एक निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके घूमने वाले किसी पिंड के आयतन की गणना। घूमने वाले पिंड का आयतन

I. क्रांति के पिंडों की मात्रा। जी. एम. फिख्तेंगोल्ट्स की पाठ्यपुस्तक से अध्याय XII, पैराग्राफ 197, 198 का ​​प्रारंभिक अध्ययन करें * पैराग्राफ 198 में दिए गए उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें।

508. ऑक्स अक्ष के चारों ओर एक दीर्घवृत्त घुमाने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

इस प्रकार,

530. बिंदु X = 0 से बिंदु

531. ऊँचाई h और त्रिज्या r वाले शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें।

532. निर्मित सतह क्षेत्र की गणना करें

एस्ट्रोइड x3 -)- y* - a3 का ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमना।

533. ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र 18 ug - x (6 - x) z के लूप को घुमाने से बने सतह क्षेत्र की गणना करें।

534. ऑक्स अक्ष के चारों ओर वृत्त X2 - j - (y-3)2 = 4 के घूमने से उत्पन्न टोरस की सतह ज्ञात कीजिए।

535. वृत्त के घूमने से बने सतह क्षेत्र की गणना करें

536. ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 के लूप के घूमने से बने सतह क्षेत्र की गणना करें।

537. ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र x = e*sint, y = el लागत के चाप को घुमाने से बनने वाला सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

t = 0 से t = — तक।

538. दिखाएँ कि ओय अक्ष के चारों ओर चक्रवात चाप x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) के घूमने से बनी सतह 16 u2 o2 के बराबर है।

539. ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर कार्डियोइड को घुमाने से प्राप्त सतह ज्ञात कीजिए।

540. लेम्निस्केट के घूमने से बना सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर.

अध्याय IV के लिए अतिरिक्त कार्य

समतल आकृतियों का क्षेत्रफल

541. वक्र से घिरे क्षेत्र का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष बैल.

542. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

और अक्ष बैल.

543. प्रथम चतुर्थांश में स्थित तथा वक्र से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का भाग ज्ञात कीजिये

एल समन्वय अक्ष।

544. अन्दर समाहित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

लूप:

545. वक्र के एक लूप से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

546. लूप के अंदर समाहित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

547. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

और अक्ष बैल.

548. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

और अक्ष बैल.

549. ऑक्सर अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

सीधा और वक्र

घूमने वाले पिंड के आयतन की गणना कैसे करें
एक निश्चित अभिन्न का उपयोग कर रहे हैं?

सामान्य तौर पर, इंटीग्रल कैलकुलस में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं; एक निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके, आप एक आकृति के क्षेत्र, घूर्णन के पिंड की मात्रा, एक चाप की लंबाई, सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं रोटेशन और भी बहुत कुछ। तो यह मज़ेदार होगा, कृपया आशावादी बने रहें!

निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना करें। परिचय? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया... =))) हमें इसका क्षेत्रफल पहले ही पता चल गया है। लेकिन, इसके अलावा, इस आकृति को घुमाया भी जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

- भुज अक्ष के चारों ओर;
- कोर्डिनेट अक्ष के चारों ओर।

यह लेख दोनों मामलों की जांच करेगा. घूर्णन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है; यह सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वही है जो एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य घूर्णन में होता है। बोनस के रूप में मैं वापस आऊंगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और मैं आपको बताऊंगा कि क्षेत्र को दूसरे तरीके से कैसे खोजा जाए - अक्ष के साथ। यह इतना अधिक बोनस नहीं है क्योंकि सामग्री विषय में अच्छी तरह फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरुआत करें।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

एक अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान: जैसा कि क्षेत्र खोजने की समस्या में है, समाधान एक सपाट आकृति के चित्रण से शुरू होता है. अर्थात्, समतल पर रेखाओं से घिरी एक आकृति बनाना आवश्यक है, और यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को निर्दिष्ट करता है। किसी ड्राइंग को अधिक कुशलतापूर्वक और शीघ्रता से कैसे पूरा किया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुणऔर । यह एक चीनी अनुस्मारक है, और इस बिंदु पर मैं अधिक विस्तार से नहीं बताऊंगा।

यहाँ चित्रांकन काफी सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है; यह वह है जो धुरी के चारों ओर घूमती है। घूर्णन के परिणामस्वरूप, परिणाम थोड़ा अंडाकार उड़न तश्तरी है जो धुरी के बारे में सममित है। दरअसल, बॉडी का एक गणितीय नाम है, लेकिन मैं संदर्भ पुस्तक में कुछ भी स्पष्ट करने में बहुत आलसी हूं, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना कैसे करें?

परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

सूत्र में, संख्या पूर्णांक से पहले मौजूद होनी चाहिए। तो ऐसा हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा हुआ है।

मुझे लगता है कि पूर्ण ड्राइंग से यह अनुमान लगाना आसान है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमाएं कैसे निर्धारित की जाएं।

फ़ंक्शन... यह फ़ंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें. समतल आकृति शीर्ष पर परवलय के ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। इससे कुछ भी नहीं बदलता - सूत्र में समाकलन का वर्ग किया जाता है: , इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जो बहुत तार्किक है.

आइए इस सूत्र का उपयोग करके घूर्णन पिंड के आयतन की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, अभिन्न अंग लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

अपने उत्तर में आपको आयाम - घन इकाई अवश्य बताना होगा। अर्थात्, हमारे घूर्णन पिंड में लगभग 3.35 "क्यूब" होते हैं। घन क्यों इकाइयां? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण. घन सेंटीमीटर हो सकता है, घन मीटर हो सकता है, घन किलोमीटर हो सकता है, इत्यादि, यानी आपकी कल्पना एक उड़न तश्तरी में कितने हरे आदमी रख सकती है।

रेखाओं से घिरी एक आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका व्यवहार में भी अक्सर सामना किया जाता है।

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान: आइए हम रेखाचित्र में , , , , रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को चित्रित करें, बिना यह भूले कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है। जब यह अपनी धुरी पर घूमता है, तो यह चार कोनों वाला एक असली डोनट बन जाता है।

आइए हम घूर्णन पिंड के आयतन की गणना इस प्रकार करें पिंडों के आयतन में अंतर.

सबसे पहले, आइए लाल घेरे वाली आकृति को देखें। जब यह एक अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को से निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसके आयतन को से निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह दिलचस्प है कि इस मामले में काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा लिखा जाता है, कुछ इस प्रकार:

आइए अब थोड़ा आराम करें और आपको ज्यामितीय भ्रम के बारे में बताएं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (दूसरे) ने किताब में देखा था मनोरंजक ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा प्रतीत होता है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाइयों से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में एक कमरे के 18 वर्ग मीटर के बराबर तरल पदार्थ पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत कम मात्रा लगता है।

एक गीतात्मक विषयांतर के बाद, एक रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी मामले बैंड में होते हैं, दूसरे शब्दों में, एकीकरण की तैयार सीमाएँ वास्तव में दी जाती हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ सही ढंग से बनाएं, मैं आपको इसके बारे में पाठ सामग्री की याद दिला दूं ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क को दो: से विभाजित किया जाता है, तो ग्राफ़ अक्ष के अनुदिश दो बार खींचे जाते हैं। कम से कम 3-4 अंक खोजने की सलाह दी जाती है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारड्राइंग को अधिक सटीकता से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी अधिक दिलचस्प होगा. कोटि अक्ष के चारों ओर क्रांति के पिंड की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षण कार्य में एक काफी सामान्य अतिथि है। साथ ही इस पर विचार किया जाएगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरी विधि अक्ष के साथ एकीकरण है, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको सबसे लाभदायक समाधान पथ ढूंढना भी सिखाएगा। इसमें व्यावहारिक जीवन का अर्थ भी है! जैसा कि गणित शिक्षण विधियों पर मेरे शिक्षक ने मुस्कुराते हुए याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमें बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और कर्मचारियों का बेहतर प्रबंधन करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं भी उनके प्रति अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं हर किसी को इसकी अनुशंसा करता हूं, यहां तक ​​कि पूर्ण नौसिखियों को भी। इसके अलावा, दूसरे पैराग्राफ में सीखी गई सामग्री दोहरे इंटीग्रल की गणना में अमूल्य सहायता प्रदान करेगी.

रेखाओं , , से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा बिंदु पढ़ना चाहते हों, पहले पहला पढ़ना सुनिश्चित करें!

समाधान: कार्य में दो भाग हैं। चलिए वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए एक चित्र बनाएं:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को निर्दिष्ट करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को निर्दिष्ट करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है जो "इसके किनारे पर स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर कक्षा में चर्चा की गई थी समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रफलों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर.

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान ख़राब क्यों है? सबसे पहले, हमें दो अभिन्न अंग मिले। दूसरे, अभिन्न के अंतर्गत जड़ें होती हैं, और अभिन्न में जड़ें कोई उपहार नहीं हैं, और इसके अलावा, आप एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में भ्रमित हो सकते हैं। वास्तव में, इंटीग्रल, निश्चित रूप से, हत्यारा नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद हो सकता है, मैंने समस्या के लिए सिर्फ "बेहतर" कार्यों का चयन किया है।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें व्युत्क्रम कार्यों पर स्विच करना और अक्ष के साथ एकीकृत करना शामिल है।

व्युत्क्रम फलन कैसे प्राप्त करें? मोटे तौर पर कहें तो, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करना होगा। सबसे पहले, आइए परवलय को देखें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सके:

सीधी रेखा से यह आसान है:

अब धुरी को देखें: जैसा कि आप समझाते हैं, कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाईं ओर 90 डिग्री तक झुकाएं (यह कोई मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इस मामले में, खंड पर सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्रफल आपके पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव हुआ है? बस एक पत्र और कुछ नहीं.

! टिप्पणी: अक्ष के अनुदिश एकीकरण की सीमाएँ निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

कृपया ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और कार्य के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट हो जाएगा कि क्यों।

उन पाठकों के लिए जो एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करते हैं, मैं डेरिवेटिव ढूंढूंगा:

मूल इंटीग्रैंड फ़ंक्शन प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया गया था।

उत्तर:

2) आइए इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से बनाऊंगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती हुई तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

घूर्णन पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के अनुदिश एकीकृत होंगे। सबसे पहले हमें व्युत्क्रम फलनों पर जाना होगा। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपना सिर फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, घूमने वाले पिंड का आयतन आयतन के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए हम इस आयतन को से निरूपित करें।

हम अक्ष के चारों ओर हरे रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं और इसे घूर्णन के परिणामी निकाय की मात्रा से दर्शाते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

पिछले पैराग्राफ के सूत्र से क्या अंतर है? केवल पत्र में.

लेकिन एकीकरण का लाभ, जिसके बारे में मैंने हाल ही में बात की, उसे खोजना बहुत आसान है , पहले इंटीग्रैंड को चौथी शक्ति तक बढ़ाने के बजाय।

उत्तर:

कृपया ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो आपको स्वाभाविक रूप से एक अलग आयतन के साथ घूर्णन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलेगा।

रेखाओं और एक अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) व्युत्क्रम फलनों पर जाएँ और चर पर समाकलन करके इन रेखाओं से घिरी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। रुचि रखने वाले लोग किसी आकृति का क्षेत्रफल "सामान्य" तरीके से भी ज्ञात कर सकते हैं, जिससे बिंदु 1 की जाँच हो सकती है)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप धुरी के चारों ओर एक सपाट आकृति घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ घूर्णन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलेगा, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो समस्याओं को हल करना पसंद करते हैं)।

कार्य के दो प्रस्तावित बिंदुओं का संपूर्ण समाधान पाठ के अंत में है।

हाँ, और घूर्णन के निकायों और एकीकरण की सीमाओं को समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!

मैं लेख समाप्त करने ही वाला था, लेकिन आज वे कोटि अक्ष के चारों ओर परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए एक दिलचस्प उदाहरण लेकर आए। ताजा:

वक्रों से घिरी एक आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाएं:

साथ ही, हम कुछ अन्य फ़ंक्शंस के ग्राफ़ से परिचित होते हैं। यहां एक सम फलन का एक दिलचस्प ग्राफ है...

परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

सूत्र में, संख्या पूर्णांक से पहले मौजूद होनी चाहिए। तो ऐसा हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा हुआ है।

मुझे लगता है कि पूर्ण ड्राइंग से यह अनुमान लगाना आसान है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमाएं कैसे निर्धारित की जाएं।

फ़ंक्शन... यह फ़ंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें. समतल आकृति शीर्ष पर परवलय के ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। इससे कुछ भी नहीं बदलता - सूत्र में फ़ंक्शन का वर्ग किया जाता है: , इस प्रकार परिक्रमण पिंड का आयतन हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जो बहुत तार्किक है.

आइए इस सूत्र का उपयोग करके घूर्णन पिंड के आयतन की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, अभिन्न अंग लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

अपने उत्तर में आपको आयाम - घन इकाई अवश्य बताना होगा। अर्थात्, हमारे घूर्णन पिंड में लगभग 3.35 "क्यूब" होते हैं। घन क्यों इकाइयां? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण. घन सेंटीमीटर हो सकता है, घन मीटर हो सकता है, घन किलोमीटर हो सकता है, इत्यादि, यानी आपकी कल्पना एक उड़न तश्तरी में कितने हरे आदमी रख सकती है।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी एक आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका व्यवहार में भी अक्सर सामना किया जाता है।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान:आइए हम रेखाचित्र में , , , , रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को चित्रित करें, बिना यह भूले कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है। जब यह अपनी धुरी पर घूमता है, तो यह चार कोनों वाला एक असली डोनट बन जाता है।

आइए हम घूर्णन पिंड के आयतन की गणना इस प्रकार करें पिंडों के आयतन में अंतर.

सबसे पहले, आइए लाल घेरे वाली आकृति को देखें। जब यह एक अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को से निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसके आयतन को से निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह दिलचस्प है कि इस मामले में काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा लिखा जाता है, कुछ इस प्रकार:

आइए अब थोड़ा आराम करें और आपको ज्यामितीय भ्रम के बारे में बताएं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (वह नहीं) ने किताब में देखा था मनोरंजक ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा प्रतीत होता है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाइयों से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में एक कमरे के 18 वर्ग मीटर के बराबर तरल पदार्थ पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत कम मात्रा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सर्वश्रेष्ठ थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, जो उन्होंने 1950 में लिखी थी, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, सोच और समस्याओं के मूल, गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाती है। मैंने हाल ही में कुछ अध्यायों को बड़ी रुचि के साथ दोबारा पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने खाली समय दिया, संचार में विद्वता और व्यापक क्षितिज बहुत अच्छी बात है।

एक गीतात्मक विषयांतर के बाद, एक रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी चीजें बैंड में होती हैं, दूसरे शब्दों में, एकीकरण की व्यावहारिक रूप से तैयार सीमाएँ दी जाती हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ को सही ढंग से खींचने का भी प्रयास करें; यदि तर्क दो से विभाजित है: तो ग्राफ़ अक्ष के साथ दो बार खींचे जाते हैं। कम से कम 3-4 अंक खोजने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारऔर ड्राइंग को अधिक सटीकता से पूरा करें। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी अधिक दिलचस्प होगा. कोटि अक्ष के चारों ओर क्रांति के पिंड की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षण कार्य में एक काफी सामान्य अतिथि है। साथ ही इस पर विचार किया जाएगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरी विधि अक्ष के साथ एकीकरण है, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको सबसे लाभदायक समाधान पथ ढूंढना भी सिखाएगा। इसमें व्यावहारिक जीवन का अर्थ भी है! जैसा कि गणित शिक्षण विधियों पर मेरे शिक्षक ने मुस्कुराते हुए याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमें बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और कर्मचारियों का बेहतर प्रबंधन करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं भी उनके प्रति अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

उदाहरण 5

रेखाओं , , से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा बिंदु पढ़ना चाहते हों, पहले अनिवार्य रूप सेपहला पढ़ो!

समाधान:कार्य में दो भाग होते हैं. चलिए वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए एक चित्र बनाएं:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को निर्दिष्ट करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को निर्दिष्ट करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है जो "इसके किनारे पर स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर कक्षा में चर्चा की गई थी समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रफलों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर.

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान ख़राब क्यों है? सबसे पहले, हमें दो अभिन्न अंग मिले। दूसरे, अभिन्न जड़ें हैं, और अभिन्न में जड़ें कोई उपहार नहीं हैं, और इसके अलावा, आप एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में भ्रमित हो सकते हैं। वास्तव में, इंटीग्रल, निश्चित रूप से, हत्यारा नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद हो सकता है, मैंने समस्या के लिए सिर्फ "बेहतर" कार्यों का चयन किया है।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें व्युत्क्रम कार्यों पर स्विच करना और अक्ष के साथ एकीकृत करना शामिल है।

व्युत्क्रम फलन कैसे प्राप्त करें? मोटे तौर पर कहें तो, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करना होगा। सबसे पहले, आइए परवलय को देखें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सके:

सीधी रेखा से यह आसान है:

अब धुरी को देखें: जैसा कि आप समझाते हैं, कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाईं ओर 90 डिग्री तक झुकाएं (यह कोई मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इस मामले में, खंड पर सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्रफल आपके पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव हुआ है? बस एक पत्र और कुछ नहीं.

! नोट: अक्ष के साथ एकीकरण सीमाएँ निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

कृपया ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और कार्य के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट हो जाएगा कि क्यों।

उन पाठकों के लिए जो एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करते हैं, मैं डेरिवेटिव ढूंढूंगा:

मूल इंटीग्रैंड फ़ंक्शन प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया गया था।

उत्तर:

2) आइए इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से बनाऊंगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती हुई तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

घूर्णन पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के अनुदिश एकीकृत होंगे। सबसे पहले हमें व्युत्क्रम फलनों पर जाना होगा। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपना सिर फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, घूमने वाले पिंड का आयतन आयतन के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए हम इस आयतन को से निरूपित करें।

हम अक्ष के चारों ओर हरे रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं और इसे घूर्णन के परिणामी निकाय की मात्रा से दर्शाते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

पिछले पैराग्राफ के सूत्र से क्या अंतर है? केवल पत्र में.

लेकिन एकीकरण का लाभ, जिसके बारे में मैंने हाल ही में बात की, उसे खोजना बहुत आसान है , पहले इंटीग्रैंड को चौथी शक्ति तक बढ़ाने के बजाय।

उत्तर:

हालाँकि, बीमार तितली नहीं।

कृपया ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो आपको स्वाभाविक रूप से एक अलग आयतन के साथ घूर्णन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलेगा।

उदाहरण 6

रेखाओं और एक अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) व्युत्क्रम फलनों पर जाएँ और चर पर समाकलन करके इन रेखाओं से घिरी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

के अलावा एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना (देखें 7.2.3.)विषय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना करना. सामग्री सरल है, लेकिन पाठक को तैयार रहना चाहिए: आपको हल करने में सक्षम होना चाहिए अनिश्चितकालीन अभिन्नमध्यम जटिलता और न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करें निश्चित अभिन्न, एनआपको मजबूत ड्राइंग कौशल की भी आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, इंटीग्रल कैलकुलस में कई दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं; एक निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके, आप एक आकृति के क्षेत्र, घूर्णन के पिंड का आयतन, एक चाप की लंबाई, एक पिंड के सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं और भी बहुत कुछ। निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना करें। परिचय? ... अब इस आकृति को घुमाया भी जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के आसपास ;

- कोर्डिनेट अक्ष के चारों ओर .

आइए दोनों मामलों पर नजर डालें। घूर्णन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है; यह सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वही है जो एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य घूर्णन में होता है। आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरुआत करें।

एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाने से बने पिंड के आयतन की गणना बैल

उदाहरण 1

एक अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:जैसे क्षेत्र खोजने की समस्या में, समाधान एक सपाट आकृति के चित्रण से शुरू होता है. यानी हवाई जहाज़ पर XOYरेखाओं से घिरी एक आकृति बनाना आवश्यक है, और यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को निर्दिष्ट करता है। यहाँ चित्रांकन काफी सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है; यह वह है जो धुरी के चारों ओर घूमती है। घूर्णन के परिणामस्वरूप, धुरी पर दो तेज चोटियों के साथ थोड़ा अंडाकार उड़न तश्तरी प्राप्त होती है बैल, अक्ष के बारे में सममित बैल. वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, संदर्भ पुस्तक में देखें।

परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना कैसे करें? यदि कोई पिंड किसी अक्ष के चारों ओर घूमने के परिणामस्वरूप बनता हैबैल, यह मानसिक रूप से छोटी मोटाई की समानांतर परतों में विभाजित है डीएक्स, जो अक्ष के लंबवत हैं बैल. पूरे शरीर का आयतन स्पष्ट रूप से ऐसी प्राथमिक परतों के आयतन के योग के बराबर है। प्रत्येक परत, नींबू के गोल टुकड़े की तरह, ऊंचाई में एक कम सिलेंडर है डीएक्सऔर आधार त्रिज्या के साथ एफ(एक्स). फिर एक परत का आयतन आधार क्षेत्र π का ​​गुणनफल है एफ 2 प्रति सिलेंडर ऊंचाई ( डीएक्स), या π∙ एफ 2 (एक्स)∙डीएक्स. और घूर्णन के संपूर्ण पिंड का क्षेत्रफल प्राथमिक आयतन, या संबंधित निश्चित अभिन्न अंग का योग है। परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

.

"ए" और "बी" के एकीकरण की सीमा कैसे निर्धारित की जाए, इसका अंदाजा पूरी ड्राइंग से आसानी से लगाया जा सकता है। फ़ंक्शन... यह फ़ंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें. समतल आकृति शीर्ष पर परवलय के ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है। व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है बैल. इससे कुछ भी नहीं बदलता - सूत्र में फ़ंक्शन का वर्ग किया जाता है: एफ 2 (एक्स), इस प्रकार, परिक्रमण पिंड का आयतन हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जो बहुत तार्किक है. आइए इस सूत्र का उपयोग करके घूर्णन पिंड के आयतन की गणना करें:

.

जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, अभिन्न अंग लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

अपने उत्तर में आपको आयाम - घन इकाई अवश्य बताना होगा। अर्थात्, हमारे घूर्णन पिंड में लगभग 3.35 "क्यूब" होते हैं। घन क्यों इकाइयां? क्योंकि यह सर्वाधिक सार्वभौमिक सूत्रीकरण है। घन सेंटीमीटर हो सकता है, घन मीटर हो सकता है, घन किलोमीटर हो सकता है, इत्यादि, यानी आपकी कल्पना एक उड़न तश्तरी में कितने हरे आदमी रख सकती है।

उदाहरण 2

किसी अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए बैलरेखाओं से घिरी एक आकृति , , .

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति को , , तथा भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:आइए समीकरण को भूले बिना, रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को चित्र में चित्रित करें एक्स= 0 अक्ष निर्दिष्ट करता है ओए:

वांछित आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है। जब यह एक अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलपरिणाम एक सपाट, कोणीय डोनट (दो शंक्वाकार सतहों वाला एक वॉशर) है।

आइए हम घूर्णन पिंड के आयतन की गणना इस प्रकार करें पिंडों के आयतन में अंतर. सबसे पहले, आइए लाल घेरे वाली आकृति को देखें। जब यह एक अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलपरिणाम एक छोटा शंकु है. आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को इससे निरूपित करें वी 1 .

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं बैल, फिर आपको वही कटा हुआ शंकु मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए हम इसके आयतन को इससे निरूपित करें वी 2 .

यह स्पष्ट है कि मात्रा में अंतर है वी = वी 1 - वी 2 हमारे "डोनट" का आयतन है।

हम परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह दिलचस्प है कि इस मामले में काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा लिखा जाता है, कुछ इस प्रकार:

क्षेत्र ढूंढने की समस्या की तरह, आपको आश्वस्त ड्राइंग कौशल की आवश्यकता है - यह लगभग सबसे महत्वपूर्ण बात है (क्योंकि इंटीग्रल स्वयं अक्सर आसान होंगे)। आप शिक्षण सामग्री और ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों की सहायता से सक्षम और तेज़ ग्राफ़िंग तकनीकों में महारत हासिल कर सकते हैं। लेकिन, वास्तव में, मैं पहले ही कक्षा में कई बार रेखाचित्रों के महत्व के बारे में बात कर चुका हूँ।

सामान्य तौर पर, इंटीग्रल कैलकुलस में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं; एक निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके, आप एक आकृति के क्षेत्र, घूर्णन के पिंड का आयतन, चाप की लंबाई, घूर्णन की सतह क्षेत्र और बहुत कुछ की गणना कर सकते हैं अधिक। तो यह मज़ेदार होगा, कृपया आशावादी बने रहें!

निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना करें। परिचय? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया... =))) हमें इसका क्षेत्रफल पहले ही पता चल गया है। लेकिन, इसके अलावा, इस आकृति को घुमाया भी जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

– भुज अक्ष के चारों ओर;
- कोर्डिनेट अक्ष के चारों ओर।

यह लेख दोनों मामलों की जांच करेगा. घूर्णन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है; यह सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वही है जो एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य घूर्णन में होता है। बोनस के रूप में मैं वापस आऊंगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और मैं आपको बताऊंगा कि क्षेत्र को दूसरे तरीके से कैसे खोजा जाए - अक्ष के साथ। यह इतना अधिक बोनस नहीं है क्योंकि सामग्री विषय में अच्छी तरह फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरुआत करें।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

उदाहरण 1

एक अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान: जैसा कि क्षेत्र खोजने की समस्या में है, समाधान एक सपाट आकृति के चित्रण से शुरू होता है. अर्थात्, समतल पर रेखाओं से घिरी एक आकृति बनाना आवश्यक है, और यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को निर्दिष्ट करता है। किसी ड्राइंग को अधिक कुशलतापूर्वक और शीघ्रता से कैसे पूरा किया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुणऔर समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. यह एक चीनी अनुस्मारक है, और इस बिंदु पर मैं अधिक विस्तार से नहीं बताऊंगा।

यहाँ चित्रांकन काफी सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है; यह वह है जो धुरी के चारों ओर घूमती है। घूर्णन के परिणामस्वरूप, परिणाम थोड़ा अंडाकार उड़न तश्तरी है जो धुरी के बारे में सममित है। दरअसल, बॉडी का एक गणितीय नाम है, लेकिन मैं संदर्भ पुस्तक में कुछ भी स्पष्ट करने में बहुत आलसी हूं, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना कैसे करें?

परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

सूत्र में, संख्या पूर्णांक से पहले मौजूद होनी चाहिए। तो ऐसा हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा हुआ है।

मुझे लगता है कि पूर्ण ड्राइंग से यह अनुमान लगाना आसान है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमाएं कैसे निर्धारित की जाएं।

फ़ंक्शन... यह फ़ंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें. समतल आकृति शीर्ष पर परवलय के ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। इससे कुछ भी नहीं बदलता - सूत्र में समाकलन का वर्ग किया जाता है: , इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जो बहुत तार्किक है.

आइए इस सूत्र का उपयोग करके घूर्णन पिंड के आयतन की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, अभिन्न अंग लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

अपने उत्तर में आपको आयाम - घन इकाई अवश्य बताना होगा। अर्थात्, हमारे घूर्णन पिंड में लगभग 3.35 "क्यूब" होते हैं। घन क्यों इकाइयां? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण. घन सेंटीमीटर हो सकता है, घन मीटर हो सकता है, घन किलोमीटर हो सकता है, इत्यादि, यानी आपकी कल्पना एक उड़न तश्तरी में कितने हरे आदमी रख सकती है।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी एक आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका व्यवहार में भी अक्सर सामना किया जाता है।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान: आइए हम रेखाचित्र में , , , , रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को चित्रित करें, बिना यह भूले कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है। जब यह अपनी धुरी पर घूमता है, तो यह चार कोनों वाला एक असली डोनट बन जाता है।

आइए हम घूर्णन पिंड के आयतन की गणना इस प्रकार करें पिंडों के आयतन में अंतर.

सबसे पहले, आइए लाल घेरे वाली आकृति को देखें। जब यह एक अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को से निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसके आयतन को से निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग से घिरी आकृति ऊपर एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह दिलचस्प है कि इस मामले में काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा लिखा जाता है, कुछ इस प्रकार:

आइए अब थोड़ा आराम करें और आपको ज्यामितीय भ्रम के बारे में बताएं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (दूसरे) ने किताब में देखा था मनोरंजक ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा प्रतीत होता है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाइयों से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में एक कमरे के 18 वर्ग मीटर के बराबर तरल पदार्थ पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत कम मात्रा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सर्वश्रेष्ठ थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, जो 1950 में प्रकाशित हुई थी, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, सोच विकसित करती है और आपको समस्याओं के मूल, गैर-मानक समाधान ढूंढना सिखाती है। मैंने हाल ही में कुछ अध्यायों को बड़ी रुचि के साथ दोबारा पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने खाली समय दिया, संचार में विद्वता और व्यापक क्षितिज बहुत अच्छी बात है।

एक गीतात्मक विषयांतर के बाद, एक रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि सभी मामले बैंड में होते हैं, दूसरे शब्दों में, एकीकरण की तैयार सीमाएँ वास्तव में दी जाती हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ सही ढंग से बनाएं, मैं आपको इसके बारे में पाठ सामग्री की याद दिला दूं ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क को दो: से विभाजित किया जाता है, तो ग्राफ़ अक्ष के अनुदिश दो बार खींचे जाते हैं। कम से कम 3-4 अंक खोजने की सलाह दी जाती है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारड्राइंग को अधिक सटीकता से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी अधिक दिलचस्प होगा. कोटि अक्ष के चारों ओर क्रांति के पिंड की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षण कार्य में एक काफी सामान्य अतिथि है। साथ ही इस पर विचार किया जाएगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरी विधि अक्ष के साथ एकीकरण है, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको सबसे लाभदायक समाधान पथ ढूंढना भी सिखाएगा। इसमें व्यावहारिक जीवन का अर्थ भी है! जैसा कि गणित शिक्षण विधियों पर मेरे शिक्षक ने मुस्कुराते हुए याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमें बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और कर्मचारियों का बेहतर प्रबंधन करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं भी उनके प्रति अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं हर किसी को इसकी अनुशंसा करता हूं, यहां तक ​​कि पूर्ण नौसिखियों को भी। इसके अलावा, दूसरे पैराग्राफ में सीखी गई सामग्री दोहरे इंटीग्रल की गणना में अमूल्य सहायता प्रदान करेगी.

उदाहरण 5

रेखाओं , , से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा बिंदु पढ़ना चाहते हों, पहले अनिवार्य रूप सेपहला पढ़ो!

समाधान: कार्य में दो भाग हैं। चलिए वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए एक चित्र बनाएं:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को निर्दिष्ट करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को निर्दिष्ट करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है जो "इसके किनारे पर स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर कक्षा में चर्चा की गई थी समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रफलों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर.

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान ख़राब क्यों है? सबसे पहले, हमें दो अभिन्न अंग मिले। दूसरे, अभिन्न जड़ें हैं, और अभिन्न में जड़ें कोई उपहार नहीं हैं, और इसके अलावा, आप एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में भ्रमित हो सकते हैं। वास्तव में, इंटीग्रल, निश्चित रूप से, हत्यारा नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद हो सकता है, मैंने समस्या के लिए सिर्फ "बेहतर" कार्यों का चयन किया है।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें व्युत्क्रम कार्यों पर स्विच करना और अक्ष के साथ एकीकृत करना शामिल है।

व्युत्क्रम फलन कैसे प्राप्त करें? मोटे तौर पर कहें तो, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करना होगा। सबसे पहले, आइए परवलय को देखें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सके:

सीधी रेखा से यह आसान है:

अब धुरी को देखें: जैसा कि आप समझाते हैं, कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाईं ओर 90 डिग्री तक झुकाएं (यह कोई मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इस मामले में, खंड पर सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्रफल आपके पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव हुआ है? बस एक पत्र और कुछ नहीं.

! टिप्पणी: अक्ष के अनुदिश एकीकरण की सीमाएँ निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

कृपया ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और कार्य के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट हो जाएगा कि क्यों।

उन पाठकों के लिए जो एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करते हैं, मैं डेरिवेटिव ढूंढूंगा:

मूल इंटीग्रैंड फ़ंक्शन प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया गया था।

उत्तर:

2) आइए इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से बनाऊंगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती हुई तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

घूर्णन पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के अनुदिश एकीकृत होंगे। सबसे पहले हमें व्युत्क्रम फलनों पर जाना होगा। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपना सिर फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, घूमने वाले पिंड का आयतन आयतन के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए हम इस आयतन को से निरूपित करें।

हम अक्ष के चारों ओर हरे रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं और इसे घूर्णन के परिणामी निकाय की मात्रा से दर्शाते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम परिक्रमण पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

पिछले पैराग्राफ के सूत्र से क्या अंतर है? केवल पत्र में.

लेकिन एकीकरण का लाभ, जिसके बारे में मैंने हाल ही में बात की, उसे खोजना बहुत आसान है , पहले इंटीग्रैंड को चौथी शक्ति तक बढ़ाने के बजाय।

उत्तर:

हालाँकि, बीमार तितली नहीं।

कृपया ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो आपको स्वाभाविक रूप से एक अलग आयतन के साथ घूर्णन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलेगा।

उदाहरण 6

रेखाओं और एक अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति दी गई है।

1) व्युत्क्रम फलनों पर जाएँ और चर पर समाकलन करके इन रेखाओं से घिरी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। रुचि रखने वाले लोग किसी आकृति का क्षेत्रफल "सामान्य" तरीके से भी ज्ञात कर सकते हैं, जिससे बिंदु 1 की जाँच हो सकती है)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप धुरी के चारों ओर एक सपाट आकृति घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ घूर्णन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलेगा, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो समस्याओं को हल करना पसंद करते हैं)।

कार्य के दो प्रस्तावित बिंदुओं का संपूर्ण समाधान पाठ के अंत में है।

हाँ, और घूर्णन के निकायों और एकीकरण की सीमाओं को समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!