त्रिभुजों के प्रकार, कोण और भुजाएँ। त्रिभुज के गुण
आज हम जा रहे हैं ज्यामिति के देश में, जहां हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।
ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें और उनमें से "अतिरिक्त" को ढूंढें (चित्र 1)।
चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण
हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।
चावल। 2. चतुर्भुज
इसका मतलब है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।
चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण
त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं।
बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज के शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।
त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज होते हैं तीव्र, आयताकार और कुंठित.
एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90° से कम हों (चित्र 4)।
चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज
एक त्रिभुज को आयताकार कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।
चावल। 5. समकोण त्रिभुज
एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक कोण हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।
चावल। 6. अधिक त्रिभुज
समान भुजाओं की संख्या के आधार पर त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।
चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज
इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .
चावल। 8. न्यून एवं अधिक समद्विबाहु त्रिभुज
समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।
चावल। 9. समबाहु त्रिभुज
एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा न्यूनकोण.
एक विषमकोण त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है (चित्र 10)।
चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज
कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।
चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण
सबसे पहले, आइए कोणों के आकार के अनुसार वितरित करें।
न्यूनकोण त्रिभुज: क्रमांक 1, क्रमांक 3.
समकोण त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 6।
अधिक त्रिभुज: क्रमांक 4, क्रमांक 5।
हम समान त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में वितरित करेंगे।
स्केलीन त्रिकोण: संख्या 4, संख्या 6।
समद्विबाहु त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 3, क्रमांक 5।
समबाहु त्रिभुज: क्रमांक 1.
चित्रों को देखो।
इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (चित्र 12)।
चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण
आप ऐसा सोच सकते हैं.
तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। तस्वीर में उन्हें तीसरे नंबर पर दिखाया गया है.
तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया गया है, ताकि इसका उपयोग स्केलीन त्रिकोण बनाने के लिए किया जा सके। इसे चित्र में सबसे पहले दिखाया गया है।
तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया गया है, जहां दो भागों की लंबाई समान है, जिसका अर्थ है कि इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। तस्वीर में उन्हें दूसरे नंबर पर दिखाया गया है.
आज कक्षा में हमने विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में सीखा।
ग्रन्थसूची
- एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 1. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
- एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 2. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
- एम.आई. मोरो. गणित पाठ: शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें। तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
- विनियामक दस्तावेज़. सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
- "रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
- एस.आई. वोल्कोवा। गणित: परीक्षण पत्र. तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
- वी.एन. रुडनिट्स्काया। परीक्षण। - एम.: "परीक्षा", 2012।
- Nsportal.ru ()।
- Prosv.ru ()।
- Do.gendocs.ru ()।
गृहकार्य
1. वाक्यांशों को पूरा करें.
a) त्रिभुज एक आकृति है जिसमें ... जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और ... जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।
ख) अंक कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….
ग) कोण के आकार के अनुसार, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .
घ) समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .
2. ड्रा
ए) समकोण त्रिभुज;
बी) तीव्र त्रिकोण;
ग) कुंठित त्रिभुज;
घ) समबाहु त्रिभुज;
ई) स्केलीन त्रिकोण;
ई) समद्विबाहु त्रिभुज।
3. अपने दोस्तों के लिए पाठ के विषय पर एक असाइनमेंट बनाएं।
स्कूल में पढ़ा जाने वाला सबसे सरल बहुभुज एक त्रिभुज है। यह छात्रों के लिए अधिक समझने योग्य है और कम कठिनाइयों का सामना करता है। इस तथ्य के बावजूद कि त्रिभुज विभिन्न प्रकार के होते हैं, जिनमें विशेष गुण होते हैं।
किस आकृति को त्रिभुज कहते हैं?
तीन बिंदुओं और खंडों से निर्मित। पहले वाले को शीर्ष कहा जाता है, दूसरे को भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, सभी तीन खंडों को जोड़ा जाना चाहिए ताकि उनके बीच कोण बन सकें। इसलिए "त्रिकोण" आकृति का नाम।
हर कोने में नामों में अंतर
चूँकि वे न्यून, अधिक और सीधे हो सकते हैं, इसलिए त्रिभुजों के प्रकार इन नामों से निर्धारित होते हैं। तदनुसार, ऐसे आंकड़ों के तीन समूह हैं।
- पहला। यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण हों तो वह न्यूनकोण कहलाएगा। सब कुछ तार्किक है.
- दूसरा। इनमें से एक कोण अधिक कोण है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज अधिक कोण है। यह इससे अधिक सरल नहीं हो सकता.
- तीसरा। 90 डिग्री के बराबर एक कोण होता है, जिसे समकोण कहते हैं। त्रिभुज आयताकार हो जाता है.
किनारों पर नामों में अंतर
भुजाओं की विशेषताओं के आधार पर, निम्न प्रकार के त्रिभुजों को प्रतिष्ठित किया जाता है:
सामान्य मामला स्केलीन है, जिसमें सभी भुजाएँ मनमानी लंबाई की होती हैं;
समद्विबाहु, जिसकी दो भुजाओं का संख्यात्मक मान समान हो;
समबाहु, इसकी सभी भुजाओं की लंबाई समान है।
यदि समस्या किसी विशिष्ट प्रकार के त्रिभुज को निर्दिष्ट नहीं करती है, तो आपको एक मनमाना त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है। जिसके सभी कोने नुकीले हैं और किनारों की लंबाई अलग-अलग है।
सभी त्रिभुजों में समान गुण
- यदि आप किसी त्रिभुज के सभी कोणों को जोड़ते हैं, तो आपको 180º के बराबर संख्या प्राप्त होती है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस प्रकार का है। यह नियम हमेशा लागू रहता है.
- किसी त्रिभुज की किसी भी भुजा का संख्यात्मक मान अन्य दो को जोड़ने पर प्राप्त संख्या से कम होता है। इसके अलावा, यह उनके अंतर से भी बड़ा है।
- प्रत्येक बाह्य कोण का एक मान होता है जो दो आंतरिक कोणों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जो उसके समीप नहीं हैं। इसके अलावा, यह हमेशा अपने बगल वाले आंतरिक हिस्से से बड़ा होता है।
- सबसे छोटा कोण हमेशा त्रिभुज की छोटी भुजा के विपरीत होता है। और इसके विपरीत, यदि भुजा बड़ी है, तो कोण सबसे बड़ा होगा।
ये गुण हमेशा मान्य होते हैं, चाहे समस्याओं में किसी भी प्रकार के त्रिभुज पर विचार किया जाए। बाकी सभी विशिष्ट विशेषताओं से अनुसरण करते हैं।
एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण
- आधार से सटे हुए कोण बराबर होते हैं।
- ऊँचाई, जो आधार की ओर खींची गई है, मध्यिका और समद्विभाजक भी है।
- ऊँचाई, माध्यिकाएँ और समद्विभाजक, जो त्रिभुज की पार्श्व भुजाओं पर बने होते हैं, क्रमशः एक दूसरे के बराबर होते हैं।
एक समबाहु त्रिभुज के गुण
यदि ऐसा कोई आंकड़ा है, तो थोड़ा ऊपर वर्णित सभी गुण सत्य होंगे। क्योंकि एक समबाहु सदैव समद्विबाहु होगा। लेकिन इसके विपरीत नहीं; एक समद्विबाहु त्रिभुज आवश्यक रूप से समबाहु नहीं होगा।
- इसके सभी कोण एक दूसरे के बराबर हैं और इनका मान 60º है।
- समबाहु त्रिभुज की कोई भी माध्यिका उसकी ऊंचाई और समद्विभाजक होती है। इसके अलावा, वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं। उनके मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, एक सूत्र है जिसमें पक्ष के गुणनफल और 3 के वर्गमूल को 2 से विभाजित किया जाता है।
समकोण त्रिभुज के गुण
- दो न्यून कोणों का योग 90º होता है।
- कर्ण की लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है।
- कर्ण पर खींची गई माध्यिका का संख्यात्मक मान उसके आधे के बराबर होता है।
- यदि पैर 30º के कोण के विपरीत स्थित है तो पैर समान मान के बराबर है।
- ऊँचाई, जो शीर्ष से 90º मान के साथ खींची जाती है, की पैरों पर एक निश्चित गणितीय निर्भरता होती है: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2। यहां: ए, बी - पैर, एन - ऊंचाई।
विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के साथ समस्याएँ
नंबर 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया गया है। इसका परिमाप ज्ञात है और 90 सेमी के बराबर है। हमें इसकी भुजाएँ ज्ञात करनी हैं। एक अतिरिक्त शर्त के रूप में: पार्श्व भाग आधार से 1.2 गुना छोटा है।
परिधि का मान सीधे तौर पर उन मात्राओं पर निर्भर करता है जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। तीनों भुजाओं का योग 90 सेमी होगा। अब आपको त्रिभुज का चिन्ह याद रखना होगा, जिसके अनुसार यह समद्विबाहु है। यानी दोनों पक्ष बराबर हैं. आप दो अज्ञात के साथ एक समीकरण बना सकते हैं: 2a + b = 90. यहां a भुजा है, b आधार है।
अब एक अतिरिक्त शर्त का समय आ गया है. इसके बाद, दूसरा समीकरण प्राप्त होता है: b = 1.2a। आप इस अभिव्यक्ति को पहले वाले में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। यह पता चला: 2ए + 1.2ए = 90। परिवर्तनों के बाद: 3.2ए = 90। इसलिए ए = 28.125 (सेमी)। अब आधार का पता लगाना आसान हो गया है. यह दूसरी स्थिति से सबसे अच्छा किया जाता है: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (सेमी)।
जाँच करने के लिए, आप तीन मान जोड़ सकते हैं: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (सेमी)। यह सही है।
उत्तर: त्रिभुज की भुजाएँ 28.125 सेमी, 28.125 सेमी, 33.75 सेमी हैं।
नंबर 2. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। आपको इसकी ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है।
समाधान। उत्तर खोजने के लिए, उस क्षण पर लौटना पर्याप्त है जहां त्रिभुज के गुणों का वर्णन किया गया था। यह एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक ज्ञात करने का सूत्र है।
n = a * √3 / 2, जहां n ऊंचाई है और a भुजा है।
प्रतिस्थापन और गणना निम्नलिखित परिणाम देते हैं: n = 6 √3 (सेमी)।
इस फॉर्मूले को याद रखने की जरूरत नहीं है. यह याद रखना पर्याप्त है कि ऊँचाई त्रिभुज को दो आयताकार भागों में विभाजित करती है। इसके अलावा, यह एक पैर निकला, और इसमें कर्ण मूल पक्ष का पक्ष है, दूसरा पैर ज्ञात पक्ष का आधा है। अब आपको पाइथागोरस प्रमेय को लिखने और ऊंचाई के लिए एक सूत्र प्राप्त करने की आवश्यकता है।
उत्तर: ऊँचाई 6 √3 सेमी है।
नंबर 3। दिया गया है कि MKR एक त्रिभुज है, जिसमें कोण K 90 डिग्री बनाता है। MR और KR भुजाएँ ज्ञात हैं, वे क्रमशः 30 और 15 सेमी के बराबर हैं। हमें कोण P का मान ज्ञात करना होगा।
समाधान। यदि आप चित्र बनाते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि MR कर्ण है। इसके अलावा, यह केआर के किनारे से दोगुना बड़ा है। फिर से आपको संपत्तियों की ओर मुड़ने की जरूरत है। उनमें से एक का संबंध कोणों से है। इससे स्पष्ट है कि KMR कोण 30º है। इसका मतलब है कि वांछित कोण P 60º के बराबर होगा। यह एक अन्य गुण से अनुसरण करता है, जो बताता है कि दो न्यून कोणों का योग 90º के बराबर होना चाहिए।
उत्तर: कोण P 60º है।
नंबर 4. हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे। इसके बारे में ज्ञात है कि आधार पर बने कोण से बाह्य कोण 110º होता है।
समाधान। चूँकि केवल बाहरी कोण दिया गया है, इसलिए आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता है। यह आंतरिक कोण के साथ एक खुला कोण बनाता है। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर वे 180º देंगे। अर्थात् त्रिभुज के आधार पर कोण 70º के बराबर होगा। चूँकि यह समद्विबाहु है, दूसरे कोण का मान समान है। तीसरे कोण की गणना करना बाकी है। सभी त्रिभुजों में समान गुण के अनुसार, कोणों का योग 180º होता है। इसका मतलब है कि तीसरे को 180º - 70º - 70º = 40º के रूप में परिभाषित किया जाएगा।
उत्तर: कोण 70º, 70º, 40º हैं।
पाँच नंबर। यह ज्ञात है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के विपरीत कोण 90º होता है। आधार पर एक बिंदु अंकित है. इसे समकोण से जोड़ने वाला खंड इसे 1 से 4 के अनुपात में विभाजित करता है। आपको छोटे त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे।
समाधान। कोणों में से एक को तुरंत निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि त्रिभुज समकोण और समद्विबाहु है, इसलिए जो इसके आधार पर स्थित हैं उनमें से प्रत्येक का माप 45º होगा, अर्थात 90º/2।
उनमें से दूसरा आपको स्थिति में ज्ञात संबंध ढूंढने में मदद करेगा। चूँकि यह 1 से 4 के बराबर है, जिन भागों में इसे विभाजित किया गया है वे केवल 5 हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज का छोटा कोण ज्ञात करने के लिए आपको 90º/5 = 18º की आवश्यकता है। तीसरे का पता लगाना बाकी है. ऐसा करने के लिए, आपको 180º (त्रिभुज के सभी कोणों का योग) से 45º और 18º घटाना होगा। गणनाएँ सरल हैं, और आपको मिलता है: 117º।
आज हम जा रहे हैं ज्यामिति के देश में, जहां हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।
ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें और उनमें से "अतिरिक्त" को ढूंढें (चित्र 1)।
चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण
हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।
चावल। 2. चतुर्भुज
इसका मतलब है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।
चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण
त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं।
बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज के शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।
त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज होते हैं तीव्र, आयताकार और कुंठित.
एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90° से कम हों (चित्र 4)।
चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज
एक त्रिभुज को आयताकार कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।
चावल। 5. समकोण त्रिभुज
एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक कोण हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।
चावल। 6. अधिक त्रिभुज
समान भुजाओं की संख्या के आधार पर त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।
चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज
इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .
चावल। 8. न्यून एवं अधिक समद्विबाहु त्रिभुज
समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।
चावल। 9. समबाहु त्रिभुज
एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा न्यूनकोण.
एक विषमकोण त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है (चित्र 10)।
चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज
कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।
चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण
सबसे पहले, आइए कोणों के आकार के अनुसार वितरित करें।
न्यूनकोण त्रिभुज: क्रमांक 1, क्रमांक 3.
समकोण त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 6।
अधिक त्रिभुज: क्रमांक 4, क्रमांक 5।
हम समान त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में वितरित करेंगे।
स्केलीन त्रिकोण: संख्या 4, संख्या 6।
समद्विबाहु त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 3, क्रमांक 5।
समबाहु त्रिभुज: क्रमांक 1.
चित्रों को देखो।
इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (चित्र 12)।
चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण
आप ऐसा सोच सकते हैं.
तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। तस्वीर में उन्हें तीसरे नंबर पर दिखाया गया है.
तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया गया है, ताकि इसका उपयोग स्केलीन त्रिकोण बनाने के लिए किया जा सके। इसे चित्र में सबसे पहले दिखाया गया है।
तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया गया है, जहां दो भागों की लंबाई समान है, जिसका अर्थ है कि इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। तस्वीर में उन्हें दूसरे नंबर पर दिखाया गया है.
आज कक्षा में हमने विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में सीखा।
ग्रन्थसूची
- एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 1. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
- एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 2. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
- एम.आई. मोरो. गणित पाठ: शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें। तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
- विनियामक दस्तावेज़. सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
- "रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
- एस.आई. वोल्कोवा। गणित: परीक्षण पत्र. तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
- वी.एन. रुडनिट्स्काया। परीक्षण। - एम.: "परीक्षा", 2012।
- Nsportal.ru ()।
- Prosv.ru ()।
- Do.gendocs.ru ()।
गृहकार्य
1. वाक्यांशों को पूरा करें.
a) त्रिभुज एक आकृति है जिसमें ... जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और ... जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।
ख) अंक कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….
ग) कोण के आकार के अनुसार, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .
घ) समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .
2. ड्रा
ए) समकोण त्रिभुज;
बी) तीव्र त्रिकोण;
ग) कुंठित त्रिभुज;
घ) समबाहु त्रिभुज;
ई) स्केलीन त्रिकोण;
ई) समद्विबाहु त्रिभुज।
3. अपने दोस्तों के लिए पाठ के विषय पर एक असाइनमेंट बनाएं।
मानक पदनाम
शीर्षों सहित त्रिभुज ए, बीऔर सीके रूप में नामित किया गया है (चित्र देखें)। एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं:
त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई छोटे लैटिन अक्षरों (ए, बी, सी) द्वारा इंगित की जाती है:
एक त्रिभुज में निम्नलिखित कोण होते हैं:
संगत शीर्षों पर कोण मान पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षरों (α, β, γ) द्वारा दर्शाए जाते हैं।
त्रिभुजों की समानता के लक्षण
यूक्लिडियन तल पर एक त्रिभुज को मूल तत्वों के निम्नलिखित त्रिक द्वारा विशिष्ट रूप से (सर्वांगसमता तक) निर्धारित किया जा सकता है:
- ए, बी, γ (दो पक्षों पर समानता और उनके बीच का कोण);
- ए, β, γ (पक्ष पर समानता और दो आसन्न कोण);
- ए, बी, सी (तीन तरफ समानता)।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
- पैर और कर्ण के साथ;
- दो पैरों पर;
- पैर और तीव्र कोण के साथ;
- कर्ण और न्यून कोण के अनुदिश.
त्रिभुज में कुछ बिंदु "युग्मित" हैं। उदाहरण के लिए, दो बिंदु हैं जहां से सभी भुजाएं या तो 60° के कोण पर या 120° के कोण पर दिखाई देती हैं। उन्हें बुलाया गया है टोरिसेली डॉट्स. ऐसे दो बिंदु भी हैं जिनकी भुजाओं पर प्रक्षेपण एक नियमित त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित हैं। यह - अपोलोनियस अंक. प्वाइंट वगैरह कहलाते हैं ब्रोकार्ड अंक.
प्रत्यक्ष
किसी भी त्रिभुज में गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, लंबकेंद्र और परिवृत्त का केंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे कहा जाता है यूलर की रेखा.
परिवृत्त के केंद्र तथा लेमोइन बिंदु से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है ब्रोकार्ड अक्ष. अपोलोनियस बिंदु इस पर स्थित हैं। टोरिसेली बिंदु और लेमोइन बिंदु भी एक ही रेखा पर स्थित हैं। किसी त्रिभुज के कोणों के बाह्य समद्विभाजक के आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, कहलाते हैं बाह्य समद्विभाजक की धुरी. किसी लम्ब त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के साथ त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु भी एक ही रेखा पर स्थित होते हैं। इस लाइन को कहा जाता है ऑर्थोसेंट्रिक अक्ष, यह यूलर सीधी रेखा के लंबवत है।
यदि हम किसी त्रिभुज के परिवृत्त पर एक बिंदु लेते हैं, तो त्रिभुज की भुजाओं पर इसके प्रक्षेपण एक ही सीधी रेखा पर होंगे, जिसे कहा जाता है सिमसन सीधा हैइस बिंदु। सिम्सन की व्यासीय विपरीत बिंदुओं की रेखाएँ लंबवत हैं।
त्रिभुज
- किसी दिए गए बिंदु से होकर खींचे गए आधारों पर शीर्षों वाले त्रिभुज को कहा जाता है सेवियन त्रिकोणइस बिंदु।
- किसी दिए गए बिंदु के किनारों पर प्रक्षेपण में शीर्ष वाले त्रिभुज को कहा जाता है एसओडीया पेडल त्रिकोणइस बिंदु।
- एक त्रिभुज जिसका शीर्ष शीर्षों से होकर खींची गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु पर होता है और परिबद्ध वृत्त के साथ एक दिया गया बिंदु होता है, कहलाता है परिधीय त्रिभुज. परिधीय त्रिभुज वतन त्रिभुज के समान है।
मंडलियां
- अंकित वृत्त- त्रिभुज की तीनों भुजाओं को छूने वाला एक वृत्त। वह अकेली है. अंकित वृत्त का केन्द्र कहलाता है केंद्र में.
- परिवृत्त- त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरने वाला एक वृत्त। परिबद्ध वृत्त भी अद्वितीय है।
- बहिवृत्त- त्रिभुज की एक भुजा को स्पर्श करने वाला एक वृत्त और अन्य दो भुजाओं की निरंतरता। एक त्रिभुज में ऐसे तीन वृत्त होते हैं। इनका मूलक केंद्र मध्य त्रिभुज के अंकित वृत्त का केंद्र कहलाता है स्पाइकर की बात.
किसी त्रिभुज की तीन भुजाओं के मध्यबिंदु, उसकी तीन ऊँचाइयों के आधार और उसके शीर्षों को लंबकेन्द्र से जोड़ने वाले तीन खंडों के मध्यबिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं जिसे कहा जाता है नौ बिंदुओं का वृत्तया यूलर सर्कल. नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र यूलर रेखा पर स्थित है। नौ बिंदुओं का एक वृत्त एक उत्कीर्ण वृत्त और तीन बाह्यवृत्तों को स्पर्श करता है। अंकित वृत्त और नौ बिंदुओं के वृत्त के बीच स्पर्शरेखा बिंदु कहलाता है फ़्यूरबैक बिंदु. यदि प्रत्येक शीर्ष से हम त्रिभुज के बाहर की ओर विपरीत भुजाओं की लंबाई के बराबर भुजाएं युक्त सीधी रेखाएं बिछाते हैं, तो परिणामी छह बिंदु एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं - कॉनवे सर्कल. किसी भी त्रिभुज में तीन वृत्त इस प्रकार अंकित किये जा सकते हैं कि उनमें से प्रत्येक त्रिभुज की दो भुजाओं और दो अन्य वृत्तों को स्पर्श करे। ऐसे वृत्त कहलाते हैं मालफट्टी मंडल. छह त्रिभुजों के परिचालित वृत्तों के केंद्र, जिनमें त्रिभुज को माध्यिकाओं द्वारा विभाजित किया जाता है, एक वृत्त पर स्थित होते हैं, जिसे कहा जाता है लामुन की परिधि.
एक त्रिभुज में तीन वृत्त होते हैं जो त्रिभुज की दो भुजाओं और परिवृत्त को स्पर्श करते हैं। ऐसे वृत्त कहलाते हैं अर्ध-अंकितया वेरियर वृत्त. वेरियर वृत्त के स्पर्श बिंदु को परिवृत्त वृत्त से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं वेरियर की बात. यह एक समरूपता के केंद्र के रूप में कार्य करता है, जो एक परिवृत्त को एक उत्कीर्ण वृत्त में बदल देता है। वेरियर वृत्त की भुजाओं के संपर्क बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं जो अंकित वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
उत्कीर्ण वृत्त के स्पर्श बिंदुओं को शीर्षों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं गेरगोन बिंदु, और शीर्षों को बाह्यवृत्तों के स्पर्शरेखा बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड अंदर हैं नागल बिंदु.
दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
अंकित शंकु (दीर्घवृत्त) और उसका परिप्रेक्ष्य
एक त्रिभुज में अनंत संख्या में शंकु (दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) अंकित किए जा सकते हैं। यदि हम एक त्रिभुज में एक मनमाना शंकु अंकित करते हैं और स्पर्शरेखा बिंदुओं को विपरीत शीर्षों से जोड़ते हैं, तो परिणामी सीधी रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी जिसे कहा जाता है संभावनाचारपाई. विमान के किसी भी बिंदु के लिए जो एक तरफ या उसके विस्तार पर स्थित नहीं है, इस बिंदु पर एक परिप्रेक्ष्य के साथ एक खुदा हुआ शंकु है।
वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त और उसके केंद्र से गुजरने वाले सेवियन
आप एक दीर्घवृत्त को एक त्रिभुज में अंकित कर सकते हैं, जो बीच में भुजाओं को छूता है। ऐसे दीर्घवृत्त को कहा जाता है स्टीनर दीर्घवृत्त अंकित(इसका परिप्रेक्ष्य त्रिभुज का केन्द्रक होगा)। परिचालित दीर्घवृत्त, जो भुजाओं के समानान्तर शीर्षों से गुजरने वाली रेखाओं को स्पर्श करता है, कहलाता है स्टीनर दीर्घवृत्त द्वारा वर्णित. यदि हम एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन ("तिरछा") का उपयोग करके एक त्रिकोण को एक नियमित त्रिकोण में बदल देते हैं, तो इसका उत्कीर्ण और परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त एक उत्कीर्ण और परिचालित वृत्त में बदल जाएगा। वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त (स्कुटिन बिंदु) के नाभियों के माध्यम से खींची गई चेवियन रेखाएँ बराबर हैं (स्कुटिन का प्रमेय)। वर्णित सभी दीर्घवृत्तों में से, वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे छोटा है, और सभी उत्कीर्ण दीर्घवृत्तों में, अंकित स्टीनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है।
ब्रोकार्ड दीर्घवृत्त और उसका परिप्रेक्ष्य - लेमोइन बिंदु
ब्रोकार्ड बिंदुओं पर फोकस वाले दीर्घवृत्त को कहा जाता है ब्रोकार्ड दीर्घवृत्त. इसका परिप्रेक्ष्य लेमोइन बिंदु है।
एक उत्कीर्ण परवलय के गुण
कीपर्ट परवलय
अंकित परवलयों की संभावनाएं वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त पर निहित हैं। एक उत्कीर्ण परवलय का फोकस परिवृत्त पर होता है, और डायरेक्ट्रिक्स ऑर्थोसेंटर से होकर गुजरता है। एक त्रिभुज में अंकित और उसकी नियता यूलर की नियता वाले परवलय को कहा जाता है कीपर्ट परवलय. इसका परिप्रेक्ष्य परिबद्ध वृत्त और परिबद्ध स्टीनर दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन का चौथा बिंदु है, जिसे कहा जाता है स्टेनर प्वाइंट.
कीपर्ट की अतिशयोक्ति
यदि वर्णित हाइपरबोला ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है, तो यह समबाहु है (अर्थात इसके अनंतस्पर्शी लंबवत हैं)। एक समबाहु अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु नौ बिंदुओं के वृत्त पर स्थित होता है।
परिवर्तनों
यदि शीर्षों से होकर गुजरने वाली रेखाएं और किनारों पर न पड़े कुछ बिंदु और उनके विस्तार संबंधित समद्विभाजक के सापेक्ष प्रतिबिंबित होते हैं, तो उनकी छवियां भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी, जिसे कहा जाता है आइसोगोनली संयुग्मितमूल एक (यदि बिंदु परिचालित वृत्त पर स्थित है, तो परिणामी रेखाएँ समानांतर होंगी)। उल्लेखनीय बिंदुओं के कई जोड़े समकोणीय रूप से संयुग्मित हैं: परिकेंद्र और लंब केंद्र, केन्द्रक और लेमोइन बिंदु, ब्रोकार्ड बिंदु। अपोलोनियस बिंदु समकोणीय रूप से टोरिसेली बिंदुओं से संयुग्मित हैं, और अंकित वृत्त का केंद्र समकोणीय रूप से स्वयं से संयुग्मित है। आइसोगोनल संयुग्मन की क्रिया के तहत, सीधी रेखाएं परिचालित शांकव में बदल जाती हैं, और परिचालित शांकव सीधी रेखाओं में बदल जाती हैं। इस प्रकार, कीपर्ट हाइपरबोला और ब्रोकार्ड अक्ष, जेनज़ाबेक हाइपरबोला और यूलर सीधी रेखा, फ़्यूरबैक हाइपरबोला और उत्कीर्ण और परिचालित वृत्तों के केंद्रों की रेखा समकोणीय रूप से संयुग्मित हैं। समद्विबाहु संयुग्म बिंदुओं के त्रिभुजों के परिवृत्त संपाती होते हैं। अंकित दीर्घवृत्त का फोकस समकोणीय रूप से संयुग्मित होता है।
यदि, एक सममित सेवियन के बजाय, हम एक सेवियन लेते हैं जिसका आधार किनारे के मध्य से मूल के आधार के समान दूर है, तो ऐसे सेवियन भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। परिणामी परिवर्तन को कहा जाता है समस्थानिक संयुग्मन. यह सीधी रेखाओं को वर्णित शंकुओं में भी परिवर्तित करता है। गेर्गोन और नागेल बिंदु समस्थानिक रूप से संयुग्मित हैं। एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के तहत, आइसोटोमिक रूप से संयुग्मित बिंदुओं को आइसोटोमिक रूप से संयुग्मित बिंदुओं में बदल दिया जाता है। आइसोटोमिक संयुग्मन के साथ, वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त असीम रूप से दूर की सीधी रेखा में चला जाएगा।
यदि परिवृत्त से त्रिभुज की भुजाओं द्वारा काटे गए खंडों में, हम एक निश्चित बिंदु के माध्यम से खींचे गए सेवियन के आधार पर भुजाओं को छूने वाले वृत्त अंकित करते हैं, और फिर इन वृत्तों के स्पर्शरेखा बिंदुओं को विपरीत शीर्षों वाले परिवृत्त से जोड़ते हैं, तो ऐसी सीधी रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। एक समतल परिवर्तन जो मूल बिंदु से परिणामी बिंदु से मेल खाता है, कहलाता है समवृत्ताकार परिवर्तन. आइसोगोनल और आइसोटोमिक संयुग्मों की संरचना स्वयं के साथ एक आइसोसर्कुलर परिवर्तन की संरचना है। यह रचना एक प्रक्षेपी परिवर्तन है, जो त्रिभुज की भुजाओं को यथास्थान छोड़ देती है, और बाहरी समद्विभाजक की धुरी को अनंत पर एक सीधी रेखा में बदल देती है।
यदि हम एक निश्चित बिंदु के चेवियन त्रिभुज की भुजाओं को जारी रखते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को संबंधित भुजाओं के साथ लेते हैं, तो परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे, जिसे कहा जाता है त्रिरेखीय ध्रुवीयप्रस्थान बिंदू। ऑर्थोसेंट्रिक अक्ष ऑर्थोसेंटर का त्रिरेखीय ध्रुव है; उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र का त्रिरेखीय ध्रुव बाहरी द्विभाजक का अक्ष है। एक परिचालित शंकु पर स्थित बिंदुओं के त्रिरेखीय ध्रुव एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (एक परिचालित वृत्त के लिए यह लेमोइन बिंदु है, एक परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त के लिए यह केन्द्रक है)। एक आइसोगोनल (या आइसोटोमिक) संयुग्म और एक त्रिरेखीय ध्रुव की संरचना एक द्वैत परिवर्तन है (यदि एक बिंदु आइसोगोनल (आइसोटोमिक रूप से) एक बिंदु से संयुग्मित होता है जो एक बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुव पर स्थित होता है, तो एक बिंदु का त्रिरेखीय ध्रुव आइसोगोनल (आइसोटोमिक रूप से) होता है) एक बिंदु से संयुग्मित एक बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुव पर स्थित है)।
क्यूब्स
एक त्रिकोण में अनुपात
टिप्पणी:इस खंड में, त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई है, और, इन तीन भुजाओं (विपरीत कोण) के विपरीत क्रमशः स्थित कोण हैं।
असमानित त्रिकोण
एक गैर-विकृत त्रिभुज में, इसकी दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है, एक विकृत त्रिभुज में यह बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई निम्नलिखित असमानताओं से संबंधित होती है:
त्रिभुज असमानता मैट्रिक्स के सिद्धांतों में से एक है।
त्रिभुज कोण योग प्रमेय
ज्या का प्रमेय
,जहाँ R त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है। प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि ए< b < c, то α < β < γ.
कोसाइन प्रमेय
स्पर्शरेखा प्रमेय
अन्य अनुपात
एक त्रिभुज में मीट्रिक अनुपात निम्न के लिए दिए गए हैं:
त्रिकोणों को हल करना
ज्ञात कोणों के आधार पर किसी त्रिभुज की अज्ञात भुजाओं और कोणों की गणना करना ऐतिहासिक रूप से "त्रिकोणों को हल करना" कहा जाता है। उपरोक्त सामान्य त्रिकोणमितीय प्रमेयों का उपयोग किया जाता है।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल
विशेष मामले संकेतनक्षेत्र के लिए निम्नलिखित असमानताएँ मान्य हैं:
सदिशों का उपयोग करके अंतरिक्ष में एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना
माना कि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु , , , पर हैं।
आइए क्षेत्र वेक्टर का परिचय दें। इस वेक्टर की लंबाई त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, और यह त्रिभुज के तल के सामान्य दिशा में निर्देशित है:
आइए हम सेट करें, जहां, निर्देशांक तलों पर त्रिभुज के प्रक्षेपण हैं। जिसमें
और इसी तरह
त्रिभुज का क्षेत्रफल है.
एक विकल्प यह है कि भुजाओं की लंबाई की गणना करें (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके) और फिर हेरॉन के सूत्र का उपयोग करें।
त्रिभुज प्रमेय
डेसर्गेस का प्रमेय: यदि दो त्रिभुज परिप्रेक्ष्य हैं (त्रिभुजों के संगत शीर्षों से गुजरने वाली रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं), तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सोंडा का प्रमेय: यदि दो त्रिभुज परिप्रेक्ष्य और लम्बवत् हैं (एक त्रिभुज के शीर्षों से त्रिभुज के संगत शीर्षों के विपरीत भुजाओं पर खींचे गए लम्ब, और इसके विपरीत), तो दोनों लंबविज्ञान के केंद्र (इन लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु) और केंद्र परिप्रेक्ष्य एक ही सीधी रेखा पर, परिप्रेक्ष्य अक्ष के लंबवत (डेसार्गेस प्रमेय से सीधी रेखा) पर स्थित है।
