इरीना 25 उचित और अनुचित भिन्न। उचित और अनुचित भिन्न

इन्हें सही और गलत में बांटा गया है.

उचित भिन्न

उचित अंशयह एक साधारण भिन्न है जिसमें अंश हर से कम होता है।

यह पता लगाने के लिए कि कोई भिन्न उचित है या नहीं, आपको उसके पदों की एक दूसरे से तुलना करने की आवश्यकता है। भिन्न शब्दों की तुलना प्राकृतिक संख्याओं की तुलना के नियम के अनुसार की जाती है।

उदाहरण।भिन्न पर विचार करें:

7

8

उदाहरण:

8	= 1	1
7		7

अनुवाद नियम और अतिरिक्त उदाहरण अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना विषय में पाए जा सकते हैं। आप किसी अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर का भी उपयोग कर सकते हैं।

उचित एवं अनुचित भिन्नों की तुलना करना

कोई भी अनुचित साधारण भिन्न, उचित भिन्न से बड़ा होता है, क्योंकि उचित भिन्न हमेशा एक से कम होता है, और अनुचित भिन्न एक से बड़ा या उसके बराबर होता है।

उदाहरण:

3	>	99
2		100

तुलना नियम और अतिरिक्त उदाहरण साधारण भिन्नों की तुलना विषय में पाए जा सकते हैं। इसके अलावा, भिन्नों की तुलना करने या तुलनाओं की जांच करने के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं

सामान्य भिन्नों को \textit (उचित) और \textit (अनुचित) भिन्नों में विभाजित किया गया है। यह विभाजन अंश और हर की तुलना पर आधारित है।

उचित भिन्न

उचित अंशएक साधारण भिन्न $\frac(m)(n)$ कहलाता है, जिसमें अंश हर से कम होता है, अर्थात। $म

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ सही हैं , तो कैसे उनमें से प्रत्येक में अंश हर से कम है, जो एक उचित भिन्न की परिभाषा को पूरा करता है।

उचित भिन्न की एक परिभाषा है, जो भिन्न की एक से तुलना करने पर आधारित है।

सही, यदि यह एक से कम है:

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न $\frac(6)(13)$ उचित है क्योंकि शर्त $\frac(6)(13) संतुष्ट है

अनुचित भिन्न

अनुचित अंशएक साधारण भिन्न $\frac(m)(n)$ कहलाता है, जिसमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, अर्थात। $म\ge n$.

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ अनियमित हैं , तो कैसे उनमें से प्रत्येक में अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है, जो एक अनुचित भिन्न की परिभाषा को पूरा करता है।

आइए हम एक अनुचित भिन्न की परिभाषा दें, जो एक के साथ इसकी तुलना पर आधारित है।

सामान्य भिन्न $\frac(m)(n)$ है गलत, यदि यह एक के बराबर या उससे अधिक है:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

उदाहरण 4

उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न $\frac(21)(4)$ अनुचित है क्योंकि शर्त $\frac(21)(4) >1$ संतुष्ट है;

सामान्य भिन्न $\frac(8)(8)$ अनुचित है क्योंकि शर्त $\frac(8)(8)=1$ संतुष्ट है।

आइए अनुचित भिन्न की अवधारणा पर करीब से नज़र डालें।

आइए एक उदाहरण के रूप में अनुचित अंश $\frac(7)(7)$ लें। इस अंश का अर्थ किसी वस्तु के सात अंश लेना है, जो सात बराबर अंशों में विभाजित होता है। इस प्रकार, उपलब्ध सात अंशों से संपूर्ण वस्तु की रचना की जा सकती है। वे। अनुचित अंश $\frac(7)(7)$ संपूर्ण वस्तु का वर्णन करता है और $\frac(7)(7)=1$। तो, अनुचित भिन्न, जिसमें अंश हर के बराबर होता है, एक संपूर्ण वस्तु का वर्णन करता है और ऐसे भिन्न को प्राकृतिक संख्या $1$ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

$\frac(5)(2)$ -- यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन पाँच दूसरे भागों से आप $2$ पूर्ण वस्तुएँ बना सकते हैं (एक पूरी वस्तु $2$ भागों से बनी होगी, और दो पूर्ण वस्तुएँ बनाने के लिए आपको $2+2=4$ शेयर चाहिए) और एक सेकंड शेयर बाकी है। अर्थात्, अनुचित अंश $\frac(5)(2)$ किसी वस्तु के $2$ और $\frac(1)(2)$ इस वस्तु के हिस्से का वर्णन करता है।

$\frac(21)(7)$ -- इक्कीसवें हिस्से से आप $3$ संपूर्ण ऑब्जेक्ट ($3$ ऑब्जेक्ट प्रत्येक में $7$ शेयरों के साथ) बना सकते हैं। वे। अंश $\frac(21)(7)$ $3$ संपूर्ण वस्तुओं का वर्णन करता है।

विचार किए गए उदाहरणों से, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक अनुचित भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से बदला जा सकता है यदि अंश हर से विभाज्य है (उदाहरण के लिए, $\frac(7)(7)=1$ और $\frac (21)(7)=3$) , या एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित भिन्न का योग, यदि अंश हर से पूरी तरह विभाज्य नहीं है (उदाहरण के लिए, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). इसीलिए ऐसे भिन्न कहलाते हैं गलत.

परिभाषा 1

एक अनुचित भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित भिन्न के योग के रूप में प्रस्तुत करने की प्रक्रिया (उदाहरण के लिए, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) कहलाती है एक अनुचित भिन्न से पूरे भाग को अलग करना.

अनुचित भिन्नों के साथ काम करते समय, उनके और मिश्रित संख्याओं के बीच घनिष्ठ संबंध होता है।

एक अनुचित भिन्न को अक्सर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है - एक संख्या जिसमें एक पूर्ण संख्या और एक भिन्न भाग होता है।

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में लिखने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करके शेषफल प्राप्त करना होगा। भागफल मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग होगा, शेष भाग भिन्नात्मक भाग का अंश होगा, और भाजक भिन्नात्मक भाग का हर होगा।

उदाहरण 5

अनुचित भिन्न $\frac(37)(12)$ को मिश्रित संख्या के रूप में लिखें।

समाधान।

शेषफल के साथ अंश को हर से विभाजित करें:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (शेष\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

उत्तर।$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखने के लिए, आपको हर को संख्या के पूरे भाग से गुणा करना होगा, भिन्नात्मक भाग के अंश को परिणामी उत्पाद में जोड़ना होगा, और परिणामी राशि को भिन्न के अंश में लिखना होगा। अनुचित भिन्न का हर मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर के बराबर होगा।

उदाहरण 6

मिश्रित संख्या $5\frac(3)(7)$ को अनुचित भिन्न के रूप में लिखें।

समाधान।

उत्तर।$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

मिश्रित संख्याओं और उचित भिन्नों को जोड़ना

मिश्रित संख्या जोड़$a\frac(b)(c)$ और उचित अंश$\frac(d)(e)$ किसी दिए गए अंश में किसी दिए गए मिश्रित संख्या के आंशिक भाग को जोड़कर किया जाता है:

उदाहरण 7

उचित भिन्न $\frac(4)(15)$ और मिश्रित संख्या $3\frac(2)(5)$ जोड़ें।

समाधान।

आइए मिश्रित संख्या और उचित भिन्न को जोड़ने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ बाएँ(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

संख्या \textit(5) से विभाजित करके हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि अंश $\frac(10)(15)$ कम करने योग्य है। आइए कमी करें और जोड़ का परिणाम खोजें:

तो, उचित भिन्न $\frac(4)(15)$ और मिश्रित संख्या $3\frac(2)(5)$ को जोड़ने का परिणाम $3\frac(2)(3)$ है।

उत्तर:$3\frac(2)(3)$

मिश्रित संख्याओं और अनुचित भिन्नों को जोड़ना

अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को जोड़नायह दो मिश्रित संख्याओं के योग को कम करता है, जिसके लिए यह अनुचित भिन्न से पूरे भाग को अलग करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण 8

मिश्रित संख्या $6\frac(2)(15)$ और अनुचित भिन्न $\frac(13)(5)$ के योग की गणना करें।

समाधान।

सबसे पहले, आइए अनुचित भिन्न $\frac(13)(5)$ से पूरा भाग निकालें:

उत्तर:$8\frac(11)(15)$.

पाई को 8 बराबर भागों में काटा गया (चित्र 122, ए) और 3 भागों को एक प्लेट पर रखा गया।

उस पर एक पाई थी (चित्र 122, बी)। अगर आप सभी 8 हिस्से डाल देंगे तो प्लेट पर एक पाई होगी, यानी पूरी पाई (चित्र 122, सी)।

चावल। 122

तो = 1.

आइए एक और समान पाई लें और इसे 8 बराबर भागों में काटें (चित्र 123, ए)। यदि आप, उदाहरण के लिए, एक प्लेट पर 11 टुकड़े रखते हैं, तो एक पाई होगी (चित्र 123, बी)।

चावल। 123

भिन्न में अंश, हर से छोटा होता है। ऐसे भिन्न भिन्न कहलाते हैं। भिन्न में अंश, हर के बराबर होता है और भिन्न में अंश, हर से बड़ा होता है। ऐसे भिन्न भिन्न कहलाते हैं।

चावल। 124

उदाहरण के लिए,< 1, = 1, > 1.

स्व-परीक्षण प्रश्न

• किस भिन्न को उचित कहा जाता है?
• किस भिन्न को अनुचित भिन्न कहा जाता है?
• क्या कोई उचित भिन्न 1 से बड़ा हो सकता है?
• क्या अनुचित भिन्न हमेशा 1 से बड़ा होता है?
• यदि एक नियमित है और दूसरा अनुचित है तो कौन सा भिन्न बड़ा होगा?

व्यायाम करें

974. खंड AB की लंबाई 8 सेमी है। एक खंड बनाएं जिसकी लंबाई बराबर हो:

975. निर्देशांक के साथ किरण पर बिंदु अंकित करें:

12 नोटबुक सेल की लंबाई को एक एकल खंड के रूप में लें।

976. लिखना:

• क) 6 के हर के साथ सभी उचित भिन्न;
• बी) अंश 5 के साथ सभी अनुचित भिन्न।

977. भिन्न किन मानों पर होता है:

978. एक मशीन 6 मिनट में 1 मीटर लंबी खाई खोद सकती है। एक मशीन 1 मिनट में कितनी लंबी खाई खोद सकती है; 5 मिनट; 7 मिनट; 11 मिनट?

979. एक किलोग्राम पेंट 5 वर्ग मीटर सतह को कवर कर सकता है। 3 एम2 को पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता होगी; 6 एम2; 13 एम2 सतह?

980. निर्माण टीम ने 48 दिनों में फार्म का निर्माण किया। योजना के अनुसार इस समय की आवश्यकता थी। योजना के अनुसार फार्म बनाने के लिए कितने दिन आवंटित किये गये थे?

981. टर्नर ने दैनिक कोटा पूरा करते हुए, 3 घंटे में एक खराद पर 135 भागों को मोड़ दिया। मानक के अनुसार उसे एक कार्य दिवस (8 घंटे) में कितने हिस्से घूमने चाहिए थे? यदि वह समान उत्पादकता पर काम करता है तो वह एक कार्य दिवस में कितने हिस्से का काम पूरा करेगा?

982. टर्नर ने दैनिक कोटा पूरा करते हुए, एक खराद पर 135 भागों को घुमाया। उसकी दैनिक आवश्यकता क्या है?

983. युवा संगीतकारों का संगीत कार्यक्रम इस बार नियोजित 3 घंटे के बजाय 3 घंटे तक चला, क्योंकि दर्शकों ने अपने कुछ पसंदीदा प्रदर्शन दोहराने के लिए कहा। संगीत कार्यक्रम कितने समय तक चला? दोहराना कितने मिनट तक चला?

984. मौखिक रूप से गणना करें:

985. एक घंटे में कितने मिनट? 1 मिनट एक घंटे का कौन सा भाग है? 7 मिनट; 15 मिनटों?

986. एक क्विंटल एक किलोग्राम से कितनी बार बड़ा होता है? सौ वज़न का कौन सा भाग एक किलोग्राम है? एक किलोग्राम से कितने सौ वजन अधिक होते हैं?

987. कितने मिनट

988. संख्या 40 और संख्या 60 जोड़ें। संख्या 72 में से संख्या 81 घटाएँ।

989. संख्या का आधा भाग 18 है। यह संख्या ज्ञात कीजिए। संख्या का एक तिहाई 27 है। यह संख्या ज्ञात कीजिए। किसी संख्या का तीन चौथाई भाग 60 है। यह संख्या ज्ञात कीजिए।

990. चतुर्भुज ABCD (चित्र 125) का कौन सा भाग छायांकित है? कौन सा भाग बिना रंगा हुआ रह गया था?

चावल। 125

991. ग्राम में व्यक्त करें:

• ए) 3 किलो 400 ग्राम;
• बी) 2 किलो 30 ग्राम;
• ग) 15 किग्रा.

992. भिन्नों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

समान भिन्नों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

993. चार भिन्नों के नाम बताइए जो इससे छोटी हैं

994. ऐसे 5 भिन्नों के नाम बताइए जो से बड़े हैं।

995. 4 सेमी भुजा वाला एक वर्ग बनाएं। चित्र में दिखाएं: वर्ग, वर्ग। वर्ग के इन भागों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और परिणाम स्पष्ट कीजिए।

996. पहले दिन, टीम ने 5 टन 400 किलोग्राम आलू एकत्र किया, और दूसरे दिन - पहले की तुलना में 1 टन 200 किलोग्राम कम। तीसरे दिन टीम ने दूसरे दिन की तुलना में 2 गुना अधिक आलू एकत्र किया। इन तीन दिनों में ब्रिगेड ने कितने आलू एकत्र किये?

997. समीकरण का उपयोग करके एक समस्या बनाएँ:

• ए) (y+ 6) - 2 = 15;
• बी) 2(ए - 5) = 24;
• सी) 3(25 + बी) + 15 = 135।

998. पहली गाड़ी में एक लोग थे और दूसरी में बी लोग थे। स्टॉप पर, लगभग एक व्यक्ति पहली कार से बाहर निकला, और कुछ लोग दूसरी कार से बाहर निकले। निम्नलिखित भावों का क्या अर्थ है:

• ए + बी;
• एसी;
• सी + डी;
• बी - डी;
• (ए + बी) - (सी + डी);
• (ए - सी) + (बी - डी)?

समझाइए क्यों

(ए + बी) - (सी + डी) = (ए - सी) + (बी - डी)

a > c, b > d के लिए।

इस समानता की जाँच a = 45, b = 39, c = 14, d = 12 से करें।

परिणामी समानता का उपयोग करके, अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें:

• ए) (548 + 897) - (148 + 227);
• बी) (391 + 199) - (181 + 79)।

999. ऐसे पांच भिन्न खोजें जिनका अंश हर से 3 कम हो। पाँच भिन्न लिखिए जिनका अंश हर से 3 गुना है।

1000. x के किन मानों पर भिन्न अनुचित होगी?

1001. किसान ने खेत से 12 टन सब्जियाँ इकट्ठा करने की योजना बनाई, लेकिन उसने इतनी मात्रा एकत्र कर ली। किसान ने कितने टन सब्जियों की पैदावार की?

1002. पर्यटक पहले दिन 18 किमी चला, यही वह दूरी है जो उसे दूसरे दिन तय करनी होगी। एक पर्यटक को इन दो दिनों में कितने किलोमीटर चलना चाहिए?

1003. एक मालगाड़ी सेंट पीटर्सबर्ग से 48 किमी/घंटा की गति से मास्को के लिए रवाना हुई, और उसके एक घंटे बाद एक तेज़ ट्रेन 82 किमी/घंटा की गति से मास्को से सेंट पीटर्सबर्ग के लिए रवाना हुई। ट्रेनों के बीच की दूरी ज्ञात करें:

• क) फास्ट ट्रेन के प्रस्थान के 1 घंटे बाद;
• बी) मालगाड़ी छूटने के 3 घंटे बाद;
• ग) फास्ट ट्रेन छूटने के 5 घंटे बाद।

मॉस्को से सेंट पीटर्सबर्ग की दूरी 650 किमी है।

1004. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

• ए) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• बी) (2 254 175 + 94 447) : 414 - 1329;
• ग) (123 - 93) : (12 - 9);
• घ) (62 + Z2)2.