दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय समीकरण। दूसरे क्रम और उच्च क्रम के विभेदक समीकरण

यह आलेख निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने के मुद्दे को संबोधित करता है। दी गई समस्याओं के उदाहरणों के साथ सिद्धांत पर चर्चा की जाएगी। अस्पष्ट शब्दों को समझने के लिए, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की मूल परिभाषाओं और अवधारणाओं के विषय को संदर्भित करना आवश्यक है।

आइए फॉर्म y "" + p · y " + q · y = f (x) के निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अंतर समीकरण (LDE) पर विचार करें, जहां p और q मनमानी संख्याएं हैं, और मौजूदा फ़ंक्शन f (x) एकीकरण अंतराल x पर निरंतर है।

आइए हम एलएनडीई के सामान्य समाधान के लिए प्रमेय के निर्माण की ओर आगे बढ़ें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

एलडीएनयू के लिए सामान्य समाधान प्रमेय

प्रमेय 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + के रूप के एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान, अंतराल x पर स्थित है। . . + f 0 (x) · y = f (x) x अंतराल पर निरंतर एकीकरण गुणांक के साथ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) और एक सतत फलन f (x) सामान्य समाधान y 0 के योग के बराबर है, जो LOD और कुछ विशेष समाधान y ~ से मेल खाता है, जहां मूल अमानवीय समीकरण y = y 0 + है य~.

इससे पता चलता है कि ऐसे दूसरे क्रम के समीकरण के समाधान का रूप y = y 0 + y ~ है। Y 0 को खोजने के लिए एल्गोरिदम पर निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों पर लेख में चर्चा की गई है। जिसके बाद हमें y~ की परिभाषा पर आगे बढ़ना चाहिए।

एलपीडीई के लिए किसी विशेष समाधान का चुनाव समीकरण के दाईं ओर स्थित उपलब्ध फ़ंक्शन f (x) के प्रकार पर निर्भर करता है। ऐसा करने के लिए, निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों के समाधानों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

जब f (x) को nवीं डिग्री f (x) = P n (x) का बहुपद माना जाता है, तो यह इस प्रकार है कि LPDE का एक विशेष समाधान फॉर्म y ~ = Q n (x) के सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है ) x γ, जहां Q n ( x) घात n का एक बहुपद है, r विशेषता समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। मान y ~ एक विशेष समाधान y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) है, फिर उपलब्ध गुणांक जो बहुपद द्वारा परिभाषित होते हैं
Q n (x), हम समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) से अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके पाते हैं।

उदाहरण 1

कॉची के प्रमेय y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 का उपयोग करके गणना करें।

समाधान

दूसरे शब्दों में, स्थिर गुणांक y "" - 2 y " = x 2 + 1 के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान पर आगे बढ़ना आवश्यक है, जो दी गई शर्तों y (0) को पूरा करेगा। = 2, वाई " (0) = 1 4 .

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान सामान्य समाधान का योग है, जो समीकरण y 0 या अमानवीय समीकरण y ~ के एक विशेष समाधान से मेल खाता है, यानी, y = y 0 + y ~।

पहले, हम एलएनडीयू के लिए एक सामान्य समाधान ढूंढेंगे, और फिर एक विशेष समाधान ढूंढेंगे।

आइए y 0 खोजने की ओर आगे बढ़ें। अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से आपको मूल खोजने में मदद मिलेगी। हमें वह मिल गया

के 2 - 2 के = 0 के (के - 2) = 0 के 1 = 0 , के 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें अलग और वास्तविक हैं। तो चलिए लिखते हैं

वाई 0 = सी 1 ई 0 एक्स + सी 2 ई 2 एक्स = सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स।

आइए आपको खोजें~। यह देखा जा सकता है कि दिए गए समीकरण का दाहिना पक्ष दूसरी डिग्री का बहुपद है, तो जड़ों में से एक शून्य के बराबर है। इससे हमें पता चलता है कि y ~ के लिए एक विशेष समाधान होगा

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, जहां A, B, C के मान अनिर्धारित गुणांक लेते हैं।

आइए उन्हें y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 के रूप की समानता से खोजें।

तब हमें वह मिलता है:

वाई ~ "" - 2 वाई ~ " = एक्स 2 + 1 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "" - 2 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) " = एक्स 2 + 1 3 ए x 2 + 2 B x + C "- 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 ए एक्स 2 + एक्स (6 ए - 4 बी) + 2 बी - 2 सी = एक्स 2 + 1

गुणांकों को x के समान घातांकों के साथ बराबर करने पर, हमें रैखिक अभिव्यक्तियों की एक प्रणाली प्राप्त होती है - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। किसी भी विधि से हल करते समय, हम गुणांक ढूंढेंगे और लिखेंगे: ए = - 1 6, बी = - 1 4, सी = - 3 4 और वाई ~ = ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

इस प्रविष्टि को स्थिर गुणांक वाले मूल रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है।

एक विशेष समाधान खोजने के लिए जो शर्तों y (0) = 2, y "(0) = 1 4 को संतुष्ट करता है, मान निर्धारित करना आवश्यक है सी 1और सी 2, फॉर्म y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x की समानता के आधार पर।

हमें वह मिलता है:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

हम फॉर्म सी 1 + सी 2 = 2 2 सी 2 - 3 4 = 1 4 के परिणामी समीकरण प्रणाली के साथ काम करते हैं, जहां सी 1 = 3 2, सी 2 = 1 2।

कॉची के प्रमेय को लागू करने पर, हमारे पास वह है

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

उत्तर: 3 2 + 1 2 ई 2 एक्स - 1 6 एक्स 3 + 1 4 एक्स 2 + 3 4 एक्स।

जब फ़ंक्शन f (x) को डिग्री n और एक घातांक f (x) = P n (x) · e a x के साथ बहुपद के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, तो हम पाते हैं कि दूसरे क्रम के LPDE का एक विशेष समाधान एक होगा फॉर्म y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ का समीकरण, जहां Q n (x) nवीं डिग्री का एक बहुपद है, और r α के बराबर विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है।

Q n (x) से संबंधित गुणांक समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा पाए जाते हैं।

उदाहरण 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें।

समाधान

सामान्य समीकरण y = y 0 + y ~ है। संकेतित समीकरण LOD y "" - 2 y " = 0 से मेल खाता है। पिछले उदाहरण से यह देखा जा सकता है कि इसकी जड़ें बराबर हैं के 1 = 0और विशेषता समीकरण द्वारा k 2 = 2 और y 0 = C 1 + C 2 e 2 x।

यह देखा जा सकता है कि समीकरण का दाहिना पक्ष x 2 + 1 · e x है। यहां से एलपीडीई को y ~ = e a x · Q n (x) · x γ के माध्यम से पाया जाता है, जहां Q n (x) दूसरी डिग्री का बहुपद है, जहां α = 1 और r = 0, क्योंकि विशेषता समीकरण नहीं है एक जड़ 1 के बराबर है. यहीं से हमें वह मिलता है

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C।

ए, बी, सी अज्ञात गुणांक हैं जिन्हें समानता y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x द्वारा पाया जा सकता है।

मिला क्या

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 4 ए + बी + 2 ए + 2 बी + सी

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + बी + सी = एक्स 2 + 1 · ई एक्स ⇔ ई एक्स · - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = (एक्स 2 + 1) · ई एक्स ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = एक्स 2 + 1 ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = 1 एक्स 2 + 0 एक्स + 1

हम संकेतकों को समान गुणांकों के साथ जोड़ते हैं और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यहां से हम A, B, C पाते हैं:

ए = 1 - बी = 0 2 ए - सी = 1 ⇔ ए = - 1 बी = 0 सी = - 3

उत्तर:यह स्पष्ट है कि y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 LNDDE का एक विशेष समाधान है, और y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - दूसरे क्रम के अमानवीय अंतर समीकरण के लिए एक सामान्य समाधान।

जब फ़ंक्शन को f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 syn β x के रूप में लिखा जाता है, और ए 1और पहले मेंसंख्याएँ हैं, तो LPDE के आंशिक समाधान को y ~ = A cos β x + B syn β x · x γ के रूप का एक समीकरण माना जाता है, जहाँ A और B को अनिर्धारित गुणांक माना जाता है, और r की संख्या है विशेषता समीकरण से संबंधित जटिल संयुग्मी जड़ें, ± i β के बराबर। इस मामले में, गुणांक की खोज समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) का उपयोग करके की जाती है।

उदाहरण 3

फॉर्म y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 syn (2 x) के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजें।

समाधान

अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से पहले, हम y 0 पाते हैं। तब

के 2 + 4 = 0 के 2 = - 4 के 1 = 2 आई, के 2 = - 2 आई

हमारे पास जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी है। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें:

वाई 0 = ई 0 (सी 1 कॉस (2 एक्स) + सी 2 सिन (2 एक्स)) = सी 1 कॉस 2 एक्स + सी 2 सिन (2 एक्स)

अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों को संयुग्म युग्म ± 2 i माना जाता है, फिर f (x) = cos (2 x) + 3 syn (2 x)। इससे पता चलता है कि y ~ की खोज y ~ = (A cos (β x) + B syn (β x) x γ = (A cos (2 x) + B syn (2 x)) x से की जाएगी। अज्ञात हम y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 syn (2 x) के रूप की समानता से गुणांक A और B की तलाश करेंगे।

आइए परिवर्तन करें:

y ~ " = ((ए कॉस (2 एक्स) + बी साइन (2 एक्स) एक्स) " = = (- 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स) वाई ~ "" = ((- 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स)) " = = (- 4 ए कॉस (2 एक्स) - 4 बी साइन (2 एक्स)) एक्स - 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स) - - 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B पाप (2 x)) x - 4 A पाप (2 x) + 4 B cos (2 x)

तो यह बात साफ़ है

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 पाप (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B पाप (2 x)) x - 4 A पाप (2 x) + 4 बी कॉस (2 एक्स) + + 4 (ए कॉस (2 एक्स) + बी साइन (2 एक्स)) एक्स = कॉस (2 एक्स) + 3 साइन (2 एक्स) ⇔ - 4 ए साइन (2 एक्स) + 4 बी कॉस (2 एक्स) = कॉस (2 एक्स) + 3 साइन (2 एक्स)

ज्या और कोज्या के गुणांकों को बराबर करना आवश्यक है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

4 ए = 3 4 बी = 1 ⇔ ए = - 3 4 बी = 1 4

यह इस प्रकार है कि y ~ = (A cos (2 x) + B syn (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 syn (2 x) x।

उत्तर:स्थिर गुणांक वाले मूल दूसरे क्रम के एलडीडीई के सामान्य समाधान पर विचार किया जाता है

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 पाप (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 पाप (2 x) x

जब f (x) = e a x · P n (x) पाप (β x) + Q k (x) cos (β x), तो y ~ = e a x · (L m (x) पाप (β x) + N m (x) cos (β x) x γ। हमारे पास है कि r विशेषता समीकरण से संबंधित जड़ों के जटिल संयुग्मित जोड़े की संख्या है, जो α ± i β के बराबर है, जहां P n (x), Q k (x), एल एम (एक्स) और एनएम(एक्स)घात n, k, m, m, के बहुपद हैं एम = एम ए एक्स (एन, के). गुणांक ढूँढना एलएम(एक्स)और एनएम(एक्स)समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) के आधार पर बनाया गया है।

उदाहरण 4

सामान्य समाधान खोजें y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ।

समाधान

स्थिति के अनुसार यह स्पष्ट है कि

α = 3, β = 5, पी एन (एक्स) = - 38 एक्स - 45, क्यू के (एक्स) = - 8 एक्स + 5, एन = 1, के = 1

तब m = m a x (n, k) = 1. हम पहले फॉर्म का एक विशिष्ट समीकरण लिखकर y 0 पाते हैं:

के 2 - 3 के + 2 = 0 डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 के 1 = 3 - 1 2 = 1, के 2 = 3 + 1 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। अत: y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। इसके बाद, फॉर्म के अमानवीय समीकरण y ~ के आधार पर एक सामान्य समाधान की तलाश करना आवश्यक है

y ~ = e α x (L m (x) syn (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C एक्स + डी) पाप (5 एक्स)) एक्स 0 = = ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) क्योंकि (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 एक्स))

यह ज्ञात है कि ए, बी, सी गुणांक हैं, आर = 0, क्योंकि α ± i β = 3 ± 5 · i के साथ विशेषता समीकरण से संबंधित संयुग्म जड़ों की कोई जोड़ी नहीं है। हम परिणामी समानता से ये गुणांक पाते हैं:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) साइन (5 एक्स))) "" - - 3 (ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 x))) = - ई 3 एक्स ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

व्युत्पन्न और समान पद खोजने से पता चलता है

ई 3 एक्स ((15 ए + 23 सी) एक्स पाप (5 एक्स) + + (10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी) पाप (5 एक्स) + + (23 ए - 15 सी) · एक्स · कॉस (5 एक्स) + (- 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी) · कॉस (5 एक्स)) = = - ई 3 एक्स · (38 · एक्स · पाप (5 एक्स) + 45 · पाप (5 एक्स) ) + + 8 x कॉस (5 x) - 5 कॉस (5 x))

गुणांकों को बराबर करने के बाद, हमें प्रपत्र की एक प्रणाली प्राप्त होती है

15 ए + 23 सी = 38 10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी = 45 23 ए - 15 सी = 8 - 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी = - 5 ⇔ ए = 1 बी = 1 सी = 1 डी = 1

हर चीज़ से यही पता चलता है

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) पाप (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) पाप (5 x))

उत्तर:अब हमने दिए गए रैखिक समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त कर लिया है:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) पाप (5 x))

एलडीएनयू को हल करने के लिए एल्गोरिदम

परिभाषा 1

समाधान के लिए किसी अन्य प्रकार के फ़ंक्शन f (x) के लिए समाधान एल्गोरिदम के अनुपालन की आवश्यकता होती है:

• संबंधित रैखिक सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजना, जहां y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, जहां य 1और य 2 LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान हैं, सी 1और सी 2मनमाना स्थिरांक माने जाते हैं;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 के सामान्य समाधान के रूप में अपनाना;
• फॉर्म C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) के सिस्टम के माध्यम से किसी फ़ंक्शन के डेरिवेटिव का निर्धारण ) + सी 2 " (एक्स) · वाई 2 " (एक्स) = एफ (एक्स), और फ़ंक्शन ढूंढना सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स) एकीकरण के माध्यम से।

उदाहरण 5

y "" + 36 y = 24 syn (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x के लिए सामान्य समाधान खोजें।

समाधान

हम विशेषता समीकरण लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं, पहले y 0, y "" + 36 y = 0 लिख चुके हैं। आइए लिखें और हल करें:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 syn (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = पाप (6 x)

हमारे पास है कि दिए गए समीकरण का सामान्य समाधान y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · syn (6 x) के रूप में लिखा जाएगा। व्युत्पन्न कार्यों की परिभाषा पर आगे बढ़ना आवश्यक है सी 1 (एक्स)और C2(x)समीकरणों वाली एक प्रणाली के अनुसार:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · पाप (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) पाप (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 पाप (6 x) + सी 2 "(एक्स) (6 कॉस (6 एक्स)) = = 24 साइन (6 एक्स) - 12 कॉस (6 एक्स) + 36 ई 6 एक्स

के संबंध में निर्णय लेने की आवश्यकता है सी 1" (एक्स)और सी 2" (एक्स)किसी भी विधि का उपयोग करना. फिर हम लिखते हैं:

सी 1 " (एक्स) = - 4 पाप 2 (6 एक्स) + 2 पाप (6 एक्स) कॉस (6 एक्स) - 6 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) सी 2 " (एक्स) = 4 पाप (6 एक्स) कॉस (6 x) - 2 कॉस 2 (6 x) + 6 e 6 x कॉस (6 x)

प्रत्येक समीकरण को एकीकृत किया जाना चाहिए। फिर हम परिणामी समीकरण लिखते हैं:

सी 1 (एक्स) = 1 3 सिन (6 एक्स) कॉस (6 एक्स) - 2 एक्स - 1 6 कॉस 2 (6 एक्स) + + 1 2 ई 6 एक्स कॉस (6 एक्स) - 1 2 ई 6 एक्स सिन ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 syn (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सामान्य समाधान का स्वरूप इस प्रकार होगा:

y = 1 3 syn (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x पाप (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 syn (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स) = = - 2 एक्स कॉस (6 एक्स) - एक्स साइन (6 एक्स) - 1 6 कॉस (6 एक्स) + + 1 2 ई 6 एक्स + सी 3 कॉस (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स)

उत्तर: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x पाप (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 पाप (6 एक्स)

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स्थिर गुणांकों (पीसी) के साथ रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों (LNDE-2) को हल करने के मूल सिद्धांत

स्थिर गुणांक $p$ और $q$ के साथ दूसरे क्रम के LDDE का रूप $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ है, जहां $f\left(x \right)$ एक सतत फलन है।

पीसी के साथ एलएनडीयू 2 के संबंध में, निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।

आइए मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक मनमाना आंशिक समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का सामान्य समाधान (GS) है। फिर का GR LHDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, यानी $y=U+Y$।

यदि दूसरे क्रम के LMDE का दाहिना भाग कार्यों का योग है, अर्थात, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, तो पहले हम PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ढूंढ सकते हैं जो संगत हैं प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, और उसके बाद CR LNDU-2 को $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ के रूप में लिखें।

पीसी के साथ दूसरे क्रम के एलपीडीई का समाधान

यह स्पष्ट है कि किसी दिए गए LNDU-2 के एक या दूसरे PD $U$ का प्रकार उसके दाएँ हाथ के $f\left(x\right)$ के विशिष्ट रूप पर निर्भर करता है। पीडी एलएनडीयू-2 की खोज के सबसे सरल मामले निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किए गए हैं।

नियम 1।

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, यानी इसे a कहा जाता है घात का बहुपद $n$। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ दूसरा है इसका बहुपद $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है जो शून्य के बराबर है। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (यूके) की विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 2.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left( x\right)$ डिग्री $n$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n ) \ बाएँ(x\दाएँ)$, $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री का एक और बहुपद है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है $\alpha $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 3.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) का रूप है \दाएं) $, जहां $a$, $b$ और $\beta$ ज्ञात संख्याएं हैं। फिर इसका PD $U$ इस रूप में मांगा जाता है $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है, जो $i\cdot के बराबर है \बीटा $. गुणांक $A$ और $B$ गैर-विनाशकारी विधि का उपयोग करके पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 4.

LNDU-2 के दाईं ओर का रूप $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ है, जहां $P_(n) \left(x\right)$ है घात $ n$ का एक बहुपद, और $P_(m) \left(x\right)$ घात $m$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(s) \left(x\right)$ और $ R_(s) \left(x\right)$ डिग्री $s$ वाले बहुपद हैं, संख्या $s$ दो संख्याओं $n$ और $m$ में से अधिकतम है, और $r$ मूलों की संख्या है संगत LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण का, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद $Q_(s) \left(x\right)$ और $R_(s) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

एनके पद्धति में निम्नलिखित नियम लागू करना शामिल है। बहुपद के अज्ञात गुणांकों को खोजने के लिए जो अमानवीय अंतर समीकरण LNDU-2 के आंशिक समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:

• सामान्य रूप में लिखे गए PD $U$ को LNDU-2 के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें;
• LNDU-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों $x$ के साथ सरलीकरण और समूह शब्द निष्पादित करें;
• परिणामी पहचान में, बाएँ और दाएँ पक्ष की समान घात $x$ वाले पदों के गुणांकों को बराबर करें;
• अज्ञात गुणांकों के लिए रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।

उदाहरण 1

कार्य: OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ढूंढें। PD भी खोजें , $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ को संतुष्ट करता है।

हम संबंधित LOD-2 लिखते हैं: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. विशिष्ट समीकरण के मूल हैं: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ये जड़ें वैध और विशिष्ट हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

इस LNDU-2 के दाईं ओर $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ का रूप है। घातांक $\alpha =3$ के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक विशेषता समीकरण की किसी भी जड़ से मेल नहीं खाता है। इसलिए, इस LNDU-2 के PD का फॉर्म $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।

हम एनसी विधि का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की खोज करेंगे।

हमें चेक गणराज्य का पहला व्युत्पन्न मिलता है:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हमें चेक गणराज्य का दूसरा व्युत्पन्न मिलता है:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(() ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम दिए गए NLDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के स्थान पर फ़ंक्शन $U""$, $U"$ और $U$ को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ इसके अलावा, चूंकि घातांक $e^(3\cdot x)$ को एक कारक के रूप में शामिल किया गया है सभी घटकों में, तो इसे छोड़ा जा सकता है। हमें मिलता है:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

हम परिणामी समानता के बाईं ओर क्रियाएँ करते हैं:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

हम एनडीटी पद्धति का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञातों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ हमारी समस्या के लिए इस तरह दिखता है: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ(-2\cdot x-1\दाएँ)\cdot e^(3\cdot x) $।

दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करने वाले पीडी की खोज करने के लिए, हम ओपी का व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

हम $y$ और $y"$ में $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:

$6=सी_(1) +सी_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

आइए इसे सुलझाएं. हम Cramer के सूत्र का उपयोग करके $C_(1) $ पाते हैं, और $C_(2) $ हम पहले समीकरण से निर्धारित करते हैं:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

इस प्रकार, इस अंतर समीकरण के PD का रूप है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \दाएं )\cdot e^(3\cdot x) $.

दूसरे क्रम और उच्च क्रम के विभेदक समीकरण।
स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण।
समाधान के उदाहरण.

आइए दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों और उच्च क्रम के अंतर समीकरणों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि एक विभेदक समीकरण क्या है (या बिल्कुल समझ में नहीं आता कि यह क्या है), तो मैं पाठ से शुरुआत करने की सलाह देता हूं प्रथम कोटि अवकल समीकरण. समाधान के उदाहरण. इसलिए, प्रथम-क्रम डिफ्यूज़ के कई समाधान सिद्धांत और बुनियादी अवधारणाएँ स्वचालित रूप से उच्च-क्रम अंतर समीकरणों तक विस्तारित होती हैं पहले प्रथम क्रम के समीकरणों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है.

कई पाठकों के मन में यह पूर्वाग्रह हो सकता है कि दूसरे, तीसरे और अन्य आदेशों का रिमोट कंट्रोल बहुत कठिन और दुर्गम है। यह गलत है . उच्च क्रम के डिफ्यूज़ को हल करना सीखना "सामान्य" प्रथम क्रम डीई की तुलना में शायद ही अधिक कठिन है. और कुछ स्थानों पर यह और भी सरल है, क्योंकि समाधान सक्रिय रूप से स्कूली पाठ्यक्रम से सामग्री का उपयोग करते हैं।

सबसे लोकप्रिय दूसरे क्रम के विभेदक समीकरण. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के लिए अनिवार्य रूप सेदूसरा व्युत्पन्न और शामिल है शामिल नहीं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ बच्चे (और यहां तक ​​कि सभी एक ही बार में) समीकरण से गायब हो सकते हैं; यह महत्वपूर्ण है कि पिता घर पर हों। सबसे आदिम दूसरे क्रम का अंतर समीकरण इस तरह दिखता है:

व्यावहारिक कार्यों में तीसरे क्रम के अंतर समीकरण बहुत कम आम हैं; मेरी व्यक्तिपरक टिप्पणियों के अनुसार, उन्हें राज्य ड्यूमा में लगभग 3-4% वोट मिलेंगे।

तीसरे क्रम के अंतर समीकरण के लिए अनिवार्य रूप सेतीसरा व्युत्पन्न और शामिल है शामिल नहींउच्च आदेशों के व्युत्पन्न:

सबसे सरल तीसरे क्रम का अंतर समीकरण इस तरह दिखता है: - पिताजी घर पर हैं, सभी बच्चे टहलने के लिए बाहर हैं।

इसी तरह, आप चौथे, पांचवें और उच्चतर क्रम के अंतर समीकरणों को परिभाषित कर सकते हैं। व्यावहारिक समस्याओं में, ऐसी नियंत्रण प्रणालियाँ शायद ही कभी विफल होती हैं, हालाँकि, मैं प्रासंगिक उदाहरण देने का प्रयास करूँगा।

व्यावहारिक समस्याओं में प्रस्तावित उच्च क्रम के अंतर समीकरणों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है।

1) पहला समूह - तथाकथित समीकरण जिन्हें क्रम से कम किया जा सकता है. चलो भी!

2) दूसरा समूह - स्थिर गुणांकों के साथ उच्च कोटि के रैखिक समीकरण. जिसे हम अभी देखना शुरू करेंगे.

दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण
निरंतर गुणांक के साथ

सिद्धांत और व्यवहार में, ऐसे दो प्रकार के समीकरण प्रतिष्ठित हैं: सजातीय समीकरणऔर अमानवीय समीकरण.

स्थिर गुणांकों के साथ सजातीय दूसरा क्रम DEनिम्नलिखित रूप है:
, कहां और स्थिरांक (संख्याएं) हैं, और दाईं ओर - कठोरता सेशून्य।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सजातीय समीकरणों के साथ कोई विशेष कठिनाइयाँ नहीं हैं, मुख्य बात यह है द्विघात समीकरण को सही ढंग से हल करें.

कभी-कभी गैर-मानक सजातीय समीकरण होते हैं, उदाहरण के लिए फॉर्म में एक समीकरण , जहां दूसरे व्युत्पन्न में एकता से भिन्न कुछ स्थिरांक है (और, स्वाभाविक रूप से, शून्य से भिन्न)। समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल नहीं बदलता है, आपको शांति से एक विशेषता समीकरण बनाना चाहिए और उसकी जड़ें ढूंढनी चाहिए। यदि विशेषता समीकरण उदाहरण के लिए, दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें होंगी: , तो सामान्य समाधान सामान्य योजना के अनुसार लिखा जाएगा: .

कुछ मामलों में, स्थिति में टाइपो त्रुटि के कारण, "खराब" जड़ें हो सकती हैं, कुछ इस तरह . क्या करें उत्तर इस प्रकार लिखना होगा:

"खराब" संयुग्मित जटिल जड़ें जैसे कोई समस्या नहीं, सामान्य समाधान:

वह है, वैसे भी एक सामान्य समाधान है. क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं।

अंतिम पैराग्राफ में, जैसा कि मैंने वादा किया था, हम संक्षेप में विचार करेंगे:

उच्च कोटि के रैखिक सजातीय समीकरण

सब कुछ बहुत, बहुत समान है.

तीसरे क्रम के एक रैखिक सजातीय समीकरण का निम्नलिखित रूप होता है:
, स्थिरांक कहाँ हैं.
इस समीकरण के लिए, आपको एक अभिलक्षणिक समीकरण भी बनाना होगा और उसके मूल खोजने होंगे। जैसा कि कई लोगों ने अनुमान लगाया है, विशेषता समीकरण इस तरह दिखता है:
, और यह फिर भीयह है बिल्कुल तीनजड़

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि सभी जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं: , तो सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाएगा:

यदि एक जड़ वास्तविक है, और अन्य दो संयुग्मी सम्मिश्र हैं, तो हम सामान्य समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

एक विशेष मामला जब तीनों जड़ें एकाधिक (समान) हों। आइए एक अकेले पिता के साथ तीसरे क्रम के सबसे सरल सजातीय DE पर विचार करें:। अभिलक्षणिक समीकरण में तीन संपाती शून्य मूल हैं। हम सामान्य समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

यदि विशेषता समीकरण उदाहरण के लिए, तीन एकाधिक जड़ें हैं, तो सामान्य समाधान, तदनुसार, इस प्रकार है:

उदाहरण 9

एक सजातीय तृतीय कोटि अवकल समीकरण को हल करें

समाधान:आइए विशेषता समीकरण बनाएं और हल करें:

, - एक वास्तविक जड़ और दो संयुग्मित जटिल जड़ें प्राप्त होती हैं।

उत्तर:सामान्य निर्णय

इसी प्रकार, हम स्थिर गुणांक वाले चौथे क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण पर विचार कर सकते हैं: स्थिरांक कहां हैं।