उद्देश्य फलन का इष्टतम मान कहलाता है। वर्तमान ज्ञान नियंत्रण के लिए परीक्षण

तीसरी पंक्ति को 5 के बराबर मुख्य तत्व से विभाजित करने पर हमें नई तालिका की तीसरी पंक्ति प्राप्त होती है।

मूल कॉलम यूनिट कॉलम से मेल खाते हैं।

अन्य तालिका मानों की गणना:

"बीपी - मूल योजना":

; ;

"X1": ; ;

"x5": ; .

सूचकांक स्ट्रिंग के मान गैर-नकारात्मक हैं, इसलिए हम इष्टतम समाधान प्राप्त करते हैं: , ; .

उत्तर:निर्मित उत्पादों की बिक्री से अधिकतम लाभ, 160/3 इकाइयों के बराबर, 80/9 इकाइयों की मात्रा में केवल दूसरे प्रकार के उत्पादों के उत्पादन से सुनिश्चित होता है।

कार्य क्रमांक 2

एक अरेखीय प्रोग्रामिंग समस्या दी गई है। ग्राफ़िक-विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करके उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात करें। लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाएं और दिखाएं कि चरम बिंदुओं पर न्यूनतम (अधिकतम) के लिए पर्याप्त शर्तें संतुष्ट हैं।

क्योंकि सिफर का अंतिम अंक 8 है, तो A=2; बी=5.

क्योंकि सिफर का अंतिम अंक 1 है, तो आपको कार्य संख्या 1 चुनना चाहिए।

समाधान:

1) आइए हम असमानताओं की प्रणाली द्वारा परिभाषित क्षेत्र बनाएं।

यह क्षेत्र त्रिभुज ABC है जिसके शीर्ष निर्देशांक हैं: A(0; 2); बी(4; 6) और सी(16/3; 14/3)।

वस्तुनिष्ठ फलन के स्तर वृत्त हैं जिनका केंद्र बिंदु (2; 5) पर है। त्रिज्या के वर्ग वस्तुनिष्ठ फलन के मान होंगे। तब चित्र से पता चलता है कि उद्देश्य फ़ंक्शन का न्यूनतम मान बिंदु H पर प्राप्त होता है, अधिकतम - या तो बिंदु A पर या बिंदु C पर।

बिंदु A पर उद्देश्य फलन का मान: ;

बिंदु C पर वस्तुनिष्ठ फलन का मान: ;

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का अधिकतम मान बिंदु A(0; 2) पर प्राप्त होता है और 13 के बराबर होता है।

आइए बिंदु H के निर्देशांक ज्ञात करें।

ऐसा करने के लिए, सिस्टम पर विचार करें:

ó

ó

यदि समीकरण का कोई अद्वितीय हल हो तो एक रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है। यदि विभेदक 0 है तो द्विघात समीकरण का एक अद्वितीय समाधान होता है।

तब ; ; - फ़ंक्शन का न्यूनतम मान.

2) आइए न्यूनतम समाधान खोजने के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:

पर एक्स 1 =2.5; एक्स 2 =4.5 हम पाते हैं:

ó

सिस्टम में एक समाधान है, अर्थात्। चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थितियाँ संतुष्ट हैं।

आइए अधिकतम समाधान खोजने के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:

चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थितियाँ:

पर एक्स 1 =0; एक्स 2 =2 हम पाते हैं:

ó ó

सिस्टम का एक समाधान भी है, अर्थात्। चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थितियाँ संतुष्ट हैं।

उत्तर:न्यूनतम उद्देश्य फ़ंक्शन तब प्राप्त होता है जब ; ; उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम भाग प्राप्त किया जाता है ; .

कार्य क्रमांक 3

दो उद्यमों को राशि आवंटित की जाती है डीइकाइयाँ। प्रथम उद्यम को एक वर्ष के लिए आवंटित करते समय एक्सनिधियों की इकाइयाँ यह आय प्रदान करती हैं क 1 एक्सइकाइयाँ, और जब किसी दूसरे उद्यम को आवंटित की जाती हैं यनिधियों की इकाइयाँ, यह आय प्रदान करती हैं क 1 यइकाइयाँ। पहले उद्यम के लिए वर्ष के अंत में निधियों का शेष बराबर होता है एनएक्स, और दूसरे के लिए मेरा. 4 वर्षों में सारी धनराशि कैसे वितरित करें ताकि कुल आय अधिकतम हो? गतिशील प्रोग्रामिंग विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान करें।

मैं=8, के=1.

ए=2200; क 1 =6; क 2 =1; n=0.2; एम=0.5.

समाधान:

हम 4 वर्षों की पूरी अवधि को 4 चरणों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक वर्ष के बराबर होता है। आइए प्रथम वर्ष से प्रारंभ करके चरणों को क्रमांकित करें। मान लीजिए कि X k और Y k क्रमशः kवें चरण में उद्यम A और B को आवंटित धनराशि हैं। फिर योग . K पर जो आय प्राप्त होगी - वह चरण, X k और Y k इकाइयों के आवंटन के साथ 6X k + 1Y k होगा। मान लीजिए कि अंतिम चरण में प्राप्त अधिकतम आय k से शुरू होती है - वह चरण f k (ak) इकाई है। आइए इष्टतमता के सिद्धांत को व्यक्त करने वाले कार्यात्मक बेलमैन समीकरण को लिखें: प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक समाधान जो भी हो, बाद का समाधान प्रारंभिक स्थिति के परिणामस्वरूप प्राप्त स्थिति के संबंध में इष्टतम होना चाहिए:

प्रत्येक चरण के लिए आपको मान X k, और मान का चयन करना होगा हाँ=एक- एक्सक. इसे ध्यान में रखते हुए, हम kवें चरण में आय ज्ञात करेंगे:

बेलमैन कार्यात्मक समीकरण होगा:

आइए अंतिम चरण से शुरू करके सभी चरणों पर विचार करें।

(चूँकि रैखिक फलन की अधिकतम सीमा x 4 = a 4 पर खंड के अंत में प्राप्त होती है);

आइए हम समतल पर रैखिक असमानताओं की प्रणाली के लिए व्यवहार्य समाधानों का एक सेट बनाएं और ज्यामितीय रूप से उद्देश्य फ़ंक्शन का न्यूनतम मान ज्ञात करें।

हम x 1 x 2 समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाएँ बनाते हैं

हम सिस्टम द्वारा परिभाषित अर्ध-तल पाते हैं। चूँकि सिस्टम की असमानताएँ संबंधित अर्ध-तल में किसी भी बिंदु के लिए संतुष्ट होती हैं, इसलिए उन्हें किसी एक बिंदु के लिए जाँचना पर्याप्त है। हम बिंदु (0;0) का उपयोग करते हैं। आइए इसके निर्देशांक को सिस्टम की पहली असमानता में प्रतिस्थापित करें। क्योंकि , तो असमानता एक अर्ध-तल को परिभाषित करती है जिसमें बिंदु (0;0) नहीं होता है। हम इसी प्रकार शेष अर्ध-तलों को परिभाषित करते हैं। हम व्यवहार्य समाधानों के सेट को परिणामी अर्ध-तलों के सामान्य भाग के रूप में पाते हैं - यह छायांकित क्षेत्र है।

हम एक वेक्टर और उसके लंबवत एक शून्य स्तर रेखा का निर्माण करते हैं।

सीधी रेखा (5) को वेक्टर की दिशा में ले जाने पर हम देखते हैं कि क्षेत्र का अधिकतम बिंदु सीधी रेखा (3) और सीधी रेखा (2) के प्रतिच्छेदन के बिंदु A पर होगा। हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान ढूंढते हैं:

इसका मतलब है कि हमें मुद्दा मिल गया (13;11) और।

सीधी रेखा (5) को वेक्टर की दिशा में ले जाने पर हम देखते हैं कि क्षेत्र का न्यूनतम बिंदु सीधी रेखा (1) और सीधी रेखा (4) के प्रतिच्छेदन के बिंदु B पर होगा। हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान ढूंढते हैं:

इसका मतलब है कि हमें बिंदु (6;6) और मिल गया।

2. एक फ़र्निचर कंपनी संयुक्त अलमारियाँ और कंप्यूटर टेबल बनाती है। उनका उत्पादन कच्चे माल (उच्च गुणवत्ता वाले बोर्ड, फिटिंग) की उपलब्धता और उन्हें संसाधित करने वाली मशीनों के संचालन समय तक सीमित है। प्रत्येक कैबिनेट को 5 एम2 बोर्ड की आवश्यकता होती है, एक टेबल के लिए - 2 एम2। फिटिंग की कीमत एक कैबिनेट के लिए $10 और एक टेबल के लिए $8 है। कंपनी अपने आपूर्तिकर्ताओं से प्रति माह 600 एम2 तक बोर्ड और 2,000 डॉलर मूल्य की सहायक सामग्री प्राप्त कर सकती है। प्रत्येक कैबिनेट को 7 घंटे मशीन संचालन की आवश्यकता होती है, और टेबल को 3 घंटे की आवश्यकता होती है। प्रति माह कुल 840 मशीन संचालन घंटे का उपयोग किया जा सकता है।

यदि एक कैबिनेट $100 का लाभ कमाती है और प्रत्येक डेस्क $50 का लाभ कमाती है, तो अधिकतम लाभ के लिए एक कंपनी को प्रति माह कितने संयोजन कैबिनेट और कंप्यूटर टेबल का उत्पादन करना चाहिए?

• 1. समस्या का एक गणितीय मॉडल बनाएं और इसे सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके हल करें।
• 2. दोहरी समस्या का एक गणितीय मॉडल बनाएं, मूल समस्या के समाधान के आधार पर उसका समाधान लिखें।
• 3. उपयोग किए गए संसाधनों की कमी की डिग्री स्थापित करें और इष्टतम योजना की लाभप्रदता को उचित ठहराएं।
• 4. प्रत्येक प्रकार के संसाधन के उपयोग के आधार पर उत्पादन उत्पादन को और बढ़ाने की संभावनाओं का पता लगाएं।
• 5. एक नए प्रकार के उत्पाद - बुकशेल्फ़ को पेश करने की व्यवहार्यता का आकलन करें, यदि एक शेल्फ के निर्माण में $5 मूल्य के 1 मी 2 बोर्ड और सहायक उपकरण की लागत आती है, और मशीन संचालन के 0.25 घंटे और बिक्री से लाभ खर्च करना आवश्यक है। एक शेल्फ $20 है.
• 1. आइए इस समस्या के लिए एक गणितीय मॉडल बनाएं:

आइए हम कैबिनेट के उत्पादन की मात्रा को x 1 और तालिकाओं के उत्पादन की मात्रा को x 2 से निरूपित करें। आइए प्रतिबंधों की एक प्रणाली और एक लक्ष्य फ़ंक्शन बनाएं:

हम सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान करते हैं। आइए इसे विहित रूप में लिखें:

आइए कार्य डेटा को तालिका के रूप में लिखें:

तालिका नंबर एक

क्योंकि अब सभी डेल्टा शून्य से अधिक हैं, तो लक्ष्य फ़ंक्शन f के मान में और वृद्धि असंभव है और हमने एक इष्टतम योजना प्राप्त की है।

परिचय

मानव विकास का वर्तमान चरण इस तथ्य से अलग है कि ऊर्जा का युग कंप्यूटर विज्ञान के युग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है। मानव गतिविधि के सभी क्षेत्रों में नई प्रौद्योगिकियों का गहन परिचय हो रहा है। सूचना समाज में संक्रमण की एक वास्तविक समस्या है, जिसके लिए शिक्षा का विकास प्राथमिकता होनी चाहिए। समाज में ज्ञान की संरचना भी बदल रही है। व्यक्ति के रचनात्मक विकास में योगदान देने वाला मौलिक ज्ञान व्यावहारिक जीवन के लिए तेजी से महत्वपूर्ण होता जा रहा है। अर्जित ज्ञान की रचनात्मकता और उसे लक्ष्य के अनुरूप ढालने की क्षमता भी महत्वपूर्ण है। ज्ञान के आधार पर समाज के नये सूचना संसाधनों का निर्माण होता है। नए ज्ञान का निर्माण और अधिग्रहण एक सिस्टम दृष्टिकोण की सख्त कार्यप्रणाली पर आधारित होना चाहिए, जिसके भीतर मॉडल दृष्टिकोण एक विशेष स्थान रखता है। मॉडल दृष्टिकोण की संभावनाएं बेहद विविध हैं, इस्तेमाल किए गए औपचारिक मॉडल और मॉडलिंग विधियों को लागू करने के तरीकों दोनों के संदर्भ में। भौतिक मॉडलिंग किसी को काफी सरल प्रणालियों के लिए विश्वसनीय परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देती है।

वर्तमान में, मानव गतिविधि के ऐसे क्षेत्र का नाम बताना असंभव है जिसमें मॉडलिंग विधियों का उपयोग किसी न किसी हद तक नहीं किया जाएगा। यह विशेष रूप से विभिन्न प्रणालियों के प्रबंधन पर लागू होता है, जहां मुख्य प्रक्रियाएं प्राप्त जानकारी के आधार पर निर्णय लेने की होती हैं।

1. समस्या का विवरण

न्यूनतम वस्तुनिष्ठ कार्य

कार्य के विकल्प संख्या 16 के अनुसार समाधान बहुभुज द्वारा निर्दिष्ट बाधाओं की प्रणाली के लिए न्यूनतम उद्देश्य फ़ंक्शन खोजने की समस्या को हल करें। समाधान बहुभुज चित्र 1 में दिखाया गया है:

चित्र 1 - समस्या के समाधान का बहुभुज

बाधाओं की प्रणाली और समस्या का उद्देश्य कार्य नीचे प्रस्तुत किया गया है:

निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके समस्या को हल करना आवश्यक है:

एलपी समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि;

एलपी समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय विधि;

एलपी समस्याओं को हल करने के लिए सिंप्लेक्स विधि;

एलपी समस्याओं का स्वीकार्य समाधान खोजने की विधि;

दोहरी एलपी समस्या का समाधान;

पूर्णांक एलपी समस्याओं को हल करने के लिए शाखा और बाउंड विधि;

पूर्णांक एलपी समस्याओं को हल करने के लिए गोमोरी विधि;

बूलियन एलपी समस्याओं को हल करने के लिए बालाज़ विधि।

विभिन्न तरीकों का उपयोग करके समाधान परिणामों की तुलना करें और कार्य के बारे में उचित निष्कर्ष निकालें।

2. रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का आलेखीय समाधान

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां अज्ञात की संख्या तीन से अधिक नहीं होती है। समाधानों के गुणों के गुणात्मक अनुसंधान के लिए सुविधाजनक और अन्य तरीकों (बीजगणितीय, शाखा और सीमा, आदि) के साथ संयोजन में उपयोग किया जाता है। विधि का विचार रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के ग्राफिकल समाधान पर आधारित है।

चावल। 2 एलपी समस्या का चित्रमय समाधान

न्यूनतम बिंदु

दो बिंदुओं A1 और A2 से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण:

एबी: (0;1); (3;3)

वी.एस.: (3;3); (4;1)

सीडी: (4;1); (3;0)

ईए: (1;0); (0;1)

सीएफ: (0;1); (5;2)

प्रतिबंधों के साथ:

बीजगणितीय सिम्प्लेक्स विधि का उपयोग करके एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करना

किसी समस्या को हल करने के लिए बीजगणितीय विधि के अनुप्रयोग के लिए एलपी समस्या के प्रतिनिधित्व के सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है। असमानताओं के रूप में निर्दिष्ट प्रतिबंधों की मूल प्रणाली, जब प्रतिबंधों को समानताओं के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, तो एक मानक संकेतन में परिवर्तित हो जाती है। प्रतिबंधों की प्रणाली को मानक रूप में परिवर्तित करने में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

असमानताओं को रूपांतरित करें ताकि बाईं ओर चर और मुक्त पद हों, और दाईं ओर 0 हो, यानी। ताकि बायां भाग शून्य से बड़ा या उसके बराबर हो;

अतिरिक्त चर का परिचय दें, जिनकी संख्या बाधाओं की प्रणाली में असमानताओं की संख्या के बराबर है;

जोड़े गए चरों की गैर-नकारात्मकता पर अतिरिक्त प्रतिबंध लगाकर, असमानता संकेतों को सख्त समानता संकेतों से बदलें।

बीजगणितीय विधि का उपयोग करके एलपी समस्या को हल करते समय, एक शर्त जोड़ी जाती है: उद्देश्य फ़ंक्शन को न्यूनतम होना चाहिए। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो उद्देश्य फ़ंक्शन को तदनुसार बदलना (-1 से गुणा करना) और न्यूनतमकरण समस्या को हल करना आवश्यक है। समाधान मिल जाने के बाद, चर के मानों को मूल फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें और उसके मान की गणना करें।

बीजगणितीय विधि का उपयोग करके किसी समस्या का समाधान इष्टतम माना जाता है जब सभी बुनियादी चर के मान गैर-नकारात्मक होते हैं, और उद्देश्य फ़ंक्शन समीकरण में मुक्त चर के गुणांक भी गैर-नकारात्मक होते हैं। यदि ये शर्तें पूरी नहीं होती हैं, तो उपरोक्त प्रतिबंधों की पूर्ति को प्राप्त करने के लिए कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में (मुक्त और बुनियादी चर को बदलते हुए) व्यक्त करते हुए, असमानताओं की प्रणाली को बदलना आवश्यक है। सभी मुक्त चरों का मान शून्य के बराबर माना जाता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय विधि छोटे पैमाने की समस्याओं को मैन्युअल रूप से हल करने के लिए सबसे प्रभावी तरीकों में से एक है क्योंकि बड़ी संख्या में अंकगणितीय गणनाओं की आवश्यकता नहीं होती है। इस विधि का मशीन कार्यान्वयन, उदाहरण के लिए, सिंप्लेक्स विधि की तुलना में अधिक जटिल है, क्योंकि बीजगणितीय विधि का उपयोग करके समाधान एल्गोरिथ्म कुछ हद तक अनुमानी है और समाधान की प्रभावशीलता काफी हद तक व्यक्तिगत अनुभव पर निर्भर करती है।

मुफ़्त चर

सेंट लेन - अतिरिक्त किट

गैर-नकारात्मकता की स्थितियाँ पूरी होती हैं, इसलिए, इष्टतम समाधान पाया गया है।

3. एक सिंप्लेक्स तालिका का उपयोग करके एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करना

समाधान: आइए एक सिम्प्लेक्स तालिका का उपयोग करके समस्या को समाधान के लिए एक मानक रूप में लाएं।

आइए हम सिस्टम के सभी समीकरणों को इस रूप में घटाएँ:

हम एक सिंप्लेक्स तालिका बनाते हैं:

तालिका के प्रत्येक कक्ष के ऊपरी कोने में हम समीकरणों की प्रणाली से गुणांक दर्ज करते हैं;

हम पंक्ति F में अधिकतम सकारात्मक तत्व का चयन करते हैं, सिवाय इसके कि यह सामान्य कॉलम होगा;

सामान्य तत्व को खोजने के लिए, हम सभी सकारात्मक तत्वों के लिए संबंध बनाते हैं। 3/3; 9/1;- पंक्ति x3 में न्यूनतम अनुपात। इसलिए - सामान्य स्ट्रिंग और =3 - सामान्य तत्व।

हम पाते हैं =1/=1/3. हम इसे सेल के निचले कोने में लाते हैं जहां सामान्य तत्व स्थित है;

सामान्य रेखा के सभी खाली निचले कोनों में हम सेल के ऊपरी कोने में मूल्य के उत्पाद को दर्ज करते हैं;

सामान्य रेखा के ऊपरी कोनों का चयन करें;

सामान्य कॉलम के सभी निचले कोनों में हम ऊपरी कोने में मूल्य के उत्पाद को दर्ज करते हैं - और परिणामी मूल्यों का चयन करते हैं;

तालिका की शेष कोशिकाएँ संबंधित चयनित तत्वों के उत्पादों के रूप में भरी जाती हैं;

फिर हम एक नई तालिका बनाते हैं जिसमें सामान्य कॉलम और पंक्ति के तत्वों की कोशिकाओं के पदनामों की अदला-बदली की जाती है (x2 और x3);

जो मान पहले निचले कोने में थे वे पिछली सामान्य पंक्ति और स्तंभ के ऊपरी कोने में लिखे गए हैं;

पिछली तालिका में इन कोशिकाओं के ऊपरी और निचले कोनों के मानों का योग शेष कोशिकाओं के ऊपरी कोने में लिखा गया है

4. एक स्वीकार्य समाधान ढूंढकर एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का समाधान करना

आइए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

हम मान सकते हैं कि सब कुछ है, अन्यथा हम संबंधित समीकरण को -1 से गुणा करते हैं।

हम सहायक चर प्रस्तुत करते हैं:

हम एक सहायक कार्य भी प्रस्तुत करते हैं

हम प्रतिबंध (2) और शर्तों के तहत सिस्टम को न्यूनतम कर देंगे।

एक स्वीकार्य समाधान खोजने के लिए नियम: सिस्टम (1) के लिए एक स्वीकार्य समाधान खोजने के लिए, हम प्रतिबंध (2) के तहत फॉर्म (3) को छोटा करते हैं, xj को मुक्त अज्ञात के रूप में लेते हैं, और xj को आधार के रूप में लेते हैं।

सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके किसी समस्या को हल करते समय, दो मामले सामने आ सकते हैं:

न्यूनतम f=0, तो सभी i शून्य के बराबर होना चाहिए। और xj के परिणामी मान सिस्टम (1) के लिए एक स्वीकार्य समाधान बनेंगे।

न्यूनतम f>0, अर्थात मूल प्रणाली में कोई व्यवहार्य समाधान नहीं है.

स्रोत प्रणाली:

पिछले विषय से समस्या की स्थिति का उपयोग किया जाता है।

आइए अतिरिक्त चर का परिचय दें:

मूल समस्या का एक स्वीकार्य समाधान मिल गया है: x1 = 3, x2 = 3, F = -12। प्राप्त व्यवहार्य समाधान के आधार पर, हम सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके मूल समस्या का इष्टतम समाधान ढूंढेंगे। ऐसा करने के लिए, हम सहायक समस्या के लक्ष्य फ़ंक्शन के साथ पंक्ति और पंक्ति को हटाते हुए, ऊपर प्राप्त तालिका से एक नई सिम्प्लेक्स तालिका बनाएंगे:

निर्मित सिम्प्लेक्स तालिका का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि मूल समस्या का इष्टतम समाधान पहले ही मिल चुका है (उद्देश्य फ़ंक्शन के अनुरूप पंक्ति में तत्व नकारात्मक हैं)। इस प्रकार, सहायक समस्या को हल करते समय पाया गया व्यवहार्य समाधान मूल समस्या के इष्टतम समाधान से मेल खाता है:

6. दोहरी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या

बाधाओं की मूल प्रणाली और समस्या का उद्देश्य कार्य नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

प्रतिबंधों के साथ:

समाधान: आइए प्रतिबंधों की प्रणाली को एक मानक रूप में लाएं:

इस समस्या से जुड़ी दोहरी समस्या का रूप इस प्रकार होगा:

दोहरी समस्या का समाधान सरल सिम्प्लेक्स विधि का उपयोग करके किया जाएगा।

आइए हम वस्तुनिष्ठ फ़ंक्शन को रूपांतरित करें ताकि न्यूनतमकरण समस्या हल हो जाए, और सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके हल करने के लिए बाधाओं की प्रणाली को मानक रूप में लिखें।

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??मिनट

आइए दोहरी एलपी समस्या को हल करने के लिए एक प्रारंभिक सिम्प्लेक्स तालिका बनाएं।

सिंप्लेक्स विधि का दूसरा चरण

तो, सिंप्लेक्स विधि के तीसरे चरण में, न्यूनतमकरण समस्या का एक इष्टतम समाधान निम्नलिखित परिणामों के साथ पाया गया: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. का मान ज्ञात करने के लिए दोहरी समस्या के उद्देश्य फ़ंक्शन में, हम मूल और मुक्त चर के पाए गए मानों को अधिकतमकरण फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं:

अधिकतम = - मिनट = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

चूँकि प्रत्यक्ष और दोहरी समस्याओं के उद्देश्य फलन का मान मेल खाता है, प्रत्यक्ष समस्या का समाधान पाया जाता है और 12 के बराबर होता है।

एफमिन = एफमैक्स = -12

7. शाखा-और-बाउंड विधि का उपयोग करके पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करना

आइए मूल समस्या को इस तरह से रूपांतरित करें कि पारंपरिक तरीकों का उपयोग करके हल करने पर पूर्णांक स्थिति संतुष्ट न हो।

पूर्णांक प्रोग्रामिंग समस्या के समाधान का प्रारंभिक बहुभुज।

समाधानों के परिवर्तित बहुभुज के लिए, हम प्रतिबंधों की एक नई प्रणाली का निर्माण करेंगे।

आइए हम बीजगणितीय विधि का उपयोग करके हल किए जाने वाले समानता के रूप में प्रतिबंधों की प्रणाली को लिखें।

समाधान के परिणामस्वरूप, समस्या के लिए इष्टतम योजना पाई गई: X1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4। यह समाधान समस्या में निर्धारित पूर्णांक शर्त को पूरा नहीं करता है। आइए मूल समाधान बहुभुज को दो क्षेत्रों में विभाजित करें, इससे क्षेत्र 3 को छोड़कर

संशोधित समस्या समाधान बहुभुज

आइए समाधान बहुभुज के परिणामी क्षेत्रों के लिए प्रतिबंधों की नई प्रणालियाँ बनाएँ। बायां क्षेत्र एक चतुर्भुज (ट्रेपेज़ॉइड) है। समाधान बहुभुज के बाएँ क्षेत्र के लिए प्रतिबंधों की प्रणाली नीचे प्रस्तुत की गई है।

बाएँ क्षेत्र के लिए प्रतिबंध प्रणाली

दायां क्षेत्र बिंदु C को दर्शाता है।

सही निर्णय क्षेत्र के लिए प्रतिबंधों की प्रणाली नीचे प्रस्तुत की गई है।

नई बाधा प्रणालियाँ दो सहायक समस्याओं का प्रतिनिधित्व करती हैं जिन्हें एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से हल करने की आवश्यकता है। आइए समाधान बहुभुज के बाएँ क्षेत्र के लिए एक पूर्णांक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करें।

समाधान के परिणामस्वरूप, समस्या के लिए इष्टतम योजना पाई गई: x1 = 3, x2 = 3, F = -12। यह योजना इस शर्त को पूरा करती है कि समस्या में चर पूर्णांक हैं और मूल पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए इष्टतम संदर्भ योजना के रूप में स्वीकार किया जा सकता है। सही समाधान क्षेत्र के लिए समाधान करने का कोई मतलब नहीं है। नीचे दिया गया चित्र एक वृक्ष के रूप में पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने की प्रगति को दर्शाता है।

गोमोरी विधि का उपयोग करके पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने की प्रगति।

कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, एक पूर्णांक प्रोग्रामिंग समस्या जिसमें रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली और एक रैखिक रूप दिया जाता है, बहुत रुचि रखती है

सिस्टम (1) के लिए एक पूर्णांक समाधान ढूंढना आवश्यक है, जो उद्देश्य फ़ंक्शन एफ को कम करता है, और सभी गुणांक पूर्णांक हैं।

पूर्णांक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के तरीकों में से एक गोमोरी द्वारा प्रस्तावित किया गया था। विधि का विचार निरंतर रैखिक प्रोग्रामिंग विधियों, विशेष रूप से, सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करना है।

1) सिम्प्लेक्स विधि का उपयोग करके, समस्या (1), (2) का समाधान निर्धारित किया जाता है, जिसके लिए पूर्णांक समाधान की आवश्यकता हटा दी जाती है; यदि समाधान पूर्णांक निकला तो पूर्णांक समस्या का वांछित समाधान भी मिल जायेगा;

2) अन्यथा, यदि कुछ निर्देशांक एक पूर्णांक नहीं है, तो समस्या के परिणामी समाधान को एक पूर्णांक समाधान (एक स्वीकार्य पॉलीहेड्रॉन में पूर्णांक बिंदुओं की उपस्थिति) के अस्तित्व की संभावना के लिए जांचा जाता है:

यदि भिन्नात्मक मुक्त पद वाली किसी पंक्ति में, अन्य सभी गुणांक पूर्णांक हो जाते हैं, तो स्वीकार्य पॉलीहेड्रॉन में कोई पूर्णांक या बिंदु नहीं होते हैं और पूर्णांक प्रोग्रामिंग समस्या का कोई समाधान नहीं होता है;

अन्यथा, एक अतिरिक्त रैखिक बाधा पेश की जाती है, जो स्वीकार्य पॉलीहेड्रॉन के एक हिस्से को काट देती है जो पूर्णांक प्रोग्रामिंग समस्या का समाधान खोजने के लिए निराशाजनक है;

3) एक अतिरिक्त रैखिक बाधा का निर्माण करने के लिए, भिन्नात्मक मुक्त पद के साथ पहली पंक्ति का चयन करें और अतिरिक्त बाधा लिखें

जहां और क्रमशः गुणांक और मुक्त के भिन्नात्मक भाग हैं

सदस्य। आइए हम बाधा (3) में एक सहायक चर का परिचय दें:

आइए हम गुणांक निर्धारित करें और बाधा (4) में शामिल करें:

क्रमशः और के लिए नीचे से निकटतम पूर्णांक कहाँ और हैं।

गोमोरी ने साबित किया कि समान चरणों की एक सीमित संख्या एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या की ओर ले जाती है जिसका समाधान पूर्णांक है और इसलिए, वांछित है।

समाधान: आइए रैखिक बाधाओं की प्रणाली और लक्ष्य फ़ंक्शन को विहित रूप में लाएं:

आइए पूर्णांक स्थिति को अस्थायी रूप से त्यागते हुए, रैखिक बाधाओं की प्रणाली का इष्टतम समाधान निर्धारित करें। इसके लिए हम सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करते हैं। नीचे, तालिकाओं में क्रमिक रूप से, समस्या का मूल समाधान प्रस्तुत किया गया है, और समस्या का इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए मूल तालिका के परिवर्तन दिए गए हैं:

बालाज़ विधि का उपयोग करके बूलियन एलपी समस्याओं को हल करना।

निम्नलिखित नियमों को ध्यान में रखते हुए, बूलियन चर के साथ पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए अपना खुद का संस्करण बनाएं: समस्या कम से कम 5 चर, कम से कम 4 बाधाओं का उपयोग करती है, बाधाओं के गुणांक और उद्देश्य फ़ंक्शन को मनमाने ढंग से चुना जाता है, लेकिन ऐसे में एक तरह से कि बाधाओं की प्रणाली संगत है। कार्य बालाज़ एल्गोरिथ्म का उपयोग करके बूलियन चर के साथ एलसीएलपी को हल करना और संपूर्ण खोज पद्धति का उपयोग करके समस्या को हल करने के संबंध में गणना की जटिलता में कमी का निर्धारण करना है।

प्रतिबंधों का निष्पादन

एफ मान

फ़िल्टरिंग सीमा:

कम्प्यूटेशनल प्रयास में कमी का निर्धारण

संपूर्ण खोज पद्धति का उपयोग करके समस्या का समाधान 6*25=192 परिकलित अभिव्यक्ति है। बालाज़ विधि का उपयोग करके समस्या का समाधान 3*6+(25-3)=47 परिकलित अभिव्यक्ति है। संपूर्ण खोज विधि का उपयोग करके समस्या को हल करने के संबंध में गणना की जटिलता में कुल कमी है:

निष्कर्ष

नई सूचना प्रौद्योगिकी को लागू करने वाली सूचना प्रणालियों को डिजाइन करने की प्रक्रिया में लगातार सुधार किया जा रहा है। सिस्टम इंजीनियरों का ध्यान जटिल प्रणालियों पर बढ़ रहा है, जिससे भौतिक मॉडल का उपयोग करना मुश्किल हो गया है और गणितीय मॉडल और सिस्टम के मशीन सिमुलेशन का महत्व बढ़ रहा है। जटिल प्रणालियों के अध्ययन और डिजाइन के लिए मशीन सिमुलेशन एक प्रभावी उपकरण बन गया है। गणितीय मॉडल की प्रासंगिकता उनके लचीलेपन, वास्तविक प्रक्रियाओं के लिए पर्याप्तता और आधुनिक पीसी के आधार पर कार्यान्वयन की कम लागत के कारण लगातार बढ़ रही है। उपयोगकर्ता को अधिक से अधिक अवसर प्रदान किए जाते हैं, अर्थात, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके मॉडलिंग सिस्टम में विशेषज्ञ। स्वचालित प्रणालियों को डिजाइन करने के शुरुआती चरणों में मॉडलिंग का उपयोग विशेष रूप से प्रभावी होता है, जब गलत निर्णयों की लागत सबसे महत्वपूर्ण होती है।

आधुनिक कंप्यूटिंग उपकरणों ने सिस्टम के अध्ययन में उपयोग किए जाने वाले मॉडलों की जटिलता को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाना संभव बना दिया है; संयुक्त, विश्लेषणात्मक और सिमुलेशन मॉडल बनाना संभव हो गया है जो वास्तविक प्रणालियों में होने वाले विभिन्न प्रकार के कारकों को ध्यान में रखते हैं, अर्थात। , ऐसे मॉडलों का उपयोग जो अध्ययन के तहत घटनाओं के लिए अधिक पर्याप्त हैं।

साहित्य:

1. ल्याशचेंको आई.एन. रैखिक और गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग / आई.एन. ल्याशचेंको, ई.ए. कारागोडोवा, एन.वी. चेर्निकोवा, एन.जेड. शोर। - के.: "हायर स्कूल", 1975, 372 पी.

2. अध्ययन के पूर्णकालिक और अंशकालिक रूपों के विशेष "कंप्यूटर सिस्टम और नेटवर्क" के छात्रों के लिए "एप्लाइड गणित" अनुशासन में एक पाठ्यक्रम परियोजना को पूरा करने के लिए पद्धति संबंधी निर्देश / संकलित: आई.ए. बालाकिरेवा, ए.वी. स्काटकोव - सेवस्तोपोल: सेवएनटीयू पब्लिशिंग हाउस, 2003. - 15 पी।

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4. पूर्णकालिक और अंशकालिक शिक्षा के लिए "कंप्यूटर सिस्टम और नेटवर्क" अनुभाग "पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करना" विशेषता के छात्रों के लिए अनुशासन "एप्लाइड गणित" का अध्ययन करने के लिए दिशानिर्देश / संकलित: आई.ए. बालाकिरेवा, ए.वी. स्काटकोव - सेवस्तोपोल : सेवएनटीयू का प्रकाशन गृह, 2000. - 13 पी।

5. अकुलिच आई.एल. उदाहरणों और समस्याओं में गणितीय प्रोग्रामिंग:

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7. एंड्रोनोव एस.ए. इष्टतम डिज़ाइन विधियाँ: व्याख्यान का पाठ / SPbSUAP। सेंट पीटर्सबर्ग, 2001. 169 पी.: बीमार।

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यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में केवल दो चर हैं, तो इसे ग्राफ़िक रूप से हल किया जा सकता है।

दो चर वाली एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या पर विचार करें और:
(1.1) ;
(1.2)
यहां मनमानी संख्याएं हैं. कार्य या तो अधिकतम (अधिकतम) ज्ञात करना या न्यूनतम (न्यूनतम) ज्ञात करना हो सकता है। प्रतिबंधों की प्रणाली में संकेत और संकेत दोनों शामिल हो सकते हैं।

व्यवहार्य समाधानों के क्षेत्र का निर्माण

समस्या (1) को हल करने की ग्राफिकल विधि इस प्रकार है।
सबसे पहले, हम निर्देशांक अक्ष बनाते हैं और पैमाने का चयन करते हैं। बाधाओं की प्रणाली (1.2) की प्रत्येक असमानता संबंधित सीधी रेखा से घिरे आधे-तल को परिभाषित करती है।

तो, पहली असमानता
(1.2.1)
एक सीधी रेखा से घिरे आधे तल को परिभाषित करता है। इस सीधी रेखा के एक तरफ, और दूसरी तरफ। बिलकुल सीधी रेखा पर. यह पता लगाने के लिए कि असमानता (1.2.1) किस तरफ है, हम एक मनमाना बिंदु चुनते हैं जो रेखा पर स्थित नहीं है। इसके बाद, हम इस बिंदु के निर्देशांक को (1.2.1) में प्रतिस्थापित करते हैं। यदि असमानता कायम रहती है, तो आधे तल में चयनित बिंदु शामिल होता है। यदि असमानता कायम नहीं रहती है, तो आधा तल दूसरी तरफ स्थित होता है (इसमें चयनित बिंदु शामिल नहीं होता है)। उस अर्ध-तल को छायांकित करें जिसके लिए असमानता (1.2.1) कायम है।

हम सिस्टम की शेष असमानताओं (1.2) के लिए भी ऐसा ही करते हैं। इस प्रकार हमें छायांकित अर्ध-तल मिलते हैं। व्यवहार्य समाधान के क्षेत्र के बिंदु सभी असमानताओं को संतुष्ट करते हैं (1.2)। इसलिए, ग्राफिक रूप से, व्यवहार्य समाधान का क्षेत्र (एडीए) सभी निर्मित अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन है। ओडीआर को छायांकित करना। यह एक उत्तल बहुभुज है जिसके फलक निर्मित सीधी रेखाओं से संबंधित हैं। इसके अलावा, एक ओडीएफ एक असीमित उत्तल आकृति, एक खंड, एक किरण या एक सीधी रेखा हो सकती है।

ऐसी स्थिति भी उत्पन्न हो सकती है कि आधे तलों में उभयनिष्ठ बिंदु न हों। फिर व्यवहार्य समाधान का क्षेत्र खाली सेट है। इस समस्या का कोई समाधान नहीं है.

विधि को सरल बनाया जा सकता है. आपको प्रत्येक आधे तल को छायांकित करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन पहले सभी सीधी रेखाएँ बनाएँ
(2)
इसके बाद, एक मनमाना बिंदु चुनें जो इनमें से किसी भी पंक्ति से संबंधित नहीं है। इस बिंदु के निर्देशांक को असमानताओं की प्रणाली (1.2) में रखें। यदि सभी असमानताएँ संतुष्ट हैं, तो व्यवहार्य समाधान का क्षेत्र निर्मित सीधी रेखाओं द्वारा सीमित है और इसमें चयनित बिंदु भी शामिल है। हम रेखाओं की सीमाओं के साथ-साथ व्यवहार्य समाधानों के क्षेत्र को छायांकित करते हैं ताकि इसमें चयनित बिंदु शामिल हो।

यदि कम से कम एक असमानता संतुष्ट नहीं होती है, तो दूसरा बिंदु चुनें। और इसी तरह जब तक एक बिंदु नहीं मिल जाता जिसके निर्देशांक प्रणाली (1.2) को संतुष्ट करते हैं।

वस्तुनिष्ठ फलन का चरम ज्ञात करना

तो, हमारे पास व्यवहार्य समाधानों का एक छायांकित क्षेत्र (एडीए) है। यह एक टूटी हुई रेखा द्वारा सीमित है जिसमें निर्मित सीधी रेखाओं (2) से संबंधित खंड और किरणें शामिल हैं। ODS हमेशा एक उत्तल सेट होता है। यह या तो एक घिरा हुआ सेट हो सकता है या कुछ दिशाओं से घिरा हुआ नहीं हो सकता है।

अब हम वस्तुनिष्ठ फलन के चरम को देख सकते हैं
(1.1) .

ऐसा करने के लिए, कोई भी संख्या चुनें और एक सीधी रेखा बनाएं
(3) .
आगे की प्रस्तुति की सुविधा के लिए, हम मानते हैं कि यह सीधी रेखा ओडीआर से होकर गुजरती है। इस रेखा पर उद्देश्य फलन स्थिर और बराबर है। ऐसी सीधी रेखा को फ़ंक्शन लेवल लाइन कहा जाता है। यह सीधी रेखा समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है। एक आधे तल पर
.
दूसरे आधे तल पर
.
अर्थात् सीधी रेखा (3) के एक ओर वस्तुनिष्ठ फलन बढ़ता है। और हम बिंदु को सीधी रेखा (3) से जितना आगे बढ़ाएंगे, मान उतना ही अधिक होगा। सीधी रेखा (3) के दूसरी ओर, उद्देश्य फलन कम हो जाता है। और जितना आगे हम बिंदु को सीधी रेखा (3) से दूसरी ओर ले जाएंगे, मान उतना ही कम होगा। यदि हम रेखा (3) के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो नई सीधी रेखा भी उद्देश्य फ़ंक्शन की एक स्तर रेखा होगी, लेकिन एक अलग मान के साथ।

इस प्रकार, उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, सीधी रेखा (3) के समानांतर एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है, जहां तक ​​​​संभव हो इससे बढ़ते मूल्यों की दिशा में, और कम से कम एक बिंदु से होकर गुजरें। विषम का. वस्तुनिष्ठ फलन का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए सीधी रेखा (3) के समानान्तर और जहाँ तक संभव हो उससे घटते मानों की दिशा में और ODD के कम से कम एक बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है।

यदि ओडीआर असीमित है, तो ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब ऐसी सीधी रेखा नहीं खींची जा सकती। यानी हम लेवल लाइन (3) से सीधी रेखा को बढ़ने (घटने) की दिशा में कैसे भी हटा दें, सीधी रेखा हमेशा ओडीआर से होकर गुजरेगी। इस मामले में यह मनमाने ढंग से बड़ा (छोटा) हो सकता है। इसलिए, कोई अधिकतम (न्यूनतम) मान नहीं है। समस्या का कोई समाधान नहीं है.

आइए उस मामले पर विचार करें जब फॉर्म (3) की एक मनमानी रेखा के समानांतर चरम रेखा ओडीआर बहुभुज के एक शीर्ष से होकर गुजरती है। ग्राफ़ से हम इस शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। फिर उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
समस्या का समाधान है
.

ऐसा भी मामला हो सकता है जब सीधी रेखा ODR के किसी एक फलक के समानांतर हो। फिर सीधी रेखा ODR बहुभुज के दो शीर्षों से होकर गुजरती है। हम इन शीर्षों के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) मान निर्धारित करने के लिए, आप इनमें से किसी भी शीर्ष के निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं:
.
समस्या के अनंत रूप से कई समाधान हैं। समाधान बिंदुओं और के बीच के खंड पर स्थित कोई भी बिंदु है, जिसमें बिंदु और स्वयं भी शामिल हैं।

ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने का एक उदाहरण

कार्य

कंपनी दो मॉडल ए और बी की ड्रेस तैयार करती है। इसमें तीन तरह के फैब्रिक का इस्तेमाल किया जाता है। मॉडल A की एक पोशाक बनाने के लिए पहले प्रकार के 2 मीटर कपड़े, दूसरे प्रकार के 1 मीटर कपड़े, तीसरे प्रकार के 2 मीटर कपड़े की आवश्यकता होती है। मॉडल बी की एक पोशाक बनाने के लिए पहले प्रकार के 3 मीटर कपड़े, दूसरे प्रकार के 1 मीटर कपड़े, तीसरे प्रकार के 2 मीटर कपड़े की आवश्यकता होती है। पहले प्रकार के कपड़े का स्टॉक 21 मीटर है, दूसरे प्रकार का - 10 मीटर, तीसरे प्रकार का - 16 मीटर। प्रकार ए के एक उत्पाद की रिहाई से 400 डेन की आय होती है। इकाइयाँ, एक उत्पाद प्रकार बी - 300 डेन। इकाइयां

एक उत्पादन योजना बनाएं जो कंपनी को सबसे अधिक आय प्रदान करे। समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें।

समाधान

आइए चरों को क्रमशः मॉडल ए और बी द्वारा उत्पादित पोशाकों की संख्या को निरूपित करें। तब उपभोग किए गए पहले प्रकार के कपड़े की मात्रा होगी:
(एम)
दूसरे प्रकार के कपड़े की खपत की मात्रा होगी:
(एम)
तीसरे प्रकार के कपड़े की खपत की मात्रा होगी:
(एम)
चूँकि उत्पादित पोशाकों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती
और ।
उत्पादित पोशाकों से आय होगी:
(डेन. इकाइयाँ)

तब समस्या के आर्थिक-गणितीय मॉडल का रूप इस प्रकार है:

हम इसे ग्राफिक रूप से हल करते हैं।
हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं और।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 7) और (10.5; 0) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 10) और (10; 0) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 8) और (8; 0) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

हम क्षेत्र को छायांकित करते हैं ताकि बिंदु (2; 2) छायांकित भाग में आ जाए। हमें चतुर्भुज OABC प्राप्त होता है।

(ए1.1) .
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 4) और (3; 0) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

हम आगे ध्यान देते हैं कि चूंकि उद्देश्य फ़ंक्शन के गुणांक सकारात्मक (400 और 300) हैं, इसलिए यह बढ़ता है और बढ़ता है। हम सीधी रेखा (A1.1) के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं, जहाँ तक संभव हो इससे बढ़ने की दिशा में, और चतुर्भुज OABC के कम से कम एक बिंदु से होकर गुजरती है। ऐसी रेखा बिंदु C से होकर गुजरती है। संरचना से हम इसके निर्देशांक निर्धारित करते हैं।
.

समस्या का समाधान: ;

उत्तर

.
यानी सबसे बड़ी आय प्राप्त करने के लिए मॉडल ए की 8 पोशाकें बनाना आवश्यक है। आय 3200 डेन होगी। इकाइयां

उदाहरण 2

कार्य

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें।

समाधान

हम इसे ग्राफिक रूप से हल करते हैं।
हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं और।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 6) और (6; 0) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
यहाँ से।
पर ।
पर ।
बिंदुओं (3; 0) और (7; 2) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
हम एक सीधी रेखा (एब्सिस्सा अक्ष) बनाते हैं।

स्वीकार्य समाधानों का क्षेत्र (एडीए) निर्मित सीधी रेखाओं द्वारा सीमित है। यह पता लगाने के लिए कि कौन सा पक्ष है, हम देखते हैं कि बिंदु ओडीआर से संबंधित है, क्योंकि यह असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करता है:

हम निर्मित रेखाओं की सीमाओं के साथ क्षेत्र को छायांकित करते हैं ताकि बिंदु (4; 1) छायांकित भाग में आ जाए। हमें त्रिभुज ABC प्राप्त होता है।

हम उद्देश्य फ़ंक्शन के स्तर की एक मनमानी रेखा बनाते हैं, उदाहरण के लिए,
.
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 6) और (4; 0) से होकर एक सीधी समतल रेखा खींचें।
चूँकि वस्तुनिष्ठ फलन बढ़ने के साथ बढ़ता है और, हम स्तर रेखा के समानांतर और जहाँ तक संभव हो, बढ़ने की दिशा में उससे एक सीधी रेखा खींचते हैं, और त्रिभुज ABC के कम से कम एक बिंदु से होकर गुजरती है। ऐसी रेखा बिंदु C से होकर गुजरती है। संरचना से हम इसके निर्देशांक निर्धारित करते हैं।
.

समस्या का समाधान: ;

उत्तर

कोई समाधान न होने का उदाहरण

कार्य

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें। उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें।

समाधान

हम समस्या को ग्राफिक रूप से हल करते हैं।
हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं और।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 8) और (2.667; 0) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 3) और (6; 0) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

हम एक सीधी रेखा बना रहे हैं.
पर ।
पर ।
बिंदुओं (3; 0) और (6; 3) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

सीधी रेखाएँ निर्देशांक अक्ष हैं।

स्वीकार्य समाधानों का क्षेत्र (एडीए) निर्मित सीधी रेखाओं और समन्वय अक्षों द्वारा सीमित है। यह पता लगाने के लिए कि कौन सा पक्ष है, हम देखते हैं कि बिंदु ओडीआर से संबंधित है, क्योंकि यह असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करता है:

हम क्षेत्र को छायांकित करते हैं ताकि बिंदु (3; 3) छायांकित भाग में आ जाए। हमें टूटी हुई रेखा ABCDE से घिरा एक असीमित क्षेत्र प्राप्त होता है।

हम उद्देश्य फ़ंक्शन के स्तर की एक मनमानी रेखा बनाते हैं, उदाहरण के लिए,
(ए3.1) .
पर ।
पर ।
बिंदुओं (0; 7) और (7; 0) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।
चूंकि और का गुणांक सकारात्मक है, यह बढ़ने के साथ बढ़ता है।

अधिकतम ज्ञात करने के लिए, आपको एक समानांतर रेखा खींचनी होगी, जो बढ़ने की दिशा में यथासंभव दूर हो, और क्षेत्र ABCDE के कम से कम एक बिंदु से होकर गुजर रही हो। हालाँकि, चूंकि क्षेत्र और के बड़े मूल्यों के पक्ष में असीमित है, इसलिए ऐसी सीधी रेखा नहीं खींची जा सकती है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कौन सी रेखा खींचते हैं, क्षेत्र में हमेशा ऐसे बिंदु होंगे जो बढ़ने की दिशा में अधिक दूर होंगे। इसलिए कोई अधिकतम नहीं है. आप इसे जितना चाहें उतना बड़ा बना सकते हैं।

हम न्यूनतम की तलाश में हैं. हम सीधी रेखा (A3.1) के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं और जहां तक ​​संभव हो सके इससे घटने की दिशा में, और क्षेत्र ABCDE के कम से कम एक बिंदु से होकर गुजरती है। ऐसी रेखा बिंदु C से होकर गुजरती है। संरचना से हम इसके निर्देशांक निर्धारित करते हैं।
.
उद्देश्य फ़ंक्शन का न्यूनतम मूल्य:

उत्तर

कोई अधिकतम मूल्य नहीं है.
न्यूनतम मूल्य
.