मॉडलों के साथ असमानताओं को हल करना। मापांक के साथ असमानताएँ

मित्रो, आज कोई नोक-झोंक या भावुकता नहीं रहेगी। इसके बजाय, मैं तुम्हें 8वीं-9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे दुर्जेय विरोधियों में से एक के साथ युद्ध में भेजूंगा, कोई सवाल नहीं पूछा जाएगा।

हाँ, आपने सब कुछ सही ढंग से समझा: हम मापांक के साथ असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। हम चार बुनियादी तकनीकों पर गौर करेंगे जिनकी मदद से आप ऐसी लगभग 90% समस्याओं को हल करना सीखेंगे। शेष 10% के बारे में क्या? खैर, हम उनके बारे में एक अलग पाठ में बात करेंगे। :)

हालाँकि, किसी भी तकनीक का विश्लेषण करने से पहले, मैं आपको दो तथ्य याद दिलाना चाहूँगा जिन्हें आपको पहले से ही जानना आवश्यक है। अन्यथा, आप आज के पाठ की सामग्री को बिल्कुल भी न समझ पाने का जोखिम उठाते हैं।

जो आपको पहले से ही जानने की जरूरत है

कैप्टन ओब्विअसनेस संकेत देता प्रतीत होता है कि मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए आपको दो बातें जानने की आवश्यकता है:

1. असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है;
2. मॉड्यूल क्या है?

चलिए दूसरे बिंदु से शुरू करते हैं।

मॉड्यूल परिभाषा

यहां सब कुछ सरल है. इसकी दो परिभाषाएँ हैं: बीजगणितीय और ग्राफिकल। आरंभ करने के लिए - बीजगणितीय:

परिभाषा। किसी संख्या $x$ का मापांक या तो वह संख्या है, यदि वह गैर-ऋणात्मक है, या उसके विपरीत संख्या है, यदि मूल $x$ अभी भी ऋणात्मक है।

इसे इस प्रकार लिखा गया है:

\[\बाएं| x \दाएं|=\बाएं\( \begin(संरेखित) और x,\ x\ge 0, \\ और -x,\ x \lt 0. \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

सरल शब्दों में, मापांक एक "बिना ऋण के संख्या" है। और यह इस द्वंद्व में है (कुछ स्थानों पर आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी नहीं करना है, लेकिन अन्य में आपको किसी प्रकार का ऋण हटाना है) यहीं पर शुरुआती छात्रों के लिए पूरी कठिनाई निहित है।

एक ज्यामितीय परिभाषा भी है. यह जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में ही इसकी ओर रुख करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (स्पॉइलर: आज नहीं)।

परिभाषा। मान लीजिए संख्या रेखा पर बिंदु $a$ अंकित है। फिर मॉड्यूल $\left| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ तक की दूरी है।

यदि आप कोई चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ इस प्रकार प्राप्त होगा:

ग्राफ़िकल मॉड्यूल परिभाषा

एक तरह से या किसी अन्य, मॉड्यूल की परिभाषा से इसकी मुख्य संपत्ति तुरंत निम्नानुसार होती है: किसी संख्या का मापांक सदैव एक गैर-ऋणात्मक मात्रा होता है. यह तथ्य आज हमारे पूरे आख्यान में एक लाल धागा बना रहेगा।

असमानताओं का समाधान. अंतराल विधि

अब आइए असमानताओं पर नजर डालें। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन अब हमारा काम उनमें से कम से कम सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। वे जो रैखिक असमानताओं के साथ-साथ अंतराल विधि को भी कम करते हैं।

इस विषय पर मेरे पास दो बड़े पाठ हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं उनका अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

1. असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेषकर वीडियो देखें);
2. भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताएँ एक बहुत व्यापक पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं होगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ें" आपको दीवार के खिलाफ खुद को मारने की अस्पष्ट इच्छा नहीं देता है, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में नरक में आपका स्वागत है। :)

1. प्रपत्र की असमानताएं "मापांक फ़ंक्शन से कम है"

यह मॉड्यूल के साथ सबसे आम समस्याओं में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| f\दाएं| \ltg\]

फलन $f$ और $g$ कुछ भी हो सकते हैं, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद होते हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7; \\ & \बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0; \\ & \बाएं| ((x)^(2))-2\left| x \दाएं|-3 \दाएं| \lt 2. \\\end(संरेखित करें)\]

उन सभी को निम्नलिखित योजना के अनुसार शाब्दिक रूप से एक पंक्ति में हल किया जा सकता है:

\[\बाएं| f\दाएं| \lt g\राइटएरो -g \lt f \lt g\quad \left(\राइटएरो \left\( \begin(संरेखित) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(संरेखित) \सही सही)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन बदले में हमें दोहरी असमानता मिलती है (या, जो एक ही बात है, दो असमानताओं की एक प्रणाली)। लेकिन यह परिवर्तन बिल्कुल सभी संभावित समस्याओं को ध्यान में रखता है: यदि मापांक के अंतर्गत संख्या सकारात्मक है, तो विधि काम करती है; यदि नकारात्मक है, तो यह अभी भी काम करता है; और $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त फ़ंक्शन के साथ भी, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं हो सकता? दुर्भाग्य से, यह संभव नहीं है. यह मॉड्यूल का संपूर्ण बिंदु है.

हालाँकि, दार्शनिकता के साथ पर्याप्त। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7\]

समाधान। तो, हमारे सामने "मापांक कम है" के रूप में एक क्लासिक असमानता है - यहां तक ​​कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथम के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| f\दाएं| \lt g\राइटएरो -g \lt f \lt g; \\ & \बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7\दायां तीर -\बाएं(x+7 \दाएं) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(संरेखित)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक को खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि आपकी जल्दबाजी के कारण आप कोई आपत्तिजनक गलती कर देंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \begin(संरेखित) और -x-7 \lt 2x+3 \\ और 2x+3 \lt x+7 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और -3x \lt 10 \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \दाएँ।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और x \gt -\frac(10)(3) \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक सीमित कर दिया गया था। आइए हम समानांतर संख्या रेखाओं पर उनके समाधान नोट करें:

अनेकों का अंतर्विच्छेद

इन सेटों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0\]

समाधान। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है. सबसे पहले, आइए दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल छोटा है" के रूप में असमानता है, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम का उपयोग करके मॉड्यूल से छुटकारा पाते हैं:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूं। लेकिन मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि हमारा मुख्य लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आपने इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप इसे अपनी इच्छानुसार विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, माइनस जोड़ें, आदि।

आरंभ करने के लिए, हम बाईं ओर के डबल माइनस से छुटकारा पा लेंगे:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

आइए अब दोहरी असमानता में सभी कोष्ठक खोलें:

आइए दोहरी असमानता की ओर आगे बढ़ें। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ और ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( सही संरेखित।\]

दोनों असमानताएं द्विघात हैं और अंतराल विधि द्वारा हल की जा सकती हैं (इसीलिए मैं कहता हूं: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो अभी तक मॉड्यूल न लेना बेहतर है)। आइए पहली असमानता के समीकरण पर आगे बढ़ें:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट एक अपूर्ण द्विघात समीकरण है, जिसे प्राथमिक तरीके से हल किया जा सकता है। अब व्यवस्था की दूसरी असमानता पर नजर डालते हैं। वहां आपको विएटा का प्रमेय लागू करना होगा:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(संरेखित करें)\]

हम परिणामी संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर अंकित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):

फिर, चूँकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यह उत्तर है.

उत्तर: $x\in \left(-5;-2 \right)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बेहद स्पष्ट है:

1. अन्य सभी पदों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| के रूप की एक असमानता प्राप्त होती है f\दाएं| \ltg$.
2. ऊपर वर्णित योजना के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। कुछ बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
3. अंत में, जो कुछ बचा है वह इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधानों को प्रतिच्छेद करना है - और यही है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

एक समान एल्गोरिथ्म निम्नलिखित प्रकार की असमानताओं के लिए मौजूद है, जब मापांक फ़ंक्शन से बड़ा होता है। हालाँकि, कुछ गंभीर "किंतु" भी हैं। अब हम इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. "मापांक फलन से बड़ा है" के रूप में असमानताएँ

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| f\दाएं| \gtg\]

पिछले वाले के समान? जान पड़ता है। और फिर भी ऐसी समस्याओं को बिल्कुल अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| f\दाएं| \gt g\दायां तीर \बाएं[ \begin(संरेखित) और f \gt g, \\ और f \lt -g \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

1. सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं और सामान्य असमानता को हल करते हैं;
2. फिर, संक्षेप में, हम ऋण चिह्न के साथ मॉड्यूल का विस्तार करते हैं, और फिर असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं, जबकि मेरे पास चिह्न है।

इस मामले में, विकल्पों को एक वर्गाकार ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है, अर्थात। हमारे सामने दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

कृपया फिर से ध्यान दें: यह एक प्रणाली नहीं है, बल्कि समग्रता है उत्तर में समुच्चय प्रतिच्छेद करने के बजाय संयुक्त हैं. यह पिछले बिंदु से एक मूलभूत अंतर है!

सामान्य तौर पर, कई छात्र यूनियनों और अंतर्विरोधों को लेकर पूरी तरह से भ्रमित होते हैं, तो आइए इस मुद्दे को हमेशा के लिए सुलझा लें:

• "∪" एक संघ चिह्न है. वास्तव में, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "यू" है, जो अंग्रेजी भाषा से हमारे पास आया है और यह "यूनियन" का संक्षिप्त रूप है, अर्थात। "संघ"।
• "∩" प्रतिच्छेदन चिन्ह है। यह बकवास कहीं से नहीं आई, बल्कि बस "∪" के प्रतिरूप के रूप में सामने आई।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों पर ध्यान दें (बस अब मुझ पर नशीली दवाओं की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप गंभीरता से इस पाठ का अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक नशे की लत हैं):

समुच्चयों के प्रतिच्छेदन और मिलन के बीच अंतर

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्नलिखित है: संघ (समग्रता) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए यह किसी भी तरह से उनमें से प्रत्येक से कम नहीं है; लेकिन प्रतिच्छेदन (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल हैं जो पहले सेट और दूसरे दोनों में एक साथ हैं। इसलिए, सेटों का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से बड़ा नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत बढ़िया बात है। आइए अभ्यास की ओर आगे बढ़ें।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\]

समाधान। हम योजना के अनुसार आगे बढ़ते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\दायां तीर \बाएं[ \शुरू(संरेखित) और 3x+1 \gt 5-4x \\ और 3x+1 \lt -\बाएं(5-4x \दाएं) \\\अंत(संरेखित) \ सही।\]

हम जनसंख्या में प्रत्येक असमानता का समाधान करते हैं:

\[\बाएँ[ \begin(संरेखित) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(संरेखित) \दाएँ।\]

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित) और 7x \gt 4 \\ और -x \lt -6 \\ \अंत(संरेखित) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \begin(संरेखित) और x \gt 4/7\ \\ और x \gt 6 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

हम प्रत्येक परिणामी सेट को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

समुच्चयों का संघ

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उत्तर $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ होगा

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

समाधान। कुंआ? कुछ नहीं - सब कुछ वैसा ही है. हम मापांक वाली असमानता से दो असमानताओं के समुच्चय की ओर बढ़ते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\दायां तीर \बाएं[ \begin(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम हर असमानता का समाधान करते हैं। दुर्भाग्य से, वहाँ जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता भी थोड़ी जंगली है:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(संरेखित करें)\]

अब आपको इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, आपको बिंदुओं को सही क्रम में चिह्नित करने की आवश्यकता है: संख्या जितनी बड़ी होगी, बिंदु उतना ही दाईं ओर चला जाएगा।

और यहां एक सेटअप हमारा इंतजार कर रहा है। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद अंश दूसरे के अंश में पदों से कम है, इसलिए योग भी कम है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ कोई कठिनाई नहीं होगी (सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से नकारात्मक से अधिक है), फिर अंतिम जोड़े के साथ सब कुछ इतना स्पष्ट नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं का स्थान और वास्तव में उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो आइए तुलना करें:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

हमने मूल को अलग कर दिया, असमानता के दोनों पक्षों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों का वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

मुझे लगता है कि यह कोई दिमाग लगाने वाली बात नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, अक्षों पर अंतिम बिंदु इस प्रकार रखे जाएंगे:

बदसूरत जड़ों का मामला

मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक सेट को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर एक संघ होगा, न कि छायांकित सेटों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना सरल और बहुत कठिन दोनों समस्याओं के लिए बढ़िया काम करती है। इस दृष्टिकोण में एकमात्र "कमजोर बिंदु" यह है कि आपको अपरिमेय संख्याओं की सही ढंग से तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन एक अलग (और बहुत गंभीर) पाठ तुलनात्मक मुद्दों के लिए समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं.

3. गैर-नकारात्मक "पूंछ" के साथ असमानताएं

अब हम सबसे दिलचस्प हिस्से पर आते हैं। ये प्रपत्र की असमानताएँ हैं:

\[\बाएं| f\दाएं| \gt\बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, अब हम जिस एल्गोरिदम के बारे में बात करेंगे वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहां बाएं और दाएं तरफ गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी होती है:

इन कार्यों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक "पूंछ" वाली असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा.

सबसे पहले, हमें चुकता करने में रुचि होगी - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इसे वर्ग का मूल लेने के साथ भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \दाएं|\ne f\]

जब कोई छात्र मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया तो अनगिनत गलतियाँ हुईं! लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है (ये, जैसे कि यह थे, अतार्किक समीकरण हैं), इसलिए हम अभी इसमें नहीं जाएंगे। आइए कुछ समस्याओं को बेहतर ढंग से हल करें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं|\ge \बाएं| 1-2x \दाएं|\]

समाधान। आइए तुरंत दो बातों पर ध्यान दें:

1. यह कोई सख्त असमानता नहीं है. संख्या रेखा पर बिंदु पंचर हो जायेंगे.
2. असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।

इसलिए, हम मापांक से छुटकारा पाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं और सामान्य अंतराल विधि का उपयोग करके समस्या को हल कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(संरेखित करें)\]

अंतिम चरण में, मैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मॉड्यूल की समरूपता का लाभ उठाते हुए, शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने अभिव्यक्ति $1-2x$ को −1 से गुणा कर दिया)।

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ दाएँ)\दाएँ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर चलें:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(संरेखित करें)\]

हम पाए गए मूलों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!

मापांक चिन्ह से छुटकारा पाना

मैं आपको उन लोगों के लिए याद दिला दूं जो विशेष रूप से जिद्दी हैं: हम अंतिम असमानता से संकेत लेते हैं, जो समीकरण पर आगे बढ़ने से पहले लिखा गया था। और हम उसी असमानता में आवश्यक क्षेत्रों पर चित्रित करते हैं। हमारे मामले में यह $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ है।

ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। समस्या सुलझ गई है।

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \दाएं|\]

समाधान। हम सब कुछ वैसे ही करते हैं. मैं कोई टिप्पणी नहीं करूँगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखूँगा।

इसे चौकोर करें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \दाएं| \दाएं))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \दाएँ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ दाएँ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \दाएं)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

अंतराल विधि:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ दायां तीर x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\राइटएरो D=16-40 \lt 0\राइटएरो \varnothing। \\\end(संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक मूल होता है:

उत्तर एक संपूर्ण अंतराल है

उत्तर: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

पिछले कार्य के बारे में एक छोटा सा नोट. जैसा कि मेरे एक छात्र ने सटीक रूप से नोट किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह सोच का बिल्कुल अलग स्तर और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों की विधि कहा जा सकता है। इसके बारे में - एक अलग पाठ में। आइए अब आज के पाठ के अंतिम भाग पर चलते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम को देखते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे। :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

यदि ये सभी तकनीकें मदद न करें तो क्या होगा? यदि असमानता को गैर-नकारात्मक पूंछों तक कम नहीं किया जा सकता है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, यदि सामान्य तौर पर दर्द, उदासी, उदासी है?

तब सभी गणित का "भारी तोपखाना" दृश्य पर आता है - क्रूर बल विधि। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में यह इस प्रकार दिखता है:

1. सभी सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ लिखें और उन्हें शून्य के बराबर सेट करें;
2. परिणामी समीकरणों को हल करें और एक संख्या रेखा पर पाए गए मूलों को चिह्नित करें;
3. सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित चिह्न होता है और इसलिए यह विशिष्ट रूप से प्रकट होता है;
4. ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (विश्वसनीयता के लिए आप चरण 2 में प्राप्त मूल-सीमाओं पर अलग से विचार कर सकते हैं)। परिणामों को संयोजित करें - यही उत्तर होगा। :)

तो कैसे? कमज़ोर? आसानी से! केवल लंबे समय के लिए. आइए व्यवहार में देखें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं| \lt \बाएं| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

समाधान। यह बकवास $\left| जैसी असमानताओं तक सीमित नहीं है f\दाएं| \lt g$, $\बाएं| f\दाएं| \gt g$ या $\left| f\दाएं| \lt \बाएं| g \right|$, इसलिए हम आगे कार्य करते हैं।

हम सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ें ढूंढते हैं:

\[\begin(संरेखित) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ & x-1=0\दायां तीर x=1. \\\end(संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य द्वारा संख्या रेखा का विभाजन

आइए प्रत्येक अनुभाग को अलग से देखें।

1. मान लीजिए $x \lt -2$। तब दोनों सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ नकारात्मक हैं, और मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(संरेखित) और -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(संरेखित)\]

हमें काफी सरल सीमा मिल गई है। आइए इसे प्रारंभिक धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और x \lt -2 \\ और x \gt 1.5 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\दायाँ तीर x\in \varnothing \]

जाहिर है, चर $x$ एक साथ −2 से कम और 1.5 से अधिक नहीं हो सकता। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं.

1.1. आइए हम सीमा रेखा मामले पर अलग से विचार करें: $x=-2$। आइए बस इस संख्या को मूल असमानता में प्रतिस्थापित करें और जांचें: क्या यह सच है?

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ और 0 \lt \बाएं| -3\दाएं|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\राइटएरो \varnothing . \\\end(संरेखित करें)\]

यह स्पष्ट है कि गणनाओं की श्रृंखला हमें गलत असमानता की ओर ले गई है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और $x=-2$ उत्तर में शामिल नहीं है।

2. मान लीजिए अब $-2 \lt x \lt 1$। बायां मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दायां मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ खुलेगा। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित) और x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(संरेखित करें)\]

फिर से हम मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और x \lt -2.5 \\ और -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\दायाँ तीर x\in \varnothing \]

और फिर, समाधान का सेट खाली है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो −2.5 से कम और −2 से अधिक हो।

2.1. और फिर से एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ और \बाएं| 3\दाएं| \lt \बाएं| 0\दाएं|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\राइटएरो \varnothing। \\\end(संरेखित करें)\]

पिछले "विशेष मामले" के समान, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$. यहां सभी मॉड्यूल प्लस चिह्न के साथ खोले गए हैं:

\[\begin(संरेखित) और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ और x \gt 4.5 \\ \end(संरेखित)\ ]

और फिर से हम पाए गए सेट को मूल बाधा के साथ जोड़ते हैं:

/ ]

अंत में! हमें एक अंतराल मिला है जो उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक टिप्पणी जो आपको वास्तविक समस्याओं को हल करते समय मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकती है:

मापांक के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा पर निरंतर सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं - अंतराल और खंड। पृथक बिंदु बहुत कम आम हैं। और इससे भी कम बार, ऐसा होता है कि समाधान की सीमा (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती है।

परिणामस्वरूप, यदि सीमाएँ (समान "विशेष मामले") उत्तर में शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएँ और दाएँ क्षेत्र लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं किए जाएंगे। और इसके विपरीत: सीमा उत्तर में प्रवेश कर गई, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्र भी उत्तर होंगे।

अपने समाधानों की समीक्षा करते समय इसे ध्यान में रखें।

मापांक वाली असमानताओं को हल करने के कई तरीके हैं। आइए उनमें से कुछ पर नजर डालें।

1) मॉड्यूल की ज्यामितीय संपत्ति का उपयोग करके असमानता को हल करना।

मैं आपको याद दिला दूं कि मापांक का ज्यामितीय गुण क्या है: किसी संख्या x का मापांक मूल बिंदु से निर्देशांक x वाले बिंदु तक की दूरी है।

इस पद्धति का उपयोग करके असमानताओं को हल करते समय, दो मामले सामने आ सकते हैं:

1. |x| ≤ बी,

और मापांक के साथ असमानता स्पष्ट रूप से दो असमानताओं की प्रणाली में कम हो जाती है। यहां संकेत सख्त हो सकता है, ऐसी स्थिति में चित्र में बिंदु "छिद्रित" हो जाएंगे।

2. |x| ≥ बी,तो समाधान चित्र इस तरह दिखता है:

और मापांक के साथ असमानता स्पष्ट रूप से दो असमानताओं के संयोजन में कम हो जाती है। यहां संकेत सख्त हो सकता है, ऐसी स्थिति में चित्र में बिंदु "छिद्रित" हो जाएंगे।

उदाहरण 1।

असमानता को हल करें |4 – |x|| ≥ 3.

समाधान।

यह असमानता निम्नलिखित सेट के बराबर है:

यू [-1;1] यू

उदाहरण 2.

असमानता को हल करें ||x+2| – 3| ≤ 2.

समाधान।

यह असमानता निम्नलिखित प्रणाली के समतुल्य है।

(|एक्स + 2| – 3 ≥ -2
(|एक्स + 2| – 3 ≤ 2,
(|एक्स + 2| ≥ 1
(|एक्स + 2| ≤ 5.

आइए हम सिस्टम की पहली असमानता को अलग से हल करें। यह निम्नलिखित सेट के बराबर है:

यू[-1; 3].

2) मापांक की परिभाषा का उपयोग करके असमानताओं को हल करना।

पहले मैं आपको याद दिला दूँ मॉड्यूल परिभाषा.

|ए| = ए यदि ए ≥ 0 और |ए| = -ए यदि ए< 0.

उदाहरण के लिए, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

उदाहरण 1।

असमानता 3|x – 1| को हल करें ≤ एक्स+3.

समाधान।

मॉड्यूल परिभाषा का उपयोग करके हमें दो सिस्टम मिलते हैं:

(एक्स - 1 ≥ 0
(3(एक्स – 1) ≤ एक्स + 3

(एक्स - 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

पहली और दूसरी प्रणाली को अलग-अलग हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(एक्स ≥ 1
(एक्स ≤ 3,

(एक्स< 1
(एक्स ≥ 0.

मूल असमानता का समाधान पहली प्रणाली के सभी समाधान और दूसरी प्रणाली के सभी समाधान होंगे।

उत्तर: एक्स € ​​.

3) असमानताओं को वर्ग करके हल करना।

उदाहरण 1।

असमानता को हल करें |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

समाधान।

आइए असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करें। मुझे ध्यान देने दीजिए कि असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करना तभी संभव है जब वे दोनों सकारात्मक हों। इस मामले में, हमारे पास बाएँ और दाएँ दोनों तरफ मॉड्यूल हैं, इसलिए हम ऐसा कर सकते हैं।

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

अब आइए मॉड्यूल की निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग करें: (|x|) 2 = x 2।

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(एक्स 2 – 1) 2 – (एक्स 2 – एक्स + 1) 2< 0.

(एक्स 2 – 1 – एक्स 2 + एक्स – 1)(एक्स 2 – 1 + एक्स 2 – एक्स + 1)< 0,

(एक्स – 2)(2एक्स 2 – एक्स)< 0,

एक्स(एक्स – 2)(2एक्स – 1)< 0.

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं।

उत्तर: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) चर परिवर्तन करके असमानताओं को हल करना।

उदाहरण।

असमानता (2x + 3) 2 – |2x + 3| को हल करें ≤ 30.

समाधान।

ध्यान दें कि (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2। तब हमें असमानता प्राप्त होती है

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

आइए परिवर्तन करें y = |2x + 3|

आइए प्रतिस्थापन को ध्यान में रखते हुए अपनी असमानता को फिर से लिखें।

आप 2 – आप ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

आइए बाईं ओर द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करें।

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11)/2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

आइए अंतराल विधि का उपयोग करके हल करें और प्राप्त करें:

आइए प्रतिस्थापन पर वापस जाएँ:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

यह दोहरी असमानता असमानताओं की प्रणाली के बराबर है:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

आइए प्रत्येक असमानता को अलग-अलग हल करें।

पहला सिस्टम के समतुल्य है

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

आइए इसे सुलझाएं.

(एक्स ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

दूसरी असमानता स्पष्ट रूप से सभी x के लिए लागू होती है, क्योंकि मापांक, परिभाषा के अनुसार, एक सकारात्मक संख्या है। चूँकि सिस्टम का समाधान सभी x है जो सिस्टम की पहली और दूसरी दोनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट करता है, तो मूल सिस्टम का समाधान इसकी पहली दोहरी असमानता का समाधान होगा (आखिरकार, दूसरा सभी x के लिए सत्य है) .

उत्तर: x € [-4.5; 1.5]।

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संख्याओं का मापांकयदि यह संख्या गैर-ऋणात्मक है, तो यह संख्या स्वयं कहलाती है, या यदि यह ऋणात्मक है, तो विपरीत चिह्न वाली वही संख्या कहलाती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 6 का मापांक 6 है, और संख्या -6 का मापांक भी 6 है।

अर्थात्, किसी संख्या के मापांक को निरपेक्ष मान के रूप में समझा जाता है, इस संख्या के चिह्न को ध्यान में रखे बिना इसका निरपेक्ष मान।

इसे इस प्रकार नामित किया गया है: |6|, | एक्स|, |ए| वगैरह।

("संख्या मॉड्यूल" अनुभाग में अधिक विवरण)।

मापांक के साथ समीकरण.

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें|10 एक्स - 5| = 15.

समाधान.

नियम के अनुसार, समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

10एक्स - 5 = 15
10एक्स - 5 = -15

हमने निर्णय किया:

10एक्स = 15 + 5 = 20
10एक्स = -15 + 5 = -10

एक्स = 20: 10
एक्स = -10: 10

एक्स = 2
एक्स = -1

उत्तर: एक्स 1 = 2, एक्स 2 = -1.

उदाहरण 2 . प्रश्न हल करें|2 एक्स + 1| = एक्स + 2.

समाधान.

चूँकि मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है एक्स+ 2 ≥ 0. तदनुसार:

एक्स ≥ -2.

आइए दो समीकरण बनाएं:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -(एक्स + 2)

हमने निर्णय किया:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -एक्स - 2

2एक्स - एक्स = 2 - 1
2एक्स + एक्स = -2 - 1

एक्स = 1
एक्स = -1

दोनों संख्याएँ -2 से बड़ी हैं। तो दोनों समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1.

उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें

|एक्स + 3| - 1
————— = 4
एक्स - 1

समाधान.

यदि हर शून्य नहीं है तो समीकरण समझ में आता है - इसका मतलब है यदि एक्स≠ 1. आइए इस स्थिति को ध्यान में रखें। हमारी पहली क्रिया सरल है - हम केवल अंश से छुटकारा नहीं पाते हैं, बल्कि इसे परिवर्तित करते हैं ताकि मॉड्यूल को उसके शुद्ध रूप में प्राप्त किया जा सके:

|एक्स+3| - 1 = 4 · ( एक्स - 1),

|एक्स + 3| - 1 = 4एक्स - 4,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 4 + 1,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 3.

अब हमारे पास समीकरण के बाईं ओर मापांक के अंतर्गत केवल एक अभिव्यक्ति है। आगे बढ़ो।
किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है - अर्थात, यह शून्य से बड़ा या शून्य के बराबर होना चाहिए। तदनुसार, हम असमानता को हल करते हैं:

4एक्स - 3 ≥ 0

4एक्स ≥ 3

एक्स ≥ 3/4

इस प्रकार, हमारे पास दूसरी शर्त है: समीकरण का मूल कम से कम 3/4 होना चाहिए।

नियम के अनुसार, हम दो समीकरणों का एक सेट बनाते हैं और उन्हें हल करते हैं:

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -(4एक्स - 3)

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -4एक्स + 3

एक्स - 4एक्स = -3 - 3
एक्स + 4एक्स = 3 - 3

एक्स = 2
एक्स = 0

हमें दो उत्तर मिले. आइए जाँच करें कि क्या वे मूल समीकरण की जड़ें हैं।

हमारी दो स्थितियाँ थीं: समीकरण का मूल 1 के बराबर नहीं हो सकता, और यह कम से कम 3/4 होना चाहिए। वह है एक्स ≠ 1, एक्स≥ 3/4. ये दोनों स्थितियाँ प्राप्त दो उत्तरों में से केवल एक के अनुरूप हैं - संख्या 2। इसका मतलब है कि केवल यही मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर: एक्स = 2.

मापांक के साथ असमानताएँ.

उदाहरण 1 . असमानता का समाधान करें| एक्स - 3| < 4

समाधान.

मॉड्यूल नियम कहता है:

|ए| = ए, अगर ए ≥ 0.

|ए| = -ए, अगर ए < 0.

मॉड्यूल में गैर-नकारात्मक और नकारात्मक दोनों संख्याएं हो सकती हैं। इसलिए हमें दोनों मामलों पर विचार करना होगा: एक्स- 3 ≥ 0 और एक्स - 3 < 0.

1) कब एक्स- 3 ≥ 0 हमारी मूल असमानता वैसी ही बनी हुई है, केवल मापांक चिह्न के बिना:
एक्स - 3 < 4.

2) कब एक्स - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एक्स - 3) < 4.

कोष्ठक खोलने पर, हमें मिलता है:

-एक्स + 3 < 4.

इस प्रकार, इन दो स्थितियों से हम असमानताओं की दो प्रणालियों के एकीकरण पर पहुंचे:

एक्स - 3 ≥ 0
एक्स - 3 < 4

एक्स - 3 < 0
-एक्स + 3 < 4

आइए उन्हें हल करें:

एक्स ≥ 3
एक्स < 7

एक्स < 3
एक्स > -1

तो, हमारा उत्तर दो सेटों का मिलन है:

3 ≤ एक्स < 7 U -1 < एक्स < 3.

सबसे छोटे और सबसे बड़े मान निर्धारित करें. ये -1 और 7 हैं। इसके अलावा एक्स-1 से अधिक लेकिन 7 से कम.
अलावा, एक्स≥ 3. इसका मतलब है कि असमानता का समाधान इन चरम संख्याओं को छोड़कर -1 से 7 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -1 < एक्स < 7.

या: एक्स ∈ (-1; 7).

ऐड-ऑन.

1) हमारी असमानता को हल करने का एक सरल और छोटा तरीका है - ग्राफिक रूप से। ऐसा करने के लिए, आपको एक क्षैतिज अक्ष (चित्र 1) खींचने की आवश्यकता है।

अभिव्यक्ति | एक्स - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एक्सबिंदु 3 से चार इकाई कम है। हम अक्ष पर संख्या 3 अंकित करते हैं और उसके बायीं और दायीं ओर 4 प्रभागों को गिनते हैं। बाईं ओर हम बिंदु -1 पर आएंगे, दाईं ओर - बिंदु 7 पर। इस प्रकार, अंक एक्सहमने उन्हें बिना हिसाब लगाए बस देख लिया।

इसके अलावा, असमानता की स्थिति के अनुसार, -1 और 7 स्वयं समाधान के सेट में शामिल नहीं हैं। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है:

1 < एक्स < 7.

2) लेकिन एक और समाधान है जो ग्राफ़िकल विधि से भी सरल है। ऐसा करने के लिए, हमारी असमानता को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए:

4 < एक्स - 3 < 4.

आख़िरकार, मापांक नियम के अनुसार ऐसा ही होता है। गैर-ऋणात्मक संख्या 4 और समान ऋणात्मक संख्या -4 असमानता को हल करने की सीमाएँ हैं।

4 + 3 < एक्स < 4 + 3

1 < एक्स < 7.

उदाहरण 2 . असमानता का समाधान करें| एक्स - 2| ≥ 5

समाधान.

यह उदाहरण पिछले वाले से काफी अलग है. बाईं ओर 5 से अधिक या 5 के बराबर है। ज्यामितीय दृष्टिकोण से, असमानता का समाधान वे सभी संख्याएँ हैं जो बिंदु 2 से 5 इकाइयों या अधिक की दूरी पर हैं (चित्र 2)। ग्राफ़ दिखाता है कि ये सभी संख्याएँ हैं जो -3 से कम या उसके बराबर हैं और 7 से बड़ी या उसके बराबर हैं। इसका मतलब है कि हमें उत्तर पहले ही मिल चुका है।

उत्तर: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

साथ ही, हम मुक्त पद को बाएँ और दाएँ विपरीत चिह्न के साथ पुनर्व्यवस्थित करके समान असमानता को हल करते हैं:

5 ≥ एक्स - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एक्स ≥ 5 + 2

उत्तर वही है: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

या: एक्स ∈ [-3; 7]

उदाहरण हल हो गया है.

उदाहरण 3 . असमानता का समाधान करें 6 एक्स 2 - | एक्स| - 2 ≤ 0

समाधान.

संख्या एक्सयह एक धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या या शून्य हो सकता है। इसलिए, हमें तीनों परिस्थितियों को ध्यान में रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, उन्हें दो असमानताओं में ध्यान में रखा जाता है: एक्स≥ 0 और एक्स < 0. При एक्स≥ 0 हम अपनी मूल असमानता को वैसे ही फिर से लिखते हैं, केवल मापांक चिह्न के बिना:

6x 2 - एक्स - 2 ≤ 0.

अब दूसरे मामले के बारे में: यदि एक्स < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6एक्स 2 - (-एक्स) - 2 ≤ 0.

कोष्ठक का विस्तार:

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0.

इस प्रकार, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त हुईं:

6एक्स 2 - एक्स - 2 ≤ 0
एक्स ≥ 0

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0
एक्स < 0

हमें प्रणालियों में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है - और इसका मतलब है कि हमें दो द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम असमानताओं के बाएँ पक्ष को शून्य के बराबर करते हैं।

आइए पहले वाले से शुरू करें:

6एक्स 2 - एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण को कैसे हल करें - "द्विघात समीकरण" अनुभाग देखें। हम तुरंत उत्तर देंगे:

एक्स 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

असमानताओं की पहली प्रणाली से हम पाते हैं कि मूल असमानता का समाधान -1/2 से 2/3 तक संख्याओं का संपूर्ण सेट है। हम समाधानों का संघ लिखते हैं एक्स ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

आइए अब दूसरा द्विघात समीकरण हल करें:

6एक्स 2 + एक्स - 2 = 0.

इसकी जड़ें:

एक्स 1 = -2/3, एक्स 2 = 1/2.

निष्कर्ष: कब एक्स < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

आइए दोनों उत्तरों को मिलाएं और अंतिम उत्तर प्राप्त करें: समाधान इन चरम संख्याओं सहित -2/3 से 2/3 तक की संख्याओं का संपूर्ण सेट है।

उत्तर: -2/3 ≤ एक्स ≤ 2/3.

या: एक्स ∈ [-2/3; 2/3].

मॉड्यूल के साथ असमानताओं को प्रकट करने के तरीकों (नियमों) में सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के निरंतर संकेत के अंतराल का उपयोग करके मॉड्यूल के क्रमिक प्रकटीकरण शामिल हैं। अंतिम संस्करण में, कई असमानताएँ प्राप्त होती हैं जिनसे अंतराल या अंतराल पाए जाते हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं।

आइए व्यवहार में सामान्य उदाहरणों को हल करने की ओर आगे बढ़ें।

मापांक के साथ रैखिक असमानताएँ

रैखिक से हमारा तात्पर्य उन समीकरणों से है जिनमें एक चर समीकरण में रैखिक रूप से प्रवेश करता है।

उदाहरण 1. असमानता का समाधान खोजें

समाधान:
समस्या की स्थितियों से यह पता चलता है कि मॉड्यूल x=-1 और x=-2 पर शून्य हो जाते हैं। ये बिंदु संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं

इनमें से प्रत्येक अंतराल में हम दी गई असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के स्थिर चिह्न वाले क्षेत्रों के चित्रमय चित्र बनाते हैं। उन्हें प्रत्येक कार्य के संकेतों वाले क्षेत्रों के रूप में दर्शाया गया है

या सभी कार्यों के संकेतों के साथ अंतराल।

पहले अंतराल में हम मॉड्यूल का विस्तार करते हैं

हम दोनों पक्षों को शून्य से एक से गुणा करते हैं, और असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा। यदि आपके लिए इस नियम का उपयोग करना कठिन है, तो आप माइनस से छुटकारा पाने के लिए प्रत्येक भाग को साइन के पीछे ले जा सकते हैं। अंत में तुम्हें प्राप्त होगा

जिस क्षेत्र पर समीकरण हल किए गए थे, उसके साथ सेट x>-3 का प्रतिच्छेदन अंतराल (-3;-2) होगा। उन लोगों के लिए जिन्हें समाधान ढूंढना आसान लगता है, आप ग्राफिक रूप से इन क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन को चित्रित कर सकते हैं

क्षेत्रों का सामान्य प्रतिच्छेदन ही समाधान होगा। यदि सख्ती से असमान है, तो किनारों को शामिल नहीं किया गया है। यदि सख्त नहीं है, तो प्रतिस्थापन द्वारा जाँच करें।

दूसरे अंतराल पर हमें मिलता है

क्रॉस सेक्शन अंतराल (-2;-5/3) होगा। ग्राफ़िक रूप से समाधान इस प्रकार दिखेगा

तीसरे अंतराल पर हमें मिलता है

यह स्थिति वांछित क्षेत्र में समाधान प्रदान नहीं करती है.

चूँकि बिंदु x=-2 पर दो समाधान (-3;-2) और (-2;-5/3) बॉर्डर पाए गए, हम इसकी भी जाँच करते हैं।

इस प्रकार बिंदु x=-2 समाधान है। इसे ध्यान में रखते हुए सामान्य समाधान (-3;5/3) जैसा दिखेगा।

उदाहरण 2. असमानता का समाधान खोजें
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

समाधान:
सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य बिंदु x=2, x=3, x=4 होंगे। इन बिंदुओं से कम तर्क मानों के लिए, सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक हैं, और बड़े मानों के लिए, वे सकारात्मक हैं।

बिंदु वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। हम स्थिर चिह्न के अंतराल के अनुसार मॉड्यूल का विस्तार करते हैं और असमानताओं को हल करते हैं।

1) पहले अंतराल में, सभी सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, इसलिए मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम चिह्न को विपरीत में बदल देते हैं।

विचारित अंतराल के साथ पाए गए x मानों का प्रतिच्छेदन बिंदुओं का एक समूह होगा

2) बिंदु x=2 और x=3 के बीच के अंतराल पर, पहला सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन सकारात्मक है, दूसरा और तीसरा नकारात्मक है। मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हमें मिलता है

एक असमानता, जिसे जब उस अंतराल के साथ काटा जाता है जिस पर हम हल कर रहे हैं, तो एक समाधान मिलता है - x=3।

3) बिंदु x=3 और x=4 के बीच के अंतराल पर, पहला और दूसरा सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन सकारात्मक हैं, और तीसरा नकारात्मक है। इसके आधार पर हमें प्राप्त होता है

यह स्थिति दर्शाती है कि संपूर्ण अंतराल मापांक के साथ असमानता को संतुष्ट करेगा।

4) x>4 के मानों के लिए सभी फ़ंक्शनों में सकारात्मक चिह्न होते हैं। मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम उनका चिह्न नहीं बदलते हैं।

अंतराल के साथ प्रतिच्छेदन पर पाई गई स्थिति समाधान का निम्नलिखित सेट देती है

चूंकि असमानता सभी अंतरालों पर हल हो गई है, इसलिए x के सभी पाए गए मानों का सामान्य मान ज्ञात करना बाकी है। समाधान दो अंतराल होगा

यह उदाहरण समाप्त करता है.

उदाहरण 3. असमानता का समाधान खोजें
||x-1|-5|>3-2x

समाधान:
हमारे पास मापांक से मापांक के साथ असमानता है। ऐसी असमानताएं तब प्रकट होती हैं जब मॉड्यूल नेस्ट किए जाते हैं, शुरुआत उन मॉड्यूल से होती है जो अधिक गहराई में स्थित होते हैं।

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन x-1 को x=1 पर शून्य में परिवर्तित किया जाता है। 1 से अधिक छोटे मानों के लिए यह ऋणात्मक है और x>1 के लिए धनात्मक है। इसके आधार पर, हम आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर असमानता पर विचार करते हैं।

सबसे पहले, शून्य से अनंत तक के अंतराल पर विचार करें

x=-4 पर सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन शून्य है। छोटे मूल्यों पर यह सकारात्मक है, बड़े मूल्यों पर यह नकारात्मक है। आइए x के लिए मॉड्यूल का विस्तार करें<-4:

जिस क्षेत्र पर हम विचार कर रहे हैं, उसके प्रतिच्छेदन पर हमें समाधानों का एक सेट प्राप्त होता है

अगला कदम अंतराल पर मॉड्यूल का विस्तार करना है (-4;1)

मॉड्यूल के विस्तार क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हम समाधान अंतराल प्राप्त करते हैं

याद रखें: यदि मॉड्यूल के साथ ऐसी अनियमितताओं में आपको एक सामान्य बिंदु की सीमा पर दो अंतराल मिलते हैं, तो, एक नियम के रूप में, यह भी एक समाधान है।

ऐसा करने के लिए, आपको बस जांच करने की आवश्यकता है।

इस मामले में, हम बिंदु x=-4 को प्रतिस्थापित करते हैं।

तो x=-4 समाधान है.
आइए x>1 के लिए आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें

x के लिए सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक<6.
हमें जो मॉड्यूल मिलता है उसका विस्तार करना

अंतराल (1;6) वाले अनुभाग में यह स्थिति समाधानों का एक खाली सेट देती है।

x>6 के लिए हमें असमानता प्राप्त होती है

साथ ही हल करने पर हमें एक खाली सेट मिला।
उपरोक्त सभी को ध्यान में रखते हुए, मॉड्यूल के साथ असमानता का एकमात्र समाधान निम्नलिखित अंतराल होगा।

द्विघात समीकरणों वाले मापांक वाली असमानताएँ

उदाहरण 4. असमानता का समाधान खोजें
|x^2+3x|>=2-x^2

समाधान:
सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन बिंदु x=0, x=-3 पर गायब हो जाता है। शून्य से एक का सरल प्रतिस्थापन

हम स्थापित करते हैं कि यह अंतराल (-3;0) में शून्य से कम है और इसके परे सकारात्मक है।
आइए उन क्षेत्रों में मॉड्यूल का विस्तार करें जहां सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन सकारात्मक है

यह उन क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए बना हुआ है जहां वर्ग फ़ंक्शन सकारात्मक है। ऐसा करने के लिए, हम द्विघात समीकरण की जड़ें निर्धारित करते हैं

सुविधा के लिए, हम बिंदु x=0 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो अंतराल (-2;1/2) से संबंधित है। इस अंतराल में फलन ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि समाधान निम्नलिखित समुच्चय x होगा

यहां समाधान वाले क्षेत्रों के किनारों को कोष्ठक द्वारा दर्शाया गया है; यह निम्नलिखित नियम को ध्यान में रखते हुए जानबूझकर किया गया था।

याद रखें: यदि मापांक के साथ एक असमानता, या एक साधारण असमानता सख्त है, तो पाए गए क्षेत्रों के किनारे समाधान नहीं हैं, लेकिन यदि असमानताएं सख्त नहीं हैं (), तो किनारे समाधान हैं (वर्ग कोष्ठक द्वारा चिह्नित)।

इस नियम का उपयोग कई शिक्षकों द्वारा किया जाता है: यदि एक सख्त असमानता दी गई है, और गणना के दौरान आप समाधान में एक वर्ग कोष्ठक ([,]) लिखते हैं, तो वे स्वचालित रूप से इसे गलत उत्तर मान लेंगे। इसके अलावा, परीक्षण करते समय, यदि मॉड्यूल के साथ एक गैर-सख्त असमानता दी गई है, तो समाधानों के बीच वर्ग कोष्ठक वाले क्षेत्रों की तलाश करें।

अंतराल (-3;0) पर, मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम फ़ंक्शन के चिह्न को विपरीत में बदलते हैं

असमानता प्रकटीकरण के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए समाधान का स्वरूप होगा

पिछले क्षेत्र के साथ मिलकर यह दो अर्ध-अंतराल देगा

उदाहरण 5. असमानता का समाधान खोजें
9x^2-|x-3|>=9x-2

समाधान:
एक गैर-सख्त असमानता दी गई है जिसका सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन बिंदु x=3 पर शून्य के बराबर है। छोटे मूल्यों के लिए यह नकारात्मक है, बड़े मूल्यों के लिए यह सकारात्मक है। अंतराल x पर मॉड्यूल का विस्तार करें<3.

समीकरण के विभेदक का पता लगाना

और जड़ें

बिंदु शून्य को प्रतिस्थापित करने पर, हमें पता चलता है कि अंतराल [-1/9;1] पर द्विघात फलन ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल एक समाधान है। इसके बाद हम मॉड्यूल को x>3 पर विस्तारित करते हैं