मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि. स्तोत्र

आइए अब रैखिक अमानवीय समीकरण पर विचार करें
. (2)
मान लीजिए y 1 ,y 2 ,.., y n समाधानों की एक मौलिक प्रणाली है, और संगत सजातीय समीकरण L(y)=0 का सामान्य समाधान है। प्रथम-क्रम समीकरणों के मामले के समान, हम फॉर्म में समीकरण (2) का समाधान ढूंढेंगे
. (3)
आइए सुनिश्चित करें कि इस रूप में एक समाधान मौजूद है। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, हम इसके डेरिवेटिव ढूंढते हैं। पहला व्युत्पन्न बराबर है
. (4)
दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, चार पद (4) के दाईं ओर दिखाई देंगे, तीसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, आठ पद दिखाई देंगे, और इसी तरह। इसलिए, आगे की गणना की सुविधा के लिए, (4) में पहला पद शून्य के बराबर सेट किया गया है। इसे ध्यान में रखते हुए, दूसरा व्युत्पन्न बराबर है
. (5)
पहले के समान कारणों से, (5) में भी हमने पहला पद शून्य के बराबर निर्धारित किया है। अंत में, nवाँ व्युत्पन्न है
. (6)
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है
. (7)
(7) में दूसरा पद शून्य के बराबर है, क्योंकि फ़ंक्शन y j , j=1,2,..,n, संबंधित सजातीय समीकरण L(y)=0 के समाधान हैं। पिछले वाले के साथ संयोजन करने पर, हमें फ़ंक्शन C" j (x) खोजने के लिए बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।
(8)
इस प्रणाली का निर्धारक संबंधित सजातीय समीकरण L(y)=0 के समाधान y 1 ,y 2 ,..,y n की मौलिक प्रणाली का व्रोन्स्की निर्धारक है और इसलिए शून्य के बराबर नहीं है। नतीजतन, सिस्टम (8) का एक अनूठा समाधान है। इसे खोजने के बाद, हम फ़ंक्शन C" j (x), j=1,2,…,n, और, परिणामस्वरूप, C j (x), j=1,2,…,n प्राप्त करते हैं, इन मानों को इसमें प्रतिस्थापित करते हैं (3), हम एक रैखिक अमानवीय समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं।
प्रस्तुत विधि को मनमाने स्थिरांक के परिवर्तन की विधि या लैग्रेंज विधि कहा जाता है।

व्युत्पन्न की अधिकतम डिग्री 2 3 4 5 6

उदाहरण क्रमांक 1. आइए समीकरण y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x का सामान्य हल खोजें। संबंधित सजातीय समीकरण y"" + 4y" + 3y = 0 पर विचार करें। इसके अभिलक्षणिक समीकरण r 2 + 4r + 3 के मूल = 0 -1 और - 3 के बराबर हैं। इसलिए, एक सजातीय समीकरण के समाधान की मूल प्रणाली में फ़ंक्शन y 1 = e - x और y 2 = e -3 x शामिल होते हैं। हम y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x के रूप में अमानवीय समीकरण का समाधान ढूंढते हैं। व्युत्पन्न C" 1 , C" 2 खोजने के लिए हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं (8)

जिसे हल करने पर, हम पाते हैं, प्राप्त कार्यों को एकीकृत करना, हमारे पास है
अंततः हम पाते हैं

उदाहरण क्रमांक 2. अलग-अलग मनमाने स्थिरांक की विधि का उपयोग करके निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों को हल करें:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

समाधान:
यह अंतर समीकरण स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों को संदर्भित करता है।
हम समीकरण का हल y = e rx के रूप में खोजेंगे। ऐसा करने के लिए, हम स्थिर गुणांक वाले एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के विशेषता समीकरण की रचना करते हैं:
आर 2 -6 आर + 8 = 0
डी = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

अभिलक्षणिक समीकरण के मूल: r 1 = 4, r 2 = 2
नतीजतन, समाधान की मूलभूत प्रणाली में निम्नलिखित कार्य शामिल हैं:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:

किसी मनमाने स्थिरांक को परिवर्तित करने की विधि द्वारा किसी विशेष समाधान की खोज करें।
C'i के अवकलज ज्ञात करने के लिए हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
आइए पहले समीकरण से C" 1 को व्यक्त करें:
सी" 1 = -सी 2 ई -2एक्स
और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करें। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:
सी" 1 = 2/(ई 2x +2ई 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
हम प्राप्त कार्यों को एकीकृत करते हैं C" i:
सी 1 = 2एलएन(ई -2एक्स +2) - ई -2एक्स + सी * 1
सी 2 = एलएन(2ई 2एक्स +1) – 2एक्स+ सी * 2

क्योंकि , फिर हम परिणामी अभिव्यक्तियों को इस रूप में लिखते हैं:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
इस प्रकार, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
या
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

आइए इस शर्त के तहत एक विशेष समाधान खोजें:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

प्राप्त समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
हम प्राप्त सामान्य समाधान का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
3 एलएन(3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3एलएन3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
या
सी*1+सी*2=2
4सी 1 + 2सी 2 = 4
या
सी*1+सी*2=2
2सी 1 + सी 2 = 2
कहाँ:
सी 1 = 0, सी * 2 = 2
निजी समाधान इस प्रकार लिखा जाएगा:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

व्याख्यान 44. दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि. स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। (विशेष दाहिनी ओर).

सामाजिक परिवर्तन. राज्य और चर्च.

बोल्शेविकों की सामाजिक नीति काफी हद तक उनके वर्ग दृष्टिकोण से तय होती थी। 10 नवंबर, 1917 के डिक्री द्वारा, वर्ग प्रणाली को नष्ट कर दिया गया, पूर्व-क्रांतिकारी रैंकों, उपाधियों और पुरस्कारों को समाप्त कर दिया गया। न्यायाधीशों का चुनाव स्थापित हो चुका है; नागरिक राज्यों का धर्मनिरपेक्षीकरण किया गया। निःशुल्क शिक्षा और चिकित्सा देखभाल की स्थापना की गई (31 अक्टूबर, 1918 का डिक्री)। महिलाओं को पुरुषों के समान अधिकार दिए गए (16 और 18 दिसंबर, 1917 के आदेश)। विवाह पर डिक्री ने नागरिक विवाह की संस्था की शुरुआत की।

20 जनवरी, 1918 के काउंसिल ऑफ पीपुल्स कमिसर्स के डिक्री द्वारा, चर्च को राज्य और शिक्षा प्रणाली से अलग कर दिया गया था। चर्च की अधिकांश संपत्ति जब्त कर ली गई। 19 जनवरी, 1918 को मॉस्को और ऑल रशिया के संरक्षक तिखोन (5 नवंबर, 1917 को निर्वाचित) ने सोवियत सत्ता को कमजोर कर दिया और बोल्शेविकों के खिलाफ लड़ाई का आह्वान किया।

एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण पर विचार करें

ऐसे समीकरण के सामान्य समाधान की संरचना निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है:

प्रमेय 1.अमानवीय समीकरण (1) का सामान्य समाधान इस समीकरण के कुछ विशेष समाधान और संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान के योग के रूप में दर्शाया जाता है

(2)

सबूत. यह साबित करना जरूरी है कि रकम कितनी है

समीकरण (1) का एक सामान्य समाधान है। आइए पहले हम साबित करें कि फ़ंक्शन (3) समीकरण (1) का समाधान है।

के स्थान पर योग को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करना पर, होगा

चूँकि समीकरण (2) का एक हल है, पहले कोष्ठक में व्यंजक शून्य के बराबर है। चूँकि समीकरण (1) का हल है, दूसरे कोष्ठक में व्यंजक बराबर है एफ(एक्स). अत: समानता (4) एक पहचान है। इस प्रकार, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।

आइए दूसरे कथन को सिद्ध करें: अभिव्यक्ति (3) है सामान्यसमीकरण का हल (1). हमें यह साबित करना होगा कि इस अभिव्यक्ति में शामिल मनमाने स्थिरांक का चयन किया जा सकता है ताकि प्रारंभिक शर्तें संतुष्ट हों:

(5)

संख्याएं चाहे जो भी हों x 0 , y 0और (यदि केवल एक्स 0उस क्षेत्र से लिया गया जहां समारोह होते हैं ए 1, ए 2और एफ(एक्स)निरंतर)।

यह देखते हुए कि इसे फॉर्म में दर्शाया जा सकता है . फिर, शर्तों (5) के आधार पर, हमारे पास होगा

आइए इस प्रणाली को हल करें और निर्धारित करें सी 1और सी 2. आइए सिस्टम को इस रूप में फिर से लिखें:

(6)

ध्यान दें कि इस प्रणाली का निर्धारक कार्यों के लिए व्रोनस्की निर्धारक है 1 परऔर दो परबिंदु पर एक्स=एक्स 0. चूंकि ये फ़ंक्शन स्थिति से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, व्रोनस्की निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है; इसलिए सिस्टम (6) का एक निश्चित समाधान है सी 1और सी 2, अर्थात। ऐसे अर्थ हैं सी 1और सी 2, जिसके तहत सूत्र (3) दी गई प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करते हुए समीकरण (1) का समाधान निर्धारित करता है। क्यू.ई.डी.

आइए हम एक अमानवीय समीकरण का आंशिक समाधान खोजने की सामान्य विधि पर आगे बढ़ें।

आइए सजातीय समीकरण (2) का सामान्य हल लिखें

. (7)

हम विचार करते हुए फॉर्म (7) में अमानवीय समीकरण (1) के लिए एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे सी 1और सी 2जैसे कुछ अभी तक अज्ञात फ़ंक्शन एक्स।

आइए हम समानता में अंतर करें (7):

आइए उन कार्यों का चयन करें जिन्हें आप ढूंढ रहे हैं सी 1और सी 2ताकि समानता बनी रहे

. (8)

यदि हम इस अतिरिक्त शर्त को ध्यान में रखते हैं, तो पहला व्युत्पन्न रूप लेगा

.

अब इस अभिव्यक्ति को अलग करने पर, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

चूँकि पहले दो कोष्ठकों में भाव शून्य हो जाते हैं य 1और य 2– एक सजातीय समीकरण के समाधान. इसलिए, अंतिम समानता रूप लेती है

. (9)

इस प्रकार, फलन (7) यदि फलन है तो अमानवीय समीकरण (1) का समाधान होगा सी 1और सी 2समीकरण (8) और (9) को संतुष्ट करें। आइए समीकरण (8) और (9) से समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं।

चूँकि इस प्रणाली का निर्धारक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के लिए व्रोनस्की निर्धारक है य 1और य 2समीकरण (2), तो यह शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, सिस्टम को हल करते हुए, हम दोनों के कुछ निश्चित कार्य पाएंगे एक्स.

अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए मनमाने स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है। यह पाठ उन छात्रों के लिए है जो पहले से ही इस विषय में कमोबेश पारंगत हैं। यदि आप अभी रिमोट कंट्रोल से परिचित होना शुरू कर रहे हैं, यानी। यदि आप चायदानी हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठ से शुरुआत करें: प्रथम कोटि अवकल समीकरण. समाधान के उदाहरण. और यदि आप पहले ही समाप्त कर रहे हैं, तो कृपया संभावित पूर्वधारणा को त्याग दें कि विधि कठिन है। क्योंकि यह सरल है.

मनमाने अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग किन मामलों में किया जाता है?

1) किसी मनमाने स्थिरांक के परिवर्तन की विधि का उपयोग हल करने के लिए किया जा सकता है प्रथम क्रम का रैखिक अमानवीय DE. चूँकि समीकरण प्रथम कोटि का है तो अचर भी एक ही है।

2) कुछ को हल करने के लिए मनमाने स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण. यहां दो स्थिरांक भिन्न-भिन्न हैं।

यह मानना ​​तर्कसंगत है कि पाठ में दो पैराग्राफ होंगे... इसलिए मैंने यह वाक्य लिखा, और लगभग 10 मिनट तक मैं यह सोचता रहा कि व्यावहारिक उदाहरणों में सहज परिवर्तन के लिए मैं और क्या चतुर बकवास जोड़ सकता हूं। लेकिन किसी कारण से छुट्टियों के बाद मेरे मन में कोई विचार नहीं आता, हालाँकि ऐसा नहीं लगता कि मैंने किसी चीज़ का दुरुपयोग किया है। इसलिए, चलिए सीधे पहले पैराग्राफ पर आते हैं।

एक मनमाना स्थिरांक के परिवर्तन की विधि
प्रथम कोटि के रैखिक अमानवीय समीकरण के लिए

किसी मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि पर विचार करने से पहले, लेख से परिचित होना उचित है प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण. उस पाठ में हमने अभ्यास किया पहला समाधानअमानवीय प्रथम क्रम डीई। यह पहला समाधान, मैं आपको याद दिला दूं, कहा जाता है प्रतिस्थापन विधिया बर्नौली विधि(भ्रमित न हों बर्नौली का समीकरण!!!)

अब हम देखेंगे दूसरा समाधान- एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि। मैं केवल तीन उदाहरण दूंगा, और मैं उन्हें उपर्युक्त पाठ से लूंगा। इतने कम क्यों? क्योंकि वास्तव में, दूसरे तरीके का समाधान पहले तरीके के समाधान के समान ही होगा। इसके अलावा, मेरी टिप्पणियों के अनुसार, मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग प्रतिस्थापन विधि की तुलना में कम बार किया जाता है।

उदाहरण 1

(पाठ के उदाहरण संख्या 2 से भिन्न प्रथम क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण)

समाधान:यह समीकरण रैखिक अमानवीय है और इसका एक परिचित रूप है:

पहले चरण में, एक सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है:
यानी हम मूर्खतापूर्वक दाहिनी ओर रीसेट कर देते हैं और उसकी जगह शून्य लिख देते हैं।
समीकरण मैं फोन करता हूँ सहायक समीकरण.

इस उदाहरण में, आपको निम्नलिखित सहायक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

हमारे सामने वियोज्य समीकरण, जिसका समाधान (मुझे आशा है) अब आपके लिए कठिन नहीं है:

इस प्रकार:
– सहायक समीकरण का सामान्य समाधान.

दूसरे चरण पर हम बदल देंगेकुछ स्थिर अभी के लिएअज्ञात फ़ंक्शन जो "x" पर निर्भर करता है:

इसलिए विधि का नाम - हम स्थिरांक बदलते हैं। वैकल्पिक रूप से, स्थिरांक कुछ फ़ंक्शन हो सकता है जिसे अब हमें ढूंढना है।

में मूलअमानवीय समीकरण आइए एक प्रतिस्थापन करें:

आइए स्थानापन्न करें और समीकरण में :

नियंत्रण बिंदु - बाईं ओर के दो पद रद्द हो जाते हैं. यदि ऐसा नहीं होता है, तो आपको उपरोक्त त्रुटि की तलाश करनी चाहिए।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, वियोज्य चर वाला एक समीकरण प्राप्त हुआ। हम चरों को अलग करते हैं और एकीकृत करते हैं।

क्या आशीर्वाद है, प्रतिपादक भी रद्द कर देते हैं:

हम पाए गए फ़ंक्शन में एक "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं:

अंतिम चरण में, हमें अपने प्रतिस्थापन के बारे में याद आता है:

फ़ंक्शन अभी मिल गया है!

तो सामान्य समाधान यह है:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

यदि आप दोनों समाधानों को प्रिंट करते हैं, तो आप आसानी से देखेंगे कि दोनों मामलों में हमें समान अभिन्न अंग मिले। एकमात्र अंतर समाधान एल्गोरिथ्म में है।

अब और अधिक जटिल चीज़ के लिए, मैं दूसरे उदाहरण पर भी टिप्पणी करूँगा:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें
(पाठ के उदाहरण संख्या 8 से भिन्न प्रथम क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण)

समाधान:आइए हम समीकरण को इस रूप में घटाएँ :

आइए दाएँ पक्ष को रीसेट करें और सहायक समीकरण को हल करें:

सहायक समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय समीकरण में हम प्रतिस्थापन करते हैं:

उत्पाद विभेदन नियम के अनुसार:

आइए स्थानापन्न करें और मूल अमानवीय समीकरण में:

बाईं ओर के दो शब्द रद्द हो जाते हैं, जिसका अर्थ है कि हम सही रास्ते पर हैं:

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें। भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का स्वादिष्ट अक्षर पहले से ही समाधान में शामिल है, इसलिए हम उदाहरण के लिए, "ए" और "बी" अक्षरों का उपयोग करते हैं:

आइए अब प्रतिस्थापन को याद करें:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

और एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण:

उदाहरण 3

दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें।

,
(पाठ के उदाहरण संख्या 4 से भिन्न प्रथम क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण)
समाधान:
यह DE रैखिक अमानवीय है। हम मनमाने अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करते हैं। आइए सहायक समीकरण हल करें:

हम चरों को अलग करते हैं और एकीकृत करते हैं:

सामान्य निर्णय:
अमानवीय समीकरण में हम प्रतिस्थापन करते हैं:

आइए प्रतिस्थापन करें:

तो सामान्य समाधान यह है:

आइए दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें:

उत्तर:निजी समाधान:

पाठ के अंत में दिया गया समाधान असाइनमेंट को पूरा करने के लिए एक उदाहरण के रूप में काम कर सकता है।

मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि
एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम समीकरण के लिए
निरंतर गुणांक के साथ

मैंने अक्सर यह राय सुनी है कि दूसरे क्रम के समीकरण के लिए मनमाने स्थिरांक को अलग-अलग करने की विधि कोई आसान बात नहीं है। लेकिन मैं निम्नलिखित मानता हूं: सबसे अधिक संभावना है, यह विधि कई लोगों को कठिन लगती है क्योंकि ऐसा अक्सर नहीं होता है। लेकिन वास्तव में कोई विशेष कठिनाइयां नहीं हैं - निर्णय की प्रक्रिया स्पष्ट, पारदर्शी और समझने योग्य है। और खूबसूरत।

विधि में महारत हासिल करने के लिए, दाहिने हाथ के रूप के आधार पर एक विशेष समाधान का चयन करके अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने में सक्षम होना वांछनीय है। इस विधि पर लेख में विस्तार से चर्चा की गई है। अमानवीय द्वितीय क्रम डीई. हमें याद है कि स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण का रूप होता है:

चयन विधि, जिस पर उपरोक्त पाठ में चर्चा की गई थी, केवल सीमित संख्या में मामलों में काम करती है जब दाईं ओर बहुपद, घातांक, साइन और कोसाइन होते हैं। लेकिन क्या करें जब दाईं ओर, उदाहरण के लिए, एक अंश, लघुगणक, स्पर्शरेखा हो? ऐसी स्थिति में, स्थिरांकों की भिन्नता की विधि बचाव में आती है।

उदाहरण 4

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजें

समाधान:इस समीकरण के दाईं ओर एक अंश है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि किसी विशेष समाधान को चुनने की विधि काम नहीं करती है। हम मनमाने अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करते हैं।

तूफ़ान के कोई संकेत नहीं हैं; समाधान की शुरुआत पूरी तरह से सामान्य है:

हम ढूंढ लेंगे सामान्य निर्णयउपयुक्त सजातीयसमीकरण:

आइए विशेषता समीकरण बनाएं और हल करें:


- संयुग्मित जटिल जड़ें प्राप्त की जाती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

सामान्य समाधान के रिकॉर्ड पर ध्यान दें - यदि कोष्ठक हैं, तो उन्हें खोलें।

अब हम प्रथम-क्रम समीकरण के लिए लगभग वही चाल अपनाते हैं: हम स्थिरांकों को बदलते हैं, उन्हें अज्ञात कार्यों से प्रतिस्थापित करते हैं। वह है, अमानवीय का सामान्य समाधानहम इस रूप में समीकरण देखेंगे:

कहाँ - अभी के लिएअज्ञात कार्य.

यह घरेलू कचरे के ढेर जैसा दिखता है, लेकिन अब हम सब कुछ सुलझा लेंगे।

अज्ञात फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न हैं। हमारा लक्ष्य डेरिवेटिव ढूंढना है, और पाए गए डेरिवेटिव को सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना होगा।

"यूनानी" कहाँ से आते हैं? सारस उन्हें लाता है. हम पहले प्राप्त सामान्य समाधान को देखते हैं और लिखते हैं:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

बचे हुए हिस्सों का निपटारा हो चुका है. दाईं ओर क्या है?

इस मामले में, मूल समीकरण का दाहिना पक्ष है:

गुणांक दूसरे व्युत्पन्न का गुणांक है:

व्यवहार में, लगभग हमेशा, और हमारा उदाहरण कोई अपवाद नहीं है।

सब कुछ स्पष्ट है, अब आप एक सिस्टम बना सकते हैं:

सिस्टम आमतौर पर हल हो जाता है क्रैमर के सूत्रों के अनुसारमानक एल्गोरिदम का उपयोग करना। अंतर केवल इतना है कि संख्याओं के बजाय हमारे पास फ़ंक्शन हैं।

आइए सिस्टम के मुख्य निर्धारक खोजें:

यदि आप भूल गए हैं कि दो-दो-दो निर्धारक कैसे प्रकट होता है, तो पाठ देखें निर्धारक की गणना कैसे करें?लिंक शर्म के बोर्ड की ओर ले जाता है =)

तो: इसका मतलब है कि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

व्युत्पन्न ढूँढना:

लेकिन इतना ही नहीं, अभी तक हमने केवल व्युत्पन्न ही पाया है।
फ़ंक्शन स्वयं एकीकरण द्वारा पुनर्स्थापित किया जाता है:

आइए दूसरे फ़ंक्शन को देखें:

यहां हम एक "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं

समाधान के अंतिम चरण में, हमें याद आता है कि हम किस रूप में अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान ढूंढ रहे थे? ऐसे में:

आपके लिए आवश्यक फ़ंक्शन अभी मिल गए हैं!

जो कुछ बचा है वह प्रतिस्थापन करना और उत्तर लिखना है:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

सिद्धांत रूप में, उत्तर कोष्ठक का विस्तार कर सकता था।

उत्तर की पूरी जाँच मानक योजना के अनुसार की जाती है, जिस पर पाठ में चर्चा की गई थी। अमानवीय द्वितीय क्रम डीई. लेकिन सत्यापन आसान नहीं होगा, क्योंकि भारी डेरिवेटिव ढूंढना और बोझिल प्रतिस्थापन करना आवश्यक है। जब आप ऐसे डिफ्यूज़र को हल करते हैं तो यह एक अप्रिय सुविधा है।

उदाहरण 5

मनमाना स्थिरांकों को अलग-अलग करके एक अंतर समीकरण को हल करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। वस्तुतः दाहिनी ओर भी एक अंश है। आइए त्रिकोणमितीय सूत्र को याद रखें, वैसे समाधान के दौरान इसे लागू करने की आवश्यकता होगी।

मनमाने अचरों के परिवर्तन की विधि सबसे सार्वभौमिक विधि है। यह किसी भी हल किये जा सकने वाले समीकरण को हल कर सकता है दाहिनी ओर के स्वरूप के आधार पर किसी विशेष समाधान का चयन करने की विधि. प्रश्न उठता है: वहाँ भी मनमाने स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि का उपयोग क्यों न किया जाए? उत्तर स्पष्ट है: एक विशेष समाधान का चयन, जिस पर कक्षा में चर्चा की गई थी अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण, समाधान को काफी तेज़ करता है और रिकॉर्डिंग को छोटा करता है - निर्धारकों और अभिन्नों के साथ कोई झंझट नहीं।

आइए दो उदाहरण देखें कॉची समस्या.

उदाहरण 6

दी गई प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें

,

समाधान:फिर से भिन्न और घातांक एक दिलचस्प जगह पर हैं।
हम मनमाने अचरों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करते हैं।

हम ढूंढ लेंगे सामान्य निर्णयउपयुक्त सजातीयसमीकरण:



- विभिन्न वास्तविक जड़ें प्राप्त की जाती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

अमानवीय का सामान्य समाधानहम समीकरणों को इस रूप में खोजते हैं: , जहां - अभी के लिएअज्ञात कार्य.

आइए एक सिस्टम बनाएं:

इस मामले में:
,
डेरिवेटिव ढूँढना:
,

इस प्रकार:

आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:
, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

हम एकीकरण द्वारा फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं:

यहाँ प्रयोग किया जाता है किसी फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत समाहित करने की विधि.

हम एकीकरण द्वारा दूसरे फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं:

यह अभिन्न हल हो गया है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि:

प्रतिस्थापन से ही हम व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार:

यह अभिन्न पाया जा सकता है पूर्ण वर्ग निष्कर्षण विधि, लेकिन डिफ्यूज़र वाले उदाहरणों में मैं अंश का विस्तार करना पसंद करता हूं अनिर्धारित गुणांक की विधि:

दोनों फ़ंक्शन मिले:

परिणामस्वरूप, अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान है:

आइए एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता हो .

तकनीकी रूप से, समाधान की खोज एक मानक तरीके से की जाती है, जिसकी चर्चा लेख में की गई थी दूसरे क्रम के अमानवीय अंतर समीकरण.

रुकिए, अब हम पाए गए सामान्य समाधान का व्युत्पन्न ढूंढेंगे:

यह कितना बड़ा अपमान है. इसे सरल बनाना आवश्यक नहीं है; समीकरणों की एक प्रणाली तुरंत बनाना आसान है। प्रारंभिक शर्तों के अनुसार :

आइए स्थिरांकों के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें सामान्य समाधान के लिए:

उत्तर में लघुगणक को थोड़ा सा पैक किया जा सकता है।

उत्तर:निजी समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, अभिन्न और व्युत्पन्न में कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि के एल्गोरिदम में नहीं। यह मैं नहीं हूं जिसने आपको डराया है, यह सब कुज़नेत्सोव का संग्रह है!

विश्राम के लिए, इसे स्वयं हल करने के लिए एक अंतिम, सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

कॉची समस्या का समाधान करें

,

उदाहरण सरल है, लेकिन रचनात्मक है, जब आप कोई सिस्टम बनाते हैं, तो निर्णय लेने से पहले उसे ध्यान से देखें ;-),




परिणामस्वरूप, सामान्य समाधान यह है:

आइए प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें .



आइए हम स्थिरांकों के पाए गए मानों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर:निजी समाधान:

आइए हम फॉर्म के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों पर विचार करें

कहाँ - तर्क का आवश्यक कार्य , और कार्य



दिए गए हैं और एक निश्चित अंतराल पर निरंतर हैं
.

आइए हम एक रैखिक सजातीय समीकरण पर विचार करें, जिसका बायाँ पक्ष अमानवीय समीकरण (2.31) के बाएँ पक्ष से मेल खाता है,

(2.32) रूप का एक समीकरण कहा जाता है अमानवीय समीकरण के अनुरूप सजातीय समीकरण (2.31).

निम्नलिखित प्रमेय अमानवीय रैखिक समीकरण (2.31) के सामान्य समाधान की संरचना के बारे में बताता है।

प्रमेय 2.6.क्षेत्र में रैखिक अमानवीय समीकरण (2.31) का सामान्य समाधान

इसके किसी विशेष समाधान का योग और डोमेन (2.33) में संबंधित सजातीय समीकरण (2.32) का सामान्य समाधान है, अर्थात।

कहाँ - समीकरण का विशेष समाधान (2.31),
सजातीय समीकरण (2.32) के समाधान की मूलभूत प्रणाली है, और
- मनमाना स्थिरांक.

इस प्रमेय का प्रमाण आपको इसमें मिलेगा।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम एक ऐसी विधि की रूपरेखा तैयार करेंगे जिसके द्वारा कोई रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान पा सकता है। इस विधि को कहा जाता है मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की लैग्रेंज विधि.

तो, आइए हमें एक अमानवीय रैखिक समीकरण दिया जाए

(2.35)

गुणांक कहां हैं
और दाहिनी ओर
कुछ अंतराल में निरंतर
.

आइए हम इसे निरूपित करें
और
सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली

(2.36)

तब उसका सामान्य समाधान रूप होता है

(2.37)

कहाँ और - मनमाना स्थिरांक.

हम समीकरण (2.35) का हल उसी रूप में खोजेंगे , साथ ही संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान, मनमाना स्थिरांक को कुछ भिन्न कार्यों के साथ प्रतिस्थापित करना (हम मनमाने ढंग से स्थिरांक बदलते हैं),वे।

कहाँ
और
- से कुछ भिन्न कार्य , जो अभी भी अज्ञात हैं और जिन्हें हम निर्धारित करने का प्रयास करेंगे ताकि फ़ंक्शन (2.38) अमानवीय समीकरण (2.35) का समाधान हो। समानता के दोनों पक्षों (2.38) को अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

ताकि गणना करते समय के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न
और
, हमें हर जगह इसकी आवश्यकता है
शर्त पूरी हुई

फिर के लिए होगा

आइए दूसरे व्युत्पन्न की गणना करें

के लिए अभिव्यक्तियाँ प्रतिस्थापित करना ,,(2.38), (2.40), (2.41) से समीकरण (2.35) में, हम प्राप्त करते हैं

वर्गाकार कोष्ठकों में भाव हर जगह शून्य के बराबर हैं
, क्योंकि और - समीकरण का आंशिक समाधान (2.36)। इस मामले में, (2.42) इस स्थिति को शर्त (2.39) के साथ जोड़कर रूप लेगा, हमें निर्धारण के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है
और

(2.43)

अंतिम प्रणाली दो बीजगणितीय रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली है
और
. इस प्रणाली का निर्धारक समाधान की मौलिक प्रणाली के लिए व्रोनस्की निर्धारक है ,और, इसलिए, हर जगह शून्येतर है
. इसका मतलब है कि सिस्टम (2.43) का एक अनूठा समाधान है। इसे किसी भी तरह से अपेक्षाकृत हल करके
,
हम ढूंढ लेंगे

कहाँ
और
- ज्ञात कार्य।

एकीकरण करना और उसे ध्यान में रखना
,
हमें कार्यों की एक जोड़ी लेनी चाहिए और एकीकरण स्थिरांक को शून्य के बराबर सेट करना चाहिए। हम पाते हैं

व्यंजकों (2.44) को संबंध (2.38) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम अमानवीय समीकरण (2.35) का वांछित समाधान इस रूप में लिख सकते हैं

रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने के लिए इस विधि को सामान्यीकृत किया जा सकता है -वाँ क्रम.

उदाहरण 2.6. प्रश्न हल करें
पर
यदि कार्य करता है

संगत सजातीय समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाएं।

आइए इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, लैग्रेंज विधि के अनुसार, हमें पहले सिस्टम (2.43) को हल करना होगा, जो हमारे मामले में फॉर्म है
प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को कम करना हम पाते हैं

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण के पद दर पद घटाने पर, हम पाते हैं
और फिर पहले समीकरण से यह अनुसरण करता है
एकीकरण निष्पादित करना और एकीकरण स्थिरांक को शून्य पर सेट करना, हमारे पास होगा

इस समीकरण का एक विशेष समाधान इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

इस समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार है

कहाँ और - मनमाना स्थिरांक.

अंत में, आइए हम एक उल्लेखनीय गुण पर ध्यान दें, जिसे अक्सर समाधानों के सुपरपोजिशन का सिद्धांत कहा जाता है और इसे निम्नलिखित प्रमेय द्वारा वर्णित किया गया है।

प्रमेय 2.7.यदि बीच में
समारोह
- समीकरण फ़ंक्शन का विशेष समाधान
समान अंतराल पर समीकरण का एक विशेष समाधान फलन है
समीकरण का एक विशेष समाधान है