एक व्यावहारिक पाठ में, हम इस पथ पर विचार करेंगे और सैद्धांतिक समाधान के साथ सिमुलेशन परिणामों की तुलना करेंगे। कतारबद्ध प्रणालियों की समस्याओं को हल करने के उदाहरण

एक गणितीय (अमूर्त) वस्तु, जिसके तत्व हैं (चित्र 2.1):

• सेवा के लिए अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) का इनपुट (आने वाला) प्रवाह;
• सेवा उपकरण (चैनल);
• सेवा की प्रतीक्षा में आवेदनों की कतार;
• सेवित अनुप्रयोगों का आउटपुट (आउटगोइंग) प्रवाह;
• सेवा में रुकावट के बाद अतिरिक्त सेवा के लिए अनुरोधों का प्रवाह;
• असंसाधित अनुरोधों का प्रवाह।

आवेदन(अनुरोध, आवश्यकता, कॉल, क्लाइंट, संदेश, पैकेट) - क्यूएस में प्रवेश करने वाली एक वस्तु और डिवाइस में सेवा की आवश्यकता होती है। समय-समय पर वितरित लगातार अनुरोधों का एक सेट अनुप्रयोगों का इनपुट प्रवाह।

चावल। 2.1.

सेवा उपकरण(डिवाइस, डिवाइस, चैनल, लाइन, टूल, कार, राउटर, आदि) - एक क्यूएस तत्व जिसका उद्देश्य सेवा अनुरोध है।

सेवा- सर्विसिंग डिवाइस में एप्लिकेशन में कुछ समय की देरी।

सेवा की अवधि- डिवाइस में अनुरोध का विलंब समय (सर्विसिंग)।

भंडारण युक्ति(बफ़र, इनपुट बफ़र, आउटपुट बफ़र) - सर्विंग डिवाइस के सामने अनुरोधों की प्रतीक्षा के लिए स्थानों का एक सेट। प्रतीक्षा स्थानों की संख्या - भंडारण क्षमता।

सीएमओ द्वारा प्राप्त आवेदन दो राज्यों में हो सकता है:

• 1) सेवा(डिवाइस में);
• 2) अपेक्षाएं(स्टोरेज में) यदि सभी डिवाइस अन्य अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त हैं।

अनुरोध भंडारण में स्थित हैं और सेवा प्रपत्र की प्रतीक्षा कर रहे हैं कतारअनुप्रयोग। सेवा की प्रतीक्षा में भंडारण टैंक में आवेदनों की संख्या - कतार की लंबाई.

बफरिंग अनुशासन(कतारबद्ध अनुशासन) - आने वाले अनुरोधों को स्टोरेज डिवाइस (बफर) में दर्ज करने का नियम।

सेवा अनुशासन- डिवाइस में सेवा के लिए कतार से एप्लिकेशन चुनने का नियम।

प्राथमिकता- भंडारण में प्रवेश करने या अन्य वर्गों के अनुप्रयोगों के संबंध में एक वर्ग के डिवाइस अनुप्रयोगों में सर्विसिंग के लिए कतार से चयन करने के लिए प्राथमिकता अधिकार (संसाधनों को जब्त करने के लिए)।

ऐसी कई कतार प्रणालियाँ हैं जो संरचनात्मक और कार्यात्मक संगठन में भिन्न हैं। साथ ही, कई मामलों में क्यूएस प्रणाली के प्रदर्शन संकेतकों की गणना के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों का विकास कई सीमाओं और मान्यताओं की उपस्थिति को मानता है जो अध्ययन के तहत क्यूएस प्रणालियों के सेट को सीमित करते हैं। इसीलिए जटिल संरचना के मनमाने QS के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक मॉडल नहीं है।

एक विश्लेषणात्मक क्यूएस मॉडल समीकरणों या सूत्रों का एक सेट है जो आने वाले प्रवाह और सेवा चैनलों, बफरिंग और सेवा विषयों के ज्ञात मापदंडों के आधार पर इसके संचालन और प्रदर्शन संकेतकों के दौरान सिस्टम राज्यों की संभावनाओं को निर्धारित करना संभव बनाता है।

यदि क्यूएस में होने वाली प्रक्रियाएं मार्कोवियन हैं (अनुरोधों का प्रवाह सरल है, सेवा समय तेजी से वितरित किया जाता है) तो क्यूएस के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग में काफी सुविधा होती है। इस मामले में, क्यूएस में सभी प्रक्रियाओं को सामान्य अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और सीमित मामले में - स्थिर राज्यों के लिए - रैखिक बीजगणितीय समीकरणों द्वारा और, गणितीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों में उपलब्ध किसी भी विधि का उपयोग करके उन्हें हल करके, चयनित दक्षता संकेतक निर्धारित करें .

आईएम सिस्टम में, क्यूएस लागू करते समय, निम्नलिखित प्रतिबंध और धारणाएं स्वीकार की जाती हैं:

• सिस्टम में आवेदन प्राप्त हुआ तुरन्तयदि कतार में कोई अनुरोध नहीं है और डिवाइस निःशुल्क है, तो सेवा प्राप्त हो जाती है;
• डिवाइस की सर्विस केवल किसी भी समय की जा सकती है। एकआवेदन पत्र;
• डिवाइस में किसी भी अनुरोध की सर्विसिंग समाप्त होने के बाद, अगले अनुरोध को तुरंत सेवा के लिए कतार से चुना जाता है, यानी, डिवाइस बेकार खड़ा नहीं रहतायदि कतार में कम से कम एक आवेदन है;
• क्यूएस में आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सर्विसिंग की अवधि सिस्टम में पहले से मौजूद आवेदनों की संख्या या किसी अन्य कारक पर निर्भर नहीं करती है;
• सर्विसिंग अनुप्रयोगों की अवधि सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों की तीव्रता पर निर्भर नहीं करती है।

आइए QS के कुछ तत्वों को अधिक विस्तार से देखें।

अनुप्रयोगों का इनपुट (आने वाला) प्रवाह। घटनाओं का प्रवाहसजातीय घटनाओं का एक क्रम है जो एक के बाद एक होती है और कुछ स्थानों पर घटित होती है, सामान्यतः, यादृच्छिकबीते पल। यदि घटना अनुप्रयोगों की उपस्थिति है, तो हमारे पास है अनुप्रयोगों का प्रवाह.सामान्य स्थिति में अनुप्रयोगों के प्रवाह का वर्णन करने के लिए, समय अंतराल t = निर्धारित करना आवश्यक है टी - टी के-1आसन्न क्षणों के बीच tk_kऔर टीक्रमांक सहित आवेदनों की प्राप्ति को - 1 और कोक्रमश: (को - 1, 2, ...; टी 0 - 0-प्रारंभिक समय).

अनुप्रयोग प्रवाह की मुख्य विशेषता इसकी है तीव्रता एक्स- समय की प्रति इकाई क्यूएस के इनपुट पर प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या। मान टी = 1/एक्सको परिभाषित करता है दो लगातार अनुप्रयोगों के बीच औसत समय अंतराल।

धारा को कहा जाता है नियतिवादीयदि समय अंतराल टी कोपड़ोसी अनुप्रयोगों के बीच कुछ पहले से ज्ञात मान लेते हैं। यदि अंतराल समान हैं (एक्स के= टी सभी के लिए क = 1, 2, ...), तो प्रवाह कहा जाता है नियमित।अनुरोधों के नियमित प्रवाह का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए, प्रवाह की तीव्रता निर्धारित करना पर्याप्त है एक्सया अंतराल मान t = 1/एक्स.

एक धारा जिसमें समय अंतराल होता है एक्स कपड़ोसी अनुप्रयोगों के बीच यादृच्छिक चर होते हैं, जिन्हें कहा जाता है यादृच्छिक।सामान्य मामले में अनुरोधों के यादृच्छिक प्रवाह का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए, प्रत्येक समय अंतराल के लिए वितरण कानून एफ एफसी (एक्स एफसी) निर्दिष्ट करना आवश्यक है एक्स के, के = 1,2,....

एक यादृच्छिक प्रवाह जिसमें सभी समय अंतराल होते हैं एक्स बी एक्स 2,...आसन्न लगातार अनुरोधों के बीच वितरण कार्यों FjCij), F 2 द्वारा वर्णित स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं (x 2), ... तदनुसार, प्रवाह कहा जाता है सीमित परिणाम.

यादृच्छिक प्रवाह कहलाता है आवर्ती,यदि सभी समय अंतराल एक्सबीटी 2, ...आदेशों के बीच वितरित उसी कानून के अनुसारएफ(टी). कई आवर्ती सूत्र हैं. प्रत्येक वितरण कानून अपना स्वयं का आवर्ती प्रवाह उत्पन्न करता है। आवर्ती प्रवाह को अन्यथा पाम प्रवाह कहा जाता है।

यदि तीव्रता एक्सऔर क्रमिक अनुप्रयोगों के बीच अंतराल का वितरण नियम F(t) समय के साथ नहीं बदलता है, तो अनुप्रयोगों के प्रवाह को कहा जाता है अचलअन्यथा, अनुरोधों का प्रवाह है गैर स्थिर.

यदि समय के प्रत्येक क्षण में टीक्यूएस इनपुट पर केवल एक दावा दिखाई दे सकता है, फिर दावों का प्रवाह कहा जाता है साधारण।यदि किसी भी समय एक से अधिक आवेदन प्रकट हो सकते हैं, तो आवेदनों का प्रवाह होता है असाधारण,या समूह।

अनुरोधों के प्रवाह को प्रवाह कहा जाता है बिना किसी परिणाम के,यदि आवेदन प्राप्त होते हैं ध्यान दिए बगैरएक दूसरे से, यानी अगले आवेदन की प्राप्ति का क्षण इस पर निर्भर नहीं करता कि उस क्षण से पहले कब और कितने आवेदन प्राप्त हुए थे।

बिना किसी दुष्प्रभाव के स्थिर सामान्य प्रवाह कहलाता है सबसे आसान।

सरलतम प्रवाह में अनुरोधों के बीच समय अंतराल टी को वितरित किया जाता है घातीय (सूचक) कानून:वितरण फलन F(t) = 1 के साथ - ई~एम;वितरण घनत्व/(एफ) = हेह~" एल,कहाँ एक्स> 0 - वितरण पैरामीटर - अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता।

सबसे सरल प्रवाह को अक्सर कहा जाता है पॉइसोनियन।नाम इस तथ्य से आता है कि इस प्रवाह के लिए घटना की संभावना P fc (At) बिल्कुल है कोअनुप्रयोगों के लिए एक निश्चित समय अंतराल निर्धारित किया जाता है पॉइसन का नियम:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक पॉइसन प्रवाह, सबसे सरल प्रवाह के विपरीत, हो सकता है:

• अचल,यदि तीव्रता एक्ससमय के साथ नहीं बदलता;
• गैर-स्थिर,यदि प्रवाह की तीव्रता समय पर निर्भर करती है: एक्स= >.(टी).

साथ ही, परिभाषा के अनुसार, सबसे सरल प्रवाह हमेशा स्थिर होता है।

कतारबद्ध मॉडलों का विश्लेषणात्मक अध्ययन अक्सर अनुरोधों के एक सरल प्रवाह की धारणा के तहत किया जाता है, जो इसमें निहित कई उल्लेखनीय विशेषताओं के कारण होता है।

1. धाराओं का योग (विलय)। क्यूएस सिद्धांत में सबसे सरल प्रवाह संभाव्यता सिद्धांत में सामान्य वितरण कानून के समान है: सबसे सरल प्रवाह एक प्रवाह की सीमा को पारित करके प्राप्त किया जाता है जो कि शर्तों की संख्या में अनंत वृद्धि के साथ मनमानी विशेषताओं के साथ प्रवाह का योग है। उनकी तीव्रता में कमी.

जोड़ एनतीव्रता के साथ स्वतंत्र स्थिर सामान्य प्रवाह एक्स एक्स 2 ,..., एक्स एनतीव्रता के साथ सरलतम प्रवाह बनाता है

एक्स=वाई,^आईबशर्ते कि जोड़ा जा रहा प्रवाह या से अधिक हो

कुल प्रवाह पर समान रूप से छोटा प्रभाव। व्यवहार में, कुल प्रवाह सबसे सरल के करीब होता है एन> 5. तो, स्वतंत्र सरलतम प्रवाहों का योग करने पर कुल प्रवाह सबसे सरल होगाकिसी भी कीमत पर एन।

• 2. संभाव्य प्रवाह विरलन. संभाव्य(लेकिन नियतिवादी नहीं) वैक्यूम सरलतम प्रवाहअनुप्रयोग, जिसमें कोई भी अनुप्रयोग कुछ संभावनाओं के साथ यादृच्छिक होता है आरप्रवाह से बाहर रखा गया है, भले ही अन्य अनुरोधों को बाहर रखा गया हो या नहीं, गठन की ओर ले जाता है सरलतम प्रवाहतीव्रता के साथ एक्स* = рХ,कहाँ एक्स- मूल प्रवाह की तीव्रता. तीव्रता के साथ बहिष्कृत अनुप्रयोगों का प्रवाह एक्स** = (1 - पी)एक्स- वही सरलप्रवाह।
• 3. दक्षता. यदि सेवारत चैनल (उपकरण) तीव्रता के साथ अनुरोधों के सरलतम प्रवाह के लिए डिज़ाइन किए गए हैं एक्स,फिर अन्य प्रकार के प्रवाह (समान तीव्रता के साथ) की सर्विसिंग कम दक्षता के साथ प्रदान की जाएगी।
• 4. सरलता. अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह की धारणा कई गणितीय मॉडलों को मापदंडों पर क्यूएस संकेतकों की निर्भरता को स्पष्ट रूप में प्राप्त करने की अनुमति देती है। अनुप्रयोगों के सबसे सरल प्रवाह के लिए सबसे बड़ी संख्या में विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त किए गए।

सरलतम मॉडलों के अलावा अन्य क्रम प्रवाह वाले मॉडलों का विश्लेषण आमतौर पर गणितीय गणनाओं को जटिल बनाता है और हमेशा किसी को स्पष्ट रूप में विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने की अनुमति नहीं देता है। इसी विशेषता के कारण "सरलतम" प्रवाह को इसका नाम मिला।

सेवा शुरू करने के लिए आवेदन में अलग-अलग पात्रता हो सकती है। इस मामले में उनका कहना है कि एप्लीकेशन विषमांगीसेवा की शुरुआत में दूसरों की तुलना में कुछ एप्लिकेशन प्रवाह के लाभ प्राथमिकताओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

इनपुट स्ट्रीम की एक महत्वपूर्ण विशेषता है भिन्नता का गुणांक

जहां t int अंतराल लंबाई की गणितीय अपेक्षा है; हे- अंतराल x int (यादृच्छिक चर) की लंबाई का मानक विचलन।

सरलतम प्रवाह के लिए (ए = -, एम = -) हमारे पास वी = 1 है। अधिकांश के लिए

वास्तविक धाराएँ 0

सेवा चैनल (उपकरण)। किसी चैनल की मुख्य विशेषता सेवा की अवधि है।

सेवा की अवधि- डिवाइस में अनुरोध का समय - सामान्य स्थिति में, एक यादृच्छिक मान। क्यूएस के विषम भार के मामले में, विभिन्न वर्गों के सर्विसिंग अनुरोधों की अवधि वितरण कानूनों या केवल औसत मूल्यों में भिन्न हो सकती है। इस मामले में, आमतौर पर यह माना जाता है कि प्रत्येक वर्ग के सर्विसिंग अनुरोधों की अवधि स्वतंत्र है।

व्यवसायी अक्सर यह मानते हैं कि सर्विसिंग अनुप्रयोगों की अवधि वितरित है घातीय कानूनजो विश्लेषणात्मक गणनाओं को काफी सरल बनाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि समय अंतराल के घातीय वितरण के साथ सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाएं होती हैं मार्कोवियनप्रक्रियाएं:

कहाँ सी - सेवा तीव्रता,यहाँ p = _--; टी 0 बीएसएल - गणित -

सेवा के लिए प्रतीक्षा समय.

घातीय वितरण के अलावा, एर्लांग/सी-वितरण, हाइपरएक्सपोनेंशियल, त्रिकोणीय और कुछ अन्य भी हैं। इससे हमें भ्रमित नहीं होना चाहिए, क्योंकि यह दिखाया गया है कि क्यूएस दक्षता मानदंड का मूल्य सेवा समय वितरण कानून के प्रकार पर बहुत कम निर्भर करता है।

क्यूएस का अध्ययन करते समय, सेवा का सार और सेवा की गुणवत्ता पर विचार नहीं किया जाता है।

चैनल हो सकते हैं बिल्कुल विश्वसनीय,वे। असफल मत होना. या यूं कहें कि रिसर्च के दौरान इस बात को स्वीकार किया जा सकता है. चैनल हो सकते हैं परम विश्वसनीयता.इस मामले में, क्यूएस मॉडल बहुत अधिक जटिल है।

क्यूएस की प्रभावशीलता न केवल इनपुट प्रवाह और सेवा चैनलों के मापदंडों पर निर्भर करती है, बल्कि उस क्रम पर भी निर्भर करती है जिसमें आने वाले अनुरोधों की सेवा की जाती है, अर्थात। जब अनुरोध सिस्टम में प्रवेश करते हैं और सेवा के लिए भेजे जाते हैं तो उनके प्रवाह को प्रबंधित करने के तरीकों पर।

अनुप्रयोग प्रवाह के प्रबंधन की विधियाँ निम्नलिखित विषयों द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

• बफरिंग;
• सेवा।

बफ़रिंग और रखरखाव विषयों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• विभिन्न वर्गों के अनुप्रयोगों के बीच प्राथमिकताओं की उपस्थिति;
• कतार से अनुरोधों को विस्थापित करने (विषयों को बफर करने के लिए) और सेवा के लिए अनुरोध निर्दिष्ट करने (सेवा विषयों के लिए) की एक विधि;
• सेवा अनुरोधों को हटाने या चयन करने का नियम;
• प्राथमिकताएँ बदलने की क्षमता.

सूचीबद्ध विशेषताओं के अनुसार बफरिंग विषयों (कतार लगाना) के वर्गीकरण का एक प्रकार चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 2.2.

निर्भर करना उपलब्धताया प्राथमिकताओं का अभावविभिन्न वर्गों के अनुरोधों के बीच, सभी बफ़रिंग विषयों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गैर-प्राथमिकता और प्राथमिकता।

द्वारा भंडारण से अनुरोधों को विस्थापित करने की विधिबफ़रिंग विषयों के निम्नलिखित वर्गों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

• अनुरोधों को हटाए बिना - जो अनुरोध सिस्टम में आए और पाया कि ड्राइव पूरी तरह भरी हुई है, वे खो गए हैं;
• इस वर्ग के एक अनुप्रयोग के विस्थापन के साथ, अर्थात्। प्राप्त आवेदन के समान वर्ग;
• निम्नतम प्राथमिकता वर्ग से आवेदन के विस्थापन के साथ;
• निम्न प्राथमिकता वर्गों के समूह से आवेदन के विस्थापन के साथ।

चावल। 2.2.

निम्नलिखित बफ़रिंग विषयों का उपयोग किया जा सकता है: भंडारण से अनुरोधों को खाली करने के नियम:

• यादृच्छिक विस्थापन;
• अंतिम अनुरोध को विस्थापित करना, अर्थात अन्य सभी की तुलना में बाद में सिस्टम में प्रवेश किया;
• एक "लंबे" ऑर्डर को पूरा करना, यानी। पहले प्राप्त सभी अनुप्रयोगों की तुलना में अधिक समय तक भंडारण में स्थित रहा।

चित्र में. 2.3 बफ़रिंग विषयों के समान मानदंडों के अनुसार एप्लिकेशन सर्विसिंग विषयों का वर्गीकरण प्रस्तुत करता है।

कभी-कभी मॉडलों में भंडारण क्षमता को असीमित माना जाता है, हालांकि वास्तविक प्रणाली में यह सीमित है। यह धारणा उचित है जब भंडारण क्षमता पूर्ण होने के कारण वास्तविक सिस्टम में अनुरोध खोने की संभावना 10_3 से कम हो। इस मामले में, एप्लिकेशन सर्विसिंग के प्रदर्शन पर अनुशासन का वस्तुतः कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

निर्भर करना उपलब्धताया प्राथमिकताओं का अभावविभिन्न वर्गों के अनुरोधों के बीच, सभी सेवा विषयों, साथ ही बफरिंग विषयों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गैर-प्राथमिकता और प्राथमिकता।

द्वारा सेवा अनुरोध निर्दिष्ट करने की विधिरखरखाव विषयों को विषयों में विभाजित किया जा सकता है:

• एकल मोड;
• समूह मोड;
• संयुक्त मोड.

चावल। 2.3.

सेवा अनुशासन में एकल खिलाड़ी मोडहर बार सेवा के लिए केवल एक को नियुक्त किया गया हैआवेदन, जिसके लिए कतारें पिछले आवेदन की सर्विसिंग पूरी होने के बाद देखी जाती हैं।

सेवा अनुशासन में समूह मोडहर बार सेवा के लिए आवेदनों का एक समूह सौंपा गया हैएक कतार, जिसके लिए कतारों को देखना पहले से निर्दिष्ट समूह के सभी अनुरोधों को पूरा करने के बाद ही किया जाता है। अनुरोधों के नए निर्दिष्ट समूह में दी गई कतार के सभी अनुरोध शामिल हो सकते हैं। सेवा के लिए निर्दिष्ट समूह से अनुरोध कतार से क्रमिक रूप से चयन किया जाता हैऔर डिवाइस द्वारा सेवित होते हैं, जिसके बाद किसी अन्य कतार के अनुरोधों के अगले समूह को निर्दिष्ट सेवा अनुशासन के अनुसार सेवा को सौंपा जाता है।

संयुक्त विधा- एकल और समूह मोड का संयोजन, जब अनुरोध कतारों का एक भाग एकल मोड में संसाधित होता है, और दूसरा भाग समूह मोड में संसाधित होता है।

सेवा अनुरोधों का चयन करने के लिए सेवा अनुशासन निम्नलिखित नियमों का उपयोग कर सकते हैं।

गैर प्राथमिकता(एप्लिकेशन के पास शीघ्र सर्विसिंग - संसाधन कैप्चर के लिए विशेषाधिकार नहीं हैं):

• पहले आओ, पहले पाओ सेवा फीफो (प्रथम में) -पहले बाहर,पेहले आये पेहलॆ गये);
• रिवर्स सेवा- एप्लिकेशन को मोड में कतार से चुना गया है जीवन (आखरी अंदर - पहले बाहरअंतिम एक अंदर - पहला बाहर);
• यादृच्छिक सेवा- एप्लिकेशन को मोड में कतार से चुना गया है हाशिया (यादृच्छिक- बेतरतीब);
• चक्रीय सेवा- अनुक्रम 1, 2, में ड्राइव के चक्रीय मतदान की प्रक्रिया में अनुप्रयोगों का चयन किया जाता है। एनसाथ एन- ड्राइव की संख्या), जिसके बाद निर्दिष्ट अनुक्रम दोहराया जाता है;

प्राथमिकता(एप्लिकेशन के पास शीघ्र सर्विसिंग - संसाधन कैप्चर के लिए विशेषाधिकार हैं):

• साथ सापेक्ष प्राथमिकताएँ- यदि किसी एप्लिकेशन की वर्तमान सर्विसिंग की प्रक्रिया में, उच्च प्राथमिकता वाले एप्लिकेशन सिस्टम में प्राप्त होते हैं, तो गैर-प्राथमिकता वाले एप्लिकेशन की भी सर्विसिंग बाधित नहीं होती है, और प्राप्त एप्लिकेशन कतार में भेज दिए जाते हैं; कतार से सेवा के लिए एक नया एप्लिकेशन चुनते समय सापेक्ष प्राथमिकताएं किसी एप्लिकेशन की वर्तमान सेवा के पूरा होने के समय ही भूमिका निभाती हैं।
• साथ पूर्ण प्राथमिकताएँ- उच्च प्राथमिकता वाला आवेदन प्राप्त होने पर, कम प्राथमिकता वाले आवेदन की सेवा बाधित कर दी जाती है और आने वाले आवेदन को सर्विसिंग के लिए भेज दिया जाता है; बाधित एप्लिकेशन को कतार में वापस किया जा सकता है या सिस्टम से हटाया जा सकता है; यदि एप्लिकेशन कतार में वापस आ जाता है, तो उसकी आगे की सर्विसिंग बाधित स्थान से या दोबारा की जा सकती है;
• साथ मिश्रित प्राथमिकताएँ- व्यक्तिगत अनुरोधों की सेवा के लिए कतार में प्रतीक्षा समय पर सख्त प्रतिबंध के लिए उन्हें पूर्ण प्राथमिकताएं सौंपने की आवश्यकता होती है; परिणामस्वरूप, कम प्राथमिकता वाले अनुप्रयोगों के लिए प्रतीक्षा समय अस्वीकार्य रूप से लंबा हो सकता है, हालांकि व्यक्तिगत अनुप्रयोगों में प्रतीक्षा समय का मार्जिन होता है; सभी प्रकार के अनुरोधों पर प्रतिबंधों का अनुपालन करने के लिए, पूर्ण प्राथमिकताओं के साथ, कुछ अनुरोधों को सापेक्ष प्राथमिकताएँ निर्दिष्ट करना और बाकी को गैर-प्राथमिकता मोड में परोसना संभव है;
• साथ वैकल्पिक प्राथमिकताएँ- सापेक्ष प्राथमिकताओं का एक एनालॉग, प्राथमिकता को केवल एक कतार के अनुरोधों के समूह की वर्तमान सेवा के पूरा होने और सेवा के लिए एक नए समूह की नियुक्ति के समय ध्यान में रखा जाता है;
• अनुसूचित सेवा- विभिन्न वर्गों (अलग-अलग ड्राइव में स्थित) के अनुरोधों को एक निश्चित शेड्यूल के अनुसार सेवा के लिए चुना जाता है जो अनुरोधों की मतदान कतारों के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है, उदाहरण के लिए, तीन वर्गों के अनुरोधों (ड्राइव) के मामले में, शेड्यूल इस तरह दिख सकता है (2, 1, 3, 3, 1, 2) या (1, 2, 3, 3, 2, 1)।

आईएम कंप्यूटर सिस्टम में, एक नियम के रूप में, अनुशासन डिफ़ॉल्ट रूप से लागू किया जाता है फीफो.हालाँकि, उनके पास ऐसे उपकरण हैं जो उपयोगकर्ता को एक शेड्यूल के अनुसार आवश्यक सेवा विषयों को व्यवस्थित करने का अवसर प्रदान करते हैं।

एसएमओ द्वारा प्राप्त आवेदनों को वर्गों में विभाजित किया गया है। क्यूएस में, जो एक अमूर्त गणितीय मॉडल है, अनुप्रयोग विभिन्न वर्गों से संबंधित हैंइस घटना में कि सिम्युलेटेड वास्तविक प्रणाली में वे निम्नलिखित विशेषताओं में से कम से कम एक में भिन्न होते हैं:

• सेवा की अवधि;
• प्राथमिकताएँ।

यदि आवेदन सेवा की अवधि और प्राथमिकताओं में भिन्न नहीं हैं, तो उन्हें एक ही वर्ग के अनुप्रयोगों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें विभिन्न स्रोतों से प्राप्त आवेदन भी शामिल हैं।

मिश्रित प्राथमिकताओं वाले सेवा विषयों का गणितीय वर्णन करने के लिए, हम इसका उपयोग करते हैं प्राथमिकता मैट्रिक्स,जो एक वर्ग मैट्रिक्स Q = (q, ;) है मैं, जे - 1,..., I, I - सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों की श्रेणियों की संख्या।

तत्व क्यू(जेमैट्रिक्स वर्ग अनुरोधों की प्राथमिकता निर्दिष्ट करता है मैंवर्ग अनुप्रयोगों के संबंध में; और निम्नलिखित मान ले सकते हैं:

• 0 - कोई प्राथमिकता नहीं;
• 1 - सापेक्ष प्राथमिकता;
• 2 - पूर्ण प्राथमिकता.

प्राथमिकता मैट्रिक्स के तत्वों को निम्नलिखित को संतुष्ट करना होगा आवश्यकताएं:

• क्यू.एन= 0, चूँकि एक ही वर्ग के अनुरोधों के बीच प्राथमिकताएँ निर्धारित नहीं की जा सकतीं;
• अगर क्यू (जे =फिर 1 या 2 क्यू^ = 0, क्योंकि यदि वर्ग अनुरोध करता है मैंवर्ग अनुप्रयोगों पर प्राथमिकता है जे,तो बाद वाले को वर्ग अनुप्रयोगों पर प्राथमिकता नहीं मिल सकती मैं (मैं, जे = 1, ..., मैं).

निर्भर करना प्राथमिकताएँ बदलने की क्षमतासिस्टम के संचालन के दौरान, बफरिंग और रखरखाव के प्राथमिकता वाले विषयों को दो वर्गों में विभाजित किया गया है:

• 1) साथ स्थिर प्राथमिकताएँ,जो समय के साथ नहीं बदलते;
• 2) साथ गतिशील प्राथमिकताएँ,जो विभिन्न कारकों के आधार पर सिस्टम के संचालन के दौरान बदल सकता है, उदाहरण के लिए, जब किसी वर्ग के अनुप्रयोगों की कतार की लंबाई का एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य जिसकी प्राथमिकता नहीं है या कम प्राथमिकता है, तो इसे उच्च प्राथमिकता दी जा सकती है .

आईएम कंप्यूटर सिस्टम में हमेशा एक ही तत्व (ऑब्जेक्ट) होता है जिसके माध्यम से, और केवल इसके माध्यम से, एप्लिकेशन को मॉडल में दर्ज किया जाता है। डिफ़ॉल्ट रूप से, दर्ज किए गए सभी अनुरोध गैर-प्राथमिकता वाले हैं। लेकिन मॉडल निष्पादन के दौरान अनुक्रम 1, 2, ... सहित प्राथमिकताएं निर्दिष्ट करने की संभावनाएं हैं। गतिशीलता में.

आउटपुट स्ट्रीम QS से निकलने वाले सेवित अनुप्रयोगों का प्रवाह है। वास्तविक प्रणालियों में, अनुरोध कई क्यूएस से होकर गुजरते हैं: पारगमन संचार, उत्पादन कन्वेयर, आदि। इस मामले में, आउटगोइंग स्ट्रीम अगले QS के लिए इनकमिंग स्ट्रीम है।

पहले क्यूएस का आने वाला प्रवाह, बाद के क्यूएस से होकर गुजरता है, विकृत होता है, और यह विश्लेषणात्मक मॉडलिंग को जटिल बनाता है। हालाँकि, यह बात ध्यान में रखनी चाहिए सरलतम इनपुट स्ट्रीम और घातीय सेवा के साथ(वे। मार्कोव सिस्टम में) आउटपुट स्ट्रीम भी सबसे सरल है।यदि सेवा समय में गैर-घातीय वितरण होता है, तो आउटगोइंग प्रवाह न केवल सबसे सरल होता है, बल्कि आवर्ती भी नहीं होता है।

ध्यान दें कि आउटगोइंग प्रवाह के अनुरोधों के बीच का समय अंतराल सेवा अंतराल के समान नहीं है। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि अगली सेवा की समाप्ति के बाद, अनुप्रयोगों की कमी के कारण QS कुछ समय के लिए निष्क्रिय हो जाएगा। इस मामले में, आउटगोइंग प्रवाह के अंतराल में क्यूएस की निष्क्रियता का समय और निष्क्रिय समय के बाद आने वाले पहले अनुरोध का सर्विसिंग अंतराल शामिल होता है।

क्यूएस में, सेवित अनुप्रयोगों के आउटगोइंग प्रवाह के अलावा, वहाँ भी हो सकता है असंसाधित अनुरोधों का प्रवाह।यदि ऐसे QS को आवर्ती प्रवाह प्राप्त होता है, और सेवा घातीय है, तो बिना सेवा वाले अनुरोधों का प्रवाह आवर्ती होता है।

मुफ़्त चैनलों की कतार. मल्टी-चैनल QS में, मुफ़्त चैनलों की कतारें बन सकती हैं। मुफ़्त चैनलों की संख्या एक यादृच्छिक मान है. शोधकर्ता को इस यादृच्छिक चर की विभिन्न विशेषताओं में रुचि हो सकती है। आमतौर पर यह सर्वेक्षण अंतराल के दौरान सेवा द्वारा उपयोग किए गए चैनलों की औसत संख्या और उनके लोड कारक हैं।

जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, वास्तविक वस्तुओं में अनुप्रयोगों को क्रमिक रूप से कई क्यूएस में सेवित किया जाता है।

क्रमिक रूप से परस्पर जुड़े क्यूएस का एक सीमित सेट जो उनमें प्रसारित होने वाले अनुरोधों को संसाधित करता है, कहलाता है कतारबद्ध नेटवर्क (सेमो) (चित्र 2.4, ए)।

चावल। 2.4.

SeMO भी कहा जाता है मल्टीफ़ेज़ कतार प्रणाली।

हम बाद में IM SeMO के निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करेंगे।

SeMO के मुख्य तत्व नोड्स (U) और अनुप्रयोगों के स्रोत (जनरेटर) (G) हैं।

गांठनेटवर्क एक कतार प्रणाली है.

स्रोत- नेटवर्क में प्रवेश करने वाले अनुरोधों का एक जनरेटर और नेटवर्क नोड्स पर सेवा के कुछ चरणों की आवश्यकता होती है।

SeMO के सरलीकृत प्रतिनिधित्व के लिए, एक ग्राफ़ का उपयोग किया जाता है।

SeMO की गणना करें- एक ओरिएंटेड ग्राफ़ (डिग्राफ), जिसके कोने SeMO के नोड्स के अनुरूप हैं, और आर्क नोड्स के बीच अनुरोधों के संक्रमण को प्रदर्शित करते हैं (चित्र 2.4, बी)।

इसलिए, हमने QS की मूल अवधारणाओं पर ध्यान दिया है। लेकिन कंप्यूटर सूचना प्रणालियों को विकसित करने और उनमें सुधार करने में, क्यूएस के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग में वर्तमान में मौजूद विशाल रचनात्मक क्षमता का भी निश्चित रूप से उपयोग किया जाता है।

इस रचनात्मक क्षमता को बेहतर ढंग से समझने के लिए, पहले अनुमान के रूप में, आइए हम क्यूएस मॉडल के वर्गीकरण पर ध्यान दें।

चित्रकला 0 - 2 घटनाओं का प्रवाह (ए) और सरलतम प्रवाह (बी)

10.5.2.1. stationarity

प्रवाह को स्थिर कहा जाता है , यदि प्रारंभिक समय खंड में किसी विशेष संख्या में घटनाएँ घटित होने की प्रायिकता लंबाई τ (

चित्र 0-2 , ए)यह केवल अनुभाग की लंबाई पर निर्भर करता है और इस पर निर्भर नहीं करता कि अक्ष पर वास्तव में कहां हैटी यह क्षेत्र स्थित है.

स्थिर प्रवाह का अर्थ है समय के साथ इसकी एकरूपता; ऐसे प्रवाह की संभाव्य विशेषताएं समय के आधार पर नहीं बदलती हैं। विशेष रूप से, घटनाओं के प्रवाह की तथाकथित तीव्रता (या "घनत्व") - एक स्थिर प्रवाह के लिए प्रति इकाई समय घटनाओं की औसत संख्या - स्थिर रहनी चाहिए। निःसंदेह, इसका मतलब यह नहीं है कि प्रति इकाई समय में प्रदर्शित होने वाली घटनाओं की वास्तविक संख्या स्थिर है; प्रवाह में स्थानीय संघनन और विरलन हो सकते हैं। यह महत्वपूर्ण है कि एक स्थिर प्रवाह के लिए ये संघनन और विरलन नियमित प्रकृति के नहीं होते हैं, और एक ही अवधि के भीतर होने वाली घटनाओं की औसत संख्या विचाराधीन संपूर्ण अवधि के लिए स्थिर रहती है।

व्यवहार में, अक्सर घटनाओं का प्रवाह होता है जिसे (कम से कम सीमित समय के लिए) स्थिर माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी टेलीफोन एक्सचेंज पर 12 से 13 बजे के बीच आने वाली कॉलों को लैंडलाइन माना जा सकता है। वही प्रवाह अब पूरे दिन स्थिर नहीं रहेगा (रात में कॉल प्रवाह की तीव्रता दिन की तुलना में बहुत कम होती है)। ध्यान दें कि अधिकांश भौतिक प्रक्रियाओं का भी यही मामला है, जिन्हें हम "स्थिर" कहते हैं; वास्तव में, वे केवल एक सीमित अवधि के लिए स्थिर होते हैं, और इस क्षेत्र का अनंत तक विस्तार इस उद्देश्य के लिए उपयोग की जाने वाली एक सुविधाजनक तकनीक है। सरलीकरण का.

10.5.2.2. कोई अनुवर्ती प्रभाव नहीं

घटनाओं की धारा को बिना किसी परिणाम वाली धारा कहा जाता है , यदि किसी गैर-अतिव्यापी समय अवधि के लिए, उनमें से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या इस पर निर्भर नहीं करती है कि दूसरे पर कितनी घटनाएं घटती हैं (या अन्य, यदि दो से अधिक खंडों पर विचार किया जाता है)।

ऐसी धाराओं में, धारा को बनाने वाली घटनाएँ समय के क्रमिक क्षणों में एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से प्रकट होती हैं। उदाहरण के लिए, मेट्रो स्टेशन में प्रवेश करने वाले यात्रियों के प्रवाह को बिना किसी दुष्प्रभाव के प्रवाह माना जा सकता है, क्योंकि जिन कारणों से एक निश्चित समय पर एक व्यक्तिगत यात्री का आगमन निर्धारित होता है, दूसरे पर नहीं, एक नियम के रूप में, समान कारणों से संबंधित नहीं होते हैं अन्य यात्री. यदि ऐसी निर्भरता प्रकट होती है, तो दुष्परिणामों की अनुपस्थिति की शर्त का उल्लंघन होता है।

उदाहरण के लिए, रेलवे लाइन के किनारे मालगाड़ियों के प्रवाह पर विचार करें। यदि, सुरक्षा स्थितियों के कारण, वे अंतराल पर अधिक बार एक-दूसरे का अनुसरण नहीं कर सकते हैंटी 0 , तो प्रवाह में घटनाओं के बीच निर्भरता होती है, और कोई परिणाम न होने की स्थिति का उल्लंघन होता है। हालाँकि, यदि अंतरालटी 0 ट्रेनों के बीच औसत अंतराल की तुलना में छोटा है, तो ऐसा उल्लंघन महत्वहीन है।

चित्रकला 0 - 3 पॉसों वितरण

अक्ष पर विचार करेंटी तीव्रता λ के साथ घटनाओं की सबसे सरल धारा। (चित्र 0-2 बी) . हमें इस प्रवाह में पड़ोसी घटनाओं के बीच यादृच्छिक समय अंतराल टी में रुचि होगी; आइए इसका वितरण नियम खोजें। सबसे पहले, आइए वितरण फ़ंक्शन ढूंढें:

एफ(टी) = पी(टी ( 0-2)

यानी प्रायिकता कि मान T से कम मूल्य होगाटी. आइए हम अंतराल T (अंक) की शुरुआत से स्थगित करेंटी 0 ) खंड टी और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंतराल T कम होगाटी . ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि लंबाई के एक अनुभाग के लिएटी, एक बिंदु के निकटटी 0 , कम से कम एक प्रवाह घटना हिट। आइए इसकी संभावना की गणना करेंएफ(टी) विपरीत घटना की संभावना के माध्यम से (प्रति अनुभागटी किसी भी प्रवाह घटना पर असर नहीं पड़ेगा):

एफ (टी) = 1 - पी 0

संभावना पी0हम यह मानते हुए सूत्र (1) से पाते हैंएम = 0:

जहाँ से मान T का वितरण फलन होगा:

(0-3)

वितरण घनत्व ज्ञात करनाएफ(टी) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु टी,अभिव्यक्ति (0‑1) को अलग करना आवश्यक हैटी:

0-4)

घनत्व (0‑4) वाले वितरण नियम को घातांकीय कहा जाता है (या घातीय ). मात्रा λ को पैरामीटर कहा जाता है प्रदर्शनात्मक कानून.

चित्र 0 - 4 घातांकी रूप से वितरण

आइए एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात करें टी- गणितीय अपेक्षा (औसत मूल्य)एम [ टी ]= एम टी , और विचरण Dt. हमारे पास है

( 0-5)

(भागों द्वारा एकीकृत).

T मान का फैलाव है:

(0-6)

प्रसरण का वर्गमूल लेकर, हम यादृच्छिक चर का मानक विचलन ज्ञात करते हैं टी।

तो, एक घातीय वितरण के लिए, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं और पैरामीटर λ के व्युत्क्रम हैं, जहां λ। प्रवाह की तीव्रता.

इस प्रकार, उपस्थिति एम किसी निश्चित समयावधि में घटनाएँ पॉइसन वितरण से मेल खाती हैं, और संभावना है कि घटनाओं के बीच का समय अंतराल एक निश्चित पूर्व निर्धारित संख्या से कम होगा, घातीय वितरण से मेल खाता है। ये सभी एक ही स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के अलग-अलग विवरण हैं।

उदाहरण एसएमओ-1 .

उदाहरण के तौर पर, एक बैंकिंग प्रणाली पर विचार करें जो वास्तविक समय में संचालित होती है और बड़ी संख्या में ग्राहकों को सेवा प्रदान करती है। पीक आवर्स के दौरान, ग्राहकों के साथ काम करने वाले बैंक टेलर के अनुरोध एक पॉइसन प्रवाह बनाते हैं और औसतन दो प्रति 1 सेकंड (λ = 2) पर आते हैं। प्रवाह में प्रति सेकंड 2 अनुरोधों की तीव्रता पर आने वाले अनुरोध शामिल होते हैं।

आइए संभाव्यता P की गणना करें (एम ) दिखावट एम 1 एस में संदेश. चूँकि λ = 2, तो पिछले सूत्र से हमारे पास है

m = प्रतिस्थापित करने पर 0, 1, 2, 3, हमें निम्नलिखित मान मिलते हैं (चार की सटीकता के साथदशमलव स्थानों):

चित्र 0 - 5 सरल प्रवाह का उदाहरण

1 सेकंड में 9 से अधिक संदेश प्राप्त करना संभव है, लेकिन इसकी संभावना बहुत कम (लगभग 0.000046) है।

परिणामी वितरण को हिस्टोग्राम के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है (चित्र में दिखाया गया है)।

उदाहरण एसएमओ-2.

एक उपकरण (सर्वर) जो प्रति 1 सेकंड में तीन संदेशों को संसाधित करता है।

ऐसे उपकरण हों जो 1 सेकंड (μ=3) में तीन संदेशों को संसाधित कर सकें। औसतन, प्रति 1 सेकंड में दो संदेश प्राप्त होते हैं, और उसके अनुसारसी पॉसों वितरण। इन संदेशों के किस अनुपात पर तुरंत कार्रवाई की जाएगी?

संभावना यह है कि आगमन दर 3 एस से कम या उसके बराबर होगी

यदि कोई सिस्टम 1 एस में अधिकतम 3 संदेशों को संसाधित कर सकता है, तो संभावना है कि यह अतिभारित नहीं होगा

दूसरे शब्दों में, 85.71% संदेश तुरंत परोसे जाएंगे, और 14.29% कुछ देरी से भेजे जाएंगे। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक संदेश को संसाधित करने में तीन संदेशों के प्रसंस्करण समय से अधिक समय तक देरी शायद ही कभी होगी। 1 संदेश का प्रसंस्करण समय औसतन 1/3 सेकंड है। इसलिए, 1 सेकंड से अधिक की देरी एक दुर्लभ घटना होगी, जो अधिकांश प्रणालियों के लिए काफी स्वीकार्य है।

उदाहरण एसएमओ- 3

· यदि कोई बैंक टेलर अपने कामकाजी समय का 80% व्यस्त रहता है और अपना शेष समय ग्राहकों के इंतजार में बिताता है, तो उसे 0.8 के उपयोगिता कारक वाला उपकरण माना जा सकता है।

· यदि एक संचार चैनल का उपयोग 2400 बीपीएस की दर से 8-बिट प्रतीकों को प्रसारित करने के लिए किया जाता है, यानी, 1 एस में अधिकतम 2400/8 प्रतीक प्रसारित होते हैं, और हम एक प्रणाली का निर्माण कर रहे हैं जिसमें डेटा की कुल मात्रा 12000 प्रतीक है सबसे भारी भार (सिंक्रनाइज़ेशन, अंत-संदेश प्रतीकों, नियंत्रण इत्यादि सहित) के प्रति मिनट संचार चैनल के माध्यम से विभिन्न उपकरणों से भेजा जाता है, तो इस मिनट के दौरान संचार चैनल उपकरण की उपयोग दर बराबर होती है

· यदि एक फ़ाइल एक्सेस इंजन एक व्यस्त घंटे के दौरान 9,000 फ़ाइल एक्सेस करता है, और प्रति एक्सेस औसत समय 300 एमएस है, तो एक्सेस इंजन की पीक आवर हार्डवेयर उपयोग दर है

उपकरण उपयोग की अवधारणा का प्रयोग अक्सर किया जाएगा। उपकरण का उपयोग जितना करीब 100% होगा, देरी उतनी ही अधिक होगी और कतारें उतनी ही लंबी होंगी।

पिछले सूत्र का उपयोग करके, आप पॉइसन फ़ंक्शन मानों की तालिकाएँ बना सकते हैं, जिनसे आप आगमन की संभावना निर्धारित कर सकते हैंएम या एक निश्चित समयावधि में अधिक संदेश। उदाहरण के लिए, यदि प्रति सेकंड औसतन 3.1 संदेश हैं [अर्थात्। ई. λ = 3.1], तो किसी दिए गए सेकंड में 5 या अधिक संदेश प्राप्त होने की संभावना 0.2018 है (के लिए)एम = तालिका में 5)। या विश्लेषणात्मक रूप में

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करके, एक सिस्टम विश्लेषक इस संभावना की गणना कर सकता है कि सिस्टम किसी दिए गए लोड मानदंड को पूरा नहीं करेगा।

अक्सर उपकरण लोड मानों के लिए प्रारंभिक गणना की जा सकती है

ρ ≤ 0.9

ये मान पॉइसन तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

मान लीजिए कि औसत संदेश आगमन दर λ = 3.1 संदेश/सेकेंड है। तालिकाओं से यह पता चलता है कि 1 सेकंड में 6 या अधिक संदेश प्राप्त होने की संभावना 0.0943 है। इसलिए, प्रारंभिक गणना के लिए इस संख्या को लोड मानदंड के रूप में लिया जा सकता है।

10.6.2. डिजाइन कार्य

यदि संदेश डिवाइस पर बेतरतीब ढंग से आते हैं, तो डिवाइस अपने समय का कुछ हिस्सा प्रत्येक संदेश को संसाधित करने या सर्विस करने में खर्च करता है, जिसके परिणामस्वरूप कतारें बनती हैं। बैंक में कतार खजांची और उसके कंप्यूटर (टर्मिनल) की रिहाई का इंतजार कर रही है। कंप्यूटर के इनपुट बफ़र में एक संदेश कतार प्रोसेसर द्वारा प्रसंस्करण की प्रतीक्षा कर रही है। डेटा सरणियों के लिए अनुरोधों की एक कतार चैनलों के मुक्त होने आदि की प्रतीक्षा करती है। सिस्टम में सभी बाधाओं पर कतारें बन सकती हैं।

उपकरण उपयोग दर जितनी अधिक होगी, परिणामी कतारें उतनी ही लंबी होंगी। जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, ρ = 0.7 के उपयोग कारक के साथ एक संतोषजनक ऑपरेटिंग सिस्टम को डिज़ाइन करना संभव है, लेकिन ρ > 0.9 से अधिक गुणांक सेवा की गुणवत्ता में गिरावट का कारण बन सकता है। दूसरे शब्दों में, यदि किसी बल्क डेटा लिंक पर 20% लोड है, तो उस पर कतार होने की संभावना नहीं है। यदि लोड हो रहा है; 0.9 है, तो, एक नियम के रूप में, कतारें बनेंगी, कभी-कभी बहुत बड़ी।

उपकरण उपयोग कारक उपकरण पर भार के उस अधिकतम भार के अनुपात के बराबर है जिसे यह उपकरण झेल सकता है, या उपकरण के उपयोग के समय और उसके संचालन के कुल समय के अनुपात के बराबर है।

किसी सिस्टम को डिज़ाइन करते समय, विभिन्न प्रकार के उपकरणों के लिए उपयोग कारक का अनुमान लगाना आम बात है; प्रासंगिक उदाहरण अगले अध्यायों में दिए जाएंगे। इन गुणांकों को जानने से आप संबंधित उपकरणों के लिए कतारों की गणना कर सकते हैं।

· कतार की लंबाई क्या है?

· इसमे कितना टाइम लगेगा?

इस प्रकार के प्रश्नों का उत्तर कतार सिद्धांत का उपयोग करके दिया जा सकता है।

10.6.3. कतारबद्ध प्रणालियाँ, उनके वर्ग और मुख्य विशेषताएं

क्यूएस के लिए, घटना प्रवाह अनुप्रयोगों के प्रवाह, "सर्विसिंग" अनुप्रयोगों के प्रवाह आदि हैं। यदि ये प्रवाह पॉइसन (मार्कोव प्रक्रिया) नहीं हैं, तो क्यूएस में होने वाली प्रक्रियाओं का गणितीय विवरण अतुलनीय रूप से अधिक जटिल हो जाता है और अधिक बोझिल की आवश्यकता होती है उपकरण, इसे विश्लेषणात्मक सूत्रों में लाना केवल सरलतम मामलों में ही संभव है।

हालाँकि, "मार्कोवियन" कतार सिद्धांत का उपकरण उस स्थिति में भी उपयोगी हो सकता है जब क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया मार्कोवियन से भिन्न होती है; इसकी मदद से, क्यूएस की प्रदर्शन विशेषताओं का लगभग आकलन किया जा सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्यूएस जितना अधिक जटिल होगा, इसमें जितने अधिक सेवा चैनल होंगे, मार्कोव सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त अनुमानित सूत्र उतने ही सटीक होंगे। इसके अलावा, कई मामलों में, क्यूएस के संचालन के प्रबंधन पर सूचित निर्णय लेने के लिए, इसकी सभी विशेषताओं के सटीक ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, अक्सर केवल अनुमानित, अनुमानित ज्ञान ही पर्याप्त होता है।

QS को सिस्टम में वर्गीकृत किया गया है:

· विफलताएँ (नुकसान के साथ)। ऐसी प्रणालियों में, ऐसे समय में प्राप्त अनुरोध जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं तो "अस्वीकार" प्राप्त होता है, क्यूएस छोड़ देता है और आगे की सेवा प्रक्रिया में भाग नहीं लेता है।

· इंतज़ार में (एक कतार के साथ). ऐसी प्रणालियों में, ऐसे समय में आने वाला अनुरोध जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, कतारबद्ध होते हैं और तब तक प्रतीक्षा करते हैं जब तक कि कोई एक चैनल खाली न हो जाए। जब चैनल मुक्त हो जाता है, तो कतारबद्ध अनुरोधों में से एक को सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है।

प्रतीक्षा प्रणाली में सेवा (कतारबद्ध अनुशासन) हो सकती है

· आदेश दिया (आवेदन प्राप्त होने के क्रम में संसाधित किए जाते हैं),

· बेक़ायदा(आवेदन यादृच्छिक क्रम में प्रस्तुत किए जाते हैं) या

· ढेर किया हुआ (अंतिम अनुरोध कतार से पहले चुना गया है)।

· प्राथमिकता

हे स्थिर प्राथमिकता के साथ

हे गतिशील प्राथमिकता के साथ

(बाद वाले मामले में, पूर्व उदाहरण के लिए, टीईटी किसी आवेदन की प्रतीक्षा की अवधि के साथ बढ़ सकती है)।

कतार प्रणालियों को प्रणालियों में विभाजित किया गया है

· असीमित प्रतीक्षा के साथ और

· सीमित के साथ इंतज़ार में।

असीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम में, प्रत्येक अनुरोध जो उस समय आता है जब कोई मुफ्त चैनल नहीं होता है, एक कतार में लग जाता है और "धैर्यपूर्वक" चैनल के उपलब्ध होने और उसे सेवा के लिए स्वीकार करने की प्रतीक्षा करता है। सीएमओ को प्राप्त कोई भी आवेदन देर-सवेर पूरा कर दिया जाएगा।

सीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम में, कतार में किसी एप्लिकेशन के रहने पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं। ये प्रतिबंध लागू हो सकते हैं

· कतार की लंबाई (सीमित कतार लंबाई वाले सिस्टम में कतार में एक साथ अनुप्रयोगों की संख्या),

· वह समय जो एप्लिकेशन ने कतार में बिताया (कतार में रहने की एक निश्चित अवधि के बाद, एप्लिकेशन कतार छोड़ देता है और सिस्टम सीमित प्रतीक्षा समय के साथ निकल जाता है),

· सीएमओ में आवेदन के रहने का कुल समय

वगैरह।

क्यूएस के प्रकार के आधार पर, इसकी प्रभावशीलता का आकलन करते समय कुछ मूल्यों (प्रदर्शन संकेतक) का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विफलताओं वाले क्यूएस के लिए, इसकी उत्पादकता की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक तथाकथित है पूर्ण थ्रूपुटअनुरोधों की औसत संख्या जो सिस्टम प्रति यूनिट समय में पूरा कर सकता है।

निरपेक्ष के साथ-साथ इस पर भी अक्सर विचार किया जाता है सापेक्ष थ्रूपुटक्यूएस सिस्टम द्वारा प्राप्त प्राप्त आवेदनों का औसत हिस्सा है (इस समय के दौरान प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या के लिए समय की प्रति यूनिट सिस्टम द्वारा सेवित अनुप्रयोगों की औसत संख्या का अनुपात)।

निरपेक्ष और सापेक्ष थ्रूपुट के अलावा, अनुसंधान कार्य के आधार पर विफलताओं वाले क्यूएस का विश्लेषण करते समय, हमें अन्य विशेषताओं में रुचि हो सकती है, उदाहरण के लिए:

· व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

· संपूर्ण सिस्टम और एक व्यक्तिगत चैनल का औसत सापेक्ष डाउनटाइम

वगैरह।

अपेक्षा वाले प्रश्नों की विशेषताएँ थोड़ी भिन्न होती हैं। जाहिर है, असीमित प्रतीक्षा वाले क्यूएस के लिए, पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट दोनों अपना अर्थ खो देते हैं, क्योंकि प्रत्येक प्राप्त अनुरोध जल्दी होता हैया इसे बाद में परोसा जाएगा. ऐसे QS के लिए, महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं:

· कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

· सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या (कतार में और सेवा के तहत);

· कतार में किसी आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

· किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय (कतार में और सेवा के अंतर्गत);

साथ ही अपेक्षा की अन्य विशेषताएं भी।

सीमित प्रतीक्षा वाले क्यूएस के लिए, विशेषताओं के दोनों समूह रुचि के हैं: पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट, और प्रतीक्षा विशेषताएँ दोनों।

क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया का विश्लेषण करने के लिए, सिस्टम के मुख्य मापदंडों को जानना आवश्यक है: चैनलों की संख्या पी,अनुप्रयोग प्रवाह की तीव्रताλ , प्रत्येक चैनल का प्रदर्शन (प्रति यूनिट समय चैनल द्वारा दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या μ), कतार के गठन की शर्तें (प्रतिबंध, यदि कोई हो)।

इन मापदंडों के मूल्यों के आधार पर, क्यूएस की प्रदर्शन विशेषताओं को व्यक्त किया जाता है।

10.6.4. एक डिवाइस से सर्विसिंग के मामले में क्यूएस की विशेषताओं की गणना के लिए सूत्र

चित्र 0 - 6 कतार के साथ कतार प्रणाली का मॉडल

ऐसी कतारें प्रसंस्करण की प्रतीक्षा कर रहे प्रोसेसर इनपुट पर संदेशों द्वारा बनाई जा सकती हैं। वे मल्टीपॉइंट संचार चैनल से जुड़े ग्राहक बिंदुओं के संचालन के दौरान हो सकते हैं। इसी तरह गैस स्टेशनों पर भी कारों की कतारें लग जाती हैं। हालाँकि, यदि एक से अधिक सेवा प्रवेश द्वार हैं, तो हमारे पास कई उपकरणों के साथ एक कतार है और विश्लेषण अधिक जटिल हो जाता है।

आइए सेवा अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह के मामले पर विचार करें।

प्रस्तुत कतारबद्ध सिद्धांत का उद्देश्य औसत कतार आकार, साथ ही कतार में प्रतीक्षा कर रहे संदेशों द्वारा बिताए गए औसत समय का अनुमान लगाना है। यह अनुमान लगाना भी उचित है कि कतार कितनी बार एक निश्चित लंबाई से अधिक हो जाती है। यह जानकारी हमें गणना करने की अनुमति देगी, उदाहरण के लिए, संदेश कतारों और संबंधित कार्यक्रमों को संग्रहीत करने के लिए बफर मेमोरी की आवश्यक मात्रा, संचार लाइनों की आवश्यक संख्या, हब के लिए आवश्यक बफर आकार आदि। प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाना संभव होगा।

प्रत्येक विशेषता उपयोग किए गए साधन के आधार पर भिन्न होती है।

एक सर्वर के साथ एक कतार पर विचार करें। कंप्यूटिंग सिस्टम को डिज़ाइन करते समय, इस प्रकार की अधिकांश कतारों की गणना दिए गए सूत्रों का उपयोग करके की जाती है।सेवा समय की भिन्नता का गुणांक

सूचना प्रणाली को डिज़ाइन करते समय कतार की लंबाई की गणना करने के लिए खिनचिन-पोलासेक सूत्र का उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग सेवा समय के किसी भी वितरण और किसी भी नियंत्रण अनुशासन के लिए आगमन समय के घातीय वितरण के मामले में किया जाता है, जब तक कि सेवा के लिए अगले संदेश का चुनाव सेवा समय पर निर्भर न हो।

सिस्टम डिज़ाइन करते समय, ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब प्रबंधन अनुशासन निस्संदेह सेवा समय पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कुछ मामलों में हम कम औसत सेवा समय प्राप्त करने के लिए प्राथमिकता सेवा के लिए छोटे संदेशों का चयन कर सकते हैं। संचार लाइन को नियंत्रित करते समय, आप आउटपुट संदेशों की तुलना में इनपुट संदेशों को उच्च प्राथमिकता दे सकते हैं क्योंकि पहले वाले छोटे होते हैं। ऐसे मामलों में, खिनचिन समीकरण का उपयोग करना अब आवश्यक नहीं है

सूचना प्रणालियों में अधिकांश सेवा समय इन दो मामलों के बीच कहीं होता है। स्थिर मान के बराबर रखरखाव समय दुर्लभ है। यहां तक ​​कि सतह पर डेटा सरणियों की विभिन्न स्थितियों के कारण हार्ड ड्राइव एक्सेस समय भी स्थिर नहीं है। निरंतर सेवा समय के मामले को दर्शाने वाला एक उदाहरण एक निश्चित लंबाई के संदेशों को प्रसारित करने के लिए संचार लाइन का कब्ज़ा है।

दूसरी ओर, सेवा समय का प्रसार उतना बड़ा नहीं है जितना कि इसके मनमाने या घातीय वितरण के मामले में, यानी।σs शायद ही कभी मूल्यों तक पहुंचता हैटी. इस मामले को कभी-कभी "सबसे खराब मामला" माना जाता है और इसलिए वे सेवा समय के घातांकीय वितरण से संबंधित सूत्रों का उपयोग करते हैं। इस तरह की गणना से कतारों के आकार और उनमें प्रतीक्षा समय थोड़ा बढ़ा हुआ मिल सकता है, लेकिन यह त्रुटि कम से कम खतरनाक नहीं है।

सेवा समय का घातीय वितरण, निश्चित रूप से, वास्तविकता से निपटने के लिए सबसे खराब मामला नहीं है। हालाँकि, यदि कतारबद्ध गणना से प्राप्त सेवा समय तेजी से वितरित समय से भी बदतर वितरित हो जाता है, तो यह अक्सर डिजाइनर के लिए एक चेतावनी संकेत होता है। यदि मानक विचलन औसत से अधिक है, तो आमतौर पर गणनाओं को समायोजित करने की आवश्यकता होती है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. 15, 20, 25, 30, 35 और 300 के सेवा समय के साथ छह प्रकार के संदेश हैं। प्रत्येक प्रकार के संदेशों की संख्या समान है। संकेतित समय का मानक विचलन उनके औसत से थोड़ा अधिक है। अंतिम सेवा समय का मूल्य अन्य की तुलना में बहुत अधिक है। इससे संदेश कतार में काफी लंबे समय तक खड़े रहेंगे, यदि सेवा समय परिमाण के समान क्रम में होता। इस मामले में, डिजाइन करते समय, कतार की लंबाई कम करने के उपाय करने की सलाह दी जाती है। उदाहरण के लिए, यदि ये संख्याएँ संदेश की लंबाई से संबंधित हैं, तो बहुत लंबे संदेशों को भागों में विभाजित करना उचित हो सकता है।

10.6.6. गणना उदाहरण

बैंकिंग प्रणाली को डिज़ाइन करते समय, उन ग्राहकों की संख्या जानना वांछनीय है जिन्हें पीक आवर्स के दौरान एक टेलर के लिए लाइन में इंतजार करना होगा।

सिस्टम प्रतिक्रिया समय और इसके मानक विचलन की गणना कार्य केंद्र, मुद्रण और दस्तावेज़ निष्पादन से डेटा दर्ज करने के समय को ध्यान में रखकर की जाती है।

खजांची के कार्य समयबद्ध थे। सेवा समय टीएस कैशियर द्वारा ग्राहक पर खर्च किए गए कुल समय के बराबर है। खजांची की उपयोग दर ρ उसके व्यस्त रहने के समय के समानुपाती होती है। यदि व्यस्त समय के दौरान ग्राहकों की संख्या λ है, तो कैशियर के लिए ρ के बराबर है

आइए मान लें कि पीक आवर्स के दौरान प्रति घंटे 30 ग्राहक हैं। औसतन, एक कैशियर प्रति ग्राहक 1.5 मिनट खर्च करता है। तब

ρ =(1.5 * 30) / 60 = 0.75

यानि 75% पर कैशियर का उपयोग होता है।

ग्राफ़ का उपयोग करके पंक्ति में लोगों की संख्या का तुरंत अनुमान लगाया जा सकता है। उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि ρ = 0.75 है, तो लोगों की औसत संख्या nq हैचेकआउट लाइन में मानक विचलन के आधार पर 1.88 और 3.0 के बीच होता हैटी .

मान लीजिए कि टी के लिए मानक विचलन माप हैएस 0.5 मिनट का मान दिया। तब

σ एस = 0.33 टी एस

पहले आंकड़े में ग्राफ से हम पाते हैं कि nq = 2.0, यानी, औसतन, दो ग्राहक कैश रजिस्टर पर इंतजार कर रहे होंगे।

ग्राहक द्वारा कैश रजिस्टर पर बिताया गया कुल समय इस प्रकार पाया जा सकता है

टी ∑ = टी क्यू + टी एस = 2.5 मिनट + 1.5 मिनट = 4 मिनट

जहां टी एस खिनचिन-पोलासेक सूत्र का उपयोग करके गणना की गई।

10.6.7. लाभ कारक

आंकड़ों में दिखाए गए वक्रों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि जब कतार की सेवा करने वाले उपकरण 80% से अधिक उपयोग किए जाते हैं, तो वक्र खतरनाक दर से बढ़ने लगते हैं। डेटा ट्रांसमिशन सिस्टम डिज़ाइन करते समय यह तथ्य बहुत महत्वपूर्ण है। यदि हम 80% से अधिक हार्डवेयर उपयोग के साथ एक सिस्टम डिजाइन कर रहे हैं, तो ट्रैफ़िक में थोड़ी सी वृद्धि के कारण सिस्टम का प्रदर्शन गिर सकता है या यहां तक ​​कि यह क्रैश भी हो सकता है।

आने वाले ट्रैफ़िक में छोटी संख्या x% की वृद्धि। कतार के आकार में लगभग वृद्धि होती है

यदि उपकरण उपयोग दर 50% है, तो सेवा समय के घातीय वितरण के लिए यह वृद्धि 4ts% के बराबर है। लेकिन यदि हार्डवेयर उपयोग दर 90% है, तो कतार आकार में वृद्धि 100ts% है, जो 25 गुना बड़ी है। 90% उपकरण उपयोग पर लोड में मामूली वृद्धि के परिणामस्वरूप 50% उपकरण उपयोग की तुलना में कतार के आकार में 25 गुना वृद्धि होती है।

इसी तरह कतार में लगने वाला समय भी बढ़ जाता है

तेजी से वितरित सेवा समय के साथ, इस मान का मान 4 t हैएस 2 उपकरण उपयोग कारक के लिए 50% और 100 टन के बराबरएस 2 90% के गुणांक के लिए, यानी फिर से 25 गुना बदतर।

इसके अलावा, कम उपकरण उपयोग दर के लिए, कतार के आकार पर σs में परिवर्तन का प्रभाव नगण्य है। हालाँकि, बड़े गुणांकों के लिए σ में परिवर्तन होता हैएस कतार के आकार को बहुत प्रभावित करता है। इसलिए, उच्च उपकरण उपयोग के साथ सिस्टम डिजाइन करते समय, पैरामीटर के बारे में सटीक जानकारी प्राप्त करना वांछनीय हैσ एस. टी वितरण की घातीयता के संबंध में धारणा की अशुद्धिएसρ के बड़े मूल्यों पर सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है। इसके अलावा, यदि सेवा समय अचानक बढ़ जाता है, जो लंबे संदेश प्रसारित करते समय संचार चैनलों में संभव है, तो बड़े ρ के मामले में एक महत्वपूर्ण कतार बन जाएगी।

अक्सर, आर्थिक प्रणालियों का विश्लेषण करते समय, निम्नलिखित स्थिति में उत्पन्न होने वाली तथाकथित कतारबद्ध समस्याओं को हल करना आवश्यक होता है। आइए हम एक कार रखरखाव प्रणाली का विश्लेषण करें जिसमें विभिन्न क्षमताओं के कई स्टेशन शामिल हैं। प्रत्येक स्टेशन (सिस्टम तत्व) पर, कम से कम दो विशिष्ट स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं:

1. किसी दिए गए स्टेशन के लिए अनुरोधों की संख्या बहुत बड़ी है, कतारें लगती हैं, और आपको सेवा में देरी के लिए भुगतान करना पड़ता है;
2. स्टेशन को बहुत कम अनुरोध प्राप्त होते हैं और अब हमें स्टेशन डाउनटाइम के कारण होने वाले नुकसान को ध्यान में रखना होगा।

यह स्पष्ट है कि इस मामले में सिस्टम विश्लेषण का उद्देश्य आय हानि के बीच कुछ अनुपात निर्धारित करना है कतारोंऔर की वजह से नुकसान केवल मैंस्टेशन.

कतार सिद्धांत- सिस्टम सिद्धांत का एक विशेष खंड संभाव्यता सिद्धांत का एक खंड है जिसमें गणितीय मॉडल का उपयोग करके कतारबद्ध प्रणालियों का अध्ययन किया जाता है।

कतारबद्ध प्रणाली (क्यूएस)एक मॉडल है जिसमें शामिल हैं: 1) सेवा की आवश्यकता वाले आवश्यकताओं, कॉलों या ग्राहकों का एक यादृच्छिक प्रवाह; 2) इस सेवा को करने के लिए एल्गोरिदम; 3) सेवा के लिए चैनल (उपकरण)।

सेवा प्रदाताओं के उदाहरण कैश रजिस्टर, गैस स्टेशन, हवाई अड्डे, विक्रेता, हेयरड्रेसर, डॉक्टर, टेलीफोन एक्सचेंज और अन्य सुविधाएं हैं जहां कुछ अनुरोधों की सेवा की जाती है।

कतारबद्ध सिद्धांत समस्याइष्टतम लागत पर सेवा की उच्च दक्षता सुनिश्चित करने के लिए क्यूएस के तर्कसंगत निर्माण और उनके काम के तर्कसंगत संगठन के लिए विकासशील सिफारिशें शामिल हैं।

इस वर्ग के कार्यों की मुख्य विशेषता विश्लेषण परिणामों और दो बाहरी कारकों पर प्राप्त सिफारिशों की स्पष्ट निर्भरता है: प्राप्ति की आवृत्ति और आदेशों की जटिलता (और इसलिए उनके निष्पादन का समय)।

कतारबद्ध सिद्धांत का विषय अनुरोधों के प्रवाह की प्रकृति, एक व्यक्तिगत सेवा चैनल के प्रदर्शन, चैनलों की संख्या और सेवा दक्षता के बीच संबंध स्थापित करना है।

जैसा प्रणाली की विशेषताएँमाने जाते हैं:

• उन आवेदनों का औसत प्रतिशत जो अस्वीकृत कर दिए जाते हैं और सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देते हैं;
• व्यक्तिगत चैनलों और संपूर्ण सिस्टम का औसत डाउनटाइम;
• कतार में औसत प्रतीक्षा समय;
• संभावना है कि प्राप्त आवेदन तुरंत सेवा प्रदान किया जाएगा;
• कतार लंबाई वितरण का नियम और अन्य।

आइए हम जोड़ते हैं कि अनुप्रयोग (आवश्यकताएँ) संघनन और विरलन के बिंदुओं के साथ यादृच्छिक रूप से (यादृच्छिक समय पर) क्यूएस पर आते हैं। प्रत्येक अनुरोध के लिए सेवा समय भी यादृच्छिक होता है, जिसके बाद सेवा चैनल मुक्त हो जाता है और अगले अनुरोध को पूरा करने के लिए तैयार हो जाता है। चैनलों की संख्या और उनके प्रदर्शन के आधार पर प्रत्येक QS की एक निश्चित क्षमता होती है। क्यूएस थ्रूपुटशायद निरपेक्ष(समय की प्रति इकाई सेवा प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या) और रिश्तेदार(प्रस्तुत किए गए आवेदनों की संख्या और प्रस्तुत किए गए आवेदनों की संख्या का औसत अनुपात)।

3.1 कतारबद्ध प्रणालियों के मॉडल।

प्रत्येक QS को अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जा सकता है: (ए/बी/सी) : (डी/ई/एफ) , कहाँ

ए - अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह का वितरण;

बी - अनुप्रयोगों के आउटपुट प्रवाह का वितरण;

सी - सर्विसिंग तंत्र का विन्यास;

डी - कतार अनुशासन;

इ - प्रतीक्षा ब्लॉक;

एफ - स्रोत क्षमता.

आइए अब प्रत्येक विशेषता पर करीब से नज़र डालें।

अनुप्रयोगों का इनपुट प्रवाह- सिस्टम में प्राप्त आवेदनों की संख्या. इनपुट प्रवाह की तीव्रता द्वारा विशेषता एल.

अनुरोधों का आउटपुट प्रवाह- सिस्टम द्वारा सेवित अनुप्रयोगों की संख्या. आउटपुट प्रवाह की तीव्रता द्वारा विशेषता एम.

प्रणाली विन्यासइसका तात्पर्य चैनलों और सेवा नोड्स की कुल संख्या से है। QS में ये शामिल हो सकते हैं:

1. एक चैनलसेवाएँ (एक रनवे, एक विक्रेता);
2. एक सेवा चैनल सहित लगातार कई नोड्स(कैंटीन, क्लिनिक, कन्वेयर);
3. एक ही प्रकार के कई चैनलसमानांतर में जुड़ी सेवाएँ (गैस स्टेशन, सूचना सेवा, ट्रेन स्टेशन)।

इस प्रकार, सिंगल- और मल्टी-चैनल क्यूएस को अलग करना संभव है।

दूसरी ओर, यदि क्यूएस में सभी सेवा चैनल व्यस्त हैं, तो संपर्क किया गया एप्लिकेशन कतार में रह सकता है या सिस्टम छोड़ सकता है (उदाहरण के लिए, एक बचत बैंक और एक टेलीफोन एक्सचेंज)। इस मामले में, हम कतार (प्रतीक्षा) वाले सिस्टम और विफलता वाले सिस्टम के बारे में बात कर रहे हैं।

कतार- यह अनुरोधों का एक समूह है जो सेवा के लिए सिस्टम में प्रवेश कर चुका है और सेवा की प्रतीक्षा कर रहा है। कतार की पहचान कतार की लंबाई और उसके अनुशासन से होती है।

कतारबद्ध अनुशासन- यह कतार से अनुरोधों की सेवा के लिए नियम है। कतार के मुख्य प्रकारों में निम्नलिखित शामिल हैं:

1. पेरप्पो (पहले आओ पहले पाओ) सबसे आम प्रकार है;
2. POSPPO (अंतिम में, पहले पाओ);
3. आरओपी (अनुप्रयोगों का यादृच्छिक चयन) - डेटा बैंक से।
4. पीआर - प्राथमिकता सेवा।

कतार की लंबाईशायद

• असीमित - फिर शुद्ध अपेक्षा वाली व्यवस्था की बात करते हैं;
• शून्य के बराबर - फिर वे विफलताओं वाली प्रणाली के बारे में बात करते हैं;
• लंबाई में सीमित (मिश्रित प्रकार प्रणाली)।

प्रतीक्षारत ब्लॉक- सिस्टम की "क्षमता" - सिस्टम में अनुप्रयोगों की कुल संख्या (कतार में और सेवा में)। इस प्रकार, ई=सी+डी.

स्रोत क्षमतासेवा अनुरोध उत्पन्न करना QS द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले अनुरोधों की अधिकतम संख्या है। उदाहरण के लिए, एक हवाई अड्डे पर स्रोत क्षमता सभी मौजूदा विमानों की संख्या से सीमित होती है, और एक टेलीफोन एक्सचेंज की स्रोत क्षमता पृथ्वी के निवासियों की संख्या के बराबर होती है, यानी। इसे असीमित माना जा सकता है.

क्यूएस मॉडल की संख्या इन घटकों के संभावित संयोजनों की संख्या से मेल खाती है।

3.2 इनपुट आवश्यकताओं का प्रवाह।

समय की प्रत्येक अवधि के साथ [ ए, ए+ टी ], यादृच्छिक चर कनेक्ट करें एक्स, उस समय के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त अनुरोधों की संख्या के बराबर टी.

आवश्यकताओं का प्रवाह कहलाता है अचल, यदि वितरण नियम अंतराल के प्रारंभिक बिंदु पर निर्भर नहीं करता है ए, लेकिन केवल दिए गए अंतराल की लंबाई पर निर्भर करता है टी. उदाहरण के लिए, दिन के दौरान टेलीफोन एक्सचेंज में अनुरोधों का प्रवाह ( टी=24 घंटे) को स्थिर नहीं माना जा सकता, लेकिन 13 से 14 घंटे तक ( टी=60 मिनट) - आप कर सकते हैं।

धारा को कहा जाता है बिना किसी दुष्प्रभाव के, यदि प्रवाह इतिहास भविष्य में मांगों के आगमन को प्रभावित नहीं करता है, अर्थात। आवश्यकताएँ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

धारा को कहा जाता है साधारण, यदि बहुत ही कम समय में एक से अधिक अनुरोध सिस्टम में प्रवेश नहीं कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, नाई के पास प्रवाह सामान्य है, लेकिन रजिस्ट्री कार्यालय में नहीं। लेकिन, यदि एक यादृच्छिक चर के रूप में एक्सरजिस्ट्री कार्यालय द्वारा प्राप्त आवेदनों के जोड़े पर विचार करने के लिए, ऐसा प्रवाह सामान्य होगा (अर्थात, कभी-कभी एक असाधारण प्रवाह को सामान्य में कम किया जा सकता है)।

धारा को कहा जाता है सबसे आसान, यदि यह स्थिर है, बिना किसी प्रभाव के और सामान्य है।

मुख्य प्रमेय.यदि प्रवाह सबसे सरल है, तो r.v. एक्स[ए. ए+ टी] को पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, अर्थात। .

परिणाम 1. सबसे सरल प्रवाह को पॉइसन प्रवाह भी कहा जाता है।

परिणाम 2. एम(एक्स)= एम(एक्स [ ए , ए + टी ] )= एलटी, अर्थात। दौरान टी एलटीअनुप्रयोग। इसलिए, सिस्टम को प्रति इकाई समय औसतन प्राप्त होता है एलअनुप्रयोग। यह मात्रा कहलाती है तीव्रताआगत प्रवाह।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें .

स्टूडियो को प्रतिदिन औसतन 3 आवेदन प्राप्त होते हैं। प्रवाह को सबसे सरल मानते हुए इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले दो दिनों में आवेदनों की संख्या कम से कम 5 होगी।

समाधान।

समस्या की परिस्थितियों के अनुसार, एल=3, टी=2 दिन, इनपुट प्रवाह पॉइसन है, एन ³5. निर्णय लेते समय, विपरीत घटना का परिचय देना सुविधाजनक होता है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि समय के दौरान टी 5 से कम आवेदन प्राप्त होंगे। इसलिए, पॉइसन सूत्र के अनुसार, हमें प्राप्त होता है

^

3.3 सिस्टम स्थिति. मैट्रिक्स और संक्रमण ग्राफ.

समय में एक यादृच्छिक क्षण में, क्यूएस एक राज्य से दूसरे राज्य में बदलता है: कब्जे वाले चैनलों की संख्या, अनुरोधों और कतारों की संख्या, आदि बदल जाती है। इस प्रकार, क्यूएस के साथ एनचैनल और कतार की लंबाई के बराबर एम, निम्नलिखित में से किसी एक स्थिति में हो सकता है:

इ 0 - सभी चैनल निःशुल्क हैं;

इ 1 - एक चैनल व्यस्त है;

इ एन- सभी चैनल व्यस्त हैं;

इ एन +1 - सभी चैनल व्यस्त हैं और एक अनुरोध कतार में है;

इ एन + एम- सभी चैनल और कतार में सभी स्थान भरे हुए हैं।

विफलताओं वाली ऐसी ही प्रणाली राज्यों में भी हो सकती है इ 0 – इ एन .

शुद्ध अपेक्षा वाले QS के लिए, अवस्थाओं की अनंत संख्या होती है। इस प्रकार, राज्य इ एन एक समय में क्यूएस टी - यह मात्रा है एन किसी निश्चित समय पर सिस्टम में स्थित अनुप्रयोग (आवश्यकताएँ), अर्थात्। एन= एन(टी) - यादृच्छिक मूल्य, इ एन (टी) इस यादृच्छिक चर के परिणाम हैं, और पी एन (टी) - सिस्टम के राज्य में होने की संभावना इ एन .

व्यवस्था की स्थिति से हम पहले ही परिचित हैं। ध्यान दें कि सिस्टम की सभी स्थितियाँ समतुल्य नहीं हैं। सिस्टम की स्थिति कहलाती है स्रोत, यदि सिस्टम इस स्थिति से बाहर निकल सकता है, लेकिन इसमें वापस नहीं आ सकता है। सिस्टम की स्थिति कहलाती है एकाकी,यदि सिस्टम इस स्थिति से बाहर नहीं निकल सकता या प्रवेश नहीं कर सकता।

सिस्टम की स्थितियों की कल्पना करने के लिए, आरेख (तथाकथित संक्रमण ग्राफ़) का उपयोग किया जाता है, जिसमें तीर सिस्टम के एक राज्य से दूसरे राज्य में संभावित संक्रमण, साथ ही ऐसे संक्रमणों की संभावनाओं को दर्शाते हैं।

चित्र 3.1 - संक्रमण ग्राफ़

कॉम्प.	ई 0	ई 1	ई 2
ई 0	पी 0.0	पी 0.1	पी 0.2
ई 1	पी 1.0	पी 1.1	आर 1.2
ई 2	पी 2.0	आर 2.2	आर 2.2

कभी-कभी संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करना भी सुविधाजनक होता है। इस मामले में, पहला कॉलम सिस्टम की प्रारंभिक अवस्थाओं (वर्तमान) को इंगित करता है, और फिर इन अवस्थाओं से अन्य अवस्थाओं में संक्रमण की संभावनाएं दी जाती हैं।

चूंकि सिस्टम निश्चित रूप से एक से आगे बढ़ेगा

दूसरे को बताता है, तो प्रत्येक पंक्ति में संभावनाओं का योग हमेशा एक के बराबर होता है।

3.4 सिंगल-चैनल क्यूएस।

3.4.1 विफलताओं के साथ एकल-चैनल क्यूएस।

हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जो आवश्यकताओं को पूरा करती हैं:

(पी/ई/1):(–/1/¥)। आइए हम यह भी मान लें कि किसी अनुरोध को पूरा करने के लिए आवश्यक समय सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है। यहां और नीचे, "पी" का अर्थ है कि इनपुट प्रवाह पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, यानी। सबसे सरल, "ई" का अर्थ है कि आउटपुट प्रवाह एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। साथ ही यहां और नीचे मूल सूत्र बिना प्रमाण के दिए गए हैं।

ऐसी प्रणाली के लिए, दो स्थितियाँ संभव हैं: इ 0 - सिस्टम मुफ़्त है और इ 1 - सिस्टम व्यस्त है. आइए एक ट्रांज़िशन मैट्रिक्स बनाएं। चलो ले लो डीटी- समय की एक अतिसूक्ष्म अवधि। मान लीजिए कि घटना A समय में सिस्टम में है डीटीएक अनुरोध प्राप्त हुआ. घटना बी उस समय के दौरान होती है डीटीएक अनुरोध पूरा कर लिया गया है. आयोजन ए मैं , क- दौरान डीटीसिस्टम राज्य से परिवर्तित हो जाएगा इ मैंकिसी राज्य में इ क. क्योंकि एलसमय के साथ इनपुट प्रवाह की तीव्रता है डीटीऔसतन सिस्टम में प्रवेश करता है एल*डीटीआवश्यकताएं। यानी एक अनुरोध प्राप्त होने की संभावना पी(ए)=मैं* डीटी, और विपरीत घटना की संभावना Р(Ā)=1-एल*डीटी.पी(बी)=एफ(डीटी)= पी(बी< डी टी)=1- इ - एम डी टी = एम डीटी- समय के भीतर अनुरोध को पूरा करने की संभावना डीटी. तब ए 00 - आवेदन प्राप्त नहीं होगा या प्राप्त किया जाएगा लेकिन सेवा प्रदान की जाएगी। ए 00 =ए+ए * वी. पी 00 =1 - एल*डीटी. (हमने इसे ध्यान में रखा (डीटी) 2 -अतिसूक्ष्म मान)

ए 01-आवेदन प्राप्त होगा, लेकिन तामील नहीं किया जायेगा। ए 01=ए * . आर 01 = एल*डीटी.

ए 10 - आवेदन की सेवा की जाएगी और कोई नया नहीं होगा। ए 10 =बी * एक। आर 10 = एम*डीटी.

ए 11 - आवेदन की सेवा नहीं की जाएगी या एक नया आवेदन प्राप्त होगा जिसकी अभी तक सेवा नहीं दी गई है। ए 11= +बी * ए.पी 01= 1- एम*डीटी.

इस प्रकार, हम संक्रमण मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

कॉम्प.	ई 0	ई 1
ई 0	1-एल * डीटी	एल * डीटी
ई 1	एम * डीटी	1-मीटर * डीटी

सिस्टम डाउनटाइम और विफलता की संभावना.

आइए अब सिस्टम की स्थिति में होने की प्रायिकता ज्ञात करें इ 0 किसी भी समय टी(वे। आर 0 ( टी) ). किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
चित्र 3.2 में दिखाया गया है।

ग्राफ़ का अनंतस्पर्शी सीधी रेखा है
.

जाहिर है, किसी बिंदु पर शुरू हो रहा है टी,

1

चित्र 3.2

अंततः हमें वह मिल गया
और
, कहाँ आर 1 (टी) – संभावना है कि समय के क्षण में टी सिस्टम व्यस्त है (अर्थात एक स्थिति में है)। इ 1 ).

यह स्पष्ट है कि क्यूएस के संचालन की शुरुआत में, चल रही प्रक्रिया स्थिर नहीं होगी: यह एक "संक्रमणकालीन", गैर-स्थिर मोड होगी। कुछ समय के बाद (जो इनपुट और आउटपुट प्रवाह की तीव्रता पर निर्भर करता है), यह प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी और सिस्टम एक स्थिर, स्थिर संचालन की स्थिति में चला जाएगा, और संभाव्य विशेषताएं अब समय पर निर्भर नहीं रहेंगी।

स्थिर ऑपरेटिंग मोड और सिस्टम लोड फैक्टर।

यदि सिस्टम के एक स्थिति में होने की संभावना है इ क, अर्थात। आर क (टी), समय पर निर्भर नहीं है टी, तो वे कहते हैं कि क्यूएस स्थापित किया गया है स्थिर मोडकाम। इस मामले में, मूल्य
बुलाया सिस्टम लोड फैक्टर(या अनुप्रयोगों का कम प्रवाह घनत्व)। फिर संभावनाओं के लिए आर 0 (टी) और आर 1 (टी) हमें निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:
,
. कोई यह निष्कर्ष भी निकाल सकता है: सिस्टम लोड फैक्टर जितना अधिक होगा, सिस्टम विफलता की संभावना उतनी ही अधिक होगी (यानी, सिस्टम व्यस्त होने की संभावना)।

कार वॉश में एक रखरखाव इकाई है। पॉइसन वितरण के अनुसार 5 कार/घंटा की दर से कारें आती हैं। एक मशीन का औसत सेवा समय 10 मिनट है। यदि QS स्थिर मोड में संचालित होता है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आने वाली कार का सिस्टम व्यस्त होगा।

समाधान।समस्या की परिस्थितियों के अनुसार, एल=5, एम य =5/6. हमें संभाव्यता ज्ञात करने की आवश्यकता है आर 1 - सिस्टम विफलता की संभावना.
.

3.4.2 असीमित कतार लंबाई के साथ एकल-चैनल क्यूएस।

हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जो आवश्यकताओं को पूरा करती हैं: (पी/ई/1):(डी/¥/¥)। सिस्टम किसी एक राज्य में हो सकता है इ 0 , …, इ क, ... विश्लेषण से पता चलता है कि कुछ समय के बाद ऐसी प्रणाली स्थिर मोड में काम करना शुरू कर देती है यदि आउटपुट प्रवाह की तीव्रता इनपुट प्रवाह की तीव्रता से अधिक हो जाती है (यानी, सिस्टम लोड फैक्टर एक से कम है)। इस स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है

जिसे हल करके हम उसे ढूंढ लेंगे। इस प्रकार, यह प्रदान किया गया य<1, получим
अंत में,
और
- क्यूएस के राज्य में होने की संभावना इ कसमय के एक यादृच्छिक क्षण में.

औसत सिस्टम प्रदर्शन.

सिस्टम में मांगों की असमान प्राप्ति और सेवा समय में उतार-चढ़ाव के कारण सिस्टम में एक कतार बन जाती है। ऐसी प्रणाली के लिए कोई जांच कर सकता है:

• एन - क्यूएस में आवश्यकताओं की संख्या (कतार में और सेवा में);
• वी - कतार की लंबाई;
• डब्ल्यू - सेवा शुरू होने का इंतज़ार करने का समय;
• डब्ल्यू 0 - सिस्टम में बिताया गया कुल समय.

हमें दिलचस्पी होगी औसत विशेषताएँ(यानी हम यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को विचाराधीन लेते हैं, और उसे याद रखते हैं य<1).

- सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या.

- औसत कतार की लंबाई.

- सेवा की शुरुआत के लिए औसत प्रतीक्षा समय, यानी। लाइन में प्रतीक्षा समय.

- औसत समय जो एक एप्लिकेशन सिस्टम में बिताता है - कतार में और सेवा के लिए।

कार वॉश में सर्विस के लिए एक ब्लॉक है और कतार के लिए एक जगह है। पॉइसन वितरण के अनुसार 5 कार/घंटा की दर से कारें आती हैं। एक मशीन का औसत सेवा समय 10 मिनट है। QS की सभी औसत विशेषताएँ ज्ञात करें।

समाधान। एल=5, एम=60 मिनट/10 मिनट = 6. लोड फैक्टर य =5/6. फिर सिस्टम में कारों की औसत संख्या
, औसत कतार की लंबाई
, सेवा शुरू होने के लिए औसत प्रतीक्षा समय
घंटे = 50 मिनट, और अंत में, सिस्टम में बिताया गया औसत समय
घंटा।

3.4.3 एकल-चैनल मिश्रित-प्रकार क्यूएस।

आइए मान लें कि कतार की लंबाई है एमआवश्यकताएं। फिर, किसी के लिए भी एस£ एम, क्यूएस के राज्य में होने की संभावना इ 1+ एस, सूत्र द्वारा गणना की गई
, अर्थात। एक आवेदन परोसा जा रहा है और दूसरा एसआवेदन कतार में हैं.

सिस्टम डाउनटाइम की संभावना है
,

और सिस्टम विफलता की संभावना है
.

प्रत्येक के लिए तीन एकल-चैनल सिस्टम दिए गए हैं एल=5, एम =6. लेकिन पहली प्रणाली इनकार के साथ है, दूसरी शुद्ध प्रतीक्षा के साथ है, और तीसरी सीमित कतार लंबाई के साथ है, एम=2. इन तीन प्रणालियों की डाउनटाइम संभावनाओं को खोजें और तुलना करें।

समाधान।सभी प्रणालियों के लिए लोड फैक्टर य=5/6. विफलताओं वाले सिस्टम के लिए
. शुद्ध प्रतीक्षा प्रणाली के लिए
. सीमित कतार लंबाई वाले सिस्टम के लिए
. निष्कर्ष स्पष्ट है: जितने अधिक अनुप्रयोग कतार में होंगे, सिस्टम डाउनटाइम की संभावना उतनी ही कम होगी।

3.5 मल्टीचैनल क्यूएस।

3.5.1 विफलताओं के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस।

हम सिस्टम (पी/ई/एस):(-/एस/¥) पर इस धारणा के तहत विचार करेंगे कि सेवा समय इनपुट प्रवाह पर निर्भर नहीं करता है और सभी लाइनें स्वतंत्र रूप से संचालित होती हैं। मल्टीचैनल सिस्टम, लोड फैक्टर के अलावा, गुणांक द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है
, कहाँ एस- सेवा चैनलों की संख्या. मल्टी-चैनल क्यूएस का अध्ययन करके, हम सिस्टम की स्थिति में होने की संभावना के लिए निम्नलिखित सूत्र (एरलांग सूत्र) प्राप्त करते हैं इ कयादृच्छिक समय पर:

, k=0, 1, ...

लागत कार्य।

सिंगल-चैनल सिस्टम की तरह, लोड फैक्टर बढ़ने से सिस्टम विफलता की संभावना बढ़ जाती है। दूसरी ओर, सेवा लाइनों की संख्या में वृद्धि से सिस्टम या व्यक्तिगत चैनलों के डाउनटाइम की संभावना बढ़ जाती है। इस प्रकार, किसी दिए गए QS के लिए सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या ज्ञात करना आवश्यक है। सूत्र का उपयोग करके निःशुल्क सेवा लाइनों की औसत संख्या ज्ञात की जा सकती है
. आइए हम C का परिचय दें( एस) – लागत कार्यक्यूएस पर निर्भर करता है साथ 1 – एक इनकार की लागत (एक अपूर्ण आवेदन के लिए जुर्माना) और से साथ 2 - समय की प्रति इकाई एक लाइन के डाउनटाइम की लागत।

इष्टतम विकल्प खोजने के लिए, आपको लागत फ़ंक्शन का न्यूनतम मूल्य ढूंढना होगा (और यह किया जा सकता है): साथ(एस) = एस 1* एल * पी एस +एस 2*, जिसका ग्राफ चित्र 3.3 में प्रस्तुत किया गया है:

चित्र 3.3

लागत फ़ंक्शन का न्यूनतम मूल्य ज्ञात करने में सबसे पहले इसके मान ज्ञात करना शामिल है एस =1, फिर के लिए एस =2, फिर के लिए एस =3, आदि. जब तक कि किसी चरण पर फ़ंक्शन C का मान न हो ( एस) पिछले वाले से बड़ा नहीं होगा. इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन अपने न्यूनतम स्तर पर पहुंच गया है और बढ़ना शुरू हो गया है। उत्तर होगा सेवा चैनलों की संख्या (मान)। एस), जिसके लिए लागत फ़ंक्शन न्यूनतम है।

उदाहरण .

क्यूएस में विफलताओं के साथ कितनी सेवा लाइनें होनी चाहिए? एल=2 मांग/घंटा, एम=1 मांग/घंटा, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 7 हजार रूबल है, एक लाइन के डाउनटाइम की लागत 2 हजार रूबल है। एक बजे?

समाधान। य = 2/1=2. साथ 1 =7, साथ 2 =2.

आइए मान लें कि QS के दो सेवा चैनल हैं, अर्थात्। एस =2. तब
. इस तरह, सी(2) = सी 1 *एल*पी 2 +एस 2 *(2- आप*(1-आर 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

चलिए ऐसा दिखावा करते हैं एस =3. तब
, सी(3) = सी 1 *एल*पी 3 +एस 2 *
=5.79.

आइए मान लें कि चार चैनल हैं, यानी। एस =4. तब
,
, सी(4) = सी 1 *एल*पी 4 +एस 2 *
=5.71.

आइए मान लें कि क्यूएस में पांच सेवा चैनल हैं, यानी। एस =5. तब
, सी(5)= 6.7 – पिछले मान से अधिक. इसलिए, सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या चार है।

3.5.2 कतार के साथ मल्टीचैनल क्यूएस।

हम सिस्टम (पी/ई/एस):(डी/डी+एस/¥) पर इस धारणा के तहत विचार करेंगे कि सेवा समय इनपुट प्रवाह पर निर्भर नहीं करता है और सभी लाइनें स्वतंत्र रूप से संचालित होती हैं। हम कहेंगे कि सिस्टम इंस्टॉल हो गया है स्थिर संचालन मोड, यदि आने वाले अनुरोधों की औसत संख्या सिस्टम की सभी लाइनों पर दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या से कम है, यानी। एल

पी(डब्ल्यू>0) - सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा की संभावना,
.

अंतिम विशेषता हमें सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या निर्धारित करने की समस्या को हल करने की अनुमति देती है ताकि सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा करने की संभावना दी गई संख्या से कम हो। ऐसा करने के लिए, क्रमिक रूप से प्रतीक्षा करने की संभावना की गणना करना पर्याप्त है एस =1, एस =2, एस=3, आदि.

उदाहरण .

एसएमओ एक छोटे माइक्रोडिस्ट्रिक्ट में एक एम्बुलेंस स्टेशन है। एल=प्रति घंटे 3 कॉल, और एम= एक टीम के लिए प्रति घंटे 4 कॉल। आपको स्टेशन पर कितने क्रू की आवश्यकता है ताकि प्रस्थान के लिए प्रतीक्षा करने की संभावना 0.01 से कम हो?

समाधान।सिस्टम लोड फैक्टर य =0.75. आइए मान लें कि दो टीमें उपलब्ध हैं। आइए सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा करने की प्रायिकता ज्ञात करें एस =2.
,
.

आइए मान लें कि तीन टीमें हैं, यानी। एस=3. सूत्रों के अनुसार हमें वह प्राप्त होता है आर 0 =8/17, Р(डब्ल्यू>0)=0.04>0.01 .

आइए मान लें कि स्टेशन पर चार टीमें हैं, यानी। एस=4. तब हमें वह मिलता है आर 0 =416/881, Р(डब्ल्यू>0)=0.0077<0.01 . इसलिए स्टेशन पर चार टीमें होनी चाहिए।

3.6 आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1. कतारबद्ध सिद्धांत का विषय और कार्य।
2. एसएमओ, उनके मॉडल और पदनाम।
3. इनपुट आवश्यकताएँ प्रवाहित होती हैं। इनपुट प्रवाह तीव्रता.
4. सिस्टम की स्थिति. मैट्रिक्स और संक्रमण ग्राफ.
5. विफलताओं के साथ एकल-चैनल क्यूएस।
6. कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस। विशेषताएँ।
7. स्थिर संचालन मोड. सिस्टम लोड फैक्टर.
8. विफलताओं के साथ मल्टीचैनल क्यूएस।
9. लागत फ़ंक्शन अनुकूलन.
10. एक कतार के साथ मल्टीचैनल क्यूएस। विशेषताएँ।

3.7 स्वतंत्र कार्य के लिए अभ्यास

1. गैस स्टेशन स्नैक बार में एक काउंटर है। कारें पॉइसन वितरण के अनुसार आती हैं, प्रति 5 मिनट में औसतन 2 कारें। औसतन, एक ऑर्डर पूरा करने के लिए 1.5 मिनट पर्याप्त है, हालाँकि सेवा की अवधि एक घातीय कानून के अनुसार वितरित की जाती है। खोजें: ए) स्टाल डाउनटाइम की संभावना; बी) औसत विशेषताएँ; ग) संभावना है कि आने वाले वाहनों की संख्या कम से कम 10 होगी।
2. एक्स-रे मशीन प्रति घंटे औसतन 7 लोगों की जांच करने की अनुमति देती है। आगंतुकों की तीव्रता प्रति घंटे 5 लोग है। स्थिर संचालन मानकर, औसत विशेषताएँ निर्धारित करें।
3. QS में सेवा समय घातांकीय नियम का पालन करता है,
   एम = प्रति घंटे 7 मांगें. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि क) सेवा समय 3 से 30 मिनट के बीच है; बी) अनुरोध एक घंटे के भीतर पूरा कर दिया जाएगा। फ़ंक्शन मानों की तालिका का उपयोग करें इ एक्स .
4. नदी बंदरगाह में एक बर्थ है, आने वाले प्रवाह की तीव्रता प्रति दिन 5 जहाज है। लोडिंग और अनलोडिंग परिचालन की तीव्रता प्रति दिन 6 जहाज है। संचालन के स्थिर मोड को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम की सभी औसत विशेषताओं का निर्धारण करें।
5. एल=3, एम=2, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 5 है, और एक लाइन के डाउनटाइम की लागत 2 है?
6. QS के पास सेवा चैनलों की अधिकतम संख्या क्या होनी चाहिए? एल=3, एम =1, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 7 है, और एक लाइन के डाउनटाइम की लागत 3 है?
7. QS के पास सेवा चैनलों की अधिकतम संख्या क्या होनी चाहिए? एल=4, एम=2, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 5 है, और एक लाइन के डाउनटाइम की लागत 1 है?
8. विमान के लिए रनवे की संख्या निर्धारित करें, इस आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए कि प्रतीक्षा संभावना 0.05 से कम होनी चाहिए। वहीं, इनपुट प्रवाह की तीव्रता प्रति दिन 27 विमान है, और उनकी सेवा की तीव्रता प्रति दिन 30 विमान है।
9. एक कार्यशाला में काम की लय सुनिश्चित करने के लिए कितनी समतुल्य स्वतंत्र कन्वेयर लाइनें होनी चाहिए जिसमें उत्पादों के संसाधित होने की प्रतीक्षा की संभावना 0.03 से कम होनी चाहिए (प्रत्येक उत्पाद एक लाइन द्वारा निर्मित होता है)। यह ज्ञात है कि प्राप्त आदेशों की तीव्रता प्रति घंटे 30 उत्पाद है, और एक लाइन द्वारा उत्पाद प्रसंस्करण की तीव्रता प्रति घंटे 36 उत्पाद है।
10. सतत यादृच्छिक चर X को पैरामीटर l=5 के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। वितरण फ़ंक्शन, विशेषताओं और आर.वी. से टकराने की संभावना का पता लगाएं। एक्स 0.17 से 0.28 तक की सीमा में।
11. एक मिनट में पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की औसत संख्या 3 है। यह मानते हुए कि प्रवाह पॉइसन है, संभावना पाएं कि 2 मिनट में निम्नलिखित आ जाएंगे: ए) दो कॉल; बी) दो से कम कॉल; ग) कम से कम दो कॉल।
12. बॉक्स में 17 पार्ट्स हैं, जिनमें से 4 खराब हैं। असेंबलर यादृच्छिक रूप से 5 भागों का चयन करता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि क) निकाले गए सभी हिस्से उच्च गुणवत्ता वाले हैं; बी) निकाले गए हिस्सों में से 3 ख़राब थे।
13. विफलता वाले QS में कितने चैनल होने चाहिए यदि? एल=2 मांग/घंटा, एम=1 मांग/घंटा, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 8 हजार रूबल है, एक लाइन के डाउनटाइम की लागत 2 हजार रूबल है। एक बजे?

1. विफलताओं के साथ एकल-चैनल क्यूएस।

उदाहरण।विफलताओं वाला एकल-चैनल क्यूएस कार धोने के लिए एक दैनिक रखरखाव पोस्ट (डीएस) का प्रतिनिधित्व करता है। एक आवेदन - एक कार जो उस समय आती है जब पद पर कब्जा होता है - सेवा से इनकार कर दिया जाता है।

वाहन प्रवाह दर = 1.0 (वाहन प्रति घंटा)।

सेवा की औसत अवधि 1.8 घंटे है।

कार प्रवाह और सेवा प्रवाह सबसे सरल हैं।

तय करने की जरूरत हैस्थिर अवस्था में सीमा मान:

सापेक्ष बैंडविड्थ क्यू;

पूर्ण थ्रूपुट ए ;

विफलता की संभावनाएँ पी खुला.

तुलना करने की जरूरत है वास्तविकक्यूएस थ्रूपुट के साथ नाममात्र, जो तब होगा जब प्रत्येक कार की ठीक 1.8 घंटे तक सर्विस की जाए और कारें बिना किसी रुकावट के एक के बाद एक चलती रहें।

2. प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस

सिस्टम विशेषताएँ

Ø एसएमओ के पास एक चैनल है.

Ø सेवा अनुरोधों का आने वाला प्रवाह तीव्रता के साथ सबसे सरल प्रवाह है।

Ø सेवा प्रवाह की तीव्रता m के बराबर है (यानी, औसतन, एक लगातार व्यस्त चैनल m सेवित अनुरोध जारी करेगा)।

Ø सेवा अवधि घातीय वितरण कानून के अधीन एक यादृच्छिक चर है।

Ø सेवा प्रवाह घटनाओं का सबसे सरल पॉइसन प्रवाह है।

Ø चैनल व्यस्त होने पर प्राप्त अनुरोध कतार में है और सेवा की प्रतीक्षा कर रहा है।

राज्य ग्राफ

QS राज्यों की निम्नलिखित व्याख्या है:

एस 0 - "चैनल मुफ़्त";

एस 1 - "चैनल व्यस्त" (कोई कतार नहीं);

एस 2 - "चैनल व्यस्त" (एक अनुरोध कतार में है);

…………………………………………………….

एस.एन.- "चैनल व्यस्त" ( एन-1 आवेदन कतार में हैं);

एस.एन.- "चैनल व्यस्त" ( एन- 1 आवेदन कतार में हैं)।

इस प्रणाली में स्थिर प्रक्रिया को बीजगणितीय समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा वर्णित किया गया है:

समीकरणों की प्रणाली का समाधान है:

3. सीमित कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस।

कतार की लंबाई:( एन - 1)

सिस्टम विशेषताएँ:

1. सिस्टम सेवा विफलता की संभावना:

2. सापेक्ष सिस्टम थ्रूपुट:

3. पूर्ण सिस्टम थ्रूपुट:

4. सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या:

5. किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय:

6. कतार में ग्राहक (आवेदन) के रहने की औसत अवधि:

7. कतार में आवेदनों (ग्राहकों) की औसत संख्या (कतार की लंबाई):

उदाहरण।

विशिष्ट डायग्नोस्टिक पोस्ट एकल-चैनल क्यूएस है।

निदान की प्रतीक्षा कर रही कारों के लिए पार्किंग स्थल की संख्या सीमित है और 3 के बराबर है [( एन- 1) = 3]। यदि सभी पार्किंग स्थल भरे हुए हैं, यानी कतार में पहले से ही तीन कारें हैं, तो डायग्नोस्टिक्स के लिए आने वाली अगली कार को सेवा के लिए कतार में नहीं रखा जाएगा।

निदान के लिए आने वाली कारों का प्रवाह पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है और इसकी तीव्रता 0.85 (कार प्रति घंटा) होती है।

वाहन निदान समय एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और औसतन 1.05 घंटे होता है।

4. प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस

कतार की लंबाई की कोई सीमा नहीं

क्यूएस की परिचालन स्थितियाँ अपरिवर्तित रहती हैं, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि एन.

ऐसे QS के संचालन का स्थिर तरीका मौजूद है:

किसी के लिए भी एन= 0, 1, 2, ... और कब λ < μ .

QS के संचालन का वर्णन करने वाले समीकरणों की प्रणाली:

समीकरणों की प्रणाली के समाधान का रूप है:

2. सिस्टम में ग्राहक के रहने की औसत अवधि:

3. सेवा के लिए कतार में ग्राहकों की औसत संख्या:

4. एक ग्राहक द्वारा कतार में बिताया गया औसत समय:

उदाहरण।

विशिष्ट डायग्नोस्टिक पोस्ट एकल-चैनल क्यूएस है। निदान की प्रतीक्षा कर रही कारों के लिए पार्किंग स्थल की संख्या असीमित है। निदान के लिए आने वाली कारों का प्रवाह पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है और इसकी तीव्रता λ = 0.85 (कार प्रति घंटा) होती है। वाहन निदान समय एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और औसतन 1.05 घंटे होता है।

स्थिर मोड में संचालित डायग्नोस्टिक स्टेशन की संभाव्य विशेषताओं को निर्धारित करना आवश्यक है।

समस्या को हल करने के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित संभाव्य विशेषताओं के अंतिम मान निर्धारित करना आवश्यक है:

ü सिस्टम स्थिति (नैदानिक ​​​​स्टेशन) की संभावना;

ü सिस्टम में कारों की औसत संख्या (सेवा के तहत और कतार में);

ü सिस्टम में वाहन के रहने की औसत अवधि (सेवा के लिए और कतार में);

ü सेवा के लिए लाइन में कारों की औसत संख्या;

ü कतार में कार के रहने की औसत अवधि।

1. सेवा प्रवाह पैरामीटर और कम वाहन प्रवाह तीव्रता:

μ = 0.952; ψ = 0.893.

2. सिस्टम स्थिति की सीमित संभावनाएँ:

पी 0 (टी) उस समय का अनुपात निर्धारित करता है जिसके दौरान डायग्नोस्टिक पोस्ट को निष्क्रिय (निष्क्रिय) होने के लिए मजबूर किया जाता है। उदाहरण में, यह हिस्सा 10.7% है पी 0 (टी) = 0,107.

3. सिस्टम में कारों की औसत संख्या

(सेवा के अंतर्गत और कतार में):

4. सिस्टम में ग्राहक के रहने की औसत अवधि

5. सेवा के लिए कतार में कारों की औसत संख्या:

6. एक कार के लाइन में रहने की औसत अवधि:

7. सापेक्ष सिस्टम थ्रूपुट:

क्यू= 1, अर्थात सिस्टम में आने वाले प्रत्येक अनुरोध की सेवा की जाएगी।

8. पूर्ण थ्रूपुट:

सामग्री का प्रस्तुतिकरण डिज़ाइन "टीएमओ" फ़ाइल में प्रस्तुत किया गया है

प्रश्न और कार्य

(अफानसयेव एम.यू. के अनुसार)

प्रश्न 1।एक कर्मचारी तीस करघों का रखरखाव करता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि धागा टूटने के बाद वे चालू हो जाएं। ऐसी कतार प्रणाली के मॉडल को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

1) सीमित जनसंख्या के साथ मल्टी-चैनल एकल-चरण;

2) असीमित जनसंख्या के साथ एकल-चैनल एकल-चरण;

3) सीमित जनसंख्या के साथ एकल-चैनल मल्टीफ़ेज़;

4) सीमित जनसंख्या के साथ एकल-चैनल एकल-चरण;

5) असीमित जनसंख्या के साथ मल्टी-चैनल एकल-चरण।

प्रश्न 2।कतारबद्ध सिद्धांत में, सिस्टम इनपुट पर आने वाले अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह का वर्णन करने के लिए संभाव्यता वितरण का उपयोग किया जाता है:

1) सामान्य;

2) घातीय;

3) पॉइसन;

4) द्विपद;

प्रश्न 3।कतारबद्ध सिद्धांत में, यह माना जाता है कि जनसंख्या में अनुरोधों की संख्या है:

1) स्थिर या परिवर्तनशील;

2) सीमित या असीमित;

3) ज्ञात या अज्ञात;

4) यादृच्छिक या नियतात्मक;

5) उपरोक्त में से कोई भी सत्य नहीं है।

प्रश्न 4.कतारबद्ध प्रणाली के विन्यास को निर्धारित करने वाले दो मुख्य पैरामीटर हैं:

1) आगमन की दर और सेवा की दर;

2) कतार की लंबाई और सेवा नियम;

3) अनुरोधों और सेवा समय के वितरण के बीच समय का वितरण;

4) चैनलों की संख्या और सेवा चरणों की संख्या;

5) उपरोक्त में से कोई भी सत्य नहीं है।

प्रश्न 5.कतारबद्ध सिद्धांत में, संभाव्यता वितरण का उपयोग आमतौर पर सर्विसिंग अनुरोधों में लगने वाले समय का वर्णन करने के लिए किया जाता है:

1) सामान्य;

2) घातीय;

3) पॉइसन;

4) द्विपद;

5) उपरोक्त में से कोई भी सत्य नहीं है।

प्रश्न 6.अर्थशास्त्र संकाय में विफल कंप्यूटरों की मरम्मत एक साथ और एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तीन विशेषज्ञों द्वारा की जाती है। ऐसी कतार प्रणाली के मॉडल को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

1) सीमित जनसंख्या के साथ मल्टी-चैनल;

2) असीमित जनसंख्या वाला एकल-चैनल;

3) सीमित जनसंख्या वाला एकल-चैनल;

4) सीमित कतार वाला एकल-चैनल;

5) असीमित जनसंख्या वाला मल्टी-चैनल।

सवालों पर जवाब: 1 -4, 2 - 3, 3 -2, 4 -4, 5 -2, 6 -1.

नेटवर्क योजना और प्रबंधन

नेटवर्क योजना और प्रबंधन प्रणाली (एनपीएस) टीमों की उत्पादन गतिविधियों को विनियमित करने के लिए डिज़ाइन की गई एक विशेष प्रकार की संगठित प्रबंधन प्रणाली का प्रतिनिधित्व करती है। इस वर्ग की अन्य प्रणालियों की तरह, एसपीयू सिस्टम में "नियंत्रण वस्तु" कलाकारों का एक समूह है जिनके पास कुछ संसाधन हैं: मानव, सामग्री, वित्तीय। हालाँकि, इन प्रणालियों में कई विशेषताएं हैं, क्योंकि उनका पद्धतिगत आधार संचालन अनुसंधान विधियों, निर्देशित ग्राफ़ के सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के कुछ वर्गों से बना है। एक योजना और प्रबंधन प्रणाली की एक आवश्यक संपत्ति वर्तमान स्थिति का आकलन करने, काम की आगे की प्रगति की भविष्यवाणी करने और इस प्रकार तैयारी और उत्पादन की प्रगति को प्रभावित करने की क्षमता भी है ताकि काम की पूरी श्रृंखला एक निश्चित समय सीमा के भीतर पूरी हो जाए। सबसे कम लागत.

वर्तमान में, एसपीसी मॉडल और विधियों का व्यापक रूप से निर्माण और स्थापना कार्य की योजना बनाने और कार्यान्वयन, व्यापार गतिविधियों की योजना बनाने, लेखांकन रिपोर्ट तैयार करने, व्यापार और वित्तीय योजना विकसित करने आदि में उपयोग किया जाता है।

एसपीयू के अनुप्रयोग का दायरा बहुत विस्तृत है: व्यक्तियों की गतिविधियों से संबंधित कार्यों से लेकर परियोजनाओं तक जिसमें सैकड़ों संगठन और दसियों हज़ार लोग भाग लेते हैं (उदाहरण के लिए, एक बड़े क्षेत्रीय-औद्योगिक परिसर का विकास और निर्माण)।

हजारों व्यक्तिगत अध्ययनों और संचालनों से युक्त बड़ी और जटिल परियोजनाओं के कार्यान्वयन के लिए एक कार्य योजना तैयार करने के लिए, किसी प्रकार के गणितीय मॉडल का उपयोग करके इसका वर्णन करना आवश्यक है। परियोजनाओं (परिसरों) का वर्णन करने का ऐसा साधन एक नेटवर्क मॉडल है।