रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्रैमर विधि। क्रैमर का नियम

2. मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।
3. समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

क्रैमर विधि.

क्रैमर विधि का उपयोग रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है ( टूटना).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करते हुए सूत्र।
दिया गया:क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

चर के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
आइए निर्धारकों की प्रणाली की गणना के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को ढूंढें। :

आइए क्रैमर के सूत्र लागू करें और चरों के मान ज्ञात करें:
और .
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:


आइए इस निर्धारक में पहले कॉलम को सिस्टम के दाईं ओर से गुणांक के कॉलम से बदलें और इसका मान ढूंढें:

आइए एक समान कार्य करें, पहले निर्धारक में दूसरे कॉलम को प्रतिस्थापित करें:

उपयुक्त क्रैमर के सूत्रऔर चरों के मान ज्ञात करें:
और ।
उत्तर:
टिप्पणी:यह विधि उच्च आयामों की प्रणालियों को हल कर सकती है।

टिप्पणी:यदि यह पता चलता है कि, लेकिन इसे शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है, तो वे कहते हैं कि सिस्टम के पास कोई अद्वितीय समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम में या तो अनंत रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 2(समाधान की अनंत संख्या):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
आइए सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को ढूंढें:

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना।

सिस्टम के समीकरणों में से पहला एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर होता है)। इसका मतलब है कि अब केवल एक ही समीकरण बचा है. यह चरों के बीच संबंध के लिए एक समीकरण है।
हमने पाया कि सिस्टम का समाधान समानता द्वारा एक दूसरे से संबंधित चर के मूल्यों की कोई जोड़ी है।
सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाएगा:
विशेष समाधान y का एक मनमाना मान चुनकर और इस कनेक्शन समानता से x की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है।

वगैरह।
ऐसे अनगिनत समाधान हैं।
उत्तर:सामान्य निर्णय
निजी समाधान:

उदाहरण 3(कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:
आइए सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को ढूंढें:

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग नहीं किया जा सकता. आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य नहीं है (बेशक, चूंकि -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम का कोई एक समीकरण चर के किसी भी मान के लिए सत्य नहीं है, तो पूरे सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
उत्तर:कोई समाधान नहीं

क्रैमर विधि का उपयोग रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है जिसमें अज्ञात चर की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है और मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है। इस लेख में हम विश्लेषण करेंगे कि क्रैमर विधि का उपयोग करके अज्ञात चर कैसे पाए जाते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं। इसके बाद, आइए उदाहरणों पर आगे बढ़ें और क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के समाधान का विस्तार से वर्णन करें।

पेज नेविगेशन.

क्रैमर विधि - सूत्रों की व्युत्पत्ति।

आइए हमें प्रपत्र के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जहाँ x 1, x 2, …, x n अज्ञात चर हैं, a i j, मैं = 1, 2, …, एन, जे = 1, 2, …, एन- संख्यात्मक गुणांक, बी 1, बी 2, ..., बी एन - मुक्त पद। SLAE का समाधान मानों का एक ऐसा सेट है x 1 , x 2 , …, x n जिसके लिए सिस्टम के सभी समीकरण पहचान बन जाते हैं।

मैट्रिक्स रूप में, इस प्रणाली को ए ⋅ एक्स = बी के रूप में लिखा जा सकता है, जहां - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, इसके तत्व अज्ञात चर के गुणांक हैं, - मैट्रिक्स मुक्त शब्दों का एक स्तंभ है, और - मैट्रिक्स अज्ञात चर का एक स्तंभ है। अज्ञात चर x 1, x 2, …, x n खोजने के बाद, मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली का समाधान बन जाता है और समानता A ⋅ X = B एक पहचान बन जाती है।

हम मान लेंगे कि मैट्रिक्स ए गैर-एकवचन है, यानी इसका सारणिक गैर-शून्य है। इस मामले में, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है। (प्रणालियों को हल करने की विधियों की चर्चा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने वाले अनुभाग में की गई है)।

क्रैमर की विधि मैट्रिक्स निर्धारक के दो गुणों पर आधारित है:

तो, आइए अज्ञात चर x 1 को खोजना शुरू करें। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम के पहले समीकरण के दोनों हिस्सों को A 1 1 से गुणा करते हैं, दूसरे समीकरण के दोनों हिस्सों को A 2 1 से गुणा करते हैं, और इसी तरह, nवें समीकरण के दोनों हिस्सों को A n 1 से गुणा करते हैं (अर्थात्, हम पहले मैट्रिक्स कॉलम ए के संबंधित बीजगणितीय पूरक द्वारा सिस्टम के समीकरणों को गुणा करें):

आइए सिस्टम समीकरण के सभी बाएं पक्षों को जोड़ें, अज्ञात चर x 1, x 2, ..., x n के लिए पदों को समूहीकृत करें, और इस योग को समीकरण के सभी दाएं पक्षों के योग के बराबर करें:

यदि हम सारणिक के पहले उल्लिखित गुणों की ओर मुड़ते हैं, तो हमारे पास है

और पिछली समानता का रूप ले लेती है

कहाँ

इसी प्रकार, हम x 2 पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स ए के दूसरे कॉलम के बीजगणितीय पूरक द्वारा सिस्टम समीकरणों के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं:

हम सिस्टम के सभी समीकरणों को जोड़ते हैं, अज्ञात चर x 1, x 2, ..., x n के लिए शर्तों को समूहीकृत करते हैं और सारणिक के गुणों को लागू करते हैं:

कहाँ
.

शेष अज्ञात चर इसी प्रकार पाए जाते हैं।

यदि हम नामित करते हैं

फिर हमें मिलता है क्रैमर विधि का उपयोग करके अज्ञात चर खोजने के सूत्र .

टिप्पणी।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली सजातीय है, अर्थात , तो इसका केवल एक तुच्छ समाधान (पर) है। वास्तव में, शून्य मुक्त पदों के लिए, सभी निर्धारक शून्य के बराबर होगा, क्योंकि उनमें शून्य तत्वों का एक स्तंभ होगा। इसलिए, सूत्र दे देंगे ।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

चलो इसे लिख लें क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिदम.

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

आइए कई उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है। आइए सूत्र का उपयोग करके इसके निर्धारक की गणना करें :

चूँकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है, SLAE के पास एक अद्वितीय समाधान है, और इसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है। आइए निर्धारकों को लिखें और। हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के पहले कॉलम को मुक्त शब्दों के कॉलम से बदलते हैं, और हम निर्धारक प्राप्त करते हैं . इसी प्रकार, हम मुख्य मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलते हैं, और हमें मिलता है।

हम इन निर्धारकों की गणना करते हैं:

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर x 1 और x 2 खोजें :

की जाँच करें। आइए समीकरणों की मूल प्रणाली में प्राप्त मान x 1 और x 2 को प्रतिस्थापित करें:

सिस्टम के दोनों समीकरण सर्वसमिका बन जाते हैं, इसलिए समाधान सही पाया गया।

उत्तर:

.

SLAE के मुख्य मैट्रिक्स के कुछ तत्व शून्य के बराबर हो सकते हैं। इस मामले में, संबंधित अज्ञात चर सिस्टम समीकरणों से अनुपस्थित होंगे। आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

आइए सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखें , ताकि सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स दिखाई दे सके . आइए सूत्र का उपयोग करके इसका निर्धारक ज्ञात करें

हमारे पास है

मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्येतर है, इसलिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है। आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके खोजें। आइए निर्धारकों की गणना करें :

इस प्रकार,

उत्तर:

सिस्टम समीकरणों में अज्ञात चर के पदनाम x 1, x 2, ..., x n से भिन्न हो सकते हैं। इससे निर्णय प्रक्रिया प्रभावित नहीं होती. लेकिन मुख्य मैट्रिक्स और क्रैमर विधि के आवश्यक निर्धारकों को संकलित करते समय सिस्टम के समीकरणों में अज्ञात चर का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस बात को एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण।

क्रैमर विधि का उपयोग करके, तीन अज्ञात में तीन रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

इस उदाहरण में, अज्ञात चर का एक अलग अंकन है (x1, x2 और x3 के बजाय x, y और z)। यह समाधान को प्रभावित नहीं करता है, लेकिन परिवर्तनीय लेबल से सावधान रहें। आप इसे सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रूप में नहीं ले सकते . सबसे पहले सिस्टम के सभी समीकरणों में अज्ञात चरों को क्रमबद्ध करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखते हैं . अब सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स स्पष्ट रूप से दिखाई देता है . आइए इसके निर्धारक की गणना करें:

मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्येतर है, इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है। आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके खोजें। आइए निर्धारकों को लिखें (अंकन पर ध्यान दें) और उनकी गणना करें:

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चरों को खोजना बाकी है :

की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, मुख्य मैट्रिक्स को परिणामी समाधान से गुणा करें (यदि आवश्यक हो, अनुभाग देखें):

परिणामस्वरूप, हमें समीकरणों की मूल प्रणाली के मुक्त पदों का एक स्तंभ प्राप्त हुआ, इसलिए समाधान सही पाया गया।

उत्तर:

x = 0, y = -2, z = 3.

उदाहरण।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें , जहाँ a और b कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं।

समाधान।

उत्तर:

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें क्रैमर विधि द्वारा, - कुछ वास्तविक संख्या।

समाधान।

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:। इसलिए, किसी भी वास्तविक मान के लिए अभिव्यक्ति एक अंतराल है। नतीजतन, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है। हम गणना करते हैं और:

तरीकों क्रेमरऔर गॉस- सबसे लोकप्रिय समाधान विधियों में से एक टूटना. इसके अलावा, कुछ मामलों में विशिष्ट तरीकों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। सत्र करीब है, और अब उन्हें दोबारा दोहराने या उनमें महारत हासिल करने का समय आ गया है। आज हम क्रैमर विधि का उपयोग करके समाधान देखेंगे। आख़िरकार, क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना एक बहुत ही उपयोगी कौशल है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली निम्न प्रकार के समीकरणों की एक प्रणाली है:

मान सेट एक्स , जिसमें सिस्टम के समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, सिस्टम का समाधान कहलाता है, ए और बी वास्तविक गुणांक हैं. दो अज्ञात वाले दो समीकरणों से युक्त एक सरल प्रणाली को आपके दिमाग में या एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करके हल किया जा सकता है। लेकिन एक SLAE में दो से अधिक चर (xes) हो सकते हैं, और यहां साधारण स्कूल जोड़-तोड़ पर्याप्त नहीं हैं। क्या करें? उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि का उपयोग करके SLAE को हल करें!

तो, सिस्टम को शामिल होने दें एन के साथ समीकरण एन अज्ञात।

ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है

यहाँ ए - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, एक्स और बी , क्रमशः, अज्ञात चर और मुक्त शर्तों के कॉलम मैट्रिक्स।

क्रैमर विधि का उपयोग करके SLAE को हल करना

यदि मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है (मैट्रिक्स गैर-एकवचन है), तो सिस्टम को क्रैमर विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

क्रैमर विधि के अनुसार, समाधान सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

यहाँ डेल्टा मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और डेल्टा एक्स nth - nवें कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक।

यह क्रैमर विधि का संपूर्ण सार है। उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करना एक्स वांछित प्रणाली में, हम अपने समाधान की शुद्धता (या इसके विपरीत) के प्रति आश्वस्त हैं। सार को शीघ्रता से समझने में आपकी सहायता के लिए, हम क्रैमर विधि का उपयोग करके SLAE के विस्तृत समाधान का एक उदाहरण नीचे देते हैं:

भले ही आप पहली बार सफल न हों, निराश न हों! थोड़े से अभ्यास से, आप एसएलएयू को पागलों की तरह तोड़ना शुरू कर देंगे। इसके अलावा, अब बोझिल गणनाओं को हल करने और मूल बातें लिखने के लिए नोटबुक पर ध्यान देना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। आप आसानी से ऑनलाइन क्रैमर पद्धति का उपयोग करके SLAE को हल कर सकते हैं, बस तैयार फॉर्म में गुणांकों को प्रतिस्थापित करके। उदाहरण के लिए, आप इस वेबसाइट पर क्रैमर विधि का उपयोग करके ऑनलाइन समाधान कैलकुलेटर आज़मा सकते हैं।

और यदि सिस्टम जिद्दी हो जाता है और हार नहीं मानता है, तो आप हमेशा मदद के लिए हमारे लेखकों की ओर रुख कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। यदि सिस्टम में कम से कम 100 अज्ञात हैं, तो हम निश्चित रूप से इसे सही ढंग से और समय पर हल करेंगे!

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। इससे समाधान प्रक्रिया में काफी तेजी आती है।

क्रैमर विधि का उपयोग उतने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात हैं। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में क्रैमर विधि का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन यदि यह शून्य के बराबर है, तो इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, क्रैमर विधि का उपयोग उन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनका एक अद्वितीय समाधान होता है।

परिभाषा. अज्ञात के गुणांकों से बने निर्धारक को सिस्टम का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) दर्शाया जाता है।

निर्धारकों

संबंधित अज्ञात के गुणांकों को मुक्त पदों से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक शून्येतर है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर में सिस्टम का निर्धारक होता है, और अंश में इस अज्ञात के गुणांक को मुक्त शब्दों के साथ प्रतिस्थापित करके सिस्टम के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक होता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए लागू होता है।

उदाहरण 1।रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर का प्रमेयहमारे पास है:

तो, सिस्टम का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की समाधान विधि।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय तीन मामले

जैसा कि स्पष्ट है क्रैमर का प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले घटित हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात और मुक्त पदों के गुणांक आनुपातिक हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत है)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहलाते हैं गैर संयुक्त, यदि उसके पास एक भी समाधान नहीं है, और संयुक्त, यदि इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक युगपत प्रणाली जिसका केवल एक ही हल हो, कहलाती है निश्चित, और एक से अधिक - ढुलमुल.

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

व्यवस्था दी जाए

.

क्रैमर प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ
-

सिस्टम निर्धारक. हम कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांकों के साथ मुक्त शर्तों के साथ प्रतिस्थापित करके शेष निर्धारक प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2.

.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) सिस्टम का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 एक्स 3 और 4 एक्स 4 की प्रणालियों के समाधान की जांच करने के लिए, आप क्रैमर की समाधान विधि का उपयोग करके एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

यदि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में एक या अधिक समीकरणों में कोई चर नहीं हैं, तो निर्धारक में संबंधित तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है.

उदाहरण 3.क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों की प्रणाली और प्रणाली के निर्धारक को ध्यान से देखें और प्रश्न का उत्तर दोहराएं कि किन मामलों में सारणिक के एक या अधिक तत्व शून्य के बराबर हैं। अतः, सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए प्रणाली निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 एक्स 3 और 4 एक्स 4 की प्रणालियों के समाधान की जांच करने के लिए, आप क्रैमर की समाधान विधि का उपयोग करके एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

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हम साथ मिलकर क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, यानी इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करें।

उदाहरण 6.क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, इसलिए, रैखिक समीकरणों का निकाय या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 एक्स 3 और 4 एक्स 4 की प्रणालियों के समाधान की जांच करने के लिए, आप क्रैमर की समाधान विधि का उपयोग करके एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से जुड़ी समस्याओं में, ऐसी समस्याएँ भी होती हैं, जहाँ चर को दर्शाने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर एक संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो अक्सर वास्तविक होती है। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरणों की प्रणालियाँ किसी घटना या वस्तु के सामान्य गुणों की खोज की समस्याओं के कारण उत्पन्न होती हैं। अर्थात्, आपने कुछ नई सामग्री या उपकरण का आविष्कार किया है, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो नमूने के आकार या मात्रा की परवाह किए बिना सामान्य हैं, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय हैं पत्र. आपको उदाहरणों के लिए दूर तक देखने की ज़रूरत नहीं है।

निम्नलिखित उदाहरण एक समान समस्या के लिए है, केवल एक निश्चित वास्तविक संख्या को दर्शाने वाले समीकरणों, चर और अक्षरों की संख्या बढ़ जाती है।

उदाहरण 8.क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना