भिन्नता वितरण श्रृंखला के निर्माण के लिए अलग-अलग सुविधाएँ। सतत मात्रात्मक डेटा के लिए अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण

किसी विशेष घटना की विशेषता बताने वाले सांख्यिकीय अवलोकन डेटा उपलब्ध होने पर, सबसे पहले उन्हें व्यवस्थित करना आवश्यक है, अर्थात। एक व्यवस्थित चरित्र दें

अंग्रेजी सांख्यिकीविद्. UJReichman ने अव्यवस्थित संग्रहों के बारे में आलंकारिक रूप से कहा कि असामान्यीकृत डेटा के एक समूह का सामना करना उस स्थिति के बराबर है जहां एक व्यक्ति को बिना कंपास के झाड़ियों में फेंक दिया जाता है। वितरण श्रृंखला के रूप में सांख्यिकीय डेटा का व्यवस्थितकरण क्या है?

वितरण की सांख्यिकीय श्रृंखला को सांख्यिकीय समुच्चय का आदेश दिया गया है (तालिका 17)। सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला का सबसे सरल प्रकार एक रैंक श्रृंखला है, अर्थात। आरोही या अवरोही क्रम में संख्याओं की एक श्रृंखला, अलग-अलग विशेषताएँ। ऐसी श्रृंखला किसी को वितरित डेटा में निहित पैटर्न का न्याय करने की अनुमति नहीं देती है: अधिकांश संकेतक किस मूल्य पर समूहीकृत हैं, इस मूल्य से क्या विचलन हैं; साथ ही सामान्य वितरण चित्र भी। इस प्रयोजन के लिए, डेटा को समूहीकृत किया जाता है, यह दिखाते हुए कि उनकी कुल संख्या में व्यक्तिगत अवलोकन कितनी बार होते हैं (योजना 1ए 1)।

. तालिका 17

. सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला का सामान्य दृश्य

. योजना 1. सांख्यिकीय योजनावितरण श्रृंखला

जिन विशेषताओं के अनुसार मात्रात्मक अभिव्यक्ति नहीं होती, उनके अनुसार जनसंख्या इकाइयों का वितरण कहलाता है गुणवाचक शृंखला(उदाहरण के लिए, उद्यमों का उनके उत्पादन क्षेत्र के आधार पर वितरण)

विशेषताओं के अनुसार जनसंख्या इकाइयों के वितरण की श्रृंखला, जिसकी मात्रात्मक अभिव्यक्ति होती है, कहलाती है विविधता श्रृंखला. ऐसी श्रृंखला में, विशेषता (विकल्प) का मान आरोही या अवरोही क्रम में होता है

परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला में, दो तत्व प्रतिष्ठित हैं: वैरिएंट और आवृत्ति . विकल्प- यह समूहीकरण विशेषताओं का एक अलग अर्थ है आवृत्ति- एक संख्या जो दर्शाती है कि प्रत्येक विकल्प कितनी बार आता है

गणितीय सांख्यिकी में भिन्नता श्रृंखला के एक और तत्व की गणना की जाती है - आंशिक रूप में. उत्तरार्द्ध को किसी दिए गए अंतराल के मामलों की आवृत्ति के कुल आवृत्तियों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है; भाग एक इकाई के अंशों में निर्धारित किया जाता है, पीपीएम में प्रतिशत (%) (%o)

इस प्रकार, भिन्नता वितरण श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें विकल्पों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, और उनकी आवृत्तियों या आवृत्तियों को दर्शाया जाता है। भिन्नता श्रृंखला असतत (अंतराल) और अन्य अंतराल (निरंतर) हैं।

. असतत भिन्नता श्रृंखला- ये वितरण श्रृंखलाएं हैं जिनमें मात्रात्मक विशेषता के मूल्य के रूप में भिन्नता केवल एक निश्चित मान ले सकती है। विकल्प एक या अधिक इकाइयों द्वारा एक दूसरे से भिन्न होते हैं

इस प्रकार, एक विशिष्ट कार्यकर्ता द्वारा प्रति शिफ्ट में उत्पादित भागों की संख्या केवल एक विशिष्ट संख्या (6, 10, 12, आदि) द्वारा व्यक्त की जा सकती है। असतत भिन्नता श्रृंखला का एक उदाहरण उत्पादित भागों की संख्या के आधार पर श्रमिकों का वितरण हो सकता है (तालिका 18 18)।

. तालिका 18

. असतत श्रृंखला वितरण _

. अंतराल (निरंतर) भिन्नता श्रृंखला- ऐसी वितरण श्रृंखला जिसमें विकल्पों का मान अंतराल के रूप में दिया जाता है, अर्थात। सुविधाओं के मूल्य एक दूसरे से मनमाने ढंग से छोटी मात्रा में भिन्न हो सकते हैं। एनईपी पेरी-वेरिएंट विशेषताओं की भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करते समय, वेरिएंट के प्रत्येक मान को इंगित करना असंभव है, इसलिए जनसंख्या को अंतराल पर वितरित किया जाता है। उत्तरार्द्ध बराबर या असमान हो सकता है। उनमें से प्रत्येक के लिए, आवृत्तियों या आवृत्तियों को दर्शाया गया है (तालिका 1 9 19 19)।

असमान अंतराल वाली अंतराल वितरण श्रृंखला में, किसी दिए गए अंतराल पर वितरण घनत्व और सापेक्ष वितरण घनत्व जैसी गणितीय विशेषताओं की गणना की जाती है। पहली विशेषता समान अंतराल के मान की आवृत्ति के अनुपात से निर्धारित होती है, दूसरी - समान अंतराल के मान की आवृत्ति के अनुपात से निर्धारित होती है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, पहले अंतराल में वितरण घनत्व 3:5 = 0.6 होगा, और इस अंतराल में सापेक्ष घनत्व 7.5:5 = 1.55% है।

. तालिका 19

. अंतराल वितरण श्रृंखला _

एक परिवर्तनीय विशेषता में परिवर्तन का विवरण वितरण श्रृंखला का उपयोग करके किया जाता है।

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला- यह एक सांख्यिकीय जनसंख्या की इकाइयों का एक निश्चित भिन्न विशेषता के अनुसार अलग-अलग समूहों में एक क्रमबद्ध वितरण है।

गुणात्मक आधार पर निर्मित सांख्यिकीय शृंखला कहलाती है ठहराव. यदि एक वितरण श्रृंखला एक मात्रात्मक विशेषता पर आधारित है, तो श्रृंखला है परिवर्तन संबंधी.

बदले में, भिन्नता श्रृंखला को असतत और अंतराल में विभाजित किया जाता है। महत्वपूर्ण या मुख्य स्थान पर अलगवितरण की पंक्ति में एक अलग (असंतत) विशेषता निहित है जो विशिष्ट संख्यात्मक मान (अपराधों की संख्या, कानूनी सहायता चाहने वाले नागरिकों की संख्या) लेती है। मध्यान्तरवितरण श्रृंखला का निर्माण एक सतत विशेषता के आधार पर किया जाता है जो किसी दिए गए सीमा (दोषी व्यक्ति की आयु, कारावास की अवधि, आदि) से कोई भी मूल्य ले सकता है।

किसी भी सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला में दो अनिवार्य तत्व होते हैं - श्रृंखला और आवृत्ति विकल्प। विकल्प (एक्स मैं) - विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य जो यह वितरण श्रृंखला में लेता है। आवृत्तियों (च मैं) संख्यात्मक मान हैं जो दर्शाते हैं कि वितरण श्रृंखला में कुछ विकल्प कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है।

सापेक्ष इकाइयों (अंश या प्रतिशत) में व्यक्त आवृत्तियों को आवृत्तियाँ कहा जाता है ( डब्ल्यू मैं). यदि आवृत्तियों को एक इकाई के अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो आवृत्तियों का योग एक के बराबर होता है, या यदि उन्हें प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो 100 होता है। आवृत्तियों का उपयोग विभिन्न जनसंख्या आकारों के साथ भिन्नता श्रृंखला की तुलना करना संभव बनाता है। आवृत्तियाँ निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

एक असतत श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, श्रृंखला में होने वाली किसी विशेषता के सभी व्यक्तिगत मूल्यों को क्रमबद्ध किया जाता है, और फिर प्रत्येक मूल्य की पुनरावृत्ति की आवृत्ति की गणना की जाती है। वितरण श्रृंखला दो पंक्तियों और स्तंभों से युक्त एक तालिका के विचार में तैयार की गई है, जिनमें से एक में श्रृंखला वेरिएंट के मान शामिल हैं एक्स मैं, दूसरे में - आवृत्ति मान फ़ि.

आइए असतत भिन्नता श्रृंखला के निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 3.1 . आंतरिक मामलों के मंत्रालय के अनुसार, एन शहर में नाबालिगों द्वारा किए गए अपराध दर्ज किए गए हैं।

17 13 15 16 17 15 15 14 16 13 14 17 14 15 15 16 16 15 14 15 15 14 16 16 14 17 16 15 16 15 13 15 15 13 15 14 15 13 17 14.

एक पृथक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें।

समाधान .

सबसे पहले, नाबालिगों की उम्र पर डेटा को रैंक करना आवश्यक है, अर्थात। उन्हें आरोही क्रम में लिखें।

13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17

तालिका 3.1

इस प्रकार, आवृत्तियाँ किसी दिए गए आयु के लोगों की संख्या को दर्शाती हैं, उदाहरण के लिए, 5 लोग 13 वर्ष के हैं, 8 लोग 14 वर्ष के हैं, आदि।

निर्माण मध्यान्तरवितरण श्रृंखला को मात्रात्मक मानदंड के अनुसार समान-अंतराल समूहीकरण के समान किया जाता है, अर्थात, पहले समूहों की इष्टतम संख्या निर्धारित की जाती है जिसमें जनसंख्या को विभाजित किया जाएगा, समूह द्वारा अंतराल की सीमाएं स्थापित की जाती हैं और आवृत्तियों की गणना की जाती है .

आइए हम निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके एक अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण का वर्णन करें।

उदाहरण 3.2 .

निम्नलिखित सांख्यिकीय समुच्चय के आधार पर एक अंतराल श्रृंखला का निर्माण करें - एक कार्यालय में एक वकील का वेतन, हजार रूबल:

16,0 22,2 25,1 24,3 30,5 32,0 17,0 23,0 19,8 27,5 22,0 18,9 31,0 21,5 26,0 27,4

समाधान।

आइए किसी दी गई सांख्यिकीय जनसंख्या के लिए समान-अंतराल समूहों की इष्टतम संख्या 4 मानें (हमारे पास 16 विकल्प हैं)। इसलिए, प्रत्येक समूह का आकार बराबर है:

और प्रत्येक अंतराल का मान इसके बराबर होगा:

अंतराल की सीमाएँ सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

,

क्रमशः i-वें अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएँ कहाँ हैं।

अंतराल सीमाओं की मध्यवर्ती गणना को छोड़कर, हम तालिका 3.2 में प्रत्येक अंतराल के भीतर वेतन के साथ उनके मान (विकल्प) और वकीलों की संख्या (आवृत्तियों) दर्ज करते हैं, जो परिणामी अंतराल श्रृंखला को दर्शाता है।

तालिका 3.2

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला का विश्लेषण ग्राफिकल विधि का उपयोग करके किया जा सकता है। वितरण श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व आपको बहुभुज, हिस्टोग्राम और संचयी के रूप में चित्रित करके अध्ययन के तहत जनसंख्या के वितरण के पैटर्न को स्पष्ट रूप से चित्रित करने की अनुमति देता है। आइए प्रत्येक सूचीबद्ध ग्राफ़ को देखें।

बहुभुज– एक टूटी हुई रेखा, जिसके खंड बिंदुओं को निर्देशांक से जोड़ते हैं ( एक्स मैं;च मैं). आमतौर पर, बहुभुज का उपयोग असतत वितरण श्रृंखला को दर्शाने के लिए किया जाता है। इसे बनाने के लिए, विशेषता के क्रमबद्ध व्यक्तिगत मानों को x-अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। एक्स मैं, कोटि पर - इन मानों के अनुरूप आवृत्तियाँ। परिणामस्वरूप, भुज और कोटि अक्षों के साथ चिह्नित डेटा के अनुरूप बिंदुओं को खंडों के साथ जोड़कर, एक टूटी हुई रेखा प्राप्त की जाती है, जिसे बहुभुज कहा जाता है। आइए एक बारंबारता बहुभुज के निर्माण का एक उदाहरण दें।

बहुभुज के निर्माण को स्पष्ट करने के लिए, आइए एक अलग श्रृंखला बनाने के लिए उदाहरण 3.1 को हल करने का परिणाम लें - चित्र 1। दोषियों की उम्र को भुज अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और किसी दिए गए उम्र के किशोर दोषियों की संख्या को प्लॉट किया जाता है। कोर्डिनेट अक्ष. इस परीक्षण स्थल का विश्लेषण करते हुए, हम कह सकते हैं कि दोषियों की सबसे बड़ी संख्या - 14 लोग - 15 वर्ष की आयु के हैं।

चित्र 3.1 - असतत श्रृंखला की आवृत्ति सीमा।

एक बहुभुज का निर्माण एक अंतराल श्रृंखला के लिए भी किया जा सकता है; इस मामले में, अंतराल के मध्य बिंदुओं को भुज अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और संबंधित आवृत्तियों को कोर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।

बार चार्ट- आयतों से बनी एक चरणबद्ध आकृति, जिसके आधार विशेषता के मान के अंतराल हैं, और ऊँचाई संबंधित आवृत्तियों के बराबर हैं। हिस्टोग्राम का उपयोग केवल अंतराल वितरण श्रृंखला प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। यदि अंतराल असमान हैं, तो हिस्टोग्राम बनाने के लिए, कोर्डिनेट अक्ष पर आवृत्तियों को प्लॉट नहीं किया जाता है, बल्कि संबंधित अंतराल की चौड़ाई के लिए आवृत्ति का अनुपात होता है। एक हिस्टोग्राम को एक वितरण बहुभुज में परिवर्तित किया जा सकता है यदि इसकी पट्टियों के मध्यबिंदु खंडों द्वारा एक दूसरे से जुड़े हों।

हिस्टोग्राम के निर्माण को स्पष्ट करने के लिए, आइए उदाहरण 3.2 से एक अंतराल श्रृंखला के निर्माण के परिणाम लें - चित्र 3.2।

चित्र 3.2 - वकीलों के वेतन के वितरण का हिस्टोग्राम।

विविधता श्रृंखला के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के लिए, क्यूम्युलेट का भी उपयोग किया जाता है। संचयी- संचित आवृत्तियों की एक श्रृंखला को दर्शाने वाला एक वक्र और निर्देशांक के साथ बिंदुओं को जोड़ने वाला ( एक्स मैं;एफ आई नैक). संचयी आवृत्तियों की गणना एक वितरण श्रृंखला की सभी आवृत्तियों को क्रमिक रूप से जोड़कर की जाती है और उन जनसंख्या इकाइयों की संख्या दिखाती है जिनका विशिष्ट मान निर्दिष्ट से अधिक नहीं होता है। आइए उदाहरण 3.2 - तालिका 3.3 में प्रस्तुत परिवर्तनशील अंतराल श्रृंखला के लिए संचित आवृत्तियों की गणना को स्पष्ट करें।

तालिका 3.3

एक असतत वितरण श्रृंखला के संचयी निर्माण के लिए, विशेषता के क्रमबद्ध व्यक्तिगत मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और उनके अनुरूप संचित आवृत्तियों को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। अंतराल श्रृंखला के संचयी वक्र का निर्माण करते समय, पहले बिंदु में पहले अंतराल की निचली सीमा के बराबर भुज और 0 के बराबर एक कोटि होगी। बाद के सभी बिंदुओं को अंतराल की ऊपरी सीमा के अनुरूप होना चाहिए। आइए तालिका 3.3 - चित्र 3.3 से डेटा का उपयोग करके एक संचयी बनाएं।

चित्र 3.3 - वकीलों के लिए संचयी वेतन वितरण वक्र।

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

1. सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला की अवधारणा, इसके मुख्य तत्व।

2. सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला के प्रकार. उनका संक्षिप्त विवरण.

3. असतत और अंतराल वितरण श्रृंखला।

4. असतत वितरण श्रृंखला के निर्माण की पद्धति।

5. अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण की पद्धति।

6. असतत वितरण श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व।

7. अंतराल वितरण श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व।

कार्य

समस्या 1. प्रति सत्र टीजीपी समूह में 25 छात्रों के प्रदर्शन पर निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3, 5, 4, 2, 3, 3। सत्र के दौरान प्राप्त ग्रेड के अनुसार छात्रों के वितरण की एक अलग भिन्नता श्रृंखला बनाएं। परिणामी श्रृंखला के लिए, आवृत्तियों, संचित आवृत्तियों, संचित आवृत्तियों की गणना करें। परिणाम निकालना।

समस्या 2. कॉलोनी में 1,000 अपराधी हैं, उम्र के अनुसार उनका वितरण तालिका में प्रस्तुत किया गया है:

इस शृंखला को ग्राफिक रूप से बनाएं। परिणाम निकालना।

समस्या 3. कैदियों की कारावास की शर्तों पर निम्नलिखित आंकड़े उपलब्ध हैं:

5; 4; 2; 1; 6; 3; 4; 3; 2; 2; 3; 1; 17; 6; 2; 8; 5; 11; 9; 3; 5; 6; 4; 3; 10; 5; 25; 1; 12; 3; 3; 4; 9; 6; 5; 3; 4; 3; 5; 12; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 3; 12; 6.

कारावास की शर्तों के अनुसार कैदियों के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला का निर्माण करें। परिणाम निकालना।

समस्या 4. आयु वर्ग के अनुसार अध्ययन अवधि के लिए क्षेत्र में दोषियों के वितरण पर निम्नलिखित डेटा उपलब्ध हैं:

इस शृंखला को आलेखीय रूप से बनाइए और निष्कर्ष निकालिए।

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"रूसी राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था अकादमी और

राष्ट्रपति के अधीन सिविल सेवा

रूसी संघ"

(कलुगा शाखा)

प्राकृतिक विज्ञान और गणित विभाग

परीक्षा

अनुशासन "सांख्यिकी" में

विद्यार्थी___मेबोरोडा गैलिना युरेविना______

राज्य और नगरपालिका प्रशासन समूह जी-12-बी के पत्राचार विभाग संकाय

शिक्षक ____________________ हामर जी.वी.

शैक्षणिक विज्ञान के उम्मीदवार, एसोसिएट प्रोफेसर

कलुगा-2013

कार्य 1।

कार्य 1.1. 4

समस्या 1.2. 16

समस्या 1.3. 24

समस्या 1.4. 33

कार्य 2.

कार्य 2.1. 43

कार्य 2.2. 48

समस्या 2.3. 53

समस्या 2.4. 58

कार्य 3.

कार्य 3.1. 63

समस्या 3.2. 68

समस्या 3.3. 73

समस्या 3.4. 79

कार्य 4.

समस्या 4.1. 85

समस्या 4.2. 88

समस्या 4.3. 90

समस्या 4.4. 93

प्रयुक्त स्रोतों की सूची. 96

कार्य 1।

कार्य 1.1.

उत्पाद उत्पादन और क्षेत्रीय उद्यमों के लाभ की मात्रा पर निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है (तालिका 1)।

तालिका नंबर एक

उद्यमों द्वारा उत्पादन उत्पादन और लाभ की मात्रा पर डेटा

उद्यम क्रमांक	उत्पाद उत्पादन, मिलियन रूबल।	लाभ, मिलियन रूबल	उद्यम क्रमांक	उत्पाद उत्पादन, मिलियन रूबल।	लाभ, मिलियन रूबल
	63,0	6,7		56,0	7,2
	48,0	6,2		81,0	9,6
	39,0	6,5		55,0	6,3
	28,0	3,0		76,0	9,1
	72,0	8,2		54,0	6,0
	61,0	7,6		53,0	6,4
	47,0	5,9		68,0	8,5
	37,0	4,2		52,0	6,5
	25,0	2,8		44,0	5,0
	60,0	7,9		51,0	6,4
	46,0	5,5		50,0	5,8
	34,0	3,8		65,0	6,7
	21,0	2,1		49,0	6,1
	58,0	8,0		42,0	4,8
	45,0	5,7		32,0	4,6

मूल आंकड़ों के अनुसार:

1. समान अंतराल वाले पांच समूह बनाते हुए, आउटपुट द्वारा उद्यमों के वितरण की एक सांख्यिकीय श्रृंखला बनाएं।

वितरण श्रृंखला ग्राफ़ बनाएं: बहुभुज, हिस्टोग्राम, संचयी। ग्राफ़िक रूप से मोड और माध्यिका का मान निर्धारित करें।

2. आउटपुट द्वारा उद्यमों की वितरण श्रृंखला की विशेषताओं की गणना करें: अंकगणित माध्य, फैलाव, मानक विचलन, भिन्नता का गुणांक।

एक निष्कर्ष निकालो।

3. विश्लेषणात्मक समूहन पद्धति का उपयोग करते हुए, निर्मित उत्पादों की लागत और प्रति उद्यम लाभ की मात्रा के बीच सहसंबंध की उपस्थिति और प्रकृति स्थापित करें।

4. अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात का उपयोग करके उत्पादन की लागत और लाभ की मात्रा के बीच सहसंबंध की निकटता को मापें।

सामान्य निष्कर्ष निकालें.

समाधान:

आइए एक सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला बनाएं

उत्पादन की मात्रा के आधार पर उद्यमों के वितरण को दर्शाने वाली एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, श्रृंखला के अंतरालों के मूल्य और सीमाओं की गणना करना आवश्यक है।

समान अंतराल के साथ एक श्रृंखला का निर्माण करते समय, अंतराल का आकार एचसूत्र द्वारा निर्धारित:

x अधिकतमऔर एक्स मिनट- अध्ययन के तहत उद्यमों की आबादी में विशेषता का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य;

क- अंतराल श्रृंखला समूहों की संख्या.

समूहों की संख्या ककार्य शर्त में निर्दिष्ट. क= 5.

x अधिकतम= 81 मिलियन रूबल, एक्स मिनट= 21 मिलियन रूबल.

अंतराल आकार की गणना:

मिलियन रूबल

क्रमिक रूप से अंतराल h = 12 मिलियन रूबल का मान जोड़ने पर। अंतराल की निचली सीमा तक, हमें निम्नलिखित समूह प्राप्त होते हैं:

समूह 1: 21 - 33 मिलियन रूबल।

समूह 2: 33 - 45 मिलियन रूबल;

समूह 3: 45 - 57 मिलियन रूबल।

समूह 4: 57 - 69 मिलियन रूबल।

समूह 5: 69 - 81 मिलियन रूबल।

अंतराल श्रृंखला बनाने के लिए, प्रत्येक समूह में शामिल उद्यमों की संख्या की गणना करना आवश्यक है ( आवृत्ति समूह).

उत्पादन मात्रा के आधार पर उद्यमों को समूहीकृत करने की प्रक्रिया सहायक तालिका 2 में प्रस्तुत की गई है। इस तालिका का कॉलम 4 एक विश्लेषणात्मक समूह (कार्य का आइटम 3) बनाने के लिए आवश्यक है।

तालिका 2

अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण के लिए तालिका और

विश्लेषणात्मक समूह

उत्पादन की मात्रा के अनुसार उद्यमों के समूह, मिलियन रूबल।	उद्यम क्रमांक	उत्पाद उत्पादन, मिलियन रूबल।	लाभ, मिलियन रूबल
21-33		21,0	2,1
	25,0	2,8
	28,0	3,0
	32,0	4,6
कुल		106,0	12,5
33-45		34,0	3,8
	37,0	4,2
	39,0	6,5
	42,0	4,8
	44,0	5,0
कुल		196,0	24,3
45-57		45,0	5,7
	46,0	5,5
	47,0	5,9
	48,0	6,2
	49,0	6,1
	50,0	5,8
	51,0	6,4
	52,0	6,5
	53,0	6,4
	54,0	6,0
	55,0	6,3
	56,0	7,2
कुल		606,0	74,0
57-69		58,0	8,0
	60,0	7,9
	61,0	7,6
	63,0	6,7
	65,0	6,7
	68,0	8,5
कुल		375,0	45,4
69-81		72,0	8,2
	76,0	9,1
	81,0	9,6
कुल		229,0	26,9
कुल			183,1

तालिका 3 की समूह कुल पंक्तियों "कुल" के आधार पर, अंतिम तालिका 3 बनाई जाती है, जो उत्पादन मात्रा द्वारा उद्यमों के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है।

टेबल तीन

उत्पादन मात्रा के अनुसार उद्यमों की वितरण श्रृंखला

निष्कर्ष।निर्मित समूहन से पता चलता है कि उत्पादन मात्रा के आधार पर उद्यमों का वितरण एक समान नहीं है। 45 से 57 मिलियन रूबल की उत्पादन मात्रा वाले उद्यम सबसे आम हैं। (12 उद्यम)। 69 से 81 मिलियन रूबल की उत्पादन मात्रा वाले उद्यम सबसे कम आम हैं। (3 उद्यम)।

आइए वितरण श्रृंखला ग्राफ़ बनाएं।

बहुभुज अधिक बार असतत श्रृंखला को चित्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है। एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बहुभुज का निर्माण करने के लिए, तर्क के मानों को x-अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, अर्थात, विकल्प (अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए, अंतराल के मध्य को एक तर्क के रूप में लिया जाता है) और आवृत्ति मान ​कोर्डिनेट अक्ष पर हैं। इसके बाद, इस समन्वय प्रणाली में बिंदुओं का निर्माण किया जाता है, जिनके निर्देशांक भिन्नता श्रृंखला से संगत संख्याओं के जोड़े होते हैं। परिणामी बिंदु सीधी रेखा खंडों द्वारा क्रमिक रूप से जुड़े हुए हैं। बहुभुज को चित्र 1 में दिखाया गया है।

बार चार्ट - बार चार्ट। यह आपको वितरण की समरूपता का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। हिस्टोग्राम चित्र 2 में दिखाया गया है।

चित्र 1 - मात्रा के आधार पर उद्यमों के वितरण के लिए बहुभुज

उत्पाद जारी करना

पहनावा

चित्र 2 - मात्रा के आधार पर उद्यमों के वितरण का हिस्टोग्राम

उत्पाद जारी करना

पहनावा- विशेषता का मूल्य जो अध्ययन के तहत आबादी में सबसे अधिक बार होता है।

एक अंतराल श्रृंखला के लिए, मोड को हिस्टोग्राम (चित्रा 2) से ग्राफिक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। इसके लिए, उच्चतम आयत का चयन किया जाता है, जो इस मामले में मोडल (45 - 57 मिलियन रूबल) है। फिर मोडल आयत का दायाँ शीर्ष पिछले आयत के ऊपरी दाएँ कोने से जुड़ा होता है। और मोडल आयत का बायाँ शीर्ष - बाद वाले आयत के ऊपरी बाएँ कोने के साथ। इसके बाद, उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु से, भुज अक्ष पर एक लंब उतारा जाता है। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज वितरण मोड होगा।

दस लाख रगड़ना।

निष्कर्ष।विचाराधीन उद्यमों के सेट में, सबसे आम 52 मिलियन रूबल के उत्पाद उत्पादन वाले उद्यम हैं।

संचयी - टूटा हुआ वक्र. इसे संचित आवृत्तियों (तालिका 4 में गणना) का उपयोग करके बनाया गया है। संचयी पहले अंतराल (21 मिलियन रूबल) की निचली सीमा से शुरू होती है, संचित आवृत्ति अंतराल की ऊपरी सीमा पर जमा होती है। संचयी चित्र 3 में प्रस्तुत किया गया है।

मंझला

चित्र 3 - मात्रा के अनुसार उद्यमों का संचयी वितरण

उत्पाद जारी करना

मेडियन मी- यह रैंक की गई श्रृंखला के मध्य में आने वाली विशेषता का मान है। माध्यिका के दोनों ओर जनसंख्या इकाइयों की संख्या समान है।

एक अंतराल श्रृंखला में, माध्यिका को संचयी वक्र का उपयोग करके ग्राफ़िक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। 50% (30:2 = 15) के अनुरूप संचित आवृत्ति पैमाने पर एक बिंदु से माध्यिका निर्धारित करने के लिए, भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें जब तक कि यह संचयी के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। फिर, क्यूम्युलेट के साथ संकेतित रेखा के चौराहे के बिंदु से, एक लंबवत को एब्सिस्सा अक्ष पर उतारा जाता है। प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज मध्यिका है।

दस लाख रगड़ना।

निष्कर्ष।विचाराधीन उद्यमों के समूह में, आधे उद्यमों की उत्पादन मात्रा 52 मिलियन रूबल से अधिक नहीं है, और अन्य आधे की उत्पादन मात्रा 52 मिलियन रूबल से कम नहीं है।

सम्बंधित जानकारी।

अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करते समय, तीन प्रश्न हल किए जाते हैं:

• 1. मुझे कितने अंतराल लेने चाहिए?
• 2. अंतराल की लंबाई क्या है?
• 3. जनसंख्या इकाइयों को अंतराल की सीमाओं के भीतर शामिल करने की प्रक्रिया क्या है?
• 1. अंतरालों की संख्याद्वारा निर्धारित किया जा सकता है स्टर्गेस सूत्र:

2. अंतराल की लंबाई, या अंतराल चरण, आमतौर पर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ आर-भिन्नता की सीमा.

3. अंतराल की सीमाओं के भीतर जनसंख्या इकाइयों को शामिल करने का क्रम

भिन्न हो सकते हैं, लेकिन अंतराल श्रृंखला का निर्माण करते समय, वितरण को सख्ती से परिभाषित किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, यह: [), जिसमें जनसंख्या इकाइयों को निचली सीमाओं में शामिल किया जाता है, लेकिन ऊपरी सीमाओं में शामिल नहीं किया जाता है, बल्कि अगले अंतराल में स्थानांतरित कर दिया जाता है। इस नियम का अपवाद अंतिम अंतराल है, जिसकी ऊपरी सीमा में रैंक की गई श्रृंखला की अंतिम संख्या शामिल है।

अंतराल सीमाएँ हैं:

• बंद - विशेषता के दो चरम मूल्यों के साथ;
• खुला - विशेषता के एक चरम मूल्य के साथ (पहलेऐसी और ऐसी संख्या या ऊपरऐसी और ऐसी संख्या)।

सैद्धांतिक सामग्री को आत्मसात करने के लिए, हम परिचय देते हैं पृष्ठभूमि की जानकारीसमाधान के लिए अंत-से-अंत कार्य.

बिक्री प्रबंधकों की औसत संख्या, उनके द्वारा बेचे गए समान सामानों की मात्रा, इस उत्पाद के लिए व्यक्तिगत बाजार मूल्य, साथ ही पहले रूसी संघ के क्षेत्रों में से एक में 30 कंपनियों की बिक्री की मात्रा पर सशर्त डेटा हैं। रिपोर्टिंग वर्ष की तिमाही (तालिका 2.1)।

तालिका 2.1

क्रॉस-कटिंग कार्य के लिए प्रारंभिक जानकारी

	संख्या प्रबंधक,		कीमत, हजार रूबल	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल।

	संख्या प्रबंधक,	बेचे गए माल की मात्रा, पीसी।	कीमत, हजार रूबल	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल।

प्रारंभिक जानकारी के साथ-साथ अतिरिक्त जानकारी के आधार पर, हम अलग-अलग कार्य निर्धारित करेंगे। फिर हम उन्हें हल करने की पद्धति और स्वयं समाधान प्रस्तुत करेंगे।

क्रॉस-कटिंग कार्य. कार्य 2.1

तालिका से प्रारंभिक डेटा का उपयोग करना। 2.1 आवश्यकबेची गई वस्तुओं की मात्रा के आधार पर फर्मों के वितरण की एक अलग श्रृंखला बनाएं (तालिका 2.2)।

समाधान:

तालिका 2.2

रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के क्षेत्रों में से किसी एक में बेची गई वस्तुओं की मात्रा के आधार पर फर्मों के वितरण की अलग श्रृंखला

क्रॉस-कटिंग कार्य. कार्य 2.2

आवश्यकप्रबंधकों की औसत संख्या के अनुसार 30 फर्मों की एक रैंक श्रृंखला बनाएं।

समाधान:

15; 17; 18; 20; 20; 20; 22; 22; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 28; 29; 30; 32; 32; 33; 33; 33; 34; 35; 35; 38; 39; 39; 45.

क्रॉस-कटिंग कार्य. कार्य 2.3

तालिका से प्रारंभिक डेटा का उपयोग करना। 2.1, आवश्यक:

• 1. प्रबंधकों की संख्या के आधार पर फर्मों के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला बनाएं।
• 2. फर्मों की वितरण श्रृंखला की आवृत्तियों की गणना करें।
• 3. निष्कर्ष निकालें.

समाधान:

आइए स्टर्गेस सूत्र (2.5) का उपयोग करके गणना करें अंतरालों की संख्या:

इस प्रकार, हम 6 अंतराल (समूह) लेते हैं।

अंतराल की लंबाई, या अंतराल चरण, सूत्र का उपयोग करके गणना करें

टिप्पणी।अंतराल की सीमाओं में जनसंख्या इकाइयों को शामिल करने का क्रम इस प्रकार है: I), जिसमें जनसंख्या इकाइयों को निचली सीमाओं में शामिल किया जाता है, लेकिन ऊपरी सीमाओं में शामिल नहीं किया जाता है, बल्कि अगले अंतराल में स्थानांतरित कर दिया जाता है। इस नियम का अपवाद अंतिम अंतराल I] है, जिसकी ऊपरी सीमा में रैंक की गई श्रृंखला की अंतिम संख्या शामिल है।

हम एक अंतराल श्रृंखला बनाते हैं (तालिका 2.3)।

रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के क्षेत्रों में से एक में फर्मों के वितरण की अंतराल श्रृंखला और प्रबंधकों की औसत संख्या

निष्कर्ष।फर्मों का सबसे बड़ा समूह 25-30 लोगों की औसत संख्या वाले प्रबंधकों वाला समूह है, जिसमें 8 फर्म (27%) शामिल हैं; 40-45 लोगों के प्रबंधकों की औसत संख्या वाले सबसे छोटे समूह में केवल एक कंपनी (3%) शामिल है।

तालिका से प्रारंभिक डेटा का उपयोग करना। 2.1, साथ ही प्रबंधकों की संख्या के आधार पर फर्मों के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला (तालिका 2.3), आवश्यकप्रबंधकों की संख्या और फर्मों की बिक्री की मात्रा के बीच संबंधों का एक विश्लेषणात्मक समूह बनाएं और इसके आधार पर, इन विशेषताओं के बीच संबंध की उपस्थिति (या अनुपस्थिति) के बारे में निष्कर्ष निकालें।

समाधान:

विश्लेषणात्मक समूहन कारक विशेषताओं पर आधारित है। हमारी समस्या में, कारक विशेषता (x) प्रबंधकों की संख्या है, और परिणामी विशेषता (y) बिक्री की मात्रा है (तालिका 2.4)।

आइए अब निर्माण करें विश्लेषणात्मक समूहन(सारणी 2.5).

निष्कर्ष।निर्मित विश्लेषणात्मक समूह के आंकड़ों के आधार पर, हम कह सकते हैं कि बिक्री प्रबंधकों की संख्या में वृद्धि के साथ, समूह में कंपनी की औसत बिक्री मात्रा भी बढ़ जाती है, जो इन विशेषताओं के बीच सीधा संबंध की उपस्थिति को इंगित करता है।

तालिका 2.4

विश्लेषणात्मक समूहन के निर्माण के लिए सहायक तालिका

	प्रबंधकों, लोगों की संख्या,	कंपनी संख्या	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल, वाई
			" = 59 एफ = 9.97
			मैं-™ 4 -यू.22
			74 '25 1पीवाई1 उ4 = 7 = 10,61

			पर = ’ =10,31 30

तालिका 2.5

रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के किसी एक क्षेत्र में कंपनी प्रबंधकों की संख्या पर बिक्री की मात्रा की निर्भरता

नियंत्रण प्रश्न

• 1. सांख्यिकीय अवलोकन का सार क्या है?
• 2. सांख्यिकीय अवलोकन के चरणों का नाम बताइए।
• 3. सांख्यिकीय अवलोकन के संगठनात्मक रूप क्या हैं?
• 4. सांख्यिकीय अवलोकन के प्रकारों के नाम बताइए।
• 5. सांख्यिकीय सारांश क्या है?
• 6. सांख्यिकीय रिपोर्ट के प्रकारों के नाम बताइए।
• 7. सांख्यिकीय समूहन क्या है?
• 8. सांख्यिकीय समूहों के प्रकारों के नाम बताइए।
• 9. वितरण श्रृंखला क्या है?
• 10. वितरण पंक्ति के संरचनात्मक तत्वों के नाम बताइए।
• 11. वितरण श्रृंखला के निर्माण की प्रक्रिया क्या है?

सामाजिक-आर्थिक घटनाओं और प्रक्रियाओं के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण चरण प्राथमिक डेटा का व्यवस्थितकरण है और इस आधार पर, सामान्य संकेतकों का उपयोग करके संपूर्ण वस्तु की सारांश विशेषता प्राप्त करना है, जो प्राथमिक सांख्यिकीय सामग्री को सारांशित और समूहीकृत करके प्राप्त किया जाता है।

सांख्यिकीय सारांश - यह विशिष्ट व्यक्तिगत तथ्यों को सामान्य बनाने के लिए अनुक्रमिक संचालन का एक जटिल है जो समग्र रूप से अध्ययन की जा रही घटना में निहित विशिष्ट विशेषताओं और पैटर्न की पहचान करने के लिए एक सेट बनाता है। सांख्यिकीय सारांश के संचालन में निम्नलिखित चरण शामिल हैं :

• समूहीकरण विशेषताओं का चयन;
• समूह गठन का क्रम निर्धारित करना;
• समूहों और समग्र रूप से वस्तु को चिह्नित करने के लिए सांख्यिकीय संकेतकों की एक प्रणाली का विकास;
• सारांश परिणाम प्रस्तुत करने के लिए सांख्यिकीय तालिका लेआउट का विकास।

सांख्यिकीय समूहन अध्ययन की जा रही जनसंख्या की इकाइयों को उनके लिए आवश्यक कुछ विशेषताओं के अनुसार सजातीय समूहों में विभाजित करना कहा जाता है। सांख्यिकीय डेटा को सारांशित करने के लिए समूहीकरण सबसे महत्वपूर्ण सांख्यिकीय पद्धति है, जो सांख्यिकीय संकेतकों की सही गणना का आधार है।

निम्नलिखित प्रकार के समूह प्रतिष्ठित हैं: टाइपोलॉजिकल, संरचनात्मक, विश्लेषणात्मक। ये सभी समूह इस तथ्य से एकजुट हैं कि वस्तु की इकाइयों को कुछ विशेषताओं के अनुसार समूहों में विभाजित किया गया है।

समूहीकरण सुविधा एक विशेषता है जिसके द्वारा जनसंख्या की इकाइयों को अलग-अलग समूहों में विभाजित किया जाता है। एक सांख्यिकीय अध्ययन के निष्कर्ष समूहीकरण विशेषता के सही चयन पर निर्भर करते हैं। समूहीकरण के आधार के रूप में, महत्वपूर्ण, सैद्धांतिक रूप से आधारित विशेषताओं (मात्रात्मक या गुणात्मक) का उपयोग करना आवश्यक है।

समूहन की मात्रात्मक विशेषताएँ एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है (व्यापार की मात्रा, व्यक्ति की आयु, पारिवारिक आय, आदि), और समूहन के गुणात्मक लक्षण जनसंख्या की इकाई की स्थिति (लिंग, वैवाहिक स्थिति, उद्यम का उद्योग, उसके स्वामित्व का रूप, आदि) को प्रतिबिंबित करें।

समूहीकरण का आधार निर्धारित होने के बाद, उन समूहों की संख्या का प्रश्न तय किया जाना चाहिए जिनमें अध्ययन के तहत जनसंख्या को विभाजित किया जाना चाहिए। समूहों की संख्या अध्ययन के उद्देश्यों और समूह के अंतर्निहित संकेतक के प्रकार, जनसंख्या की मात्रा और विशेषता की भिन्नता की डिग्री पर निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए, स्वामित्व के प्रकार के आधार पर उद्यमों का समूहन नगरपालिका, संघीय और संघीय विषय संपत्ति को ध्यान में रखता है। यदि समूहीकरण एक मात्रात्मक मानदंड के अनुसार किया जाता है, तो अध्ययन के तहत वस्तु की इकाइयों की संख्या और समूहीकरण विशेषता के उतार-चढ़ाव की डिग्री पर विशेष ध्यान देना आवश्यक है।

एक बार समूहों की संख्या निर्धारित हो जाने के बाद, समूहीकरण अंतराल निर्धारित किया जाना चाहिए। मध्यान्तर - ये एक अलग विशेषता के मूल्य हैं जो कुछ सीमाओं के भीतर स्थित हैं। प्रत्येक अंतराल का अपना मूल्य, ऊपरी और निचली सीमाएँ, या उनमें से कम से कम एक होता है।

अंतराल की निचली सीमा अंतराल में विशेषता का सबसे छोटा मान कहा जाता है, और ऊपरी सीमा - अंतराल में विशेषता का उच्चतम मूल्य। अंतराल का मान ऊपरी और निचली सीमाओं के बीच का अंतर है।

उनके आकार के आधार पर समूहीकरण अंतराल हैं: समान और असमान। यदि किसी विशेषता की भिन्नता अपेक्षाकृत संकीर्ण सीमाओं के भीतर प्रकट होती है और वितरण एक समान है, तो समान अंतराल पर एक समूह का निर्माण होता है। समान अंतराल का मान निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है :

जहां एक्समैक्स, एक्समिन कुल में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्य हैं; n - समूहों की संख्या.

सबसे सरल समूहन जिसमें प्रत्येक चयनित समूह को एक संकेतक द्वारा चित्रित किया जाता है, एक वितरण श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है।

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला - यह एक निश्चित विशेषता के अनुसार समूहों में जनसंख्या इकाइयों का एक क्रमबद्ध वितरण है। वितरण श्रृंखला के गठन में अंतर्निहित विशेषता के आधार पर, गुणात्मक और परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला को प्रतिष्ठित किया जाता है।

ठहराव गुणात्मक विशेषताओं के अनुसार निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है, अर्थात वे विशेषताएँ जिनकी कोई संख्यात्मक अभिव्यक्ति नहीं होती है (श्रम के प्रकार, लिंग के आधार पर, पेशे के आधार पर वितरण, आदि)। गुणात्मक वितरण श्रृंखला कुछ आवश्यक विशेषताओं के अनुसार जनसंख्या की संरचना की विशेषता बताती है। कई अवधियों में लिया गया, ये डेटा संरचना में परिवर्तनों का अध्ययन करना संभव बनाता है।

विविधतापूर्ण श्रृंखला मात्रात्मक आधार पर निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है। किसी भी भिन्नता श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: विकल्प और आवृत्तियाँ। विकल्प विशेषता के वैयक्तिक मान जो भिन्नता श्रृंखला में ग्रहण करते हैं, कहलाते हैं, अर्थात् भिन्न विशेषता का विशिष्ट मान।

आवृत्तियों अलग-अलग वेरिएंट या भिन्नता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या को कहा जाता है, यानी, ये संख्याएं हैं जो दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कितनी बार कुछ वेरिएंट होते हैं। सभी आवृत्तियों का योग संपूर्ण जनसंख्या का आकार, उसका आयतन निर्धारित करता है। आवृत्तियों किसी इकाई के अंशों या कुल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त आवृत्तियाँ कहलाती हैं। तदनुसार, आवृत्तियों का योग 1 या 100% के बराबर है।

किसी विशेषता की भिन्नता की प्रकृति के आधार पर, भिन्नता श्रृंखला के तीन रूप प्रतिष्ठित हैं: रैंक श्रृंखला, असतत श्रृंखला और अंतराल श्रृंखला।

रैंक भिन्नता श्रृंखला - यह अध्ययन की जा रही विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों का वितरण है। रैंकिंग आपको मात्रात्मक डेटा को आसानी से समूहों में विभाजित करने, किसी विशेषता के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों का तुरंत पता लगाने और उन मूल्यों को उजागर करने की अनुमति देती है जो सबसे अधिक बार दोहराए जाते हैं।

असतत भिन्नता श्रृंखला जनसंख्या इकाइयों के वितरण को एक अलग विशेषता के अनुसार चित्रित करता है जो केवल पूर्णांक मान लेता है। उदाहरण के लिए, टैरिफ श्रेणी, परिवार में बच्चों की संख्या, उद्यम में कर्मचारियों की संख्या, आदि।

यदि किसी विशेषता में निरंतर परिवर्तन होता है, जो कुछ सीमाओं के भीतर कोई भी मान ("से - से") ले सकता है, तो इस विशेषता के लिए निर्माण करना आवश्यक है अंतराल भिन्नता श्रृंखला . उदाहरण के लिए, आय की राशि, सेवा की लंबाई, उद्यम की अचल संपत्तियों की लागत आदि।

"सांख्यिकीय सारांश और समूहन" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

समस्या 1 . पिछले शैक्षणिक वर्ष में सदस्यता के माध्यम से छात्रों को प्राप्त पुस्तकों की संख्या के बारे में जानकारी है।

श्रृंखला के तत्वों को नामित करते हुए, क्रमबद्ध और असतत भिन्नता वितरण श्रृंखला का निर्माण करें।

समाधान

यह सेट छात्रों को मिलने वाली पुस्तकों की संख्या के लिए कई विकल्पों का प्रतिनिधित्व करता है। आइए ऐसे विकल्पों की संख्या गिनें और उन्हें परिवर्तनशील क्रमबद्ध और परिवर्तनशील असतत वितरण श्रृंखला के रूप में व्यवस्थित करें।

समस्या 2 . 50 उद्यमों, हजार रूबल के लिए अचल संपत्तियों की लागत पर डेटा है।

उद्यमों के 5 समूहों (समान अंतराल पर) को उजागर करते हुए एक वितरण श्रृंखला बनाएं।

समाधान

हल करने के लिए, हम उद्यमों की अचल संपत्तियों के मूल्य का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनेंगे। ये 30.0 और 10.2 हजार रूबल हैं।

आइए अंतराल का आकार ज्ञात करें: h = (30.0-10.2):5= 3.96 हजार रूबल।

फिर पहले समूह में ऐसे उद्यम शामिल होंगे जिनकी अचल संपत्ति की राशि 10.2 हजार रूबल से होगी। 10.2+3.96=14.16 हजार रूबल तक। ऐसे 9 उद्यम होंगे। दूसरे समूह में वे उद्यम शामिल होंगे जिनकी अचल संपत्ति 14.16 हजार रूबल से होगी। 14.16+3.96=18.12 हजार रूबल तक। ऐसे 16 उद्यम होंगे। इसी प्रकार, हम तीसरे, चौथे और पांचवें समूह में शामिल उद्यमों की संख्या पाएंगे।

हम परिणामी वितरण श्रृंखला को तालिका में रखते हैं।

समस्या 3 . कई प्रकाश उद्योग उद्यमों के लिए निम्नलिखित डेटा प्राप्त किया गया था:

उद्यमों को श्रमिकों की संख्या के आधार पर समूहित करें, समान अंतराल पर 6 समूह बनाएं। प्रत्येक समूह के लिए गणना करें:

1. उद्यमों की संख्या
2. श्रमिकों की संख्या
3. प्रति वर्ष उत्पादित उत्पादों की मात्रा
4. प्रति कर्मचारी औसत वास्तविक उत्पादन
5. अचल संपत्तियों की मात्रा
6. एक उद्यम की अचल संपत्तियों का औसत आकार
7. एक उद्यम द्वारा उत्पादित उत्पादों का औसत मूल्य

गणना परिणामों को तालिकाओं में प्रस्तुत करें। परिणाम निकालना।

समाधान

हल करने के लिए, हम उद्यम में श्रमिकों की औसत संख्या के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों का चयन करेंगे। ये 43 और 256 हैं.

आइए अंतराल का आकार ज्ञात करें: h = (256-43):6 = 35.5

फिर पहले समूह में वे उद्यम शामिल होंगे जिनके श्रमिकों की औसत संख्या 43 से 43 + 35.5 = 78.5 लोग हैं। ऐसे 5 उद्यम होंगे। दूसरे समूह में वे उद्यम शामिल होंगे जिनके श्रमिकों की औसत संख्या 78.5 से 78.5+35.5=114 लोग होंगे। ऐसे 12 उद्यम होंगे। इसी प्रकार, हम तीसरे, चौथे, पांचवें और छठे समूह में शामिल उद्यमों की संख्या पाएंगे।

हम परिणामी वितरण श्रृंखला को एक तालिका में रखते हैं और प्रत्येक समूह के लिए आवश्यक संकेतकों की गणना करते हैं:

निष्कर्ष : जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, उद्यमों का दूसरा समूह सबसे अधिक है। इसमें 12 उद्यम शामिल हैं। सबसे छोटे समूह पाँचवें और छठे समूह (प्रत्येक में दो उद्यम) हैं। ये सबसे बड़े उद्यम हैं (श्रमिकों की संख्या के संदर्भ में)।

चूँकि दूसरा समूह सबसे बड़ा है, इस समूह के उद्यमों द्वारा प्रति वर्ष उत्पादित उत्पादों की मात्रा और अचल संपत्तियों की मात्रा अन्य की तुलना में काफी अधिक है। साथ ही, इस समूह के उद्यमों में प्रति कर्मचारी औसत वास्तविक उत्पादन सबसे बड़ा नहीं है। चौथे समूह के उद्यम यहां अग्रणी हैं। इस समूह के पास काफी बड़ी मात्रा में अचल संपत्तियां भी हैं।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि अचल संपत्तियों का औसत आकार और एक उद्यम द्वारा उत्पादित आउटपुट की औसत मात्रा सीधे उद्यम के आकार (श्रमिकों की संख्या के संदर्भ में) के समानुपाती होती है।