किसी दिए गए सदिश पर लंबवत सदिश कैसे खोजें। वैक्टर का डॉट उत्पाद

ओम. ऐसा करने के लिए, हम पहले एक खंड की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 1

हम खंड को रेखा का वह भाग कहेंगे जो दोनों ओर बिंदुओं से घिरा होता है।

परिभाषा 2

किसी खंड के सिरे वे बिंदु हैं जो इसे सीमित करते हैं।

एक वेक्टर की परिभाषा पेश करने के लिए, हम खंड के किसी एक सिरे को उसकी शुरुआत कहते हैं।

परिभाषा 3

हम एक वेक्टर (निर्देशित खंड) को एक खंड कहेंगे जिसमें यह दर्शाया गया है कि कौन सा सीमा बिंदु इसकी शुरुआत है और कौन सा इसका अंत है।

नोटेशन: \overline(AB) एक वेक्टर AB है जो बिंदु A से शुरू होता है और बिंदु B पर समाप्त होता है।

अन्यथा, एक छोटे अक्षर में: \overline(a) (चित्र 1)।

परिभाषा 4

हम समतल से संबंधित किसी भी बिंदु को शून्य वेक्टर कहेंगे।

प्रतीक: \overline(0) .

आइए अब सीधे संरेख सदिशों की परिभाषा का परिचय दें।

हम एक अदिश गुणनफल की परिभाषा भी प्रस्तुत करेंगे, जिसकी हमें बाद में आवश्यकता होगी।

परिभाषा 6

दो दिए गए सदिशों का अदिश गुणनफल एक अदिश (या संख्या) होता है जो इन सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के साथ इन दो सदिशों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

गणितीय रूप से यह इस तरह दिख सकता है:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

डॉट उत्पाद को निम्नानुसार वेक्टर निर्देशांक का उपयोग करके भी पाया जा सकता है

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

आनुपातिकता के माध्यम से लंबवतता का संकेत

प्रमेय 1

गैर-शून्य सदिशों के एक-दूसरे के लंबवत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर हो।

सबूत।

आवश्यकता: आइए हमें वैक्टर \overline(α) और \overline(β) दिए जाएं जिनके निर्देशांक क्रमशः (α_1,α_2,α_3) और (β_1,β_2,β_3) हैं, और वे एक दूसरे के लंबवत हैं। फिर हमें निम्नलिखित समानता सिद्ध करने की आवश्यकता है

चूँकि सदिश \overline(α) और \overline(β) लंबवत हैं, उनके बीच का कोण 90^0 है। आइए परिभाषा 6 के सूत्र का उपयोग करके इन सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें।

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

पर्याप्तता: समता सत्य हो \overline(α)\cdot \overline(β)=0. आइए हम सिद्ध करें कि सदिश \overline(α) और \overline(β) एक दूसरे के लंबवत होंगे।

परिभाषा 6 के अनुसार, समानता सत्य होगी

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

इसलिए, सदिश \overline(α) और \overline(β) एक दूसरे के लंबवत होंगे।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 1

साबित करें कि निर्देशांक (1,-5,2) और (2,1,3/2) वाले वेक्टर लंबवत हैं।

सबूत।

आइए ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके इन वैक्टरों के लिए अदिश उत्पाद खोजें

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

इसका मतलब है, प्रमेय 1 के अनुसार, ये सदिश लंबवत हैं।

क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके दो दिए गए वैक्टरों के लिए एक लंबवत वेक्टर ढूँढना

आइए सबसे पहले एक वेक्टर उत्पाद की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 7

दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश होगा जो दिए गए दोनों सदिशों के लंबवत होगा, और इसकी लंबाई इन सदिशों के बीच के कोण की ज्या के साथ इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होगी, और यह सदिश दो के साथ भी होगा शुरुआती लोगों का अभिविन्यास कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के समान है।

पद का नाम: \overline(α)х\overline(β) x.

वेक्टर उत्पाद खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

चूँकि दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद का सदिश इन दोनों सदिशों के लंबवत है, यह सदिश होगा। अर्थात्, दो सदिशों के लंबवत सदिश को खोजने के लिए, आपको बस उनका सदिश गुणनफल ढूंढ़ना होगा।

उदाहरण 2

निर्देशांक \overline(α)=(1,2,3) और \overline(β)=(-1,0,3) वाले सदिशों पर लंबवत एक सदिश खोजें

आइए इन सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात करें।

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) एक्स

सदिशों के लंबवत होने की शर्त

वेक्टर लंबवत होते हैं यदि और केवल तभी जब उनका डॉट उत्पाद शून्य हो।

दो सदिश a(xa;ya) और b(xb;yb) दिए गए हैं। यदि अभिव्यक्ति xaxb + yayb = 0 है तो ये सदिश लंबवत होंगे।

यदि उनका क्रॉस उत्पाद शून्य है तो वेक्टर समानांतर होते हैं

समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण. समतल पर एक सीधी रेखा पर बुनियादी समस्याएं।

समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, और स्थिरांक A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं होते हैं, अर्थात। A2 + B2  0. इस प्रथम-क्रम समीकरण को रेखा का सामान्य समीकरण कहा जाता है। स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं: - सी = 0, ए  0, बी  0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है - ए = 0, बी  0 , सी  0 ( द्वारा

सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा - बी = 0, ए  0, सी  0 (एक्स + सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा - बी = सी = 0, ए  0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है - ए = सी = 0, बी  0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है। किसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

यदि स्तर Ax+By+C=0 का कम से कम एक गुणांक A, B, C 0 के बराबर है, तो स्तर
बुलाया अधूरा. एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप से उसकी स्थिति का अंदाजा लगाया जा सकता है
समतलता OXU. संभावित मामले:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) इस समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि यह सीधा है
मूल से होकर गुजरता है
2 A=0 L: Ву+С=0 - सामान्य घूर्णन n=(0,B) यहां से OX अक्ष के लंबवत है
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सीधी रेखा OX अक्ष के समानांतर है
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - नाममात्र मान n=(A,0) यहां से OY अक्ष के लंबवत है
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सीधी रेखा ऑप-एम्प की धुरी के समानांतर है
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 ए (0, बी (0, सी (0 एल; - मूल बिंदु से नहीं गुजरता है और प्रतिच्छेद करता है
दोनों अक्ष.

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण और:

समतलों के बीच का कोण.

निर्धारकों की गणना

निर्धारकों की गणना उनके ज्ञात गुणों पर आधारित होती है, जो सभी आदेशों के निर्धारकों पर लागू होती है। ये गुण हैं:

1. यदि आप सारणिक की दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो सारणिक चिह्न बदल देगा।

2. यदि सारणिक के दो स्तंभों (या दो पंक्तियों) के संगत तत्व समान या आनुपातिक हैं, तो सारणिक शून्य के बराबर है।

3. यदि आप पंक्तियों और स्तंभों को उनके क्रम को बनाए रखते हुए स्वैप करते हैं, तो निर्धारक का मान नहीं बदलेगा।

4. यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उसे निर्धारक चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

5. यदि किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संबंधित तत्वों को एक पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों में जोड़ा जाता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो निर्धारक का मान नहीं बदलेगा।

मैट्रिक्स और उनके ऊपर की क्रियाएँ

आव्यूह- एक गणितीय वस्तु जो संख्याओं (या रिंग के तत्वों) की एक आयताकार तालिका के रूप में लिखी गई है और इसके और अन्य समान वस्तुओं के बीच बीजीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, आदि) की अनुमति देती है। आमतौर पर मैट्रिक्स को द्वि-आयामी (आयताकार) तालिकाओं द्वारा दर्शाया जाता है। कभी-कभी बहुआयामी मैट्रिक्स या गैर-आयताकार मैट्रिक्स पर विचार किया जाता है।

आमतौर पर, मैट्रिक्स को लैटिन वर्णमाला के एक बड़े अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और गोल कोष्ठक "(...)" (वर्ग कोष्ठक "[...]" या दोहरी सीधी रेखाओं "||…||" के साथ भी चिह्नित किया जाता है) के साथ हाइलाइट किया जाता है।

मैट्रिक्स (मैट्रिक्स तत्व) बनाने वाली संख्याओं को अक्सर मैट्रिक्स के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन लोअरकेस (उदाहरण के लिए, a11 मैट्रिक्स A का एक तत्व है)।

प्रत्येक मैट्रिक्स तत्व में 2 सबस्क्रिप्ट (aij) होते हैं - पहला "i" उस पंक्ति संख्या को दर्शाता है जिसमें तत्व स्थित है, और दूसरा "j" कॉलम संख्या को दर्शाता है। वे कहते हैं "आयामी मैट्रिक्स", जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स में एम पंक्तियाँ और एन कॉलम हैं। हमेशा एक ही मैट्रिक्स में

मैट्रिक्स पर संचालन

मान लीजिए aij मैट्रिक्स A के तत्व हैं, और bij मैट्रिक्स B के तत्व हैं।

रैखिक संचालन:

मैट्रिक्स A को किसी संख्या λ (प्रतीक: λA) से गुणा करने पर एक मैट्रिक्स B का निर्माण होता है, जिसके तत्व मैट्रिक्स A के प्रत्येक तत्व को इस संख्या से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं, अर्थात मैट्रिक्स B का प्रत्येक तत्व बराबर होता है

आव्यूह A + B का योग एक आव्यूह C को खोजने की प्रक्रिया है, जिसके सभी तत्व आव्यूह A और B के सभी संगत तत्वों के जोड़ीवार योग के बराबर होते हैं, अर्थात, आव्यूह C का प्रत्येक तत्व बराबर होता है

मैट्रिक्स ए - बी का घटाव जोड़ के समान ही परिभाषित किया गया है; यह एक मैट्रिक्स सी खोजने का ऑपरेशन है जिसके तत्व

जोड़ और घटाव की अनुमति केवल समान आकार के आव्यूहों के लिए है।

एक शून्य मैट्रिक्स Θ है जैसे कि इसे किसी अन्य मैट्रिक्स ए में जोड़ने से ए नहीं बदलता है, अर्थात

शून्य मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

अरेखीय संचालन:

मैट्रिक्स गुणन (पदनाम: एबी, कम अक्सर गुणन चिह्न के साथ) एक मैट्रिक्स सी की गणना करने का संचालन है, जिसके तत्व पहले कारक की संबंधित पंक्ति और दूसरे के कॉलम में तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होते हैं .cij = ∑ aikbkj k

पहले कारक में स्तंभों की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के समान होनी चाहिए। यदि मैट्रिक्स A का आयाम B - है, तो उनके उत्पाद का आयाम AB = C है। मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।

मैट्रिक्स मल्टीप्लीकेशन इज एसोसिएटिव। केवल वर्ग आव्यूहों को ही घात तक बढ़ाया जा सकता है।

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन (प्रतीक: एटी) एक ऑपरेशन है जिसमें मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण के सापेक्ष परिलक्षित होता है, अर्थात

यदि A एक आकार मैट्रिक्स है, तो AT एक आकार मैट्रिक्स है

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

जटिल फ़ंक्शन का रूप है: F(x) = f(g(x)), यानी। एक फ़ंक्शन का एक फ़ंक्शन है. उदाहरण के लिए, y = syn2x, y = ln(x2+2x), आदि।

यदि बिंदु x पर फ़ंक्शन g(x) का व्युत्पन्न g"(x) है, और बिंदु u = g(x) पर फ़ंक्शन f(u) का व्युत्पन्न f"(u) है, तो का व्युत्पन्न बिंदु x पर जटिल फलन f(g(x)) मौजूद है और f"(u)g"(x) के बराबर है।

निहित कार्य व्युत्पन्न

कई समस्याओं में, फ़ंक्शन y(x) को अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए कार्यों के लिए

निर्भरता y(x) को स्पष्ट रूप से प्राप्त करना असंभव है।

एक अंतर्निहित फ़ंक्शन से व्युत्पन्न y"(x) की गणना के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है:

आपको पहले x के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को अलग करने की आवश्यकता है, यह मानते हुए कि y x का एक भिन्न कार्य है और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम का उपयोग करना होगा;

व्युत्पन्न y"(x) के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

आइए स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण देखें।

समीकरण द्वारा दिए गए फ़ंक्शन y(x) को अलग करें।

चर x के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को अलग करें:

परिणाम की ओर क्या जाता है

लापिटल का नियम

एल हॉस्पिटल का नियम. मान लीजिए कि पर्यावरण में f-tion f(x) और g(x) हैं। t-ki x0 pr-nye f' और g' इसी t-ku x0 की संभावना को छोड़कर। मान लीजिए lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 ताकि x®x0 के लिए f(x)/g(x) 0/0 दे। lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) जब यह फ़ंक्शन के अनुपात की सीमा के साथ मेल खाता है lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(अंतराल पर व्युत्पन्न वाले फ़ंक्शन की एकरसता के लिए मानदंड) फ़ंक्शन को मान लें निरंतर चालू

(a,b), और प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न f"(x) है। फिर

1)f (a,b) से बढ़ता है यदि और केवल यदि

2) (ए,बी) पर घटता है यदि और केवल यदि

2. (अंतराल पर व्युत्पन्न वाले फ़ंक्शन की सख्त एकरसता के लिए पर्याप्त स्थिति) फ़ंक्शन को मान लें (a,b) पर निरंतर है, और प्रत्येक बिंदु पर एक व्युत्पन्न f"(x) है। फिर

1) यदि तब f सख्ती से (a,b) पर बढ़ रहा है;

2) यदि तब (a,b) पर f सख्ती से घट रहा है।

इसका विपरीत आम तौर पर सत्य नहीं है। एक कड़ाई से मोनोटोनिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो सकता है। हालाँकि, उन बिंदुओं का समूह जहां व्युत्पन्न शून्य नहीं है, अंतराल (ए, बी) पर सघन होना चाहिए। अधिक सटीक रूप से, ऐसा होता है।

3. (अंतराल पर व्युत्पन्न वाले फ़ंक्शन की सख्त एकरसता के लिए मानदंड) चलो और व्युत्पन्न f"(x) को अंतराल पर हर जगह परिभाषित किया गया है। फिर अंतराल (a,b) पर f सख्ती से बढ़ता है यदि और केवल यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

वैक्टर का डॉट उत्पाद। सदिशों के बीच का कोण. सदिशों की समांतरता या लंबता की स्थिति।

सदिशों का अदिश गुणनफल उनकी लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल होता है:

निम्नलिखित कथन ठीक उसी तरह सिद्ध होते हैं जैसे प्लैनिमेट्री में:

दो अशून्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि सदिश लंबवत हों।

किसी सदिश का अदिश वर्ग, अर्थात उसका और स्वयं का अदिश गुणनफल, उसकी लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।

दो सदिशों और उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए अदिश गुणनफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

वेक्टर लंबवत होते हैं यदि और केवल तभी जब उनका डॉट उत्पाद शून्य हो। उदाहरण। दो वैक्टर दिए गए हैं और। यदि अभिव्यक्ति x1x2 + y1y2 = 0 है तो ये वेक्टर लंबवत होंगे। गैर-शून्य वैक्टर के बीच का कोण सीधी रेखाओं के बीच का कोण है जिसके लिए ये वेक्टर मार्गदर्शक हैं। परिभाषा के अनुसार किसी भी सदिश और शून्य सदिश के बीच का कोण शून्य के बराबर माना जाता है। यदि सदिशों के बीच का कोण 90° है, तो ऐसे सदिशों को लंबवत कहा जाता है। हम सदिशों के बीच के कोण को इस प्रकार निरूपित करेंगे:

अनुदेश

यदि मूल वेक्टर को एक आयताकार द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में ड्राइंग में दर्शाया गया है और वहां एक लंबवत का निर्माण करने की आवश्यकता है, तो एक विमान पर वैक्टर की लंबवतता की परिभाषा से आगे बढ़ें। इसमें कहा गया है कि निर्देशित खंडों की ऐसी जोड़ी के बीच का कोण 90° के बराबर होना चाहिए। ऐसे सदिशों की अनंत संख्या का निर्माण किया जा सकता है। इसलिए, विमान पर किसी भी सुविधाजनक स्थान पर मूल वेक्टर पर एक लंब बनाएं, उस पर दिए गए क्रमित बिंदुओं के जोड़े की लंबाई के बराबर एक खंड रखें और इसके एक छोर को लंब वेक्टर की शुरुआत के रूप में निर्दिष्ट करें। एक चांदे और रूलर का उपयोग करके ऐसा करें।

यदि मूल वेक्टर द्वि-आयामी निर्देशांक ā = (X₁;Y₁) द्वारा दिया गया है, तो मान लें कि लंबवत वैक्टर की एक जोड़ी का अदिश उत्पाद शून्य के बराबर होना चाहिए। इसका मतलब है कि आपको वांछित वेक्टर ō = (X₂,Y₂) के लिए ऐसे निर्देशांक का चयन करने की आवश्यकता है कि समानता (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 बनी रहे। यह इस तरह किया जा सकता है: कोई भी चुनें X₂ निर्देशांक के लिए गैर-शून्य मान, और सूत्र Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ का उपयोग करके Y₂ समन्वय की गणना करें। उदाहरण के लिए, वेक्टर ā = (15;5) के लिए एक वेक्टर ō होगा, जिसका भुज एक के बराबर है और कोटि -(15*1)/5 = -3 के बराबर है, यानी। ō = (1;-3).

त्रि-आयामी और किसी भी अन्य ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली के लिए, वैक्टर की लंबवतता के लिए वही आवश्यक और पर्याप्त शर्त सत्य है - उनका अदिश उत्पाद शून्य के बराबर होना चाहिए। इसलिए, यदि प्रारंभिक निर्देशित खंड निर्देशांक ā = (X₁,Y₁,Z₁) द्वारा दिया गया है, तो इसके लंबवत बिंदु ō = (X₂,Y₂,Z₂) की क्रमित जोड़ी के लिए ऐसे निर्देशांक का चयन करें जो शर्त (ā,ō) को संतुष्ट करते हों ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. सबसे आसान तरीका है X₂ और Y₂ को एकल मान निर्दिष्ट करना, और सरलीकृत समानता Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. उदाहरण के लिए, वेक्टर ā = (3,5,4) के लिए यह निम्नलिखित रूप लेगा: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. फिर भुज और कोटि लें लंबवत वेक्टर एक के रूप में, और इस मामले में यह -(3+5)/4 = -2 के बराबर होगा।

स्रोत:

• यदि वेक्टर लंबवत है तो उसे खोजें

उन्हें लंबवत कहा जाता है वेक्टर, जिसके बीच का कोण 90º है। ड्राइंग टूल्स का उपयोग करके लंबवत वेक्टर का निर्माण किया जाता है। यदि उनके निर्देशांक ज्ञात हैं, तो विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग करके वैक्टर की लंबवतता की जांच की जा सकती है या पाई जा सकती है।

आपको चाहिये होगा

• - चांदा;
• - दिशा सूचक यंत्र;
• - शासक।

अनुदेश

इसे वेक्टर के शुरुआती बिंदु पर सेट करें। एक मनमानी त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं। फिर उन बिंदुओं पर दो केंद्र बनाएं जहां पहला वृत्त उस रेखा को काटता है जिस पर वेक्टर स्थित है। इन वृत्तों की त्रिज्याएँ एक दूसरे के बराबर होनी चाहिए और पहले निर्मित वृत्त से अधिक होनी चाहिए। वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, एक सीधी रेखा बनाएं जो इसकी शुरुआत के बिंदु पर मूल वेक्टर के लंबवत होगी, और उस पर दिए गए वेक्टर के लंबवत एक वेक्टर को अलग रखें।

उस पर लंबवत एक वेक्टर खोजें जिसके निर्देशांक और (x;y) के बराबर हों। ऐसा करने के लिए, संख्याओं (x1;y1) की एक जोड़ी ढूंढें जो समानता x x1+y y1=0 को संतुष्ट करेगी। इस मामले में, निर्देशांक (x1;y1) वाला वेक्टर निर्देशांक (x;y) वाले वेक्टर के लंबवत होगा।

यह आलेख त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान पर दो वैक्टरों की लंबवतता का अर्थ बताता है और एक या वैक्टर की पूरी जोड़ी के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक ढूंढता है। यह विषय रेखाओं और तलों के समीकरणों से जुड़ी समस्याओं पर लागू होता है।

हम दो सदिशों के लंबवत होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त पर विचार करेंगे, किसी दिए गए सदिश के लंबवत सदिश को खोजने की विधि पर निर्णय लेंगे, और दो सदिशों के लंबवत सदिश को खोजने की स्थितियों पर विचार करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

दो सदिशों की लंबवतता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त

आइए समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में लंबवत वैक्टर के बारे में नियम लागू करें।

परिभाषा 1

बशर्ते कि दो गैर-शून्य सदिशों के बीच का कोण 90° (π 2 रेडियन) के बराबर हो, कहलाता है सीधा.

इसका क्या मतलब है, और किन स्थितियों में उनकी लंबवतता के बारे में जानना आवश्यक है?

रेखाचित्र के माध्यम से लंबता स्थापित करना संभव है। दिए गए बिंदुओं से एक समतल पर एक वेक्टर बनाते समय, आप ज्यामितीय रूप से उनके बीच के कोण को माप सकते हैं। यदि सदिशों की लंबवतता स्थापित भी कर दी जाए, तो भी यह पूरी तरह सटीक नहीं होगी। अक्सर, ये कार्य आपको प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके ऐसा करने की अनुमति नहीं देते हैं, इसलिए यह विधि केवल तभी लागू होती है जब वैक्टर के बारे में और कुछ भी ज्ञात न हो।

किसी समतल या अंतरिक्ष में दो गैर-शून्य सदिशों की लंबवतता सिद्ध करने के अधिकांश मामले इसका उपयोग करके किए जाते हैं दो सदिशों की लंबवतता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त.

प्रमेय 1

समानता a → , b → = 0 को संतुष्ट करने के लिए शून्य के बराबर दो गैर-शून्य वैक्टर a → और b → का अदिश उत्पाद उनकी लंबवतता के लिए पर्याप्त है।

प्रमाण 1

मान लीजिए कि दिए गए सदिश a → और b → लंबवत हैं, तो हम समानता a ⇀ , b → = 0 सिद्ध करेंगे।

की परिभाषा से वैक्टर का डॉट उत्पादहम जानते हैं कि यह बराबर है दिए गए सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या का गुणनफल। शर्त के अनुसार, a → और b → लंबवत हैं, जिसका अर्थ है, परिभाषा के आधार पर, उनके बीच का कोण 90° है। तब हमारे पास a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90° = 0 है।

प्रमाण का दूसरा भाग

बशर्ते कि a ⇀, b → = 0, a → और b → की लंबवतता सिद्ध करें।

वास्तव में, प्रमाण पिछले वाले के विपरीत है। यह ज्ञात है कि a → और b → गैर-शून्य हैं, जिसका अर्थ है कि समानता a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ से हम कोज्या पाते हैं। तब हमें cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 मिलता है। चूँकि कोज्या शून्य है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सदिश a → और b → का कोण a →, b → ^ 90° के बराबर है। परिभाषा के अनुसार, यह एक आवश्यक और पर्याप्त संपत्ति है।

निर्देशांक तल पर लंबवत स्थिति

अध्याय निर्देशांक में डॉट उत्पादअसमानता को प्रदर्शित करता है (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , निर्देशांक a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) वाले सदिशों के लिए मान्य, समतल पर और (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y सदिशों के लिए a → = (a x , a y , a z) और b → = (b x , b y , b z) अंतरिक्ष में। निर्देशांक तल में दो सदिशों की लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त a x · b x + a y · b y = 0 है, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 है।

आइए इसे अभ्यास में डालें और उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दो सदिशों के लंबवतता के गुण की जाँच करें a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4)।

समाधान

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको अदिश गुणनफल ढूँढ़ना होगा। यदि स्थिति के अनुसार यह शून्य के बराबर है, तो वे लंबवत हैं।

(ए → , बी →) = ए एक्स · बी एक्स + ए वाई · बी वाई = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0। शर्त पूरी हो गई है, जिसका अर्थ है कि दिए गए वेक्टर विमान के लंबवत हैं।

उत्तर:हाँ, दिए गए सदिश a → और b → लंबवत हैं।

उदाहरण 2

दिए गए निर्देशांक सदिश i → , j → , k → . जांचें कि क्या सदिश i → - j → और i → + 2 j → + 2 k → लंबवत हो सकते हैं।

समाधान

यह याद रखने के लिए कि वेक्टर निर्देशांक कैसे निर्धारित किए जाते हैं, आपको इसके बारे में लेख पढ़ने की आवश्यकता है आयताकार निर्देशांक में वेक्टर निर्देशांक।इस प्रकार, हम पाते हैं कि दिए गए वैक्टर i → - j → और i → + 2 · j → + 2 · k → के संगत निर्देशांक (1, - 1, 0) और (1, 2, 2) हैं। हम संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

व्यंजक शून्य के बराबर नहीं है, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, जिसका अर्थ है कि सदिश i → - j → और i → + 2 j → + 2 k → शर्त पूरी नहीं होने के कारण लंबवत नहीं हैं।

उत्तर:नहीं, सदिश i → - j → और i → + 2 j → + 2 k → लंबवत नहीं हैं।

उदाहरण 3

दिए गए सदिश a → = (1 , 0 , - 2) और b → = (λ , 5 , 1) . वह मान ज्ञात कीजिए λ जिसके लिए दिए गए सदिश लंबवत हैं।

समाधान

हम अंतरिक्ष में दो सदिशों की लंबवतता की स्थिति का वर्गाकार रूप में उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

उत्तर:सदिश मान λ = 2 पर लंबवत हैं।

ऐसे मामले हैं जब आवश्यक और पर्याप्त स्थिति के तहत भी लंबवतता का प्रश्न असंभव है। किसी त्रिभुज की तीन भुजाओं पर दो सदिशों पर ज्ञात डेटा को देखते हुए, इसे खोजना संभव है सदिशों के बीच का कोणऔर इसकी जांच करें.

उदाहरण 4

एक त्रिभुज A B C दिया गया है जिसकी भुजाएँ A B = 8, A C = 6, B C = 10 सेमी हैं। लंबवतता के लिए सदिश A B → और A C → की जाँच करें।

समाधान

यदि सदिश A B → और A C → लंबवत हैं, तो त्रिभुज A B C को आयताकार माना जाता है। फिर हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, जहां B C त्रिभुज का कर्ण है। समानता B C 2 = A B 2 + A C 2 सत्य होनी चाहिए। यह इस प्रकार है कि 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100। इसका मतलब है कि A B और A C त्रिभुज A B C के पैर हैं, इसलिए, A B → और A C → लंबवत हैं।

यह सीखना महत्वपूर्ण है कि किसी दिए गए सदिश के लंबवत सदिश के निर्देशांक कैसे ज्ञात किए जाएं। यह समतल और अंतरिक्ष दोनों पर संभव है, बशर्ते कि सदिश लंबवत हों।

किसी समतल में किसी दिए गए सदिश के लंबवत सदिश का पता लगाना।

एक गैर-शून्य सदिश a → के समतल पर अनंत संख्या में लंबवत सदिश हो सकते हैं। आइए इसे एक समन्वय रेखा पर चित्रित करें।

एक गैर-शून्य वेक्टर a → सीधी रेखा a पर स्थित दिया गया है। फिर दिया गया b →, रेखा a के लंबवत किसी भी रेखा पर स्थित, a → पर लंबवत हो जाता है। यदि सदिश i → सदिश j → या किसी सदिश λ · j → के लंबवत है, जिसमें λ शून्य के अलावा किसी वास्तविक संख्या के बराबर है, तो सदिश b → के लंबवत a → = (a x , a y) के निर्देशांक ज्ञात करना ) समाधानों के अनंत सेट में सिमट गया है। लेकिन a → = (a x , a y) के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, सदिशों की लंबवतता की स्थिति को निम्नलिखित रूप में लिखना आवश्यक है: a x · b x + a y · b y = 0. हमारे पास b x और b y हैं, जो लंबवत वेक्टर के वांछित निर्देशांक हैं। जब a x ≠ 0, b y का मान गैर-शून्य होता है, और b x की गणना असमानता a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x से की जा सकती है। a x = 0 और a y ≠ 0 के लिए, हम b x को शून्य के अलावा कोई भी मान निर्दिष्ट करते हैं, और अभिव्यक्ति b y = - a x · b x a y से b y पाते हैं।

उदाहरण 5

निर्देशांक a → = (- 2 , 2) वाला एक वेक्टर दिया गया है। दिए गए सदिश पर लंबवत एक सदिश खोजें।

समाधान

वांछित वेक्टर को b → (b x , b y) के रूप में निरूपित करें। आप इसके निर्देशांक इस शर्त से पा सकते हैं कि सदिश a → और b → लंबवत हैं। तब हमें मिलता है: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0। b y = 1 निर्दिष्ट करें और प्रतिस्थापित करें: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0। अतः सूत्र से हमें b x = - 2 - 2 = 1 2 प्राप्त होता है। इसलिए, सदिश b → = (1 2 , 1) a → पर लंबवत एक सदिश है।

उत्तर:बी → = (1 2 , 1) .

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष के बारे में प्रश्न उठाया जाता है, तो समस्या को उसी सिद्धांत के अनुसार हल किया जाता है। किसी दिए गए सदिश a → = (a x , a y , a z) के लिए लंबवत सदिशों की अनंत संख्या होती है। इसे त्रि-आयामी समन्वय तल पर ठीक करेंगे। दिया गया है a → रेखा a पर स्थित है। सीधी रेखा के लंबवत तल को α द्वारा निरूपित किया जाता है। इस मामले में, समतल α से कोई भी गैर-शून्य वेक्टर b → a → पर लंबवत है।

गैर-शून्य वेक्टर a → = (a x , a y , a z) के लंबवत b → के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

मान लीजिए b → निर्देशांक b x , b y और b z के साथ दिया गया है। उन्हें खोजने के लिए, दो वैक्टरों की लंबवतता की स्थिति की परिभाषा को लागू करना आवश्यक है। समानता a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 संतुष्ट होनी चाहिए। शर्त से → गैर-शून्य है, जिसका अर्थ है कि निर्देशांकों में से एक का मान शून्य के बराबर नहीं है। आइए मान लें कि a x ≠ 0, (a y ≠ 0 या a z ≠ 0)। इसलिए, हमें संपूर्ण असमानता a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 को इस निर्देशांक से विभाजित करने का अधिकार है, हमें अभिव्यक्ति b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y प्राप्त होता है + a z · b z a x . हम निर्देशांक b y और b x को कोई भी मान निर्दिष्ट करते हैं, b x के मान की गणना सूत्र, b x = - a y · b y + a z · b z a x के आधार पर करते हैं। वांछित लंब वेक्टर का मान a → = (a x, a y, a z) होगा।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके प्रमाण देखें।

उदाहरण 6

निर्देशांक a → = (1, 2, 3)  वाला एक वेक्टर दिया गया है। दिए गए सदिश पर लंबवत एक सदिश खोजें।

समाधान

आइए वांछित वेक्टर को b → = (b x , b y , b z) द्वारा निरूपित करें। इस शर्त के आधार पर कि सदिश लंबवत हैं, अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होना चाहिए।

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

यदि b y = 1, b z = 1 का मान है, तो b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. यह इस प्रकार है कि वेक्टर के निर्देशांक b → (- 5 , 1 , 1) . सदिश b → दिए गए सदिशों के लंबवत सदिशों में से एक है।

उत्तर:बी → = (- 5 , 1 , 1) .

दो दिए गए सदिशों के लंबवत सदिश के निर्देशांक ज्ञात करना

हमें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है। यह असंरेख सदिश a → (a x , a y , a z) और b → = (b x , b y , b z) के लंबवत है। बशर्ते कि सदिश a → और b → संरेख हों, यह समस्या में a → या b → पर लंबवत एक सदिश खोजने के लिए पर्याप्त होगा।

हल करते समय, सदिशों के सदिश गुणनफल की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

सदिशों का सदिश गुणनफल a → और b → एक सदिश है जो a → और b → दोनों पर एक साथ लंबवत है। इस समस्या को हल करने के लिए, वेक्टर उत्पाद a → × b → का उपयोग किया जाता है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए इसका रूप a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z है

आइए एक उदाहरण समस्या का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद को अधिक विस्तार से देखें।

उदाहरण 7

सदिश b → = (0, 2, 3) और a → = (2, 1, 0) दिए गए हैं। डेटा के लंबवत किसी भी वेक्टर के निर्देशांक एक साथ ज्ञात करें।

समाधान

हल करने के लिए, आपको सदिशों का सदिश गुणनफल खोजना होगा। (कृपया पैराग्राफ देखें मैट्रिक्स के निर्धारक की गणनावेक्टर खोजने के लिए)। हम पाते हैं:

ए → × बी → = आई → जे → के → 2 1 0 0 2 3 = आई → 1 3 + जे → 0 0 + के → 2 2 - के → 1 0 - जे → 2 3 - आई → 0 2 = 3 मैं → + (- 6) जे → + 4 के →

उत्तर: (3 , - 6 , 4) - एक वेक्टर के निर्देशांक जो दिए गए a → और b → पर एक साथ लंबवत हैं।

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