चर X केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है और गणितीय अपेक्षा रखता है, तो किसी भी सकारात्मक के लिए वी
.

इसे विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के योग के रूप में मानते हुए, हम इसे प्राप्त करते हैं
.

चेबीशेव का प्रमेय. यदि यादृच्छिक चर X का परिमित विचरण है
और गणितीय अपेक्षा एम(एक्स), फिर किसी भी सकारात्मक के लिए असमानता सत्य है
.

यह कहां से इसका अनुसरण करता है
.

उदाहरण 31.भागों का एक बैच तैयार किया गया है. भागों की औसत लंबाई 100 सेमी है, और मानक विचलन 0.4 सेमी है। नीचे प्रायिकता का अनुमान लगाएं कि यादृच्छिक रूप से लिए गए भाग की लंबाई कम से कम 99 सेमी होगी। और 101 सेमी से अधिक नहीं।

समाधान। विचरण. गणितीय अपेक्षा 100 है। इसलिए, प्रश्न में घटना की संभावना का अनुमान नीचे से लगाया जा सकता है
आइए हम चेबीशेव की असमानता को लागू करें, जिसमें
, तब
.

10. गणितीय सांख्यिकी के तत्व

सांख्यिकीय समुच्चयसजातीय वस्तुओं या घटनाओं के एक समूह को नाम दें। संख्या पीइस सेट के तत्वों को संग्रह का आयतन कहा जाता है। देखे गए मूल्य गुण X कहलाता है विकल्प. यदि विकल्पों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया जाए तो हमें प्राप्त होता है असतत भिन्नता श्रृंखला. समूहीकरण के मामले में, अंतराल द्वारा विकल्प निकलता है अंतराल भिन्नता श्रृंखला. अंतर्गत आवृत्ति टीविशिष्ट मान किसी दिए गए प्रकार के साथ जनसंख्या के सदस्यों की संख्या को समझते हैं।

किसी सांख्यिकीय जनसंख्या की आवृत्ति और आयतन के अनुपात को कहा जाता है सापेक्ष आवृत्तिसंकेत:
.

किसी भिन्नता श्रृंखला के विभिन्न प्रकारों और उनकी आवृत्तियों के बीच के संबंध को कहा जाता है नमूने का सांख्यिकीय वितरण. एक सांख्यिकीय वितरण का चित्रमय प्रतिनिधित्व हो सकता है बहुभुजआवृत्ति

उदाहरण 32.प्रथम वर्ष के 25 छात्रों का सर्वेक्षण करके, उनकी उम्र के बारे में निम्नलिखित डेटा प्राप्त किया गया:
. आयु के अनुसार विद्यार्थियों का सांख्यिकीय वितरण संकलित करें, भिन्नता की सीमा ज्ञात करें, एक आवृत्ति बहुभुज का निर्माण करें और सापेक्ष आवृत्तियों के वितरण की एक श्रृंखला संकलित करें।

समाधान। सर्वेक्षण से प्राप्त आंकड़ों का उपयोग करके, हम नमूने का एक सांख्यिकीय वितरण तैयार करेंगे

भिन्नता नमूने की सीमा 23 - 17 = 6 है। एक आवृत्ति बहुभुज बनाने के लिए, निर्देशांक के साथ बिंदु बनाएं
और उन्हें श्रृंखला में जोड़ें।

सापेक्ष आवृत्तियों की वितरण श्रृंखला का रूप है:

10.1.विविधता श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताएँ

मान लें कि नमूना फ़ीचर X की आवृत्ति वितरण की एक श्रृंखला द्वारा दिया गया है:

सभी आवृत्तियों का योग बराबर है पी।

नमूने का अंकगणितीय माध्यमात्रा का नाम बताएं
.

झगड़ाया किसी विशेषता X के मानों के उसके अंकगणितीय माध्य के संबंध में फैलाव के माप को मान कहा जाता है
. मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है, अर्थात .

नमूने के अंकगणितीय माध्य के मानक विचलन का अनुपात, जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, कहा जाता है गुणांक का परिवर्तन:
.

अनुभवजन्य सापेक्ष आवृत्ति वितरण फ़ंक्शनएक फ़ंक्शन को कॉल करें जो प्रत्येक मान के लिए घटना की सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करता है
, अर्थात।
, कहाँ - विकल्पों की संख्या, छोटी एक्स, ए पी- नमूने का आकार।

उदाहरण 33.उदाहरण 32 की शर्तों के तहत, संख्यात्मक विशेषताएँ खोजें
.

समाधान। आइए, सूत्र का उपयोग करके नमूने का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें।

गुण X का विचरण सूत्र द्वारा पाया जाता है: , अर्थात। नमूने का मानक विचलन है
. भिन्नता का गुणांक है
.

10.2. सापेक्ष आवृत्ति द्वारा संभाव्यता अनुमान। विश्वास अंतराल

इसे क्रियान्वित किया जाये पीस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में घटना ए के घटित होने की संभावना स्थिर और बराबर है आर. इस मामले में, संभावना है कि सापेक्ष आवृत्ति प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की घटना की संभावना से निरपेक्ष मूल्य में भिन्न होगी, लाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन के मूल्य के लगभग दोगुने के बराबर से अधिक नहीं है:
.

अंतराल अनुमानऐसे अनुमान को कॉल करें, जो दो संख्याओं द्वारा निर्धारित किया जाता है जो सांख्यिकीय जनसंख्या के अनुमानित पैरामीटर को कवर करने वाले अंतराल के अंत हैं।

विश्वास अंतरालएक अंतराल है, जो एक निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ है सांख्यिकीय जनसंख्या के अनुमानित पैरामीटर को शामिल करता है। उस सूत्र पर विचार करते हुए जिसमें हम अज्ञात मात्रा को प्रतिस्थापित करते हैं आरइसके अनुमानित मूल्य तक नमूना डेटा से प्राप्त, हम प्राप्त करते हैं:
. इस सूत्र का उपयोग सापेक्ष आवृत्ति द्वारा संभाव्यता का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। नंबर
और
क्रमशः निचला और ऊपरी कहा जाता है विश्वास की सीमाएँ, - किसी दिए गए आत्मविश्वास की संभावना के लिए अधिकतम त्रुटि
.

उदाहरण 34. फ़ैक्टरी कार्यशाला प्रकाश बल्ब का उत्पादन करती है। 625 लैंपों की जांच की गई तो 40 खराब पाए गए। 0.95 की आत्मविश्वास संभावना के साथ, वह सीमाएँ खोजें जिनके भीतर फ़ैक्टरी कार्यशाला द्वारा उत्पादित दोषपूर्ण प्रकाश बल्बों का प्रतिशत निहित है।

समाधान। कार्य की शर्तों के अनुसार. हम सूत्र का उपयोग करते हैं
. परिशिष्ट की तालिका 2 का उपयोग करके, हम तर्क का मान पाते हैं, जिसमें लाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन का मान 0.475 के बराबर है। हमें वह मिल गया
. इस प्रकार, । इसलिए, हम 0.95 की संभावना के साथ कह सकते हैं कि कार्यशाला द्वारा उत्पादित दोषों का हिस्सा उच्च है, अर्थात्, यह 6.2% से 6.6% तक भिन्न होता है।

10.3. सांख्यिकी में पैरामीटर अनुमान

मान लीजिए कि अध्ययनाधीन संपूर्ण जनसंख्या (सामान्य जनसंख्या) की मात्रात्मक विशेषता X का वितरण सामान्य है।

यदि मानक विचलन ज्ञात है, तो गणितीय अपेक्षा को कवर करने वाला विश्वास अंतराल ए

, कहाँ पी- नमूने का आकार, - नमूना अंकगणित माध्य, टीलाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन का तर्क है, जिस पर
. इस मामले में संख्या
अनुमान सटीकता कहा जाता है।

यदि मानक विचलन अज्ञात है, तो नमूना डेटा से एक यादृच्छिक चर का निर्माण करना संभव है जिसमें छात्र वितरण हो पी– स्वतंत्रता की 1 डिग्री, जो केवल एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित की जाती है पीऔर अज्ञात पर निर्भर नहीं है एऔर । छोटे नमूनों के लिए भी विद्यार्थी का टी-वितरण
काफी संतोषजनक रेटिंग देता है। फिर गणितीय अपेक्षा को कवर करने वाला आत्मविश्वास अंतराल एइस सुविधा का एक निश्चित आत्मविश्वास के साथ संभाव्यता स्थिति से पाई जाती है

, जहां S सही माध्य वर्ग है, - छात्र का गुणांक, डेटा से पाया गया
परिशिष्ट की तालिका 3 से।

आत्मविश्वास की संभावना के साथ इस विशेषता के मानक विचलन को कवर करने वाला आत्मविश्वास अंतराल सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है: और, कहां
मूल्यों की तालिका में है क्यू के अनुसार ।

10.4. यादृच्छिक चरों के बीच निर्भरता का अध्ययन करने के लिए सांख्यिकीय तरीके

X पर Y की सहसंबंध निर्भरता सशर्त औसत की कार्यात्मक निर्भरता है से एक्स।समीकरण
X पर Y के प्रतिगमन समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है, और
- प्रतिगमन समीकरण X पर Y.

सहसंबंध निर्भरता रैखिक और वक्ररेखीय हो सकती है। रैखिक सहसंबंध निर्भरता के मामले में, सीधी प्रतिगमन रेखा के समीकरण का रूप होता है:
, जहां ढलान है ए X पर प्रतिगमन Y की सीधी रेखा को X पर नमूना प्रतिगमन गुणांक Y कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है
.

छोटे नमूनों के लिए, डेटा को समूहीकृत नहीं किया जाता है, पैरामीटर
सामान्य समीकरणों की प्रणाली से न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके पाए जाते हैं:

, कहाँ पी– परस्पर संबंधित मात्राओं के युग्मों के मूल्यों के अवलोकनों की संख्या।

नमूना रैखिक सहसंबंध गुणांक Y और X के बीच घनिष्ठ संबंध को दर्शाता है। सहसंबंध गुणांक सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है
, और
, अर्थात्:

X पर सीधी प्रतिगमन रेखा Y का नमूना समीकरण इस प्रकार है:

.

विशेषताओं X और Y की बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, समान मान के साथ दो इनपुट के साथ एक सहसंबंध तालिका संकलित की जाती है एक्सदेखा समय, वही अर्थ परदेखा समय, वही जोड़ी
देखा एक बार।

उदाहरण 35.चिह्न X और Y के अवलोकनों की एक तालिका दी गई है।

X पर सीधी समाश्रयण रेखा Y का नमूना समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। अध्ययन की गई विशेषताओं के बीच संबंध को एक्स पर वाई के प्रतिगमन की सीधी रेखा के समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:। समीकरण के गुणांकों की गणना करने के लिए, आइए एक गणना तालिका बनाएं:

अवलोकन नं.

अध्याय 6. सतत यादृच्छिक चर।

§ 1. एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व और वितरण कार्य।

सतत यादृच्छिक चर के मानों का समुच्चय बेशुमार होता है और आमतौर पर कुछ परिमित या अनंत अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है।

संभाव्यता स्थान (W, S, P) में परिभाषित एक यादृच्छिक चर x(w) को कहा जाता है निरंतर(बिल्कुल निरंतर) डब्ल्यू, यदि कोई गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है जैसे कि किसी भी एक्स के लिए वितरण फ़ंक्शन एफएक्स (एक्स) को एक अभिन्न अंग के रूप में दर्शाया जा सकता है

फ़ंक्शन को फ़ंक्शन कहा जाता है संभाव्यता वितरण घनत्व.

परिभाषा से पता चलता है कि वितरण घनत्व फ़ंक्शन के गुण:

1..gif" width=”97″ ऊंचाई=”51″>

3. निरंतरता के बिंदुओं पर, वितरण घनत्व वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है:।

4. वितरण घनत्व एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्धारित करता है, क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना निर्धारित करता है:

5. एक सतत यादृच्छिक चर के एक विशिष्ट मान लेने की प्रायिकता शून्य है: . इसलिए, निम्नलिखित समानताएँ मान्य हैं:

वितरण घनत्व फलन का ग्राफ कहलाता है वितरण वक्र, और वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र एकता के बराबर है। फिर, ज्यामितीय रूप से, बिंदु x0 पर वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का मान वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र है और बिंदु x0 के बाईं ओर स्थित है।

कार्य 1।एक सतत यादृच्छिक चर के घनत्व फ़ंक्शन का रूप है:

स्थिरांक C निर्धारित करें, वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करें और संभाव्यता की गणना करें।

समाधान।स्थिरांक C हमारे पास मौजूद स्थिति से पाया जाता है:

जहां से C=3/8.

वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करने के लिए, ध्यान दें कि अंतराल तर्क x (संख्यात्मक अक्ष) के मानों की सीमा को तीन भागों में विभाजित करता है: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" चौड़ाई = "264 "ऊंचाई = "49">

चूँकि अर्धअक्ष पर घनत्व x शून्य है। दूसरे मामले में

अंततः, अंतिम स्थिति में, जब x>2,

चूँकि अर्धअक्ष पर घनत्व लुप्त हो जाता है। तो, वितरण फलन प्राप्त होता है

संभावना आइए सूत्र का उपयोग करके गणना करें। इस प्रकार,

§ 2. एक सतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ

अपेक्षित मूल्यलगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width='205' ऊंचाई='56 src='> द्वारा निर्धारित किया जाता है,

यदि दाहिनी ओर का अभिन्न अंग पूर्णतया अभिसरण करता है।

फैलाव x की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है , और साथ ही, अलग मामले में, सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" ऊंचाई="49 src="> के अनुसार।

असतत यादृच्छिक चर के लिए अध्याय 5 में दिए गए गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य हैं।

कार्य 2. समस्या 1 से यादृच्छिक चर x के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें .

समाधान।

और उसका अर्थ यह निकलता है

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width=”184” ऊंचाई=”69 src=”>

समान वितरण घनत्व के ग्राफ़ के लिए, चित्र देखें। .

चित्र.6.2. वितरण कार्य और वितरण घनत्व। एकसमान कानून

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन Fx(x) के बराबर है

एफएक्स(एक्स)=

अपेक्षा और भिन्नता; .

घातीय (घातांकीय) वितरण।गैर-नकारात्मक मान लेने वाले एक सतत यादृच्छिक चर x में पैरामीटर l>0 के साथ एक घातीय वितरण होता है यदि यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व वितरण बराबर है

पीएक्स(एक्स)=

चावल। 6.3. घातांकीय नियम का वितरण फलन और वितरण घनत्व।

घातांकीय वितरण के वितरण फलन का रूप होता है

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width=”17” ऊंचाई=”41”>.gif” width=”13” ऊंचाई=”15”> और यदि इसका वितरण घनत्व बराबर है

.

के माध्यम से पैरामीटर पैरामीटर और के साथ एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित सभी यादृच्छिक चर के सेट को दर्शाता है।

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण कार्य है

.

चावल। 6.4. सामान्य कानून का वितरण कार्य और वितरण घनत्व

सामान्य वितरण के पैरामीटर गणितीय अपेक्षा हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width=”64 ऊंचाई=24” ऊंचाई=”24”>

विशेष मामले में जब https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width='44' ऊंचाई='21 src='> सामान्य वितरण कहलाता है मानक, और ऐसे वितरणों के वर्ग को https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" ऊंचाई="49"> द्वारा दर्शाया गया है,

और वितरण समारोह

इस तरह के अभिन्न अंग की गणना विश्लेषणात्मक रूप से नहीं की जा सकती (इसे "चतुर्भुज" में नहीं लिया जाता है), और इसलिए फ़ंक्शन के लिए तालिकाएँ संकलित की गई हैं। यह फ़ंक्शन अध्याय 4 में प्रस्तुत लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है

,

निम्नलिखित संबंध द्वारा . मापदंडों के मनमाने मूल्यों के मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width='21' ऊंचाई='21 src='> एक यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन संबंध का उपयोग करके लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है:

.

इसलिए, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के एक अंतराल में गिरने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

.

एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर x को लॉगसामान्य रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका लघुगणक h=lnx सामान्य नियम का पालन करता है। लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता Mx= और Dx= हैं।

कार्य 3.मान लीजिए कि एक यादृच्छिक मान https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width='81' ऊंचाई='23'> दिया गया है।

समाधान।यहां और https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" ऊंचाई="45">

लाप्लास वितरणफ़ंक्शन fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif' width='23' ऊंचाई='41'> द्वारा दिया गया है और कर्टोसिस gx=3 है।

चित्र.6.5. लाप्लास वितरण घनत्व फ़ंक्शन।

यादृच्छिक चर x को वितरित किया गया है वेइबुल का नियम, यदि इसका वितरण घनत्व फ़ंक्शन https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width='189' ऊंचाई='53'> के बराबर है

वेइबुल वितरण कई तकनीकी उपकरणों के विफलता-मुक्त संचालन समय को नियंत्रित करता है। इस प्रोफ़ाइल की समस्याओं में, एक महत्वपूर्ण विशेषता उम्र टी के अध्ययन किए गए तत्वों की विफलता दर (मृत्यु दर) एल (टी) है, जो संबंध एल (टी) = द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि a=1, तो वेइबुल वितरण एक घातीय वितरण में बदल जाता है, और यदि a=2 - तथाकथित वितरण में रेले।

वेइबुल वितरण की गणितीय अपेक्षा: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width=”219” ऊंचाई=”45 src=”>, जहां Г(а) यूलर है समारोह। ।

व्यावहारिक आँकड़ों की विभिन्न समस्याओं में, तथाकथित "काटे गए" वितरण अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, कर अधिकारी उन व्यक्तियों की आय के वितरण में रुचि रखते हैं जिनकी वार्षिक आय कर कानूनों द्वारा स्थापित एक निश्चित सीमा c0 से अधिक है। ये वितरण लगभग पेरेटो वितरण से मेल खाते हैं। पेरेटो वितरणकार्यों द्वारा दिया गया

एफएक्स(एक्स)=पी(एक्स यादृच्छिक चर

यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif' width='60' ऊंचाई='21 src='>.

कार्य 4.यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का घनत्व ज्ञात कीजिए।

समाधान।समस्या की स्थिति से यह निष्कर्ष निकलता है

अगला, फ़ंक्शन एक अंतराल पर एक नीरस और अवकलनीय फलन है और इसका एक व्युत्क्रम फलन है , जिसका व्युत्पन्न इसलिए के बराबर है,

§ 5. सतत यादृच्छिक चरों का युग्म

मान लीजिए कि दो सतत यादृच्छिक चर x और h दिए गए हैं। फिर जोड़ी (x, h) विमान पर एक "यादृच्छिक" बिंदु को परिभाषित करती है। युग्म (x, h) कहलाता है यादृच्छिक वेक्टरया द्वि-आयामी यादृच्छिक चर।

संयुक्त वितरण समारोहयादृच्छिक चर x और h और फ़ंक्शन को F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif' width='173' ऊंचाई='25'> कहा जाता है। संयुक्त घनत्वयादृच्छिक चर x और h के संभाव्यता वितरण को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जैसे कि .

संयुक्त वितरण घनत्व की इस परिभाषा का अर्थ इस प्रकार है। संभावना है कि एक "यादृच्छिक बिंदु" (एक्स, एच) एक विमान पर एक क्षेत्र में गिर जाएगा, इसकी गणना एक त्रि-आयामी आकृति की मात्रा के रूप में की जाती है - सतह से घिरा एक "वक्ररेखीय" सिलेंडर https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width=”211” ऊंचाई=”39 src=”>

दो यादृच्छिक चरों के संयुक्त वितरण का सबसे सरल उदाहरण द्वि-आयामी है सेट पर समान वितरणए. मान लीजिए कि क्षेत्र के साथ एक घिरा हुआ सेट एम दिया गया है। इसे निम्नलिखित संयुक्त घनत्व द्वारा परिभाषित जोड़ी (एक्स, एच) के वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

कार्य 5.मान लीजिए कि एक द्वि-आयामी यादृच्छिक वेक्टर (x, h) त्रिभुज के अंदर समान रूप से वितरित है। असमानता x>h की संभावना की गणना करें।

समाधान।संकेतित त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है (चित्र संख्या देखें?)। द्वि-आयामी समान वितरण की परिभाषा के आधार पर, यादृच्छिक चर x, h का संयुक्त घनत्व बराबर है

इवेंट सेट से मेल खाता है एक समतल पर, अर्थात् अर्ध-तल पर। फिर संभावना

अर्ध-तल B पर, सेट https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" ऊंचाई="17"> के बाहर संयुक्त घनत्व शून्य है। इस प्रकार, अर्ध-तल B को दो सेटों में विभाजित किया गया है और https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width='17' ऊंचाई='23'> और, और दूसरा इंटीग्रल बराबर है शून्य, चूँकि वहाँ संयुक्त घनत्व शून्य के बराबर है। इसीलिए

यदि एक जोड़ी (x, h) के लिए संयुक्त वितरण घनत्व दिया गया है, तो दोनों घटकों x और h के घनत्व को कहा जाता है निजी घनत्वऔर सूत्रों का उपयोग करके गणना की जाती है:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width=”224” ऊंचाई=”23 src=”>

घनत्व рx(х), рh(у) के साथ लगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए, स्वतंत्रता का अर्थ है कि

कार्य 6.पिछली समस्या की स्थितियों में, निर्धारित करें कि क्या यादृच्छिक वेक्टर x और h के घटक स्वतंत्र हैं?

समाधान. आइए आंशिक घनत्व की गणना करें और। हमारे पास है:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width=”283” ऊंचाई=”61 src=”>

जाहिर है, हमारे मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif' width='64' ऊंचाई='25'> मात्राओं x और h का संयुक्त घनत्व है, और j( x, y) तो दो तर्कों का एक फलन है

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width=”184” ऊंचाई=”152 src=”>

कार्य 7.पिछली समस्या की स्थितियों में, गणना करें।

समाधान।उपरोक्त सूत्र के अनुसार हमारे पास है:

.

त्रिभुज को इस प्रकार निरूपित करना

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width=”479” ऊंचाई=”59”>

§ 5. दो सतत यादृच्छिक चरों के योग का घनत्व

मान लीजिए कि x और h घनत्व के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width='43' ऊंचाई='25'>। यादृच्छिक चर का घनत्व x + h की गणना सूत्र से की जाती है संकल्प

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif' width='39' ऊंचाई='19 src='>. योग के घनत्व की गणना करें.

समाधान।चूँकि x और h को पैरामीटर के साथ घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, उनका घनत्व बराबर होता है

इस तरह,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width=”339 ऊंचाई=51” ऊंचाई=”51”>

यदि एक्स<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">नकारात्मक है, और इसलिए. इसलिए, यदि https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif' width='359 ऊंचाई=101' ऊंचाई='101'>

इस प्रकार हमें उत्तर मिला:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width=”40” ऊंचाई=”41 “> को आम तौर पर पैरामीटर 0 और 1 के साथ वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर X1 और x2 स्वतंत्र हैं और सामान्य हैं क्रमशः पैरामीटर a1 और a2 के साथ वितरण साबित करें कि x1 + x2 का एक सामान्य वितरण है यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn वितरित और स्वतंत्र हैं और उनका वितरण घनत्व कार्य समान है

.

मानों के वितरण फलन और वितरण घनत्व का पता लगाएं:

ए) एच1 = मिनट (एक्स1, एक्स2, ...एक्सएन) ; बी) एच(2) = अधिकतम (x1,x2,...xn)

यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn स्वतंत्र हैं और खंड [а, b] पर समान रूप से वितरित हैं। मात्राओं के वितरण के वितरण फलन और घनत्व फलन खोजें

x(1) = न्यूनतम (x1,x2, ...xn) और x(2)= अधिकतम(x1, x2, ...xn)।

साबित करें कि Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width='176' ऊंचाई='47'>.

यादृच्छिक चर को कॉची के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है: ए) गुणांक ए; बी) वितरण समारोह; ग) अंतराल (-1, 1) में गिरने की संभावना। दिखाएँ कि x की गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है। यादृच्छिक चर पैरामीटर l (l>0) के साथ लाप्लास नियम का पालन करता है: गुणांक a खोजें; वितरण घनत्व ग्राफ़ और वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें; एमएक्स और डीएक्स खोजें; घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

वितरण घनत्व के लिए एक सूत्र लिखें, एमएक्स और डीएक्स खोजें।

कम्प्यूटेशनल कार्य.

एक यादृच्छिक बिंदु A का त्रिज्या R के एक वृत्त में एक समान वितरण होता है। वृत्त के केंद्र से एक बिंदु की दूरी r की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए। दिखाएँ कि मात्रा r2 अंतराल पर समान रूप से वितरित है।

एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:

स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:

स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), , विचरण और संभाव्यता की गणना करें। एक यादृच्छिक चर में एक वितरण फलन होता है

एक यादृच्छिक चर के घनत्व, गणितीय अपेक्षा, विचरण और संभाव्यता की गणना करें जांचें कि फ़ंक्शन =
एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन हो सकता है। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए: Mx और Dx। यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वितरण घनत्व लिखिए। वितरण फलन ज्ञात कीजिए। खंड और खंड पर एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। वितरण घनत्व x के बराबर है

.

स्थिरांक c, वितरण घनत्व h = और संभाव्यता ज्ञात करें

पी (0.25

कंप्यूटर का विफलता-मुक्त संचालन समय पैरामीटर एल = 0.05 (प्रति घंटे विफलता) के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, यानी, इसमें घनत्व फ़ंक्शन होता है

पी(एक्स) = .

एक निश्चित समस्या को हल करने के लिए 15 मिनट तक मशीन के परेशानी मुक्त संचालन की आवश्यकता होती है। यदि किसी समस्या को हल करते समय कोई विफलता होती है, तो समाधान पूरा होने के बाद ही त्रुटि का पता चलता है, और समस्या फिर से हल हो जाती है। खोजें: ए) संभावना है कि समस्या के समाधान के दौरान एक भी विफलता नहीं होगी; बी) औसत समय जिसमें समस्या हल हो जाएगी।

24 सेमी लंबी एक छड़ दो भागों में टूट गई है; हम मान लेंगे कि ब्रेक पॉइंट रॉड की पूरी लंबाई पर समान रूप से वितरित है। अधिकांश छड़ की औसत लंबाई क्या है? 12 सेमी लंबाई का एक टुकड़ा यादृच्छिक रूप से दो भागों में काटा जाता है। कट बिंदु को खंड की पूरी लंबाई में समान रूप से वितरित किया जाता है। खंड के छोटे भाग की औसत लंबाई क्या है? यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए a) h1 = 2x + 1; बी) h2 =-ln(1-x); ग) h3 = .

दिखाएँ कि यदि x का सतत वितरण फलन है

एफ(एक्स) = पी(एक्स

क्रमशः खंडों पर समान वितरण कानूनों के साथ दो स्वतंत्र मात्राओं x और h के योग का घनत्व फलन और वितरण फलन ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर स्वतंत्र होते हैं और घनत्व के साथ एक घातीय वितरण होता है . उनके योग का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए। स्वतंत्र यादृच्छिक चर x और h के योग का वितरण ज्ञात करें, जहाँ x का अंतराल पर एक समान वितरण है, और h का पैरामीटर l के साथ एक घातांकीय वितरण है। पी खोजें , यदि x में है: a) पैरामीटर a और s2 के साथ सामान्य वितरण; बी) पैरामीटर एल के साथ घातीय वितरण; ग) खंड पर समान वितरण [-1;1]। x, h का संयुक्त वितरण वर्ग समान है
के = (एक्स, वाई): |एक्स| +|y|£2). संभाव्यता खोजें . क्या x और h स्वतंत्र हैं? यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी त्रिभुज K= के अंदर समान रूप से वितरित की जाती है। घनत्व x और h की गणना करें। क्या ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं? प्रायिकता ज्ञात कीजिए. यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और खंडों और [-1,1] पर समान रूप से वितरित हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए. एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर (x, h) शीर्षों (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) वाले एक वर्ग में समान रूप से वितरित किया जाता है। बिंदु (1, -1) पर संयुक्त वितरण फलन का मान ज्ञात कीजिए। एक यादृच्छिक वेक्टर (x, h) मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 3 के एक वृत्त के अंदर समान रूप से वितरित किया जाता है। संयुक्त वितरण घनत्व के लिए एक अभिव्यक्ति लिखिए। निर्धारित करें कि क्या ये यादृच्छिक चर निर्भर हैं। संभाव्यता की गणना करें. यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी समान रूप से बिंदुओं (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) पर शीर्षों के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड के अंदर वितरित की जाती है। यादृच्छिक चर की इस जोड़ी और घटकों के घनत्व के लिए संयुक्त वितरण घनत्व ज्ञात करें। क्या x और h आश्रित हैं? एक यादृच्छिक युग्म (x, h) अर्धवृत्त के अंदर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। दो यादृच्छिक चर x और h का संयुक्त घनत्व बराबर है .
घनत्व x, h ज्ञात कीजिए। x और h की निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एक यादृच्छिक जोड़ी (x, h) सेट पर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एम(एक्सएच) खोजें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और पैरामीटर फाइंड के साथ घातीय कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं