किसी दिए गए सदिश पर लंबवत सदिश कैसे खोजें। वैक्टर का डॉट उत्पाद

ओम. ऐसा करने के लिए, हम पहले एक खंड की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 1

खंड एक सीधी रेखा का एक भाग है जो दोनों तरफ बिंदुओं से घिरा होता है।

परिभाषा 2

खंड के सिरों को वे बिंदु कहा जाएगा जो इसे सीमित करते हैं।

एक वेक्टर की परिभाषा पेश करने के लिए, खंड के किसी एक छोर को इसकी शुरुआत कहा जाएगा।

परिभाषा 3

वेक्टर (निर्देशित खंड) को हम ऐसे खंड कहेंगे, जिसके लिए यह दर्शाया गया है कि कौन सा सीमा बिंदु इसकी शुरुआत है और कौन सा इसका अंत है।

संकेतन: \ओवरलाइन(एबी) - वेक्टर एबी, बिंदु ए से शुरू और बिंदु बी पर समाप्त होता है।

अन्यथा, एक छोटे अक्षर में: \overline(a) (चित्र 1)।

परिभाषा 4

शून्य सदिश कोई भी बिंदु है जो समतल से संबंधित है।

पदनाम: \overline(0) .

अब हम सीधे संरेख सदिशों की परिभाषा प्रस्तुत करते हैं।

हम अदिश गुणनफल की परिभाषा भी प्रस्तुत करते हैं, जिसकी हमें नीचे आवश्यकता होगी।

परिभाषा 6

दो दिए गए सदिशों का अदिश गुणनफल एक अदिश (या संख्या) होता है जो दिए गए सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के साथ इन दो सदिशों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

गणितीय रूप से यह इस तरह दिख सकता है:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

डॉट उत्पाद को वैक्टर के निर्देशांक का उपयोग करके निम्नानुसार भी पाया जा सकता है

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

आनुपातिकता के माध्यम से लंबवतता का संकेत

प्रमेय 1

गैर-शून्य सदिशों के एक-दूसरे के लंबवत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर हो।

सबूत।

आवश्यकता: आइए हमें वैक्टर \overline(α) और \overline(β) दिए जाएं, जिनके निर्देशांक क्रमशः (α_1,α_2,α_3) और (β_1,β_2,β_3) हैं, और वे एक दूसरे के लंबवत हैं। फिर हमें निम्नलिखित समानता सिद्ध करने की आवश्यकता है

चूँकि सदिश \overline(α) और \overline(β) लंबवत हैं, उनके बीच का कोण 90^0 है। आइए परिभाषा 6 के सूत्र का उपयोग करके इन सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें।

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

पर्याप्तता: समानता को सत्य होने दें \overline(α)\cdot \overline(β)=0. आइए हम सिद्ध करें कि सदिश \overline(α) और \overline(β) एक दूसरे के लंबवत होंगे।

परिभाषा 6 के अनुसार, समानता सत्य होगी

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

इसलिए, सदिश \overline(α) और \overline(β) एक दूसरे के लंबवत होंगे।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 1

सिद्ध करें कि निर्देशांक (1,-5,2) और (2,1,3/2) वाले सदिश लंबवत हैं।

सबूत।

आइए ऊपर दिए गए सूत्र के माध्यम से इन वैक्टरों के लिए डॉट उत्पाद खोजें

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, ये सदिश लंबवत हैं।

क्रॉस उत्पाद के माध्यम से दो दिए गए वैक्टरों के लिए एक लंबवत वेक्टर ढूँढना

आइए सबसे पहले एक वेक्टर उत्पाद की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 7

दो सदिशों का सदिश गुणनफल ऐसा सदिश कहलाएगा जो दिए गए दोनों सदिशों के लंबवत होगा और इसकी लंबाई इन सदिशों के बीच के कोण की ज्या के साथ इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होगी और यह सदिश दो प्रारंभिक का कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के समान अभिविन्यास है।

पद का नाम: \overline(α)x\overline(β)x.

वेक्टर उत्पाद खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

चूँकि दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद का सदिश इन दोनों सदिशों के लंबवत है, तो यह एक दावा सदिश होगा। अर्थात्, दो सदिशों के लंबवत सदिश को खोजने के लिए, आपको बस उनका क्रॉस उत्पाद ढूंढ़ना होगा।

उदाहरण 2

निर्देशांक \overline(α)=(1,2,3) और \overline(β)=(-1,0,3) वाले सदिशों पर लंबवत सदिश खोजें

इन वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद खोजें।

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) एक्स

सदिशों की लंबवतता की स्थिति

वेक्टर लंबवत होते हैं यदि और केवल तभी जब उनका डॉट उत्पाद शून्य हो।

दो सदिश a(xa;ya) और b(xb;yb) दिए गए हैं। यदि अभिव्यक्ति xaxb + yayb = 0 है तो ये सदिश लंबवत होंगे।

यदि उनका क्रॉस उत्पाद शून्य है तो वेक्टर समानांतर होते हैं

समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण. समतल पर एक सीधी रेखा पर बुनियादी कार्य।

समतल पर कोई भी सीधी रेखा पहले क्रम के समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा दी जा सकती है, और स्थिरांक A, B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं होते हैं, अर्थात। A2 + B2  0. इस प्रथम-क्रम समीकरण को सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कहा जाता है। स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

C = 0) - सीधी रेखा Ox अक्ष के समानांतर है - B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - सीधी रेखा Ox अक्ष के समानांतर है - B = सी = 0, ए  0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है - ए = सी = 0, बी  0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है सीधी रेखा के समीकरण को अलग-अलग रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है कोई भी प्रारंभिक शर्तें।

यदि गुणांक A, B, C में से कम से कम एक ur-th Ax+By+C=0 0 के बराबर है, तो ur-e
बुलाया अधूरा. एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप से उसकी स्थिति का अंदाजा लगाया जा सकता है
लानत है ओह. संभावित मामले:
1 С=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) इस समीकरण को संतुष्ट करता है, इसलिए रेखा
मूल से होकर गुजरता है
2 А=0 L: Ву+С=0 - सामान्य v-p n=(0,B) यहां से OX अक्ष के लंबवत है
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि रेखा x-अक्ष के समानांतर है
3 V = 0 L: Ay + C = 0 0 - सामान्य v-r n = (A, 0) यहाँ से OY अक्ष के लंबवत है
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि रेखा y-अक्ष के समानांतर है
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 ए (0, बी (0, सी (0 एल; - मूल बिंदु से नहीं गुजरता है और प्रतिच्छेद करता है
दोनों अक्ष.

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाले समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण:

समतलों के बीच का कोण.

निर्धारकों की गणना

निर्धारकों की गणना उनके ज्ञात गुणों पर आधारित होती है, जो सभी आदेशों के निर्धारकों पर लागू होती है। ये गुण हैं:

1. यदि आप सारणिक की दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो सारणिक चिह्न बदल देगा।

2. यदि सारणिक के दो स्तंभों (या दो पंक्तियों) के संगत तत्व समान या आनुपातिक हैं, तो सारणिक शून्य के बराबर है।

3. यदि पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली कर दी जाए, तो उनके क्रम को बनाए रखते हुए, निर्धारक का मान नहीं बदलेगा।

4. यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उसे निर्धारक चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

5. यदि किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संबंधित तत्वों को एक पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों में जोड़ा जाता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो निर्धारक का मान नहीं बदलेगा।

मैट्रिक्स और उन पर कार्रवाई

आव्यूह- एक गणितीय वस्तु जो संख्याओं (या रिंग तत्वों) की एक आयताकार तालिका के रूप में लिखी जाती है और इसके और अन्य समान वस्तुओं के बीच बीजीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, आदि) की अनुमति देती है। आमतौर पर मैट्रिक्स को द्वि-आयामी (आयताकार) तालिकाओं द्वारा दर्शाया जाता है। कभी-कभी बहुआयामी मैट्रिक्स या गैर-आयताकार मैट्रिक्स पर विचार किया जाता है।

आमतौर पर, मैट्रिक्स को लैटिन वर्णमाला के एक बड़े अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और इसे गोल कोष्ठक "(...)" द्वारा अलग किया जाता है (वर्ग कोष्ठक "[...]" या दोहरी सीधी रेखाओं "||...|" पर भी जोर दिया जाता है। |”).

मैट्रिक्स (मैट्रिक्स तत्व) बनाने वाली संख्याओं को अक्सर मैट्रिक्स के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन लोअरकेस (उदाहरण के लिए, a11 मैट्रिक्स A का एक तत्व है)।

मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व में 2 सबस्क्रिप्ट (एआईजे) हैं - पहला "आई" उस पंक्ति की संख्या को इंगित करता है जिसमें तत्व स्थित है, और दूसरा "जे" कॉलम की संख्या को इंगित करता है। वे कहते हैं "आयाम मैट्रिक्स", जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स में एम पंक्तियाँ और एन कॉलम हैं। हमेशा एक ही मैट्रिक्स में

मैट्रिक्स संचालन

मान लीजिए aij मैट्रिक्स A के तत्व हैं और bij मैट्रिक्स B के तत्व हैं।

रैखिक संचालन:

मैट्रिक्स A को एक संख्या λ (नोटेशन: λA) से गुणा करने पर एक मैट्रिक्स B का निर्माण होता है, जिसके तत्व मैट्रिक्स A के प्रत्येक तत्व को इस संख्या से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं, अर्थात मैट्रिक्स B का प्रत्येक तत्व बराबर होता है को

आव्यूह A + B का योग एक आव्यूह C को खोजने की प्रक्रिया है, जिसके सभी तत्व आव्यूह A और B के सभी संगत तत्वों के जोड़ीवार योग के बराबर होते हैं, अर्थात, आव्यूह C का प्रत्येक तत्व बराबर होता है

आव्यूहों का घटाव A - B को जोड़ के समान ही परिभाषित किया गया है, यह एक आव्यूह C को खोजने की प्रक्रिया है जिसके अवयव हैं

जोड़ और घटाव की अनुमति केवल समान आकार के आव्यूहों के लिए है।

एक शून्य मैट्रिक्स Θ है जैसे कि इसे दूसरे मैट्रिक्स ए में जोड़ने से ए नहीं बदलता है, यानी।

शून्य मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

अरेखीय संचालन:

मैट्रिक्स गुणन (नोटेशन: एबी, शायद ही कभी गुणन चिह्न के साथ) मैट्रिक्स सी की गणना करने के लिए एक ऑपरेशन है, जिसके तत्व पहले कारक की संबंधित पंक्ति और कॉलम के कॉलम में तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होते हैं। दूसरा.cij = ∑ aikbkj k

पहले गुणक में उतने ही स्तंभ होने चाहिए जितनी दूसरे में पंक्तियाँ हैं। यदि मैट्रिक्स A का आयाम B - है, तो उनके उत्पाद का आयाम AB = C है। मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।

मैट्रिक्स मल्टीप्लीकेशन इज एसोसिएटिव। केवल वर्ग आव्यूहों को ही घात तक बढ़ाया जा सकता है।

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन (प्रतीक: एटी) एक ऑपरेशन है जिसमें मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण के साथ परिलक्षित होता है, अर्थात।

यदि A एक आकार मैट्रिक्स है, तो AT एक आकार मैट्रिक्स है

एक यौगिक फलन का व्युत्पन्न

जटिल फ़ंक्शन का रूप है: F(x) = f(g(x)), यानी। एक फ़ंक्शन का एक फ़ंक्शन है. उदाहरण के लिए, y = syn2x, y = ln(x2+2x), आदि।

यदि बिंदु x पर फ़ंक्शन g (x) का व्युत्पन्न g "(x) है, और बिंदु u \u003d g (x) पर फ़ंक्शन f (u) का व्युत्पन्न f" (u) है, तो का व्युत्पन्न बिंदु x में जटिल फ़ंक्शन f (g (x)) मौजूद है और f"(u)g"(x) के बराबर है।

एक अंतर्निहित कार्य का व्युत्पन्न

कई समस्याओं में, फ़ंक्शन y(x) को अप्रत्यक्ष तरीके से निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए कार्यों के लिए

निर्भरता y(x) को स्पष्ट रूप से प्राप्त करना असंभव है।

एक अंतर्निहित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न y "(x) की गणना के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है:

सबसे पहले, आपको x के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को अलग करने की आवश्यकता है, यह मानते हुए कि y x का एक भिन्न कार्य है और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम का उपयोग करना होगा;

व्युत्पन्न y "(x) के संबंध में परिणामी समीकरण को हल करें।

आइए स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण देखें।

समीकरण द्वारा दिए गए फ़ंक्शन y(x) को अलग करें।

चर x के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को अलग करें:

जो परिणाम की ओर ले जाता है

लापिटल का नियम

एल हॉस्पिटल का नियम. मान लीजिए कि पर्यावरण में f-tion f(x) और g(x) हैं। t-ki x0 pr-nye f' और g' इसी t-ku x0 की संभावना को छोड़कर। मान लीजिए lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 ताकि x®x0 के लिए f(x)/g(x) 0/0 दे। lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) जब यह फ़ंक्शन के अनुपात की सीमा के साथ मेल खाता है lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(किसी फ़ंक्शन की एकरसता के लिए एक मानदंड जिसमें एक अंतराल पर व्युत्पन्न होता है) फ़ंक्शन को मान लें निरंतर चालू

(a,b), और प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न f"(x) है। फिर

1)f (a,b) से बढ़ता है यदि और केवल यदि

2) (ए,बी) पर घटता है यदि और केवल यदि

2. (किसी फ़ंक्शन की सख्त एकरसता के लिए पर्याप्त शर्त जिसमें एक अंतराल पर व्युत्पन्न होता है) फ़ंक्शन को मान लें (a,b) पर निरंतर है, और प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न f"(x) है। फिर

1) यदि तब f सख्ती से (a,b) पर बढ़ रहा है;

2) यदि तब (a,b) पर f सख्ती से घट रहा है।

इसका विपरीत आम तौर पर सत्य नहीं है। एक कड़ाई से मोनोटोनिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो सकता है। हालाँकि, उन बिंदुओं का समूह जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर नहीं है, अंतराल (ए, बी) पर सघन होना चाहिए। अधिक सटीक रूप से, यह घटित होता है।

3. (किसी फ़ंक्शन की सख्त एकरसता के लिए एक मानदंड जिसमें एक अंतराल पर व्युत्पन्न होता है) मान लीजिए और व्युत्पन्न f"(x) को अंतराल पर हर जगह परिभाषित किया गया है। फिर अंतराल (a,b) पर f सख्ती से बढ़ता है यदि और केवल यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

सदिशों का अदिश गुणनफल. सदिशों के बीच का कोण. सदिशों की समांतरता या लंबवतता की स्थिति।

सदिशों का अदिश गुणनफल उनकी लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल होता है:

बिल्कुल उसी तरह जैसे प्लैनिमेट्री में, निम्नलिखित दावे सिद्ध होते हैं:

दो गैर-शून्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि ये सदिश लंबवत हों।

किसी वेक्टर का बिंदु वर्ग, अर्थात उसका और स्वयं का बिंदु गुणनफल, उसकी लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।

दो सदिशों और उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए अदिश गुणनफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

वेक्टर लंबवत होते हैं यदि और केवल तभी जब उनका डॉट उत्पाद शून्य हो। उदाहरण। दो वैक्टर दिए गए हैं और। यदि अभिव्यक्ति x1x2 + y1y2 = 0 है तो ये सदिश लंबवत होंगे। गैर-शून्य सदिशों के बीच का कोण उन रेखाओं के बीच का कोण है जिनके लिए ये सदिश मार्गदर्शक हैं। किसी भी वेक्टर और शून्य वेक्टर के बीच का कोण, परिभाषा के अनुसार, शून्य के बराबर माना जाता है। यदि सदिशों के बीच का कोण 90° है, तो ऐसे सदिशों को लंबवत कहा जाता है। सदिशों के बीच के कोण को इस प्रकार दर्शाया जाएगा:

अनुदेश

यदि मूल वेक्टर को एक आयताकार द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में ड्राइंग में दिखाया गया है और उसी स्थान पर एक लंबवत बनाने की आवश्यकता है, तो एक विमान पर वैक्टर की लंबवतता की परिभाषा से आगे बढ़ें। इसमें कहा गया है कि निर्देशित खंडों की ऐसी जोड़ी के बीच का कोण 90° के बराबर होना चाहिए। ऐसे सदिशों की अनंत संख्या का निर्माण संभव है। इसलिए, समतल पर किसी भी सुविधाजनक स्थान पर मूल वेक्टर पर एक लंब बनाएं, उस पर दिए गए क्रमित बिंदुओं के जोड़े की लंबाई के बराबर एक खंड अलग रखें, और इसके एक सिरे को लंब वेक्टर की शुरुआत के रूप में निर्दिष्ट करें। इसे एक चाँदे और एक रूलर के साथ करें।

यदि मूल वेक्टर द्वि-आयामी निर्देशांक ā = (X₁;Y₁) द्वारा दिया गया है, तो इस तथ्य से आगे बढ़ें कि लंबवत वैक्टर की एक जोड़ी का अदिश उत्पाद शून्य के बराबर होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि आपको वांछित वेक्टर ō = (X₂,Y₂) के लिए ऐसे निर्देशांक चुनने की आवश्यकता है जिस पर समानता (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 कायम रहेगी। यह इस तरह किया जा सकता है: चुनें X₂ निर्देशांक के लिए कोई भी गैर-शून्य मान, और सूत्र Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ का उपयोग करके Y₂ समन्वय की गणना करें। उदाहरण के लिए, वेक्टर ā = (15;5) के लिए एक वेक्टर ō होगा, जिसका भुज एक के बराबर है और कोटि -(15*1)/5 = -3 के बराबर है, यानी। ō = (1;-3).

त्रि-आयामी और किसी भी अन्य ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली के लिए, वैक्टर की लंबवतता के लिए वही आवश्यक और पर्याप्त शर्त सत्य है - उनका अदिश उत्पाद शून्य के बराबर होना चाहिए। इसलिए, यदि मूल निर्देशित खंड निर्देशांक ā = (X₁,Y₁,Z₁) द्वारा दिया गया है, तो इसके लंबवत बिंदुओं ō = (X₂,Y₂,Z₂) की क्रमित जोड़ी के लिए, ऐसे निर्देशांक चुनें जो शर्त को पूरा करते हों (ā) ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. सबसे आसान तरीका है X₂ और Y₂ को एकल मान निर्दिष्ट करना, और सरलीकृत समीकरण Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. उदाहरण के लिए, वेक्टर ā = (3,5,4) के लिए यह निम्नलिखित रूप लेगा: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. फिर भुज और कोटि लें लंबवत वेक्टर एकता के रूप में, और इस मामले में - (3+5)/4 = -2 के बराबर होगा।

स्रोत:

• यदि वेक्टर लंबवत है तो खोजें

लंब को कहते हैं वेक्टर, जिसके बीच का कोण 90º है। ड्राइंग टूल्स का उपयोग करके लंबवत वेक्टर बनाए जाते हैं। यदि उनके निर्देशांक ज्ञात हैं, तो विश्लेषणात्मक तरीकों से वैक्टर की लंबवतता की जांच करना या ढूंढना संभव है।

आपको चाहिये होगा

• - चांदा;
• - दिशा सूचक यंत्र;
• - शासक।

अनुदेश

इसे वेक्टर के आरंभ बिंदु पर सेट करें। एक मनमानी त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं। फिर उन बिंदुओं पर दो केंद्र बनाएं जहां पहला वृत्त उस रेखा को काटता है जिस पर वेक्टर स्थित है। इन वृत्तों की त्रिज्याएँ एक दूसरे के बराबर होनी चाहिए और पहले निर्मित वृत्त से अधिक होनी चाहिए। वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, एक सीधी रेखा बनाएं जो इसकी शुरुआत के बिंदु पर मूल वेक्टर के लंबवत होगी, और उस पर दिए गए वेक्टर के लंबवत एक वेक्टर को अलग रखें।

उस पर लंबवत एक वेक्टर खोजें जिसके निर्देशांक और (x; y) के बराबर हों। ऐसा करने के लिए, संख्याओं (x1;y1) की एक जोड़ी ढूंढें जो समानता x x1+y y1=0 को संतुष्ट करेगी। इस मामले में, निर्देशांक (x1;y1) वाला वेक्टर निर्देशांक (x;y) वाले वेक्टर के लंबवत होगा।

यह आलेख त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान पर दो वैक्टरों की लंबवतता का अर्थ बताता है और एक या वैक्टर की पूरी जोड़ी के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक ढूंढता है। यह विषय रेखाओं और तलों के समीकरणों से संबंधित समस्याओं पर लागू होता है।

हम दो सदिशों के लंबवत होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त पर विचार करेंगे, किसी दिए गए सदिश के लंबवत सदिश को खोजने की विधि पर निर्णय लेंगे, और दो सदिशों के लंबवत सदिश को खोजने की स्थितियों पर विचार करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

दो सदिशों के लंबवत होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त

आइए समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में लंबवत वैक्टर के बारे में नियम लागू करें।

परिभाषा 1

90° (π 2 रेडियन) के बराबर दो गैर-शून्य सदिशों के बीच के कोण के मान को कहा जाता है सीधा.

इसका क्या मतलब है, और किन स्थितियों में उनकी लंबवतता के बारे में जानना आवश्यक है?

रेखाचित्र के माध्यम से लम्बवतता की स्थापना संभव है। दिए गए बिंदुओं से एक समतल पर एक वेक्टर बनाते समय, आप ज्यामितीय रूप से उनके बीच के कोण को माप सकते हैं। सदिशों की लंबवतता, यदि यह स्थापित है, पूरी तरह सटीक नहीं है। अक्सर, ये समस्याएँ आपको प्रोट्रैक्टर के साथ ऐसा करने की अनुमति नहीं देती हैं, इसलिए यह विधि केवल तभी लागू होती है जब वैक्टर के बारे में और कुछ नहीं पता हो।

किसी समतल या अंतरिक्ष में दो गैर-शून्य सदिशों की लंबवतता सिद्ध करने के अधिकांश मामलों का उपयोग किया जाता है दो सदिशों की लंबवतता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त.

प्रमेय 1

समानता a → , b → = 0 को पूरा करने के लिए शून्य के बराबर दो गैर-शून्य वैक्टर a → और b → का अदिश उत्पाद उनकी लंबवतता के लिए पर्याप्त है।

प्रमाण 1

मान लीजिए कि दिए गए सदिश a → और b → लंबवत हैं, तो हम समानता a ⇀ , b → = 0 सिद्ध करेंगे।

की परिभाषा से वैक्टर का डॉट उत्पादहम जानते हैं कि यह बराबर है दिए गए सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल। शर्त के अनुसार, a → और b → लंबवत हैं, और इसलिए, परिभाषा के आधार पर, उनके बीच का कोण 90° है। तब हमारे पास a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90° = 0 है।

प्रमाण का दूसरा भाग

उस स्थिति के तहत जब a ⇀ , b → = 0 a → और b → की लंबवतता सिद्ध करें।

वास्तव में, प्रमाण पिछले वाले के विपरीत है। यह ज्ञात है कि a → और b → गैर-शून्य हैं, इसलिए समानता a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ से हम कोज्या पाते हैं। तब हमें cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 मिलता है। चूँकि कोज्या शून्य है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सदिश a → और b → का कोण a → , b → ^ 90° है। परिभाषा के अनुसार, यह एक आवश्यक और पर्याप्त संपत्ति है.

निर्देशांक तल पर लंबवत स्थिति

अध्याय निर्देशांक में डॉट उत्पादअसमानता को प्रदर्शित करता है (a → , b →) = a x b x + a y b y , जो समतल पर निर्देशांक a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) वाले सदिशों के लिए मान्य है और (a → , b → ) = अंतरिक्ष में सदिश a → = (a x , a y , a z) और b → = (b x , b y , b z) के लिए a x b x + a y b y। निर्देशांक तल में दो सदिशों के लंबवत होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त a x · b x + a y · b y = 0 है, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 है।

आइए इसे अभ्यास में डालें और उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दो सदिशों के लंबवतता के गुण की जाँच करें a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

समाधान

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको अदिश गुणनफल ढूँढ़ना होगा। यदि शर्त के अनुसार यह शून्य के बराबर होगा, तो वे लंबवत हैं।

(ए → , बी →) = ए एक्स बी एक्स + ए वाई बी वाई = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0। शर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि दिए गए वेक्टर समतल पर लंबवत हैं।

उत्तर:हाँ, दिए गए सदिश a → और b → लंबवत हैं।

उदाहरण 2

दिए गए निर्देशांक सदिश i → , j → , k → . जांचें कि क्या सदिश i → - j → और i → + 2 j → + 2 k → लंबवत हो सकते हैं।

समाधान

यह याद रखने के लिए कि किसी वेक्टर के निर्देशांक कैसे निर्धारित किए जाते हैं, आपको इसके बारे में एक लेख पढ़ने की आवश्यकता है आयताकार निर्देशांक में वेक्टर निर्देशांक।इस प्रकार, हम पाते हैं कि दिए गए वैक्टर i → - j → और i → + 2 j → + 2 k → के संगत निर्देशांक (1, - 1, 0) और (1, 2, 2) हैं। संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

अभिव्यक्ति शून्य नहीं है, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0, जिसका अर्थ है कि सदिश i → - j → और i → + 2 j → + 2 k → नहीं हैं लंबवत क्योंकि शर्त पूरी नहीं होती।

उत्तर:नहीं, सदिश i → - j → और i → + 2 j → + 2 k → लंबवत नहीं हैं।

उदाहरण 3

दिए गए सदिश a → = (1 , 0 , - 2) और b → = (λ , 5 , 1) . वह मान ज्ञात कीजिए λ जिसके लिए दिए गए सदिश लंबवत हैं।

समाधान

हम अंतरिक्ष में दो सदिशों की लंबवतता की स्थिति का वर्गाकार रूप में उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

उत्तर:सदिश मान λ = 2 पर लंबवत हैं।

ऐसे मामले हैं जब आवश्यक और पर्याप्त स्थिति के तहत भी लंबवतता का प्रश्न असंभव है। किसी त्रिभुज की तीन भुजाओं पर दो सदिशों पर ज्ञात डेटा से इसे खोजना संभव है सदिशों के बीच का कोणऔर इसकी जांच करें.

उदाहरण 4

एक त्रिभुज A B C दिया गया है जिसकी भुजाएँ A B = 8, A C = 6, B C = 10 सेमी हैं। लंबवतता के लिए सदिश A B → और A C → की जाँच करें।

समाधान

जब सदिश A B → और A C → लंबवत होते हैं, तो त्रिभुज A B C को आयताकार माना जाता है। फिर हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, जहां BC त्रिभुज का कर्ण है। समानता B C 2 = A B 2 + A C 2 संतुष्ट होनी चाहिए। यह इस प्रकार है कि 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100। इसलिए, A B और A C त्रिभुज A B C के पैर हैं, इसलिए, A B → और A C → लंबवत हैं।

यह सीखना महत्वपूर्ण है कि किसी दिए गए सदिश के लंबवत सदिश के निर्देशांक कैसे ज्ञात किए जाएं। यह समतल और अंतरिक्ष दोनों पर संभव है, बशर्ते कि सदिश लंबवत हों।

किसी समतल में किसी दिए गए सदिश के लंबवत सदिश का पता लगाना।

एक गैर-शून्य सदिश a → के समतल में लंबवत सदिशों की अनंत संख्या हो सकती है। आइए इसे निर्देशांक रेखा पर निरूपित करें।

रेखा a पर स्थित एक गैर-शून्य सदिश a → दिया गया है। फिर दिया गया b → , रेखा a के लंबवत किसी भी रेखा पर स्थित, लंबवत हो जाता है और a → . यदि वेक्टर i → वेक्टर j → या किसी भी वेक्टर λ · j → के लंबवत है, जिसमें λ शून्य को छोड़कर किसी भी वास्तविक संख्या के बराबर है, तो वेक्टर b → के लंबवत a → = (a x, a y) के निर्देशांक ज्ञात करना समाधानों के अनंत सेट में बदल जाता है। लेकिन a → = (a x , a y) के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, सदिशों की लंबवतता की स्थिति को निम्नलिखित रूप a x · b x + a y · b y = 0 में लिखना आवश्यक है। हमारे पास b x और b y हैं, जो लंबवत वेक्टर के वांछित निर्देशांक हैं। जब a x ≠ 0, b y का मान शून्य नहीं होता है और b x की गणना असमानता a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x से की जाती है। जब a x = 0 और a y ≠ 0, हम b x को शून्य के अलावा कोई अन्य मान निर्दिष्ट करते हैं, और b y को अभिव्यक्ति b y = - a x · b x a y से पाया जाता है।

उदाहरण 5

निर्देशांक a → = (- 2 , 2) वाला एक वेक्टर दिया गया है। दिए गए सदिश पर लंबवत एक सदिश खोजें।

समाधान

वांछित वेक्टर को b → (b x , b y) के रूप में निरूपित करें। आप इसके निर्देशांक इस शर्त से पा सकते हैं कि सदिश a → और b → लंबवत हैं। तब हमें मिलता है: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0। b y = 1 निर्दिष्ट करें और प्रतिस्थापित करें: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0। अतः सूत्र से हमें b x = - 2 - 2 = 1 2 प्राप्त होता है। इसलिए, सदिश b → = (1 2 , 1) a → पर लंबवत एक सदिश है।

उत्तर:बी → = (1 2 , 1) .

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष का प्रश्न उठाया जाता है, तो समस्या को उसी सिद्धांत के अनुसार हल किया जाता है। किसी दिए गए वेक्टर a → = (a x , a y , a z) के लिए लंबवत वैक्टर का एक अनंत सेट है। इसे कोऑर्डिनेट 3डी प्लेन पर फिक्स कर देंगे। दिया गया a → रेखा a पर पड़ा हुआ। सीधी रेखा a के लंबवत तल को α द्वारा निरूपित किया जाता है। इस मामले में, समतल α से कोई भी गैर-शून्य वेक्टर b → a → पर लंबवत है।

गैर-शून्य वेक्टर a → = (a x , a y , a z) के लंबवत निर्देशांक b → खोजना आवश्यक है।

मान लीजिए b → निर्देशांक b x , b y और b z के साथ दिया गया है। उन्हें खोजने के लिए, दो वैक्टरों की लंबवतता की स्थिति की परिभाषा को लागू करना आवश्यक है। समानता a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 कायम रहनी चाहिए। शर्त से → - गैर-शून्य, जिसका अर्थ है कि निर्देशांक में से एक का मान शून्य के बराबर नहीं है। मान लीजिए कि a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 या a z ≠ 0)। इसलिए, हमें संपूर्ण असमानता a x b x + a y b y + a z b z = 0 को इस निर्देशांक से विभाजित करने का अधिकार है, हमें अभिव्यक्ति b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x प्राप्त होता है। हम निर्देशांक b y और b x को कोई भी मान निर्दिष्ट करते हैं, सूत्र b x = - a y · b y + a z · b z a x के आधार पर मान b x की गणना करते हैं। वांछित लंबवत वेक्टर का मान a → = (a x , a y , a z) होगा।

आइए एक उदाहरण के साथ प्रमाण देखें।

उदाहरण 6

निर्देशांक a → = (1 , 2 , 3) ​​  के साथ एक वेक्टर दिया गया है। दिए गए सदिश पर लंबवत एक सदिश खोजें।

समाधान

वांछित वेक्टर को b → = (b x , b y , b z) के रूप में निरूपित करें। इस शर्त के आधार पर कि सदिश लंबवत हैं, अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होना चाहिए।

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

यदि मान b y = 1 , b z = 1 , तो b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . यह इस प्रकार है कि वेक्टर के निर्देशांक b → (- 5 , 1 , 1) . सदिश b → दिए गए सदिशों के लंबवत सदिशों में से एक है।

उत्तर:बी → = (- 5 , 1 , 1) .

दो दिए गए सदिशों के लंबवत सदिश के निर्देशांक ज्ञात करना

आपको त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे। यह असंरेख सदिश a → (a x , a y , a z) और b → = (b x , b y , b z) के लंबवत है। इस शर्त के तहत कि सदिश a → और b → संरेख हैं, समस्या में यह a → या b → के लंबवत एक सदिश खोजने के लिए पर्याप्त होगा।

हल करते समय, सदिशों के सदिश गुणनफल की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

वैक्टर का क्रॉस उत्पाद a → और b → एक सदिश है जो a → और b → दोनों पर एक साथ लंबवत है। इस समस्या को हल करने के लिए, वेक्टर उत्पाद a → × b → का उपयोग किया जाता है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए इसका रूप a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z है

आइए समस्या के उदाहरण का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

उदाहरण 7

सदिश b → = (0 , 2 , 3) ​​​और a → = (2 , 1 , 0) दिए गए हैं। एक ही समय में डेटा के किसी भी लंबवत वेक्टर के निर्देशांक खोजें।

समाधान

हल करने के लिए, आपको वैक्टर का क्रॉस उत्पाद ढूंढना होगा। (पैराग्राफ अवश्य देखें मैट्रिक्स निर्धारक गणनावेक्टर खोजने के लिए)। हम पाते हैं:

ए → × बी → = आई → जे → के → 2 1 0 0 2 3 = आई → 1 3 + जे → 0 0 + के → 2 2 - के → 1 0 - जे → 2 3 - आई → 0 2 = 3 मैं → + (- 6) जे → + 4 के →

उत्तर: (3 , - 6 , 4) - एक वेक्टर के निर्देशांक जो दिए गए a → और b → पर एक साथ लंबवत हैं।

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