एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का अनुमान। गणितीय अपेक्षा का बिंदु अनुमान

मान लीजिए कि कोई यादृच्छिक चर है एक्सगणितीय अपेक्षा के साथ एमऔर फैलाव डी, जबकि ये दोनों पैरामीटर अज्ञात हैं। अति परिमाण एक्सउत्पादन एनस्वतंत्र प्रयोग, जिसके परिणामस्वरूप एक सेट प्राप्त हुआ एनसंख्यात्मक परिणाम एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन. गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में, देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का प्रस्ताव करना स्वाभाविक है

(1)

यहाँ के रूप में एक्स मैंके परिणामस्वरूप प्राप्त विशिष्ट मान (संख्याएँ)। एनप्रयोग. यदि हम दूसरों को लें (पिछले वाले से स्वतंत्र) एनप्रयोग, तो, जाहिर है, हमें एक अलग मूल्य मिलेगा। यदि आप अधिक लेते हैं एनप्रयोगों से हमें एक और नया मूल्य मिलेगा। द्वारा निरूपित करें एक्स मैंयादृच्छिक चर के परिणामस्वरूप मैंवां प्रयोग, फिर अहसास एक्स मैंइन प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएँ होंगी। यह स्पष्ट है कि यादृच्छिक चर एक्स मैंमूल यादृच्छिक चर के समान संभाव्यता वितरण घनत्व होगा एक्स. हम यह भी मानते हैं कि यादृच्छिक चर एक्स मैंऔर एक्सजेपर स्वतंत्र हैं मैं, सम नही जे(एक दूसरे के सापेक्ष विभिन्न स्वतंत्र प्रयोग)। इसलिए, हम सूत्र (1) को एक अलग (सांख्यिकीय) रूप में फिर से लिखते हैं:

(2)

आइए हम दिखाएं कि अनुमान निष्पक्ष है:

इस प्रकार, नमूना माध्य की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर की वास्तविक गणितीय अपेक्षा के बराबर है एम. यह काफी पूर्वानुमानित और समझने योग्य तथ्य है। इसलिए, नमूना माध्य (2) को एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में लिया जा सकता है। अब सवाल उठता है: जैसे-जैसे प्रयोगों की संख्या बढ़ती है, उम्मीद के अनुमान में भिन्नता का क्या होता है? विश्लेषणात्मक गणनाएँ यह दर्शाती हैं

गणितीय अपेक्षा (2) के अनुमान का विचरण कहां है, और डी- यादृच्छिक चर का सच्चा विचरण एक्स.

ऊपर से, यह इस प्रकार है कि वृद्धि के साथ एन(प्रयोगों की संख्या) अनुमान का विचरण कम हो जाता है, अर्थात। जितना अधिक हम स्वतंत्र कार्यान्वयन का सारांश देंगे, हमें अनुमान उतना ही अपेक्षित मूल्य के करीब मिलेगा।

गणितीय विचरण अनुमान

पहली नज़र में, यह सबसे स्वाभाविक अनुमान लगता है

(3)

जहां सूत्र (2) द्वारा गणना की जाती है। आइए देखें कि अनुमान निष्पक्ष है या नहीं। सूत्र (3) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

हम अभिव्यक्ति (2) को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

आइए विचरण अनुमान की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें:

(4)

चूँकि यादृच्छिक चर का प्रसरण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा क्या है, हम गणितीय अपेक्षा को 0 के बराबर लेंगे, अर्थात। एम = 0.

	(5)
पर ।	(6)

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर X है, और इसके पैरामीटर गणितीय अपेक्षा हैं एऔर भिन्नता अज्ञात है. X के मान पर स्वतंत्र प्रयोग किए गए, जिसके परिणाम x 1, x 2, x n थे।

तर्क की व्यापकता को कम किये बिना, हम यादृच्छिक चर के इन मानों को भिन्न मानेंगे। हम मान x 1, x 2, x n को स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X 1, X 2, X n के रूप में मानेंगे।

सांख्यिकीय अनुमान की सबसे सरल विधि - प्रतिस्थापन और सादृश्य की विधि - में यह तथ्य शामिल है कि सामान्य जनसंख्या की एक या किसी अन्य संख्यात्मक विशेषता (औसत, विचरण, आदि) के अनुमान के रूप में, वे नमूना वितरण की संबंधित विशेषता लेते हैं। - नमूना विशेषता.

गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में प्रतिस्थापन विधि द्वारा एनमूने के वितरण की गणितीय अपेक्षा - नमूना माध्य लेना आवश्यक है। इस प्रकार, हम पाते हैं

नमूने की निष्पक्षता और स्थिरता का परीक्षण करने के लिए अनुमान का मतलब है ए, इस आँकड़े को चुने हुए वेक्टर (X 1, X 2, X n) के एक फ़ंक्शन के रूप में मानें। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि प्रत्येक मात्रा X 1, X 2, X n का वितरण नियम मात्रा X के समान है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इन मात्राओं और मात्रा X की संख्यात्मक विशेषताएँ समान हैं: मैं) = एम(एक्स) = ए, डी(एक्स मैं) = डी(एक्स) = , मैं = 1, 2, एन , जहाँ X i सामूहिक रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

इस तरह,

इसलिए, परिभाषा के अनुसार, हम पाते हैं कि यह निष्पक्ष अनुमान है ए, और चूंकि D()®0 n®¥ के रूप में है, तो पिछले पैराग्राफ के प्रमेय के आधार पर अपेक्षा का एक सुसंगत अनुमान है एसामान्य जनसंख्या.

अनुमान की दक्षता या अप्रभावीता यादृच्छिक चर X के वितरण नियम के रूप पर निर्भर करती है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि मान X को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, तो अनुमान कुशल है। अन्य वितरण कानूनों के लिए, यह मामला नहीं हो सकता है।

सामान्य विचरण का निष्पक्ष अनुमानसंशोधित नमूना भिन्नता है

,

क्योंकि , सामान्य भिन्नता कहां है। वास्तव में,

सामान्य विचरण के लिए अनुमान एस-2 भी सुसंगत है, लेकिन कुशल नहीं है। हालाँकि, सामान्य वितरण के मामले में, यह "स्पर्शोन्मुख रूप से कुशल" है, अर्थात, जैसे-जैसे n बढ़ता है, इसके विचरण का अनुपात न्यूनतम संभव तक अनिश्चित काल तक पहुंचता है।

तो, वितरण F( से एक नमूना दिया गया है एक्स) अज्ञात गणितीय अपेक्षा के साथ यादृच्छिक चर X एऔर फैलाव, फिर इन मापदंडों के मूल्यों की गणना करने के लिए, हमें निम्नलिखित अनुमानित सूत्रों का उपयोग करने का अधिकार है:

ए ,

.

यहाँ x-i- - नमूनाकरण विकल्प, n- i - - आवृत्ति विकल्प x i , - - नमूने का आकार।
संशोधित नमूना विचरण की गणना करने के लिए, सूत्र अधिक सुविधाजनक है

.

गणना को सरल बनाने के लिए, सशर्त विकल्पों पर स्विच करने की सलाह दी जाती है (अंतराल भिन्नता श्रृंखला के मध्य में स्थित प्रारंभिक संस्करण को सी के रूप में लेना फायदेमंद है)। तब

, .

अंतराल अनुमान

ऊपर, हमने एक अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाने के प्रश्न पर विचार किया एएक नंबर। हम ऐसे अनुमानों को बिंदु अनुमान कहते हैं। उनका नुकसान यह है कि, छोटे नमूने के आकार के साथ, वे अनुमानित मापदंडों से काफी भिन्न हो सकते हैं। इसलिए, एक पैरामीटर और उसके अनुमान के बीच निकटता का अंदाजा लगाने के लिए, गणितीय आंकड़ों में तथाकथित अंतराल अनुमान पेश किए जाते हैं।

मान लीजिए कि पैरामीटर q के लिए नमूने में एक बिंदु अनुमान q * पाया जाता है। आम तौर पर, शोधकर्ताओं को कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी संभाव्यता जी (उदाहरण के लिए, 0.95; 0.99 या 0.999) द्वारा पहले से ही दिया जाता है ताकि संभावना जी वाली एक घटना को व्यावहारिक रूप से निश्चित माना जा सके, और वे इस तरह के मूल्य ई > 0 को खोजने का सवाल उठाते हैं कौन

.

इस समानता को संशोधित करने पर, हमें मिलता है:

और इस मामले में हम कहेंगे कि अंतराल ]q * - e; q * + e[ संभाव्यता g के साथ अनुमानित पैरामीटर q को कवर करता है।

अंतराल ]क्यू * -ई; q * +e [ कहा जाता है विश्वास अंतराल .

प्रायिकता g कहलाती है विश्वसनीयता (विश्वास संभाव्यता) अंतराल अनुमान।

विश्वास अंतराल के अंत, यानी बिंदु q * -e और q * +e कहलाते हैं विश्वास की सीमाएँ .

संख्या ई कहा जाता है मूल्यांकन सटीकता .

आत्मविश्वास सीमा निर्धारित करने की समस्या के एक उदाहरण के रूप में, एक यादृच्छिक चर एक्स की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के प्रश्न पर विचार करें, जिसमें मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण कानून है एऔर एस, यानी एक्स = एन( ए, एस)। इस मामले में गणितीय अपेक्षा बराबर है ए. प्रेक्षणों X 1 , X 2 , X n के अनुसार औसत की गणना करें और मूल्यांकन फैलाव एस 2 .

यह पता चला है कि नमूना डेटा के अनुसार, एक यादृच्छिक चर का निर्माण करना संभव है

जिसमें n = n -1 डिग्री की स्वतंत्रता के साथ एक छात्र का वितरण (या t-वितरण) है।

आइए तालिका A.1.3 का उपयोग करें और दी गई संभाव्यता g और संख्या n के लिए संख्या t g इस प्रकार खोजें कि संभाव्यता

पी(|टी(एन)|< t g) = g,

.

स्पष्ट परिवर्तन करने के बाद, हम पाते हैं

एफ-मानदंड लागू करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. जनसंख्या के सामान्य वितरण के बारे में एक धारणा बनाई गई है। दिए गए महत्व स्तर a पर, शून्य परिकल्पना H 0 तैयार की गई है: s x 2 = s y 2, प्रतिस्पर्धी परिकल्पना H 1 के तहत सामान्य आबादी के सामान्य भिन्नताओं की समानता के बारे में: s x 2 > s y 2।

2. दो स्वतंत्र नमूने क्रमशः n x और n y की X और Y आबादी से प्राप्त किए जाते हैं।

3. संशोधित नमूना भिन्नताओं s x 2 और s y 2 के मानों की गणना करें (गणना विधियों की चर्चा §13.4 में की गई है)। फैलाव का बड़ा हिस्सा (एस एक्स 2 या एस वाई 2) को एस 1 2, छोटे - एस 2 2 नामित किया गया है।

4. F-मानदंड के मान की गणना सूत्र F obs = s 1 2 / s 2 2 के अनुसार की जाती है।

5. फिशर-स्नेडेकोर वितरण के महत्वपूर्ण बिंदुओं की तालिका के अनुसार, किसी दिए गए महत्व स्तर ए और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या एन 1 \u003d एन 1 - 1, एन 2 \u003d एन 2 - 1 (एन 1 है) एक बड़े संशोधित विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या), महत्वपूर्ण बिंदु F cr (a, n 1, n 2) पाया जाता है।

ध्यान दें कि तालिका A.1.7 एक-पूंछ वाले एफ-मानदंड के महत्वपूर्ण मान दिखाती है। इसलिए, यदि दो-तरफा मानदंड लागू किया जाता है (H 1: s x 2 ¹ s y 2), तो दाएं हाथ के महत्वपूर्ण बिंदु F cr (a / 2, n 1, n 2) को महत्व स्तर a / द्वारा खोजा जाता है। 2 (निर्दिष्ट एक का आधा) और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या एन 1 और एन 2 (एन 1 - अधिक फैलाव की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या)। बाएं हाथ का महत्वपूर्ण बिंदु नहीं मिल सकता है।

6. यह निष्कर्ष निकाला गया है कि यदि एफ-मानदंड का परिकलित मान महत्वपूर्ण मान (एफ ऑब्स ³ एफ करोड़) से अधिक या उसके बराबर है, तो दिए गए महत्व स्तर पर भिन्नताएं काफी भिन्न होती हैं। अन्यथा (एफ अवलोकन)< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

कार्य 15.1. पुरानी तकनीक के अनुसार उत्पादन की प्रति इकाई कच्चे माल की खपत थी:

नई टेक्नोलॉजी:

यह मानते हुए कि संबंधित सामान्य आबादी

समाधान. हम ऊपर बताए गए क्रम में कार्य करते हैं।

1. हम फैलाव मूल्यों के संदर्भ में नई और पुरानी प्रौद्योगिकियों के लिए कच्चे माल की खपत की परिवर्तनशीलता का आकलन करेंगे। इस प्रकार, शून्य परिकल्पना का रूप H 0: s x 2 = s y 2 है। एक प्रतिस्पर्धी परिकल्पना के रूप में, हम परिकल्पना H 1: s x 2 ¹ s y 2 को स्वीकार करते हैं, क्योंकि हम पहले से निश्चित नहीं हैं कि कोई भी सामान्य भिन्नता दूसरे से अधिक है।

2-3. नमूना भिन्नताएँ खोजें। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, आइए सशर्त विकल्पों पर आगे बढ़ें:

यू आई = एक्स आई - 307, वी आई = वाई आई - 304।

हम सभी गणनाओं को निम्नलिखित तालिकाओं के रूप में व्यवस्थित करेंगे:

तुम मैं	एम मैं	मैं मैं तुम मैं	मैं मैं तुम मैं 2	एम आई (यू आई +1) 2		वी मैं	एन मैं	एन आई वी आई	एन आई वी आई 2	एन आई (वी आई +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

नियंत्रण: å एम आई यू आई 2 + 2å एम आई यू आई + एम आई = नियंत्रण: å एन आई वी आई 2 + 2å एन आई वी आई + एन आई = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

सही नमूना भिन्नताएँ खोजें:

4. भिन्नताओं की तुलना करें. बड़े संशोधित विचरण और छोटे संशोधित विचरण का अनुपात ज्ञात कीजिए:

.

5. शर्त के अनुसार, प्रतिस्पर्धी परिकल्पना का रूप s x 2 ¹ s y 2 है, इसलिए, महत्वपूर्ण क्षेत्र दो-तरफा है, और महत्वपूर्ण बिंदु खोजने पर, किसी को महत्व स्तर लेना चाहिए जो दिए गए स्तर का आधा हो।

तालिका ए.1.7 के अनुसार, महत्व स्तर ए/2 = 0.1/2 = 0.05 और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या एन 1 = एन 1 - 1 = 12, एन 2 = एन 2 - 1 = 8, हम पाते हैं क्रांतिक बिंदु एफ करोड़ (0.05; 12; 8) = 3.28.

6. चूंकि एफ ओब्ल।< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

ऊपर, परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय, यह माना गया कि अध्ययन के तहत यादृच्छिक चर का वितरण सामान्य था। हालाँकि, विशेष अध्ययनों से पता चला है कि सामान्य वितरण से विचलन के संबंध में प्रस्तावित एल्गोरिदम बहुत स्थिर हैं (विशेषकर बड़े नमूना आकार के साथ)।

वितरण पैरामीटर और आँकड़े

यादृच्छिक चर के वितरण का कोई भी पैरामीटर, जैसे कि गणितीय अपेक्षा या भिन्नता, उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक मूल्य हैं जो सीधे मापने योग्य नहीं हैं, हालांकि उनका अनुमान लगाया जा सकता है। वे मात्रात्मक हैं जनसंख्या और केवल सैद्धांतिक मॉडलिंग के दौरान काल्पनिक मूल्यों के रूप में स्वयं द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, क्योंकि वे सामान्य आबादी में यादृच्छिक चर के वितरण की विशेषताओं का वर्णन करते हैं। व्यवहार में उन्हें निर्धारित करने के लिए, प्रयोग करने वाला शोधकर्ता उनका चयनात्मक मूल्यांकन करता है। इस तरह के मूल्यांकन में एक सांख्यिकीय गणना शामिल होती है।

आंकड़े नमूना मूल्यों के अध्ययन के आधार पर प्राप्त एक यादृच्छिक चर के वितरण की विशेषता वाले अध्ययन किए गए मापदंडों की एक मात्रात्मक विशेषता का प्रतिनिधित्व करता है। सांख्यिकी का उपयोग या तो नमूने का वर्णन करने के लिए किया जाता है, या, जो मौलिक प्रयोगात्मक अनुसंधान में सबसे महत्वपूर्ण है, अध्ययन के तहत सामान्य आबादी में एक यादृच्छिक चर के वितरण मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

अवधारणाओं का पृथक्करण "पैरामीटर" और "आंकड़े" बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह प्रयोग में प्राप्त आंकड़ों की गलत व्याख्या से जुड़ी कई त्रुटियों से बचने की अनुमति देता है। तथ्य यह है कि जब हम सांख्यिकीय डेटा का उपयोग करके वितरण के मापदंडों का अनुमान लगाते हैं, तो हमें ऐसे मान मिलते हैं जो अनुमानित मापदंडों के कुछ हद तक ही करीब होते हैं। मापदंडों और आँकड़ों के बीच लगभग हमेशा कुछ अंतर होता है, और हम आमतौर पर यह नहीं कह सकते कि यह अंतर कितना बड़ा है। सैद्धांतिक रूप से, नमूना जितना बड़ा होगा, अनुमानित पैरामीटर उनकी नमूना विशेषताओं के उतने ही करीब होंगे। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि नमूना आकार बढ़ाने से, हम अनिवार्य रूप से अनुमानित पैरामीटर के करीब आ जाएंगे, इसके और गणना किए गए आंकड़ों के बीच अंतर कम हो जाएगा। व्यवहार में, चीजें बहुत अधिक जटिल हो सकती हैं।

यदि सिद्धांत रूप में आँकड़ों का अपेक्षित मूल्य अनुमानित पैरामीटर के साथ मेल खाता है, तो ऐसे अनुमान को कहा जाता है निष्पक्ष. ऐसा अनुमान जिसमें अनुमानित पैरामीटर का अपेक्षित मान पैरामीटर से कुछ मात्रा में भिन्न होता है, कहलाता है विस्थापित.

वितरण मापदंडों के बिंदु और अंतराल अनुमानों के बीच अंतर करना भी आवश्यक है। छितराया हुआ कुछ संख्या का उपयोग करके एक अनुमान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम कहते हैं कि दी गई परिस्थितियों में और त्वचा के किसी दिए गए क्षेत्र पर किसी दिए गए विषय के लिए स्पर्श संवेदनशीलता की स्थानिक सीमा का मान 21.8 मिमी है, तो ऐसा मूल्यांकन एक बिंदु अनुमान होगा। इसी प्रकार, एक बिंदु अनुमान तब होता है जब मौसम रिपोर्ट हमें बताती है कि बाहर तापमान 25°C है। अंतराल अनुमान मूल्यांकन में संख्याओं के एक सेट या श्रेणी का उपयोग शामिल है। स्पर्श संवेदनशीलता की स्थानिक सीमा का आकलन करते हुए, हम कह सकते हैं कि यह 20 से 25 मिमी की सीमा में निकला। इसी तरह, मौसम पूर्वानुमानकर्ता रिपोर्ट कर सकते हैं कि उनके पूर्वानुमान के अनुसार, अगले 24 घंटों में हवा का तापमान 22-24 डिग्री सेल्सियस तक पहुंच जाएगा। एक यादृच्छिक चर का अंतराल अनुमान हमें न केवल इस चर का वांछित मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है, बल्कि ऐसे अनुमान के लिए संभावित सटीकता भी निर्धारित करने की अनुमति देता है।

गणितीय अपेक्षा एवं उसका मूल्यांकन

आइए सिक्का उछालने के अपने अनुभव पर वापस जाएं।

आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: यदि हम एक सिक्के को दस बार उछालें तो "ईगल" को कितनी बार गिरना चाहिए? उत्तर स्पष्ट प्रतीत होता है. यदि दोनों परिणामों में से प्रत्येक की संभावनाएँ समान हैं, तो परिणाम स्वयं समान रूप से वितरित होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, जब एक साधारण सिक्के को दस बार उछाला जाता है, तो हमें यह उम्मीद करने का अधिकार है कि उसका एक पहलू, उदाहरण के लिए, "सिर", ठीक पाँच बार गिरेगा। इसी प्रकार, जब एक सिक्के को 100 बार उछाला जाता है, तो हेड ठीक 50 बार गिरना चाहिए, और यदि एक सिक्का 4236 बार उछाला जाता है, तो हमें रुचि का पक्ष 2118 बार दिखाई देना चाहिए, न अधिक और न कम।

तो, आमतौर पर एक यादृच्छिक घटना का सैद्धांतिक मूल्य कहा जाता है गणितीय अपेक्षा. गणितीय अपेक्षा को यादृच्छिक चर की सैद्धांतिक संभावना को परीक्षणों की संख्या से गुणा करके पाया जा सकता है। हालाँकि, अधिक औपचारिक रूप से, इसे पहले क्रम के केंद्रीय क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का मान है जिसके लिए यह सैद्धांतिक रूप से दोहराया परीक्षणों के दौरान जाता है, जिसके सापेक्ष यह भिन्न होता है।

यह स्पष्ट है कि वितरण पैरामीटर के रूप में गणितीय अपेक्षा का सैद्धांतिक मूल्य हमेशा हमारे लिए रुचि के यादृच्छिक चर के अनुभवजन्य मूल्य के बराबर नहीं होता है, जो आंकड़ों में व्यक्त किया गया है। यदि हम एक सिक्के को उछालकर प्रयोग करते हैं, तो यह काफी संभव है कि, दस परिणामों में से, केवल चार या तीन बार ही हेड आएगा, या इसके विपरीत, यह आठ बार आएगा, या शायद कभी नहीं आएगा। . यह स्पष्ट है कि इनमें से कुछ परिणामों की संभावना अधिक है, कुछ की कम संभावना है। यदि हम सामान्य वितरण के नियम का उपयोग करते हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गणितीय अपेक्षा के मूल्य द्वारा दिए गए परिणाम सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित से जितना अधिक विचलित होंगे, व्यवहार में इसकी संभावना उतनी ही कम होगी।

आगे मान लीजिए कि हमने यह प्रक्रिया कई बार की है और सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित मूल्य कभी नहीं देखा। तब हमें सिक्के की प्रामाणिकता पर संदेह हो सकता है। हम मान सकते हैं कि हमारे सिक्के में वास्तव में शीर्ष पर आने की 50% संभावना नहीं है। इस मामले में, इस घटना की संभावना और तदनुसार, गणितीय अपेक्षा के मूल्य का अनुमान लगाना आवश्यक हो सकता है। ऐसी आवश्यकता तब उत्पन्न होती है जब, किसी प्रयोग में, हम किसी सतत यादृच्छिक चर के वितरण की जांच करते हैं, जैसे कि प्रतिक्रिया समय, बिना किसी सैद्धांतिक मॉडल के। एक नियम के रूप में, प्रयोग के परिणामों के मात्रात्मक प्रसंस्करण के दौरान यह पहला अनिवार्य कदम है।

गणितीय अपेक्षा का अनुमान तीन तरीकों से लगाया जा सकता है, जो व्यवहार में थोड़ा अलग परिणाम दे सकता है, लेकिन सिद्धांत रूप में उन्हें निश्चित रूप से हमें गणितीय अपेक्षा के मूल्य तक ले जाना चाहिए।

इस तरह के मूल्यांकन का तर्क चित्र में दिखाया गया है। 1.2. यादृच्छिक चर के वितरण में गणितीय अपेक्षा को एक केंद्रीय प्रवृत्ति माना जा सकता है एक्स, सबसे संभावित के रूप में और इसलिए इसका सबसे लगातार मूल्य और वितरण को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदु के रूप में।

चावल। 1.2.

आइए एक सिक्के के साथ अपने काल्पनिक प्रयोगों को जारी रखें और सिक्के को दस बार उछालकर तीन प्रयोग करें। आइए मान लें कि पहले प्रयोग में "ईगल" चार बार गिरा, दूसरे प्रयोग में भी यही हुआ, तीसरे प्रयोग में "ईगल" डेढ़ गुना से अधिक बार गिरा - सात बार। यह मानना ​​तर्कसंगत है कि हमारे लिए रुचि की घटना की गणितीय अपेक्षा वास्तव में इन मूल्यों के बीच कहीं निहित है।

पहला, प्रोटोजोआ मूल्यांकन पद्धति गणितीय अपेक्षा खोजने में शामिल होगी अंकगणित औसत। तब उपरोक्त तीन मापों के आधार पर अपेक्षित मूल्य का अनुमान (4 + 4 + 7)/3 = 5 होगा। इसी प्रकार, प्रतिक्रिया समय के प्रयोगों में, सभी प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य की गणना करके अपेक्षित मूल्य का अनुमान लगाया जा सकता है। एक्स। तो अगर हमने खर्च किया पी प्रतिक्रिया समय माप एक्स, तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जो हमें अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए दिखाता है एक्स सभी अनुभवजन्य रूप से प्राप्त मूल्यों को जोड़ना और उन्हें टिप्पणियों की संख्या से विभाजित करना आवश्यक है:

सूत्र (1.2) में, गणितीय अपेक्षा के माप को आमतौर पर ̅ के रूप में दर्शाया जाता है एक्स ("एक पंक्ति के साथ x" के रूप में पढ़ें), हालांकि कभी-कभी इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है एम (अंग्रेज़ी से। अर्थ - औसत)।

अंकगणित माध्य गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला अनुमान है। ऐसे मामलों में, यह माना जाता है कि एक यादृच्छिक चर का मापन किया जाता है मीट्रिक पैमाना। यह स्पष्ट है कि प्राप्त परिणाम गणितीय अपेक्षा के वास्तविक मूल्य से मेल खा भी सकता है और नहीं भी, जिसे हम कभी नहीं जानते हैं। हालाँकि, यह महत्वपूर्ण है कि यह विधि है निष्पक्ष गणितीय अपेक्षा का अनुमान. इसका मतलब यह है कि अनुमानित मूल्य का अपेक्षित मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के बराबर है:।

मूल्यांकन की दूसरी विधि गणितीय अपेक्षा यह है कि हम जिस चर में रुचि रखते हैं, उसके सबसे अधिक बार होने वाले मूल्य को उसके मूल्य के रूप में लें। इस मान को कहा जाता है वितरण फैशन. उदाहरण के लिए, सिक्के को उछालने के मामले में, "चार" को गणितीय अपेक्षा के मूल्य के रूप में लिया जा सकता है, क्योंकि किए गए तीन परीक्षणों में यह मान दो बार दिखाई दिया; इसीलिए इस मामले में वितरण मोड चार के बराबर निकला। मोड अनुमान का उपयोग मुख्य रूप से तब किया जाता है जब प्रयोगकर्ता उन चरों से निपट रहा होता है जो दिए गए अलग-अलग मानों को लेते हैं गैर मीट्रिक पैमाना।

उदाहरण के लिए, किसी परीक्षा में छात्र ग्रेड के वितरण का वर्णन करके, कोई छात्र ग्रेड की आवृत्ति वितरण का निर्माण कर सकता है। इस आवृत्ति वितरण को कहा जाता है हिस्टोग्राम. इस मामले में, सबसे सामान्य अनुमान को केंद्रीय प्रवृत्ति (गणितीय अपेक्षा) के मूल्य के रूप में लिया जा सकता है। निरंतर मानों की विशेषता वाले चरों के अध्ययन में, इस माप का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है या शायद ही कभी उपयोग किया जाता है। यदि प्राप्त परिणामों का आवृत्ति वितरण फिर भी निर्मित होता है, तो, एक नियम के रूप में, यह प्रयोग में प्राप्त अध्ययन किए गए गुण के मूल्यों से नहीं, बल्कि इसकी अभिव्यक्ति के कुछ अंतरालों से संबंधित है। उदाहरण के लिए, लोगों की ऊंचाई की जांच करते समय, आप देख सकते हैं कि कितने लोग 150 सेमी तक की ऊंचाई के अंतराल में आते हैं, कितने लोग 150 से 155 सेमी तक के अंतराल में आते हैं, इत्यादि। इस मामले में, मोड अध्ययन के तहत विशेषता के अंतराल मूल्यों से संबंधित होगा, इस मामले में, वृद्धि।

यह स्पष्ट है कि मोड, अंकगणितीय माध्य की तरह, गणितीय अपेक्षा के वास्तविक मूल्य से मेल खा भी सकता है और नहीं भी। लेकिन अंकगणितीय माध्य की तरह, मोड गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है।

हम जोड़ते हैं कि यदि नमूने में दो मान समान रूप से बार-बार आते हैं, तो ऐसा वितरण कहा जाता है bimodal. यदि नमूने में तीन या अधिक मान समान रूप से बार-बार आते हैं, तो ऐसे नमूने को कोई मोड नहीं कहा जाता है। पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में अवलोकन वाले ऐसे मामले, एक नियम के रूप में, संकेत देते हैं कि डेटा सामान्य जनसंख्या से निकाला गया है, वितरण की प्रकृति जिसमें सामान्य से भिन्न है।

अंत में, मूल्यांकन की तीसरी विधि गणितीय अपेक्षा यह है कि विषयों के नमूने को हमारी रुचि के पैरामीटर के अनुसार ठीक आधे में विभाजित किया जाए। इस सीमा को दर्शाने वाले मान को कहा जाता है MEDIAN वितरण।

मान लीजिए कि हम एक स्कीइंग प्रतियोगिता में मौजूद हैं और उनके पूरा होने के बाद हम यह मूल्यांकन करना चाहते हैं कि किस एथलीट ने औसत से ऊपर परिणाम दिखाया, और किसने - नीचे। यदि प्रतिभागियों की संरचना कमोबेश सम है, तो औसत परिणाम का मूल्यांकन करते समय अंकगणितीय माध्य की गणना करना तर्कसंगत है। हालाँकि, मान लीजिए कि पेशेवर प्रतिभागियों में कई शौकिया भी हैं। उनमें से बहुत सारे नहीं हैं, लेकिन वे ऐसे परिणाम दिखाते हैं जो बाकियों की तुलना में काफी कमतर होते हैं। इस मामले में, यह पता चल सकता है कि प्रतियोगिता में भाग लेने वाले 100 प्रतिभागियों में से, उदाहरण के लिए, 87 ने औसत से ऊपर परिणाम दिखाया। यह स्पष्ट है कि औसत प्रवृत्ति का ऐसा आकलन हमेशा हमारे लिए उपयुक्त नहीं हो सकता है। इस मामले में, यह मान लेना तर्कसंगत है कि औसत परिणाम उन प्रतिभागियों द्वारा दिखाया गया था जो 50वें या 51वें स्थान पर थे। यह वितरण का माध्यिका होगा. 49 प्रतिभागी 50वें फाइनलिस्ट से पहले समाप्त हुए, और 49 51वें फाइनलिस्ट के बाद। बेशक, यह पता चल सकता है कि उन्होंने एक ही समय में काम पूरा किया। फिर कोई समस्या नहीं है. अवलोकनों की संख्या विषम होने पर भी कोई समस्या नहीं है। हालाँकि, अन्य मामलों में, आप दो प्रतिभागियों के परिणामों के औसत का उपयोग कर सकते हैं।

माध्यिका किसी वितरण की मात्रा का एक विशेष मामला है। मात्रात्मक वितरण का हिस्सा है. औपचारिक रूप से, इसे चर के दो मूल्यों के बीच वितरण के अभिन्न मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एक्स। इस प्रकार, मूल्य एक्स यदि वितरण का अभिन्न मान (संभावना घनत्व) -∞ से है तो वितरण का माध्यिका होगा एक्स से वितरण के अभिन्न मूल्य के बराबर है एक्स +∞ तक. इसी प्रकार, वितरण को चार, दस या 100 भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसे परिमाणों को क्रमशः कहा जाता है चतुर्थक, दशमांश और शतमक. मात्राएँ अन्य प्रकार की होती हैं।

गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए पिछले दो तरीकों की तरह, माध्यिका गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है।

सैद्धांतिक रूप से, यह माना जाता है कि यदि हम वास्तव में एक यादृच्छिक चर के सामान्य वितरण से निपट रहे हैं, तो गणितीय अपेक्षा के सभी तीन अनुमानों को एक ही परिणाम देना चाहिए, क्योंकि वे सभी एक प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं निष्पक्ष अनुमानित यादृच्छिक चर के समान वितरण पैरामीटर का अनुमान (चित्र 1.2 देखें)। हालाँकि, व्यवहार में ऐसा कम ही होता है। यह, विशेष रूप से, इस तथ्य के कारण हो सकता है कि विश्लेषण किया गया वितरण सामान्य से भिन्न है। लेकिन ऐसी विसंगतियों का मुख्य कारण, एक नियम के रूप में, यह है कि, गणितीय अपेक्षा के मूल्य का अनुमान लगाकर, कोई ऐसा मूल्य प्राप्त कर सकता है जो उसके वास्तविक मूल्य से बहुत अलग है। हालाँकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, गणितीय आँकड़ों में यह सिद्ध हो चुका है कि विचाराधीन चर के जितने अधिक स्वतंत्र परीक्षण किए जाएंगे, अनुमानित मूल्य उतना ही सत्य के करीब होना चाहिए।

इस प्रकार, व्यवहार में, गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए एक विधि का चुनाव इस पैरामीटर का अधिक सटीक और विश्वसनीय अनुमान प्राप्त करने की इच्छा से नहीं, बल्कि केवल सुविधा के विचारों से निर्धारित होता है। इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए विधि की पसंद में एक निश्चित भूमिका मापने के पैमाने द्वारा निभाई जाती है, जो अनुमानित यादृच्छिक चर की टिप्पणियों को दर्शाती है।

मान लीजिए कि अज्ञात गणितीय अपेक्षा और विचरण वाले एक यादृच्छिक चर को स्वतंत्र प्रयोगों के अधीन किया गया, जिसके परिणाम मिले - . आइए हम मापदंडों के लिए सुसंगत और निष्पक्ष अनुमानों की गणना करें।

गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में, हम प्रयोगात्मक मूल्यों का अंकगणितीय माध्य लेते हैं

. (2.9.1)

बड़ी संख्या के नियम के अनुसार यह अनुमान है धनवान , संभाव्यता में परिमाण के साथ। यही अनुमान है निष्पक्ष , क्योंकि

. (2.9.2)

इस अनुमान का भिन्नता है

. (2.9.3)

यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण के लिए, यह अनुमान है कुशल . अन्य कानूनों के लिए, यह मामला नहीं हो सकता है।

आइए अब विचरण का अनुमान लगाएं। आइए सबसे पहले अनुमान लगाने का एक फॉर्मूला चुनें सांख्यिकीय फैलाव

. (2.9.4)

आइए हम विचरण अनुमान की स्थिरता की जाँच करें। आइए सूत्र में कोष्ठक खोलें (2.9.4)

.

के लिए, पहला पद संभाव्यता में मात्रा में परिवर्तित होता है , दूसरे में - को . इस प्रकार, हमारा अनुमान संभाव्यता में भिन्नता में परिवर्तित होता है

,

इसलिए वह है धनवान .

की जाँच करें निष्पक्षता मात्रा के लिए अनुमान. ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति (2.9.1) को सूत्र (2.9.4) में प्रतिस्थापित करते हैं और यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हैं स्वतंत्र

,

. (2.9.5)

आइए हम यादृच्छिक चर के उतार-चढ़ाव को सूत्र (2.9.5) में पास करें

कोष्ठक का विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है

,

. (2.9.6)

आइए इसे ध्यान में रखते हुए मान (2.9.6) की गणितीय अपेक्षा की गणना करें

. (2.9.7)

संबंध (2.9.7) से पता चलता है कि सूत्र (2.9.4) द्वारा गणना की गई मान निष्पक्ष अनुमानक नहीं है फैलाव के लिए. इसकी गणितीय अपेक्षा न के बराबर है, परंतु कुछ कम है। इस तरह के अनुमान से नीचे की ओर व्यवस्थित त्रुटि होती है। इस तरह के पूर्वाग्रह को खत्म करने के लिए, मूल्य को गुणा करके सुधार करना आवश्यक है। फिर ऐसा संशोधित सांख्यिकीय विचरण विचरण के लिए एक निष्पक्ष अनुमान के रूप में काम कर सकता है

. (2.9.8)

यह अनुमान अनुमान के समान ही सुसंगत है, क्योंकि।

व्यवहार में, अनुमान (2.9.8) के बजाय, दूसरे प्रारंभिक सांख्यिकीय क्षण से संबंधित समकक्ष अनुमान का उपयोग करना कभी-कभी अधिक सुविधाजनक होता है

. (2.9.9)

अनुमान (2.9.8), (2.9.9) कुशल नहीं हैं। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण के मामले में वे होंगे स्पर्शोन्मुख रूप से कुशल (कब न्यूनतम संभव मूल्य की ओर प्रवृत्त होगा)।

इस प्रकार, सीमित सांख्यिकीय सामग्री के प्रसंस्करण के लिए निम्नलिखित नियम बनाना संभव है। यदि स्वतंत्र प्रयोगों में यादृच्छिक चर मान लेता है अज्ञात गणितीय अपेक्षा और विचरण के साथ, तो इन मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, अनुमानित अनुमान का उपयोग करना चाहिए

(2.9.10)

काम का अंत -

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गणित संभाव्यता सिद्धांत गणितीय सांख्यिकी पर व्याख्यान नोट्स

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सिद्धांत संभावना
संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो यादृच्छिक द्रव्यमान घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करती है। यादृच्छिक एक घटना है कि

संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा
एक घटना एक यादृच्छिक घटना है, जो अनुभव के परिणामस्वरूप प्रकट हो भी सकती है और नहीं भी (दो-मूल्य वाली घटना)। घटनाओं को बड़े लैटिन अक्षरों में निर्दिष्ट करें

प्राथमिक घटनाओं का स्थान
मान लीजिए कि घटनाओं का एक समूह किसी अनुभव से जुड़ा है, और: 1) अनुभव के परिणामस्वरूप, एक और केवल एक

घटनाओं पर कार्रवाई
दो घटनाओं का योग और

क्रमपरिवर्तन
तत्वों के विभिन्न क्रमपरिवर्तन की संख्या को दर्शाया गया है

आवास
द्वारा तत्वों की नियुक्ति

युग्म
तत्वों का एक संयोजन

असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का सूत्र
प्रमेय. दो असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है। (1

मनमानी घटनाओं के लिए संभाव्यता जोड़ फॉर्मूला
प्रमेय. दो घटनाओं के योग की संभावना उनके उत्पाद की संभावना के बिना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर होती है।

संभाव्यता गुणन सूत्र
आइए दो घटनाएँ दी जाएँ। एक घटना पर विचार करें

कुल संभाव्यता सूत्र
मान लीजिए असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह हो, उन्हें परिकल्पना कहा जाता है। किसी घटना पर विचार करें

परिकल्पनाओं की संभावनाओं का सूत्र (बेयस)
फिर से विचार करें - असंगत परिकल्पनाओं और घटना का पूरा समूह

एसिम्प्टोटिक पॉइसन फॉर्मूला
ऐसे मामलों में जहां परीक्षणों की संख्या बड़ी है और किसी घटना के घटित होने की संभावना है

यादृच्छिक असतत चर
यादृच्छिक मान वह मात्रा है, जो प्रयोग दोहराए जाने पर असमान संख्यात्मक मान ले सकती है। यादृच्छिक चर को असतत कहा जाता है,

यादृच्छिक सतत चर
यदि, किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक यादृच्छिक चर एक निश्चित खंड या संपूर्ण वास्तविक अक्ष से कोई भी मान ले सकता है, तो इसे निरंतर कहा जाता है। कानून

एक यादृच्छिक सतत चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन
रहने दो। एक बिंदु पर विचार करें और उसे बढ़ाएँ

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ
यादृच्छिक असतत या निरंतर चर को पूरी तरह से निर्दिष्ट माना जाता है यदि उनके वितरण कानून ज्ञात हैं। दरअसल, वितरण के नियमों को जानने के बाद, कोई भी हमेशा हिट होने की संभावना की गणना कर सकता है

यादृच्छिक चर की मात्राएँ
एक यादृच्छिक सतत चर के क्रम की मात्रा

यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके औसत मूल्य को दर्शाती है। यादृच्छिक चर के सभी मानों को इस मान के आसपास समूहीकृत किया जाता है। पहले एक यादृच्छिक असतत चर पर विचार करें

मानक विचलन और यादृच्छिक चर का विचरण
पहले एक यादृच्छिक असतत चर पर विचार करें। बहुलक, माध्यिका, मात्राएँ और गणितीय अपेक्षा की संख्यात्मक विशेषताएँ

यादृच्छिक चर के क्षण
गणितीय अपेक्षा और विचरण के अलावा, संभाव्यता सिद्धांत उच्च क्रम की संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करता है, जिन्हें यादृच्छिक चर के क्षण कहा जाता है।

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं पर प्रमेय
प्रमेय 1. एक गैर-यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इस मान के ही बराबर है। प्रमाण: चलो

द्विपद वितरण कानून

पॉइसन वितरण कानून
एक यादृच्छिक असतत चर को मान लेने दें

समान वितरण कानून
एक यादृच्छिक निरंतर चर के वितरण का एक समान कानून संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का कानून है, जो

सामान्य वितरण कानून
यादृच्छिक सतत चर के वितरण का सामान्य नियम घनत्व फलन का नियम है

घातीय वितरण कानून
यादृच्छिक चर के घातीय या घातीय वितरण का उपयोग संभाव्यता सिद्धांत के ऐसे अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे कतारबद्ध सिद्धांत, विश्वसनीयता सिद्धांत

यादृच्छिक चर की प्रणाली
व्यवहार में, संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, किसी को अक्सर उन समस्याओं से जूझना पड़ता है जिनमें किसी प्रयोग के परिणामों को एक यादृच्छिक चर द्वारा नहीं, बल्कि एक साथ कई यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित किया जाता है।

दो यादृच्छिक असतत चरों की प्रणाली
मान लीजिए कि दो यादृच्छिक असतत चर एक प्रणाली बनाते हैं। यादृच्छिक मूल्य

दो यादृच्छिक सतत चरों की प्रणाली
अब मान लीजिए कि सिस्टम दो यादृच्छिक सतत चरों द्वारा बनता है। इस प्रणाली का वितरण नियम संभवतः कहा जाता है

वितरण के सशर्त नियम
आइए और आश्रित यादृच्छिक सतत चर

दो यादृच्छिक चरों की प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएँ
यादृच्छिक चरों की प्रणाली के क्रम का प्रारंभिक क्षण

कई यादृच्छिक चर की प्रणाली
दो यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली के लिए प्राप्त परिणामों को यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या वाली प्रणालियों के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है। सिस्टम को सेट द्वारा बनने दें

दो यादृच्छिक चरों की प्रणाली का सामान्य वितरण
दो यादृच्छिक सतत चरों की एक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वितरण नियम सामान्य वितरण नियम है

संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय
संभाव्यता सिद्धांत के अनुशासन का मुख्य लक्ष्य यादृच्छिक द्रव्यमान घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करना है। अभ्यास से पता चलता है कि सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के एक समूह के अवलोकन से पता चलता है

चेबीशेव की असमानता
गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करें

चेबीशेव का प्रमेय
यदि यादृच्छिक चर जोड़ीवार स्वतंत्र हैं और जनसंख्या में परिमित भिन्नताएं हैं

बर्नौली का प्रमेय
प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, किसी घटना के घटित होने की आवृत्ति किसी घटना की संभावना में परिवर्तित हो जाती है

केंद्रीय सीमा प्रमेय
किसी भी वितरण कानून के साथ यादृच्छिक चर जोड़ते समय, लेकिन समुच्चय में सीमित भिन्नताओं के साथ, वितरण कानून

गणितीय सांख्यिकी के मुख्य कार्य
ऊपर चर्चा की गई संभाव्यता सिद्धांत के नियम वास्तविक पैटर्न की गणितीय अभिव्यक्ति हैं जो वास्तव में विभिन्न यादृच्छिक द्रव्यमान घटनाओं में मौजूद हैं। पढ़ना

एक साधारण आँकड़ा. सांख्यिकीय वितरण समारोह
कुछ यादृच्छिक चर पर विचार करें जिनका वितरण नियम अज्ञात है। अनुभव के आधार पर आवश्यक है

सांख्यिकीय रेखा. बार चार्ट
बड़ी संख्या में अवलोकनों (सैकड़ों के क्रम में) के साथ, सामान्य आबादी सांख्यिकीय सामग्री को रिकॉर्ड करने के लिए असुविधाजनक और बोझिल हो जाती है। स्पष्टता और सघनता के लिए, सांख्यिकीय सामग्री

सांख्यिकीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएँ
संभाव्यता सिद्धांत में, यादृच्छिक चर की विभिन्न संख्यात्मक विशेषताओं पर विचार किया गया: गणितीय अपेक्षा, विचरण, विभिन्न आदेशों के प्रारंभिक और केंद्रीय क्षण। समान संख्याएँ

क्षणों की विधि द्वारा सैद्धांतिक वितरण का चयन
किसी भी सांख्यिकीय वितरण में, अवलोकनों की सीमित संख्या के साथ अनिवार्य रूप से यादृच्छिकता के तत्व जुड़े होते हैं। बड़ी संख्या में अवलोकनों के साथ, यादृच्छिकता के ये तत्व समाप्त हो जाते हैं,

वितरण कानून के स्वरूप के बारे में परिकल्पना की संभाव्यता का परीक्षण करना
मान लीजिए कि दिए गए सांख्यिकीय वितरण को किसी सैद्धांतिक वक्र द्वारा अनुमानित किया गया है

सहमति मानदंड
सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले फिट-ऑफ-फिट परीक्षणों में से एक, तथाकथित पियर्सन परीक्षण पर विचार करें। मान लीजिए

अज्ञात वितरण मापदंडों के लिए बिंदु अनुमान
पी.पी. में 2.1. - 2.7 हमने गणितीय सांख्यिकी की पहली और दूसरी मुख्य समस्याओं को हल करने के तरीकों पर विस्तार से विचार किया है। ये प्रयोगात्मक डेटा के अनुसार यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों को निर्धारित करने के कार्य हैं

विश्वास अंतराल। आत्मविश्वास की संभावना
व्यवहार में, यादृच्छिक चर पर कम संख्या में प्रयोगों के साथ, एक अज्ञात पैरामीटर का अनुमानित प्रतिस्थापन होता है

मान लीजिए कि यादृच्छिक नमूना प्रेक्षित यादृच्छिक चर ξ, गणितीय अपेक्षा और विचरण द्वारा उत्पन्न होता है जो अज्ञात हैं. इन विशेषताओं के अनुमान के रूप में, नमूना माध्य का उपयोग करने का प्रस्ताव किया गया था

और नमूना विचरण

. (3.14)

आइए गणितीय अपेक्षा और विचरण के अनुमानों के कुछ गुणों पर विचार करें।

1. नमूना माध्य की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इसलिए, नमूना माध्य एक निष्पक्ष अनुमानक है।

2. याद रखें कि परिणाम अवलोकन स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, जिनमें से प्रत्येक का मूल्य के समान वितरण कानून है, जिसका अर्थ है कि , , . हम मान लेंगे कि विचरण परिमित है। फिर, बड़ी संख्या के नियम पर चेबीशेव प्रमेय के अनुसार, किसी भी ε > 0 के लिए हमारे पास समानता है ,

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: . (3.16) स्थिरता गुण (3.11) की परिभाषा के साथ (3.16) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि अनुमान अपेक्षा का एक सुसंगत अनुमान है।

3. नमूना माध्य का प्रसरण ज्ञात कीजिए:

. (3.17)

इस प्रकार, अपेक्षा अनुमान का विचरण नमूना आकार के विपरीत घटता जाता है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि यादृच्छिक चर ξ को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो नमूना माध्य अपेक्षित मूल्य का एक प्रभावी अनुमान है, अर्थात, अपेक्षित मूल्य के किसी भी अन्य अनुमान की तुलना में विचरण सबसे छोटा मान लेता है। ξ के अन्य वितरण कानूनों के लिए, यह मामला नहीं हो सकता है।

नमूना विचरण, विचरण का एक पक्षपाती अनुमान है . (3.18)

दरअसल, गणितीय अपेक्षा और सूत्र (3.17) के गुणों का उपयोग करके, हम पाते हैं

.

एक निष्पक्ष विचरण अनुमान प्राप्त करने के लिए, अनुमान (3.14) को सही किया जाना चाहिए, अर्थात, से गुणा किया जाना चाहिए। तब हमें निष्पक्ष नमूना विचरण मिलता है

. (3.19)

ध्यान दें कि सूत्र (3.14) और (3.19) केवल हर में भिन्न होते हैं, और बड़े मूल्यों के लिए नमूना और निष्पक्ष भिन्नताएं बहुत कम भिन्न होती हैं। हालाँकि, छोटे नमूना आकार के लिए, संबंध (3.19) का उपयोग किया जाना चाहिए।

किसी यादृच्छिक चर के मानक विचलन का अनुमान लगाने के लिए, तथाकथित "सही" मानक विचलन का उपयोग किया जाता है, जो निष्पक्ष विचरण के वर्गमूल के बराबर होता है:।

अंतराल अनुमान

आंकड़ों में, वितरण के अज्ञात मापदंडों का अनुमान लगाने के दो दृष्टिकोण हैं: बिंदु और अंतराल। बिंदु अनुमान के अनुसार, जिस पर पिछले अनुभाग में चर्चा की गई थी, केवल वह बिंदु दर्शाया गया है जिसके निकट अनुमानित पैरामीटर स्थित है। हालाँकि, यह जानना वांछनीय है कि यह पैरामीटर वास्तव में टिप्पणियों की विभिन्न श्रृंखलाओं में अनुमानों के संभावित कार्यान्वयन से कितनी दूर खड़ा हो सकता है।

इस प्रश्न का उत्तर - अनुमानित भी - मापदंडों का अनुमान लगाने का एक और तरीका देता है - अंतराल। इस अनुमान पद्धति के अनुसार, एक अंतराल पाया जाता है, जो एक के करीब संभावना के साथ, पैरामीटर के अज्ञात संख्यात्मक मान को कवर करता है।

अंतराल अनुमान की अवधारणा

बिंदु अनुमान एक यादृच्छिक चर है और नमूने के संभावित कार्यान्वयन के लिए केवल पैरामीटर के वास्तविक मान के बराबर मान लेता है। अंतर जितना कम होगा, अनुमान उतना ही सटीक होगा। इस प्रकार, जिसके लिए एक सकारात्मक संख्या , अनुमान की सटीकता को दर्शाता है और कहा जाता है अनुमान त्रुटि (या सीमांत त्रुटि)।

आत्मविश्वास की संभावना(या विश्वसनीयता)संभाव्यता कहलाती है β , जिसके साथ असमानता है , अर्थात।

. (3.20)

असमानता को प्रतिस्थापित करना इसके समतुल्य दोहरी असमानता , या , हम पाते हैं

मध्यान्तर संभाव्यता के साथ कवर करना β , , अज्ञात पैरामीटर , कहा जाता है विश्वास अंतराल (या अंतराल अनुमान),आत्मविश्वास के स्तर के अनुरूप β .

एक यादृच्छिक चर न केवल एक अनुमान है, बल्कि एक त्रुटि भी है: इसका मूल्य संभावना पर निर्भर करता है β और, एक नियम के रूप में, नमूने से। इसलिए, विश्वास अंतराल यादृच्छिक है और अभिव्यक्ति (3.21) को इस प्रकार पढ़ा जाना चाहिए: "अंतराल संभाव्यता के साथ पैरामीटर को कवर करेगा β ”, और इस तरह नहीं: “पैरामीटर एक संभावना के साथ अंतराल में गिर जाएगा β ”.

विश्वास अंतराल का अर्थ यह है कि बार-बार पुनरावृत्ति के साथ मामलों के सापेक्ष अनुपात में नमूना मात्रा बराबर होती है β , आत्मविश्वास स्तर के अनुरूप आत्मविश्वास अंतराल β , अनुमानित पैरामीटर का सही मान शामिल करता है। तो आत्मविश्वास का स्तर β की विशेषता विश्वसनीयताआत्मविश्वास का आकलन: जितना अधिक β , अधिक संभावना है कि विश्वास अंतराल के कार्यान्वयन में एक अज्ञात पैरामीटर शामिल है।