प्राकृतिक मूल्य. प्राकृतिक संख्याएँ - मूल बातें

संख्याएँ एक अमूर्त अवधारणा हैं। वे वस्तुओं की एक मात्रात्मक विशेषता हैं और वास्तविक, तर्कसंगत, नकारात्मक, पूर्णांक और भिन्नात्मक, साथ ही प्राकृतिक भी हो सकते हैं।

गिनती करते समय आमतौर पर प्राकृतिक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है, जिसमें मात्रा संकेतन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। गिनती से परिचित होना बचपन से ही शुरू हो जाता है। कौन सा बच्चा प्राकृतिक गिनती के तत्वों का उपयोग करने वाली मज़ेदार कविताओं से परहेज करता है? "एक, दो, तीन, चार, पाँच... बन्नी टहलने निकला था!" या "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, राजा ने मुझे फांसी देने का फैसला किया..."

किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए, आप उससे बड़ी कोई अन्य संख्या पा सकते हैं। इस सेट को आमतौर पर अक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है और इसे वृद्धि की दिशा में अनंत माना जाना चाहिए। लेकिन इस सेट की एक शुरुआत है - यह एक है। हालाँकि फ़्रेंच प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनके सेट में शून्य भी शामिल है। लेकिन दोनों सेटों की मुख्य विशिष्ट विशेषता यह है कि उनमें भिन्नात्मक या ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं हैं।

विभिन्न प्रकार की वस्तुओं को गिनने की आवश्यकता प्रागैतिहासिक काल में उत्पन्न हुई। तब कथित तौर पर "प्राकृतिक संख्याओं" की अवधारणा का गठन किया गया था। इसका गठन किसी व्यक्ति के विश्वदृष्टि को बदलने और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विकास की पूरी प्रक्रिया के दौरान हुआ।

हालाँकि, वे अभी तक अमूर्त रूप से नहीं सोच सके। उनके लिए यह समझना कठिन था कि "तीन शिकारी" या "तीन पेड़" की अवधारणाओं में क्या समानता है। इसलिए, लोगों की संख्या को इंगित करते समय, एक परिभाषा का उपयोग किया गया था, और एक अलग प्रकार की वस्तुओं की समान संख्या को इंगित करते समय, एक पूरी तरह से अलग परिभाषा का उपयोग किया गया था।

और यह बेहद छोटा था. इसमें केवल संख्याएँ 1 और 2 थीं, और गिनती "बहुत", "झुंड", "भीड़", "ढेर" की अवधारणाओं के साथ समाप्त हुई।

बाद में, एक अधिक प्रगतिशील और व्यापक खाता बनाया गया। एक दिलचस्प तथ्य यह है कि केवल दो संख्याएँ थीं - 1 और 2, और अगली संख्याएँ जोड़कर प्राप्त की गईं।

इसका एक उदाहरण वह जानकारी थी जो ऑस्ट्रेलियाई जनजाति की संख्यात्मक श्रृंखला के बारे में हम तक पहुंची है। उनके पास "एंज़ा" शब्द के लिए 1 और "पेटचेवल" शब्द के लिए 2 थे। इसलिए संख्या 3 "पेटचेवल-एन्ज़ा" जैसी लगती थी, और 4 "पेटचेवल-पेटचेवल" जैसी लगती थी।

अधिकांश लोग गिनती के मानक के रूप में अंगुलियों को पहचानते हैं। "प्राकृतिक संख्याओं" की अमूर्त अवधारणा का आगे विकास एक छड़ी पर पायदान के उपयोग के मार्ग का अनुसरण करता है। और फिर एक दर्जन को दूसरे चिन्ह से नामित करना आवश्यक हो गया। प्राचीन लोगों ने हमारा रास्ता ढूंढ लिया - उन्होंने एक और छड़ी का उपयोग करना शुरू कर दिया, जिस पर दहाई को इंगित करने के लिए निशान बनाए गए थे।

लेखन के आगमन के साथ संख्याओं को पुन: प्रस्तुत करने की क्षमता में अत्यधिक विस्तार हुआ। सबसे पहले, संख्याओं को मिट्टी की पट्टियों या पपीरस पर रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता था, लेकिन धीरे-धीरे अन्य लेखन चिह्नों का उपयोग किया जाने लगा। इस तरह रोमन अंक सामने आए।

बहुत बाद में, वे प्रकट हुए जिससे अपेक्षाकृत छोटे वर्णों के समूह के साथ संख्याएँ लिखने की संभावना खुल गई। आज ग्रहों के बीच की दूरी और तारों की संख्या जैसी बड़ी संख्याओं को लिखना मुश्किल नहीं है। आपको बस डिग्रियों का उपयोग करना सीखना होगा।

तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में यूक्लिड ने "एलिमेंट्स" पुस्तक में संख्यात्मक सेट की अनंतता स्थापित की है, और "प्समिता" में आर्किमिडीज़ ने मनमाने ढंग से बड़ी संख्याओं के नाम बनाने के सिद्धांतों का खुलासा किया है। लगभग 19वीं शताब्दी के मध्य तक, लोगों को "प्राकृतिक संख्याओं" की अवधारणा के स्पष्ट सूत्रीकरण की आवश्यकता का सामना नहीं करना पड़ा। स्वयंसिद्ध गणितीय पद्धति के आगमन के साथ परिभाषा की आवश्यकता थी।

और 19वीं सदी के 70 के दशक में उन्होंने सेट की अवधारणा के आधार पर प्राकृतिक संख्याओं की स्पष्ट परिभाषा तैयार की। और आज हम पहले से ही जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होकर अनंत तक सभी पूर्णांक होती हैं। छोटे बच्चे, सभी विज्ञानों की रानी - गणित - से परिचित होने की दिशा में अपना पहला कदम उठाते हुए, इन्हीं संख्याओं का अध्ययन करना शुरू करते हैं।

1.1.परिभाषा

गिनती के समय लोग जिन नंबरों का उपयोग करते हैं, उन्हें कॉल किया जाता है प्राकृतिक(उदाहरण के लिए, एक, दो, तीन,..., एक सौ, एक सौ एक,..., तीन हजार दो सौ इक्कीस,...) प्राकृत संख्याओं को लिखने के लिए विशेष चिन्हों (प्रतीकों) का प्रयोग किया जाता है, बुलाया संख्या में.

आजकल यह स्वीकार है दशमलव संख्या प्रणाली. संख्याएँ लिखने की दशमलव प्रणाली (या विधि) अरबी अंकों का उपयोग करती है। ये दस अलग-अलग संख्यात्मक वर्ण हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

कम से कमएक प्राकृतिक संख्या एक संख्या है एक, यहदशमलव संख्या का उपयोग करके लिखा गया - 1. अगली प्राकृतिक संख्या पिछली प्राकृतिक संख्या (एक को छोड़कर) में 1 (एक) जोड़कर प्राप्त की जाती है। यह जोड़ कई बार (अनंत बार) किया जा सकता है। यह मतलब है कि नहीं महानतमप्राकृतिक संख्या। इसलिए, वे कहते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला असीमित या अनंत है, क्योंकि इसका कोई अंत नहीं है। प्राकृतिक संख्याएँ दशमलव अंकों का उपयोग करके लिखी जाती हैं।

1.2. संख्या "शून्य"

किसी चीज़ की अनुपस्थिति को इंगित करने के लिए, संख्या का उपयोग करें " शून्य" या " शून्य". इसे संख्याओं का प्रयोग करके लिखा जाता है 0 (शून्य). उदाहरण के लिए, एक डिब्बे में सभी गेंदें लाल हैं। उनमें से कितने हरे हैं? - उत्तर: शून्य . इसका मतलब है कि बॉक्स में कोई हरी गेंद नहीं है! संख्या 0 का मतलब यह हो सकता है कि कुछ समाप्त हो गया है। उदाहरण के लिए, माशा के पास 3 सेब थे। दो उसने दोस्तों के साथ बांटे और एक खुद खाया। इसलिए वह चली गई है 0 (शून्य) सेब, अर्थात्। वहाँ एक भी नहीं बचा है. संख्या 0 का मतलब यह हो सकता है कि कुछ नहीं हुआ। उदाहरण के लिए, हॉकी मैच टीम रूस - टीम कनाडा स्कोर के साथ समाप्त हुआ 3:0 (हम रूसी टीम के पक्ष में "तीन - शून्य" पढ़ते हैं)। इसका मतलब यह है कि रूसी टीम ने 3 गोल किये और कनाडाई टीम ने 0 गोल किये और एक भी गोल नहीं कर सकी। हमें याद रखना चाहिए कि शून्य संख्या कोई प्राकृत संख्या नहीं है।

1.3. प्राकृतिक संख्याएँ लिखना

किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव तरीके से लिखने में, प्रत्येक अंक एक अलग संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकता है। यह संख्या रिकार्ड में इस अंक के स्थान पर निर्भर करता है। किसी प्राकृत संख्या के अंकन में एक निश्चित स्थान को कहा जाता है पद।इसलिए दशमलव संख्या प्रणाली कहलाती है स्थितीय. 7777 के दशमलव अंकन पर विचार करें सात हजार सात सौ सतहत्तर।इस प्रविष्टि में सात हजार, सात सौ, सात दहाई और सात इकाइयाँ हैं।

किसी संख्या के दशमलव अंकन में प्रत्येक स्थान (स्थिति) को कहा जाता है स्राव होना. प्रत्येक तीन अंकों को जोड़ दिया जाता है कक्षा।यह विलय दाएं से बाएं (संख्या अभिलेख के अंत से) किया जाता है। विभिन्न श्रेणियों और वर्गों के अपने-अपने नाम हैं। प्राकृतिक संख्याओं की सीमा असीमित है। इसलिए, रैंकों और वर्गों की संख्या भी सीमित नहीं है ( अंतहीन). आइए दशमलव अंकन वाली संख्या के उदाहरण का उपयोग करके अंकों और वर्गों के नामों को देखें

38 001 102 987 000 128 425:

कक्षाएं और रैंक
क्विंटिलियंस		सैकड़ों क्विंटल
		दसियों क्विंटल
		क्विंटिलियंस
चतुर्भुज		सैकड़ों क्वाड्रिलियन
		दसियों क्वाड्रिलियन
		चतुर्भुज
अरबों		सैकड़ों खरबों
		दसियों खरबों
		अरबों
अरबों		सैकड़ों अरबों
		दसियों अरबों
		अरबों
लाखों		लाखों में सैकड़ों
		करोड़ों
		लाखों
		सैकड़ों हज़ारों
		दसियों हजारों की

तो, सबसे कम उम्र से शुरू होने वाली कक्षाओं के नाम हैं: इकाइयाँ, हज़ारों, लाखों, अरबों, खरबों, क्वाड्रिलियन्स, क्विंटिलियन्स।

1.4. बिट इकाइयाँ

प्राकृतिक संख्याओं के अंकन में प्रत्येक वर्ग में तीन अंक होते हैं। प्रत्येक रैंक के पास है अंक इकाइयाँ. निम्नलिखित संख्याओं को अंक इकाई कहा जाता है:

1 - इकाई अंक की इकाई अंक,

दहाई के स्थान की 10 अंकीय इकाई,

100 - सैकड़ा अंक इकाई,

1 000 - हजार अंक इकाई,

10,000 दसियों हज़ार की एक स्थान इकाई है,

100,000 सैकड़ों हजारों के लिए एक स्थान इकाई है,

1,000,000 मिलियन अंक इकाई है, आदि।

किसी भी अंक में एक संख्या इस अंक की इकाइयों की संख्या दर्शाती है। इस प्रकार, सैकड़ों अरब स्थानों में संख्या 9 का मतलब है कि संख्या 38,001,102,987,000 128,425 में नौ अरब शामिल हैं (यानी, अरबों स्थानों की 9 गुना 1,000,000,000 या 9 अंकीय इकाइयाँ)। सैकड़ों क्विंटिलियन के खाली स्थान का मतलब है कि दी गई संख्या में सैकड़ों क्विंटिलियन नहीं हैं या उनकी संख्या शून्य है। इस स्थिति में, संख्या 38 001 102 987 000 128 425 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 038 001 102 987 000 128 425।

आप इसे अलग तरीके से लिख सकते हैं: 000 038 001 102 987 000 128 425. संख्या की शुरुआत में शून्य खाली उच्च-क्रम अंक दर्शाते हैं। दशमलव अंकन के अंदर शून्य के विपरीत, आमतौर पर वे लिखे नहीं जाते हैं, जो आवश्यक रूप से खाली अंकों को चिह्नित करते हैं। इस प्रकार, लाखों वर्ग में तीन शून्य का मतलब है कि सैकड़ों लाखों, दसियों लाख और लाखों की इकाइयाँ खाली हैं।

1.5. संख्याएँ लिखने के लिए संक्षिप्ताक्षर

प्राकृतिक संख्याएँ लिखते समय संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग किया जाता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1,000 = 1 हजार (एक हजार)

23,000,000 = 23 मिलियन (तेईस मिलियन)

5,000,000,000 = 5 अरब (पांच अरब)

203,000,000,000,000 = 203 ट्रिलियन. (दो सौ तीन ट्रिलियन)

107,000,000,000,000,000 = 107 वर्ग मीटर. (एक सौ सात क्वाड्रिलियन)

1,000,000,000,000,000,000 = 1 किलोवाट. (एक क्विंटल)

ब्लॉक 1.1. शब्दकोष

§1 से नए शब्दों और परिभाषाओं का एक शब्दकोश संकलित करें। ऐसा करने के लिए, खाली कक्षों में नीचे दी गई शब्दों की सूची से शब्द लिखें। तालिका में (ब्लॉक के अंत में), प्रत्येक परिभाषा के लिए सूची से पद की संख्या इंगित करें।

ब्लॉक 1.2. स्व तैयारी

बड़ी संख्या की दुनिया में

अर्थव्यवस्था .

1. अगले वर्ष के लिए रूस का बजट होगा: 6328251684128 रूबल।
2. इस वर्ष के लिए नियोजित व्यय हैं: 5124983252134 रूबल।
3. देश की आय व्यय से 1203268431094 रूबल अधिक हो गई।

प्रश्न और कार्य

1. दिए गए तीनों नंबर पढ़ें
2. तीनों संख्याओं में से प्रत्येक के लिए लाखों वर्ग में अंक लिखें।

1. प्रत्येक संख्या में संख्या रिकार्ड के अंत से सातवें स्थान पर स्थित अंक किस अनुभाग से संबंधित है?
2. पहले नंबर की प्रविष्टि में संख्या 2 द्वारा कितने अंकों की इकाइयों को दर्शाया गया है?... दूसरे और तीसरे नंबर की प्रविष्टि में?
3. तीन संख्याओं के अंकन में अंत से आठवें स्थान के लिए अंक इकाई का नाम बताइए।

भूगोल (लंबाई)

1. पृथ्वी की भूमध्यरेखीय त्रिज्या: 6378245 मीटर
2. भूमध्य रेखा परिधि: 40075696 मीटर
3. विश्व के महासागरों की सबसे बड़ी गहराई (प्रशांत महासागर में मारियाना ट्रेंच) 11500 मीटर

प्रश्न और कार्य

1. तीनों मानों को सेंटीमीटर में बदलें और परिणामी संख्याओं को पढ़ें।
2. पहली संख्या (सेमी में) के लिए, अनुभागों में संख्याएँ लिखें:

सैकड़ों हज़ारों _______

करोड़ों _______

हजारों _______

अरबों _______

लाखों में सैकड़ों _______

1. दूसरी संख्या (सेमी में) के लिए, संख्या अंकन में संख्या 4, 7, 5, 9 के अनुरूप अंक इकाइयाँ लिखें

1. तीसरे मान को मिलीमीटर में बदलें और परिणामी संख्या पढ़ें।
2. तीसरे नंबर (मिमी में) की प्रविष्टि में सभी पदों के लिए, तालिका में अंक और अंक इकाइयों को इंगित करें:

भूगोल (वर्ग)

1. पृथ्वी की संपूर्ण सतह का क्षेत्रफल 510,083 हजार वर्ग किलोमीटर है।
2. पृथ्वी पर योगों का सतही क्षेत्रफल 148,628 हजार वर्ग किलोमीटर है।
3. पृथ्वी की जल सतह का क्षेत्रफल 361,455 हजार वर्ग किलोमीटर है।

प्रश्न और कार्य

1. तीनों मानों को वर्ग मीटर में बदलें और परिणामी संख्याओं को पढ़ें।
2. इन संख्याओं (वर्ग मीटर में) की रिकॉर्डिंग में गैर-शून्य अंकों के अनुरूप वर्गों और श्रेणियों का नाम बताएं।
3. तीसरी संख्या (वर्ग मीटर में) लिखते समय, संख्या 1, 3, 4, 6 के अनुरूप अंक इकाइयों का नाम बताएं।
4. दूसरे मान की दो प्रविष्टियों में (वर्ग किमी और वर्ग मीटर में), इंगित करें कि संख्या 2 किस अंक से संबंधित है।
5. दूसरे मात्रा नोटेशन में अंक 2 के लिए स्थानीय मान इकाइयाँ लिखें।

ब्लॉक 1.3. कंप्यूटर के साथ संवाद.

यह ज्ञात है कि खगोल विज्ञान में अक्सर बड़ी संख्याओं का उपयोग किया जाता है। चलिए उदाहरण देते हैं. पृथ्वी से चंद्रमा की औसत दूरी 384 हजार किमी है। सूर्य से पृथ्वी की दूरी (औसत) 149,504 हजार किमी है, मंगल से पृथ्वी की दूरी 55 मिलियन किमी है। कंप्यूटर पर, वर्ड टेक्स्ट एडिटर का उपयोग करके, टेबल बनाएं ताकि संकेतित संख्याओं की प्रविष्टि में प्रत्येक अंक एक अलग सेल (सेल) में हो। ऐसा करने के लिए, टूलबार पर कमांड निष्पादित करें: तालिका → तालिका जोड़ें → पंक्तियों की संख्या ("1" सेट करने के लिए कर्सर का उपयोग करें) → कॉलम की संख्या (स्वयं गणना करें)। अन्य संख्याओं के लिए तालिकाएँ बनाएँ ("स्व-तैयारी" ब्लॉक में)।

ब्लॉक 1.4. बड़ी संख्या रिले

तालिका की पहली पंक्ति में एक बड़ी संख्या है. इसे पढ़ें। फिर कार्यों को पूरा करें: संख्या रिकॉर्ड में संख्याओं को दाएं या बाएं घुमाकर, अगले नंबर प्राप्त करें और उन्हें पढ़ें। (संख्या के अंत में शून्य को न हटाएँ!) कक्षा में बैटन को एक-दूसरे के पास देकर चलाया जा सकता है।

लाइन 2 . पहली पंक्ति में संख्या के सभी अंकों को दो कक्षों के माध्यम से बाईं ओर ले जाएँ। संख्या 5 को अगली संख्या से बदलें। खाली कक्षों को शून्य से भरें। संख्या पढ़ें.

पंक्ति 3 . दूसरी पंक्ति में संख्या के सभी अंकों को तीन कक्षों के माध्यम से दाईं ओर ले जाएँ। संख्या में संख्या 3 और 4 को निम्नलिखित संख्याओं से बदलें। खाली कक्षों को शून्य से भरें। संख्या पढ़ें.

पंक्ति 4. पंक्ति 3 में संख्या के सभी अंकों को एक सेल बाईं ओर ले जाएँ। खरबों की श्रेणी में संख्या 6 को पिछली संख्या से बदलें, और अरबों की श्रेणी में अगली संख्या से बदलें। खाली कक्षों को शून्य से भरें। परिणामी संख्या पढ़ें.

पंक्ति 5 . पंक्ति 4 में संख्या के सभी अंकों को एक सेल में दाईं ओर ले जाएँ। "दसियों हज़ार" श्रेणी में संख्या 7 को पिछले वाले से बदलें, और "दसियों लाख" श्रेणी में अगले वाले से बदलें। परिणामी संख्या पढ़ें.

पंक्ति 6 . पंक्ति 5 में संख्या के सभी अंकों को 3 कक्षों के माध्यम से बाईं ओर ले जाएँ। सैकड़ों अरब वाले स्थान पर संख्या 8 को पिछले वाले से बदलें, और सैकड़ों लाखों वाले स्थान पर 6 को अगले नंबर से बदलें। खाली कक्षों को शून्य से भरें। परिणामी संख्या की गणना करें.

पंक्ति 7 . पंक्ति 6 ​​में संख्या के सभी अंकों को दाईं ओर एक सेल में ले जाएँ। दसियों क्वाड्रिलियन और दसियों अरब स्थानों में संख्याओं की अदला-बदली करें। परिणामी संख्या पढ़ें.

पंक्ति 8 . पंक्ति 7 में संख्या के सभी अंकों को एक सेल के माध्यम से बाईं ओर ले जाएँ। क्विंटिलियन और क्वाड्रिलियन स्थानों में संख्याओं की अदला-बदली करें। खाली कक्षों को शून्य से भरें। परिणामी संख्या पढ़ें.

पंक्ति 9 . पंक्ति 8 में संख्या के सभी अंकों को तीन कक्षों के माध्यम से दाईं ओर ले जाएँ। एक संख्या रेखा में लाखों और खरबों वर्गों से दो आसन्न अंकों को स्वैप करें। परिणामी संख्या पढ़ें.

पंक्ति 10 . पंक्ति 9 में संख्या के सभी अंकों को एक कक्ष में दाईं ओर ले जाएँ। परिणामी संख्या पढ़ें. मॉस्को ओलंपियाड के वर्ष को दर्शाने वाली संख्याओं का चयन करें।

ब्लॉक 1.5. आइए खेलते हैं

लौ जलाओ

खेल का मैदान एक क्रिसमस ट्री का चित्रण है। इसमें 24 लाइट बल्ब हैं। लेकिन उनमें से केवल 12 ही पावर ग्रिड से जुड़े हैं। कनेक्टेड लैंप का चयन करने के लिए, आपको प्रश्नों का सही उत्तर "हां" या "नहीं" में देना होगा। वही गेम कंप्यूटर पर खेला जा सकता है; सही उत्तर प्रकाश बल्ब को "रोशनी" देता है।

1. क्या यह सच है कि संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ लिखने के लिए विशेष चिह्न हैं? (1 - हाँ, 2 - नहीं)
2. क्या यह सत्य है कि 0 सबसे छोटी प्राकृत संख्या है? (3 - हाँ, 4 - नहीं)
3. क्या यह सच है कि स्थितीय संख्या प्रणाली में एक ही अंक विभिन्न संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकता है? (5 - हाँ, 6 - नहीं)
4. क्या यह सत्य है कि संख्याओं के दशमलव अंकन में एक निश्चित स्थान को स्थान कहा जाता है? (7 - हाँ, 8 - नहीं)
5. संख्या 543,384 दी गई है। क्या यह सच है कि इसमें उच्चतम अंक वाली इकाइयों की संख्या 543 है, और सबसे कम अंक 384 हैं? (9 - हाँ, 10 - नहीं)
6. क्या यह सच है कि अरबों की श्रेणी में, उच्चतम अंक इकाई एक सौ अरब है, और सबसे कम अंक एक अरब है? (11 - हाँ, 12 - नहीं)
7. संख्या 458,121 दी गई है। क्या यह सच है कि उच्चतम अंक वाली इकाइयों की संख्या और सबसे कम अंक वाली इकाइयों की संख्या का योग 5 है? (13 - हाँ, 14 - नहीं)
8. क्या यह सच है कि ट्रिलियन वर्ग में उच्चतम अंक वाली इकाई मिलियन वर्ग में उच्चतम अंक वाली इकाई से दस लाख गुना बड़ी है? (15 - हाँ, 16 - नहीं)
9. दो संख्याएँ 637,508 और 831 दी गई हैं। क्या यह सच है कि पहली संख्या की उच्चतम अंक इकाई दूसरी संख्या की उच्चतम अंक इकाई से 1000 गुना अधिक है? (17 - हाँ, 18 - नहीं)
10. संख्या 432 दी गई है। क्या यह सच है कि इस संख्या की उच्चतम अंक इकाई निम्नतम से 2 गुना बड़ी है? (19 - हाँ, 20 - नहीं)
11. संख्या 100,000,000 दी गई है। क्या यह सच है कि इसमें 10,000 बनाने वाली अंकीय इकाइयों की संख्या 1000 के बराबर है? (21 - हाँ, 22 - नहीं)
12. क्या यह सच है कि खरबों के वर्ग से पहले क्वाड्रिलियन्स का एक वर्ग होता है, और इस वर्ग के पहले क्विंटिलियंस का एक वर्ग होता है? (23 - हाँ, 24 - नहीं)

1.6. संख्याओं के इतिहास से

प्राचीन काल से, लोगों को चीजों की संख्या गिनने, वस्तुओं की मात्रा की तुलना करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ा है (उदाहरण के लिए, पांच सेब, सात तीर...; एक जनजाति में 20 पुरुष और तीस महिलाएं हैं,... ). वस्तुओं की एक निश्चित संख्या में व्यवस्था स्थापित करने की भी आवश्यकता थी। उदाहरण के लिए, शिकार करते समय जनजाति का नेता पहले आता है, जनजाति का सबसे शक्तिशाली योद्धा दूसरे स्थान पर आता है, आदि। इन उद्देश्यों के लिए संख्याओं का उपयोग किया गया। उनके लिए विशेष नामों का आविष्कार किया गया। भाषण में उन्हें अंक कहा जाता है: एक, दो, तीन, आदि कार्डिनल अंक हैं, और पहला, दूसरा, तीसरा क्रमिक अंक हैं। संख्याएँ विशेष वर्णों - संख्याओं का उपयोग करके लिखी जाती थीं।

समय के साथ वहाँ प्रकट हुआ संख्या प्रणाली.ये ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें संख्याएँ लिखने और उन पर विभिन्न ऑपरेशन करने के तरीके शामिल हैं। सबसे प्राचीन ज्ञात संख्या प्रणालियाँ मिस्र, बेबीलोनियन और रोमन संख्या प्रणालियाँ हैं। प्राचीन काल में, रूस में, संख्याओं को लिखने के लिए एक विशेष चिह्न ~ (शीर्षक) के साथ वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग किया जाता था। वर्तमान में दशमलव संख्या प्रणाली का सर्वाधिक प्रयोग किया जाता है। बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, खासकर कंप्यूटर की दुनिया में।

अतः एक ही संख्या को लिखने के लिए आप विभिन्न चिन्हों - संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं। तो, संख्या चार सौ पच्चीस को मिस्र के अंकों में लिखा जा सकता है - चित्रलिपि:

यह अंक लिखने का मिस्री तरीका है। रोमन अंकों में यह वही संख्या है: CDXXV(संख्याएँ लिखने का रोमन तरीका) या दशमलव अंक 425 (दशमलव संख्या प्रणाली). बाइनरी नोटेशन में यह इस तरह दिखता है: 110101001 (बाइनरी या बाइनरी संख्या प्रणाली), और अष्टक में - 651 (अष्टक संख्या प्रणाली). हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में यह लिखा जाएगा: 1ए9(हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली). आप इसे काफी सरलता से कर सकते हैं: रॉबिन्सन क्रूसो की तरह, एक लकड़ी के खंभे पर चार सौ पच्चीस पायदान (या स्ट्रोक) बनाएं - IIIIIIIII…... तृतीय. ये प्राकृतिक संख्याओं की सबसे पहली छवियां हैं।

अतः, संख्याओं को लिखने की दशमलव प्रणाली में (संख्याओं को दशमलव तरीके से लिखने में) अरबी अंकों का उपयोग किया जाता है। ये दस अलग-अलग प्रतीक हैं - संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . बाइनरी में - दो बाइनरी अंक: 0, 1; अष्टक में - आठ अष्टक अंक: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; हेक्साडेसिमल में - सोलह विभिन्न हेक्साडेसिमल अंक: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ए, बी, सी, डी, ई, एफ; सेक्सजेसिमल (बेबीलोनियन) में - साठ अलग-अलग वर्ण - संख्याएँ, आदि)

दशमलव संख्याएँ मध्य पूर्व और अरब देशों से यूरोपीय देशों में आईं। इसके कारण नाम - अरबी अंक. लेकिन वे भारत से अरबों में आए, जहां उनका आविष्कार पहली सहस्राब्दी के मध्य के आसपास हुआ था।

1.7. रोमन संख्या प्रणाली

आज उपयोग की जाने वाली प्राचीन संख्या प्रणालियों में से एक रोमन प्रणाली है। हम तालिका में रोमन संख्या प्रणाली की मुख्य संख्याएँ और दशमलव प्रणाली की संगत संख्याएँ प्रस्तुत करते हैं।

रोमन अंक					सी
				50 पचास		500 पांच सौ	1000 हजार

रोमन संख्या प्रणाली है अतिरिक्त प्रणाली.इसमें, स्थितीय प्रणालियों (उदाहरण के लिए, दशमलव) के विपरीत, प्रत्येक अंक एक ही संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। हाँ, रिकॉर्ड करें द्वितीय- संख्या दो (1 + 1 = 2), संकेतन को दर्शाता है तृतीय- संख्या तीन (1 + 1 + 1 = 3), अंकन XXX- संख्या तीस (10 + 10 + 10 = 30), आदि। संख्याएँ लिखने पर निम्नलिखित नियम लागू होते हैं।

1. यदि कम संख्या है बादबड़ा, फिर इसे बड़े में जोड़ा जाता है: सातवीं- संख्या सात (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- संख्या सत्रह (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), एमसीएल- संख्या एक हजार एक सौ पचास (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. यदि कम संख्या है पहलेबड़ा है, तो इसे बड़े से घटा दिया जाता है: नौवीं- संख्या नौ (9 = 10 - 1), एल.एम.- संख्या नौ सौ पचास (1000 - 50 = 950)।

बड़ी संख्याएँ लिखने के लिए आपको नये चिन्हों-संख्याओं का प्रयोग (आविष्कार) करना पड़ता है। साथ ही, संख्याओं को रिकॉर्ड करना बोझिल हो जाता है, और रोमन अंकों के साथ गणना करना बहुत कठिन होता है। इस प्रकार, रोमन अभिलेखों में पहले कृत्रिम पृथ्वी उपग्रह के प्रक्षेपण का वर्ष (1957) का रूप है एमसीएमएलवीII .

ब्लॉक 1. 8. छिद्रित कार्ड

प्राकृतिक संख्याएँ पढ़ना

इन कार्यों की जाँच वृत्तों वाले मानचित्र का उपयोग करके की जाती है। आइए हम इसके अनुप्रयोग के बारे में बताते हैं। सभी कार्यों को पूरा करने और सही उत्तर मिलने के बाद (उन्हें ए, बी, सी, आदि अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है), मानचित्र पर पारदर्शी कागज की एक शीट रखें। उस पर सही उत्तरों को चिह्नित करने के लिए "X" चिह्न का उपयोग करें, साथ ही मिलान चिह्न "+" का भी उपयोग करें। फिर पृष्ठ पर स्पष्ट शीट बिछाएं ताकि पंजीकरण चिह्न पंक्तिबद्ध हो जाएं। यदि इस पृष्ठ पर सभी "X" चिह्न भूरे वृत्तों में हैं, तो कार्य सही ढंग से पूरा हो गया है।

1.9. प्राकृत संख्याओं को पढ़ने का क्रम

किसी प्राकृत संख्या को पढ़ते समय निम्नानुसार आगे बढ़ें।

1. मानसिक रूप से संख्या को दाएँ से बाएँ, संख्या के अंत से त्रिक (वर्गों) में विभाजित करें।

1. कनिष्ठ वर्ग से शुरू करते हुए, दाएं से बाएं (संख्या के अंत से) वर्गों के नाम लिखें: इकाइयां, हजारों, लाखों, अरबों, खरबों, क्वाड्रिलियन्स, क्विंटिलियन्स।
2. वे हाई स्कूल से शुरू होने वाली संख्या पढ़ते हैं। इस स्थिति में, बिट इकाइयों की संख्या और वर्ग का नाम कहा जाता है।
3. यदि बिट में शून्य है (बिट खाली है), तो इसे नहीं कहा जाता है। यदि नामित वर्ग के सभी तीन अंक शून्य हैं (अंक खाली हैं), तो इस वर्ग को नहीं कहा जाता है।

आइए चरण 1 - 4 के अनुसार तालिका में लिखी गई संख्या (§1 देखें) को पढ़ें (नाम देखें)। मानसिक रूप से संख्या 38001102987000128425 को दाएं से बाएं वर्गों में विभाजित करें: 038 001 102 987 000 128 425। हम नामों को इंगित करते हैं इस संख्या में कक्षाएं, उसके रिकॉर्ड के अंत से शुरू होती हैं: इकाइयां, हजारों, लाखों, अरबों, खरबों, क्वाड्रिलियन, क्विंटिलियन। अब आप वरिष्ठ कक्षा से शुरू करके संख्या पढ़ सकते हैं। हम संबंधित वर्ग का नाम जोड़कर तीन अंकों, दो अंकों और एक अंक वाली संख्याओं को नाम देते हैं। हम खाली कक्षाओं का नाम नहीं रखते. हमें निम्नलिखित संख्या प्राप्त होती है:

• 038 - अड़तीस क्विंटिलियन
• 001 - एक क्वाड्रिलियन
• 102 - एक सौ दो ट्रिलियन
• 987 - नौ सौ सत्तासी अरब
• 000 - हम नाम नहीं बताते (पढ़ें नहीं)
• 128 - एक सौ अट्ठाईस हजार
• 425 - चार सौ पच्चीस

परिणामस्वरूप, हम प्राकृतिक संख्या 38 001 102 987 000 128 425 को इस प्रकार पढ़ते हैं: "अड़तीस क्विंटिलियन एक क्वाड्रिलियन एक सौ दो ट्रिलियन नौ सौ सत्तासी अरब एक सौ अट्ठाईस हजार चार सौ पच्चीस।"

1.9. प्राकृत संख्याओं को लिखने का क्रम

प्राकृतिक संख्याएँ निम्नलिखित क्रम में लिखी जाती हैं।

1. प्रत्येक वर्ग के तीन अंक लिखिए, उच्चतम वर्ग से शुरू करके इकाई के स्थान तक। ऐसे में वरिष्ठ वर्ग के लिए दो या एक अंक हो सकते हैं.
2. यदि वर्ग या श्रेणी का नाम नहीं है तो संबंधित श्रेणियों में शून्य लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्या पच्चीस करोड़ तीन सौ दोइस रूप में लिखा गया है: 25,000 302 (हजारों के वर्ग का नाम नहीं है, इसलिए हजारों के वर्ग के सभी अंक शून्य के साथ लिखे गए हैं)।

1.10. अंकीय पदों के योग के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का निरूपण

आइए एक उदाहरण दें: 7,563,429 एक संख्या का दशमलव अंकन है सात करोड़ पांच सौ तिरसठ हजार चार सौ उनतीस।इस संख्या में सात मिलियन, पांच सौ हजार, छह दस हजार, तीन हजार, चार सौ, दो दहाई और नौ शामिल हैं। इसे योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: 7,563,429 = 7,000,000 + 500,000 + 60,000 + + 3,000 + 400 + 20 + 9. इस अंकन को अंक शब्दों के योग के रूप में एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व करना कहा जाता है।

ब्लॉक 1.11. आइए खेलते हैं

कालकोठरी खजाने

खेल के मैदान पर किपलिंग की परी कथा "मोगली" का एक चित्र है। पाँच संदूकों में ताले लगे हैं। उन्हें खोलने के लिए, आपको समस्याओं का समाधान करना होगा। वहीं, लकड़ी का संदूक खोलने पर आपको एक अंक मिलता है। टिन का संदूक खोलने पर आपको दो अंक मिलते हैं, तांबे के संदूक को खोलने पर तीन अंक मिलते हैं, चांदी के संदूक को खोलने पर चार अंक मिलते हैं, और सोने के संदूक को खोलने पर पांच अंक मिलते हैं। जो सभी संदूक सबसे तेजी से खोलता है वह जीतता है। वही गेम कंप्यूटर पर भी खेला जा सकता है.

1. लकड़ी की पेटी

पता लगाएं कि इस संदूक में कितना पैसा (हजार रूबल में) है। ऐसा करने के लिए, आपको संख्या के लिए मिलियन वर्ग की निम्नतम अंक इकाइयों की कुल संख्या ज्ञात करनी होगी: 125308453231।

1. टिन की छाती

पता लगाएं कि इस संदूक में कितना पैसा (हजार रूबल में) है। ऐसा करने के लिए, संख्या 12530845323 में, इकाइयों के वर्ग की सबसे कम अंक वाली इकाइयों की संख्या और लाखों के वर्ग की सबसे कम अंक वाली इकाइयों की संख्या ज्ञात करें। फिर इन संख्याओं का योग ज्ञात करें और संख्या को दाहिनी ओर लाखों के स्थान पर जोड़ें।

1. तांबे की छाती

इस तिजोरी में पैसा (हजारों रूबल में) खोजने के लिए, आपको संख्या 751305432198203 में खरबों की श्रेणी में सबसे कम अंक वाली इकाइयों की संख्या और अरबों की श्रेणी में सबसे कम इकाइयों की संख्या ढूंढनी होगी। फिर इन संख्याओं का योग ज्ञात करें और दाईं ओर इस संख्या की इकाइयों के वर्ग की प्राकृतिक संख्याओं को उनके स्थान के क्रम में लिखें।

1. चांदी का संदूक

इस संदूक में पैसा (लाखों रूबल में) दो संख्याओं के योग से दिखाया जाएगा: संख्या 481534185491502 के लिए हजारों की श्रेणी की सबसे निचली अंक वाली इकाइयों की संख्या और अरबों की श्रेणी की मध्य अंक वाली इकाइयों की संख्या।

1. सुनहरी छाती

संख्या 800123456789123456789 दी गई है। यदि हम इस संख्या के सभी वर्गों के उच्चतम अंकों की संख्याओं को गुणा करें, तो हमें इस संदूक का पैसा एक लाख रूबल में मिलता है।

ब्लॉक 1.12. मिलान

प्राकृतिक संख्याएँ लिखना. अंकीय पदों के योग के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का निरूपण

बाएँ कॉलम में प्रत्येक कार्य के लिए, दाएँ कॉलम से एक समाधान चुनें। उत्तर को इस रूप में लिखें: 1ए; 2 ग्राम; 3बी…

	संख्या को संख्याओं में लिखें:पांच लाख पच्चीस हजार
	संख्या को संख्याओं में लिखें:पांच अरब पच्चीस करोड़
	संख्या को संख्याओं में लिखें:पाँच ट्रिलियन पच्चीस
	संख्या को संख्याओं में लिखें:सतहत्तर लाख सतहत्तर हजार सात सौ सतहत्तर
	संख्या को संख्याओं में लिखें:सतहत्तर ट्रिलियन सात सौ सतहत्तर हजार सात
	संख्या को संख्याओं में लिखें:सतहत्तर लाख सात सौ सतहत्तर हजार सात
	संख्या को संख्याओं में लिखें:एक सौ तेईस अरब चार सौ छप्पन करोड़ सात सौ उन्यासी हजार
	संख्या को संख्याओं में लिखें:एक सौ तेईस करोड़ चार सौ छप्पन हजार सात सौ उन्यासी
	संख्या को संख्याओं में लिखें:तीन अरब ग्यारह
	संख्या को संख्याओं में लिखें:तीन अरब ग्यारह करोड़

विकल्प 2

	बत्तीस अरब एक सौ पचहत्तर करोड़ दो सौ अट्ठानबे हजार तीन सौ इकतालीस		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	संख्या को अंकीय पदों के योग के रूप में प्रस्तुत करें:तीन सौ इक्कीस करोड़ इकतालीस		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	संख्या को अंकीय पदों के योग के रूप में प्रस्तुत करें: 321000175298341
	संख्या को अंकीय पदों के योग के रूप में प्रस्तुत करें: 101010101
	संख्या को अंकीय पदों के योग के रूप में प्रस्तुत करें: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	अंकीय पदों के योग के रूप में प्रस्तुत संख्या को दशमलव संकेतन में लिखें: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	अंकीय पदों के योग के रूप में प्रस्तुत संख्या को दशमलव संकेतन में लिखें: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	अंकीय पदों के योग के रूप में प्रस्तुत संख्या को दशमलव संकेतन में लिखें: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	अंकीय पदों के योग के रूप में प्रस्तुत संख्या को दशमलव संकेतन में लिखें: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

ब्लॉक 1.13. पहलू परीक्षण

परीक्षण का नाम "कीट मिश्रित आँख" शब्द से आया है। यह व्यक्तिगत "ओसेली" से बनी एक जटिल आँख है। पहलू परीक्षण कार्य संख्याओं द्वारा इंगित व्यक्तिगत तत्वों से बनते हैं। आमतौर पर, पहलू परीक्षणों में बड़ी संख्या में कार्य होते हैं। लेकिन इस परीक्षण में केवल चार कार्य हैं, लेकिन वे बड़ी संख्या में तत्वों से बने हैं। यह आपको परीक्षण समस्याओं को "इकट्ठा" करने का तरीका सिखाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यदि आप उन्हें बना सकते हैं, तो आप आसानी से अन्य पहलू परीक्षणों का सामना कर सकते हैं।

आइए हम तीसरे कार्य के उदाहरण का उपयोग करके समझाएं कि कार्यों की रचना कैसे की जाती है। यह क्रमांकित परीक्षण तत्वों से बना है: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« अगर» 1) तालिका से संख्याएँ (अंक) लें; 4) 7; 7) इसे एक श्रेणी में रखें; 11) अरबों; 1) तालिका से एक संख्या लें; 5) 8; 7) इसे श्रेणियों में रखें; 9) करोड़ों; 10) लाखों में सैकड़ों; 16) सैकड़ों हज़ारों; 17) दसियों हजारों की; 22) संख्या 9 और 6 को हजारों और सैकड़ों स्थानों पर रखें। 21) शेष बिट्स को शून्य से भरें; " वह» 26) हम सेकंडों में सूर्य के चारों ओर प्लूटो ग्रह की परिक्रमा के समय (अवधि) के बराबर एक संख्या प्राप्त करते हैं; " यह संख्या बराबर है": 7880889600 पी. उत्तरों में यह पत्र द्वारा दर्शाया गया है "वी"।

समस्याओं को हल करते समय, तालिका के कक्षों में संख्याएँ लिखने के लिए एक पेंसिल का उपयोग करें।

पहलू परीक्षण. एक संख्या बनाओ

तालिका में संख्याएँ हैं:

अगर

1) तालिका से संख्याएँ लें:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) इस अंक को अंकों में रखें;

8) सैकड़ों क्वाड्रिलियन और दसियों क्वाड्रिलियन;

9) करोड़ों;

10) करोड़ों;

11) अरबों;

12) क्विंटलियन्स;

13) दसियों क्विंटिलियन;

14) सैकड़ों क्विंटिलियन;

15) ट्रिलियन;

16) सैकड़ों हजारों;

17) दसियों हज़ार;

18) वर्ग(वर्गों) को इससे (उन्हें) भरें;

19) क्विंटलियन्स;

20) अरब;

21) शेष बिट्स को शून्य से भरें;

22) संख्या 9 और 6 को हजारों और सैकड़ों स्थानों पर रखें;

23) हमें दसियों टन में पृथ्वी के द्रव्यमान के बराबर एक संख्या प्राप्त होती है;

24) हमें घन मीटर में पृथ्वी के आयतन के लगभग बराबर एक संख्या मिलती है;

25) हमें सूर्य से सौर मंडल के सबसे दूर के ग्रह, प्लूटो तक की दूरी (मीटर में) के बराबर एक संख्या मिलती है;

26) हमें सेकंडों में सूर्य के चारों ओर प्लूटो ग्रह की परिक्रमा के समय (अवधि) के बराबर एक संख्या प्राप्त होती है;

यह संख्या इसके बराबर है:

ए) 592900000000

बी) 9999900000000000000

घ) 5980000000000000000

समस्याओं का समाधान:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

जवाब

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - जी

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - बी

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - में

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - ए

गणित में, संख्याओं के कई अलग-अलग सेट होते हैं: वास्तविक, जटिल, पूर्णांक, तर्कसंगत, अपरिमेय, ... हमारे में रोजमर्रा की जिंदगीहम अक्सर प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करते हैं, क्योंकि हम गिनती करते समय और वस्तुओं की संख्या निर्दिष्ट करते समय खोज करते समय उनका सामना करते हैं।

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कौन सी संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं?

दस अंकों से आप कक्षाओं और रैंकों का कोई भी मौजूदा योग लिख सकते हैं। प्राकृतिक मूल्य वही माने जाते हैं जिनका उपयोग किया जाता है:

• किसी भी वस्तु को गिनते समय (पहला, दूसरा, तीसरा,...पांचवां,...दसवां)।
• वस्तुओं की संख्या दर्शाते समय (एक, दो, तीन...)

N मान सदैव पूर्णांक और धनात्मक होते हैं। कोई सबसे बड़ा N नहीं है क्योंकि पूर्णांक मानों का सेट असीमित है।

ध्यान!वस्तुओं को गिनते समय या उनकी मात्रा दर्शाते समय प्राकृतिक संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

बिल्कुल किसी भी संख्या को विघटित किया जा सकता है और अंकीय पदों के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: 8.346.809=8 मिलियन+346 हजार+809 इकाइयाँ।

सेट एन

समुच्चय N समुच्चय में है वास्तविक, पूर्णांक और सकारात्मक. समुच्चयों के आरेख पर, वे एक-दूसरे में स्थित होंगे, क्योंकि प्राकृतिक समुच्चय उनका हिस्सा है।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को अक्षर N द्वारा निरूपित किया जाता है। इस समुच्चय की शुरुआत है, लेकिन कोई अंत नहीं।

एक विस्तारित समुच्चय N भी है, जहाँ शून्य शामिल है।

सबसे छोटी प्राकृत संख्या

अधिकांश गणित विद्यालयों में, N का मान सबसे छोटा होता है एक इकाई माना जाता हैचूँकि वस्तुओं की अनुपस्थिति को शून्यता माना जाता है।

लेकिन विदेशी गणितीय विद्यालयों में, उदाहरण के लिए फ़्रेंच में, इसे स्वाभाविक माना जाता है। श्रृंखला में शून्य की उपस्थिति प्रमाण को आसान बनाती है कुछ प्रमेय.

मान N की एक श्रृंखला जिसमें शून्य शामिल है, विस्तारित कहलाती है और इसे प्रतीक N0 (शून्य सूचकांक) द्वारा दर्शाया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला

N श्रृंखला अंकों के सभी N सेटों का एक क्रम है। इस क्रम का कोई अंत नहीं है.

प्राकृतिक श्रृंखला की ख़ासियत यह है कि अगली संख्या पिछली संख्या से एक भिन्न होगी, यानी बढ़ जाएगी। लेकिन अर्थ नकारात्मक नहीं हो सकता.

ध्यान!गिनती में आसानी के लिए, वर्ग और श्रेणियां हैं:

• इकाइयाँ (1, 2, 3),
• दहाई (10, 20, 30),
• सैकड़ों (100, 200, 300),
• हजारों (1000, 2000, 3000),
• हजारों की संख्या में (30,000),
• सैकड़ों हजारों (800,000),
• लाखों (4000000), आदि।

सभी एन

सभी N वास्तविक, पूर्णांक, गैर-नकारात्मक मानों के सेट में हैं। वे उनके हैं अभिन्न अंग.

ये मान अनंत तक जाते हैं, ये लाखों, अरबों, क्विंटिलियन आदि वर्गों के हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए:

• पाँच सेब, तीन बिल्ली के बच्चे,
• दस रूबल, तीस पेंसिलें,
• एक सौ किलोग्राम, तीन सौ किताबें,
• दस लाख सितारे, तीन करोड़ लोग, आदि।

एन में अनुक्रम

विभिन्न गणितीय विद्यालयों में आप दो अंतराल पा सकते हैं जिनमें अनुक्रम N शामिल है:

शून्य से प्लस अनंत तक, जिसमें सिरे भी शामिल हैं, और एक से प्लस अनंत तक, जिसमें सिरे भी शामिल हैं, यानी सब कुछ सकारात्मक पूर्णांक उत्तर.

अंकों का N सेट या तो सम या विषम हो सकता है। आइए विषमता की अवधारणा पर विचार करें।

विषम (कोई भी विषम संख्या 1, 3, 5, 7, 9 पर समाप्त होती है) जिसमें दो का शेषफल होता है। उदाहरण के लिए, 7:2=3.5, 11:2=5.5, 23:2=11.5।

सम एन का क्या मतलब है?

वर्गों का कोई भी सम योग संख्याओं में समाप्त होता है: 0, 2, 4, 6, 8. जब सम N को 2 से विभाजित किया जाता है, तो कोई शेष नहीं बचेगा, अर्थात परिणाम ही संपूर्ण उत्तर होगा। उदाहरण के लिए, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728।

महत्वपूर्ण!एन की एक संख्या श्रृंखला में केवल सम या विषम मान शामिल नहीं हो सकते हैं, क्योंकि उन्हें वैकल्पिक होना चाहिए: सम के बाद हमेशा विषम, उसके बाद फिर सम, आदि।

गुण एन

अन्य सभी सेटों की तरह, N के भी अपने विशेष गुण हैं। आइए एन श्रृंखला (विस्तारित नहीं) के गुणों पर विचार करें।

• वह मान जो सबसे छोटा हो और जो किसी अन्य का अनुसरण न करता हो वह एक है।
• एन एक अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, एक प्राकृतिक मूल्य दूसरे का अनुसरण करता है(एक को छोड़कर - यह पहला है)।
• जब हम अंकों और वर्गों के एन योग पर कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन करते हैं (जोड़ें, गुणा करें), तो उत्तर यह हमेशा प्राकृतिक निकलता हैअर्थ।
• गणना में क्रमपरिवर्तन और संयोजन का उपयोग किया जा सकता है।
• प्रत्येक अगला मान पिछले वाले से कम नहीं हो सकता। साथ ही N श्रृंखला में निम्नलिखित कानून लागू होगा: यदि संख्या A, B से कम है, तो संख्या श्रृंखला में हमेशा एक C होगा जिसके लिए समानता है: A+C=B.
• यदि हम दो प्राकृतिक अभिव्यक्तियाँ लेते हैं, उदाहरण के लिए A और B, तो उनमें से एक अभिव्यक्ति उनके लिए सत्य होगी: A = B, A, B से बड़ा है, A, B से छोटा है।
• यदि A, B से छोटा है, और B, C से छोटा है, तो यह इस प्रकार है कि A, C से छोटा है.
• यदि A, B से छोटा है, तो यह इस प्रकार है: यदि हम उनमें समान अभिव्यक्ति (C) जोड़ते हैं, तो A + C, B + C से छोटा है। यह भी सत्य है कि यदि इन मानों को C से गुणा किया जाए, तो AC, AB से कम है।
• यदि B, A से बड़ा है, लेकिन C से कम है, तो यह सत्य है: B-A, C-A से छोटा है।

ध्यान!उपरोक्त सभी असमानताएँ विपरीत दिशा में भी मान्य हैं।

गुणन के घटकों को क्या कहते हैं?

कई सरल और यहां तक ​​कि जटिल समस्याओं में, उत्तर ढूंढना स्कूली बच्चों के कौशल पर निर्भर करता है।

तेजी से और सही ढंग से गुणा करने और व्युत्क्रम समस्याओं को हल करने में सक्षम होने के लिए, आपको गुणन के घटकों को जानना होगा।

15. 10=150. इस अभिव्यक्ति में 15 और 10 हैं गुणक हैं, और 150 एक उत्पाद है.

गुणन में वे गुण होते हैं जो समस्याओं, समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय आवश्यक होते हैं:

• कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से अंतिम उत्पाद नहीं बदलेगा।
• किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद को ज्ञात कारक (सभी कारकों के लिए सत्य) से विभाजित करना होगा।

उदाहरण के लिए: 15 . एक्स=150. आइए उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करें। 150:15=10. चलो एक जाँच करते हैं. 15 . 10=150. इसी सिद्धांत के अनुसार वे निर्णय भी लेते हैं जटिल रैखिक समीकरण(उन्हें सरल बनाने के लिए).

महत्वपूर्ण!एक उत्पाद में केवल दो से अधिक कारक शामिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए: 840=2 . 5. 7. 3. 4

गणित में प्राकृतिक संख्याएँ क्या हैं?

प्राकृतिक संख्याओं के स्थान और वर्ग

निष्कर्ष

आइए संक्षेप करें. वस्तुओं की संख्या गिनते या इंगित करते समय N का उपयोग किया जाता है। संख्याओं के प्राकृतिक सेटों की श्रृंखला अनंत है, लेकिन इसमें केवल पूर्णांक और अंकों और वर्गों के सकारात्मक योग शामिल हैं। इसके लिए गुणन भी आवश्यक है वस्तुओं को गिनने के लिए, साथ ही समस्याओं, समीकरणों और विभिन्न असमानताओं को हल करने के लिए।

गणित का उदय ईसा पूर्व छठी शताब्दी के आसपास सामान्य दर्शन से हुआ। ई., और उसी क्षण से दुनिया भर में उसका विजयी मार्च शुरू हुआ। विकास के प्रत्येक चरण ने कुछ नया प्रस्तुत किया - प्रारंभिक गिनती विकसित हुई, विभेदक और अभिन्न कलन में परिवर्तित हो गई, सदियाँ बीत गईं, सूत्र अधिक से अधिक भ्रमित करने वाले हो गए, और वह क्षण आया जब "सबसे जटिल गणित शुरू हुआ - सभी संख्याएँ इसमें से गायब हो गईं।" लेकिन आधार क्या था?

समय की शुरुआत

प्राकृतिक संख्याएँ पहली गणितीय संक्रियाओं के साथ प्रकट हुईं। एक रीढ़, दो रीढ़, तीन रीढ़... वे भारतीय वैज्ञानिकों की बदौलत प्रकट हुए जिन्होंने पहली स्थिति विकसित की

शब्द "स्थितीयता" का अर्थ है कि किसी संख्या में प्रत्येक अंक का स्थान सख्ती से परिभाषित है और उसकी रैंक के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 784 और 487 समान संख्याएँ हैं, लेकिन संख्याएँ समतुल्य नहीं हैं, क्योंकि पहले में 7 शतक शामिल हैं, जबकि दूसरे में केवल 4। भारतीय नवाचार को अरबों ने अपनाया, जिन्होंने संख्याओं को इस रूप में लाया जिसे हम अब जानते हैं।

प्राचीन काल में, संख्याओं को एक रहस्यमय अर्थ दिया जाता था; पाइथागोरस का मानना ​​था कि संख्या मूल तत्वों - अग्नि, जल, पृथ्वी, वायु के साथ-साथ दुनिया के निर्माण का आधार है। यदि हम हर चीज़ पर केवल गणितीय पक्ष से विचार करें, तो प्राकृतिक संख्या क्या है? प्राकृतिक संख्याओं के क्षेत्र को N के रूप में दर्शाया गया है और यह संख्याओं की एक अनंत श्रृंखला है जो पूर्णांक और सकारात्मक हैं: 1, 2, 3, … + ∞। शून्य को बाहर रखा गया है. मुख्य रूप से वस्तुओं को गिनने और ऑर्डर इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

गणित में यह क्या है? पीनो के अभिगृहीत

फ़ील्ड एन बुनियादी है जिस पर प्रारंभिक गणित आधारित है। समय के साथ, पूर्णांक, तर्कसंगत, के क्षेत्र

इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो के काम ने अंकगणित की आगे की संरचना को संभव बनाया, इसकी औपचारिकता हासिल की और आगे के निष्कर्षों के लिए रास्ता तैयार किया जो कि क्षेत्र क्षेत्र एन से परे थे।

प्राकृतिक संख्या क्या है, यह पहले सरल भाषा में स्पष्ट किया गया था; नीचे हम पीनो अभिगृहीतों पर आधारित गणितीय परिभाषा पर विचार करेंगे।

• एक को प्राकृतिक संख्या माना जाता है।
• जो संख्या किसी प्राकृत संख्या के बाद आती है वह प्राकृत संख्या होती है।
• एक से पहले कोई प्राकृत संख्या नहीं होती.
• यदि संख्या b, संख्या c और संख्या d दोनों का अनुसरण करती है, तो c=d।
• प्रेरण का एक सिद्धांत, जो बदले में दिखाता है कि एक प्राकृतिक संख्या क्या है: यदि पैरामीटर पर निर्भर कुछ कथन संख्या 1 के लिए सत्य है, तो हम मानते हैं कि यह प्राकृतिक संख्या एन के क्षेत्र से संख्या एन के लिए भी काम करता है। यह कथन प्राकृत संख्याओं N के क्षेत्र से n =1 के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक संख्याओं के क्षेत्र के लिए बुनियादी संचालन

चूँकि फ़ील्ड N गणितीय गणनाओं के लिए पहला था, परिभाषा के डोमेन और नीचे दिए गए कई ऑपरेशनों के मानों की श्रेणियाँ दोनों इसके अंतर्गत आती हैं। वे बंद हैं और नहीं. मुख्य अंतर यह है कि बंद परिचालनों को सेट एन के भीतर परिणाम छोड़ने की गारंटी दी जाती है, चाहे कोई भी संख्या शामिल हो। इतना ही काफी है कि वे प्राकृतिक हैं। अन्य संख्यात्मक अंतःक्रियाओं का परिणाम अब इतना स्पष्ट नहीं है और यह सीधे तौर पर इस बात पर निर्भर करता है कि अभिव्यक्ति में किस प्रकार की संख्याएँ शामिल हैं, क्योंकि यह मुख्य परिभाषा का खंडन कर सकता है। तो, बंद परिचालन:

• जोड़ - x + y = z, जहां x, y, z को N फ़ील्ड में शामिल किया गया है;
• गुणन - x * y = z, जहां x, y, z को N फ़ील्ड में शामिल किया गया है;
• घातांक - x y, जहां x, y को N फ़ील्ड में शामिल किया गया है।

शेष संक्रियाएँ, जिनके परिणाम "प्राकृतिक संख्या क्या है" की परिभाषा के संदर्भ में मौजूद नहीं हो सकते हैं, इस प्रकार हैं:

क्षेत्र N से संबंधित संख्याओं के गुण

आगे के सभी गणितीय तर्क निम्नलिखित गुणों पर आधारित होंगे, सबसे तुच्छ, लेकिन कम महत्वपूर्ण नहीं।

• जोड़ का क्रमविनिमेय गुण x + y = y + x है, जहाँ संख्याएँ x, y फ़ील्ड N में शामिल हैं। या प्रसिद्ध "शब्दों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।"
• गुणन का क्रमविनिमेय गुण x * y = y * x है, जहाँ संख्याएँ x, y N फ़ील्ड में शामिल हैं।
• जोड़ का संयोजन गुण (x + y) + z = x + (y + z) है, जहां x, y, z को N फ़ील्ड में शामिल किया गया है।
• गुणन का मिलान गुण (x * y) * z = x * (y * z) है, जहां संख्याएँ x, y, z N फ़ील्ड में शामिल हैं।
• वितरण गुण - x (y + z) = x * y + x * z, जहां संख्याएँ x, y, z N फ़ील्ड में शामिल हैं।

पायथागॉरियन टेबल

प्रारंभिक गणित की संपूर्ण संरचना के बारे में छात्रों के ज्ञान में पहला कदम यह है कि जब वे स्वयं समझ जाते हैं कि कौन सी संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं, तो पायथागॉरियन तालिका है। इसे न केवल विज्ञान की दृष्टि से, बल्कि सबसे मूल्यवान वैज्ञानिक स्मारक भी माना जा सकता है।

समय के साथ इस गुणन सारणी में कई बदलाव हुए हैं: इसमें से शून्य हटा दिया गया है, और 1 से 10 तक की संख्याएँ, आदेशों (सैकड़ों, हजारों...) को ध्यान में रखे बिना, स्वयं का प्रतिनिधित्व करती हैं। यह एक तालिका है जिसमें पंक्ति और स्तंभ शीर्षक संख्याएँ हैं, और उन कक्षों की सामग्री जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं, उनके उत्पाद के बराबर हैं।

हाल के दशकों में शिक्षण के अभ्यास में, पाइथागोरस तालिका को "क्रम में" याद करने की आवश्यकता हुई है, यानी याद रखना पहले आया। 1 से गुणा को बाहर रखा गया क्योंकि परिणाम 1 या उससे अधिक का गुणक था। इस बीच, तालिका में नग्न आंखों से आप एक पैटर्न देख सकते हैं: संख्याओं का गुणनफल एक कदम बढ़ता है, जो पंक्ति के शीर्षक के बराबर होता है। इस प्रकार, दूसरा कारक हमें दिखाता है कि वांछित उत्पाद प्राप्त करने के लिए हमें कितनी बार पहले वाले को लेने की आवश्यकता है। यह प्रणाली मध्य युग में प्रचलित प्रणाली की तुलना में कहीं अधिक सुविधाजनक है: यहां तक ​​कि यह समझने में भी कि एक प्राकृतिक संख्या क्या है और यह कितनी तुच्छ है, लोग एक ऐसी प्रणाली का उपयोग करके अपनी रोजमर्रा की गिनती को जटिल बनाने में कामयाब रहे जो दो की शक्तियों पर आधारित थी।

गणित के उद्गम स्थल के रूप में उपसमुच्चय

फिलहाल, प्राकृतिक संख्याओं के क्षेत्र एन को केवल जटिल संख्याओं के सबसेट में से एक माना जाता है, लेकिन यह उन्हें विज्ञान में कम मूल्यवान नहीं बनाता है। प्राकृतिक संख्या वह पहली चीज़ है जो एक बच्चा स्वयं और अपने आस-पास की दुनिया का अध्ययन करते समय सीखता है। एक उंगली, दो उंगलियां... इसके लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति में तार्किक सोच विकसित होती है, साथ ही कारण निर्धारित करने और प्रभाव निकालने की क्षमता विकसित होती है, जिससे महान खोजों का मार्ग प्रशस्त होता है।

प्राकृतिक संख्याएँ सबसे पुरानी गणितीय अवधारणाओं में से एक हैं।

सुदूर अतीत में, लोग संख्याओं को नहीं जानते थे और जब उन्हें वस्तुओं (जानवरों, मछलियों आदि) को गिनने की आवश्यकता होती थी, तो वे इसे अब की तुलना में अलग तरीके से करते थे।

वस्तुओं की संख्या की तुलना शरीर के हिस्सों से की गई, उदाहरण के लिए, हाथ की उंगलियों से, और उन्होंने कहा: "मेरे हाथ में जितनी उंगलियां हैं, मेरे पास उतने ही नट हैं।"

समय के साथ, लोगों को एहसास हुआ कि पाँच नट, पाँच बकरियाँ और पाँच खरगोशों की एक सामान्य संपत्ति है - उनकी संख्या पाँच के बराबर है।

याद करना!

पूर्णांकों- ये 1 से शुरू होने वाली संख्याएँ हैं, जो वस्तुओं को गिनने से प्राप्त होती हैं।

1, 2, 3, 4, 5…

सबसे छोटी प्राकृत संख्या — 1 .

सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्यामौजूद नहीं होना।

गिनती करते समय शून्य संख्या का प्रयोग नहीं किया जाता है। अतः शून्य को प्राकृतिक संख्या नहीं माना जाता है।

लोगों ने गिनती की तुलना में संख्याएँ लिखना बहुत बाद में सीखा। सबसे पहले, उन्होंने एक को एक छड़ी से, फिर दो छड़ियों से - संख्या 2, तीन से - संख्या 3 को चित्रित करना शुरू किया।

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

फिर संख्याओं को नामित करने के लिए विशेष संकेत दिखाई दिए - आधुनिक संख्याओं के पूर्ववर्ती। संख्याएँ लिखने के लिए हम जिन अंकों का उपयोग करते हैं उनकी उत्पत्ति लगभग 1,500 वर्ष पहले भारत में हुई थी। अरब उन्हें यूरोप ले आए, इसीलिए उन्हें कहा जाता है अरबी अंक.

कुल मिलाकर दस संख्याएँ हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। इन संख्याओं का प्रयोग करके आप कोई भी प्राकृत संख्या लिख ​​सकते हैं।

याद करना!

प्राकृतिक शृंखलासभी प्राकृतिक संख्याओं का एक क्रम है:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

प्राकृतिक श्रृंखला में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से 1 अधिक होती है।

प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है; इसमें कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।

हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली गणना प्रणाली कहलाती है दशमलव स्थितीय.

दशमलव क्योंकि प्रत्येक अंक की 10 इकाइयाँ सबसे महत्वपूर्ण अंक की 1 इकाई बनाती हैं। स्थितीय क्योंकि किसी अंक का अर्थ संख्या अभिलेख में उसके स्थान पर निर्भर करता है, अर्थात उस अंक पर जिसमें वह लिखा है।

महत्वपूर्ण!

बिलियन के बाद वाले वर्गों का नाम संख्याओं के लैटिन नामों के अनुसार रखा गया है। प्रत्येक अगली इकाई में एक हजार पिछली इकाइयाँ शामिल होती हैं।

• 1,000 अरब = 1,000,000,000,000 = 1 ट्रिलियन ("तीन" लैटिन में "तीन" के लिए है)
• 1,000 ट्रिलियन = 1,000,000,000,000,000 = 1 क्वाड्रिलियन ("क्वाड्रा" लैटिन में "चार" के लिए है)
• 1,000 क्वाड्रिलियन = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 क्विंटिलियन ("क्विंटा" लैटिन में "पांच" के लिए है)

हालाँकि, भौतिकविदों ने एक ऐसी संख्या पाई है जो पूरे ब्रह्मांड में सभी परमाणुओं (पदार्थ के सबसे छोटे कण) की संख्या से अधिक है।

इस नंबर को एक विशेष नाम मिला - गूगोल. गूगोल 100 शून्य वाली एक संख्या है।