गाऊसी विपरीत विधि. गाऊसी विधि (अज्ञात का क्रमिक उन्मूलन)
गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।मान लीजिए हमें सिस्टम का कोई समाधान ढूंढना है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर
जिसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।
गॉस विधि का सारइसमें अज्ञात चरों का क्रमिक बहिष्करण शामिल है: पहला, द एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके, आगे भी बाहर रखा गया है एक्स 2सभी समीकरणों में से, तीसरे से शुरू करके, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर न रह जाए एक्स एन. अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने के लिए सिस्टम समीकरणों को बदलने की इस प्रक्रिया को कहा जाता है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. गॉस विधि की आगे की चाल पूरी होने के बाद, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके हम गणना करते हैं xn-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से हम पाते हैं एक्स 1. सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.
आइए हम अज्ञात चर को खत्म करने के लिए एल्गोरिदम का संक्षेप में वर्णन करें।
हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पहले समीकरण को गुणा करके जोड़ें, पहले समीकरण को तीसरे समीकरण में गुणा करके जोड़ें, और इसी तरह, n वेंसमीकरण में हम पहले वाले को, से गुणा करके जोड़ते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी 
जहाँ एक 
.
यदि हमने व्यक्त किया तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया था। तो परिवर्तनशील एक्स 1दूसरे से शुरू करके, सभी समीकरणों से बाहर रखा गया।
आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है 
ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में दूसरे गुणा को जोड़ें, चौथे समीकरण में दूसरे गुणा को जोड़ें, और इसी तरह, n वेंसमीकरण में हम दूसरा जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी 
जहाँ एक 
. तो परिवर्तनशील एक्स 2तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया।
आगे हम अज्ञात को ख़त्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3, इस मामले में हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के भाग के साथ समान रूप से कार्य करते हैं 
इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता 
इस क्षण से हम गाऊसी पद्धति का उलटा प्रारंभ करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनप्राप्त मान का उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण से एक्स एनखोजो xn-1अंतिम समीकरण से, इत्यादि, हम पाते हैं एक्स 1पहले समीकरण से.
उदाहरण।
रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें 
गॉस विधि.
16वीं-18वीं शताब्दी की शुरुआत से ही गणितज्ञों ने कार्यों का गहनता से अध्ययन करना शुरू कर दिया, जिसकी बदौलत हमारे जीवन में बहुत कुछ बदल गया है। इस ज्ञान के बिना कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का अस्तित्व ही नहीं होता। जटिल समस्याओं, रैखिक समीकरणों और कार्यों को हल करने के लिए विभिन्न अवधारणाएँ, प्रमेय और समाधान तकनीकें बनाई गई हैं। रैखिक समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए ऐसी सार्वभौमिक और तर्कसंगत विधियों और तकनीकों में से एक गॉस विधि थी। मैट्रिक्स, उनकी रैंक, निर्धारक - सब कुछ जटिल संचालन का उपयोग किए बिना गणना की जा सकती है।
एसएलएयू क्या है?
गणित में, SLAE की अवधारणा है - रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली। वह किसके जैसी है? यह आवश्यक n अज्ञात के साथ m समीकरणों का एक सेट है, जिसे आमतौर पर x, y, z, या x 1, x 2 ... x n, या अन्य प्रतीकों के रूप में दर्शाया जाता है। गॉसियन विधि का उपयोग करके किसी दिए गए सिस्टम को हल करने का अर्थ है सभी अज्ञात अज्ञात को ढूंढना। यदि किसी प्रणाली में अज्ञातों और समीकरणों की संख्या समान है, तो इसे nवें क्रम प्रणाली कहा जाता है।
SLAE को हल करने के लिए सबसे लोकप्रिय तरीके
माध्यमिक शिक्षा के शिक्षण संस्थानों में ऐसी प्रणालियों को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन किया जाता है। अक्सर ये सरल समीकरण होते हैं जिनमें दो अज्ञात होते हैं, इसलिए इनका उत्तर खोजने के लिए किसी भी मौजूदा विधि में अधिक समय नहीं लगेगा। यह एक प्रतिस्थापन विधि की तरह हो सकता है, जब एक समीकरण से दूसरा प्राप्त किया जाता है और मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है। या पद-दर-पद घटाने और जोड़ने की विधि। लेकिन गॉस विधि को सबसे आसान और सबसे सार्वभौमिक माना जाता है। यह किसी भी संख्या में अज्ञात वाले समीकरणों को हल करना संभव बनाता है। इस विशेष तकनीक को तर्कसंगत क्यों माना जाता है? यह आसान है। मैट्रिक्स विधि के बारे में अच्छी बात यह है कि इसमें अनावश्यक प्रतीकों को कई बार अज्ञात के रूप में लिखने की आवश्यकता नहीं होती है; यह गुणांक पर अंकगणितीय संचालन करने के लिए पर्याप्त है - और आपको एक विश्वसनीय परिणाम मिलेगा।
व्यवहार में SLAE का उपयोग कहाँ किया जाता है?
SLAE का समाधान फ़ंक्शंस के ग्राफ़ पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। हमारे हाई-टेक कंप्यूटर युग में, जो लोग गेम और अन्य कार्यक्रमों के विकास में निकटता से शामिल हैं, उन्हें यह जानना आवश्यक है कि ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, वे क्या दर्शाते हैं और परिणामी परिणाम की शुद्धता की जांच कैसे करें। अक्सर, प्रोग्रामर विशेष रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर विकसित करते हैं, इसमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली शामिल होती है। गॉस विधि आपको सभी मौजूदा समाधानों की गणना करने की अनुमति देती है। अन्य सरलीकृत सूत्रों और तकनीकों का भी उपयोग किया जाता है।
एसएलएयू अनुकूलता मानदंड
ऐसी प्रणाली को केवल तभी हल किया जा सकता है जब यह संगत हो। स्पष्टता के लिए, आइए SLAE को Ax=b के रूप में प्रस्तुत करें। यदि रंग (ए) रंग (ए, बी) के बराबर है तो इसका एक समाधान है। इस मामले में, (ए,बी) एक विस्तारित रूप मैट्रिक्स है जिसे मैट्रिक्स ए से मुक्त शब्दों के साथ फिर से लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। यह पता चला है कि गाऊसी विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करना काफी आसान है।
शायद कुछ प्रतीक पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, इसलिए हर चीज़ पर एक उदाहरण के साथ विचार करना आवश्यक है। मान लीजिए कि एक प्रणाली है: x+y=1; 2x-3y=6. इसमें केवल दो समीकरण हैं, जिनमें 2 अज्ञात हैं। सिस्टम का समाधान तभी होगा जब उसके मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो। रैंक क्या है? यह सिस्टम की स्वतंत्र लाइनों की संख्या है। हमारे मामले में, मैट्रिक्स की रैंक 2 है। मैट्रिक्स ए में अज्ञात के पास स्थित गुणांक शामिल होंगे, और "=" चिह्न के पीछे स्थित गुणांक भी विस्तारित मैट्रिक्स में फिट होंगे।
SLAE को मैट्रिक्स रूप में क्यों दर्शाया जा सकता है?
सिद्ध क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार संगतता मानदंड के आधार पर, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है। गॉसियन कैस्केड विधि का उपयोग करके, आप मैट्रिक्स को हल कर सकते हैं और पूरे सिस्टम के लिए एकमात्र विश्वसनीय उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यदि किसी साधारण मैट्रिक्स की रैंक उसके विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, लेकिन अज्ञात की संख्या से कम है, तो सिस्टम के पास अनंत संख्या में उत्तर हैं।
मैट्रिक्स परिवर्तन
मैट्रिक्स को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह जानना आवश्यक है कि उनके तत्वों पर क्या क्रियाएं की जा सकती हैं। कई प्राथमिक परिवर्तन हैं:
- सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखकर और उसका समाधान करके, श्रृंखला के सभी तत्वों को एक ही गुणांक से गुणा करना संभव है।
- मैट्रिक्स को विहित रूप में बदलने के लिए, आप दो समानांतर पंक्तियों को स्वैप कर सकते हैं। विहित रूप का तात्पर्य है कि मुख्य विकर्ण के साथ स्थित सभी मैट्रिक्स तत्व एक हो जाते हैं, और शेष शून्य हो जाते हैं।
- मैट्रिक्स की समानांतर पंक्तियों के संगत तत्वों को एक दूसरे से जोड़ा जा सकता है।
जॉर्डन-गॉस विधि
गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक सजातीय और अमानवीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने का सार अज्ञात को धीरे-धीरे समाप्त करना है। मान लीजिए कि हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें दो अज्ञात हैं। उन्हें ढूंढने के लिए, आपको संगतता के लिए सिस्टम की जांच करनी होगी। गॉस विधि द्वारा समीकरण को बहुत ही सरलता से हल किया जाता है। प्रत्येक अज्ञात के निकट स्थित गुणांकों को मैट्रिक्स रूप में लिखना आवश्यक है। सिस्टम को हल करने के लिए, आपको संवर्धित मैट्रिक्स लिखना होगा। यदि किसी समीकरण में अज्ञात की संख्या कम है, तो लुप्त तत्व के स्थान पर "0" लगाना होगा। सभी ज्ञात परिवर्तन विधियाँ मैट्रिक्स पर लागू होती हैं: गुणा, किसी संख्या से भाग, श्रृंखला के संबंधित तत्वों को एक दूसरे से जोड़ना, और अन्य। यह पता चला है कि प्रत्येक पंक्ति में "1" मान के साथ एक चर छोड़ना आवश्यक है, बाकी को घटाकर शून्य कर दिया जाना चाहिए। अधिक सटीक समझ के लिए गॉस विधि पर उदाहरण सहित विचार करना आवश्यक है।
2x2 प्रणाली को हल करने का एक सरल उदाहरण
आरंभ करने के लिए, आइए बीजगणितीय समीकरणों की एक सरल प्रणाली लें, जिसमें 2 अज्ञात होंगे।
आइए इसे एक संवर्धित मैट्रिक्स में फिर से लिखें।
रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए केवल दो संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। हमें मैट्रिक्स को विहित रूप में लाने की आवश्यकता है ताकि मुख्य विकर्ण के साथ इकाइयाँ हों। तो, मैट्रिक्स फॉर्म से वापस सिस्टम में अनुवाद करने पर, हमें समीकरण मिलते हैं: 1x+0y=b1 और 0x+1y=b2, जहां b1 और b2 हल करने की प्रक्रिया में प्राप्त उत्तर हैं।
- संवर्धित मैट्रिक्स को हल करने में पहला चरण इस प्रकार होगा: दूसरे समीकरण में एक अज्ञात से छुटकारा पाने के लिए पहली पंक्ति को -7 से गुणा किया जाना चाहिए और संबंधित तत्वों को क्रमशः दूसरी पंक्ति में जोड़ा जाना चाहिए।
- चूंकि गॉस विधि द्वारा समीकरणों का समाधान मैट्रिक्स को विहित रूप में लाने का तात्पर्य है, तो पहले समीकरण के साथ समान संचालन करना और दूसरे चर को हटाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाते हैं और आवश्यक उत्तर प्राप्त करते हैं - SLAE का समाधान। या, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम दूसरी पंक्ति को -1 के कारक से गुणा करते हैं और दूसरी पंक्ति के तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ते हैं। यह एक ही है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारा सिस्टम जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा हल किया गया है। हम इसे आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं: x=-5, y=7.
3x3 SLAE समाधान का एक उदाहरण
मान लीजिए कि हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक अधिक जटिल प्रणाली है। गॉस विधि सबसे भ्रमित करने वाली प्रणाली के लिए भी उत्तर की गणना करना संभव बनाती है। इसलिए, गणना पद्धति में गहराई से जाने के लिए, हम तीन अज्ञात के साथ एक अधिक जटिल उदाहरण पर आगे बढ़ सकते हैं।
पिछले उदाहरण की तरह, हम सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में फिर से लिखते हैं और इसे इसके विहित रूप में लाना शुरू करते हैं।
इस प्रणाली को हल करने के लिए, आपको पिछले उदाहरण की तुलना में बहुत अधिक कार्य करने की आवश्यकता होगी।
- सबसे पहले आपको पहले कॉलम को एक इकाई तत्व और बाकी को शून्य बनाना होगा। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को -1 से गुणा करें और उसमें दूसरा समीकरण जोड़ें। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि हम पहली पंक्ति को उसके मूल रूप में और दूसरी को संशोधित रूप में फिर से लिखते हैं।
- इसके बाद, हम तीसरे समीकरण से वही पहला अज्ञात हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति के तत्वों को -2 से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति में जोड़ते हैं। अब पहली और दूसरी पंक्तियों को उनके मूल रूप में फिर से लिखा गया है, और तीसरी - परिवर्तनों के साथ। जैसा कि आप परिणाम से देख सकते हैं, हमें मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण की शुरुआत में पहला और शेष शून्य मिला। कुछ और कदम, और गाऊसी विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को विश्वसनीय रूप से हल किया जाएगा।
- अब आपको पंक्तियों के अन्य तत्वों पर संचालन करने की आवश्यकता है। तीसरी और चौथी क्रिया को एक में जोड़ा जा सकता है। विकर्ण पर ऋणात्मक रेखाओं से छुटकारा पाने के लिए हमें दूसरी और तीसरी पंक्तियों को -1 से विभाजित करना होगा। हम तीसरी पंक्ति को पहले ही आवश्यक रूप में ला चुके हैं।
- आगे हम दूसरी पंक्ति को विहित रूप में लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को -3 से गुणा करते हैं और उन्हें मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ते हैं। परिणाम से यह स्पष्ट है कि दूसरी पंक्ति भी उस रूप में सिमट गई है जिसकी हमें आवश्यकता है। यह कुछ और ऑपरेशन करने और पहली पंक्ति से अज्ञात के गुणांक को हटाने के लिए बना हुआ है।
- किसी पंक्ति के दूसरे तत्व से 0 बनाने के लिए, आपको तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करना होगा और इसे पहली पंक्ति में जोड़ना होगा।
- अगला निर्णायक कदम दूसरी पंक्ति के आवश्यक तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ना होगा। इस तरह हमें मैट्रिक्स का विहित रूप मिलता है, और, तदनुसार, उत्तर।
जैसा कि आप देख सकते हैं, गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना काफी सरल है।
समीकरणों की 4x4 प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण
समीकरणों की कुछ और जटिल प्रणालियों को कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके गाऊसी पद्धति का उपयोग करके हल किया जा सकता है। मौजूदा खाली कोशिकाओं में अज्ञात के लिए गुणांक दर्ज करना आवश्यक है, और प्रोग्राम स्वयं चरण दर चरण प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन करते हुए आवश्यक परिणाम की गणना करेगा।
ऐसे उदाहरण को हल करने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश नीचे वर्णित हैं।
पहले चरण में, अज्ञात के लिए मुक्त गुणांक और संख्याएँ खाली कोशिकाओं में दर्ज की जाती हैं। इस प्रकार, हमें वही विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है जिसे हम मैन्युअल रूप से लिखते हैं।
और विस्तारित मैट्रिक्स को उसके विहित रूप में लाने के लिए सभी आवश्यक अंकगणितीय ऑपरेशन किए जाते हैं। यह समझना आवश्यक है कि समीकरणों की प्रणाली का उत्तर हमेशा पूर्णांक नहीं होता है। कभी-कभी समाधान भिन्नात्मक संख्याओं से हो सकता है।
समाधान की शुद्धता की जाँच करना
जॉर्डन-गॉस विधि परिणाम की शुद्धता की जांच करने का प्रावधान करती है। यह पता लगाने के लिए कि गुणांकों की गणना सही ढंग से की गई है या नहीं, आपको बस परिणाम को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करना होगा। समीकरण के बाएँ पक्ष को समान चिह्न के पीछे दाएँ पक्ष से मेल खाना चाहिए। यदि उत्तर मेल नहीं खाते हैं, तो आपको सिस्टम की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है या उस पर SLAE को हल करने का कोई अन्य तरीका लागू करने का प्रयास करें, जैसे कि प्रतिस्थापन या टर्म-दर-टर्म घटाव और जोड़। आख़िरकार, गणित एक विज्ञान है जिसमें बड़ी संख्या में विभिन्न समाधान विधियाँ हैं। लेकिन याद रखें: परिणाम हमेशा एक जैसा होना चाहिए, चाहे आपने कोई भी समाधान विधि इस्तेमाल की हो।
गॉस विधि: SLAEs को हल करते समय सबसे आम त्रुटियाँ
समीकरणों की रैखिक प्रणालियों को हल करते समय, त्रुटियाँ सबसे अधिक बार होती हैं, जैसे मैट्रिक्स रूप में गुणांकों का गलत स्थानांतरण। ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें किसी एक समीकरण में कुछ अज्ञात गायब हैं, फिर, डेटा को विस्तारित मैट्रिक्स में स्थानांतरित करने पर, वे खो सकते हैं। परिणामस्वरूप, इस प्रणाली को हल करते समय, परिणाम वास्तविक के अनुरूप नहीं हो सकता है।
मुख्य गलतियों में से एक अंतिम परिणाम को गलत तरीके से लिखना हो सकता है। यह स्पष्ट रूप से समझा जाना चाहिए कि पहला गुणांक सिस्टम से पहले अज्ञात के अनुरूप होगा, दूसरा - दूसरे के अनुरूप होगा, और इसी तरह।
गॉस विधि रैखिक समीकरणों के समाधान का विस्तार से वर्णन करती है। इसके लिए धन्यवाद, आवश्यक ऑपरेशन करना और सही परिणाम ढूंढना आसान है। इसके अलावा, यह किसी भी जटिलता के समीकरणों का विश्वसनीय उत्तर खोजने के लिए एक सार्वभौमिक उपकरण है। शायद इसीलिए SLAEs को हल करते समय इसका अक्सर उपयोग किया जाता है।
गाऊसी पद्धति की परिभाषा एवं विवरण
रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गाऊसी परिवर्तन विधि (जिसे समीकरण या मैट्रिक्स से अज्ञात चर के अनुक्रमिक उन्मूलन की विधि के रूप में भी जाना जाता है) बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि है। इस शास्त्रीय पद्धति का उपयोग व्युत्क्रम आव्यूह प्राप्त करने और मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने जैसी समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।
गॉसियन विधि का उपयोग करके परिवर्तन में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली में छोटे (प्राथमिक) अनुक्रमिक परिवर्तन करना शामिल है, जिससे समीकरणों की एक नई त्रिकोणीय प्रणाली के गठन के साथ ऊपर से नीचे तक चर का उन्मूलन होता है जो मूल के बराबर होता है एक।
परिभाषा 1
समाधान के इस भाग को फॉरवर्ड गॉसियन समाधान कहा जाता है, क्योंकि पूरी प्रक्रिया ऊपर से नीचे तक की जाती है।
समीकरणों की मूल प्रणाली को त्रिकोणीय बनाने के बाद, सिस्टम के सभी चर नीचे से ऊपर तक पाए जाते हैं (अर्थात, पाए गए पहले चर सिस्टम या मैट्रिक्स की अंतिम पंक्तियों पर सटीक रूप से स्थित होते हैं)। समाधान के इस भाग को गाऊसी समाधान के व्युत्क्रम के रूप में भी जाना जाता है। उनका एल्गोरिथ्म इस प्रकार है: सबसे पहले, समीकरणों या मैट्रिक्स की प्रणाली के निचले भाग के निकटतम चर की गणना की जाती है, फिर परिणामी मानों को उच्चतर प्रतिस्थापित किया जाता है और इस प्रकार एक और चर पाया जाता है, और इसी तरह।
गाऊसी विधि एल्गोरिथ्म का विवरण
गॉसियन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली के सामान्य समाधान के लिए क्रियाओं के अनुक्रम में SLAE के आधार पर मैट्रिक्स पर आगे और पीछे के स्ट्रोक को वैकल्पिक रूप से लागू करना शामिल है। मान लीजिए कि समीकरणों की प्रारंभिक प्रणाली का रूप निम्नलिखित है:
$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \... \ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(मामले)$
गॉसियन पद्धति का उपयोग करके SLAE को हल करने के लिए, समीकरणों की मूल प्रणाली को मैट्रिक्स के रूप में लिखना आवश्यक है:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & ... & a_(1n) \\ \vdots & ... & \vdots \\ a_(m1) & ... & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
मैट्रिक्स $A$ को मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है और क्रम में लिखे गए चर के गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है, और $b$ को इसके मुक्त शब्दों का कॉलम कहा जाता है। मुक्त पदों के एक कॉलम के साथ एक बार के माध्यम से लिखे गए मैट्रिक्स $A$ को विस्तारित मैट्रिक्स कहा जाता है:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & ... & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & ... & \vdots & ...\\ a_(m1) & ... & a_( एमएन) और बी_एम \end(सरणी)$
अब समीकरणों की प्रणाली (या मैट्रिक्स पर, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक है) पर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे निम्नलिखित रूप में लाना आवश्यक है:
$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \ ...\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)
समीकरण (1) के रूपांतरित सिस्टम के गुणांकों से प्राप्त मैट्रिक्स को स्टेप मैट्रिक्स कहा जाता है; स्टेप मैट्रिक्स आमतौर पर इस तरह दिखते हैं:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) और b_3 \end(सरणी)$
इन मैट्रिक्स को गुणों के निम्नलिखित सेट द्वारा दर्शाया गया है:
- इसकी सभी शून्य रेखाएँ गैर-शून्य रेखाओं के बाद आती हैं
- यदि $k$ संख्या वाले मैट्रिक्स की कुछ पंक्ति गैर-शून्य है, तो उसी मैट्रिक्स की पिछली पंक्ति में $k$ संख्या वाले इस मैट्रिक्स की तुलना में कम शून्य हैं।
चरण मैट्रिक्स प्राप्त करने के बाद, परिणामी चर को शेष समीकरणों (अंत से शुरू) में प्रतिस्थापित करना और चर के शेष मान प्राप्त करना आवश्यक है।
गॉस पद्धति का उपयोग करते समय बुनियादी नियम और अनुमत परिवर्तन
इस पद्धति का उपयोग करके मैट्रिक्स या समीकरणों की प्रणाली को सरल बनाते समय, आपको केवल प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।
ऐसे परिवर्तनों को ऐसे ऑपरेशन माना जाता है जिन्हें मैट्रिक्स या समीकरणों की प्रणाली पर इसका अर्थ बदले बिना लागू किया जा सकता है:
- कई पंक्तियों की पुनर्व्यवस्था,
- किसी मैट्रिक्स की एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति जोड़ना या घटाना,
- किसी स्ट्रिंग को शून्य के बराबर न होने वाले स्थिरांक से गुणा या विभाजित करना,
- सिस्टम की गणना और सरलीकरण की प्रक्रिया में प्राप्त केवल शून्य वाली एक पंक्ति को हटा दिया जाना चाहिए,
- आपको अनावश्यक आनुपातिक रेखाओं को हटाने की भी आवश्यकता है, सिस्टम के लिए केवल वही गुणांक चुनें जो आगे की गणना के लिए अधिक उपयुक्त और सुविधाजनक हो।
सभी प्राथमिक परिवर्तन प्रतिवर्ती हैं।
सरल गाऊसी परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करते समय उत्पन्न होने वाले तीन मुख्य मामलों का विश्लेषण
सिस्टम को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय तीन मामले सामने आते हैं:
- जब कोई प्रणाली असंगत होती है, अर्थात उसका कोई समाधान नहीं होता है
- समीकरणों की प्रणाली में एक समाधान होता है, और एक अद्वितीय होता है, और मैट्रिक्स में गैर-शून्य पंक्तियों और स्तंभों की संख्या एक दूसरे के बराबर होती है।
- सिस्टम में संभावित समाधानों की एक निश्चित संख्या या सेट होता है, और इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से कम होती है।
एक असंगत प्रणाली के साथ समाधान का परिणाम
इस विकल्प के लिए, गॉसियन विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स समीकरण को हल करते समय, समानता को पूरा करने की असंभवता के साथ कुछ रेखा प्राप्त करना विशिष्ट है। इसलिए, यदि कम से कम एक गलत समानता होती है, तो परिणामी और मूल प्रणालियों में समाधान नहीं होते हैं, भले ही उनमें अन्य समीकरण हों। असंगत मैट्रिक्स का एक उदाहरण:
$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$
अंतिम पंक्ति में एक असंभव समानता उत्पन्न हुई: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
समीकरणों की एक प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है
ये सिस्टम, एक चरण मैट्रिक्स में कम होने और शून्य वाली पंक्तियों को हटाने के बाद, मुख्य मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या रखते हैं। ऐसी प्रणाली का सबसे सरल उदाहरण यहां दिया गया है:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$
आइए इसे मैट्रिक्स के रूप में लिखें:
$\begin(सरणी)(cc|c) 1 और -1 और -5 \\ 2 और 1 और -7 \end(सरणी)$
दूसरी पंक्ति की पहली सेल को शून्य पर लाने के लिए, हम शीर्ष पंक्ति को $-2$ से गुणा करते हैं और इसे मैट्रिक्स की निचली पंक्ति से घटाते हैं, और शीर्ष पंक्ति को उसके मूल रूप में छोड़ देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें निम्नलिखित मिलता है :
$\begin(सरणी)(cc|c) 1 और -1 और -5 \\ 0 और 3 और 10 \end(सरणी)$
इस उदाहरण को एक सिस्टम के रूप में लिखा जा सकता है:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$
निचला समीकरण $x$ के लिए निम्नलिखित मान उत्पन्न करता है: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. इस मान को ऊपरी समीकरण में रखें: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, हमें $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ मिलता है।
कई संभावित समाधानों वाली एक प्रणाली
इस प्रणाली की विशेषता इसमें स्तंभों की संख्या की तुलना में महत्वपूर्ण पंक्तियों की कम संख्या है (मुख्य मैट्रिक्स की पंक्तियों को ध्यान में रखा जाता है)।
ऐसी प्रणाली में चर को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है: मूल और मुफ़्त। ऐसी प्रणाली को परिवर्तित करते समय, इसमें मौजूद मुख्य चर को बाएं क्षेत्र में "=" चिह्न तक छोड़ दिया जाना चाहिए, और शेष चर को समानता के दाईं ओर ले जाना चाहिए।
ऐसी प्रणाली का केवल एक निश्चित सामान्य समाधान होता है।
आइए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का विश्लेषण करें:
$\शुरू(मामले) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \अंत(मामले)$
आइए इसे मैट्रिक्स के रूप में लिखें:
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$
हमारा कार्य सिस्टम का सामान्य समाधान खोजना है। इस मैट्रिक्स के लिए, आधार चर $y_1$ और $y_3$ होंगे ($y_1$ के लिए - क्योंकि यह पहले आता है, और $y_3$ के मामले में - यह शून्य के बाद स्थित है)।
बुनियादी चर के रूप में, हम ठीक उन्हीं को चुनते हैं जो पंक्ति में पहले शून्य के बराबर नहीं हैं।
शेष चरों को मुक्त कहा जाता है, उनके माध्यम से हमें मूल चरों को व्यक्त करने की आवश्यकता होती है।
तथाकथित रिवर्स मूव का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम को नीचे से ऊपर तक अलग करते हैं, इसके लिए हम पहले सिस्टम की निचली रेखा से $y_3$ व्यक्त करते हैं:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
अब हम व्यक्त $y_3$ को सिस्टम के ऊपरी समीकरण $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ में प्रतिस्थापित करते हैं: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) +y_4 = 1$
हम $y_1$ को निःशुल्क चर $y_2$ और $y_4$ के रूप में व्यक्त करते हैं:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$
समाधान तैयार है.
उदाहरण 1
गॉसियन विधि का उपयोग करके स्लॉ को हल करें। उदाहरण। गॉस विधि का उपयोग करके 3 बटा 3 मैट्रिक्स द्वारा दिए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण
$\begin(केस) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(केस)$
आइए अपने सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में लिखें:
$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
अब, सुविधा और व्यावहारिकता के लिए, हमें मैट्रिक्स को बदलने की आवश्यकता है ताकि $1$ अंतिम कॉलम के ऊपरी कोने में हो।
ऐसा करने के लिए, हमें मध्य से $-1$ से गुणा की गई रेखा को पहली पंक्ति में जोड़ना होगा, और मध्य रेखा को वैसे ही लिखना होगा जैसे यह है:
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $
शीर्ष और अंतिम पंक्तियों को $-1$ से गुणा करें, और अंतिम और मध्य पंक्तियों को स्वैप करें:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$
और अंतिम पंक्ति को $3$ से विभाजित करें:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$
हमें मूल समीकरण के समतुल्य समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:
$\begin(केस) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(केस)$
ऊपरी समीकरण से हम $x_1$ व्यक्त करते हैं:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
उदाहरण 2
गॉसियन विधि का उपयोग करके 4 बाय 4 मैट्रिक्स का उपयोग करके परिभाषित प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण
$\begin(array)(cccc|c) 2 और 5 और 4 और 1 और 20 \\ 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 2 और 10 और 9 और 7 और 40\\ 3 और 8 और 9 और 2 और 37 \\ \end(सरणी)$।
शुरुआत में, हम ऊपरी बाएँ कोने में $1$ प्राप्त करने के लिए इसके बाद की शीर्ष पंक्तियों को स्वैप करते हैं:
$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 2 और 5 और 4 और 1 और 20 \\ 2 और 10 और 9 और 7 और 40\\ 3 और 8 और 9 और 2 और 37 \\ \end(सरणी)$।
अब शीर्ष पंक्ति को $-2$ से गुणा करें और दूसरे और तीसरे में जोड़ें। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे $-3$ से गुणा किया जाता है:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 और 3 और -1 और 4 \\ \end(सरणी)$
अब पंक्ति संख्या 3 में हम पंक्ति 2 को $4$ से गुणा करके जोड़ते हैं, और पंक्ति 4 में हम पंक्ति 2 को $-1$ से गुणा करके जोड़ते हैं।
$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और -1 और 0 और -1 और -2 \\ 0 और 0 और 5 और 1 और 10\\ 0 और 0 और 3 और 0 और 6 \\ \end(सरणी)$
हम पंक्ति 2 को $-1$ से गुणा करते हैं, और पंक्ति 4 को $3$ से विभाजित करते हैं और पंक्ति 3 को प्रतिस्थापित करते हैं।
$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और 1 और 0 और 1 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और 2\\ 0 और 0 और 5 और 1 और 10 \\ \end(सरणी)$
अब हम अंतिम पंक्ति में $-5$ से गुणा करके अंतिम पंक्ति जोड़ते हैं।
$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और 1 और 0 और 1 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और 2\\ 0 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ \end(सरणी)$
हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं:
$\begin(केस) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(केस)$
1. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली
1.1 रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली की अवधारणा
समीकरणों की एक प्रणाली एक ऐसी स्थिति है जिसमें कई चर के संबंध में कई समीकरणों का एक साथ निष्पादन होता है। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (इसके बाद SLAE के रूप में संदर्भित) की एक प्रणाली जिसमें m समीकरण और n अज्ञात होते हैं, को इस प्रकार की प्रणाली कहा जाता है:
जहाँ संख्या a ij को सिस्टम गुणांक कहा जाता है, संख्या b i को मुक्त पद कहा जाता है, ऐजऔर बी मैं(i=1,…, m; b=1,…, n) कुछ ज्ञात संख्याओं और x का प्रतिनिधित्व करते हैं 1 ,…, एक्स एन- अज्ञात। गुणांकों के पदनाम में ऐजपहला सूचकांक i समीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा j अज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है। संख्याएँ x n अवश्य मिलनी चाहिए। ऐसी प्रणाली को कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स रूप में लिखना सुविधाजनक है: एएक्स=बी.यहां ए सिस्टम गुणांक का मैट्रिक्स है, जिसे मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है;
- अज्ञात का कॉलम वेक्टर xj। मुक्त पदों द्वि का एक स्तंभ वेक्टर है।
मैट्रिक्स A*X का उत्पाद परिभाषित किया गया है, क्योंकि मैट्रिक्स A में उतने ही कॉलम हैं जितनी मैट्रिक्स X (n टुकड़े) में पंक्तियाँ हैं।
किसी सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स सिस्टम का मैट्रिक्स ए है, जो मुक्त शब्दों के एक कॉलम द्वारा पूरक है
1.2 रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना
समीकरणों की प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक क्रमबद्ध सेट (चर के मान) है, जब उन्हें चर के बजाय प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सिस्टम का प्रत्येक समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है।
किसी सिस्टम का समाधान अज्ञात x1=c1, x2=c2,…, xn=cn का n मान है, जिसके प्रतिस्थापन पर सिस्टम के सभी समीकरण वास्तविक समानता बन जाते हैं। सिस्टम के किसी भी समाधान को कॉलम मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है
समीकरणों की एक प्रणाली को सुसंगत कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक समाधान हो, और असंगत कहा जाता है यदि इसका कोई समाधान नहीं है।
एक सुसंगत प्रणाली को नियति कहा जाता है यदि इसका एक ही समाधान हो, और अनिश्चितकालीन कहा जाता है यदि इसका एक से अधिक समाधान हो। बाद के मामले में, इसके प्रत्येक समाधान को सिस्टम का एक विशेष समाधान कहा जाता है। सभी विशिष्ट समाधानों के समुच्चय को सामान्य समाधान कहा जाता है।
किसी सिस्टम को हल करने का अर्थ है यह पता लगाना कि यह संगत है या असंगत। यदि सिस्टम सुसंगत है, तो इसका सामान्य समाधान खोजें।
दो प्रणालियों को समतुल्य (समतुल्य) कहा जाता है यदि उनका सामान्य समाधान समान हो। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है, और इसके विपरीत।
एक परिवर्तन, जिसके अनुप्रयोग से एक प्रणाली मूल प्रणाली के समकक्ष एक नई प्रणाली में बदल जाती है, समतुल्य या समतुल्य परिवर्तन कहलाती है। समकक्ष परिवर्तनों के उदाहरणों में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं: किसी सिस्टम के दो समीकरणों को आपस में बदलना, सभी समीकरणों के गुणांकों के साथ दो अज्ञात को आपस में बदलना, किसी सिस्टम के किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है यदि सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों:
एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि x1=x2=x3=…=xn=0 प्रणाली का एक समाधान है। इस समाधान को शून्य या तुच्छ कहा जाता है।
2. गाऊसी उन्मूलन विधि
2.1 गाऊसी उन्मूलन विधि का सार
रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की शास्त्रीय विधि अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है - गॉस विधि(इसे गाऊसी उन्मूलन विधि भी कहा जाता है)। यह चरों के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है, जब, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरण (या त्रिकोणीय) रूप की समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसमें से अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, अंतिम से शुरू करते हुए (द्वारा) संख्या) चर।
गॉसियन विधि का उपयोग करके समाधान प्रक्रिया में दो चरण होते हैं: आगे और पीछे की चाल।
1. सीधी चाल.
पहले चरण में, तथाकथित प्रत्यक्ष चाल को अंजाम दिया जाता है, जब, पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से, सिस्टम को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय आकार में लाया जाता है, या यह स्थापित किया जाता है कि सिस्टम असंगत है। अर्थात्, मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों में से, एक गैर-शून्य तत्व का चयन करें, इसे पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके सबसे ऊपर की स्थिति में ले जाएं, और पुनर्व्यवस्था के बाद शेष पंक्तियों से परिणामी पहली पंक्ति को घटाएं, इसे एक मान से गुणा करें इनमें से प्रत्येक पंक्ति के पहले तत्व और पहली पंक्ति के पहले तत्व के अनुपात के बराबर, इस प्रकार उसके नीचे के कॉलम को शून्य कर दिया जाता है।
इन परिवर्तनों के पूरा होने के बाद, पहली पंक्ति और पहले कॉलम को मानसिक रूप से काट दिया जाता है और तब तक जारी रखा जाता है जब तक कि शून्य आकार का मैट्रिक्स न रह जाए। यदि किसी भी पुनरावृत्ति पर पहले कॉलम के तत्वों के बीच कोई गैर-शून्य तत्व नहीं है, तो अगले कॉलम पर जाएं और एक समान ऑपरेशन करें।
पहले चरण (प्रत्यक्ष स्ट्रोक) में, सिस्टम को चरणबद्ध (विशेष रूप से, त्रिकोणीय) रूप में घटा दिया जाता है।
नीचे दी गई प्रणाली का चरणबद्ध रूप है:
,
गुणांक aii को सिस्टम के मुख्य (अग्रणी) तत्व कहा जाता है।
(यदि a11=0, तो मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि ए 11 0 के बराबर नहीं था। यह हमेशा संभव है, क्योंकि अन्यथा मैट्रिक्स में शून्य कॉलम होता है, इसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है और सिस्टम असंगत होता है)।आइए पहले (सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके) को छोड़कर सभी समीकरणों में अज्ञात x1 को हटाकर सिस्टम को बदल दें। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें
और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ पद दर पद जोड़ें (या दूसरे समीकरण से पद दर पद घटाएं, पहले से गुणा करें)। फिर हम पहले समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करते हैं और उन्हें सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ते हैं (या तीसरे से हम पहले वाले को इससे गुणा करके घटाते हैं)। इस प्रकार, हम क्रमिक रूप से पहली पंक्ति को एक संख्या से गुणा करते हैं और जोड़ते हैं मैं-वीं पंक्ति, के लिए मैं= 2, 3, …,एन।इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है:
- सिस्टम के अंतिम एम-1 समीकरणों में अज्ञात और मुक्त पदों के लिए गुणांक के नए मान, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं: इस प्रकार, पहले चरण में, पहले अग्रणी तत्व 11 के अंतर्गत आने वाले सभी गुणांक नष्ट हो जाते हैं
0, दूसरे चरण में दूसरे प्रमुख तत्व ए 22 (1) के नीचे पड़े तत्व नष्ट हो जाते हैं (यदि ए 22 (1) 0), आदि। इस प्रक्रिया को आगे जारी रखते हुए, हम अंततः, (m-1) चरण पर, मूल प्रणाली को एक त्रिकोणीय प्रणाली में बदल देते हैं।यदि, सिस्टम को चरणबद्ध रूप में कम करने की प्रक्रिया में, शून्य समीकरण दिखाई देते हैं, अर्थात। फॉर्म 0=0 की समानताएं, उन्हें खारिज कर दिया जाता है। यदि प्रपत्र का एक समीकरण प्रकट होता है
तो यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है। यहीं पर गॉस की पद्धति की सीधी प्रगति समाप्त होती है।
2. रिवर्स स्ट्रोक.
दूसरे चरण में, तथाकथित रिवर्स चाल को अंजाम दिया जाता है, जिसका सार सभी परिणामी बुनियादी चर को गैर-बुनियादी चर के रूप में व्यक्त करना और समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करना है, या, यदि सभी चर बुनियादी हैं , फिर रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एकमात्र समाधान संख्यात्मक रूप से व्यक्त करें।
यह प्रक्रिया अंतिम समीकरण से शुरू होती है, जिसमें से संबंधित मूल चर को व्यक्त किया जाता है (इसमें केवल एक ही है) और पिछले समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, और इसी तरह, "चरणों" तक बढ़ते हुए।
प्रत्येक पंक्ति बिल्कुल एक आधार चर से मेल खाती है, इसलिए अंतिम (सबसे ऊपरी) को छोड़कर हर चरण पर, स्थिति बिल्कुल अंतिम पंक्ति के मामले को दोहराती है।
ध्यान दें: व्यवहार में, सिस्टम के साथ नहीं, बल्कि इसके विस्तारित मैट्रिक्स के साथ, इसकी पंक्तियों पर सभी प्राथमिक परिवर्तन करते हुए काम करना अधिक सुविधाजनक है। गुणांक a11 का 1 के बराबर होना सुविधाजनक है (समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें, या समीकरण के दोनों पक्षों को a11 से विभाजित करें)।
2.2 गॉसियन विधि का उपयोग करके SLAE को हल करने के उदाहरण
इस अनुभाग में, तीन अलग-अलग उदाहरणों का उपयोग करके, हम दिखाएंगे कि गाऊसी विधि SLAE को कैसे हल कर सकती है।
उदाहरण 1. तीसरे क्रम का SLAE हल करें।
आइए गुणांकों को यहां रीसेट करें
दूसरी और तीसरी पंक्ति में. ऐसा करने के लिए, उन्हें क्रमशः 2/3 और 1 से गुणा करें, और उन्हें पहली पंक्ति में जोड़ें:
यहां आप रैखिक समीकरणों की प्रणाली को निःशुल्क हल कर सकते हैं गॉस विधि ऑनलाइनबहुत विस्तृत समाधान के साथ सम्मिश्र संख्याओं में बड़े आकार। हमारा कैलकुलेटर गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की सामान्य निश्चित और अनिश्चित दोनों प्रणालियों को ऑनलाइन हल कर सकता है, जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस मामले में, उत्तर में आपको कुछ चरों की निर्भरता अन्य, मुक्त चरों के माध्यम से प्राप्त होगी। आप गॉसियन समाधान का उपयोग करके स्थिरता के लिए समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन भी जांच सकते हैं।
विधि के बारे में
गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन हल करते समय, निम्नलिखित चरण निष्पादित किए जाते हैं।
- हम विस्तारित मैट्रिक्स लिखते हैं.
- वास्तव में, समाधान को गॉसियन विधि के आगे और पीछे के चरणों में विभाजित किया गया है। गॉसियन विधि का सीधा दृष्टिकोण एक मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करना है। गॉसियन विधि का उलटा एक मैट्रिक्स को एक विशेष चरणबद्ध रूप में कम करना है। लेकिन व्यवहार में, प्रश्न में तत्व के ऊपर और नीचे दोनों जगह जो स्थित है उसे तुरंत शून्य करना अधिक सुविधाजनक है। हमारा कैलकुलेटर बिल्कुल इसी दृष्टिकोण का उपयोग करता है।
- यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करते समय, मैट्रिक्स में गैर-शून्य दाईं ओर (मुक्त शब्दों का स्तंभ) के साथ कम से कम एक शून्य पंक्ति की उपस्थिति सिस्टम की असंगतता को इंगित करती है। इस मामले में, रैखिक प्रणाली का कोई समाधान मौजूद नहीं है।
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