4डी क्यूब एनिमेशन। बहुआयामी अंतरिक्ष में कदम रखें

बाकलयार मारिया

एक चार-आयामी घन (टेसेरैक्ट) की अवधारणा को प्रस्तुत करने के तरीकों, इसकी संरचना और कुछ गुणों का अध्ययन किया जाता है। यह सवाल कि जब एक चार-आयामी घन को उसके तीन-आयामी चेहरों के समानांतर हाइपरप्लेन द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो कौन सी त्रि-आयामी वस्तुएं प्राप्त होती हैं , साथ ही इसके मुख्य विकर्ण के लंबवत हाइपरप्लेन को भी संबोधित किया जाता है। अनुसंधान के लिए प्रयुक्त बहुआयामी विश्लेषणात्मक ज्यामिति के उपकरण पर विचार किया जाता है।

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पूर्व दर्शन:

परिचय…………………………………………………………………….2

मुख्य भाग……………………………………………………..4

निष्कर्ष………….. ………………………………………………..12

सन्दर्भ……………………………………………….13

परिचय

चार-आयामी अंतरिक्ष ने लंबे समय से पेशेवर गणितज्ञों और इस विज्ञान का अध्ययन करने से दूर लोगों दोनों का ध्यान आकर्षित किया है। चौथे आयाम में रुचि इस धारणा के कारण हो सकती है कि हमारी त्रि-आयामी दुनिया चार-आयामी अंतरिक्ष में "डूबी" है, जैसे एक विमान त्रि-आयामी अंतरिक्ष में "डूबा" है, एक सीधी रेखा एक में "डूबी" है समतल, और एक बिंदु एक सीधी रेखा में है। इसके अलावा, सापेक्षता के आधुनिक सिद्धांत (तथाकथित स्पेस-टाइम या मिन्कोव्स्की स्पेस) में चार-आयामी स्थान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, और इसे एक विशेष मामला भी माना जा सकता हैआयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष (के साथ)).

एक चार-आयामी घन (टेसेरैक्ट) चार-आयामी अंतरिक्ष में एक वस्तु है जिसका अधिकतम संभव आयाम होता है (जैसे एक साधारण घन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक वस्तु है)। ध्यान दें कि यह प्रत्यक्ष रुचि का भी है, अर्थात्, यह रैखिक प्रोग्रामिंग की अनुकूलन समस्याओं में दिखाई दे सकता है (एक ऐसे क्षेत्र के रूप में जिसमें चार चर के रैखिक फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम पाया जाता है), और इसका उपयोग डिजिटल माइक्रोइलेक्ट्रॉनिक में भी किया जाता है (जब इलेक्ट्रॉनिक घड़ी डिस्प्ले के संचालन की प्रोग्रामिंग करना)। इसके अलावा, चार-आयामी घन का अध्ययन करने की प्रक्रिया ही स्थानिक सोच और कल्पना के विकास में योगदान करती है।

नतीजतन, चार-आयामी घन की संरचना और विशिष्ट गुणों का अध्ययन काफी प्रासंगिक है। यह ध्यान देने योग्य है कि संरचना के संदर्भ में, चार-आयामी घन का काफी अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। विभिन्न हाइपरप्लेन द्वारा इसके अनुभागों की प्रकृति अधिक दिलचस्प है। इस प्रकार, इस कार्य का मुख्य लक्ष्य टेसेरैक्ट की संरचना का अध्ययन करना है, साथ ही इस प्रश्न को स्पष्ट करना है कि यदि चार-आयामी घन को उसके तीन में से किसी एक के समानांतर हाइपरप्लेन द्वारा विच्छेदित किया जाए तो कौन सी त्रि-आयामी वस्तुएं प्राप्त होंगी। आयामी फलक, या इसके मुख्य विकर्ण के लंबवत हाइपरप्लेन द्वारा। चार-आयामी अंतरिक्ष में एक हाइपरप्लेन को त्रि-आयामी उप-स्थान कहा जाएगा। हम कह सकते हैं कि एक समतल पर एक सीधी रेखा एक आयामी हाइपरप्लेन है, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक समतल एक द्वि-आयामी हाइपरप्लेन है।

लक्ष्य ने अध्ययन के उद्देश्यों को निर्धारित किया:

1) बहुआयामी विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मूल तथ्यों का अध्ययन करें;

2) 0 से 3 तक आयामों वाले घनों के निर्माण की विशेषताओं का अध्ययन करें;

3) चार आयामी घन की संरचना का अध्ययन करें;

4) विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय रूप से एक चार-आयामी घन का वर्णन करें;

5) त्रि-आयामी और चार-आयामी क्यूब्स के विकास और केंद्रीय प्रक्षेपण के मॉडल बनाएं।

6) बहुआयामी विश्लेषणात्मक ज्यामिति के उपकरण का उपयोग करते हुए, इसके त्रि-आयामी चेहरों में से एक के समानांतर हाइपरप्लेन, या इसके मुख्य विकर्ण के लंबवत हाइपरप्लेन के साथ चार-आयामी क्यूब के चौराहे से उत्पन्न त्रि-आयामी वस्तुओं का वर्णन करें।

इस तरह से प्राप्त जानकारी हमें टेसेरैक्ट की संरचना को बेहतर ढंग से समझने के साथ-साथ विभिन्न आयामों के क्यूब्स की संरचना और गुणों में गहरी समानता की पहचान करने की अनुमति देगी।

मुख्य हिस्सा

सबसे पहले, हम उस गणितीय उपकरण का वर्णन करते हैं जिसका उपयोग हम इस अध्ययन के दौरान करेंगे।

1) वेक्टर निर्देशांक: यदि, वह

2) एक सामान्य वेक्टर के साथ हाइपरप्लेन का समीकरणयहाँ जैसा दिखता है

3) विमान और यदि और केवल यदि समानान्तर हैं

4) दो बिंदुओं के बीच की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है: यदि, वह

5) सदिशों की रूढ़िवादिता के लिए शर्त:

सबसे पहले, आइए जानें कि चार-आयामी घन का वर्णन कैसे करें। यह दो तरीकों से किया जा सकता है - ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक।

यदि हम निर्दिष्ट करने की ज्यामितीय विधि के बारे में बात करते हैं, तो शून्य आयाम से शुरू करके, क्यूब्स के निर्माण की प्रक्रिया का पता लगाना उचित है। शून्य आयाम का एक घन एक बिंदु है (वैसे, ध्यान दें कि एक बिंदु शून्य आयाम की गेंद की भूमिका भी निभा सकता है)। इसके बाद, हम पहले आयाम (एक्स-अक्ष) का परिचय देते हैं और संबंधित अक्ष पर हम एक दूसरे से 1 की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं (दो शून्य-आयामी क्यूब्स) को चिह्नित करते हैं। परिणाम एक खंड है - एक आयामी घन। आइए तुरंत एक विशिष्ट विशेषता पर ध्यान दें: एक-आयामी घन (खंड) की सीमा (छोर) दो शून्य-आयामी घन (दो बिंदु) हैं। इसके बाद, हम दूसरे आयाम (ऑर्डिनेट अक्ष) और समतल पर परिचय देते हैंआइए दो एक-आयामी घन (दो खंड) बनाएं, जिनके सिरे एक दूसरे से 1 की दूरी पर हों (वास्तव में, खंडों में से एक दूसरे का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है)। खंडों के संगत सिरों को जोड़कर, हमें एक वर्ग प्राप्त होता है - एक द्वि-आयामी घन। फिर, ध्यान दें कि एक द्वि-आयामी घन (वर्ग) की सीमा चार एक-आयामी घन (चार खंड) है। अंत में, हम तीसरे आयाम (अनुप्रयोग अक्ष) का परिचय देते हैं और अंतरिक्ष में निर्माण करते हैंदो वर्ग इस प्रकार बनाएं कि उनमें से एक दूसरे का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण हो (वर्गों के संगत शीर्ष एक दूसरे से 1 की दूरी पर हों)। आइए संबंधित शीर्षों को खंडों से जोड़ें - हमें एक त्रि-आयामी घन मिलता है। हम देखते हैं कि एक त्रि-आयामी घन की सीमा छह द्वि-आयामी घन (छह वर्ग) है। वर्णित निर्माण हमें निम्नलिखित पैटर्न की पहचान करने की अनुमति देते हैं: प्रत्येक चरण परआयामी घन "चलता है, एक निशान छोड़ता है"।ई माप 1 की दूरी पर है, जबकि गति की दिशा घन के लंबवत है। यह इस प्रक्रिया की औपचारिक निरंतरता है जो हमें चार-आयामी घन की अवधारणा पर पहुंचने की अनुमति देती है। अर्थात्, हम त्रि-आयामी घन को 1 की दूरी पर चौथे आयाम (घन के लंबवत) की दिशा में चलने के लिए बाध्य करेंगे। पिछले एक के समान कार्य करते हुए, अर्थात, घनों के संगत शीर्षों को जोड़कर, हम एक चार-आयामी घन प्राप्त करेंगे। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ज्यामितीय रूप से हमारे अंतरिक्ष में ऐसा निर्माण असंभव है (क्योंकि यह त्रि-आयामी है), लेकिन यहां तार्किक दृष्टिकोण से हमें कोई विरोधाभास नहीं मिलता है। आइए अब चार-आयामी घन के विश्लेषणात्मक विवरण पर आगे बढ़ें। सादृश्य का उपयोग करके इसे औपचारिक रूप से भी प्राप्त किया जाता है। तो, शून्य-आयामी इकाई घन के विश्लेषणात्मक विनिर्देश का रूप है:

एक-आयामी इकाई घन के विश्लेषणात्मक कार्य का रूप है:

द्वि-आयामी इकाई घन के विश्लेषणात्मक कार्य का रूप है:

त्रि-आयामी इकाई घन के विश्लेषणात्मक कार्य का रूप है:

अब चार-आयामी घन का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व देना बहुत आसान है, अर्थात्:

जैसा कि हम देख सकते हैं, चार-आयामी घन को परिभाषित करने के लिए ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक दोनों तरीकों में सादृश्य की विधि का उपयोग किया गया।

अब, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के उपकरण का उपयोग करके, हम पता लगाएंगे कि चार-आयामी घन की संरचना क्या है। सबसे पहले, आइए जानें कि इसमें कौन से तत्व शामिल हैं। यहां फिर से हम एक सादृश्य (एक परिकल्पना को सामने रखने के लिए) का उपयोग कर सकते हैं। एक-आयामी घन की सीमाएँ बिंदु (शून्य-आयामी घन), दो-आयामी घन की सीमाएँ - खंड (एक-आयामी घन), त्रि-आयामी घन की - वर्ग (द्वि-आयामी फलक) हैं। यह माना जा सकता है कि टेसेरैक्ट की सीमाएँ त्रि-आयामी घन हैं। इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम स्पष्ट करें कि शीर्षों, किनारों और फलकों से क्या तात्पर्य है। किसी घन के शीर्ष उसके कोने बिंदु होते हैं। अर्थात्, शीर्षों के निर्देशांक शून्य या एक हो सकते हैं। इस प्रकार, घन के आयाम और उसके शीर्षों की संख्या के बीच एक संबंध प्रकट होता है। आइए संयोजन उत्पाद नियम लागू करें - शीर्ष के बाद सेमापा घन बिल्कुल हैनिर्देशांक, जिनमें से प्रत्येक शून्य या एक (अन्य सभी से स्वतंत्र) के बराबर है, तो कुल मिलाकर वहाँ हैचोटियों इस प्रकार, किसी भी शीर्ष के लिए सभी निर्देशांक निश्चित हैं और बराबर हो सकते हैंया . यदि हम सभी निर्देशांकों को ठीक कर लें (उनमें से प्रत्येक को बराबर रखकर)।या , दूसरों की परवाह किए बिना), एक को छोड़कर, हम घन के किनारों वाली सीधी रेखाएँ प्राप्त करते हैं। पिछले वाले के समान, आप गिन सकते हैं कि बिल्कुल वही हैंचीज़ें। और यदि अब हम सभी निर्देशांकों को ठीक कर लें (उनमें से प्रत्येक को बराबर रखकर)।या , दूसरों से स्वतंत्र), कुछ दो को छोड़कर, हमें घन के द्वि-आयामी फलकों वाले तल प्राप्त होते हैं। कॉम्बिनेटरिक्स के नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि बिल्कुल हैंचीज़ें। अगला, इसी तरह - सभी निर्देशांक को ठीक करना (उनमें से प्रत्येक को बराबर रखना)।या , दूसरों से स्वतंत्र), कुछ तीन को छोड़कर, हम घन के त्रि-आयामी चेहरों वाले हाइपरप्लेन प्राप्त करते हैं। उसी नियम का उपयोग करके, हम उनकी संख्या की गणना करते हैं - बिल्कुलवगैरह। यह हमारे शोध के लिए पर्याप्त होगा। आइए प्राप्त परिणामों को चार-आयामी घन की संरचना पर लागू करें, अर्थात्, हमारे द्वारा लगाए गए सभी व्युत्पन्न सूत्रों में. इसलिए, एक चार-आयामी घन में: 16 शीर्ष, 32 किनारे, 24 द्वि-आयामी फलक और 8 त्रि-आयामी फलक होते हैं। स्पष्टता के लिए, आइए हम इसके सभी तत्वों को विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित करें।

चार-आयामी घन के शीर्ष:

चार आयामी घन के किनारे ():

चार-आयामी घन के द्वि-आयामी फलक (समान प्रतिबंध):

चार-आयामी घन के त्रि-आयामी फलक (समान प्रतिबंध):

अब जब चार-आयामी घन की संरचना और इसे परिभाषित करने के तरीकों का पर्याप्त विस्तार से वर्णन किया गया है, तो आइए हम मुख्य लक्ष्य के कार्यान्वयन के लिए आगे बढ़ें - घन के विभिन्न वर्गों की प्रकृति को स्पष्ट करने के लिए। आइए प्राथमिक मामले से शुरू करें जब एक घन के खंड उसके त्रि-आयामी चेहरों में से एक के समानांतर होते हैं। उदाहरण के लिए, चेहरे के समानांतर हाइपरप्लेन वाले इसके अनुभागों पर विचार करेंविश्लेषणात्मक ज्यामिति से यह ज्ञात होता है कि ऐसा कोई भी अनुभाग समीकरण द्वारा दिया जाएगाआइए हम संबंधित अनुभागों को विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित करें:

जैसा कि हम देख सकते हैं, हमने हाइपरप्लेन में पड़े त्रि-आयामी इकाई घन के लिए एक विश्लेषणात्मक विनिर्देश प्राप्त किया है

सादृश्य स्थापित करने के लिए, आइए हम एक समतल द्वारा त्रि-आयामी घन का अनुभाग लिखेंहम पाते हैं:

यह समतल में पड़ा हुआ एक वर्ग है. सादृश्य स्पष्ट है.

हाइपरप्लेन द्वारा चार-आयामी घन के अनुभागबिल्कुल समान परिणाम दें. ये भी हाइपरप्लेन में पड़े एकल त्रि-आयामी घन होंगेक्रमश।

आइए अब एक चार-आयामी घन के खंडों पर विचार करें, जिसके मुख्य विकर्ण पर हाइपरप्लेन लंबवत हैं। सबसे पहले, आइए त्रि-आयामी घन के लिए इस समस्या को हल करें। एक इकाई त्रि-आयामी घन को परिभाषित करने की उपरोक्त वर्णित विधि का उपयोग करते हुए, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि मुख्य विकर्ण के रूप में, उदाहरण के लिए, सिरों वाला एक खंड लिया जा सकता है।और . इसका मतलब है कि मुख्य विकर्ण के वेक्टर में निर्देशांक होंगे. इसलिए, मुख्य विकर्ण के लंबवत किसी भी विमान का समीकरण होगा:

आइए पैरामीटर परिवर्तन की सीमाएं निर्धारित करें. क्योंकि , फिर, इन असमानताओं को पद दर पद जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या ।

तो अगर (प्रतिबंधों के कारण)। इसी प्रकार - यदि, वह । तो, कब और कब काटने वाले तल और घन में बिल्कुल एक उभयनिष्ठ बिंदु है (और क्रमश)। अब आइए निम्नलिखित पर ध्यान दें। अगर(फिर से परिवर्तनशील सीमाओं के कारण)। संगत तल एक साथ तीन फलकों को प्रतिच्छेद करते हैं, क्योंकि, अन्यथा, काटने वाला तल उनमें से एक के समानांतर होगा, जो कि स्थिति के अनुसार नहीं होता है। अगर, तो समतल घन के सभी फलकों को काटता है। अगर, फिर समतल फलकों को काटता है. आइए हम संबंधित गणनाएँ प्रस्तुत करें।

होने देना फिर विमानरेखा पार करता हैएक सीधी रेखा में, और. इसके अलावा किनारा. किनारा विमान एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करता है, और

होने देना फिर विमानरेखा पार करता है:

एक सीधी रेखा में किनारा, और।

एक सीधी रेखा में किनारा, और।

एक सीधी रेखा में किनारा, और।

एक सीधी रेखा में किनारा, और।

एक सीधी रेखा में किनारा, और।

एक सीधी रेखा में किनारा, और।

इस बार हमें छह खंड मिले हैं जिनके क्रमिक रूप से सामान्य सिरे हैं:

होने देना फिर विमानरेखा पार करता हैएक सीधी रेखा में, और. किनारा विमान एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करता है, और । किनारा विमान एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करता है, और . अर्थात्, हमें तीन खंड मिलते हैं जिनके जोड़ीवार उभयनिष्ठ सिरे होते हैं:इस प्रकार, निर्दिष्ट पैरामीटर मानों के लिएसमतल घन को शीर्षों वाले नियमित त्रिभुज के अनुदिश काटेगा

तो, यहां प्राप्त समतल आकृतियों का एक व्यापक विवरण दिया गया है जब एक घन को उसके मुख्य विकर्ण पर लंबवत एक समतल द्वारा काटा जाता है। मुख्य विचार इस प्रकार था. यह समझना आवश्यक है कि समतल किस फलक पर प्रतिच्छेद करता है, यह किस फलक पर उन्हें प्रतिच्छेद करता है, और ये समुच्चय एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, यदि यह पता चला कि विमान उन खंडों के साथ बिल्कुल तीन चेहरों को काटता है जिनके जोड़े में सामान्य छोर हैं, तो खंड एक समबाहु त्रिभुज है (जो सीधे खंडों की लंबाई की गणना करके सिद्ध होता है), जिसके शीर्ष ये छोर हैं खंडों का.

एक ही उपकरण और अनुभागों के अध्ययन के एक ही विचार का उपयोग करके, निम्नलिखित तथ्यों को पूरी तरह से समान तरीके से निकाला जा सकता है:

1) चार-आयामी इकाई घन के मुख्य विकर्णों में से एक के वेक्टर में निर्देशांक होते हैं

2) चार-आयामी घन के मुख्य विकर्ण के लंबवत किसी भी हाइपरप्लेन को इस रूप में लिखा जा सकता है.

3) एक सेकंड हाइपरप्लेन के समीकरण में, पैरामीटर0 से 4 तक भिन्न हो सकते हैं;

4) कब और एक छेदक हाइपरप्लेन और एक चार-आयामी घन में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है (और क्रमश);

5) कब क्रॉस सेक्शन एक नियमित टेट्राहेड्रोन का उत्पादन करेगा;

6) कब क्रॉस-सेक्शन में परिणाम एक अष्टफलक होगा;

7) कब क्रॉस सेक्शन एक नियमित टेट्राहेड्रोन का उत्पादन करेगा।

तदनुसार, यहां हाइपरप्लेन टेसेरैक्ट को एक विमान के साथ काटता है, जिस पर, चर की सीमाओं के कारण, एक त्रिकोणीय क्षेत्र आवंटित किया जाता है (एक सादृश्य - विमान घन को एक सीधी रेखा के साथ काटता है, जिस पर, की बाधाओं के कारण) चर, एक खंड आवंटित किया गया था)। मामले 5 में) हाइपरप्लेन टेसेरैक्ट के बिल्कुल चार त्रि-आयामी चेहरों को काटता है, यानी, चार त्रिकोण प्राप्त होते हैं जिनमें जोड़ीदार आम पक्ष होते हैं, दूसरे शब्दों में, एक टेट्राहेड्रॉन बनाते हैं (इसकी गणना कैसे की जा सकती है यह सही है)। मामले 6 में), हाइपरप्लेन टेसेरैक्ट के ठीक आठ त्रि-आयामी चेहरों को काटता है, यानी, आठ त्रिकोण प्राप्त होते हैं जिनकी क्रमिक रूप से सामान्य भुजाएं होती हैं, दूसरे शब्दों में, एक ऑक्टाहेड्रोन बनाते हैं। केस 7) पूरी तरह से केस 5 के समान है)।

आइए इसे एक विशिष्ट उदाहरण से स्पष्ट करें। अर्थात्, हम एक हाइपरप्लेन द्वारा चार-आयामी घन के अनुभाग का अध्ययन करते हैंपरिवर्तनीय प्रतिबंधों के कारण, यह हाइपरप्लेन निम्नलिखित त्रि-आयामी चेहरों को काटता है:किनारा एक समतल के साथ प्रतिच्छेद करता हैचरों की सीमाओं के कारण, हमारे पास है:हमें शीर्षों वाला एक त्रिभुजाकार क्षेत्र मिलता हैआगे,हमें एक त्रिभुज मिलता हैजब एक हाइपरप्लेन एक चेहरे को काटता हैहमें एक त्रिभुज मिलता हैजब एक हाइपरप्लेन एक चेहरे को काटता हैहमें एक त्रिभुज मिलता हैइस प्रकार, चतुष्फलक के शीर्षों में निम्नलिखित निर्देशांक होते हैं. जैसा कि गणना करना आसान है, यह चतुष्फलक वास्तव में नियमित है।

निष्कर्ष

तो, इस शोध की प्रक्रिया में, बहुआयामी विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बुनियादी तथ्यों का अध्ययन किया गया, 0 से 3 तक के आयामों के घनों के निर्माण की विशेषताओं का अध्ययन किया गया, एक चार-आयामी घन की संरचना का अध्ययन किया गया, एक चार-आयामी घन था विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय रूप से वर्णित, त्रि-आयामी और चार-आयामी क्यूब्स के विकास और केंद्रीय प्रक्षेपण के मॉडल बनाए गए थे, त्रि-आयामी क्यूब्स का विश्लेषणात्मक रूप से वर्णन किया गया था, जो चार-आयामी क्यूब के चौराहे के परिणामस्वरूप हाइपरप्लेन के साथ इसके तीन-आयामी में से एक के समानांतर था। आयामी फलक, या इसके मुख्य विकर्ण के लंबवत हाइपरप्लेन के साथ।

किए गए शोध से विभिन्न आयामों के घनों की संरचना और गुणों में गहरी सादृश्यता की पहचान करना संभव हो गया। प्रयुक्त सादृश्य तकनीक को अनुसंधान में लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए,आयामी क्षेत्र याआयामी सिम्प्लेक्स. अर्थात्,एक आयामी क्षेत्र को बिंदुओं के एक समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैकिसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ आयामी स्थान, जिसे गोले का केंद्र कहा जाता है। आगे,एक आयामी सिम्प्लेक्स को एक भाग के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैन्यूनतम संख्या द्वारा सीमित आयामी स्थानआयामी हाइपरप्लेन. उदाहरण के लिए, एक-आयामी सिम्प्लेक्स एक खंड है (एक-आयामी अंतरिक्ष का एक हिस्सा, दो बिंदुओं द्वारा सीमित), एक दो-आयामी सिंप्लेक्स एक त्रिकोण है (दो-आयामी अंतरिक्ष का एक हिस्सा, तीन रेखाओं द्वारा सीमित), ए त्रि-आयामी सिम्प्लेक्स एक टेट्राहेड्रोन (त्रि-आयामी अंतरिक्ष का एक हिस्सा, चार विमानों द्वारा सीमित) है। अंत में,हम आयामी सिम्प्लेक्स को भाग के रूप में परिभाषित करते हैंआयामी स्थान, सीमितआयाम का हाइपरप्लेन.

ध्यान दें कि, विज्ञान के कुछ क्षेत्रों में टेसेरैक्ट के असंख्य अनुप्रयोगों के बावजूद, यह शोध अभी भी काफी हद तक एक गणितीय अध्ययन है।

ग्रन्थसूची

1) बुग्रोव हां.एस., निकोल्स्की एस.एम.उच्च गणित, खंड 1 - एम.: बस्टर्ड, 2005 - 284 पी।

2) क्वांटम. चार-आयामी घन / दुज़हिन एस., रूबत्सोव वी., नंबर 6, 1986।

3) क्वांटम. कैसे आकर्षित करने के लिए आयामी घन / डेमिडोविच एन.बी., संख्या 8, 1974।

हाइपरक्यूब और प्लेटोनिक ठोस

"वेक्टर" प्रणाली में एक काटे गए इकोसाहेड्रोन ("सॉकर बॉल") का मॉडल बनाएं
जिसमें प्रत्येक पंचभुज षट्कोण से घिरा है

कटा हुआ इकोसाहेड्रोननियमित पंचकोण के रूप में फलक बनाने के लिए 12 शीर्षों को काटकर प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, नए बहुफलक के शीर्षों की संख्या 5 गुना (12×5=60) बढ़ जाती है, 20 त्रिकोणीय फलक नियमित षट्भुज में बदल जाते हैं (कुल मिलाकर) फलक 20+12=32 हो जाते हैं), ए किनारों की संख्या बढ़कर 30+12×5=90 हो जाती है.

वेक्टर प्रणाली में एक काटे गए आइकोसाहेड्रोन के निर्माण के लिए चरण

4-आयामी अंतरिक्ष में आकृतियाँ।

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उदाहरण के लिए, एक घन और एक हाइपरक्यूब दिया गया है। एक हाइपरक्यूब के 24 फलक होते हैं। इसका मतलब है कि एक 4-आयामी अष्टफलक में 24 शीर्ष होंगे। हालाँकि नहीं, एक हाइपरक्यूब में घनों के 8 फलक होते हैं - प्रत्येक के शीर्ष पर एक केंद्र होता है। इसका मतलब यह है कि एक 4-आयामी अष्टफलक में 8 शीर्ष होंगे, जो और भी हल्का है।

4-आयामी अष्टफलक. इसमें आठ समबाहु और समान चतुष्फलक होते हैं,
प्रत्येक शीर्ष पर चार से जुड़ा हुआ।

चावल। अनुकरण का एक प्रयास
वेक्टर प्रणाली में हाइपरस्फेयर-हाइपरस्फेयर

सामने - पीछे के चेहरे - विरूपण के बिना गेंदें। अन्य छह गेंदों को दीर्घवृत्ताभ या द्विघात सतहों (जनरेटर के रूप में 4 समोच्च रेखाओं के माध्यम से) या चेहरों के माध्यम से (पहले जनरेटर के माध्यम से परिभाषित) के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।

हाइपरस्फेयर को "बनाने" की अधिक तकनीकें
- 4-आयामी अंतरिक्ष में वही "सॉकर बॉल"।

परिशिष्ट 2

उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए, एक संपत्ति है जो इसके शीर्षों, किनारों और चेहरों की संख्या से संबंधित है, जिसे 1752 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा सिद्ध किया गया था, और इसे यूलर का प्रमेय कहा जाता है।

इसे तैयार करने से पहले, हमें ज्ञात पॉलीहेड्रा पर विचार करें और निम्नलिखित तालिका भरें, जिसमें बी किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन के शीर्ष, पी - किनारों और जी - चेहरों की संख्या है:

बहुफलकीय नाम
त्रिकोणीय पिरामिड
चतुष्कोणीय पिरामिड
त्रिकोणीय प्रिज्म
चतुष्कोणीय प्रिज्म
एन-कोयला पिरामिड	एन+1	2एन	एन+1
एन-कार्बन प्रिज्म	2एन	3एन	एन+2
एन-कोयला काट दिया गया पिरामिड	2एन	3एन	एन+2

इस तालिका से यह तुरंत स्पष्ट है कि सभी चयनित पॉलीहेड्रा के लिए समानता बी - पी + जी = 2 है। यह पता चलता है कि यह समानता न केवल इन पॉलीहेड्रा के लिए मान्य है, बल्कि एक मनमाना उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए भी मान्य है।

यूलर का प्रमेय. किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए समानता कायम है

बी - पी + जी = 2,

जहां B शीर्षों की संख्या है, P किनारों की संख्या है और G किसी दिए गए बहुफलक के फलकों की संख्या है।

सबूत।इस समानता को सिद्ध करने के लिए, एक लोचदार पदार्थ से बने इस बहुफलक की सतह की कल्पना करें। आइए इसके एक चेहरे को हटा दें (काट दें) और शेष सतह को एक समतल पर फैला दें। हमें एक बहुभुज (पॉलीहेड्रॉन के हटाए गए चेहरे के किनारों द्वारा गठित) प्राप्त होता है, जो छोटे बहुभुजों में विभाजित होता है (पॉलीहेड्रॉन के शेष चेहरों द्वारा गठित)।

ध्यान दें कि बहुभुजों को तब तक विकृत, बड़ा, छोटा या यहां तक ​​कि उनकी भुजाओं को मोड़ा जा सकता है, जब तक कि भुजाओं में कोई अंतराल न हो। शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या नहीं बदलेगी।

आइए हम सिद्ध करें कि बहुभुज का छोटे बहुभुजों में परिणामी विभाजन समानता को संतुष्ट करता है

(*)बी - पी + जी " = 1,

जहां B शीर्षों की कुल संख्या है, P किनारों की कुल संख्या है और Г " विभाजन में शामिल बहुभुजों की संख्या है। यह स्पष्ट है कि Г " = Г - 1, जहां Г किसी दिए गए फलकों की संख्या है बहुफलक

आइए हम साबित करें कि यदि किसी दिए गए विभाजन के कुछ बहुभुज में एक विकर्ण खींचा जाता है तो समानता (*) नहीं बदलती है (चित्र 5, ए)। दरअसल, ऐसे विकर्ण को खींचने के बाद, नए विभाजन में B शीर्ष, P+1 किनारे होंगे और बहुभुजों की संख्या एक बढ़ जाएगी। इसलिए, हमारे पास है

बी - (पी + 1) + (जी "+1) = बी - पी + जी " .

इस संपत्ति का उपयोग करके, हम विकर्ण बनाते हैं जो आने वाले बहुभुजों को त्रिकोणों में विभाजित करते हैं, और परिणामी विभाजन के लिए हम समानता (*) की व्यवहार्यता दिखाते हैं (चित्र 5, बी)। ऐसा करने के लिए, हम क्रमिक रूप से बाहरी किनारों को हटा देंगे, जिससे त्रिकोणों की संख्या कम हो जाएगी। इस मामले में, दो स्थितियाँ संभव हैं:

a) एक त्रिकोण को हटाने के लिए एबीसीहमारे मामले में, दो पसलियों को हटाना आवश्यक है अबऔर ईसा पूर्व;

बी) त्रिकोण को हटाने के लिएएमकेएनहमारे मामले में, एक किनारे को हटाना आवश्यक हैएम.एन..

दोनों ही मामलों में, समानता (*) नहीं बदलेगी। उदाहरण के लिए, पहले मामले में, त्रिभुज को हटाने के बाद, ग्राफ़ में B - 1 शीर्ष, P - 2 किनारे और G "- 1 बहुभुज शामिल होंगे:

(बी - 1) - (पी + 2) + (जी "-1) = बी - पी + जी"।

दूसरे मामले पर आप स्वयं विचार करें।

इस प्रकार, एक त्रिभुज को हटाने से समानता (*) नहीं बदलती। त्रिभुजों को हटाने की इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम अंततः एक एकल त्रिभुज वाले विभाजन पर पहुंचेंगे। ऐसे विभाजन के लिए, बी = 3, पी = 3, जी " = 1 और, इसलिए, बी - पी + जी " = 1। इसका मतलब है कि समानता (*) मूल विभाजन के लिए भी लागू होती है, जिससे हम अंततः इसे प्राप्त करते हैं बहुभुज के इस विभाजन के लिए समानता (*) सत्य है। इस प्रकार, मूल उत्तल बहुफलक के लिए समानता B - P + G = 2 सत्य है।

एक बहुफलक का उदाहरण जिसके लिए यूलर का संबंध मान्य नहीं है,चित्र 6 में दिखाया गया है। इस बहुफलक में 16 शीर्ष, 32 किनारे और 16 फलक हैं। इस प्रकार, इस बहुफलक के लिए समानता B – P + G = 0 है।

परिशिष्ट 3.

फिल्म क्यूब 2: हाइपरक्यूब एक साइंस फिक्शन फिल्म है, जो फिल्म क्यूब का सीक्वल है।

घन-आकार के कमरों में आठ अजनबी जागते हैं। कमरे चार-आयामी हाइपरक्यूब के अंदर स्थित हैं। कमरे लगातार "क्वांटम टेलीपोर्टेशन" के माध्यम से आगे बढ़ रहे हैं, और यदि आप अगले कमरे में चढ़ते हैं, तो पिछले कमरे में लौटने की संभावना नहीं है। समानांतर दुनिया हाइपरक्यूब में प्रतिच्छेद करती है, कुछ कमरों में समय अलग-अलग तरीके से बहता है, और कुछ कमरे मौत के जाल हैं।

फिल्म का कथानक काफी हद तक पहले भाग की कहानी को दोहराता है, जो कुछ पात्रों की छवियों में भी परिलक्षित होता है। नोबेल पुरस्कार विजेता रोसेनज़वेग, जिन्होंने हाइपरक्यूब के विनाश के सटीक समय की गणना की, हाइपरक्यूब के कमरे में मर जाते हैं।.

आलोचना

अगर पहले भाग में भूलभुलैया में कैद लोगों ने एक-दूसरे की मदद करने की कोशिश की, तो इस फिल्म में हर आदमी अपने लिए है। बहुत सारे अनावश्यक विशेष प्रभाव (उर्फ ट्रैप) हैं जो तार्किक रूप से किसी भी तरह से फिल्म के इस हिस्से को पिछले हिस्से से नहीं जोड़ते हैं। यानी पता चलता है कि फिल्म क्यूब 2 भविष्य की 2020-2030 की एक तरह की भूलभुलैया है, लेकिन 2000 की नहीं। पहले भाग में, सभी प्रकार के जाल सैद्धांतिक रूप से एक व्यक्ति द्वारा बनाए जा सकते हैं। दूसरे भाग में, ये जाल एक प्रकार के कंप्यूटर प्रोग्राम हैं, जिन्हें तथाकथित "आभासी वास्तविकता" कहा जाता है।

जब मैं प्रथम वर्ष का छात्र था, तो मेरी अपने एक सहपाठी के साथ तीखी बहस हो गई थी। उन्होंने कहा कि चार-आयामी घन को किसी भी रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन मैंने आश्वासन दिया कि इसे काफी स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। फिर मैंने पेपर क्लिप से हमारे त्रि-आयामी स्थान पर एक हाइपरक्यूब का प्रक्षेपण भी किया... लेकिन आइए हर चीज के बारे में क्रम से बात करें।
हाइपरक्यूब (टेस्सेरैक्ट) और चार आयामी स्थान क्या है?
हमारे सामान्य स्थान के तीन आयाम हैं। ज्यामितीय दृष्टि से इसका अर्थ यह है कि इसमें तीन परस्पर लंबवत रेखाओं को दर्शाया जा सकता है। अर्थात्, किसी भी रेखा के लिए आप पहली रेखा के लंबवत दूसरी रेखा पा सकते हैं, और किसी जोड़ी के लिए आप पहली दो रेखा के लंबवत तीसरी रेखा पा सकते हैं। मौजूदा तीन के लंबवत चौथी रेखा ढूंढना अब संभव नहीं होगा।

चार-आयामी अंतरिक्ष हमारे से केवल इस मायने में भिन्न है कि इसकी एक और अतिरिक्त दिशा है। यदि आपके पास पहले से ही तीन परस्पर लंबवत रेखाएं हैं, तो आप एक चौथी रेखा ढूंढ सकते हैं, जैसे कि यह तीनों पर लंबवत होगी।
हाइपरक्यूब चार-आयामी अंतरिक्ष में बस एक घन है।
क्या चार-आयामी अंतरिक्ष और हाइपरक्यूब की कल्पना करना संभव है?
यह प्रश्न इस प्रश्न के समान है: "क्या लियोनार्डो दा विंची (1452-1519) की इसी नाम की पेंटिंग (1495-1498) को देखकर लास्ट सपर की कल्पना करना संभव है?"
एक ओर, आप, निश्चित रूप से, कल्पना नहीं करेंगे कि यीशु ने क्या देखा (वह दर्शकों के सामने बैठा है), खासकर जब से आप खिड़की के बाहर बगीचे की गंध नहीं लेंगे और मेज पर भोजन का स्वाद नहीं लेंगे, आप पक्षियों को नहीं सुनेंगे गायन... उस शाम क्या हो रहा था इसकी पूरी तस्वीर आपको नहीं मिलेगी, लेकिन यह नहीं कहा जा सकता कि आप कुछ नया नहीं सीखेंगे और तस्वीर में कोई दिलचस्पी नहीं है।
हाइपरक्यूब के प्रश्न के साथ भी स्थिति ऐसी ही है। इसकी पूरी तरह से कल्पना करना असंभव है, लेकिन आप यह समझने के करीब पहुंच सकते हैं कि यह कैसा है।

अंतरिक्ष-समय और यूक्लिडियन चार-आयामी स्थान
मुझे आशा है कि आप हाइपरक्यूब की कल्पना करने में सक्षम थे। लेकिन क्या आप यह समझने में कामयाब रहे हैं कि जिस चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में हम रहते हैं वह कैसे काम करता है? अफ़सोस, बिलकुल नहीं।
यहां हमने यूक्लिडियन चार-आयामी अंतरिक्ष के बारे में बात की, लेकिन अंतरिक्ष-समय के गुण पूरी तरह से अलग हैं। विशेष रूप से, किसी भी घूर्णन के दौरान, खंड हमेशा समय अक्ष पर झुके रहते हैं, या तो 45 डिग्री से कम कोण पर, या 45 डिग्री से अधिक कोण पर।

चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासी का अनुमान और दृष्टि
दृष्टि के बारे में कुछ शब्द
हम त्रि-आयामी दुनिया में रहते हैं, लेकिन हम इसे द्वि-आयामी के रूप में देखते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि हमारी आँखों का रेटिना एक समतल में स्थित होता है जिसके केवल दो आयाम होते हैं। यही कारण है कि हम द्वि-आयामी चित्रों को देख पाते हैं और उन्हें वास्तविकता के समान पाते हैं। (बेशक, समायोजन के लिए धन्यवाद, आंख किसी वस्तु से दूरी का अनुमान लगा सकती है, लेकिन यह हमारी आंखों में निर्मित प्रकाशिकी से जुड़ा एक दुष्प्रभाव है।)
चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासियों की आंखों में त्रि-आयामी रेटिना होना चाहिए। ऐसा प्राणी तुरंत संपूर्ण त्रि-आयामी आकृति देख सकता है: उसके सभी चेहरे और आंतरिक भाग। (उसी तरह, हम एक द्वि-आयामी आकृति, उसके सभी चेहरे और आंतरिक भाग देख सकते हैं।)
इस प्रकार, अपनी दृष्टि के अंगों की मदद से, हम एक चार-आयामी घन को उस तरह से देखने में सक्षम नहीं हैं जिस तरह से एक चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासी इसे समझते हैं। अफ़सोस. जो कुछ बचा है वह अपने दिमाग की आंख और कल्पना पर भरोसा करना है, जिसकी सौभाग्य से, कोई भौतिक सीमा नहीं है।
हालाँकि, एक समतल पर हाइपरक्यूब का चित्रण करते समय, मुझे बस इसका प्रक्षेपण द्वि-आयामी अंतरिक्ष पर करने के लिए मजबूर होना पड़ता है। रेखाचित्रों का अध्ययन करते समय इस तथ्य को ध्यान में रखें।
किनारे चौराहे
स्वाभाविक रूप से, हाइपरक्यूब के किनारे एक दूसरे को नहीं काटते हैं। अंतर्विरोध केवल रेखाचित्रों में दिखाई देते हैं। हालाँकि, इसे कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि तस्वीरों में एक नियमित घन के किनारे भी एक दूसरे को काटते हैं।
किनारे की लंबाई
यह ध्यान देने योग्य है कि चार-आयामी घन के सभी फलक और किनारे समान होते हैं। चित्र में वे केवल इसलिए समान नहीं हैं क्योंकि वे देखने की दिशा में विभिन्न कोणों पर स्थित हैं। हालाँकि, हाइपरक्यूब को घुमाना संभव है ताकि सभी प्रक्षेपणों की लंबाई समान हो।

चार आयामों या चार निर्देशांकों वाला ब्रह्मांड, तीन आयामों वाले ब्रह्मांड जितना ही असंतोषजनक है। हम कह सकते हैं कि हमारे पास ब्रह्मांड के निर्माण के लिए आवश्यक सभी डेटा नहीं हैं, क्योंकि न तो पुरानी भौतिकी के तीन निर्देशांक और न ही नए के चार निर्देशांक वर्णन करने के लिए पर्याप्त हैं। कुलब्रह्मांड में विभिन्न प्रकार की घटनाएँ।

आइए विभिन्न आयामों के "घन" पर क्रम से विचार करें।

एक रेखा पर एक आयामी घन एक खंड है। द्वि-आयामी - एक वर्ग। वर्ग की सीमा में चार बिंदु होते हैं - चोटियोंऔर चार खंड - पसलियांइस प्रकार, एक वर्ग की सीमा पर दो प्रकार के तत्व होते हैं: बिंदु और खंड। त्रि-आयामी घन की सीमा में तीन प्रकार के तत्व होते हैं: शीर्ष - उनमें से 8, किनारे हैं (खंड) - उनमें से 12 और चेहरे हैं (वर्ग) - उनमें से 6 हैं। एक-आयामी खंड एबी द्वि-आयामी वर्ग एबीसीडी के चेहरे के रूप में कार्य करता है, वर्ग घन एबीसीडीएचईएफजी का पक्ष है, जो बदले में, चार का पक्ष होगा -आयामी हाइपरक्यूब।

एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में, इस प्रकार 16 शीर्ष होंगे: मूल घन के 8 शीर्ष और चौथे आयाम में स्थानांतरित एक के 8 शीर्ष। इसमें 32 किनारे हैं - 12 प्रत्येक मूल घन की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति बताते हैं, और अन्य 8 किनारे इसके आठ शीर्षों को "आरेखित" करते हैं, जो चौथे आयाम में चले गए हैं। हाइपरक्यूब के फलकों के लिए भी यही तर्क किया जा सकता है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में केवल एक (स्वयं वर्ग) होता है, एक घन में 6 होते हैं (स्थानांतरित वर्ग से दो चेहरे और चार और जो इसकी भुजाओं का वर्णन करते हैं)। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में 24 वर्ग फलक होते हैं - दो स्थितियों में मूल घन के 12 वर्ग और इसके बारह किनारों से 12 वर्ग।

घन आयाम	सीमा आयाम
2 वर्ग
4 टेसेरैक्ट

में समन्वय करता हैचार आयामी स्थान.

एक रेखा पर एक बिंदु को एक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, एक विमान पर एक बिंदु को संख्याओं की एक जोड़ी के रूप में परिभाषित किया जाता है, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु को संख्याओं के त्रिक के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, इस काल्पनिक स्थान में एक बिंदु को संख्याओं के चौगुने के रूप में परिभाषित करके चार-आयामी अंतरिक्ष की ज्यामिति का निर्माण करना पूरी तरह से स्वाभाविक है।

चार-आयामी घन का द्वि-आयामी फलक बिंदुओं का एक समूह है जिसके लिए दो निर्देशांक 0 से 1 तक सभी संभावित मान ले सकते हैं, और अन्य दो स्थिर हैं (या तो 0 या 1 के बराबर)।

त्रि-आयामी चेहरा एक चार-आयामी घन बिंदुओं का एक समूह है जिसमें तीन निर्देशांक 0 से 1 तक सभी संभावित मान लेते हैं, और एक स्थिर होता है (0 या 1 के बराबर)।

विभिन्न आयामों के घनों का विकास।

हम एक खंड लेते हैं, एक खंड को सभी तरफ रखते हैं, और दूसरे को किसी एक से जोड़ते हैं, इस मामले में सही खंड से।

हमें एक स्क्वायर स्कैन मिला।

हम एक वर्ग लेते हैं, सभी तरफ एक वर्ग रखते हैं, किसी एक के साथ एक और वर्ग जोड़ते हैं, इस मामले में निचले वर्ग के साथ।

यह एक त्रि-आयामी घन का विकास है।

चार आयामी घन

हम एक घन लेते हैं, सभी तरफ एक घन रखते हैं, इस निचले घन में किसी एक के साथ एक और घन जोड़ते हैं।

चार आयामी घन का विकास

आइए कल्पना करें कि एक चार आयामी घन तार से बना है और एक चींटी शीर्ष (1;1;1;1) पर बैठी है, तो चींटी को किनारों के साथ एक शीर्ष से दूसरे शीर्ष तक रेंगना होगा।

प्रश्न: शीर्ष (0;0;0;0) तक पहुंचने के लिए उसे कितने किनारों पर रेंगना होगा?

4 किनारों के साथ, यानी, शीर्ष (0;0;0;0) 4थे क्रम का शीर्ष है, 1 किनारे के साथ गुजरते हुए वह उस शीर्ष पर पहुंच सकता है जिसका निर्देशांक 0 में से एक है, यह 1 क्रम का शीर्ष है, 2 किनारों से गुजरते हुए वह उन शीर्षों तक पहुंच सकता है जहां 2 शून्य हैं, ये दूसरे क्रम के शीर्ष हैं, 6 ऐसे शीर्ष हैं, 3 किनारों से गुजरते हुए, वह उन शीर्षों तक पहुंचेगा जिनमें 3 निर्देशांक शून्य हैं, ये शीर्ष हैं तीसरा क्रम.

बहुआयामी अंतरिक्ष में अन्य घन भी हैं। टेसेरैक्ट के अलावा, आप बड़ी संख्या में आयामों वाले क्यूब्स बना सकते हैं। पांच आयामी घन का मॉडल एक पेंटरैक्ट है। एक पेंटरैक्ट में 32 शीर्ष, 80 किनारे, 80 फलक, 40 घन और 10 टेसेरैक्ट होते हैं।

कलाकार, निर्देशक, मूर्तिकार, वैज्ञानिक विभिन्न तरीकों से बहुआयामी घन का प्रतिनिधित्व करते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

कई विज्ञान कथा लेखक अपने कार्यों में टेसेरैक्ट का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, रॉबर्ट एंसन हेनलेन (1907-1988) ने अपनी कम से कम तीन गैर-काल्पनिक कहानियों में हाइपरक्यूब का उल्लेख किया है। "द हाउस ऑफ फोर डाइमेंशन्स" में उन्होंने एक ऐसे घर का वर्णन किया है जो टेसेरैक्ट के खुलने जैसा बना है।

फिल्म क्यूब 2 की कहानी हाइपरक्यूब में फंसे आठ अजनबियों पर केंद्रित है।

« साल्वाडोर डाली द्वारा "क्रूसिफिक्सन", 1954 (1951)। डाली के अतियथार्थवाद ने हमारी वास्तविकता और पारलौकिक, विशेष रूप से, 4-आयामी दुनिया के बीच संपर्क के बिंदु तलाशे। इसलिए, एक ओर, यह आश्चर्यजनक है, लेकिन, दूसरी ओर, इस तथ्य में कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि ईसाई क्रॉस बनाने वाले क्यूब्स का ज्यामितीय आंकड़ा 4-आयामी क्यूब के 3-आयामी विकास की एक छवि है या टेसेरेक्ट.

21 अक्टूबर को पेंसिल्वेनिया स्टेट यूनिवर्सिटी के गणित विभाग ने "ऑक्टाक्यूब" नामक एक असामान्य मूर्ति का अनावरण किया। यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक चार-आयामी ज्यामितीय वस्तु की एक छवि है। मूर्तिकला के लेखक, प्रोफेसर एड्रियन ओकनेनु के अनुसार, इस तरह की इतनी सुंदर आकृति दुनिया में कभी भी मौजूद नहीं थी, न तो वस्तुतः या भौतिक रूप से, हालांकि चार-आयामी आकृतियों के त्रि-आयामी प्रक्षेपण पहले भी किए गए हैं।

सामान्य तौर पर, गणितज्ञ चार-, पांच- और इससे भी अधिक बहुआयामी वस्तुओं के साथ आसानी से काम करते हैं, लेकिन उन्हें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में चित्रित करना असंभव है। "ऑक्टाक्यूब", सभी समान आकृतियों की तरह, वास्तव में चार-आयामी नहीं है। इसकी तुलना मानचित्र से की जा सकती है - कागज की एक सपाट शीट पर ग्लोब की त्रि-आयामी सतह का प्रक्षेपण।

एक कंप्यूटर का उपयोग करके रेडियल स्टीरियोग्राफी का उपयोग करके ओकेनेनु द्वारा चार-आयामी आकृति का त्रि-आयामी प्रक्षेपण प्राप्त किया गया था। उसी समय, मूल चार-आयामी आकृति की समरूपता संरक्षित की गई थी। मूर्तिकला में 24 शीर्ष और 96 मुख हैं। चार-आयामी अंतरिक्ष में, किसी आकृति के किनारे सीधे होते हैं, लेकिन प्रक्षेपण में वे घुमावदार होते हैं। त्रि-आयामी प्रक्षेपण के चेहरों और मूल आकृति के बीच के कोण समान हैं।

ऑक्टाक्यूब को पेंसिल्वेनिया स्टेट यूनिवर्सिटी की इंजीनियरिंग कार्यशालाओं में स्टेनलेस स्टील से बनाया गया था। यह मूर्ति गणित संकाय के पुनर्निर्मित मैकएलिस्टर भवन में स्थापित की गई थी।

रेने डेसकार्टेस और हरमन मिन्कोव्स्की जैसे कई वैज्ञानिकों के लिए बहुआयामी अंतरिक्ष रुचिकर था। आजकल इस विषय पर ज्ञान बढ़ता जा रहा है। यह हमारे समय के गणितज्ञों, शोधकर्ताओं और अन्वेषकों को उनके लक्ष्य प्राप्त करने और विज्ञान को आगे बढ़ाने में मदद करता है। बहुआयामी अंतरिक्ष में एक कदम मानवता के एक नए, अधिक विकसित युग में एक कदम है।

हाइपरक्यूब और चार आयामी स्थान क्या है?

हमारे सामान्य स्थान के तीन आयाम हैं। ज्यामितीय दृष्टि से इसका अर्थ यह है कि इसमें तीन परस्पर लंबवत रेखाओं को दर्शाया जा सकता है। अर्थात्, किसी भी रेखा के लिए आप पहली रेखा के लंबवत दूसरी रेखा पा सकते हैं, और किसी जोड़ी के लिए आप पहली दो रेखा के लंबवत तीसरी रेखा पा सकते हैं। मौजूदा तीन के लंबवत चौथी रेखा ढूंढना अब संभव नहीं होगा।

चार-आयामी अंतरिक्ष हमारे से केवल इस मायने में भिन्न है कि इसकी एक और अतिरिक्त दिशा है। यदि आपके पास पहले से ही तीन परस्पर लंबवत रेखाएं हैं, तो आप एक चौथी रेखा ढूंढ सकते हैं, जैसे कि यह तीनों पर लंबवत होगी।

हाइपरक्यूब चार-आयामी अंतरिक्ष में बस एक घन है।
क्या चार-आयामी अंतरिक्ष और हाइपरक्यूब की कल्पना करना संभव है?

यह प्रश्न इस प्रश्न से संबंधित है: "क्या लियोनार्डो दा विंची (1452-1519) की इसी नाम की पेंटिंग (1495-1498) को देखकर लास्ट सपर की कल्पना करना संभव है?"

एक ओर, आप, निश्चित रूप से, कल्पना नहीं करेंगे कि यीशु ने क्या देखा (वह दर्शकों के सामने बैठा है), खासकर जब से आप खिड़की के बाहर बगीचे की गंध नहीं लेंगे और मेज पर भोजन का स्वाद नहीं लेंगे, आप पक्षियों को नहीं सुनेंगे गायन... उस शाम क्या हो रहा था इसकी पूरी तस्वीर आपको नहीं मिलेगी, लेकिन यह नहीं कहा जा सकता कि आप कुछ नया नहीं सीखेंगे और तस्वीर में कोई दिलचस्पी नहीं है।

हाइपरक्यूब के प्रश्न के साथ भी स्थिति ऐसी ही है। इसकी पूरी तरह से कल्पना करना असंभव है, लेकिन आप यह समझने के करीब पहुंच सकते हैं कि यह कैसा है।
हाइपरक्यूब का निर्माण
0-आयामी घन

आइए शुरुआत से शुरू करें - 0-आयामी घन के साथ। इस घन में 0 परस्पर लंबवत फलक हैं, अर्थात यह केवल एक बिंदु है।

1-आयामी घन

एक-आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पास केवल एक ही दिशा होती है। हम बिंदु को इस दिशा में ले जाते हैं और एक खंड प्राप्त करते हैं।

यह एक आयामी घन है.
2 आयामी घन

हमारे पास दूसरा आयाम है, हम अपने एक-आयामी घन (खंड) को दूसरे आयाम की दिशा में स्थानांतरित करते हैं और हमें एक वर्ग मिलता है।

यह द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक घन है।
3 आयामी घन

तीसरे आयाम के आगमन के साथ, हम वही करते हैं: हम वर्ग को स्थानांतरित करते हैं और एक नियमित त्रि-आयामी घन प्राप्त करते हैं।

4-आयामी घन (हाइपरक्यूब)

अब हमारे पास चौथा आयाम है। अर्थात्, हमारे पास पिछली तीनों दिशाओं के लंबवत एक दिशा है। आइए इसे बिल्कुल उसी तरह उपयोग करें। एक चार-आयामी घन इस तरह दिखेगा।

स्वाभाविक रूप से, त्रि-आयामी और चार-आयामी क्यूब्स को दो-आयामी स्क्रीन विमान पर चित्रित नहीं किया जा सकता है। मैंने जो चित्रित किया वह प्रक्षेपण है। हम अनुमानों के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे, लेकिन अभी कुछ नंगे तथ्य और आंकड़े।
शीर्षों, किनारों, फलकों की संख्या
विभिन्न आकारों के घनों की विशेषताएँ
1-अंतरिक्ष का आयाम
2-शीर्षों की संख्या
3-किनारों की संख्या
4-चेहरों की संख्या

0 (बिंदु) 1 0 0
1 (खंड) 2 1 2 (अंक)
2 (वर्ग) 4 4 4 (खंड)
3 (घन) 8 12 6 (वर्ग)
4 (हाइपरक्यूब) 16 32 8 (क्यूब्स)
एन (सामान्य सूत्र) 2एन एन 2एन-1 2 एन

कृपया ध्यान दें कि हाइपरक्यूब का फलक हमारा साधारण त्रि-आयामी घन है। यदि आप हाइपरक्यूब के चित्र को ध्यान से देखें, तो आप वास्तव में आठ घन पा सकते हैं।
चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासी का अनुमान और दृष्टि
दृष्टि के बारे में कुछ शब्द

हम त्रि-आयामी दुनिया में रहते हैं, लेकिन हम इसे द्वि-आयामी के रूप में देखते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि हमारी आँखों का रेटिना एक समतल में स्थित होता है जिसके केवल दो आयाम होते हैं। यही कारण है कि हम द्वि-आयामी चित्रों को देख पाते हैं और उन्हें वास्तविकता के समान पाते हैं। (बेशक, समायोजन के लिए धन्यवाद, आंख किसी वस्तु से दूरी का अनुमान लगा सकती है, लेकिन यह हमारी आंखों में निर्मित प्रकाशिकी से जुड़ा एक दुष्प्रभाव है।)

चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासियों की आंखों में त्रि-आयामी रेटिना होना चाहिए। ऐसा प्राणी तुरंत संपूर्ण त्रि-आयामी आकृति देख सकता है: उसके सभी चेहरे और आंतरिक भाग। (उसी तरह, हम एक द्वि-आयामी आकृति, उसके सभी चेहरे और आंतरिक भाग देख सकते हैं।)

इस प्रकार, अपनी दृष्टि के अंगों की मदद से, हम एक चार-आयामी घन को उस तरह से देखने में सक्षम नहीं हैं जिस तरह से एक चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासी इसे समझते हैं। अफ़सोस. जो कुछ बचा है वह अपने दिमाग की आंख और कल्पना पर भरोसा करना है, जिसकी सौभाग्य से, कोई भौतिक सीमा नहीं है।

हालाँकि, एक समतल पर हाइपरक्यूब का चित्रण करते समय, मुझे बस इसका प्रक्षेपण द्वि-आयामी अंतरिक्ष पर करने के लिए मजबूर होना पड़ता है। रेखाचित्रों का अध्ययन करते समय इस तथ्य को ध्यान में रखें।
किनारे चौराहे

स्वाभाविक रूप से, हाइपरक्यूब के किनारे एक दूसरे को नहीं काटते हैं। अंतर्विरोध केवल रेखाचित्रों में दिखाई देते हैं। हालाँकि, इसे कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि तस्वीरों में एक नियमित घन के किनारे भी एक दूसरे को काटते हैं।
किनारे की लंबाई

यह ध्यान देने योग्य है कि चार-आयामी घन के सभी फलक और किनारे समान होते हैं। चित्र में वे केवल इसलिए समान नहीं हैं क्योंकि वे देखने की दिशा में विभिन्न कोणों पर स्थित हैं। हालाँकि, हाइपरक्यूब को घुमाना संभव है ताकि सभी प्रक्षेपणों की लंबाई समान हो।

वैसे, इस आकृति में आठ घन, जो एक हाइपरक्यूब के फलक हैं, स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहे हैं।
हाइपरक्यूब अंदर खाली है

इस पर विश्वास करना कठिन है, लेकिन हाइपरक्यूब को बांधने वाले क्यूब्स के बीच कुछ जगह (चार-आयामी अंतरिक्ष का एक टुकड़ा) है।

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए एक साधारण त्रि-आयामी घन के द्वि-आयामी प्रक्षेपण को देखें (मैंने जानबूझकर इसे कुछ हद तक योजनाबद्ध बनाया है)।

क्या आप इससे अनुमान लगा सकते हैं कि घन के अंदर कुछ जगह है? हाँ, लेकिन केवल अपनी कल्पना का उपयोग करके। आँख इस स्थान को नहीं देखती। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि तीसरे आयाम में स्थित किनारे (जिन्हें समतल रेखाचित्र में चित्रित नहीं किया जा सकता) अब चित्र के तल में पड़े खंडों में बदल गए हैं। वे अब वॉल्यूम प्रदान नहीं करते.

घन के स्थान को घेरने वाले वर्ग एक-दूसरे को ओवरलैप करते हैं। लेकिन कोई कल्पना कर सकता है कि मूल आकृति (एक त्रि-आयामी घन) में ये वर्ग अलग-अलग विमानों में स्थित थे, न कि एक ही विमान में एक दूसरे के ऊपर, जैसा कि चित्र में हुआ था।

हाइपरक्यूब के साथ भी स्थिति बिल्कुल वैसी ही है। हाइपरक्यूब के घन-फलक वास्तव में ओवरलैप नहीं होते हैं, जैसा कि प्रक्षेपण पर हमें लगता है, लेकिन चार-आयामी अंतरिक्ष में स्थित होते हैं।
स्वीप

तो, चार-आयामी अंतरिक्ष का निवासी एक त्रि-आयामी वस्तु को सभी तरफ से एक साथ देख सकता है। क्या हम एक त्रि-आयामी घन को एक ही समय में सभी तरफ से देख सकते हैं? आँख से - नहीं. लेकिन लोग एक ही समय में एक सपाट चित्र पर त्रि-आयामी घन के सभी चेहरों को चित्रित करने का एक तरीका लेकर आए हैं। ऐसी छवि को स्कैन कहा जाता है।
त्रि-आयामी घन का विकास

त्रि-आयामी घन का विकास कैसे होता है, यह शायद हर कोई जानता है। यह प्रक्रिया एनीमेशन में दिखाई गई है.

स्पष्टता के लिए, घन फलकों के किनारों को पारभासी बनाया गया है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हम इस द्वि-आयामी तस्वीर को केवल अपनी कल्पना की बदौलत ही देख पाते हैं। यदि हम प्रकट होने वाले चरणों पर विशुद्ध रूप से द्वि-आयामी दृष्टिकोण से विचार करें, तो प्रक्रिया अजीब लगेगी और बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं होगी।

ऐसा लगता है कि पहले विकृत वर्गों की रूपरेखा धीरे-धीरे प्रकट होती है, और फिर वे आवश्यक आकार लेने के साथ-साथ अपनी जगह पर रेंगते हैं।

यदि आप खुलते हुए घन को उसके किसी एक फलक की दिशा में देखें (इस दृष्टिकोण से घन एक वर्ग जैसा दिखता है), तो खुलने के बनने की प्रक्रिया और भी कम स्पष्ट होती है। सब कुछ आरंभिक वर्ग (खुला घन नहीं) से रेंगते हुए वर्गों जैसा दिखता है।

लेकिन स्कैन केवल आंखों के लिए दृश्य नहीं है। यह आपकी कल्पना का ही धन्यवाद है कि आप इससे बहुत सारी जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
चार आयामी घन का विकास

हाइपरक्यूब को खोलने की एनिमेटेड प्रक्रिया को कम से कम कुछ हद तक दृश्यमान बनाना बिल्कुल असंभव है। लेकिन इस प्रक्रिया की कल्पना की जा सकती है. (ऐसा करने के लिए, आपको इसे चार-आयामी प्राणी की आंखों से देखना होगा।)

स्कैन इस तरह दिखता है.

हाइपरक्यूब से जुड़े सभी आठ घन यहां दिखाई दे रहे हैं।

मोड़ने पर जो किनारे संरेखित होने चाहिए उन्हें उन्हीं रंगों से रंगा गया है। जिन चेहरों के जोड़े दिखाई नहीं देते, उन्हें धूसर छोड़ दिया जाता है। मोड़ने के बाद, शीर्ष घन का सबसे ऊपरी चेहरा निचले घन के निचले किनारे के साथ संरेखित होना चाहिए। (एक त्रि-आयामी घन का खुलासा इसी तरह से ढह जाता है।)

कृपया ध्यान दें कि कनवल्शन के बाद, आठ क्यूब्स के सभी चेहरे संपर्क में आ जाएंगे, जिससे हाइपरक्यूब बंद हो जाएगा। और अंत में, मोड़ने की प्रक्रिया की कल्पना करते समय, यह न भूलें कि मोड़ते समय, घनों का ओवरलैपिंग नहीं होता है, बल्कि एक निश्चित (हाइपरक्यूबिक) चार-आयामी क्षेत्र के चारों ओर उनका लपेटना होता है।

साल्वाडोर डाली (1904-1989) ने कई बार सूली पर चढ़ने का चित्रण किया, और उनके कई चित्रों में क्रॉस दिखाई देते हैं। पेंटिंग "द क्रूसिफ़िशन" (1954) हाइपरक्यूब स्कैन का उपयोग करती है।
अंतरिक्ष-समय और यूक्लिडियन चार-आयामी स्थान

मुझे आशा है कि आप हाइपरक्यूब की कल्पना करने में सक्षम थे। लेकिन क्या आप यह समझने में कामयाब रहे हैं कि जिस चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में हम रहते हैं वह कैसे काम करता है? अफ़सोस, बिलकुल नहीं।

यहां हमने यूक्लिडियन चार-आयामी अंतरिक्ष के बारे में बात की, लेकिन अंतरिक्ष-समय के गुण पूरी तरह से अलग हैं। विशेष रूप से, किसी भी घूर्णन के दौरान, खंड हमेशा समय अक्ष पर झुके रहते हैं, या तो 45 डिग्री से कम कोण पर, या 45 डिग्री से अधिक कोण पर।

स्रोत 2

टेसेरैक्ट एक चार-आयामी हाइपरक्यूब है, जो चार-आयामी अंतरिक्ष में एक घन का एक एनालॉग है। ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी के अनुसार, "टेसेरैक्ट" शब्द 1888 में चार्ल्स हॉवर्ड हिंटन (1853-1907) ने अपनी पुस्तक ए न्यू एज ऑफ थॉट में गढ़ा और इस्तेमाल किया था। बाद में कुछ लोगों ने उसी आकृति को "टेट्राक्यूब" कहा।

आइए कल्पना करने का प्रयास करें कि त्रि-आयामी स्थान छोड़े बिना हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा।
एक-आयामी "स्पेस" में - एक रेखा पर - हम लंबाई L के एक खंड AB का चयन करते हैं। AB से L की दूरी पर एक द्वि-आयामी विमान पर, हम इसके समानांतर एक खंड DC खींचते हैं और उनके सिरों को जोड़ते हैं। परिणाम एक वर्ग ABCD है। समतल के साथ इस ऑपरेशन को दोहराते हुए, हमें एक त्रि-आयामी घन ABCDHEFG प्राप्त होता है। और घन को चौथे आयाम (पहले तीन के लंबवत) में दूरी L से स्थानांतरित करने पर, हमें हाइपरक्यूब ABCDEFGHIJKLMNOP प्राप्त होता है।

एक-आयामी खंड एबी दो-आयामी वर्ग एबीसीडी के चेहरे के रूप में कार्य करता है, वर्ग एक घन एबीसीडीएचईएफजी के किनारे के रूप में कार्य करता है, जो बदले में, चार-आयामी हाइपरक्यूब का एक पक्ष होगा। एक सीधी रेखा खंड में दो सीमा बिंदु होते हैं, एक वर्ग में चार शीर्ष होते हैं, एक घन में आठ शीर्ष होते हैं। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में, इस प्रकार 16 शीर्ष होंगे: मूल घन के 8 शीर्ष और चौथे आयाम में स्थानांतरित एक के 8 शीर्ष। इसमें 32 किनारे हैं - 12 प्रत्येक मूल घन की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति बताते हैं, और अन्य 8 किनारे इसके आठ शीर्षों को "आरेखित" करते हैं, जो चौथे आयाम में चले गए हैं। हाइपरक्यूब के फलकों के लिए भी यही तर्क किया जा सकता है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में केवल एक (स्वयं वर्ग) होता है, एक घन में 6 होते हैं (स्थानांतरित वर्ग से दो चेहरे और चार और जो इसकी भुजाओं का वर्णन करते हैं)। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में 24 वर्ग फलक होते हैं - दो स्थितियों में मूल घन के 12 वर्ग और इसके बारह किनारों से 12 वर्ग।

इसी तरह, हम बड़ी संख्या में आयामों के हाइपरक्यूब के लिए अपना तर्क जारी रख सकते हैं, लेकिन यह देखना अधिक दिलचस्प है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष के निवासियों, हमारे लिए एक चार-आयामी हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा। इसके लिए हम उपमाओं की पहले से ही परिचित पद्धति का उपयोग करेंगे।
आइए तार का घन ABCDHEFG लें और इसे किनारे की ओर से एक आंख से देखें। हम देखेंगे और समतल पर दो वर्ग (इसके निकट और दूर के किनारे) बना सकते हैं, जो चार रेखाओं - पार्श्व किनारों से जुड़े हुए हैं। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक चार-आयामी हाइपरक्यूब दो क्यूबिक "बक्से" की तरह दिखेगा जो एक दूसरे में डाले गए हैं और आठ किनारों से जुड़े हुए हैं। इस मामले में, "बक्से" स्वयं - त्रि-आयामी चेहरे - "हमारे" स्थान पर प्रक्षेपित किए जाएंगे, और उन्हें जोड़ने वाली रेखाएं चौथे आयाम में फैलेंगी। आप घन की कल्पना प्रक्षेपण में नहीं, बल्कि एक स्थानिक छवि में करने का भी प्रयास कर सकते हैं।

जिस तरह एक त्रि-आयामी घन अपने चेहरे की लंबाई से स्थानांतरित एक वर्ग द्वारा बनता है, उसी तरह चौथे आयाम में स्थानांतरित एक घन एक हाइपरक्यूब बनाएगा। यह आठ घनों तक सीमित है, जो परिप्रेक्ष्य में कुछ जटिल आकृति जैसा दिखेगा। जो भाग "हमारे" स्थान में रह गया, उसे ठोस रेखाओं से खींचा गया है, और जो भाग हाइपरस्पेस में चला गया, उसे बिंदीदार रेखाओं से खींचा गया है। चार-आयामी हाइपरक्यूब में अनंत संख्या में घन होते हैं, जैसे एक त्रि-आयामी घन को अनंत संख्या में सपाट वर्गों में "काटा" जा सकता है।

एक त्रि-आयामी घन के छह चेहरों को काटकर, आप इसे एक सपाट आकृति - एक विकास - में विघटित कर सकते हैं। इसमें मूल चेहरे के प्रत्येक तरफ एक वर्ग होगा, साथ ही एक और - इसके विपरीत चेहरा होगा। और चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी विकास में मूल घन, उसमें से छह "बढ़ते" क्यूब, साथ ही एक और - अंतिम "हाइपरफेस" शामिल होगा। टेसेरैक्ट के गुण चार-आयामी अंतरिक्ष में निचले आयाम के ज्यामितीय आंकड़ों के गुणों की निरंतरता का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अन्य नामों
हेक्साडेकाकोरोन
अष्टकोरोन
टेट्राक्यूब
4-घन
हाइपरक्यूब (यदि आयामों की संख्या निर्दिष्ट नहीं है)

10-आयामी स्थान
यह अंग्रेजी में है। जो लोग नहीं जानते उनके लिए तस्वीरें इसे बिल्कुल स्पष्ट कर देती हैं

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