​ पियर्सन सहसंबंध परीक्षण पैरामीट्रिक आंकड़ों की एक विधि है जो आपको दो मात्रात्मक संकेतकों के बीच एक रैखिक संबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति को निर्धारित करने के साथ-साथ इसकी निकटता और सांख्यिकीय महत्व का मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। दूसरे शब्दों में, पियर्सन सहसंबंध परीक्षण आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि दो चर के मूल्यों में परिवर्तन के बीच कोई रैखिक संबंध है या नहीं। सांख्यिकीय गणनाओं और अनुमानों में, सहसंबंध गुणांक को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है आर xyया आरएक्सवाई.

1. सहसंबंध मानदंड के विकास का इतिहास

पियर्सन सहसंबंध परीक्षण किसके नेतृत्व में ब्रिटिश वैज्ञानिकों की एक टीम द्वारा विकसित किया गया था कार्ल पियर्सन(1857-1936) 19वीं शताब्दी के 90 के दशक में, दो यादृच्छिक चर के सहप्रसरण के विश्लेषण को सरल बनाने के लिए। कार्ल पियर्सन के अलावा, लोगों ने पियर्सन सहसंबंध मानदंड पर भी काम किया फ्रांसिस एडगेवर्थऔर राफेल वेल्डन.

2. पियर्सन सहसंबंध परीक्षण किसके लिए प्रयोग किया जाता है?

पियर्सन सहसंबंध परीक्षण आपको मात्रात्मक पैमाने पर मापे गए दो संकेतकों के बीच सहसंबंध की निकटता (या ताकत) निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतिरिक्त गणनाओं का उपयोग करके, आप यह भी निर्धारित कर सकते हैं कि पहचाना गया संबंध सांख्यिकीय रूप से कितना महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, पियर्सन सहसंबंध मानदंड का उपयोग करके, आप इस सवाल का जवाब दे सकते हैं कि क्या तीव्र श्वसन संक्रमण के दौरान शरीर के तापमान और रक्त में ल्यूकोसाइट्स की सामग्री के बीच, रोगी की ऊंचाई और वजन के बीच, फ्लोराइड सामग्री के बीच कोई संबंध है। पीने का पानी और जनसंख्या में दंत क्षय की घटनाएँ।

3. पियर्सन ची-स्क्वायर परीक्षण लागू करने की शर्तें और सीमाएँ

1. तुलनीय संकेतकों को मापा जाना चाहिए मात्रात्मक पैमाना(उदाहरण के लिए, हृदय गति, शरीर का तापमान, प्रति 1 मिलीलीटर रक्त में श्वेत रक्त कोशिका की गिनती, सिस्टोलिक रक्तचाप)।
2. पियर्सन सहसंबंध परीक्षण का उपयोग करके, हम केवल निर्धारित कर सकते हैं रैखिक संबंध की उपस्थिति और मजबूतीमात्राओं के बीच. दिशा (प्रत्यक्ष या विपरीत), परिवर्तनों की प्रकृति (सीधा या वक्रता), साथ ही एक चर की दूसरे पर निर्भरता की उपस्थिति सहित संबंध की अन्य विशेषताएं, प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग करके निर्धारित की जाती हैं।
3. तुलना की गई मात्राओं की संख्या दो के बराबर होनी चाहिए। तीन या अधिक मापदंडों के संबंध का विश्लेषण करने के मामले में, आपको विधि का उपयोग करना चाहिए कारक विश्लेषण.
4. पियर्सन सहसंबंध परीक्षण है पैरामीट्रिक, और इसलिए इसके उपयोग की शर्त है सामान्य वितरणतुलना किए गए चर। यदि उन संकेतकों का सहसंबंध विश्लेषण करना आवश्यक है जिनका वितरण सामान्य से भिन्न होता है, जिसमें क्रमिक पैमाने पर मापे गए संकेतक भी शामिल हैं, तो स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाना चाहिए।
5. निर्भरता और सहसंबंध की अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से अलग किया जाना चाहिए। मात्राओं की निर्भरता उनके बीच सहसंबंध की उपस्थिति को निर्धारित करती है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

उदाहरण के लिए, बच्चे की लम्बाई उसकी उम्र पर निर्भर करती है, यानी बच्चा जितना बड़ा होगा, वह उतना ही लम्बा होगा। यदि हम अलग-अलग उम्र के दो बच्चों को लें, तो उच्च संभावना के साथ बड़े बच्चे की वृद्धि छोटे बच्चे की तुलना में अधिक होगी। इस घटना को कहा जाता है लत, संकेतकों के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध को दर्शाता है। बेशक, उनके बीच भी है सहसंबंध संबंध, जिसका अर्थ है कि एक संकेतक में परिवर्तन के साथ दूसरे संकेतक में भी परिवर्तन होता है।

एक अन्य स्थिति में, बच्चे की ऊंचाई और हृदय गति (एचआर) के बीच संबंध पर विचार करें। जैसा कि ज्ञात है, ये दोनों मूल्य सीधे उम्र पर निर्भर करते हैं, इसलिए ज्यादातर मामलों में, अधिक ऊंचाई (और इसलिए अधिक उम्र) के बच्चों की हृदय गति कम होगी। वह है, सहसंबंध संबंधमनाया जाएगा और काफी अधिक भीड़ हो सकती है। हालाँकि, अगर हम बच्चों को लेते हैं समान आयु, लेकिन अलग-अलग ऊंचाई, तो, सबसे अधिक संभावना है, उनकी हृदय गति नगण्य रूप से भिन्न होगी, और इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं आजादीऊंचाई से हृदय गति.

उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि सांख्यिकी में मूलभूत अवधारणाओं के बीच अंतर करना कितना महत्वपूर्ण है। संचारऔर निर्भरताएँसही निष्कर्ष निकालने के लिए संकेतक.

4. पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना कैसे करें?

पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

5. पियर्सन सहसंबंध गुणांक के मूल्य की व्याख्या कैसे करें?

पियर्सन सहसंबंध गुणांक मूल्यों की व्याख्या उनके निरपेक्ष मूल्यों के आधार पर की जाती है। सहसंबंध गुणांक के संभावित मान 0 से ±1 तक भिन्न होते हैं। rxy का निरपेक्ष मान जितना अधिक होगा, दोनों मात्राओं के बीच संबंध की निकटता उतनी ही अधिक होगी। r xy = 0 संचार की पूर्ण कमी को दर्शाता है। r xy = 1 - एक निरपेक्ष (कार्यात्मक) कनेक्शन की उपस्थिति को इंगित करता है। यदि पियर्सन सहसंबंध मानदंड का मान 1 से अधिक या -1 से कम हो जाता है, तो गणना में एक त्रुटि हुई है।

सहसंबंध की जकड़न, या ताकत का आकलन करने के लिए, आम तौर पर स्वीकृत मानदंड का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार आरएक्सवाई के पूर्ण मान< 0.3 свидетельствуют о कमज़ोरकनेक्शन, r xy मान 0.3 से 0.7 तक - कनेक्शन के बारे में औसतजकड़न, r xy > 0.7 - o का मान मज़बूतसंचार.

यदि आप उपयोग करते हैं तो सहसंबंध की ताकत का अधिक सटीक अनुमान प्राप्त किया जा सकता है चैडॉक टेबल:

श्रेणी आंकड़ों की महत्तासहसंबंध गुणांक r xy को t-परीक्षण का उपयोग करके किया जाता है, जिसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्राप्त t r मान की तुलना एक निश्चित महत्व स्तर पर महत्वपूर्ण मान और स्वतंत्रता की डिग्री n-2 की संख्या से की जाती है। यदि टी आर टी क्रिट से अधिक है, तो पहचाने गए सहसंबंध के सांख्यिकीय महत्व के बारे में एक निष्कर्ष निकाला जाता है।

6. पियर्सन सहसंबंध गुणांक की गणना का उदाहरण

अध्ययन का उद्देश्य दो मात्रात्मक संकेतकों के बीच सहसंबंध की निकटता और सांख्यिकीय महत्व की पहचान करना, निर्धारित करना था: रक्त में टेस्टोस्टेरोन का स्तर (एक्स) और शरीर में मांसपेशियों का प्रतिशत (वाई)। 5 विषयों (एन = 5) वाले नमूने के प्रारंभिक डेटा को तालिका में संक्षेपित किया गया है।

वैज्ञानिक अनुसंधान में, अक्सर परिणाम और कारक चर (फसल की उपज और वर्षा की मात्रा, लिंग और उम्र के अनुसार सजातीय समूहों में एक व्यक्ति की ऊंचाई और वजन, हृदय गति और शरीर का तापमान) के बीच संबंध खोजने की आवश्यकता होती है। , वगैरह।)।

दूसरे वे संकेत हैं जो उनसे जुड़े लोगों (पहले) में बदलाव में योगदान करते हैं।

सहसंबंध विश्लेषण की अवधारणा

उपरोक्त के आधार पर, हम कह सकते हैं कि सहसंबंध विश्लेषण एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग दो या दो से अधिक चर के सांख्यिकीय महत्व के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जाता है यदि शोधकर्ता उन्हें माप सकता है, लेकिन उन्हें बदल नहीं सकता है।

विचाराधीन अवधारणा की अन्य परिभाषाएँ भी हैं। सहसंबंध विश्लेषण एक प्रसंस्करण विधि है जिसमें चर के बीच सहसंबंध गुणांक का अध्ययन करना शामिल है। इस मामले में, एक जोड़ी या विशेषताओं के कई जोड़े के बीच सहसंबंध गुणांक की तुलना उनके बीच सांख्यिकीय संबंध स्थापित करने के लिए की जाती है। सहसंबंध विश्लेषण एक सख्त कार्यात्मक प्रकृति की वैकल्पिक उपस्थिति के साथ यादृच्छिक चर के बीच सांख्यिकीय निर्भरता का अध्ययन करने की एक विधि है, जिसमें एक यादृच्छिक चर की गतिशीलता दूसरे की गणितीय अपेक्षा की गतिशीलता की ओर ले जाती है।

गलत सहसंबंध की अवधारणा

सहसंबंध विश्लेषण करते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि इसे विशेषताओं के किसी भी सेट के संबंध में किया जा सकता है, जो अक्सर एक दूसरे के संबंध में बेतुका होता है। कभी-कभी उनका एक-दूसरे के साथ कोई कारणात्मक संबंध नहीं होता है।

इस मामले में, वे गलत सहसंबंध के बारे में बात करते हैं।

सहसंबंध विश्लेषण की समस्याएं

उपरोक्त परिभाषाओं के आधार पर, हम वर्णित विधि के निम्नलिखित कार्य तैयार कर सकते हैं: दूसरे का उपयोग करके मांगे गए चर में से एक के बारे में जानकारी प्राप्त करना; अध्ययन किए गए चरों के बीच संबंध की निकटता निर्धारित करें।

सहसंबंध विश्लेषण में अध्ययन की जा रही विशेषताओं के बीच संबंध निर्धारित करना शामिल है, और इसलिए सहसंबंध विश्लेषण के कार्यों को निम्नलिखित के साथ पूरक किया जा सकता है:

• उन कारकों की पहचान जिनका परिणामी विशेषता पर सबसे अधिक प्रभाव पड़ता है;
• कनेक्शन के पहले से अज्ञात कारणों की पहचान;
• इसके पैरामीट्रिक विश्लेषण के साथ सहसंबंध मॉडल का निर्माण;
• संचार मापदंडों के महत्व और उनके अंतराल मूल्यांकन का अध्ययन।

सहसंबंध विश्लेषण और प्रतिगमन के बीच संबंध

सहसंबंध विश्लेषण की विधि अक्सर अध्ययन की गई मात्राओं के बीच संबंध की निकटता का पता लगाने तक सीमित नहीं है। कभी-कभी इसे प्रतिगमन समीकरणों के संकलन द्वारा पूरक किया जाता है, जो एक ही नाम के विश्लेषण का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं, और जो परिणामी और कारक (कारक) विशेषता (विशेषताओं) के बीच सहसंबंध निर्भरता का विवरण प्रस्तुत करते हैं। यह विधि, विचाराधीन विश्लेषण के साथ मिलकर, विधि का निर्माण करती है

विधि का उपयोग करने की शर्तें

प्रभावी कारक एक से कई कारकों पर निर्भर करते हैं। यदि प्रभावी और कारक संकेतकों (कारकों) के मूल्य के बारे में बड़ी संख्या में अवलोकन हैं, तो सहसंबंध विश्लेषण की विधि का उपयोग किया जा सकता है, जबकि अध्ययन के तहत कारक मात्रात्मक होने चाहिए और विशिष्ट स्रोतों में परिलक्षित होने चाहिए। पहले को सामान्य कानून द्वारा निर्धारित किया जा सकता है - इस मामले में, सहसंबंध विश्लेषण का परिणाम पियर्सन सहसंबंध गुणांक है, या, यदि विशेषताएँ इस कानून का पालन नहीं करती हैं, तो स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाता है।

सहसंबंध विश्लेषण कारकों के चयन के नियम

इस पद्धति को लागू करते समय, प्रदर्शन संकेतकों को प्रभावित करने वाले कारकों को निर्धारित करना आवश्यक है। उनका चयन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए किया जाता है कि संकेतकों के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध होना चाहिए। एक मल्टीफैक्टर सहसंबंध मॉडल बनाने के मामले में, परिणामी संकेतक पर महत्वपूर्ण प्रभाव डालने वाले लोगों का चयन किया जाता है, जबकि सहसंबंध मॉडल में 0.85 से अधिक के युग्म सहसंबंध गुणांक वाले अन्योन्याश्रित कारकों को शामिल नहीं करना बेहतर होता है, साथ ही वे भी जिसके लिए परिणामी पैरामीटर के साथ संबंध रैखिक या कार्यात्मक चरित्र नहीं है।

परिणाम प्रदर्शित हो रहे हैं

सहसंबंध विश्लेषण के परिणाम पाठ और ग्राफिक रूपों में प्रस्तुत किए जा सकते हैं। पहले मामले में, उन्हें सहसंबंध गुणांक के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, दूसरे में - एक बिखराव आरेख के रूप में।

मापदंडों के बीच सहसंबंध की अनुपस्थिति में, आरेख पर बिंदु अव्यवस्थित रूप से स्थित होते हैं, कनेक्शन की औसत डिग्री को क्रम की एक बड़ी डिग्री की विशेषता होती है और मध्यिका से चिह्नित निशानों की अधिक या कम समान दूरी की विशेषता होती है। एक मजबूत कनेक्शन सीधा होता है और r=1 पर डॉट प्लॉट एक सपाट रेखा होती है। विपरीत सहसंबंध ग्राफ़ की दिशा में ऊपरी बाएं से निचले दाएं कोने तक भिन्न होता है, सीधा सहसंबंध - निचले बाएं से ऊपरी दाएं कोने तक भिन्न होता है।

स्कैटर प्लॉट का 3डी प्रतिनिधित्व

पारंपरिक 2डी स्कैटर प्लॉट डिस्प्ले के अलावा, सहसंबंध विश्लेषण का 3डी ग्राफिकल प्रतिनिधित्व अब उपयोग किया जाता है।

स्कैटरप्लॉट मैट्रिक्स का भी उपयोग किया जाता है, जो सभी युग्मित प्लॉट्स को मैट्रिक्स प्रारूप में एक ही आकृति में प्रदर्शित करता है। n वेरिएबल्स के लिए, मैट्रिक्स में n पंक्तियाँ और n कॉलम होते हैं। आई-वें पंक्ति और जे-वें कॉलम के चौराहे पर स्थित चार्ट वेरिएबल Xi बनाम Xj का एक प्लॉट है। इस प्रकार, प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ एक आयाम है, एक एकल कक्ष दो आयामों का स्कैटरप्लॉट प्रदर्शित करता है।

कनेक्शन की मजबूती का आकलन करना

सहसंबंध कनेक्शन की निकटता सहसंबंध गुणांक (आर) द्वारा निर्धारित की जाती है: मजबूत - आर = ±0.7 से ±1, मध्यम - आर = ±0.3 से ±0.699, कमजोर - आर = 0 से ±0.299। यह वर्गीकरण सख्त नहीं है. यह आंकड़ा थोड़ा अलग आरेख दिखाता है।

सहसंबंध विश्लेषण पद्धति का उपयोग करने का एक उदाहरण

ब्रिटेन में एक दिलचस्प अध्ययन किया गया। यह धूम्रपान और फेफड़ों के कैंसर के बीच संबंध के लिए समर्पित है, और सहसंबंध विश्लेषण के माध्यम से किया गया था। यह अवलोकन नीचे प्रस्तुत किया गया है।

हम सहसंबंध विश्लेषण शुरू करते हैं। स्पष्टता के लिए, समाधान को ग्राफिकल विधि से शुरू करना बेहतर है, जिसके लिए हम एक स्कैटर आरेख का निर्माण करेंगे।

यह सीधा संबंध दर्शाता है. हालाँकि, अकेले ग्राफिकल विधि के आधार पर कोई स्पष्ट निष्कर्ष निकालना मुश्किल है। इसलिए, हम सहसंबंध विश्लेषण करना जारी रखेंगे। सहसंबंध गुणांक की गणना का एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

सॉफ़्टवेयर का उपयोग करना (एमएस एक्सेल को एक उदाहरण के रूप में नीचे वर्णित किया जाएगा), हम सहसंबंध गुणांक निर्धारित करते हैं, जो 0.716 है, जिसका अर्थ है अध्ययन के तहत मापदंडों के बीच एक मजबूत संबंध। आइए संबंधित तालिका का उपयोग करके प्राप्त मूल्य की सांख्यिकीय विश्वसनीयता निर्धारित करें, जिसके लिए हमें 25 जोड़े मानों में से 2 घटाने की आवश्यकता है, परिणामस्वरूप हमें 23 मिलता है और तालिका में इस पंक्ति का उपयोग करके हम r को p = 0.01 के लिए महत्वपूर्ण पाते हैं (चूंकि ये चिकित्सा डेटा हैं, एक अधिक सख्त निर्भरता, अन्य मामलों में पी=0.05 पर्याप्त है), जो इस सहसंबंध विश्लेषण के लिए 0.51 है। उदाहरण से पता चला कि परिकलित r महत्वपूर्ण r से अधिक है, और सहसंबंध गुणांक का मान सांख्यिकीय रूप से विश्वसनीय माना जाता है।

सहसंबंध विश्लेषण करते समय सॉफ़्टवेयर का उपयोग करना

वर्णित प्रकार की सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग सॉफ़्टवेयर, विशेष रूप से एमएस एक्सेल का उपयोग करके की जा सकती है। सहसंबंध में फ़ंक्शंस का उपयोग करके निम्नलिखित मापदंडों की गणना करना शामिल है:

1. सहसंबंध गुणांक CORREL फ़ंक्शन (array1; array2) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। Array1,2 - परिणामी और कारक चर के मानों के अंतराल का सेल।

रैखिक सहसंबंध गुणांक को पियर्सन सहसंबंध गुणांक भी कहा जाता है, और इसलिए, एक्सेल 2007 से शुरू करके, आप समान सरणियों के साथ फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं।

एक्सेल में सहसंबंध विश्लेषण का ग्राफिकल प्रदर्शन "स्कैटर प्लॉट" चयन के साथ "चार्ट" पैनल का उपयोग करके किया जाता है।

प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट करने के बाद, हमें एक ग्राफ़ मिलता है।

2. छात्र के टी-टेस्ट का उपयोग करके जोड़ीवार सहसंबंध गुणांक के महत्व का आकलन करना। टी-मानदंड के परिकलित मूल्य की तुलना इस सूचक के सारणीबद्ध (महत्वपूर्ण) मूल्य के साथ विचाराधीन पैरामीटर के मूल्यों की संबंधित तालिका से की जाती है, जो महत्व के निर्दिष्ट स्तर और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को ध्यान में रखता है। यह अनुमान STUDISCOVER (प्रायिकता; डिग्री_ऑफ़_फ्रीडम) फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है।

3. युग्म सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स। विश्लेषण डेटा विश्लेषण उपकरण का उपयोग करके किया जाता है, जिसमें सहसंबंध का चयन किया जाता है। जोड़ी सहसंबंध गुणांक का सांख्यिकीय मूल्यांकन सारणीबद्ध (महत्वपूर्ण) मूल्य के साथ इसके पूर्ण मूल्य की तुलना करके किया जाता है। जब गणना की गई जोड़ीदार सहसंबंध गुणांक महत्वपूर्ण एक से अधिक हो जाती है, तो हम संभाव्यता की दी गई डिग्री को ध्यान में रखते हुए कह सकते हैं कि रैखिक संबंध के महत्व के बारे में शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया गया है।

अंत में

वैज्ञानिक अनुसंधान में सहसंबंध विश्लेषण पद्धति का उपयोग हमें विभिन्न कारकों और प्रदर्शन संकेतकों के बीच संबंध निर्धारित करने की अनुमति देता है। यह ध्यान में रखना आवश्यक है कि एक उच्च सहसंबंध गुणांक एक बेतुके जोड़े या डेटा के सेट से प्राप्त किया जा सकता है, और इसलिए इस प्रकार का विश्लेषण डेटा के पर्याप्त बड़े सरणी पर किया जाना चाहिए।

आर का परिकलित मूल्य प्राप्त करने के बाद, एक निश्चित मूल्य की सांख्यिकीय विश्वसनीयता की पुष्टि करने के लिए इसकी तुलना महत्वपूर्ण आर से करने की सलाह दी जाती है। सहसंबंध विश्लेषण मैन्युअल रूप से सूत्रों का उपयोग करके, या सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके, विशेष रूप से एमएस एक्सेल में किया जा सकता है। यहां आप सहसंबंध विश्लेषण के अध्ययन किए गए कारकों और परिणामी विशेषता के बीच संबंधों को दृश्य रूप से दर्शाने के उद्देश्य से एक स्कैटर आरेख भी बना सकते हैं।

जैसा कि बार-बार उल्लेख किया गया है, अध्ययन के तहत चर के बीच सहसंबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति के बारे में एक सांख्यिकीय निष्कर्ष निकालने के लिए, नमूना सहसंबंध गुणांक के महत्व की जांच करना आवश्यक है। इस तथ्य के कारण कि सहसंबंध गुणांक सहित सांख्यिकीय विशेषताओं की विश्वसनीयता, नमूना आकार पर निर्भर करती है, ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब सहसंबंध गुणांक का मूल्य पूरी तरह से नमूने में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव से निर्धारित होता है जिसके आधार पर इसकी गणना की जाती है। . यदि चरों के बीच कोई महत्वपूर्ण संबंध है, तो सहसंबंध गुणांक शून्य से काफी भिन्न होना चाहिए। यदि अध्ययन के अंतर्गत चरों के बीच कोई सहसंबंध नहीं है, तो जनसंख्या सहसंबंध गुणांक ρ शून्य के बराबर है। व्यावहारिक अनुसंधान में, एक नियम के रूप में, वे नमूना टिप्पणियों पर आधारित होते हैं। किसी भी सांख्यिकीय विशेषता की तरह, नमूना सहसंबंध गुणांक एक यादृच्छिक चर है, यानी इसके मान एक ही नाम के जनसंख्या पैरामीटर (सहसंबंध गुणांक का सही मूल्य) के आसपास यादृच्छिक रूप से बिखरे हुए हैं। चरों के बीच सहसंबंध के अभाव में वाई और एक्सजनसंख्या में सहसंबंध गुणांक शून्य है। लेकिन प्रकीर्णन की यादृच्छिक प्रकृति के कारण, ऐसी स्थितियाँ मौलिक रूप से संभव हैं जब इस जनसंख्या के नमूनों से गणना किए गए कुछ सहसंबंध गुणांक शून्य से भिन्न होंगे।

क्या देखे गए अंतरों को नमूने में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, या क्या वे उन स्थितियों में एक महत्वपूर्ण बदलाव को दर्शाते हैं जिनके तहत चर के बीच संबंध बने थे? यदि नमूना सहसंबंध गुणांक के मान संकेतक की यादृच्छिक प्रकृति के कारण बिखराव क्षेत्र में आते हैं, तो यह किसी रिश्ते की अनुपस्थिति का प्रमाण नहीं है। अधिकतम यही कहा जा सकता है कि अवलोकन संबंधी डेटा चरों के बीच किसी संबंध की अनुपस्थिति से इनकार नहीं करता है। लेकिन यदि नमूना सहसंबंध गुणांक का मान उल्लिखित बिखरने वाले क्षेत्र के बाहर है, तो वे निष्कर्ष निकालते हैं कि यह शून्य से काफी अलग है, और हम मान सकते हैं कि चर के बीच वाई और एक्सएक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण संबंध है. विभिन्न आँकड़ों के वितरण के आधार पर इस समस्या को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मानदंड को महत्व मानदंड कहा जाता है।

महत्व परीक्षण प्रक्रिया शून्य परिकल्पना के निर्माण के साथ शुरू होती है एच0 . सामान्य शब्दों में, यह है कि नमूना पैरामीटर और जनसंख्या पैरामीटर के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है। वैकल्पिक परिकल्पना एच1 बात यह है कि इन मापदंडों के बीच महत्वपूर्ण अंतर हैं। उदाहरण के लिए, जब किसी जनसंख्या में सहसंबंध का परीक्षण किया जाता है, तो शून्य परिकल्पना यह होती है कि वास्तविक सहसंबंध गुणांक शून्य है ( ह0: ρ = 0). यदि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, यह पता चलता है कि शून्य परिकल्पना स्वीकार्य नहीं है, तो नमूना सहसंबंध गुणांक आरबहुत खूबशून्य से काफी भिन्न (शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है और विकल्प स्वीकार कर लिया जाता है)। एच1).दूसरे शब्दों में, यह धारणा कि जनसंख्या में यादृच्छिक चर असंबंधित हैं, निराधार मानी जानी चाहिए। इसके विपरीत, यदि महत्व परीक्षण के आधार पर शून्य परिकल्पना स्वीकार की जाती है, अर्थात। आरबहुत खूबयादृच्छिक प्रकीर्णन के अनुमेय क्षेत्र में है, तो जनसंख्या में असंबद्ध चर की धारणा को संदिग्ध मानने का कोई कारण नहीं है।

एक महत्व परीक्षण में, शोधकर्ता एक महत्व स्तर α निर्धारित करता है जो कुछ व्यावहारिक विश्वास प्रदान करता है कि गलत निष्कर्ष केवल बहुत ही दुर्लभ मामलों में निकाले जाएंगे। महत्व स्तर इस संभावना को व्यक्त करता है कि शून्य परिकल्पना ह0अस्वीकार कर दिया गया जबकि यह वास्तव में सत्य है। स्पष्ट रूप से, इस संभावना को यथासंभव छोटा चुनना समझदारी है।

नमूना विशेषता के वितरण को ज्ञात करें, जो जनसंख्या पैरामीटर का निष्पक्ष अनुमान है। चयनित महत्व स्तर α इस वितरण के वक्र के नीचे छायांकित क्षेत्रों से मेल खाता है (चित्र 24 देखें)। वितरण वक्र के नीचे अछायांकित क्षेत्र संभाव्यता निर्धारित करता है पी = 1 - α . छायांकित क्षेत्रों के नीचे एक्स-अक्ष पर खंडों की सीमाओं को महत्वपूर्ण मान कहा जाता है, और खंड स्वयं महत्वपूर्ण क्षेत्र, या परिकल्पना अस्वीकृति का क्षेत्र बनाते हैं।

परिकल्पना परीक्षण प्रक्रिया में, अवलोकनों के परिणामों से गणना की गई नमूना विशेषता की तुलना संबंधित महत्वपूर्ण मूल्य से की जाती है। इस मामले में, एक तरफा और दो तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्रों के बीच अंतर करना चाहिए। महत्वपूर्ण क्षेत्र को निर्दिष्ट करने का रूप सांख्यिकीय अनुसंधान में समस्या के निरूपण पर निर्भर करता है। एक दो-तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र आवश्यक है, जब एक नमूना पैरामीटर और एक जनसंख्या पैरामीटर की तुलना करते समय, उनके बीच विसंगति के पूर्ण मूल्य का अनुमान लगाना आवश्यक होता है, अर्थात, अध्ययन किए गए मूल्यों के बीच सकारात्मक और नकारात्मक दोनों अंतर होते हैं दिलचस्पी। जब यह सुनिश्चित करना आवश्यक होता है कि औसतन एक मान दूसरे से सख्ती से अधिक या कम है, तो एक तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र (दाएं या बाएं तरफा) का उपयोग किया जाता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि समान महत्वपूर्ण मान के लिए एक तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र का उपयोग करते समय महत्व का स्तर दो तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र का उपयोग करने से कम होता है। यदि नमूना विशेषता का वितरण सममित है,

चावल। 24. शून्य परिकल्पना H0 का परीक्षण

तब दो तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र का महत्व स्तर α के बराबर है, और एक तरफा - (चित्र 24 देखें)। आइए हम स्वयं को समस्या के सामान्य सूत्रीकरण तक ही सीमित रखें। सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए सैद्धांतिक आधार पर अधिक विस्तृत जानकारी विशेष साहित्य में पाई जा सकती है। नीचे हम विभिन्न प्रक्रियाओं के निर्माण पर ध्यान दिए बिना केवल उनके महत्व मानदंड का संकेत देंगे।

जोड़ी सहसंबंध गुणांक के महत्व की जांच करके, अध्ययन के तहत घटनाओं के बीच सहसंबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति स्थापित की जाती है। कनेक्शन के अभाव में, जनसंख्या सहसंबंध गुणांक शून्य (ρ = 0) है। परीक्षण प्रक्रिया शून्य और वैकल्पिक परिकल्पनाओं के निर्माण से शुरू होती है:

ह0: नमूना सहसंबंध गुणांक के बीच अंतर आर और ρ = 0 महत्वहीन है,

एच 1: के बीच अंतर आरऔर ρ = 0 महत्वपूर्ण है, और इसलिए चर के बीच परऔर एक्सएक महत्वपूर्ण संबंध है. वैकल्पिक परिकल्पना का तात्पर्य है कि हमें दो-तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है।

धारा 8.1 में पहले ही उल्लेख किया गया था कि नमूना सहसंबंध गुणांक, कुछ मान्यताओं के तहत, एक यादृच्छिक चर के साथ जुड़ा हुआ है टी, साथ छात्र वितरण का पालन करना एफ = एन- स्वतंत्रता की 2 डिग्री. नमूना परिणामों से सांख्यिकी की गणना की गई

किसी दिए गए महत्व स्तर α पर छात्र वितरण तालिका से निर्धारित महत्वपूर्ण मूल्य के साथ तुलना की जाती है औरएफ = एन- स्वतंत्रता की 2 डिग्री. मानदंड लागू करने का नियम इस प्रकार है: यदि | टी| >tf,ए, फिर महत्व स्तर α पर शून्य परिकल्पना अस्वीकृत, अर्थात चरों के बीच संबंध महत्वपूर्ण है; अगर | टी| ≤tf,ए, तो महत्व स्तर α पर शून्य परिकल्पना स्वीकार की जाती है। मूल्य विचलन आर ρ = 0 से यादृच्छिक भिन्नता को जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। नमूना डेटा विचाराधीन परिकल्पना को बहुत संभव और प्रशंसनीय बताता है, यानी कनेक्शन की अनुपस्थिति की परिकल्पना आपत्तियां नहीं उठाती है।

किसी परिकल्पना के परीक्षण की प्रक्रिया यदि आँकड़ों के बजाय बहुत सरल हो जाती है टीसहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्यों का उपयोग करें, जिसे (8.38) में प्रतिस्थापित करके छात्र वितरण की मात्राओं के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। टी= tf, ए और आर= ρ एफ, ए:

(8.39)

महत्वपूर्ण मूल्यों की विस्तृत तालिकाएँ हैं, जिनका एक अंश इस पुस्तक के परिशिष्ट में दिया गया है (तालिका 6 देखें)। इस मामले में परिकल्पना का परीक्षण करने का नियम निम्नलिखित है: यदि आर> ρ एफ, और तब हम यह दावा कर सकते हैं कि चरों के बीच संबंध महत्वपूर्ण है। अगर आर≤आरएफ,ए, तो हम अवलोकन परिणामों को कनेक्शन की अनुपस्थिति की परिकल्पना के अनुरूप मानते हैं।

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आइए अब नमूना मानक विचलन के मूल्यों की गणना करें:

https://pandia.ru/text/78/148/images/image443_0.gif' width='413' ऊंचाई='60 src='>.

दसवीं कक्षा के विद्यार्थियों के बीच https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width="25" ऊंचाई="24"> के बीच सहसंबंध, गणित में प्रदर्शन का औसत स्तर जितना अधिक होगा, और इसके विपरीत।

2. सहसंबंध गुणांक के महत्व की जाँच करना

चूँकि नमूना गुणांक की गणना नमूना डेटा से की जाती है, यह एक यादृच्छिक चर है . यदि , तो सवाल उठता है: क्या इसे और https://pandia.ru/text/78/148/images/image301_1.gif" width="29" ऊंचाई="25 src=" के बीच वास्तव में मौजूदा रैखिक संबंध द्वारा समझाया गया है >.gif' width='27' ऊंचाई='25'>: (यदि सहसंबंध चिह्न ज्ञात नहीं है); या एक तरफा https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif" width=”43” ऊंचाई=”23 src=”>.gif” width=”43” ऊंचाई=”23 src => (यदि सहसंबंध का संकेत पहले से निर्धारित किया जा सकता है)।

विधि 1.परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है https://pandia.ru/text/78/148/images/image150_1.gif" width=”11” ऊंचाई=”17 src=”>-सूत्र के अनुसार छात्र का टी-टेस्ट

https://pandia.ru/text/78/148/images/image406_0.gif" width=”13” ऊंचाई=”15”>.gif” width=”36 ऊंचाई=25” ऊंचाई=”25”>.gif " width = "17" ऊँचाई = "16"> और दो-तरफा मानदंड के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या।

महत्वपूर्ण क्षेत्र असमानता द्वारा दिया गया है .

यदि https://pandia.ru/text/78/148/images/image455_0.gif' width='99' ऊंचाई='29 src='>, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है। हम निष्कर्ष निकालते हैं:

§ दोतरफा वैकल्पिक परिकल्पना के लिए - सहसंबंध गुणांक शून्य से काफी भिन्न है;

§ एकतरफ़ा परिकल्पना के लिए - एक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सकारात्मक (या नकारात्मक) सहसंबंध है।

विधि 2.आप भी उपयोग कर सकते हैं सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्यों की तालिका, जिससे हम स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या द्वारा सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मान का पता लगाते हैं https://pandia.ru/text/78/148/images/image367_1.gif" width="17 ऊंचाई=16" ऊंचाई='16'>.

यदि https://pandia.ru/text/78/148/images/image459_0.gif" width=”101” ऊंचाई=”29 src=”>, तो यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि सहसंबंध गुणांक 0 से काफी भिन्न है और एक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सहसंबंध है.

इस प्रकार, कुछ घटनाएँ एक साथ, लेकिन एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से (संयुक्त घटनाएँ) घटित या बदल सकती हैं ( असत्यप्रतिगमन)। अन्य - एक-दूसरे के साथ नहीं, बल्कि अधिक जटिल कारण-और-प्रभाव संबंध के अनुसार कार्य-कारण संबंध में रहना ( अप्रत्यक्षप्रतिगमन)। इस प्रकार, एक महत्वपूर्ण सहसंबंध गुणांक के साथ, कारण-और-प्रभाव संबंध की उपस्थिति के बारे में अंतिम निष्कर्ष केवल अध्ययन के तहत समस्या की बारीकियों को ध्यान में रखते हुए बनाया जा सकता है।

उदाहरण 2.उदाहरण 1 में परिकलित नमूना सहसंबंध गुणांक का महत्व निर्धारित करें।

समाधान।

आइए हम एक परिकल्पना प्रस्तुत करें: कि सामान्य जनसंख्या में कोई सहसंबंध नहीं है। चूँकि उदाहरण 1 को हल करने के परिणामस्वरूप सहसंबंध का चिह्न निर्धारित होता है - सहसंबंध सकारात्मक है, वैकल्पिक परिकल्पना फॉर्म का एक तरफा है https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif "चौड़ाई = "43" ऊँचाई = "23 स्रोत = >>।

आइए मानदंड का अनुभवजन्य मूल्य ज्ञात करें:

https://pandia.ru/text/78/148/images/image461_0.gif" width=”167 ऊंचाई=20” ऊंचाई=”20”>, के बराबर महत्व स्तर का चयन करें। तालिका के अनुसार “महत्वपूर्ण मूल्य ​​विभिन्न महत्व स्तरों के लिए छात्र के परीक्षण में'' हम महत्वपूर्ण मूल्य पाते हैं।

चूंकि https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width=”25 ऊंचाई=24” ऊंचाई=”24”> और गणित में प्रदर्शन का औसत स्तर, सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सहसंबंध है .

परीक्षण कार्य

1. कृपया कम से कम दो सही उत्तरों को चिह्नित करें। नमूना सहसंबंध गुणांक के महत्व का परीक्षण उस परिकल्पना के सांख्यिकीय परीक्षण पर आधारित है जो...

1) सामान्य जनसंख्या में कोई सहसंबंध नहीं है

2) नमूना सहसंबंध गुणांक के शून्य से अंतर को केवल नमूने की यादृच्छिकता द्वारा समझाया गया है

3) सहसंबंध गुणांक 0 से काफी भिन्न है

4) नमूना सहसंबंध गुणांक के शून्य से अंतर आकस्मिक नहीं है

2. यदि नमूना रैखिक सहसंबंध गुणांक है, तो एक विशेषता का बड़ा मान किसी अन्य विशेषता के बड़े मान से मेल खाता है।

1) औसतन

3) अधिकांश अवलोकनों में

4) कभी-कभी

3. नमूना सहसंबंध गुणांक https://pandia.ru/text/78/148/images/image465_0.gif" width='64' ऊंचाई='23 src='> (नमूना आकार और 0.05 के महत्व स्तर के लिए)। क्या यह संभव है क्या यह कहा जा सकता है कि मनोवैज्ञानिक लक्षणों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सकारात्मक सहसंबंध है?

5. मनोवैज्ञानिक विशेषताओं के बीच एक रैखिक संबंध की ताकत की पहचान करने के कार्य में नमूना सहसंबंध गुणांक पाया जाए https://pandia.ru/text/78/148/images/image466_0.gif" width=”52 ऊंचाई=20 " ऊँचाई = "20"> और 0.05 का महत्व स्तर)। क्या हम कह सकते हैं कि नमूना सहसंबंध गुणांक के शून्य से अंतर केवल नमूने की यादृच्छिकता से समझाया गया है?

विषय 3. रैंक सहसंबंध गुणांक और संघ

1. रैंक सहसंबंध गुणांक https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width=”21 ऊंचाई=19” ऊंचाई=”19”> और. विशेषताओं के मूल्यों की संख्या (संकेतक, विषय, गुण) , लक्षण) कोई भी हो सकते हैं, लेकिन उनकी संख्या समान होनी चाहिए।

आइए हम https://pandia.ru/text/78/148/images/image470_0.gif" width="319" ऊंचाई="66"> का उपयोग करके प्रत्येक विषय के लिए दो चर के रैंक के बीच अंतर को दर्शाते हैं,

रैंक की गई सुविधाओं और संकेतकों के मूल्यों की संख्या कहां है।

रैंक सहसंबंध गुणांक -1 से +1 तक के मान लेता हैऔर इसे पियर्सन सहसंबंध गुणांक का त्वरित अनुमान लगाने के साधन के रूप में देखा जाता है।

के लिए स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक के महत्व का परीक्षण करना (यदि मानों की संख्या https://pandia.ru/text/78/148/images/image472_0.gif' width='55' ऊंचाई='29'> संख्या और महत्व के स्तर पर निर्भर करती है। यदि अनुभवजन्य मूल्य अधिक है, तो महत्व के स्तर पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि संकेत सहसंबंध से संबंधित हैं।

उदाहरण 1।मनोवैज्ञानिक यह पता लगाता है कि गणित और भौतिकी में छात्रों के प्रदर्शन के परिणाम कैसे संबंधित हैं, जिसके परिणाम अंतिम नाम से क्रमबद्ध श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।

आइए योग की गणना करें, फिर स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक बराबर है:

की जाँच करें पाए गए रैंक सहसंबंध गुणांक का महत्व. आइए तालिका का उपयोग करके स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मान खोजें (परिशिष्ट देखें):

https://pandia.ru/text/78/148/images/image480_0.gif" width=”72″ ऊँचाई=”25”> मान = 0.64 और मान 0.79 से अधिक है। यह इंगित करता है कि मान इसके अंतर्गत आता है सहसंबंध गुणांक के महत्व का क्षेत्र। इसलिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक 0 से काफी अलग है; इसका मतलब है कि गणित और भौतिकी में छात्र के प्रदर्शन के परिणाम एक सकारात्मक सहसंबंध से जुड़े हुए हैं . गणित में प्रदर्शन और भौतिकी में प्रदर्शन के बीच एक महत्वपूर्ण सकारात्मक सहसंबंध है: गणित में जितना बेहतर प्रदर्शन, औसतन भौतिकी में परिणाम उतना ही बेहतर और इसके विपरीत।

पियर्सन और स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक की तुलना करते हुए, हम ध्यान दें कि पियर्सन सहसंबंध गुणांक मूल्यों को सहसंबंधित करता है मात्रा, और स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक मान है रैंकये मात्राएँ, इसलिए पियर्सन और स्पीयरमैन गुणांक के मान अक्सर मेल नहीं खाते हैं।

मनोवैज्ञानिक अनुसंधान में प्राप्त प्रयोगात्मक सामग्री की अधिक संपूर्ण समझ के लिए, पियर्सन और स्पीयरमैन दोनों के अनुसार गुणांक की गणना करने की सलाह दी जाती है।

टिप्पणी. की उपस्थिति में समान रैंकरैंक श्रृंखला में और रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए सूत्र के अंश में, शब्द जोड़े जाते हैं - "रैंक के लिए सुधार": ; ,

जहां https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21" ऊंचाई="19">;

https://pandia.ru/text/78/148/images/image165_1.gif" width=”16” ऊंचाई=”19”>.

इस मामले में, रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना करने का सूत्र https://pandia.ru/text/78/148/images/image485_0.gif" width="16" ऊंचाई="19"> का रूप लेता है।

एसोसिएशन गुणांक लागू करने की शर्तें.

1. तुलना की जा रही विशेषताओं को द्विभाजित पैमाने पर मापा जाता है।

2..gif' width='21' ऊंचाई='19'>, प्रतीक 0 और 1 द्वारा इंगित, तालिका में दिखाए गए हैं।