उदाहरणों में गणना का क्रम. कार्य करने की प्रक्रिया, नियम, उदाहरण

यह पाठ कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ अभिव्यक्तियों में अंकगणितीय संचालन करने की प्रक्रिया पर विस्तार से चर्चा करता है। छात्रों को असाइनमेंट पूरा करते समय, यह निर्धारित करने का अवसर दिया जाता है कि क्या अभिव्यक्तियों का अर्थ उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें अंकगणितीय संचालन किया जाता है, यह पता लगाने के लिए कि क्या अंकगणितीय संचालन का क्रम कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ अभिव्यक्तियों में भिन्न है, लागू करने का अभ्यास करने के लिए कार्यों के क्रम को निर्धारित करते समय की गई त्रुटियों को खोजने और ठीक करने के लिए सीखा हुआ नियम।

जीवन में, हम लगातार कुछ न कुछ कार्य करते रहते हैं: हम चलते हैं, अध्ययन करते हैं, पढ़ते हैं, लिखते हैं, गिनते हैं, मुस्कुराते हैं, झगड़ते हैं और शांति बनाते हैं। हम ये क्रियाएं अलग-अलग क्रम में करते हैं। कभी-कभी उनकी अदला-बदली की जा सकती है, कभी-कभी नहीं। उदाहरण के लिए, सुबह स्कूल के लिए तैयार होते समय, आप पहले व्यायाम कर सकते हैं, फिर अपना बिस्तर बना सकते हैं, या इसके विपरीत। लेकिन आप पहले स्कूल नहीं जा सकते और फिर कपड़े नहीं पहन सकते।

गणित में, क्या अंकगणितीय संक्रियाओं को एक निश्चित क्रम में करना आवश्यक है?

की जाँच करें

आइए भावों की तुलना करें:
8-3+4 और 8-3+4

हम देखते हैं कि दोनों अभिव्यक्तियाँ बिल्कुल एक जैसी हैं।

आइए एक अभिव्यक्ति में बाएँ से दाएँ और दूसरे में दाएँ से बाएँ क्रियाएँ करें। आप क्रियाओं के क्रम को इंगित करने के लिए संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं (चित्र 1)।

चावल। 1. प्रक्रिया

पहली अभिव्यक्ति में, हम पहले घटाव ऑपरेशन करेंगे और फिर परिणाम में संख्या 4 जोड़ देंगे।

दूसरी अभिव्यक्ति में, हम पहले योग का मान ज्ञात करते हैं, और फिर परिणामी परिणाम 7 को 8 में से घटाते हैं।

हम देखते हैं कि भावों के अर्थ भिन्न-भिन्न हैं।

आइए निष्कर्ष निकालें: अंकगणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने का क्रम बदला नहीं जा सकता.

आइए बिना कोष्ठक वाले व्यंजकों में अंकगणितीय संक्रियाएँ करने का नियम सीखें।

यदि कोष्ठक रहित अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव या केवल गुणा और भाग शामिल है, तो क्रियाएं उसी क्रम में की जाती हैं जिसमें वे लिखे गए हैं।

का अभ्यास करते हैं।

अभिव्यक्ति पर विचार करें

इस अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएँ शामिल हैं। इन क्रियाओं को कहा जाता है प्रथम चरण की कार्रवाई.

हम क्रम में बाएं से दाएं क्रियाएं करते हैं (चित्र 2)।

चावल। 2. प्रक्रिया

दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें

इस अभिव्यक्ति में केवल गुणा और भाग संक्रियाएँ शामिल हैं - ये दूसरे चरण की क्रियाएं हैं.

हम क्रम में बाएं से दाएं क्रियाएं करते हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. प्रक्रिया

यदि अभिव्यक्ति में न केवल जोड़ और घटाव है, बल्कि गुणा और भाग भी है तो अंकगणितीय संक्रियाएं किस क्रम में की जाती हैं?

यदि कोष्ठक रहित अभिव्यक्ति में न केवल जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ शामिल हैं, बल्कि गुणा और भाग, या ये दोनों संक्रियाएँ भी शामिल हैं, तो पहले क्रम में (बाएँ से दाएँ) गुणा और भाग करें, और फिर जोड़ और घटाव करें।

आइए अभिव्यक्ति को देखें.

आइए ऐसे सोचें. इस अभिव्यक्ति में जोड़ और घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ शामिल हैं। हम नियम के मुताबिक काम करते हैं.' सबसे पहले, हम क्रम में (बाएं से दाएं) गुणा और भाग करते हैं, और फिर जोड़ और घटाव करते हैं। आइए कार्यों के क्रम को व्यवस्थित करें।

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

यदि किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं तो अंकगणितीय संक्रियाएं किस क्रम में की जाती हैं?

यदि किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में अभिव्यक्ति के मूल्य का मूल्यांकन पहले किया जाता है।

आइए अभिव्यक्ति को देखें.

30 + 6 * (13 - 9)

हम देखते हैं कि इस अभिव्यक्ति में कोष्ठक में एक क्रिया है, जिसका अर्थ है कि हम पहले इस क्रिया को करेंगे, फिर क्रम से गुणा और जोड़ करेंगे। आइए कार्यों के क्रम को व्यवस्थित करें।

30 + 6 * (13 - 9)

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

किसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति में अंकगणितीय संक्रियाओं के क्रम को सही ढंग से स्थापित करने के लिए किसी को कैसे तर्क करना चाहिए?

गणना शुरू करने से पहले, आपको अभिव्यक्ति को देखना होगा (पता लगाएं कि इसमें कोष्ठक हैं या नहीं, इसमें कौन सी क्रियाएं हैं) और उसके बाद ही निम्नलिखित क्रम में क्रियाएं करें:

1. कोष्ठक में लिखी गई क्रियाएँ;

2. गुणा और भाग;

3. जोड़ और घटाव.

आरेख आपको इस सरल नियम को याद रखने में मदद करेगा (चित्र 4)।

चावल। 4. प्रक्रिया

का अभ्यास करते हैं।

आइए भावों पर विचार करें, क्रियाओं का क्रम स्थापित करें और गणना करें।

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

हम नियम के मुताबिक कार्रवाई करेंगे.' अभिव्यक्ति 43 - (20 - 7) +15 में कोष्ठक में संचालन, साथ ही जोड़ और घटाव संचालन शामिल हैं। आइए एक प्रक्रिया स्थापित करें. पहली क्रिया कोष्ठकों में संक्रिया करना है, और फिर बाएं से दाएं क्रम में घटाव और जोड़ करना है।

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

अभिव्यक्ति 32 + 9 * (19 - 16) में कोष्ठक में संचालन, साथ ही गुणन और जोड़ संचालन शामिल हैं। नियम के अनुसार, हम पहले क्रिया को कोष्ठक में करते हैं, फिर गुणा करते हैं (घटाव द्वारा प्राप्त परिणाम से हम संख्या 9 को गुणा करते हैं) और जोड़ करते हैं।

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

अभिव्यक्ति 2*9-18:3 में कोई कोष्ठक नहीं है, लेकिन गुणा, भाग और घटाव संक्रियाएँ हैं। हम नियम के मुताबिक काम करते हैं.' सबसे पहले, हम बाएँ से दाएँ गुणा और भाग करते हैं, और फिर भाग से प्राप्त परिणाम को गुणा द्वारा प्राप्त परिणाम से घटाते हैं। अर्थात पहली क्रिया है गुणा, दूसरी है भाग और तीसरी है घटाना।

2*9-18:3=18-6=12

आइए जानें कि निम्नलिखित अभिव्यक्तियों में क्रियाओं का क्रम सही ढंग से परिभाषित है या नहीं।

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

आइए ऐसे सोचें.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

इस अभिव्यक्ति में कोई कोष्ठक नहीं है, जिसका अर्थ है कि हम पहले बाएँ से दाएँ गुणा या भाग करते हैं, फिर जोड़ या घटाव करते हैं। इस अभिव्यक्ति में पहली क्रिया विभाजन है, दूसरी गुणा है। तीसरी क्रिया जोड़, चौथी - घटाव होनी चाहिए। निष्कर्ष: प्रक्रिया सही ढंग से निर्धारित की गई है।

आइए इस अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करें।

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

आइये बात करना जारी रखें.

दूसरी अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, जिसका अर्थ है कि हम पहले क्रिया को कोष्ठक में करते हैं, फिर बाएं से दाएं गुणा या भाग, जोड़ या घटाव करते हैं। हम जाँचते हैं: पहली क्रिया कोष्ठक में है, दूसरी विभाजन है, तीसरी जोड़ है। निष्कर्ष: प्रक्रिया को गलत तरीके से परिभाषित किया गया है। आइए त्रुटियों को सुधारें और व्यंजक का मान ज्ञात करें।

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

इस अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि हम पहले क्रिया को कोष्ठक में करते हैं, फिर बाएं से दाएं गुणा या भाग, जोड़ या घटाव करते हैं। आइए जाँचें: पहली क्रिया कोष्ठक में है, दूसरी गुणा है, तीसरी घटाव है। निष्कर्ष: प्रक्रिया को गलत तरीके से परिभाषित किया गया है। आइए त्रुटियों को सुधारें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें।

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

आइए कार्य पूरा करें.

आइए सीखे गए नियम का उपयोग करके अभिव्यक्ति में क्रियाओं के क्रम को व्यवस्थित करें (चित्र 5)।

चावल। 5. प्रक्रिया

हम संख्यात्मक मान नहीं देखते हैं, इसलिए हम अभिव्यक्तियों का अर्थ नहीं ढूंढ पाएंगे, लेकिन हमने जो नियम सीखा है उसे लागू करने का अभ्यास करेंगे।

हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।

पहली अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, जिसका अर्थ है कि पहली क्रिया कोष्ठक में है। फिर बाएँ से दाएँ गुणा-भाग, फिर बाएँ से दाएँ घटाव और जोड़।

दूसरी अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी शामिल है, जिसका अर्थ है कि हम पहली क्रिया कोष्ठक में करते हैं। उसके बाद बाएं से दाएं गुणा और भाग, उसके बाद घटाव.

आइए स्वयं जाँचें (चित्र 6)।

चावल। 6. प्रक्रिया

आज कक्षा में हमने कोष्ठक रहित और कोष्ठक सहित भावों में क्रियाओं के क्रम के नियम के बारे में सीखा।

ग्रन्थसूची

1. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 1. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
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3. एम.आई. मोरो. गणित पाठ: शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें। तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
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2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ()।
3. Openclass.ru ()।

गृहकार्य

1. इन भावों में क्रियाओं का क्रम निर्धारित करें। भावों का अर्थ ढूँढ़ें।

2. निर्धारित करें कि क्रियाओं का यह क्रम किस अभिव्यक्ति में किया जाता है:

1. गुणन; 2. विभाजन;. 3. जोड़; 4. घटाव; 5. जोड़. इस अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें।

3. तीन अभिव्यक्तियाँ बनाइए जिनमें क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम किया जाता है:

1. गुणन; 2. जोड़; 3. घटाव

1. जोड़; 2. घटाव; 3. जोड़

1. गुणन; 2. विभाजन; 3. जोड़

इन अभिव्यक्तियों का अर्थ खोजें।

प्राथमिक विद्यालय ख़त्म होने वाला है, और जल्द ही बच्चा गणित की उन्नत दुनिया में कदम रखेगा। लेकिन इस अवधि के दौरान पहले से ही छात्र को विज्ञान की कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। एक साधारण कार्य करते समय, बच्चा भ्रमित हो जाता है और खो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अंततः किए गए कार्य के लिए नकारात्मक अंक प्राप्त होता है। ऐसी परेशानियों से बचने के लिए, उदाहरणों को हल करते समय, आपको उस क्रम में नेविगेट करने में सक्षम होना चाहिए जिसमें आपको उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है। कार्यों को गलत तरीके से वितरित करने के कारण, बच्चा कार्य को सही ढंग से पूरा नहीं करता है। लेख उदाहरणों को हल करने के लिए बुनियादी नियमों का खुलासा करता है जिसमें कोष्ठक सहित गणितीय गणनाओं की पूरी श्रृंखला शामिल है। चौथी कक्षा के गणित में प्रक्रिया के नियम और उदाहरण।

कार्य पूरा करने से पहले, अपने बच्चे से उन कार्यों को गिनने के लिए कहें जो वह करने जा रहा है। यदि आपको कोई कठिनाई हो तो कृपया सहायता करें।

कोष्ठक के बिना उदाहरणों को हल करते समय पालन करने योग्य कुछ नियम:

यदि किसी कार्य को करने के लिए कई क्रियाओं की आवश्यकता होती है, तो आपको पहले भाग या गुणा करना होगा, फिर। पत्र की प्रगति के अनुसार सभी क्रियाएं की जाती हैं। अन्यथा निर्णय का परिणाम सही नहीं होगा.

यदि उदाहरण में आपको निष्पादित करने की आवश्यकता है, तो हम इसे बाएं से दाएं क्रम में करते हैं।

27-5+15=37 (उदाहरण को हल करते समय, हम नियम द्वारा निर्देशित होते हैं। पहले हम घटाव करते हैं, फिर जोड़)।

अपने बच्चे को हमेशा किए गए कार्यों की योजना बनाना और उन्हें गिनना सिखाएं।

प्रत्येक हल की गई कार्रवाई के उत्तर उदाहरण के ऊपर लिखे गए हैं। इससे बच्चे के लिए गतिविधियों को नेविगेट करना बहुत आसान हो जाएगा।

आइए एक अन्य विकल्प पर विचार करें जहां क्रियाओं को क्रम में वितरित करना आवश्यक है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान करते समय नियम का पालन किया जाता है: पहले हम उत्पाद की तलाश करते हैं, फिर हम अंतर की तलाश करते हैं।

ये सरल उदाहरण हैं जिन्हें हल करते समय सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता है। कई बच्चे तब दंग रह जाते हैं जब वे कोई ऐसा कार्य देखते हैं जिसमें न केवल गुणा और भाग होता है, बल्कि कोष्ठक भी होता है। एक छात्र जो कार्य करने की प्रक्रिया नहीं जानता, उसके मन में ऐसे प्रश्न होते हैं जो उसे कार्य पूरा करने से रोकते हैं।

जैसा कि नियम में कहा गया है, पहले हम उत्पाद या भागफल ढूंढते हैं, और फिर बाकी सब कुछ। लेकिन कोष्ठक हैं! ऐसे में क्या करें?

उदाहरणों को कोष्ठक सहित हल करना

आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें:

• इस कार्य को निष्पादित करते समय, हम सबसे पहले कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करते हैं।
• आपको गुणा से शुरुआत करनी चाहिए, फिर जोड़ से।
• कोष्ठक में अभिव्यक्ति हल होने के बाद, हम उनके बाहर की कार्रवाइयों के लिए आगे बढ़ते हैं।
• प्रक्रिया के नियमों के अनुसार अगला चरण गुणन है।
• अंतिम चरण होगा.

जैसा कि हम दृश्य उदाहरण में देख सकते हैं, सभी क्रियाएँ क्रमांकित हैं। विषय को सुदृढ़ करने के लिए, अपने बच्चे को स्वयं कई उदाहरण हल करने के लिए आमंत्रित करें:

जिस क्रम में अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना की जानी चाहिए उसे पहले ही व्यवस्थित किया जा चुका है। बच्चे को केवल सीधे निर्णय लेना होगा।

आइए कार्य को जटिल बनाएं। बच्चे को स्वयं भावों का अर्थ ढूंढने दें।

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

अपने बच्चे को सभी कार्यों को ड्राफ्ट फॉर्म में हल करना सिखाएं। इस मामले में, छात्र के पास गलत निर्णय या गलती को सुधारने का अवसर होगा। कार्यपुस्तिका में सुधार की अनुमति नहीं है. कार्यों को स्वयं पूरा करने से बच्चों को अपनी गलतियाँ नजर आने लगती हैं।

बदले में, माता-पिता को गलतियों पर ध्यान देना चाहिए, बच्चे को उन्हें समझने और सुधारने में मदद करनी चाहिए। आपको किसी छात्र के दिमाग पर बड़ी मात्रा में काम का बोझ नहीं डालना चाहिए। ऐसे कार्यों से आप बच्चे की ज्ञान की इच्छा को हतोत्साहित करेंगे। हर चीज़ में अनुपात का भाव होना चाहिए.

एक ब्रेक ले लो। बच्चे का ध्यान भटकना चाहिए और कक्षाओं से छुट्टी लेनी चाहिए। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि हर किसी के पास गणितीय दिमाग नहीं होता है। हो सकता है कि आपका बच्चा बड़ा होकर एक प्रसिद्ध दार्शनिक बने।

जब हम विभिन्न अभिव्यक्तियों के साथ काम करते हैं जिनमें संख्याएं, अक्षर और चर शामिल होते हैं, तो हमें बड़ी संख्या में अंकगणितीय ऑपरेशन करने पड़ते हैं। जब हम कोई रूपांतरण करते हैं या किसी मूल्य की गणना करते हैं, तो इन क्रियाओं के सही क्रम का पालन करना बहुत महत्वपूर्ण है। दूसरे शब्दों में, अंकगणितीय संक्रियाओं के निष्पादन का अपना विशेष क्रम होता है।

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इस लेख में हम आपको बताएंगे कि कौन से कार्य पहले करने चाहिए और कौन से बाद में। सबसे पहले, आइए कुछ सरल अभिव्यक्तियों को देखें जिनमें केवल चर या संख्यात्मक मान, साथ ही विभाजन, गुणा, घटाव और जोड़ चिह्न शामिल हैं। तो आइए कोष्ठक के साथ उदाहरण लें और विचार करें कि उनकी गणना किस क्रम में की जानी चाहिए। तीसरे भाग में हम उन उदाहरणों में परिवर्तनों और गणनाओं का आवश्यक क्रम देंगे जिनमें जड़ों, शक्तियों और अन्य कार्यों के संकेत शामिल हैं।

परिभाषा 1

कोष्ठक के बिना अभिव्यक्तियों के मामले में, क्रियाओं का क्रम स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है:

1. सभी क्रियाएँ बाएँ से दाएँ की ओर की जाती हैं।
2. हम भाग और गुणा पहले करते हैं, और घटाव और जोड़ बाद में करते हैं।

इन नियमों का मतलब समझना आसान है. पारंपरिक बाएँ से दाएँ लेखन क्रम गणनाओं के मूल अनुक्रम को परिभाषित करता है, और पहले गुणा या भाग करने की आवश्यकता को इन कार्यों के सार द्वारा समझाया गया है।

आइए स्पष्टता के लिए कुछ कार्य करें। हमने केवल सबसे सरल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का उपयोग किया ताकि सभी गणनाएँ मानसिक रूप से की जा सकें। इस तरह आप वांछित आदेश को तुरंत याद कर सकते हैं और परिणामों की तुरंत जांच कर सकते हैं।

उदाहरण 1

स्थिति:गणना करें कि यह कितना होगा 7 − 3 + 6 .

समाधान

हमारी अभिव्यक्ति में कोई कोष्ठक नहीं है, गुणा-भाग भी नहीं है, इसलिए हम सभी क्रियाएं निर्दिष्ट क्रम में करते हैं। पहले हम सात में से तीन घटाते हैं, फिर शेष में छह जोड़ते हैं और दस पर समाप्त होते हैं। यहां संपूर्ण समाधान का एक प्रतिलेख है:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

उत्तर: 7 − 3 + 6 = 10 .

उदाहरण 2

स्थिति:अभिव्यक्ति में गणना किस क्रम में की जानी चाहिए? 6:2 8:3?

समाधान

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए बिना कोष्ठक वाले व्यंजकों के नियम को दोबारा पढ़ें जिसे हमने पहले तैयार किया था। हमारे यहाँ केवल गुणा और भाग है, जिसका अर्थ है कि हम गणनाओं का लिखित क्रम रखते हैं और क्रमिक रूप से बाएँ से दाएँ गिनती करते हैं।

उत्तर:पहले हम छह को दो से विभाजित करते हैं, परिणाम को आठ से गुणा करते हैं और परिणामी संख्या को तीन से विभाजित करते हैं।

उदाहरण 3

स्थिति:गणना करें कि यह कितना होगा 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

समाधान

सबसे पहले, आइए संक्रियाओं का सही क्रम निर्धारित करें, क्योंकि हमारे यहां सभी बुनियादी प्रकार के अंकगणितीय संक्रियाएं हैं - जोड़, घटाव, गुणा, भाग। पहली चीज़ जो हमें करने की ज़रूरत है वह है विभाजित करना और गुणा करना। इन क्रियाओं की एक-दूसरे पर प्राथमिकता नहीं होती, इसलिए हम इन्हें दाएँ से बाएँ लिखित क्रम में करते हैं। अर्थात्, 30 प्राप्त करने के लिए 5 को 6 से गुणा करना होगा, फिर 10 प्राप्त करने के लिए 30 को 3 से विभाजित करना होगा। इसके बाद 4 को 2 से भाग दें तो 2 आता है. आइए पाए गए मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

यहां अब कोई भाग या गुणा नहीं है, इसलिए हम शेष गणना क्रम में करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

उत्तर:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

जब तक कार्यों को करने का क्रम दृढ़ता से याद नहीं हो जाता, तब तक आप गणना के क्रम को इंगित करने वाले अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों के ऊपर संख्याएँ रख सकते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त समस्या के लिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

यदि हमारे पास अक्षर अभिव्यक्तियाँ हैं, तो हम उनके साथ भी ऐसा ही करते हैं: पहले हम गुणा और भाग करते हैं, फिर हम जोड़ते और घटाते हैं।

प्रथम और द्वितीय चरण की क्रियाएँ क्या हैं?

कभी-कभी संदर्भ पुस्तकों में सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को पहले और दूसरे चरण की क्रियाओं में विभाजित किया जाता है। आइए हम आवश्यक परिभाषा तैयार करें।

पहले चरण के संचालन में घटाव और जोड़ शामिल हैं, दूसरे में - गुणा और भाग।

इन नामों को जानकर हम क्रियाओं के क्रम के संबंध में पहले दिए गए नियम को इस प्रकार लिख सकते हैं:

परिभाषा 2

ऐसे अभिव्यक्ति में जिसमें कोष्ठक नहीं हैं, आपको पहले दूसरे चरण की क्रियाएं बाएं से दाएं दिशा में करनी होंगी, फिर पहले चरण की क्रियाएं (उसी दिशा में) करनी होंगी।

कोष्ठक सहित भावों में गणना का क्रम

कोष्ठक स्वयं एक संकेत है जो हमें कार्यों का वांछित क्रम बताता है। इस मामले में, आवश्यक नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

परिभाषा 3

यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो पहला कदम उनमें ऑपरेशन करना है, जिसके बाद हम गुणा और भाग करते हैं, और फिर बाएं से दाएं जोड़ते और घटाते हैं।

जहां तक ​​कोष्ठक अभिव्यक्ति का सवाल है, इसे मुख्य अभिव्यक्ति का अभिन्न अंग माना जा सकता है। कोष्ठक में व्यंजक के मान की गणना करते समय, हम वही प्रक्रिया अपनाते हैं जो हमें ज्ञात है। आइए अपने विचार को एक उदाहरण से स्पष्ट करें।

उदाहरण 4

स्थिति:गणना करें कि यह कितना होगा 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

समाधान

इस अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो चलिए उनसे शुरू करते हैं। सबसे पहले, आइए गणना करें कि 7 - 2 · 3 कितना होगा। यहां हमें 2 को 3 से गुणा करना होगा और परिणाम को 7 से घटाना होगा:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

हम दूसरे कोष्ठक में परिणाम की गणना करते हैं। वहां हमारी केवल एक ही क्रिया है: 6 − 4 = 2 .

अब हमें परिणामी मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

आइए गुणा और भाग से शुरू करें, फिर घटाव करें और प्राप्त करें:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

इससे गणना समाप्त होती है।

उत्तर: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

अगर हमारी स्थिति में कोई अभिव्यक्ति शामिल है जिसमें कुछ कोष्ठक दूसरों को संलग्न करते हैं, तो चिंतित न हों। हमें केवल उपरोक्त नियम को कोष्ठक में सभी अभिव्यक्तियों पर लगातार लागू करने की आवश्यकता है। आइए इस समस्या को लें।

उदाहरण 5

स्थिति:गणना करें कि यह कितना होगा 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

समाधान

हमारे पास कोष्ठकों के भीतर कोष्ठक हैं। हम 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), यानी 2 + 3 से शुरू करते हैं। 5 बजे होंगे. मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने और गणना करने की आवश्यकता होगी कि 3 + 1 + 4 · 5। हमें याद है कि हमें पहले गुणा करना होगा और फिर जोड़ना होगा: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. पाए गए मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम उत्तर की गणना करते हैं: 4 + 24 = 28 .

उत्तर: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

दूसरे शब्दों में, किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते समय जिसमें कोष्ठक के भीतर कोष्ठक शामिल होते हैं, हम आंतरिक कोष्ठक से शुरू करते हैं और बाहरी कोष्ठक की ओर अपना काम करते हैं।

मान लीजिए कि हमें यह पता लगाना है कि (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 कितना होगा। हम आंतरिक कोष्ठक में अभिव्यक्ति से शुरू करते हैं। चूँकि 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1, मूल अभिव्यक्ति को (4 + (4 + 1) - 1) - 1 के रूप में लिखा जा सकता है। आंतरिक कोष्ठकों को फिर से देखें: 4 + 1 = 5। हम अभिव्यक्ति पर आ गये हैं (4 + 5 − 1) − 1 . हम गिनते है 4 + 5 − 1 = 8 और परिणामस्वरूप हमें अंतर 8 - 1 मिलता है, जिसका परिणाम 7 होगा।

घातों, मूलों, लघुगणक और अन्य कार्यों के साथ अभिव्यक्तियों में गणना का क्रम

यदि हमारी स्थिति में घात, मूल, लघुगणक या त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट) या अन्य फ़ंक्शन के साथ एक अभिव्यक्ति शामिल है, तो सबसे पहले हम फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करते हैं। इसके बाद, हम पिछले पैराग्राफ में निर्दिष्ट नियमों के अनुसार कार्य करते हैं। दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शंस कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति के महत्व के बराबर हैं।

आइए ऐसी गणना का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 6

स्थिति:ज्ञात कीजिए कि (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 कितना है।

समाधान

हमारे पास एक डिग्री के साथ एक अभिव्यक्ति है, जिसका मूल्य पहले पाया जाना चाहिए। हम गिनते हैं: 6 2 = 36। अब परिणाम को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद यह (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 का रूप ले लेगा।

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

उत्तर: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

भावों के मानों की गणना के लिए समर्पित एक अलग लेख में, हम मूल, डिग्री आदि वाले भावों के मामले में गणना के अन्य, अधिक जटिल उदाहरण प्रदान करते हैं। हम अनुशंसा करते हैं कि आप इससे परिचित हों।

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अल्फ़ा वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिह्न इंगित करता है कि यदि आप अनंत में कोई संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय को एक उदाहरण के रूप में लें, तो विचारित उदाहरणों को इस रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए कि वे सही थे, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों के साथ आए। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी तरीकों को तंबूरा के साथ नृत्य करने वाले ओझाओं के रूप में देखता हूं। अनिवार्य रूप से, वे सभी इस तथ्य पर आते हैं कि या तो कुछ कमरे खाली हैं और नए मेहमान अंदर आ रहे हैं, या कि कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया गया है (बहुत मानवीय तरीके से)। मैंने ऐसे निर्णयों पर अपना दृष्टिकोण सुनहरे बालों वाली एक काल्पनिक कहानी के रूप में प्रस्तुत किया। मेरा तर्क किस पर आधारित है? अनंत संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। जब हम किसी अतिथि के लिए पहला कमरा खाली कर देते हैं, तो आगंतुकों में से एक हमेशा समय के अंत तक अपने कमरे से अगले कमरे तक गलियारे के साथ चलता रहेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खतापूर्ण ढंग से नजरअंदाज किया जा सकता है, लेकिन यह "मूर्खों के लिए कोई कानून नहीं लिखा जाता" की श्रेणी में होगा। यह सब इस पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के अनुसार समायोजित करना या इसके विपरीत।

"अंतहीन होटल" क्या है? अनंत होटल एक ऐसा होटल है जिसमें हमेशा किसी भी संख्या में खाली बिस्तर होते हैं, चाहे कितने भी कमरे भरे हों। यदि अंतहीन "आगंतुक" गलियारे के सभी कमरे भरे हुए हैं, तो "अतिथि" कमरों वाला एक और अंतहीन गलियारा है। ऐसे गलियारों की संख्या अनंत होगी। इसके अलावा, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत संख्या में ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत संख्या में मंजिलें हैं। गणितज्ञ रोजमर्रा की सामान्य समस्याओं से खुद को दूर नहीं कर पा रहे हैं: हमेशा एक ही ईश्वर-अल्लाह-बुद्ध होता है, एक ही होटल होता है, एक ही गलियारा होता है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को जोड़ने की कोशिश कर रहे हैं, और हमें आश्वस्त कर रहे हैं कि "असंभव को आगे बढ़ाना" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क प्रदर्शित करूंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देना होगा: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि संख्याओं का आविष्कार हमने स्वयं किया है; प्रकृति में संख्याओं का अस्तित्व नहीं है। हाँ, प्रकृति गिनती करने में माहिर है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जिनसे हम परिचित नहीं हैं। मैं तुम्हें फिर कभी बताऊंगा कि प्रकृति क्या सोचती है। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं। आइए दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि वास्तविक वैज्ञानिकों को करना चाहिए।

विकल्प एक. "हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक एकल सेट, जो शेल्फ पर शांति से रखा हुआ है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्या नहीं बची है और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक भी नहीं जोड़ सकते, क्योंकि यह हमारे पास पहले से ही मौजूद है। यदि आप वास्तव में चाहते हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम जो सेट पहले ही ले चुके हैं उसमें से एक ले सकते हैं और उसे शेल्फ में वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक ले सकते हैं और जो हमारे पास बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट प्राप्त होगा। आप हमारे सभी जोड़तोड़ को इस प्रकार लिख सकते हैं:

मैंने सेट के तत्वों की विस्तृत सूची के साथ, बीजगणितीय नोटेशन और सेट सिद्धांत नोटेशन में क्रियाओं को लिखा। सबस्क्रिप्ट इंगित करती है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का केवल और केवल एक सेट है। इससे पता चलता है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटा दिया जाए और वही इकाई जोड़ दी जाए।

विकल्प दो. हमारे शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। आइए इनमें से एक सेट लें। फिर हम प्राकृतिक संख्याओं के दूसरे सेट से एक लेते हैं और इसे उस सेट में जोड़ते हैं जो हमने पहले ही ले लिया है। हम प्राकृतिक संख्याओं के दो सेट भी जोड़ सकते हैं। हमें यही मिलता है:

उपस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि आप एक अनंत सेट में एक और अनंत सेट जोड़ते हैं, तो परिणाम एक नया अनंत सेट होता है जिसमें पहले दो सेट के तत्व शामिल होते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का उपयोग गिनती के लिए उसी प्रकार किया जाता है जैसे रूलर का उपयोग मापने के लिए किया जाता है। अब कल्पना करें कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ा। यह एक अलग लाइन होगी, मूल लाइन के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को मानें या न मानें - यह आपका अपना मामला है। लेकिन यदि आपको कभी गणितीय समस्याओं का सामना करना पड़े, तो इस बारे में सोचें कि क्या आप गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा अपनाए गए झूठे तर्क के मार्ग का अनुसरण कर रहे हैं। आख़िरकार, गणित का अध्ययन, सबसे पहले, हमारे अंदर सोच की एक स्थिर रूढ़ि बनाता है, और उसके बाद ही हमारी मानसिक क्षमताओं में वृद्धि करता है (या, इसके विपरीत, हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करता है)।

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख की पोस्टस्क्रिप्ट समाप्त कर रहा था और विकिपीडिया पर यह अद्भुत पाठ देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में समग्र चरित्र नहीं था और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान तकनीकों के एक सेट में सिमट गया था।"

बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियाँ कितनी अच्छी तरह देख पाते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी सन्दर्भ में देखना हमारे लिए कठिन है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा व्याख्या करते हुए, मुझे व्यक्तिगत रूप से निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित का समृद्ध सैद्धांतिक आधार प्रकृति में समग्र नहीं है और एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए ज्यादा दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से भिन्न हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट गलतियों के लिए प्रकाशनों की एक पूरी श्रृंखला समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

किसी समुच्चय को उपसमुच्चय में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। आइए एक उदाहरण देखें.

हमारे पास बहुत कुछ हो एचार लोगों से मिलकर। यह समुच्चय "लोग" के आधार पर बना है आइए इस समुच्चय के तत्वों को अक्षर से निरूपित करें ए, एक संख्या वाली सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रम संख्या को इंगित करेगी। आइए माप की एक नई इकाई "लिंग" का परिचय दें और इसे अक्षर से निरूपित करें बी. चूँकि यौन विशेषताएँ सभी लोगों में अंतर्निहित होती हैं, हम समुच्चय के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं एलिंग के आधार पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोगों" का समूह अब "लिंग विशेषताओं वाले लोगों" का समूह बन गया है। इसके बाद हम लैंगिक विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं की बी.डब्ल्यूयौन विशेषताएँ. अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इन यौन विशेषताओं में से एक का चयन करते हैं, चाहे कोई भी हो - पुरुष या महिला। यदि किसी व्यक्ति के पास यह है तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम नियमित स्कूली गणित का उपयोग करते हैं। देखो क्या हुआ.

गुणन, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुषों का उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक उपसमूह बउ. गणितज्ञ जब सेट सिद्धांत को व्यवहार में लागू करते हैं तो लगभग उसी तरह से तर्क करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण नहीं बताते हैं, लेकिन हमें अंतिम परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक उपसमूह और महिलाओं का एक उपसमूह होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: ऊपर उल्लिखित परिवर्तनों में गणित को कितनी सही ढंग से लागू किया गया है? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि मूलतः सब कुछ सही ढंग से किया गया था; अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित की अन्य शाखाओं के गणितीय आधार को जानना पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में फिर कभी बताऊंगा.

जहां तक ​​सुपरसेट का सवाल है, आप इन दोनों सेटों के तत्वों में मौजूद माप की इकाई का चयन करके दो सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ सकते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत का अवशेष बनाते हैं। सेट सिद्धांत के साथ सब कुछ ठीक नहीं होने का संकेत यह है कि गणितज्ञ सेट सिद्धांत के लिए अपनी भाषा और संकेतन लेकर आए हैं। गणितज्ञों ने एक बार जादूगरों की तरह काम किया था। केवल जादूगर ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। वे हमें यह "ज्ञान" सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको यह दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं।

सोमवार, 7 जनवरी 2019

ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपना प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" एपोरिया है। यहाँ यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... चर्चाएँ आज भी जारी हैं; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना पाया है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं जिस बात पर विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

मैं आपको पहले ही बता चुका हूं कि ओझा किसकी मदद से वास्तविकता को सुलझाने की कोशिश करते हैं। वे ऐसा कैसे करते हैं? समुच्चय का निर्माण वास्तव में कैसे होता है?

आइए समुच्चय की परिभाषा पर करीब से नज़र डालें: "विभिन्न तत्वों का एक संग्रह, जिसकी कल्पना एक संपूर्ण के रूप में की जाती है।" अब दो वाक्यांशों के बीच अंतर महसूस करें: "संपूर्ण रूप से बोधगम्य" और "संपूर्ण रूप से बोधगम्य।" पहला वाक्यांश अंतिम परिणाम, सेट है। दूसरा वाक्यांश भीड़ के गठन के लिए प्रारंभिक तैयारी है। इस स्तर पर, वास्तविकता को अलग-अलग तत्वों ("संपूर्ण") में विभाजित किया जाता है, जिससे फिर एक भीड़ बनेगी ("एकल संपूर्ण")। साथ ही, वह कारक जो "संपूर्ण" को "एकल संपूर्ण" में संयोजित करना संभव बनाता है, उसकी सावधानीपूर्वक निगरानी की जाती है, अन्यथा शेमस सफल नहीं होंगे। आख़िरकार, ओझाओं को पहले से पता होता है कि वे हमें कौन सा सेट दिखाना चाहते हैं।

मैं आपको एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "मुँहासे में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और धनुष के बिना भी हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" का हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह से जादूगर अपने निर्धारित सिद्धांत को वास्तविकता से जोड़कर अपना भोजन प्राप्त करते हैं।

अब चलिए एक छोटी सी ट्रिक करते हैं. आइए "एक धनुष के साथ एक दाना के साथ ठोस" लें और लाल तत्वों का चयन करते हुए, रंग के अनुसार इन "संपूर्ण" को मिलाएं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब अंतिम प्रश्न: क्या परिणामी सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट हैं या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका उत्तर केवल ओझा ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ भी नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही होगा।

यह सरल उदाहरण दर्शाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक दाना और एक धनुष के साथ लाल ठोस" का एक सेट बनाया। माप की चार अलग-अलग इकाइयों में गठन हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (पिम्पली), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट ही हमें गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करने की अनुमति देता है. यह है जो ऐसा लग रहा है।

विभिन्न सूचकांकों वाला अक्षर "ए" माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। माप की इकाइयाँ जिनके द्वारा प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" को प्रतिष्ठित किया जाता है, कोष्ठक में हाइलाइट किया गया है। माप की वह इकाई जिससे सेट बनता है, कोष्ठक से हटा दिया जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम एक सेट बनाने के लिए माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, तंबूरा के साथ जादूगरों का नृत्य नहीं। शमां "सहज ज्ञान" से उसी परिणाम पर आ सकते हैं, यह तर्क देते हुए कि यह "स्पष्ट" है, क्योंकि माप की इकाइयाँ उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार का हिस्सा नहीं हैं।

माप की इकाइयों का उपयोग करके, एक सेट को विभाजित करना या कई सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।

शनिवार, 30 जून 2018

यदि गणितज्ञ एक अवधारणा को अन्य अवधारणाओं तक सीमित नहीं कर सकते, तो वे गणित के बारे में कुछ भी नहीं समझते हैं। मैं उत्तर देता हूं: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? उत्तर बहुत सरल है: संख्याएँ और माप की इकाइयाँ।

आज, जो कुछ भी हम नहीं लेते वह किसी न किसी सेट से संबंधित है (जैसा कि गणितज्ञ हमें आश्वस्त करते हैं)। वैसे, क्या आपने अपने माथे पर लगे दर्पण में उन सेटों की सूची देखी है जिनसे आप संबंधित हैं? और मैंने ऐसी कोई सूची नहीं देखी है. मैं और अधिक कहूंगा - वास्तव में किसी भी चीज़ पर उन सेटों की सूची वाला टैग नहीं है जिनसे यह चीज़ संबंधित है। सेट सभी जादूगरों के आविष्कार हैं। वे यह कैसे करते हैं? आइए इतिहास में थोड़ा गहराई से देखें और देखें कि सेट के तत्व गणितज्ञ ओझाओं द्वारा अपने सेट में ले जाने से पहले कैसे दिखते थे।

बहुत समय पहले, जब किसी ने गणित के बारे में कभी नहीं सुना था, और केवल पेड़ों और शनि के छल्ले थे, सेट के जंगली तत्वों के विशाल झुंड भौतिक क्षेत्रों में घूमते थे (आखिरकार, जादूगरों ने अभी तक गणितीय क्षेत्रों का आविष्कार नहीं किया था)। वे कुछ इस तरह दिखते थे.

हां, आश्चर्यचकित न हों, गणित के दृष्टिकोण से, सेट के सभी तत्व समुद्री अर्चिन के समान हैं - एक बिंदु से, सुई की तरह, माप की इकाइयां सभी दिशाओं में चिपक जाती हैं। उन लोगों के लिए, मैं आपको याद दिलाता हूं कि माप की किसी भी इकाई को ज्यामितीय रूप से मनमानी लंबाई के खंड के रूप में और एक संख्या को एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, किसी भी मात्रा को एक बिंदु से अलग-अलग दिशाओं में चिपके हुए खंडों के समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह बिंदु बिंदु शून्य है. मैं ज्यामितीय कला का यह टुकड़ा नहीं बनाऊंगा (कोई प्रेरणा नहीं), लेकिन आप आसानी से इसकी कल्पना कर सकते हैं।

माप की कौन सी इकाइयाँ किसी सेट का एक तत्व बनाती हैं? सभी प्रकार की चीज़ें जो किसी दिए गए तत्व का विभिन्न दृष्टिकोण से वर्णन करती हैं। ये माप की प्राचीन इकाइयाँ हैं जिनका उपयोग हमारे पूर्वज करते थे और जिनके बारे में हर कोई लंबे समय से भूल गया है। ये माप की आधुनिक इकाइयाँ हैं जिनका हम अब उपयोग करते हैं। ये हमारे लिए अज्ञात माप की इकाइयाँ भी हैं, जिन्हें हमारे वंशज आविष्कार करेंगे और जिनका उपयोग वे वास्तविकता का वर्णन करने के लिए करेंगे।

हमने ज्यामिति को सुलझा लिया है - सेट के तत्वों के प्रस्तावित मॉडल में स्पष्ट ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। भौतिकी के बारे में क्या? माप की इकाइयाँ गणित और भौतिकी के बीच सीधा संबंध हैं। यदि जादूगर माप की इकाइयों को गणितीय सिद्धांतों के पूर्ण तत्व के रूप में नहीं पहचानते हैं, तो यह उनकी समस्या है। मैं व्यक्तिगत रूप से माप की इकाइयों के बिना गणित के वास्तविक विज्ञान की कल्पना नहीं कर सकता। इसीलिए सेट सिद्धांत के बारे में कहानी की शुरुआत में ही मैंने इसके पाषाण युग में होने की बात कही थी।

लेकिन आइए सबसे दिलचस्प बात पर चलते हैं - सेट के तत्वों का बीजगणित। बीजगणितीय रूप से, किसी समुच्चय का कोई भी तत्व विभिन्न मात्राओं का गुणनफल (गुणन का परिणाम) होता है। यह इस तरह दिखता है।

मैंने जानबूझकर सेट सिद्धांत की परंपराओं का उपयोग नहीं किया, क्योंकि हम सेट सिद्धांत के उद्भव से पहले अपने प्राकृतिक वातावरण में एक सेट के एक तत्व पर विचार कर रहे हैं। कोष्ठक में अक्षरों का प्रत्येक जोड़ा एक अलग मात्रा को दर्शाता है, जिसमें अक्षर द्वारा इंगित एक संख्या शामिल होती है। एन"और पत्र द्वारा इंगित माप की इकाई" ए"। अक्षरों के आगे के सूचकांक दर्शाते हैं कि माप की संख्याएँ और इकाइयाँ अलग-अलग हैं। सेट के एक तत्व में अनंत संख्या में मात्राएँ शामिल हो सकती हैं (हम और हमारे वंशजों के पास कितनी कल्पना है)। प्रत्येक ब्रैकेट को ज्यामितीय रूप से दर्शाया गया है एक अलग खंड। समुद्री अर्चिन के उदाहरण में एक ब्रैकेट एक सुई है।

शेमस विभिन्न तत्वों से सेट कैसे बनाते हैं? वास्तव में, माप की इकाइयों द्वारा या संख्याओं द्वारा। गणित के बारे में कुछ भी न समझते हुए, वे अलग-अलग समुद्री अर्चिन लेते हैं और उस एक सुई की तलाश में उनकी सावधानीपूर्वक जांच करते हैं, जिसके साथ वे एक सेट बनाते हैं। यदि ऐसी कोई सुई है, तो यह तत्व इस सेट का है; यदि ऐसी कोई सुई नहीं है, तो यह तत्व इस सेट का नहीं है। शमां हमें विचार प्रक्रियाओं और समग्रता के बारे में दंतकथाएँ सुनाते हैं।

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, एक ही तत्व बहुत भिन्न सेटों से संबंधित हो सकता है। आगे मैं आपको दिखाऊंगा कि समुच्चय, उपसमुच्चय और अन्य शर्मनाक बकवास कैसे बनते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था प्रत्येक सिक्के के लिए अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

यदि हम जोड़ और घटाव के कार्यों की तुलना गुणा और भाग से करते हैं, तो गुणा और भाग की गणना हमेशा पहले की जाती है।

उदाहरण में, जोड़ और घटाव, साथ ही गुणा और भाग जैसे दो कार्य एक दूसरे के समतुल्य हैं। निष्पादन का क्रम बाएँ से दाएँ क्रम में निर्धारित किया जाता है।

यह याद रखना चाहिए कि उदाहरण में कोष्ठक में की गई क्रियाओं की विशेष प्राथमिकता होती है। इस प्रकार, भले ही कोष्ठक के बाहर गुणा और कोष्ठक के अंदर जोड़ हो, आपको पहले जोड़ना चाहिए और फिर गुणा करना चाहिए।

इस विषय को समझने के लिए आप एक-एक करके सभी मामलों पर विचार कर सकते हैं।

आइए हम तुरंत इस बात पर ध्यान दें कि हमारी अभिव्यक्तियों में कोष्ठक नहीं हैं।

इसलिए, यदि उदाहरण में पहली क्रिया गुणन है, और दूसरी भाग है, तो हम पहले गुणन करते हैं।

यदि उदाहरण में पहली क्रिया विभाजन है, और दूसरी गुणा है, तो हम पहले विभाजन करते हैं।

ऐसे उदाहरणों में, क्रियाएँ बाएँ से दाएँ क्रम में की जाती हैं, चाहे किसी भी संख्या का उपयोग किया गया हो।

यदि उदाहरणों में गुणा और भाग के अलावा जोड़ और घटाव भी है, तो पहले गुणा और भाग किया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।

जोड़ और घटाव के मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इनमें से कौन सी क्रिया पहले की जाती है। क्रम बाएं से दाएं देखा जाता है।

आइए विभिन्न विकल्पों पर विचार करें:

इस उदाहरण में, पहली क्रिया जो करने की आवश्यकता है वह है गुणन, और फिर जोड़।

इस मामले में, आप पहले मानों को गुणा करें, फिर विभाजित करें, और उसके बाद ही जोड़ें।

इस मामले में, आपको पहले सभी ऑपरेशन कोष्ठक में करने होंगे, और उसके बाद ही गुणा और भाग करना होगा।

और इसलिए आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि किसी भी सूत्र में, गुणा और भाग जैसे ऑपरेशन पहले किए जाते हैं, और उसके बाद केवल घटाव और जोड़ होते हैं।

इसके अलावा, कोष्ठक में मौजूद संख्याओं के साथ, आपको उन्हें कोष्ठक में गिनने की आवश्यकता है, और उसके बाद ही ऊपर वर्णित अनुक्रम को याद करते हुए विभिन्न जोड़-तोड़ करें।

पहला ऑपरेशन होगा: गुणा और भाग.

इसके बाद ही जोड़-घटाव किया जाता है।

हालाँकि, यदि कोई कोष्ठक है, तो उनमें जो क्रियाएँ हैं, उन्हें पहले निष्पादित किया जाएगा। भले ही वह जोड़-घटाव ही क्यों न हो.

उदाहरण के लिए:

इस उदाहरण में, हम पहले गुणा करेंगे, फिर 4 को 5 से, फिर 4 को 20 में जोड़ेंगे। हमें 24 मिलता है।

लेकिन अगर यह इस तरह है: (4+5)*4, तो पहले हम जोड़ करते हैं, हमें 9 मिलता है। फिर हम 9 को 4 से गुणा करते हैं। हमें 36 मिलता है।

यदि उदाहरण में सभी 4 ऑपरेशन शामिल हैं, तो पहले गुणा और भाग होता है, और फिर जोड़ और घटाव होता है।

या 3 अलग-अलग क्रियाओं के उदाहरण में, तो पहले या तो गुणा (या विभाजन) होगा, और फिर या तो जोड़ (या घटाव) होगा।

जब कोई ब्रैकेट न हो.

उदाहरण: 4-2*5:10+8=11,

1 क्रिया 2*5 (10);

अधिनियम 2 10:10 (1);

3 क्रिया 4-1 (3);

4 क्रिया 3+8 (11).

सभी 4 संक्रियाओं को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है, एक में - जोड़ और घटाव, दूसरे में - गुणा और भाग। पहली वह क्रिया होगी जो उदाहरण में सबसे पहली है, अर्थात सबसे बाईं ओर।

उदाहरण: 60-7+9=62, पहले आपको 60-7 चाहिए, फिर क्या होता है (53) +9;

उदाहरण: 5*8:2=20, पहले आपको 5*8 चाहिए, फिर क्या होता है (40) :2।

जब किसी उदाहरण में ब्रैकेट होते हैं, तो ब्रैकेट में क्रियाएं पहले (उपरोक्त नियमों के अनुसार) की जाती हैं, और फिर बाकी हमेशा की तरह की जाती हैं।

उदाहरण: 2+(9-8)*10:2=7.

1 क्रिया 9-8 (1);

दूसरी क्रिया 1*10 (10);

अधिनियम 3 10:2 (5);

4 क्रिया 2+5 (7).

यह इस पर निर्भर करता है कि अभिव्यक्ति कैसे लिखी गई है, आइए सबसे सरल संख्यात्मक अभिव्यक्ति देखें:

18 - 6:3 + 10x2 =

पहले हम भाग और गुणा के साथ संचालन करते हैं, फिर बारी-बारी से, बाएं से दाएं, घटाव और जोड़ के साथ: 18-2+20 = 36

यदि यह कोष्ठक के साथ एक अभिव्यक्ति है, तो कोष्ठक में संक्रियाएँ करें, फिर गुणा या भाग और अंत में जोड़/घटाव, उदाहरण के लिए:

(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

सब कुछ सही है: पहले गुणा और भाग करें, फिर जोड़ और घटाव करें।

यदि उदाहरण में कोई कोष्ठक नहीं है, तो पहले क्रम में गुणा और भाग किया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है, उसी क्रम में।

यदि उदाहरण में केवल गुणा और भाग शामिल है, तो क्रियाएं क्रम में की जाएंगी।

यदि उदाहरण में केवल जोड़ और घटाव शामिल है, तो क्रियाएं भी क्रम में की जाएंगी।

सबसे पहले, कोष्ठक में संक्रियाएँ उन्हीं नियमों के अनुसार की जाती हैं, अर्थात् पहले गुणा और भाग, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव।

22-(11+3X2)+14=19

अंकगणितीय परिचालन करने का क्रम सख्ती से निर्धारित किया गया है ताकि विभिन्न लोगों द्वारा एक ही प्रकार की गणना करते समय कोई विसंगतियां न हों। सबसे पहले गुणा और भाग किया जाता है, फिर जोड़ और घटाव किया जाता है; यदि एक ही क्रम की क्रियाएं एक के बाद एक आती हैं, तो उन्हें बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है।

यदि आप गणितीय अभिव्यक्ति लिखते समय कोष्ठक का उपयोग करते हैं, तो सबसे पहले आपको कोष्ठक में दर्शाई गई क्रियाओं को करना चाहिए। जब पहले जोड़ या घटाव और फिर गुणा और भाग करना आवश्यक हो तो कोष्ठक क्रम बदलने में मदद करते हैं।

किसी भी कोष्ठक का विस्तार किया जा सकता है और फिर निष्पादन का क्रम फिर से सही होगा:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

उदाहरणों में तुरंत बेहतर:

• 1+2*3/4-5=?

इस मामले में, हम पहले गुणा करते हैं, क्योंकि यह विभाजन के बाईं ओर है। फिर बंटवारा. फिर जोड़, अधिक बायीं ओर के स्थान के कारण, और अंत में घटाव।

• 1*3/(2+4)?

पहले हम कोष्ठक में गणना करते हैं, फिर गुणा और भाग करते हैं।

• 1+2*(3-1*5)=?

पहले हम कोष्ठक में संक्रियाएँ करते हैं: गुणा, फिर घटाव। इसके बाद कोष्ठक के बाहर गुणा और अंत में जोड़ दिया जाता है।

गुणा और भाग पहले आते हैं। यदि उदाहरण में कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में क्रिया को शुरुआत में माना जाता है। संकेत चाहे कुछ भी हो!

यहां आपको कुछ बुनियादी नियम याद रखने होंगे:

1. यदि उदाहरण में कोई कोष्ठक नहीं है और संक्रियाएँ हैं - केवल जोड़ और घटाव, या केवल गुणा और भाग - तो इस स्थिति में सभी क्रियाएँ बाएँ से दाएँ क्रम में की जाती हैं।

उदाहरण के लिए, 5+8-5=8 (हम सब कुछ क्रम में करते हैं - 8 को 5 में जोड़ें, और फिर 5 घटाएँ)

1. यदि उदाहरण में मिश्रित संक्रियाएँ शामिल हैं - जोड़, घटाव, गुणा और भाग, तो सबसे पहले हम गुणा और भाग की संक्रियाएँ करते हैं, और उसके बाद केवल जोड़ या घटाव करते हैं।

उदाहरण के लिए, 5+8*3=29 (पहले 8 को 3 से गुणा करें और फिर 5 जोड़ें)

1. यदि उदाहरण में कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में क्रियाएँ पहले की जाती हैं।

उदाहरण के लिए, 3*(5+8)=39 (पहले 5+8, और फिर 3 से गुणा करें)