यदि संकेतक समान हैं लेकिन कारण अलग-अलग हैं। पाठ "शक्तियों का गुणन और विभाजन"

प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन कभी-कभी लिखना बहुत बोझिल हो जाता है और वे इसे सरल बनाने का प्रयास करते हैं। यह एक बार अतिरिक्त ऑपरेशन का मामला था। उदाहरण के लिए, एक सौ फ़ारसी कालीनों की लागत की गणना करने के लिए, लोगों को एक ही प्रकार का बार-बार जोड़ करने की आवश्यकता होती है, जिसकी लागत प्रत्येक के लिए 3 सोने के सिक्के होती है। 3+3+3+…+3 = 300. इसकी बोझिल प्रकृति के कारण, नोटेशन को 3 * 100 = 300 तक छोटा करने का निर्णय लिया गया। वास्तव में, नोटेशन "तीन गुना एक सौ" का मतलब है कि आपको एक लेने की आवश्यकता है सौ तीन और उन्हें एक साथ जोड़ें। गुणन ने जोर पकड़ा और सामान्य लोकप्रियता हासिल की। लेकिन दुनिया स्थिर नहीं रहती है, और मध्य युग में एक ही प्रकार के बार-बार गुणन करने की आवश्यकता उत्पन्न हुई। मुझे एक ऋषि के बारे में एक पुरानी भारतीय पहेली याद है, जिन्होंने किए गए काम के लिए पुरस्कार के रूप में निम्नलिखित मात्रा में गेहूं के दाने मांगे: शतरंज की बिसात के पहले खाने के लिए उन्होंने एक दाना मांगा, दूसरे के लिए - दो, तीसरे के लिए - चार, पांचवें के लिए - आठ, और इसी तरह। इस प्रकार शक्तियों का पहला गुणन प्रकट हुआ, क्योंकि अनाजों की संख्या कोशिका संख्या की शक्ति के दो के बराबर थी। उदाहरण के लिए, अंतिम सेल पर 2*2*2*...*2 = 2^63 ग्रेन होंगे, जो 18 वर्ण लंबी संख्या के बराबर है, जो वास्तव में पहेली का अर्थ है।

घातांक की क्रिया बहुत तेजी से चलन में आई और घातों का जोड़, घटाव, विभाजन और गुणन करने की आवश्यकता भी तेजी से पैदा हुई। उत्तरार्द्ध अधिक विस्तार से विचार करने योग्य है। घात जोड़ने के सूत्र सरल और याद रखने में आसान हैं। इसके अलावा, यह समझना बहुत आसान है कि यदि पावर ऑपरेशन को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तो वे कहां से आते हैं। लेकिन पहले आपको कुछ बुनियादी शब्दावली समझने की जरूरत है। अभिव्यक्ति a^b ("a को b की घात पढ़ें") का अर्थ है कि संख्या a को स्वयं b से गुणा किया जाना चाहिए, जिसमें "a" को घात का आधार कहा जाता है, और "b" को घात घातांक कहा जाता है। यदि डिग्रियों के आधार समान हैं, तो सूत्र काफी सरलता से प्राप्त किए जाते हैं। विशिष्ट उदाहरण: अभिव्यक्ति 2^3 * 2^4 का मान ज्ञात करें। यह जानने के लिए कि क्या होना चाहिए, आपको समाधान शुरू करने से पहले कंप्यूटर पर उत्तर पता लगाना चाहिए। इस अभिव्यक्ति को किसी भी ऑनलाइन कैलकुलेटर, खोज इंजन में दर्ज करके, "विभिन्न आधारों और समान के साथ शक्तियों को गुणा करना" या गणितीय पैकेज टाइप करना, आउटपुट 128 होगा। अब इस अभिव्यक्ति को लिखें: 2^3 = 2*2*2, और 2^4 = 2 *2*2*2. इससे पता चलता है कि 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) । यह पता चलता है कि समान आधार वाली शक्तियों का उत्पाद पिछली दो शक्तियों के योग के बराबर शक्ति तक बढ़ाए गए आधार के बराबर है।

आप सोच सकते हैं कि यह एक दुर्घटना है, लेकिन नहीं: कोई अन्य उदाहरण केवल इस नियम की पुष्टि कर सकता है। इस प्रकार, सामान्य तौर पर, सूत्र इस तरह दिखता है: a^n * a^m = a^(n+m) । एक नियम यह भी है कि शून्य घात तक की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है। यहां हमें नकारात्मक शक्तियों का नियम याद रखना चाहिए: a^(-n) = 1 / a^n. अर्थात्, यदि 2^3 = 8, तो 2^(-3) = 1/8. इस नियम का उपयोग करके, आप समानता a^0 = 1 की वैधता साबित कर सकते हैं: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) को कम किया जा सकता है और एक रहता है। यहां से यह नियम प्राप्त होता है कि समान आधारों वाली घातों का भागफल इस आधार के बराबर होता है, जो कि लाभांश और भाजक के भागफल के बराबर एक डिग्री तक होता है: a^n: a^m = a^(n-m) . उदाहरण: अभिव्यक्ति 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) को सरल बनाएं। गुणन एक क्रमविनिमेय संक्रिया है, इसलिए, आपको पहले गुणन घातांक जोड़ना होगा: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. आगे आपको एक नकारात्मक शक्ति द्वारा विभाजन से निपटने की आवश्यकता है। भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाना आवश्यक है: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. इससे पता चलता है कि किसी ऋणात्मक डिग्री से विभाजित करने की क्रिया समान धनात्मक घातांक से गुणा करने की क्रिया के समान है। तो अंतिम उत्तर 8 है.

ऐसे उदाहरण हैं जहां शक्तियों का गैर-विहित गुणन होता है। विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करना अक्सर अधिक कठिन होता है, और कभी-कभी असंभव भी होता है। विभिन्न संभावित तकनीकों के कुछ उदाहरण दिए जाने चाहिए। उदाहरण: अभिव्यक्ति 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 को सरल बनाएं। जाहिर है, विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों का गुणन होता है। लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी आधार तीन की अलग-अलग शक्तियाँ हैं। 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6। नियम (a^n) ^m = a^(n*m) का उपयोग करके, आपको अभिव्यक्ति को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखना चाहिए: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . उत्तर: 3^11. ऐसे मामलों में जहां अलग-अलग आधार हैं, नियम a^n * b^n = (a*b) ^n समान संकेतकों के लिए काम करता है। उदाहरण के लिए, 3^3 * 7^3 = 21^3. अन्यथा, जब आधार और घातांक भिन्न होते हैं, तो पूर्ण गुणन नहीं किया जा सकता है। कभी-कभी आप आंशिक रूप से सरलीकरण कर सकते हैं या कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की सहायता का सहारा ले सकते हैं।

डिग्री सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में, जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एन-किसी संख्या की घात एकब:

डिग्री के साथ संचालन.

1. अंशों को एक ही आधार से गुणा करने पर उनके संकेतक जोड़े जाते हैं:

पूर्वाह्न·ए एन = ए एम + एन .

2. अंशों को समान आधार से विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन · बी एन · सी एन …

4. भिन्न की डिग्री लाभांश और भाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन /बी एन।

5. एक घात को एक घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(ए एम) एन = ए एम एन।

उपरोक्त प्रत्येक सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दिशाओं में सत्य है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन.

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:

2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. किसी जड़ को किसी घात तक बढ़ाते समय, मूलांक को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

4. यदि आप जड़ की डिग्री बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में निर्माण करें एनवां घात एक मूल संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप जड़ की डिग्री को कम करते हैं एनउसी समय जड़ निकालें एन-किसी मूलांक की घात, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

नकारात्मक घातांक वाली डिग्री.एक गैर-धनात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली एक निश्चित संख्या की घात को गैर-धनात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाली उसी संख्या की घात से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है:

FORMULA पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन साथ भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्रीकरण के लिए पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनकब निष्पक्ष हो गया म=एनशून्य डिग्री की उपस्थिति आवश्यक है.

शून्य सूचकांक वाली डिग्री.शून्य घातांक वाली किसी भी संख्या की घात शून्य के बराबर नहीं होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री.वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एडिग्री तक एम/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एम-इस संख्या की घात ए.

गणित में डिग्री की अवधारणा को बीजगणित कक्षा में 7वीं कक्षा में पेश किया गया है। और बाद में, गणित के अध्ययन के पूरे पाठ्यक्रम के दौरान, इस अवधारणा का सक्रिय रूप से इसके विभिन्न रूपों में उपयोग किया जाता है। डिग्री एक कठिन विषय है, जिसमें मूल्यों को याद रखने और सही ढंग से और जल्दी से गिनने की क्षमता की आवश्यकता होती है। डिग्रियों के साथ तेजी से और बेहतर तरीके से काम करने के लिए, गणितज्ञ डिग्री गुण लेकर आए। वे बड़ी गणनाओं को कम करने, एक बड़े उदाहरण को कुछ हद तक एक संख्या में बदलने में मदद करते हैं। इतनी सारी संपत्तियाँ नहीं हैं, और उन सभी को याद रखना और व्यवहार में लागू करना आसान है। इसलिए, लेख डिग्री के मूल गुणों के साथ-साथ उन्हें कहां लागू किया जाता है, इस पर भी चर्चा करता है।

डिग्री के गुण

हम समान आधार वाली डिग्रियों के गुणों सहित, डिग्रियों के 12 गुणों को देखेंगे और प्रत्येक गुण के लिए एक उदाहरण देंगे। इनमें से प्रत्येक गुण आपको डिग्री के साथ समस्याओं को तेजी से हल करने में मदद करेगा, और आपको कई कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से भी बचाएगा।

पहली संपत्ति.

बहुत से लोग अक्सर इस संपत्ति के बारे में भूल जाते हैं और शून्य घात वाली संख्या को शून्य के रूप में प्रस्तुत करने की गलती करते हैं।

दूसरी संपत्ति.

तीसरी संपत्ति.

यह याद रखना चाहिए कि इस गुण का उपयोग केवल संख्याओं को गुणा करते समय किया जा सकता है; यह योग के साथ काम नहीं करता है! और हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि यह और निम्नलिखित गुण केवल समान आधार वाली शक्तियों पर लागू होते हैं।

चौथी संपत्ति.

यदि हर में किसी संख्या को नकारात्मक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो घटाते समय, आगे की गणना में चिह्न को सही ढंग से बदलने के लिए हर की डिग्री कोष्ठक में ली जाती है।

गुण केवल विभाजित करते समय काम करता है, घटाते समय यह लागू नहीं होता!

5वीं संपत्ति.

छठी संपत्ति.

इस गुण को विपरीत दिशा में भी लगाया जा सकता है। एक इकाई को किसी संख्या से कुछ हद तक विभाजित करने पर वह संख्या ऋण घात तक पहुंच जाती है।

सातवीं संपत्ति.

इस गुण को योग और अंतर पर लागू नहीं किया जा सकता! किसी योग या अंतर को घात तक बढ़ाने के लिए घात गुणों के बजाय संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

आठवीं संपत्ति.

नौवीं संपत्ति.

यह गुण एक के बराबर अंश वाले किसी भी भिन्नात्मक घात के लिए काम करता है, सूत्र वही होगा, केवल घात के हर के आधार पर मूल की घात बदल जाएगी।

इस गुण का उपयोग अक्सर उल्टा भी किया जाता है। किसी संख्या की किसी भी घात के मूल को मूल की घात से विभाजित एक की घात तक इस संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह गुण उन मामलों में बहुत उपयोगी है जहां किसी संख्या का मूल नहीं निकाला जा सकता है।

दसवीं संपत्ति.

यह गुण न केवल वर्गमूलों और द्वितीय घातों के साथ काम करता है। यदि मूल की डिग्री और इस जड़ को ऊपर उठाने की डिग्री मेल खाती है, तो उत्तर एक मूल अभिव्यक्ति होगी।

11वीं संपत्ति.

बड़ी गणनाओं से खुद को बचाने के लिए आपको इस संपत्ति को हल करते समय समय पर देखने में सक्षम होना चाहिए।

12वीं संपत्ति.

इनमें से प्रत्येक गुण कार्यों में आपके सामने एक से अधिक बार आएगा; इसे इसके शुद्ध रूप में दिया जा सकता है, या इसके लिए कुछ परिवर्तनों और अन्य सूत्रों के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए, सही निर्णय लेने के लिए, केवल गुणों को जानना पर्याप्त नहीं है; आपको अभ्यास करने और अन्य गणितीय ज्ञान को शामिल करने की आवश्यकता है।

डिग्रियों का अनुप्रयोग और उनके गुण

इनका उपयोग बीजगणित और ज्यामिति में सक्रिय रूप से किया जाता है। गणित में डिग्रियों का एक अलग, महत्वपूर्ण स्थान है। इनकी सहायता से घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल किया जाता है और गणित की अन्य शाखाओं से संबंधित समीकरण और उदाहरण अक्सर शक्तियों द्वारा जटिल होते हैं। शक्तियां बड़ी और लंबी गणनाओं से बचने में मदद करती हैं; शक्तियों को संक्षिप्त करना और गणना करना आसान होता है। लेकिन बड़ी शक्तियों के साथ, या बड़ी संख्या की शक्तियों के साथ काम करने के लिए, आपको न केवल शक्ति के गुणों को जानना होगा, बल्कि आधारों के साथ सक्षमता से काम करना होगा, अपने कार्य को आसान बनाने के लिए उनका विस्तार करने में सक्षम होना होगा। सुविधा के लिए, आपको घात तक बढ़ाई गई संख्याओं का अर्थ भी जानना चाहिए। इससे हल करते समय आपका समय कम हो जाएगा और लंबी गणनाओं की आवश्यकता समाप्त हो जाएगी।

डिग्री की अवधारणा लघुगणक में एक विशेष भूमिका निभाती है। चूँकि लघुगणक, संक्षेप में, एक संख्या की शक्ति है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र घातों के उपयोग का एक और उदाहरण हैं। उनमें अंशों के गुणों का प्रयोग नहीं किया जा सकता, उनका विस्तार विशेष नियमों के अनुसार किया जाता है, लेकिन संक्षिप्त गुणन के प्रत्येक सूत्र में अंश अवश्य होते हैं।

भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान में भी डिग्रियों का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। एसआई प्रणाली में सभी रूपांतरण शक्तियों का उपयोग करके किए जाते हैं, और भविष्य में, समस्याओं को हल करते समय, शक्ति के गुणों का उपयोग किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में, गिनती की सुविधा और संख्याओं की धारणा को सरल बनाने के लिए दो की शक्तियों का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माप की इकाइयों को परिवर्तित करने या समस्याओं की गणना के लिए आगे की गणना, भौतिकी की तरह, डिग्री के गुणों का उपयोग करके होती है।

खगोल विज्ञान में भी डिग्रियाँ बहुत उपयोगी होती हैं, जहाँ आपको किसी डिग्री के गुणों का उपयोग शायद ही कभी देखने को मिलता है, लेकिन डिग्रियाँ स्वयं सक्रिय रूप से विभिन्न मात्राओं और दूरियों के अंकन को छोटा करने के लिए उपयोग की जाती हैं।

क्षेत्रों, आयतनों और दूरियों की गणना करते समय डिग्री का उपयोग रोजमर्रा की जिंदगी में भी किया जाता है।

विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में बहुत बड़ी और बहुत छोटी मात्रा को रिकॉर्ड करने के लिए डिग्री का उपयोग किया जाता है।

घातीय समीकरण और असमानताएँ

डिग्री के गुण घातीय समीकरणों और असमानताओं में एक विशेष स्थान रखते हैं। ये कार्य स्कूली पाठ्यक्रमों और परीक्षाओं दोनों में बहुत आम हैं। उन सभी को डिग्री के गुणों को लागू करके हल किया जाता है। अज्ञात हमेशा डिग्री में ही पाया जाता है, इसलिए सभी गुणों को जानकर, ऐसे समीकरण या असमानता को हल करना मुश्किल नहीं है।

पिछले वीडियो पाठ में, हमने सीखा कि एक निश्चित आधार की डिग्री एक अभिव्यक्ति है जो घातांक के बराबर मात्रा में ली गई आधार के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है। आइए अब हम शक्तियों के कुछ सबसे महत्वपूर्ण गुणों और संचालन का अध्ययन करें।

उदाहरण के लिए, आइए दो अलग-अलग घातों को एक ही आधार से गुणा करें:

आइए इस कार्य को संपूर्णता में प्रस्तुत करें:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने पर, हमें संख्या 32 मिलती है। दूसरी ओर, जैसा कि उसी उदाहरण से देखा जा सकता है, 32 को 5 बार लिए गए एक ही आधार (दो) के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। और वास्तव में, यदि आप इसे गिनें, तो:

इस प्रकार, हम विश्वासपूर्वक यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

यह नियम किसी भी संकेतक और किसी भी कारण से सफलतापूर्वक काम करता है। शक्ति गुणन का यह गुण इस नियम का पालन करता है कि किसी उत्पाद में परिवर्तन के दौरान अभिव्यक्तियों का अर्थ संरक्षित रहता है। किसी भी आधार a के लिए, दो अभिव्यक्तियों (a)x और (a)y का गुणनफल a(x + y) के बराबर है। दूसरे शब्दों में, जब समान आधार वाला कोई भी व्यंजक उत्पन्न होता है, तो परिणामी एकपदी में पहले और दूसरे भाव की घातों को जोड़कर कुल घात बनाई जाती है।

प्रस्तुत नियम कई भावों को गुणा करते समय भी बढ़िया काम करता है। मुख्य शर्त यह है कि सभी का आधार समान हो। उदाहरण के लिए:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

डिग्री जोड़ना असंभव है, और वास्तव में अभिव्यक्ति के दो तत्वों के साथ किसी भी शक्ति-आधारित संयुक्त कार्रवाई को अंजाम देना असंभव है यदि उनके आधार अलग-अलग हैं।
जैसा कि हमारे वीडियो में दिखाया गया है, गुणा और भाग की प्रक्रियाओं की समानता के कारण, किसी उत्पाद में शक्तियां जोड़ने के नियम पूरी तरह से विभाजन प्रक्रिया में स्थानांतरित हो जाते हैं। इस उदाहरण पर विचार करें:

आइए अभिव्यक्ति को पद दर पद उसके पूर्ण रूप में रूपांतरित करें और लाभांश और भाजक में समान तत्वों को कम करें:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

इस उदाहरण का अंतिम परिणाम इतना दिलचस्प नहीं है, क्योंकि इसे हल करने की प्रक्रिया में पहले से ही यह स्पष्ट है कि अभिव्यक्ति का मान दो के वर्ग के बराबर है। और यह दो है जो दूसरे अभिव्यक्ति की डिग्री को पहले की डिग्री से घटाकर प्राप्त किया जाता है।

भागफल की डिग्री निर्धारित करने के लिए, भाजक की डिग्री को लाभांश की डिग्री से घटाना आवश्यक है। नियम अपने सभी मूल्यों और सभी प्राकृतिक शक्तियों के लिए एक ही आधार पर काम करता है। अमूर्तन के रूप में हमारे पास है:

(ए) एक्स / (ए) वाई = (ए) एक्स - वाई

समान आधारों को डिग्रियों से विभाजित करने के नियम से, शून्य डिग्री की परिभाषा अनुसरण करती है। जाहिर है, निम्नलिखित अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखती है:

(ए) एक्स / (ए) एक्स = (ए) (एक्स - एक्स) = (ए) 0

दूसरी ओर, यदि हम विभाजन को अधिक दृश्य तरीके से करते हैं, तो हमें मिलता है:

(ए) 2 / (ए) 2 = (ए) (ए) / (ए) (ए) = 1

भिन्न के सभी दृश्यमान तत्वों को कम करने पर, अभिव्यक्ति 1/1 हमेशा प्राप्त होती है, अर्थात एक। इसलिए, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि शून्य शक्ति तक उठाया गया कोई भी आधार एक के बराबर है:

ए के मूल्य की परवाह किए बिना.

हालाँकि, यह बेतुका होगा यदि 0 (जो अभी भी किसी भी गुणन के लिए 0 देता है) किसी तरह एक के बराबर है, इसलिए फॉर्म (0) 0 (शून्य से शून्य घात) की अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, और सूत्र ( ए) 0 = 1 एक शर्त जोड़ें: "यदि ए 0 के बराबर नहीं है।"

आइए अभ्यास को हल करें। आइए अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करें:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

चूँकि आधार हर जगह समान है और 34 के बराबर है, अंतिम मान का आधार डिग्री के साथ समान होगा (उपरोक्त नियमों के अनुसार):

दूसरे शब्दों में:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

उत्तर: अभिव्यक्ति एक के बराबर है.