विविधता श्रृंखला का विश्लेषण. विविधता शृंखला
विविधता श्रृंखला - एक श्रृंखला जिसमें उनकी तुलना की जाती है (आरोही या अवरोही क्रम में) विकल्पऔर उनके संबंधित आवृत्तियों
वैरिएंट किसी विशेषता की अलग-अलग मात्रात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं। लैटिन अक्षर से नामित वी . "वेरिएंट" शब्द की शास्त्रीय समझ यह मानती है कि किसी विशेषता के प्रत्येक अद्वितीय मूल्य को एक वेरिएंट कहा जाता है, चाहे पुनरावृत्ति की संख्या कुछ भी हो।
उदाहरण के लिए, दस रोगियों में मापे गए सिस्टोलिक रक्तचाप के संकेतकों की एक भिन्न श्रृंखला में:
110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;
केवल 6 मान विकल्प हैं:
110, 120, 130, 140, 160, 170.
फ़्रिक्वेंसी एक संख्या है जो दर्शाती है कि कोई विकल्प कितनी बार दोहराया गया है। एक लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित पी . सभी आवृत्तियों का योग (जो, निश्चित रूप से, अध्ययन की गई सभी आवृत्तियों की संख्या के बराबर है) को इस प्रकार दर्शाया गया है एन.
- हमारे उदाहरण में, आवृत्तियाँ निम्नलिखित मानों पर आधारित होंगी:
- वैरिएंट 110 आवृत्ति के लिए पी = 1 (मान 110 एक मरीज में होता है),
- वैरिएंट 120 आवृत्ति के लिए पी = 2 (मूल्य 120 दो रोगियों में होता है),
- वैरिएंट 130 आवृत्ति के लिए पी = 3 (मूल्य 130 तीन रोगियों में होता है),
- वैरिएंट 140 आवृत्ति के लिए पी = 2 (मूल्य 140 दो रोगियों में होता है),
- वैरिएंट 160 आवृत्ति के लिए पी = 1 (मान 160 एक मरीज में होता है),
- वैरिएंट 170 आवृत्ति के लिए पी = 1 (मूल्य 170 एक रोगी में होता है),
विविधता श्रृंखला के प्रकार:
- सरल- यह एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक विकल्प केवल एक बार आता है (सभी आवृत्तियाँ 1 के बराबर हैं);
- निलंबित- एक श्रृंखला जिसमें एक या अधिक विकल्प बार-बार आते हैं।
विविधता श्रृंखला का उपयोग संख्याओं की बड़ी श्रृंखलाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है; यह इस रूप में है कि अधिकांश चिकित्सा अध्ययनों के एकत्रित डेटा को शुरू में प्रस्तुत किया जाता है। भिन्नता श्रृंखला को चिह्नित करने के लिए, विशेष संकेतकों की गणना की जाती है, जिसमें औसत मूल्य, परिवर्तनशीलता के संकेतक (तथाकथित फैलाव), नमूना डेटा की प्रतिनिधित्वशीलता के संकेतक शामिल हैं।
भिन्नता श्रृंखला संकेतक
1) अंकगणितीय माध्य एक सामान्यीकरण संकेतक है जो अध्ययन किए गए गुण के आकार को दर्शाता है। अंकगणितीय माध्य को इस प्रकार दर्शाया जाता है एम , औसत का सबसे सामान्य प्रकार है। अंकगणितीय माध्य की गणना अवलोकन की सभी इकाइयों के संकेतकों के मूल्यों के योग और सभी जांच की गई संख्याओं के अनुपात के रूप में की जाती है। अंकगणितीय माध्य की गणना करने की विधि सरल और भारित भिन्नता श्रृंखला के लिए भिन्न होती है।
गणना के लिए सूत्र सरल अंकगणितीय माध्य:
गणना के लिए सूत्र भारित अंकगणित माध्य:
एम = Σ(वी * पी)/ एन
2) मोड - विविधता श्रृंखला का एक और औसत मूल्य, सबसे अधिक बार दोहराए जाने वाले संस्करण के अनुरूप। या, दूसरे शब्दों में कहें तो, यह वह विकल्प है जो उच्चतम आवृत्ति से मेल खाता है। के रूप में नामित एमओ . मोड की गणना केवल भारित श्रृंखला के लिए की जाती है, क्योंकि सरल श्रृंखला में कोई भी विकल्प दोहराया नहीं जाता है और सभी आवृत्तियाँ एक के बराबर होती हैं।
उदाहरण के लिए, हृदय गति मानों की भिन्नता श्रृंखला में:
80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;
मोड का मान 86 है, चूँकि यह वैरिएंट 3 बार आता है, इसलिए इसकी आवृत्ति सबसे अधिक है।
3) माध्यिका - विकल्प का मान, भिन्नता श्रृंखला को आधे में विभाजित करना: इसके दोनों तरफ समान संख्या में विकल्प होते हैं। माध्यिका, साथ ही अंकगणितीय माध्य और बहुलक, औसत मूल्यों को संदर्भित करता है। के रूप में नामित मुझे
4) मानक विचलन (समानार्थी शब्द: मानक विचलन, सिग्मा विचलन, सिग्मा) - भिन्नता श्रृंखला की परिवर्तनशीलता का एक माप। यह एक अभिन्न संकेतक है जो माध्य से किसी प्रकार के विचलन के सभी मामलों को जोड़ता है। वास्तव में, यह इस प्रश्न का उत्तर देता है: अंकगणितीय माध्य से विकल्प कितनी दूर तक और कितनी बार फैलते हैं। एक यूनानी अक्षर द्वारा निरूपित σ ("सिग्मा").
जब जनसंख्या का आकार 30 इकाइयों से अधिक हो, तो मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
छोटी आबादी के लिए - 30 अवलोकन इकाइयाँ या उससे कम - मानक विचलन की गणना एक अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
आइए विभिन्न नमूना मानों को कॉल करें विकल्पमूल्यों की एक श्रृंखला और निरूपित करें: एक्स 1 , एक्स 2,…. सबसे पहले बनाते हैं लेकरविकल्प, यानी उन्हें आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें। प्रत्येक विकल्प के लिए, उसका अपना वजन दर्शाया गया है, अर्थात। एक संख्या जो कुल जनसंख्या में इस विकल्प के योगदान को दर्शाती है। आवृत्तियाँ या फ्रीक्वेंसी भार के रूप में कार्य करती हैं।
आवृत्ति एन मैं विकल्प एक्स मैंएक संख्या कहलाती है जो दर्शाती है कि विचाराधीन नमूना जनसंख्या में यह विकल्प कितनी बार आता है।
आवृत्ति या सापेक्ष आवृत्ति डब्ल्यू मैं विकल्प एक्स मैंएक प्रकार की आवृत्ति और सभी प्रकार की आवृत्तियों के योग के अनुपात के बराबर संख्या को कहा जाता है। आवृत्ति दर्शाती है कि नमूना जनसंख्या की इकाइयों के किस भाग में एक दिया गया प्रकार है।
आरोही (अथवा अवरोही) क्रम में लिखे गए उनके संगत भार (आवृत्तियों या आवृत्तियों) के साथ विकल्पों के अनुक्रम को कहा जाता है परिवर्तनशील श्रृंखला.
परिवर्तनशील श्रृंखलाएं असतत और अंतराल हैं।
असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के लिए, विशेषता के बिंदु मान निर्दिष्ट किए जाते हैं, अंतराल श्रृंखला के लिए, विशेषता मान अंतराल के रूप में निर्दिष्ट किए जाते हैं। भिन्नता श्रृंखला आवृत्तियों या सापेक्ष आवृत्तियों (आवृत्तियों) का वितरण दिखा सकती है, यह इस पर निर्भर करता है कि प्रत्येक विकल्प के लिए कौन सा मान इंगित किया गया है - आवृत्ति या आवृत्ति।
आवृत्ति वितरण की असतत भिन्नता श्रृंखलाकी तरह लगता है:
आवृत्तियाँ सूत्र द्वारा पाई जाती हैं, i = 1, 2,…, एम.
डब्ल्यू 1 +डब्ल्यू 2 + … + डब्ल्यूएम = 1.
उदाहरण 4.1. संख्याओं के किसी दिए गए सेट के लिए
4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6
आवृत्ति और आवृत्ति वितरण की असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का निर्माण करें।
समाधान . जनसंख्या का आयतन है एन= 10. असतत आवृत्ति वितरण श्रृंखला का रूप है
अंतराल श्रृंखला में रिकॉर्डिंग का एक समान रूप होता है।
आवृत्ति वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखलाइस प्रकार लिखा गया है:
सभी आवृत्तियों का योग प्रेक्षणों की कुल संख्या के बराबर है, अर्थात। कुल मात्रा: एन = एन 1 +एन 2 + … + एनएम ।
सापेक्ष आवृत्तियों (आवृत्तियों) के वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखलाकी तरह लगता है:
आवृत्ति सूत्र द्वारा पाई जाती है, i = 1, 2,…, एम.
सभी आवृत्तियों का योग एक के बराबर है: डब्ल्यू 1 +डब्ल्यू 2 + … + डब्ल्यूएम = 1.
व्यवहार में प्रायः अंतराल श्रृंखला का प्रयोग किया जाता है। यदि बहुत सारे सांख्यिकीय नमूना डेटा हैं और उनके मान एक दूसरे से मनमाने ढंग से छोटी मात्रा में भिन्न हैं, तो इन डेटा के लिए अलग श्रृंखला आगे के शोध के लिए काफी बोझिल और असुविधाजनक होगी। इस मामले में, डेटा ग्रुपिंग का उपयोग किया जाता है, अर्थात। विशेषता के सभी मानों वाले अंतराल को कई आंशिक अंतरालों में विभाजित किया जाता है और, प्रत्येक अंतराल के लिए आवृत्ति की गणना करके, एक अंतराल श्रृंखला प्राप्त की जाती है। आइए हम अंतराल श्रृंखला के निर्माण की योजना को और अधिक विस्तार से लिखें, यह मानते हुए कि आंशिक अंतराल की लंबाई समान होगी।
2.2 अंतराल श्रृंखला का निर्माण
एक अंतराल श्रृंखला बनाने के लिए, आपको चाहिए:
अंतरालों की संख्या निर्धारित करें;
अंतराल की लंबाई निर्धारित करें;
अक्ष पर अंतरालों का स्थान निर्धारित करें।
निर्धारण हेतु अंतरालों की संख्या क एक स्टर्जेस फार्मूला है, जिसके अनुसार
,
कहाँ एन- समग्रता का आयतन.
उदाहरण के लिए, यदि 100 विशेषता मान (संस्करण) हैं, तो अंतराल श्रृंखला बनाने के लिए अंतरालों की संख्या को अंतरालों के बराबर लेने की अनुशंसा की जाती है।
हालाँकि, अक्सर, व्यवहार में, अंतराल की संख्या शोधकर्ता द्वारा स्वयं चुनी जाती है, यह देखते हुए कि यह संख्या बहुत बड़ी नहीं होनी चाहिए ताकि श्रृंखला बोझिल न हो, लेकिन बहुत छोटी भी न हो, ताकि कुछ गुणों को न खोएं। बंटवारा।
अंतराल की लंबाई एच निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
,
कहाँ एक्सअधिकतम और एक्सन्यूनतम क्रमशः विकल्पों का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है।
मूल्य 
बुलाया बड़े पैमाने परपंक्ति।
स्वयं अंतरालों का निर्माण करने के लिए, वे अलग-अलग तरीकों से आगे बढ़ते हैं। सबसे आसान तरीकों में से एक इस प्रकार है. मान को पहले अंतराल की शुरुआत के रूप में लिया जाता है 
. फिर अंतरालों की शेष सीमाएँ सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती हैं। जाहिर है, आखिरी अंतराल का अंत ए m+1 को शर्त पूरी करनी होगी
अंतरालों की सभी सीमाएँ मिल जाने के बाद, इन अंतरालों की आवृत्तियाँ (या आवृत्तियाँ) निर्धारित की जाती हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, वे सभी विकल्पों पर गौर करते हैं और एक विशेष अंतराल में आने वाले विकल्पों की संख्या निर्धारित करते हैं। हम एक उदाहरण का उपयोग करके अंतराल श्रृंखला के पूर्ण निर्माण पर विचार करेंगे।
उदाहरण 4.2. आरोही क्रम में लिखे गए निम्नलिखित आंकड़ों के लिए, 5 के बराबर अंतरालों की संख्या के साथ एक अंतराल श्रृंखला बनाएं:
11, 12, 12, 14, 14, 15, 21, 21, 22, 23, 25, 38, 38, 39, 42, 42, 44, 45, 50, 50, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 65, 68, 68, 68, 70, 75, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 86, 88, 90, 91, 91, 91, 91, 91, 93, 93, 95, 96.
समाधान। कुल एन=50 भिन्न मान.
अंतराल की संख्या समस्या की स्थिति में निर्दिष्ट है, अर्थात। क=5.
अंतराल की लंबाई है 
.
आइए अंतरालों की सीमाओं को परिभाषित करें:
ए 1 = 11 − 8,5 = 2,5; ए 2 = 2,5 + 17 = 19,5; ए 3 = 19,5 + 17 = 36,5;
ए 4 = 36,5 + 17 = 53,5; ए 5 = 53,5 + 17 = 70,5; ए 6 = 70,5 + 17 = 87,5;
ए 7 = 87,5 +17 = 104,5.
अंतराल की आवृत्ति निर्धारित करने के लिए, हम इस अंतराल में आने वाले विकल्पों की संख्या की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, विकल्प 11, 12, 12, 14, 14, 15 2.5 से 19.5 तक पहले अंतराल में आते हैं। उनकी संख्या 6 है, इसलिए पहले अंतराल की आवृत्ति है एन 1=6. प्रथम अंतराल की आवृत्ति है 
. वेरिएंट 21, 21, 22, 23, 25, जिनकी संख्या 5 है, 19.5 से 36.5 तक दूसरे अंतराल में आते हैं। इसलिए, दूसरे अंतराल की आवृत्ति है एन 2 =5, और आवृत्ति 
. सभी अंतरालों के लिए समान रूप से पाई गई आवृत्तियों और आवृत्तियों के बाद, हमें निम्नलिखित अंतराल श्रृंखला प्राप्त होती है।
आवृत्ति वितरण की अंतराल श्रृंखला का रूप है:
आवृत्तियों का योग 6+5+9+11+8+11=50 है।
आवृत्ति वितरण की अंतराल श्रृंखला का रूप है:
आवृत्तियों का योग 0.12+0.1+0.18+0.22+0.16+0.22=1 है। ■
अंतराल श्रृंखला का निर्माण करते समय, विचाराधीन समस्या की विशिष्ट स्थितियों के आधार पर, अन्य नियम लागू किए जा सकते हैं, अर्थात्
1. अंतराल भिन्नता श्रृंखला में विभिन्न लंबाई के आंशिक अंतराल शामिल हो सकते हैं। अंतरालों की असमान लंबाई किसी विशेषता के असमान वितरण के साथ सांख्यिकीय जनसंख्या के गुणों को अलग करना संभव बनाती है। उदाहरण के लिए, यदि अंतराल की सीमाएं शहरों में निवासियों की संख्या निर्धारित करती हैं, तो इस समस्या में उन अंतरालों का उपयोग करना उचित है जो लंबाई में असमान हैं। जाहिर है, छोटे शहरों के लिए, निवासियों की संख्या में एक छोटा सा अंतर भी महत्वपूर्ण है, और बड़े शहरों के लिए, दसियों और सैकड़ों निवासियों का अंतर महत्वपूर्ण नहीं है। आंशिक अंतरालों की असमान लंबाई वाली अंतराल श्रृंखला का अध्ययन मुख्य रूप से सांख्यिकी के सामान्य सिद्धांत में किया जाता है और उनका विचार इस मैनुअल के दायरे से परे है।
2. गणितीय आंकड़ों में, कभी-कभी अंतराल श्रृंखला पर विचार किया जाता है, जिसके लिए पहले अंतराल की बाईं सीमा -∞ मानी जाती है, और अंतिम अंतराल की दाईं सीमा +∞ मानी जाती है। यह सांख्यिकीय वितरण को सैद्धांतिक वितरण के करीब लाने के लिए किया जाता है।
3. अंतराल श्रृंखला का निर्माण करते समय, यह पता चल सकता है कि कुछ प्रकार का मान बिल्कुल अंतराल सीमा से मेल खाता है। इस मामले में करने योग्य सबसे अच्छी बात इस प्रकार है. यदि ऐसा केवल एक संयोग है, तो विचार करें कि विचाराधीन संस्करण अपनी आवृत्ति के साथ अंतराल श्रृंखला के मध्य के करीब स्थित अंतराल में गिर गया, यदि ऐसे कई प्रकार हैं, तो या तो उन सभी को अंतराल के लिए सौंपा गया है इन वेरिएंट के दाईं ओर, या सभी बाईं ओर।
4. अंतरालों की संख्या और उनकी लंबाई निर्धारित करने के बाद अंतरालों का स्थान दूसरे तरीके से किया जा सकता है। विकल्पों के सभी माने गए मानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए एक्ससी एफ और पहले अंतराल को इस तरह बनाएं कि यह नमूना माध्य कुछ अंतराल के अंदर हो। इस प्रकार, हमें से अंतराल प्राप्त होता है एक्ससी एफ – 0.5 एचपहले एक्सऔसत + 0.5 एच. फिर बाएँ और दाएँ, अंतराल की लंबाई जोड़कर, हम शेष अंतराल बनाते हैं एक्समिनट और एक्सअधिकतम क्रमशः पहले और आखिरी अंतराल में नहीं आएगा।
5. बड़ी संख्या में अंतरालों वाली अंतराल श्रृंखला को सुविधाजनक रूप से लंबवत रूप से लिखा जाता है, अर्थात। अंतराल को पहली पंक्ति में नहीं, बल्कि पहले कॉलम में और आवृत्तियों (या आवृत्तियों) को दूसरे कॉलम में रिकॉर्ड करें।
नमूना डेटा को कुछ यादृच्छिक चर के मान के रूप में माना जा सकता है एक्स. एक यादृच्छिक चर का अपना वितरण कानून होता है। संभाव्यता सिद्धांत से यह ज्ञात होता है कि एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को वितरण घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके, वितरण श्रृंखला के रूप में और निरंतर एक के लिए निर्दिष्ट किया जा सकता है। हालाँकि, एक सार्वभौमिक वितरण कानून है जो असतत और निरंतर यादृच्छिक चर दोनों के लिए लागू होता है। यह वितरण नियम एक वितरण फलन के रूप में दिया गया है एफ(एक्स) = पी(एक्स<एक्स). नमूना डेटा के लिए, आप वितरण फ़ंक्शन का एक एनालॉग निर्दिष्ट कर सकते हैं - अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन।
ऐसी ही जानकारी.
सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला- यह एक निश्चित भिन्न विशेषता के अनुसार समूहों में जनसंख्या इकाइयों का एक क्रमबद्ध वितरण है।
वितरण श्रृंखला के निर्माण में अंतर्निहित विशेषता के आधार पर, ये होते हैं विशेषता और भिन्नता वितरण श्रृंखला.
एक सामान्य विशेषता की उपस्थिति एक सांख्यिकीय जनसंख्या के गठन का आधार है, जो अध्ययन की वस्तुओं की सामान्य विशेषताओं के विवरण या माप का परिणाम है।
सांख्यिकी में अध्ययन का विषय परिवर्तनशील (परिवर्तनशील) विशेषताएँ या सांख्यिकीय विशेषताएँ हैं।
सांख्यिकीय विशेषताओं के प्रकार.
वितरण श्रृंखला को विशेषता श्रृंखला कहा जाता है।गुणवत्ता के आधार पर बनाया गया। ठहराव- यह एक संकेत है जिसका एक नाम है (उदाहरण के लिए, एक पेशा: एक दर्जी, शिक्षक, आदि)।
वितरण श्रृंखला को तालिकाओं के रूप में व्यवस्थित करने की प्रथा है। तालिका में। 2.8 वितरण की एक विशेषता श्रृंखला दिखाता है।
तालिका 2.8 - रूसी संघ के क्षेत्रों में से एक के नागरिकों को वकीलों द्वारा प्रदान की जाने वाली कानूनी सहायता के प्रकारों का वितरण।
विविधता श्रृंखला वितरण श्रृंखला हैमात्रात्मक आधार पर बनाया गया। किसी भी परिवर्तनशील श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: वेरिएंट और आवृत्तियाँ।
वेरिएंट किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य हैं जो इसे विविधता श्रृंखला में लेते हैं।
फ़्रीक्वेंसी अलग-अलग वेरिएंट या भिन्नता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या है, अर्थात। ये संख्याएँ दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कुछ विकल्प कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों का योग संपूर्ण जनसंख्या का आकार, उसका आयतन निर्धारित करता है।
आवृत्तियों को आवृत्तियाँ कहा जाता है, जो किसी इकाई के अंशों या कुल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती हैं। तदनुसार, आवृत्तियों का योग 1 या 100% के बराबर है। परिवर्तनशील श्रृंखला हमें वास्तविक डेटा के आधार पर वितरण कानून के स्वरूप का मूल्यांकन करने की अनुमति देती है।
गुण की प्रकृति के आधार पर भिन्नता होती है असतत और अंतराल भिन्नता श्रृंखला.
असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का एक उदाहरण तालिका में दिया गया है। 2.9.
तालिका 2.9 - 1989 में रूसी संघ में व्यक्तिगत अपार्टमेंट में रहने वाले कमरों की संख्या के आधार पर परिवारों का वितरण।
विविधता शृंखला
सामान्य आबादी में, एक निश्चित मात्रात्मक विशेषता की जांच की जा रही है। इसमें से आयतन का एक नमूना यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है एन, अर्थात नमूने में तत्वों की संख्या है एन. सांख्यिकीय प्रसंस्करण के पहले चरण में, लेकरनमूने, यानी संख्या क्रम एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एनआरोही। प्रत्येक अवलोकित मूल्य एक्स मैंबुलाया विकल्प. आवृत्ति एम मैंमान के अवलोकनों की संख्या है एक्स मैंनमूने में. सापेक्ष आवृत्ति (आवृत्ति) डब्ल्यू मैंआवृत्ति अनुपात है एम मैंनमूना आकार के लिए एन: .परिवर्तनशील श्रृंखला का अध्ययन करते समय, संचयी आवृत्ति और संचयी आवृत्ति की अवधारणाओं का भी उपयोग किया जाता है। होने देना एक्सकुछ संख्या. फिर विकल्पों की संख्या , जिनकी वैल्यू कम है एक्स, को संचित आवृत्ति कहा जाता है: x i के लिए
किसी विशेषता को पृथक् रूप से परिवर्तनीय कहा जाता है यदि उसके व्यक्तिगत मान (वेरिएंट) एक दूसरे से कुछ सीमित मात्रा (आमतौर पर एक पूर्णांक) से भिन्न होते हैं। ऐसी विशेषता की परिवर्तनशील श्रृंखला को असतत परिवर्तनशील श्रृंखला कहा जाता है।
तालिका 1. आवृत्तियों की असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का सामान्य दृश्य
| फ़ीचर मान | एक्स मैं | एक्स 1 | x2 | … | एक्स एन |
| आवृत्तियों | एम मैं | मी 1 | एम2 | … | एम एन |
किसी विशेषता को निरंतर परिवर्तनशील कहा जाता है यदि उसके मान एक दूसरे से मनमाने ढंग से छोटी मात्रा में भिन्न होते हैं, अर्थात। चिन्ह एक निश्चित अंतराल में कोई भी मान ले सकता है। ऐसे गुण के लिए निरंतर भिन्नता श्रृंखला को अंतराल श्रृंखला कहा जाता है।
तालिका 2. आवृत्तियों की अंतराल भिन्नता श्रृंखला का सामान्य दृश्य
तालिका 3. विविधता श्रृंखला की ग्राफिक छवियां
| पंक्ति | बहुभुज या हिस्टोग्राम | अनुभवजन्य वितरण समारोह | |
| अलग |  |  |  |
| मध्यान्तर |  |  |  |
परिवर्तनशील श्रृंखला के ग्राफिक प्रतिनिधित्व के लिए, बहुभुज, हिस्टोग्राम, संचयी वक्र और अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।
तालिका में। 2.3 (अप्रैल 1994 में औसत प्रति व्यक्ति आय के आकार के अनुसार रूस की जनसंख्या का समूहन) प्रस्तुत किया गया है अंतराल भिन्नता श्रृंखला.
ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का उपयोग करके वितरण श्रृंखला का विश्लेषण करना सुविधाजनक है, जिससे वितरण के आकार का आकलन करना भी संभव हो जाता है। परिवर्तनशील श्रृंखला की आवृत्तियों में परिवर्तन की प्रकृति का एक दृश्य प्रतिनिधित्व द्वारा दिया गया है बहुभुज और हिस्टोग्राम.
बहुभुज का उपयोग असतत परिवर्तनशील श्रृंखला प्रदर्शित करते समय किया जाता है.
आइए, उदाहरण के लिए, अपार्टमेंट के प्रकार के आधार पर आवास स्टॉक के वितरण को ग्राफ़िक रूप से चित्रित करें (तालिका 2.10)।
तालिका 2.10 - अपार्टमेंट के प्रकार (सशर्त आंकड़े) द्वारा शहरी क्षेत्र के आवास स्टॉक का वितरण।
चावल। आवास वितरण बहुभुज
y-अक्ष पर, न केवल आवृत्तियों के मान, बल्कि भिन्नता श्रृंखला की आवृत्तियों को भी प्लॉट किया जा सकता है।
अंतराल भिन्नता श्रृंखला को प्रदर्शित करने के लिए हिस्टोग्राम लिया जाता है. हिस्टोग्राम का निर्माण करते समय, अंतराल के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और आवृत्तियों को संबंधित अंतराल पर बने आयतों द्वारा दर्शाया जाता है। समान अंतराल के मामले में स्तंभों की ऊंचाई आवृत्तियों के समानुपाती होनी चाहिए। हिस्टोग्राम एक ग्राफ है जिसमें एक श्रृंखला को एक दूसरे से सटे बार के रूप में दिखाया गया है।
आइए तालिका में दी गई अंतराल वितरण श्रृंखला को आलेखीय रूप से चित्रित करें। 2.11.
तालिका 2.11 - प्रति व्यक्ति रहने की जगह के आकार के आधार पर परिवारों का वितरण (सशर्त आंकड़े)।
| एन पी / पी | प्रति व्यक्ति रहने की जगह के आकार के अनुसार परिवारों के समूह | रहने की जगह के दिए गए आकार वाले परिवारों की संख्या | परिवारों की संचित संख्या |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| कुल | 115 | ---- | |
चावल। 2.2. प्रति व्यक्ति रहने की जगह के आकार के आधार पर परिवारों के वितरण का हिस्टोग्राम
संचित श्रृंखला (तालिका 2.11) के डेटा का उपयोग करके, हम निर्माण करते हैं वितरण संचयी.
चावल। 2.3. प्रति व्यक्ति रहने की जगह के आकार के आधार पर परिवारों का संचयी वितरण
एक संचयी के रूप में एक परिवर्तनशील श्रृंखला का प्रतिनिधित्व विशेष रूप से परिवर्तनीय श्रृंखला के लिए प्रभावी होता है, जिसकी आवृत्तियों को श्रृंखला की आवृत्तियों के योग के अंश या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यदि हम संचयी रूप में परिवर्तनशील श्रृंखला के ग्राफिक प्रतिनिधित्व में अक्षों को बदलते हैं, तो हमें मिलता है ओगिवु. अंजीर पर. 2.4 तालिका में डेटा के आधार पर निर्मित एक तोरण दिखाता है। 2.11.
आयतों की भुजाओं के मध्यबिंदु ज्ञात करके और फिर इन बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर एक हिस्टोग्राम को एक वितरण बहुभुज में परिवर्तित किया जा सकता है। परिणामी वितरण बहुभुज को अंजीर में दिखाया गया है। 2.2 बिंदीदार रेखा.
ऑर्डिनेट अक्ष के साथ असमान अंतरालों के साथ एक परिवर्तनशील श्रृंखला के वितरण का हिस्टोग्राम बनाते समय, आवृत्तियों को लागू नहीं किया जाता है, बल्कि संबंधित अंतरालों में सुविधा का वितरण घनत्व लागू किया जाता है।
वितरण घनत्व प्रति इकाई अंतराल चौड़ाई की गणना की गई आवृत्ति है, अर्थात। प्रत्येक समूह में प्रति इकाई अंतराल मान कितनी इकाइयाँ हैं। वितरण घनत्व की गणना का एक उदाहरण तालिका में प्रस्तुत किया गया है। 2.12.
तालिका 2.12 - कर्मचारियों की संख्या के आधार पर उद्यमों का वितरण (आंकड़े सशर्त हैं)
| एन पी / पी | कर्मचारियों की संख्या के अनुसार उद्यमों के समूह, प्रति। | उद्यमों की संख्या | अंतराल का आकार, कायम। | वितरण घनत्व |
| ए | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | 20 तक | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| कुल | 147 | ---- | ---- |
भिन्नता के चित्रमय प्रतिनिधित्व के लिए श्रृंखला का भी उपयोग किया जा सकता है संचयी वक्र. संचयी (योगों का वक्र) की सहायता से, संचित आवृत्तियों की एक श्रृंखला प्रदर्शित की जाती है। संचित आवृत्तियों को समूहों द्वारा आवृत्तियों को क्रमिक रूप से जोड़कर निर्धारित किया जाता है और दिखाया जाता है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों में फीचर मान विचारित मूल्य से अधिक नहीं हैं।
चावल। 2.4. प्रति व्यक्ति रहने की जगह के आकार के अनुसार परिवारों का वितरण
अंतराल भिन्नता श्रृंखला के संचयी का निर्माण करते समय, श्रृंखला के वेरिएंट को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और संचित आवृत्तियों को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।
पंक्तियाँ निर्मित की गईं मात्रा के अनुसार, कहा जाता है परिवर्तन संबंधी.
वितरण श्रृंखला में शामिल हैं विकल्प(विशेषता मूल्य) और आवृत्तियों(समूहों की संख्या). सापेक्ष मूल्यों (शेयर, प्रतिशत) के रूप में व्यक्त आवृत्तियों को कहा जाता है आवृत्तियों. सभी आवृत्तियों के योग को वितरण श्रृंखला का आयतन कहा जाता है।
प्रकार के अनुसार, वितरण श्रृंखला को विभाजित किया गया है अलग(सुविधा के असंतुलित मूल्यों पर निर्मित) और मध्यान्तर(निरंतर सुविधा मूल्यों पर निर्मित)।
विविधता शृंखलादो स्तंभों (या पंक्तियों) का प्रतिनिधित्व करता है; जिनमें से एक वैरिएबल विशेषता के व्यक्तिगत मान प्रदान करता है, जिसे वेरिएंट कहा जाता है और एक्स द्वारा दर्शाया जाता है; और दूसरे में - पूर्ण संख्याएँ दर्शाती हैं कि प्रत्येक विकल्प कितनी बार (कितनी बार) आता है। दूसरे कॉलम के संकेतकों को आवृत्तियाँ कहा जाता है और इन्हें पारंपरिक रूप से एफ द्वारा दर्शाया जाता है। एक बार फिर, हम ध्यान दें कि दूसरे कॉलम में, आवृत्तियों की कुल मात्रा में व्यक्तिगत वेरिएंट की आवृत्ति के हिस्से को दर्शाने वाले सापेक्ष संकेतक का भी उपयोग किया जा सकता है। इन सापेक्ष संकेतकों को आवृत्तियाँ कहा जाता है और पारंपरिक रूप से ω द्वारा दर्शाया जाता है। इस मामले में सभी आवृत्तियों का योग एक के बराबर है। हालाँकि, आवृत्तियों को प्रतिशत के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, और फिर सभी आवृत्तियों का योग 100% देता है।
यदि परिवर्तनशील श्रृंखला के वेरिएंट को अलग-अलग मानों के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला कहलाती है पृथक.
निरंतर सुविधाओं के लिए, भिन्नता श्रृंखला का निर्माण इस प्रकार किया जाता है मध्यान्तर, अर्थात्, उनमें विशेषता के मान "... से..." तक व्यक्त किये जाते हैं। इस मामले में, ऐसे अंतराल में विशेषता के न्यूनतम मूल्यों को अंतराल की निचली सीमा कहा जाता है, और अधिकतम - ऊपरी सीमा।
अंतराल विविधता श्रृंखला भी अलग-अलग विशेषताओं के लिए बनाई गई है जो एक विस्तृत श्रृंखला में भिन्न होती हैं। अंतराल श्रृंखला हो सकती है बराबरऔर असमानअंतराल.
विचार करें कि समान अंतरालों का मान कैसे निर्धारित किया जाता है। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
मैं– अंतराल मान;
- जनसंख्या की इकाइयों के लिए विशेषता का अधिकतम मूल्य;
- जनसंख्या की इकाइयों के लिए विशेषता का न्यूनतम मूल्य;
एन-आवंटित समूहों की संख्या.
यदि n ज्ञात है.
यदि आवंटित समूहों की संख्या पहले से निर्धारित करना मुश्किल है, तो पर्याप्त जनसंख्या आकार के साथ अंतराल के इष्टतम आकार की गणना करने के लिए 1926 में स्टर्गेस द्वारा प्रस्तावित सूत्र की सिफारिश की जा सकती है:
n = 1+ 3.322 लॉग एन, जहां एन जनसंख्या में लोगों की संख्या है।
अध्ययन की वस्तु की विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए, प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में असमान अंतराल का मूल्य निर्धारित किया जाता है।
नमूने का सांख्यिकीय वितरणविकल्पों की सूची और उनकी संगत आवृत्तियों (या सापेक्ष आवृत्तियों) को कॉल करें।
नमूने का सांख्यिकीय वितरण एक तालिका के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसके पहले कॉलम में विकल्प हैं, और दूसरे में - इन विकल्पों के अनुरूप आवृत्तियाँ हैं। नी, या सापेक्ष आवृत्तियाँ अनुकरणीय .
नमूने का सांख्यिकीय वितरण
अंतराल श्रृंखला को विविधता श्रृंखला कहा जाता है जिसमें उनके गठन में अंतर्निहित विशेषताओं के मूल्यों को कुछ सीमाओं (अंतराल) के भीतर व्यक्त किया जाता है। इस मामले में आवृत्तियाँ विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को नहीं, बल्कि संपूर्ण अंतराल को संदर्भित करती हैं।
अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण निरंतर मात्रात्मक विशेषताओं के साथ-साथ अलग-अलग विशेषताओं के अनुसार किया जाता है, जो एक महत्वपूर्ण सीमा के भीतर बदलती रहती हैं।
अंतराल श्रृंखला को नमूने के सांख्यिकीय वितरण द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो अंतराल और उनकी संबंधित आवृत्तियों को दर्शाता है। इस मामले में, इस अंतराल में आने वाले वेरिएंट की आवृत्तियों का योग अंतराल की आवृत्ति के रूप में लिया जाता है।
मात्रात्मक निरंतर विशेषताओं के आधार पर समूह बनाते समय, अंतराल का आकार निर्धारित करना महत्वपूर्ण है।
नमूना माध्य और नमूना विचरण के अलावा, भिन्नता श्रृंखला की अन्य विशेषताओं का भी उपयोग किया जाता है।
पहनावाउस प्रकार का नाम बताइए जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक है।
विविधता श्रृंखला: परिभाषा, प्रकार, मुख्य विशेषताएं। गणना की विधि
चिकित्सा और सांख्यिकीय अध्ययन में फैशन, माध्यिका, अंकगणितीय माध्य
(सशर्त उदाहरण पर दिखाएँ)।
परिवर्तनशील श्रृंखला अध्ययन के तहत गुण के संख्यात्मक मूल्यों की एक श्रृंखला है, जो उनके परिमाण में एक दूसरे से भिन्न होती है और एक निश्चित अनुक्रम (आरोही या अवरोही क्रम में) में व्यवस्थित होती है। श्रृंखला के प्रत्येक संख्यात्मक मान को एक प्रकार (V) कहा जाता है, और यह दिखाने वाली संख्याएँ कि इस श्रृंखला की संरचना में यह या वह प्रकार कितनी बार होता है, आवृत्ति (p) कहलाती है।
प्रेक्षणों के मामलों की कुल संख्या, जिनमें भिन्नता श्रृंखला शामिल है, अक्षर n द्वारा निरूपित की जाती है। अध्ययन किए गए लक्षणों के अर्थ में अंतर को भिन्नता कहा जाता है। यदि चर चिह्न में मात्रात्मक माप नहीं है, तो भिन्नता को गुणात्मक कहा जाता है, और वितरण श्रृंखला को गुणात्मक कहा जाता है (उदाहरण के लिए, रोग परिणाम, स्वास्थ्य स्थिति, आदि द्वारा वितरण)।
यदि किसी चर चिह्न की कोई मात्रात्मक अभिव्यक्ति हो, तो ऐसी भिन्नता को मात्रात्मक कहा जाता है, और वितरण श्रृंखला को भिन्नता कहा जाता है।
भिन्न श्रृंखलाओं को असंतत और निरंतर में विभाजित किया जाता है - मात्रात्मक विशेषता की प्रकृति के अनुसार, सरल और भारित - प्रकार की घटना की आवृत्ति के अनुसार।
एक साधारण परिवर्तनीय श्रृंखला में, प्रत्येक वैरिएंट केवल एक बार होता है (p=1), एक भारित श्रृंखला में, एक ही वैरिएंट कई बार होता है (p>1)। ऐसी श्रृंखला के उदाहरणों पर पाठ में बाद में चर्चा की जाएगी। यदि मात्रात्मक विशेषता निरंतर है, अर्थात पूर्णांक मानों के बीच मध्यवर्ती भिन्नात्मक मान होते हैं, परिवर्तनशील श्रृंखला को सतत कहा जाता है।
उदाहरण के लिए: 10.0 - 11.9
14.0 - 15.9, आदि।
यदि मात्रात्मक चिह्न असंतत है, अर्थात इसके व्यक्तिगत मान (विकल्प) एक पूर्णांक द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं और मध्यवर्ती भिन्नात्मक मान नहीं होते हैं, भिन्नता श्रृंखला को असंतत या असतत कहा जाता है।
हृदय गति के बारे में पिछले उदाहरण के डेटा का उपयोग करना
21 छात्रों के लिए, हम एक विविधता श्रृंखला (तालिका 1) बनाएंगे।
तालिका नंबर एक
पल्स रेट (बीपीएम) द्वारा मेडिकल छात्रों का वितरण
इस प्रकार, एक परिवर्तनशील श्रृंखला बनाने का अर्थ है मौजूदा संख्यात्मक मानों (विकल्पों) को व्यवस्थित करना, सुव्यवस्थित करना, अर्थात। उन्हें उनकी संगत आवृत्तियों के साथ एक निश्चित क्रम में (आरोही या अवरोही क्रम में) व्यवस्थित करें। विचाराधीन उदाहरण में, विकल्पों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है और असंतत (अलग) पूर्णांकों के रूप में व्यक्त किया गया है, प्रत्येक विकल्प कई बार आता है, अर्थात। हम एक भारित, असंतत या असतत परिवर्तनशील श्रृंखला से निपट रहे हैं।
एक नियम के रूप में, यदि हम जिस सांख्यिकीय आबादी का अध्ययन कर रहे हैं उसमें अवलोकनों की संख्या 30 से अधिक नहीं है, तो यह अध्ययन के तहत विशेषता के सभी मूल्यों को बढ़ते क्रम में एक परिवर्तनीय श्रृंखला में व्यवस्थित करने के लिए पर्याप्त है, जैसा कि तालिका में है। 1, या अवरोही क्रम में.
बड़ी संख्या में अवलोकनों (n>30) के साथ, घटित होने वाले वेरिएंट की संख्या बहुत बड़ी हो सकती है, इस मामले में एक अंतराल या समूहीकृत परिवर्तनीय श्रृंखला संकलित की जाती है, जिसमें बाद के प्रसंस्करण को सरल बनाने और वितरण की प्रकृति को स्पष्ट करने के लिए, वेरिएंट को समूहों में संयोजित किया गया है।
आमतौर पर समूह विकल्पों की संख्या 8 से 15 तक होती है।
उनमें से कम से कम 5 तो होने ही चाहिए, क्योंकि. अन्यथा, यह बहुत अधिक कठोर, अत्यधिक इज़ाफ़ा होगा, जो भिन्नता की समग्र तस्वीर को विकृत कर देगा और औसत मूल्यों की सटीकता को बहुत प्रभावित करेगा। जब समूह विकल्पों की संख्या 20-25 से अधिक होती है, तो औसत मूल्यों की गणना की सटीकता बढ़ जाती है, लेकिन विशेषता की भिन्नता की विशेषताएं काफी विकृत हो जाती हैं और गणितीय प्रसंस्करण अधिक जटिल हो जाता है।
समूहीकृत शृंखला संकलित करते समय इसे ध्यान में रखना आवश्यक है
- विभिन्न समूहों को एक विशिष्ट क्रम (आरोही या अवरोही) में रखा जाना चाहिए;
- भिन्न समूहों में अंतराल समान होना चाहिए;
− अंतरालों की सीमाओं का मान मेल नहीं खाना चाहिए, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं होगा कि किन समूहों में व्यक्तिगत विकल्पों को शामिल किया जाए;
- अंतराल की सीमा निर्धारित करते समय एकत्रित सामग्री की गुणात्मक विशेषताओं को ध्यान में रखना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, वयस्कों के वजन का अध्ययन करते समय, 3-4 किलोग्राम का अंतराल स्वीकार्य है, और पहले महीनों में बच्चों के लिए जीवन का यह 100 ग्राम से अधिक नहीं होना चाहिए।)
आइए एक समूहीकृत (अंतराल) श्रृंखला बनाएं जो परीक्षा से पहले 55 मेडिकल छात्रों के लिए नाड़ी दर (प्रति मिनट धड़कन की संख्या) पर डेटा का वर्णन करती है: 64, 66, 60, 62,
64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,
64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,
79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.
समूहीकृत श्रृंखला बनाने के लिए, आपको चाहिए:
1. अंतराल का मान निर्धारित करें;
2. भिन्नता श्रृंखला के प्रकार के समूहों के मध्य, आरंभ और अंत का निर्धारण करें।
● अंतराल (i) का मान अपेक्षित समूहों (r) की संख्या से निर्धारित होता है, जिसकी संख्या एक विशेष तालिका के अनुसार अवलोकनों (n) की संख्या के आधार पर निर्धारित की जाती है।
अवलोकनों की संख्या के आधार पर समूहों की संख्या:
हमारे मामले में, 55 छात्रों के लिए 8 से 10 समूह बनाना संभव है।
अंतराल (i) का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है -
i = Vmax-Vmin/r
हमारे उदाहरण में, अंतराल का मान 82-58/8=3 है।
यदि अंतराल मान एक भिन्नात्मक संख्या है, तो परिणाम को पूर्णांक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।
औसत कई प्रकार के होते हैं:
● अंकगणित माध्य,
● ज्यामितीय माध्य,
● हार्मोनिक माध्य,
● मूल माध्य वर्ग,
● मध्यम प्रगतिशील,
● माध्यिका
चिकित्सा सांख्यिकी में, अंकगणितीय औसत का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।
अंकगणितीय माध्य (एम) एक सामान्यीकरण मूल्य है जो उस विशिष्ट मूल्य को निर्धारित करता है जो संपूर्ण जनसंख्या की विशेषता है। एम की गणना के लिए मुख्य विधियाँ हैं: अंकगणितीय माध्य विधि और क्षणों की विधि (सशर्त विचलन)।
अंकगणितीय माध्य विधि का उपयोग सरल अंकगणितीय माध्य और भारित अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए किया जाता है। अंकगणितीय माध्य मान की गणना के लिए विधि का चुनाव भिन्नता श्रृंखला के प्रकार पर निर्भर करता है। एक साधारण परिवर्तनीय श्रृंखला के मामले में, जिसमें प्रत्येक प्रकार केवल एक बार होता है, सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
कहा पे: М - अंकगणितीय माध्य मान;
V परिवर्तनीय सुविधा (विकल्प) का मान है;
Σ - क्रिया को इंगित करता है - योग;
n प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
अंकगणित माध्य की गणना का एक उदाहरण सरल है. 35 वर्ष की आयु के 9 पुरुषों में श्वसन दर (प्रति मिनट सांसों की संख्या): 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18।
35 वर्ष की आयु के पुरुषों में श्वसन दर का औसत स्तर निर्धारित करने के लिए, यह आवश्यक है:
1. सभी विकल्पों को आरोही या अवरोही क्रम में रखते हुए एक परिवर्तनशील श्रृंखला बनाएं। हमें एक सरल परिवर्तनशील श्रृंखला मिली, क्योंकि भिन्न मान केवल एक बार होते हैं।
एम = ∑V/n = 171/9 = 19 सांस प्रति मिनट
निष्कर्ष। 35 वर्ष की आयु के पुरुषों में श्वसन दर औसतन 19 साँस प्रति मिनट है।
यदि किसी वैरिएंट के अलग-अलग मानों को दोहराया जाता है, तो प्रत्येक वैरिएंट को एक पंक्ति में लिखने की आवश्यकता नहीं है; यह होने वाले वैरिएंट के आकारों को सूचीबद्ध करने के लिए पर्याप्त है (वी) और आगे उनकी पुनरावृत्ति की संख्या को इंगित करने के लिए (पी) ). ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला, जिसमें विकल्पों को उनके अनुरूप आवृत्तियों की संख्या के अनुसार भारित किया जाता है, भारित परिवर्तनशील श्रृंखला कहलाती है, और परिकलित औसत मान अंकगणितीय भारित औसत होता है।
अंकगणितीय भारित औसत सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: एम = ∑Vp/n
जहां n आवृत्तियों के योग के बराबर अवलोकनों की संख्या है - Σr।
अंकगणितीय भारित औसत की गणना का एक उदाहरण.
चालू वर्ष की पहली तिमाही के दौरान स्थानीय डॉक्टर द्वारा इलाज किए गए तीव्र श्वसन रोग (एआरआई) वाले 35 रोगियों में विकलांगता की अवधि (दिनों में) थी: 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6 , 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6 , 7 दिन .
तीव्र श्वसन संक्रमण वाले रोगियों में विकलांगता की औसत अवधि निर्धारित करने की पद्धति इस प्रकार है:
1. आइए एक भारित परिवर्तनशील श्रृंखला बनाएं, क्योंकि अलग-अलग भिन्न मान कई बार दोहराए जाते हैं। ऐसा करने के लिए, आप सभी विकल्पों को उनकी संगत आवृत्तियों के साथ आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं।
हमारे मामले में, विकल्प आरोही क्रम में हैं।
2. सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय भारित औसत की गणना करें: एम = ∑Vp/n = 233/35 = 6.7 दिन
विकलांगता की अवधि के अनुसार तीव्र श्वसन संक्रमण वाले रोगियों का वितरण:
| कार्य के लिए अक्षमता की अवधि (V) | रोगियों की संख्या (पी) | वीपी |
| ∑p = n = 35 | ∑Vp = 233 |
निष्कर्ष। तीव्र श्वसन रोगों वाले रोगियों में विकलांगता की अवधि औसतन 6.7 दिन थी।
विविधता श्रृंखला में मोड (मो) सबसे आम प्रकार है। तालिका में प्रस्तुत वितरण के लिए, मोड 10 के बराबर संस्करण से मेल खाता है, यह दूसरों की तुलना में अधिक बार होता है - 6 बार।
अस्पताल के बिस्तर पर रहने की अवधि के अनुसार रोगियों का वितरण (दिनों में)
| वी |
| पी |
कभी-कभी मोड का सटीक मान निर्धारित करना मुश्किल होता है, क्योंकि अध्ययन किए जा रहे डेटा में कई अवलोकन हो सकते हैं जो "अक्सर" होते हैं।
माध्यिका (मी) एक गैर-पैरामीट्रिक संकेतक है जो भिन्नता श्रृंखला को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है: माध्यिका के दोनों किनारों पर समान संख्या में विकल्प स्थित होते हैं।
उदाहरण के लिए, तालिका में दिखाए गए वितरण के लिए, माध्यिका 10 है क्योंकि इस मान के दोनों ओर 14वें विकल्प पर स्थित है, अर्थात। संख्या 10 इस श्रृंखला में एक केंद्रीय स्थान रखती है और इसकी मध्यिका है।
यह देखते हुए कि इस उदाहरण में प्रेक्षणों की संख्या सम (n=34) है, माध्यिका को निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:
मी = 2+3+4+5+6+5+4+3+2/2 = 34/2 = 17
इसका मतलब यह है कि श्रृंखला का मध्य सत्रहवें विकल्प पर पड़ता है, जो 10 के माध्य से मेल खाता है। तालिका में प्रस्तुत वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य है:
एम = ∑Vp/n = 334/34 = 10.1
तो, तालिका से 34 अवलोकनों के लिए। 8, हमें मिला: Mo=10, Me=10, अंकगणितीय माध्य (M) 10.1 है। हमारे उदाहरण में, तीनों संकेतक एक-दूसरे के बराबर या करीब निकले, हालांकि वे पूरी तरह से अलग हैं।
अंकगणित माध्य सभी प्रभावों का परिणामी योग है; सभी प्रकार, बिना किसी अपवाद के, इसके गठन में भाग लेते हैं, जिनमें चरम भी शामिल हैं, जो अक्सर किसी दिए गए घटना या सेट के लिए असामान्य होते हैं।
मोड और माध्यिका, अंकगणितीय माध्य के विपरीत, चर विशेषता के सभी व्यक्तिगत मूल्यों (चरम वेरिएंट के मान और श्रृंखला के बिखरने की डिग्री) के मूल्य पर निर्भर नहीं करते हैं। अंकगणित माध्य अवलोकनों के संपूर्ण द्रव्यमान की विशेषता बताता है, मोड और माध्य बड़े पैमाने की विशेषता बताते हैं
