सांख्यिकीय विचलन. विचरण का अनुमान, मानक विचलन

परिकल्पनाओं के सांख्यिकीय परीक्षण में, यादृच्छिक चर के बीच एक रैखिक संबंध को मापते समय।

मानक विचलन:

मानक विचलन(यादृच्छिक चर के मानक विचलन का अनुमान फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष):

फैलाव कहां है; - फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, मैंचयन का वां तत्व; - नमूने का आकार; - नमूने का अंकगणितीय माध्य:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दोनों अनुमान पक्षपातपूर्ण हैं। सामान्य स्थिति में, निष्पक्ष अनुमान बनाना असंभव है। हालाँकि, निष्पक्ष विचरण अनुमान पर आधारित अनुमान सुसंगत है।

तीन सिग्मा नियम

तीन सिग्मा नियम() - सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लगभग सभी मान अंतराल में स्थित होते हैं। अधिक सख्ती से - 99.7% से कम विश्वास के साथ, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का मान निर्दिष्ट अंतराल में निहित होता है (बशर्ते कि मान सत्य है और नमूना प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं किया गया है)।

यदि वास्तविक मूल्य अज्ञात है, तो हमें नहीं, बल्कि फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत का उपयोग करना चाहिए। एस. इस प्रकार, तीन सिग्मा का नियम तीन मंजिल, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत के नियम में बदल जाता है। एस .

मानक विचलन मान की व्याख्या

मानक विचलन का एक बड़ा मान प्रस्तुत सेट में सेट के औसत मूल्य के साथ मूल्यों का एक बड़ा प्रसार दर्शाता है; तदनुसार, एक छोटा मान दर्शाता है कि सेट में मान मध्य मान के आसपास समूहीकृत हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन संख्या सेट हैं: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) और (6, 6, 8, 8)। सभी तीन सेटों का माध्य मान 7 के बराबर है, और मानक विचलन क्रमशः 7, 5 और 1 के बराबर हैं। अंतिम सेट में एक छोटा मानक विचलन है, क्योंकि सेट में मान माध्य मान के आसपास समूहीकृत हैं; पहले सेट में सबसे बड़ा मानक विचलन मान है - सेट के भीतर के मान औसत मान से बहुत भिन्न होते हैं।

सामान्य अर्थ में, मानक विचलन को अनिश्चितता का माप माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, मानक विचलन का उपयोग कुछ मात्रा के क्रमिक मापों की श्रृंखला की त्रुटि निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्य की तुलना में अध्ययन के तहत घटना की संभाव्यता निर्धारित करने के लिए यह मान बहुत महत्वपूर्ण है: यदि माप का औसत मूल्य सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्यों (बड़े मानक विचलन) से काफी भिन्न होता है, तो प्राप्त मूल्यों या उन्हें प्राप्त करने की विधि की पुनः जाँच की जानी चाहिए।

प्रायोगिक उपयोग

व्यवहार में, मानक विचलन आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी सेट में मान औसत मूल्य से कितना भिन्न हो सकते हैं।

जलवायु

मान लीजिए कि समान औसत अधिकतम दैनिक तापमान वाले दो शहर हैं, लेकिन एक तट पर स्थित है और दूसरा अंतर्देशीय है। यह ज्ञात है कि तट पर स्थित शहरों में दिन के समय कई अलग-अलग अधिकतम तापमान होते हैं जो अंतर्देशीय शहरों की तुलना में कम होते हैं। इसलिए, एक तटीय शहर के लिए अधिकतम दैनिक तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा, इस तथ्य के बावजूद कि इस मूल्य का औसत मूल्य समान है, जिसका व्यवहार में मतलब है कि संभावना है कि अधिकतम हवा का तापमान वर्ष का कोई भी दिन औसत मूल्य से अधिक भिन्न होगा, अंतर्देशीय स्थित शहर के लिए अधिक।

खेल

आइए मान लें कि ऐसी कई फ़ुटबॉल टीमें हैं जिनका मूल्यांकन कुछ मापदंडों के आधार पर किया जाता है, उदाहरण के लिए, बनाए गए और स्वीकार किए गए गोलों की संख्या, स्कोरिंग मौके आदि। यह सबसे अधिक संभावना है कि इस समूह की सर्वश्रेष्ठ टीम के पास बेहतर मूल्य होंगे। अधिक मापदंडों पर. प्रस्तुत मापदंडों में से प्रत्येक के लिए टीम का मानक विचलन जितना छोटा होगा, टीम का परिणाम उतना ही अधिक अनुमानित होगा; ऐसी टीमें संतुलित होती हैं। दूसरी ओर, बड़े मानक विचलन वाली टीम के लिए परिणाम की भविष्यवाणी करना मुश्किल होता है, जिसे बदले में असंतुलन द्वारा समझाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक मजबूत रक्षा लेकिन एक कमजोर हमला।

टीम मापदंडों के मानक विचलन का उपयोग करना, एक डिग्री या किसी अन्य तक, दो टीमों के बीच मैच के परिणाम की भविष्यवाणी करना, टीमों की ताकत और कमजोरियों का आकलन करना और इसलिए संघर्ष के चुने हुए तरीकों का आकलन करना संभव बनाता है।

तकनीकी विश्लेषण

यह सभी देखें

साहित्य

यह लेख हटाने के लिए प्रस्तावित है. कारणों का स्पष्टीकरण और संबंधित चर्चा पृष्ठ पर पाई जा सकती है विकिपीडिया: हटाया जाएगा/17 दिसम्बर 2012। जबकि चर्चा प्रक्रिया पूरी नहीं हुई है, आप लेख को बेहतर बनाने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन आपको सामग्री का नाम बदलने या हटाने से बचना चाहिए, अधिक विवरण के लिए आगे की कार्रवाई मार्गदर्शिका देखें। चर्चा के अंत तक हटाने का निशान न हटाएँ। प्रशासक: यहां लिंक करें, इतिहास (अंतिम बार संशोधित), लॉग, हटाएँ.

* बोरोविकोव, वी.सांख्यिकी. कंप्यूटर पर डेटा विश्लेषण की कला: पेशेवरों के लिए / वी. बोरोविकोव। - सेंट पीटर्सबर्ग। : पीटर, 2003. - 688 पी। - आईएसबीएन 5-272-00078-1.

सांख्यिकीय संकेतक
वर्णनात्मक आंकड़े	निरंतर डेटा कतरनी कारक माध्य (अंकगणित, ज्यामितीय, हार्मोनिक) माध्य मोड रेंज उतार-चढ़ाव पद · मानक विचलन· भिन्नता का गुणांक · क्वांटाइल (डेसील, परसेंटाइल/परसेंटाइल/सेंटाइल) लम्हें अपेक्षा · भिन्नता · तिरछापन · कुर्टोसिस अलग डेटा आवृत्ति · आकस्मिकता तालिका
सांख्यिकीय आउटपुट और इंतिहान परिकल्पना	सांख्यिकीय निष्कर्ष कॉन्फिडेंस इंटरवल (फ़्रीक्वेंटिस्ट प्रोबेबिलिटी) विश्वसनीयता इंटरवल (बायेसियन अनुमान) सांख्यिकीय महत्व मेटा-विश्लेषण योजना प्रयोग जनसंख्या · नमूनाकरण डिज़ाइन · क्षेत्र नमूनाकरण · प्रतिकृति · क्लस्टरिंग · संवेदनशीलता और विशिष्टता नमूने का आकार सांख्यिकीय शक्ति · प्रभाव का माप · मानक त्रुटि समग्र रेटिंग बायेसियन समाधान अनुमान ·

भिन्नता श्रृंखला की परिवर्तनशीलता का आकलन करने के लिए एक अनुमानित विधि सीमा और आयाम निर्धारित करना है, लेकिन श्रृंखला के भीतर भिन्नता के मूल्यों को ध्यान में नहीं रखा जाता है। भिन्नता श्रृंखला के भीतर मात्रात्मक विशेषता की परिवर्तनशीलता का मुख्य आम तौर पर स्वीकृत माप है मानक विचलन (σ - सिग्मा). मानक विचलन जितना बड़ा होगा, इस श्रृंखला में उतार-चढ़ाव की डिग्री उतनी ही अधिक होगी।

मानक विचलन की गणना की विधि में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. अंकगणितीय माध्य (M) ज्ञात कीजिए।

2. अंकगणितीय माध्य (d=V-M) से व्यक्तिगत विकल्पों का विचलन निर्धारित करें। चिकित्सा आंकड़ों में, औसत से विचलन को डी (विचलन) के रूप में नामित किया गया है। सभी विचलनों का योग शून्य है.

3. प्रत्येक विचलन का वर्ग d 2 करें।

4. विचलनों के वर्गों को संगत आवृत्तियों d 2 *p से गुणा करें।

5. उत्पादों का योग ज्ञात कीजिए å(d 2 *p)

6. सूत्र का उपयोग करके मानक विचलन की गणना करें:

जब n 30 से अधिक हो, या जब n 30 से कम या उसके बराबर हो, जहां n सभी विकल्पों की संख्या है।

मानक विचलन मान:

1. मानक विचलन औसत मूल्य (यानी, भिन्नता श्रृंखला की परिवर्तनशीलता) के सापेक्ष वैरिएंट के प्रसार को दर्शाता है। सिग्मा जितना बड़ा होगा, इस श्रृंखला की विविधता की डिग्री उतनी ही अधिक होगी।

2. मानक विचलन का उपयोग भिन्नता श्रृंखला के लिए अंकगणित माध्य के पत्राचार की डिग्री के तुलनात्मक मूल्यांकन के लिए किया जाता है जिसके लिए इसकी गणना की गई थी।

सामूहिक घटनाओं की विविधताएँ सामान्य वितरण के नियम का पालन करती हैं। इस वितरण का प्रतिनिधित्व करने वाला वक्र एक चिकनी घंटी के आकार का सममित वक्र (गाऊसी वक्र) जैसा दिखता है। संभाव्यता के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य वितरण के नियम का पालन करने वाली घटनाओं में अंकगणित माध्य और मानक विचलन के मूल्यों के बीच एक सख्त गणितीय संबंध होता है। एक सजातीय भिन्नता श्रृंखला में एक प्रकार का सैद्धांतिक वितरण तीन-सिग्मा नियम का पालन करता है।

यदि आयताकार निर्देशांक की एक प्रणाली में एक मात्रात्मक विशेषता (वेरिएंट) के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और भिन्नता श्रृंखला में एक वेरिएंट की घटना की आवृत्ति को ऑर्डिनेट अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, तो बड़े और छोटे वाले वेरिएंट मान अंकगणितीय माध्य के किनारों पर समान रूप से स्थित होते हैं।

यह स्थापित किया गया है कि लक्षण के सामान्य वितरण के साथ:

68.3% भिन्न मान M±1s के भीतर हैं

95.5% भिन्न मान M±2s के भीतर हैं

99.7% वैरिएंट मान M±3s के भीतर हैं

3. मानक विचलन आपको नैदानिक ​​और जैविक मापदंडों के लिए सामान्य मान स्थापित करने की अनुमति देता है। चिकित्सा में, अंतराल M±1s को आमतौर पर अध्ययन की जा रही घटना के लिए सामान्य सीमा के रूप में लिया जाता है। अंकगणितीय माध्य से अनुमानित मान का 1s से अधिक विचलन मानक से अध्ययन किए गए पैरामीटर के विचलन को इंगित करता है।

4. चिकित्सा में, बच्चों के शारीरिक विकास के स्तर (सिग्मा विचलन विधि) के व्यक्तिगत मूल्यांकन के लिए, बच्चों के कपड़ों के मानकों के विकास के लिए, बाल चिकित्सा में थ्री-सिग्मा नियम का उपयोग किया जाता है।

5. अध्ययन की जा रही विशेषता की विविधता की डिग्री को चिह्नित करने और अंकगणित माध्य की त्रुटि की गणना करने के लिए मानक विचलन आवश्यक है।

मानक विचलन का मान आमतौर पर एक ही प्रकार की श्रृंखला की परिवर्तनशीलता की तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है। यदि विभिन्न विशेषताओं वाली दो श्रृंखलाओं की तुलना की जाती है (ऊंचाई और वजन, अस्पताल में उपचार की औसत अवधि और अस्पताल की मृत्यु दर, आदि), तो सिग्मा आकार की सीधी तुलना असंभव है , क्योंकि मानक विचलन एक नामित मान है जिसे निरपेक्ष संख्याओं में व्यक्त किया जाता है। इन मामलों में, उपयोग करें भिन्नता का गुणांक (सीवी), जो एक सापेक्ष मूल्य है: मानक विचलन का अंकगणितीय माध्य से प्रतिशत अनुपात।

भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भिन्नता का गुणांक जितना अधिक होगा , इस श्रृंखला की परिवर्तनशीलता जितनी अधिक होगी. ऐसा माना जाता है कि 30% से अधिक का भिन्नता गुणांक जनसंख्या की गुणात्मक विविधता को इंगित करता है।

परिकल्पनाओं के सांख्यिकीय परीक्षण में, यादृच्छिक चर के बीच एक रैखिक संबंध को मापते समय।

मानक विचलन:

मानक विचलन(यादृच्छिक चर के मानक विचलन का अनुमान फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष):

फैलाव कहां है; - फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, मैंचयन का वां तत्व; - नमूने का आकार; - नमूने का अंकगणितीय माध्य:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दोनों अनुमान पक्षपातपूर्ण हैं। सामान्य स्थिति में, निष्पक्ष अनुमान बनाना असंभव है। हालाँकि, निष्पक्ष विचरण अनुमान पर आधारित अनुमान सुसंगत है।

तीन सिग्मा नियम

तीन सिग्मा नियम() - सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लगभग सभी मान अंतराल में स्थित होते हैं। अधिक सख्ती से - 99.7% से कम विश्वास के साथ, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का मान निर्दिष्ट अंतराल में निहित होता है (बशर्ते कि मान सत्य है और नमूना प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं किया गया है)।

यदि वास्तविक मूल्य अज्ञात है, तो हमें नहीं, बल्कि फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत का उपयोग करना चाहिए। एस. इस प्रकार, तीन सिग्मा का नियम तीन मंजिल, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत के नियम में बदल जाता है। एस .

मानक विचलन मान की व्याख्या

मानक विचलन का एक बड़ा मान प्रस्तुत सेट में सेट के औसत मूल्य के साथ मूल्यों का एक बड़ा प्रसार दर्शाता है; तदनुसार, एक छोटा मान दर्शाता है कि सेट में मान मध्य मान के आसपास समूहीकृत हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन संख्या सेट हैं: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) और (6, 6, 8, 8)। सभी तीन सेटों का माध्य मान 7 के बराबर है, और मानक विचलन क्रमशः 7, 5 और 1 के बराबर हैं। अंतिम सेट में एक छोटा मानक विचलन है, क्योंकि सेट में मान माध्य मान के आसपास समूहीकृत हैं; पहले सेट में सबसे बड़ा मानक विचलन मान है - सेट के भीतर के मान औसत मान से बहुत भिन्न होते हैं।

सामान्य अर्थ में, मानक विचलन को अनिश्चितता का माप माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, मानक विचलन का उपयोग कुछ मात्रा के क्रमिक मापों की श्रृंखला की त्रुटि निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्य की तुलना में अध्ययन के तहत घटना की संभाव्यता निर्धारित करने के लिए यह मान बहुत महत्वपूर्ण है: यदि माप का औसत मूल्य सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्यों (बड़े मानक विचलन) से काफी भिन्न होता है, तो प्राप्त मूल्यों या उन्हें प्राप्त करने की विधि की पुनः जाँच की जानी चाहिए।

प्रायोगिक उपयोग

व्यवहार में, मानक विचलन आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी सेट में मान औसत मूल्य से कितना भिन्न हो सकते हैं।

जलवायु

मान लीजिए कि समान औसत अधिकतम दैनिक तापमान वाले दो शहर हैं, लेकिन एक तट पर स्थित है और दूसरा अंतर्देशीय है। यह ज्ञात है कि तट पर स्थित शहरों में दिन के समय कई अलग-अलग अधिकतम तापमान होते हैं जो अंतर्देशीय शहरों की तुलना में कम होते हैं। इसलिए, एक तटीय शहर के लिए अधिकतम दैनिक तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा, इस तथ्य के बावजूद कि इस मूल्य का औसत मूल्य समान है, जिसका व्यवहार में मतलब है कि संभावना है कि अधिकतम हवा का तापमान वर्ष का कोई भी दिन औसत मूल्य से अधिक भिन्न होगा, अंतर्देशीय स्थित शहर के लिए अधिक।

खेल

आइए मान लें कि ऐसी कई फ़ुटबॉल टीमें हैं जिनका मूल्यांकन कुछ मापदंडों के आधार पर किया जाता है, उदाहरण के लिए, बनाए गए और स्वीकार किए गए गोलों की संख्या, स्कोरिंग मौके आदि। यह सबसे अधिक संभावना है कि इस समूह की सर्वश्रेष्ठ टीम के पास बेहतर मूल्य होंगे। अधिक मापदंडों पर. प्रस्तुत मापदंडों में से प्रत्येक के लिए टीम का मानक विचलन जितना छोटा होगा, टीम का परिणाम उतना ही अधिक अनुमानित होगा; ऐसी टीमें संतुलित होती हैं। दूसरी ओर, बड़े मानक विचलन वाली टीम के लिए परिणाम की भविष्यवाणी करना मुश्किल होता है, जिसे बदले में असंतुलन द्वारा समझाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक मजबूत रक्षा लेकिन एक कमजोर हमला।

टीम मापदंडों के मानक विचलन का उपयोग करना, एक डिग्री या किसी अन्य तक, दो टीमों के बीच मैच के परिणाम की भविष्यवाणी करना, टीमों की ताकत और कमजोरियों का आकलन करना और इसलिए संघर्ष के चुने हुए तरीकों का आकलन करना संभव बनाता है।

तकनीकी विश्लेषण

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साहित्य

यह लेख हटाने के लिए प्रस्तावित है. कारणों का स्पष्टीकरण और संबंधित चर्चा पृष्ठ पर पाई जा सकती है विकिपीडिया: हटाया जाएगा/17 दिसम्बर 2012। जबकि चर्चा प्रक्रिया पूरी नहीं हुई है, आप लेख को बेहतर बनाने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन आपको सामग्री का नाम बदलने या हटाने से बचना चाहिए, अधिक विवरण के लिए आगे की कार्रवाई मार्गदर्शिका देखें। चर्चा के अंत तक हटाने का निशान न हटाएँ। प्रशासक: यहां लिंक करें, इतिहास (अंतिम बार संशोधित), लॉग, हटाएँ.

* बोरोविकोव, वी.सांख्यिकी. कंप्यूटर पर डेटा विश्लेषण की कला: पेशेवरों के लिए / वी. बोरोविकोव। - सेंट पीटर्सबर्ग। : पीटर, 2003. - 688 पी। - आईएसबीएन 5-272-00078-1.

सांख्यिकीय संकेतक
वर्णनात्मक आंकड़े	निरंतर डेटा कतरनी कारक माध्य (अंकगणित, ज्यामितीय, हार्मोनिक) माध्य मोड रेंज उतार-चढ़ाव पद · मानक विचलन· भिन्नता का गुणांक · क्वांटाइल (डेसील, परसेंटाइल/परसेंटाइल/सेंटाइल) लम्हें अपेक्षा · भिन्नता · तिरछापन · कुर्टोसिस अलग डेटा आवृत्ति · आकस्मिकता तालिका
सांख्यिकीय आउटपुट और इंतिहान परिकल्पना	सांख्यिकीय निष्कर्ष कॉन्फिडेंस इंटरवल (फ़्रीक्वेंटिस्ट प्रोबेबिलिटी) विश्वसनीयता इंटरवल (बायेसियन अनुमान) सांख्यिकीय महत्व मेटा-विश्लेषण योजना प्रयोग जनसंख्या · नमूनाकरण डिज़ाइन · क्षेत्र नमूनाकरण · प्रतिकृति · क्लस्टरिंग · संवेदनशीलता और विशिष्टता नमूने का आकार सांख्यिकीय शक्ति · प्रभाव का माप · मानक त्रुटि समग्र रेटिंग बायेसियन समाधान अनुमान ·

नमूना सर्वेक्षण के अनुसार, जमाकर्ताओं को शहर के सर्बैंक में उनकी जमा राशि के अनुसार समूहीकृत किया गया था:

परिभाषित करना:

1) भिन्नता की गुंजाइश;

2) औसत जमा राशि;

3) औसत रैखिक विचलन;

4) फैलाव;

5) मानक विचलन;

6) योगदान की भिन्नता का गुणांक।

समाधान:

इस वितरण श्रृंखला में खुले अंतराल शामिल हैं। ऐसी श्रृंखला में, पारंपरिक रूप से पहले समूह के अंतराल का मान अगले समूह के अंतराल के मान के बराबर माना जाता है, और अंतिम समूह के अंतराल का मान दूसरे समूह के अंतराल के मान के बराबर होता है। पिछला।

दूसरे समूह के अंतराल का मान 200 के बराबर है, इसलिए पहले समूह का मान भी 200 के बराबर है। अंतिम समूह के अंतराल का मान 200 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि अंतिम अंतराल भी 200 के बराबर होगा। 200 का मान है.

1) आइए हम भिन्नता की सीमा को विशेषता के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित करें:

जमा राशि में भिन्नता की सीमा 1000 रूबल है।

2) योगदान का औसत आकार भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाएगा।

आइए पहले प्रत्येक अंतराल में विशेषता का अलग-अलग मान निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके, हम अंतरालों के मध्यबिंदु ज्ञात करते हैं।

पहले अंतराल का औसत मान होगा:

दूसरा - 500, आदि।

आइए तालिका में गणना परिणाम दर्ज करें:

जमा राशि, रगड़ें।	जमाकर्ताओं की संख्या, च	अंतराल के मध्य, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
कुल	400	-	312000

शहर के सर्बैंक में औसत जमा राशि 780 रूबल होगी:

3) औसत रैखिक विचलन समग्र औसत से किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के पूर्ण विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

अंतराल वितरण श्रृंखला में औसत रैखिक विचलन की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. भारित अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है, जैसा कि पैराग्राफ 2 में दिखाया गया है)।

2. औसत से पूर्ण विचलन निर्धारित किए जाते हैं:

3. परिणामी विचलन को आवृत्तियों से गुणा किया जाता है:

4. चिह्न को ध्यान में रखे बिना भारित विचलनों का योग ज्ञात कीजिए:

5. भारित विचलनों का योग आवृत्तियों के योग से विभाजित होता है:

गणना डेटा तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक है:

जमा राशि, रगड़ें।	जमाकर्ताओं की संख्या, च	अंतराल के मध्य, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
कुल	400	-	-	-	81280

Sberbank ग्राहकों की जमा राशि का औसत रैखिक विचलन 203.2 रूबल है।

4) फैलाव अंकगणितीय माध्य से प्रत्येक विशेषता मान के वर्ग विचलन का अंकगणितीय माध्य है।

अंतराल वितरण श्रृंखला में विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

इस मामले में विचरण की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. भारित अंकगणितीय माध्य निर्धारित करें, जैसा कि पैराग्राफ 2 में दिखाया गया है)।

2. औसत से विचलन ज्ञात करें:

3. औसत से प्रत्येक विकल्प के विचलन का वर्ग करें:

4. विचलनों के वर्गों को भार (आवृत्तियों) से गुणा करें:

5. परिणामी उत्पादों का योग करें:

6. परिणामी राशि को वज़न (आवृत्तियों) के योग से विभाजित किया जाता है:

आइए गणनाओं को एक तालिका में रखें:

जमा राशि, रगड़ें।	जमाकर्ताओं की संख्या, च	अंतराल के मध्य, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
कुल	400	-	-	-	23040000

निर्देश

मान लीजिए कि सजातीय मात्राओं को दर्शाने वाली कई संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, माप, वजन, सांख्यिकीय अवलोकन आदि के परिणाम। प्रस्तुत सभी मात्राओं को एक ही माप का उपयोग करके मापा जाना चाहिए। मानक विचलन ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित कार्य करें:

सभी संख्याओं का अंकगणितीय माध्य निर्धारित करें: सभी संख्याओं को जोड़ें और योग को संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करें।

संख्याओं का फैलाव (बिखराव) निर्धारित करें: पहले पाए गए विचलन के वर्गों को जोड़ें और परिणामी योग को संख्याओं की संख्या से विभाजित करें।

वार्ड में 34, 35, 36, 37, 38, 39 और 40 डिग्री तापमान वाले सात मरीज हैं।

माध्य से औसत विचलन निर्धारित करना आवश्यक है।
समाधान:
"वार्ड में": (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

औसत से तापमान विचलन (इस मामले में, सामान्य मान): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, जिसके परिणामस्वरूप: -3, - 2, -1 , 0, 1, 2, 3 (ºС);

पहले प्राप्त संख्याओं के योग को उनकी संख्या से भाग दें। सटीक गणना के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करना बेहतर है। विभाजन का परिणाम जोड़ी गई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य है।

गणना के सभी चरणों पर ध्यान दें, क्योंकि किसी भी गणना में त्रुटि से अंतिम संकेतक गलत हो जाएगा। हर चरण पर अपनी गणनाएँ जाँचें। अंकगणितीय औसत में योगित संख्याओं के समान मीटर होता है, अर्थात, यदि आप औसत उपस्थिति निर्धारित करते हैं, तो आपके सभी संकेतक "व्यक्ति" होंगे।

इस गणना पद्धति का उपयोग केवल गणितीय एवं सांख्यिकीय गणनाओं में किया जाता है। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में अंकगणितीय माध्य का एक अलग गणना एल्गोरिदम होता है। अंकगणितीय माध्य एक बहुत ही सापेक्ष संकेतक है। यह किसी घटना की संभावना को दर्शाता है, बशर्ते कि इसमें केवल एक कारक या संकेतक हो। सबसे गहन विश्लेषण के लिए, कई कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रयोजन के लिए, अधिक सामान्य मात्राओं की गणना का उपयोग किया जाता है।

अंकगणितीय माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों में से एक है, जिसका व्यापक रूप से गणित और सांख्यिकीय गणना में उपयोग किया जाता है। कई मानों के लिए अंकगणितीय औसत ढूँढना बहुत सरल है, लेकिन प्रत्येक कार्य की अपनी बारीकियाँ होती हैं, जिन्हें सही गणना करने के लिए जानना आवश्यक है।

समान प्रयोगों के मात्रात्मक परिणाम.

अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं की एक श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य ढूँढना इन मानों के बीजगणितीय योग को निर्धारित करने से शुरू होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि सरणी में संख्याएँ 23, 43, 10, 74 और 34 हैं, तो उनका बीजगणितीय योग 184 के बराबर होगा। लिखते समय, अंकगणितीय माध्य को अक्षर μ (mu) या x (x a के साथ) द्वारा दर्शाया जाता है। छड़)। इसके बाद, बीजगणितीय योग को सरणी में संख्याओं की संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए। विचाराधीन उदाहरण में पाँच संख्याएँ थीं, इसलिए अंकगणितीय माध्य 184/5 के बराबर होगा और 36.8 होगा।

ऋणात्मक संख्याओं के साथ कार्य करने की विशेषताएं

यदि सरणी में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो समान एल्गोरिथ्म का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य पाया जाता है। अंतर केवल प्रोग्रामिंग वातावरण में गणना करते समय मौजूद होता है, या यदि समस्या में अतिरिक्त शर्तें होती हैं। इन मामलों में, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना तीन चरणों तक सीमित हो जाता है:

1. मानक विधि का उपयोग करके सामान्य अंकगणितीय औसत ज्ञात करना;
2. ऋणात्मक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना।
3. धनात्मक संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना।

प्रत्येक क्रिया के उत्तरों को अल्पविराम से अलग करके लिखा जाता है।

प्राकृतिक और दशमलव भिन्न

यदि संख्याओं की एक सरणी को दशमलव अंशों द्वारा दर्शाया जाता है, तो समाधान पूर्णांकों के अंकगणितीय माध्य की गणना करने की विधि का उपयोग करके किया जाता है, लेकिन उत्तर की सटीकता के लिए कार्य की आवश्यकताओं के अनुसार परिणाम कम हो जाता है।

प्राकृतिक भिन्नों के साथ काम करते समय, उन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जो कि सरणी में संख्याओं की संख्या से गुणा किया जाता है। उत्तर का अंश मूल भिन्नात्मक तत्वों के दिए गए अंशों का योग होगा।