V. विविधता श्रृंखला, औसत मान, गुण परिवर्तनशीलता

विविधता शृंखलाकिसी विशेषता के संख्यात्मक मानों की एक श्रृंखला है।

विविधता श्रृंखला की मुख्य विशेषताएं: वी - वैरिएंट, पी - इसकी घटना की आवृत्ति।

विविधता श्रृंखला के प्रकार:

विकल्पों के घटित होने की आवृत्ति के अनुसार: सरल - विकल्प एक बार आता है, भारित - विकल्प दो या अधिक बार आता है;

विकल्पों के स्थान के अनुसार: रैंक - विकल्प अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित होते हैं, अनरैंक - विकल्प किसी विशेष क्रम में नहीं लिखे जाते हैं;

किसी विकल्प को समूहों में संयोजित करके: समूहीकृत - विकल्पों को समूहों में संयोजित किया जाता है, असमूहीकृत - विकल्पों को समूहों में संयोजित नहीं किया जाता है;

आकार के अनुसार विकल्प: निरंतर - विकल्प पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, असतत - विकल्प पूर्णांक के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, जटिल - विकल्प किसी सापेक्ष या औसत मान द्वारा दर्शाए जाते हैं।

औसत मूल्यों की गणना के उद्देश्य से एक भिन्नता श्रृंखला संकलित और औपचारिक बनाई जाती है।

विविधता श्रृंखला रिकॉर्डिंग प्रपत्र:

8. औसत मूल्य, प्रकार, गणना के तरीके, स्वास्थ्य देखभाल में अनुप्रयोग

औसत मान- मात्रात्मक विशेषताओं की एक संचयी सामान्यीकरण विशेषता। औसत का अनुप्रयोग:

1. चिकित्सा संस्थानों के काम के संगठन को चिह्नित करना और उनकी गतिविधियों का मूल्यांकन करना:

ए) क्लिनिक में: डॉक्टरों के कार्यभार के संकेतक, यात्राओं की औसत संख्या, क्षेत्र में निवासियों की औसत संख्या;

बी) एक अस्पताल में: प्रति वर्ष एक बिस्तर खुले रहने वाले दिनों की औसत संख्या; अस्पताल में रहने की औसत अवधि;

ग) स्वच्छता, महामारी विज्ञान और सार्वजनिक स्वास्थ्य के केंद्र में: प्रति व्यक्ति औसत क्षेत्र (या घन क्षमता), औसत पोषण मानक (प्रोटीन, वसा, कार्बोहाइड्रेट, विटामिन, खनिज लवण, कैलोरी), स्वच्छता मानदंड और मानक, आदि;

2. शारीरिक विकास को चिह्नित करना (मुख्य मानवशास्त्रीय विशेषताएं, रूपात्मक और कार्यात्मक);

3. नैदानिक ​​​​और प्रयोगात्मक अध्ययनों में सामान्य और रोग संबंधी स्थितियों में शरीर के चिकित्सा और शारीरिक मापदंडों का निर्धारण करना।

4. विशेष वैज्ञानिक अनुसंधान में.

औसत मूल्यों और संकेतकों के बीच अंतर:

1. गुणांक एक वैकल्पिक विशेषता की विशेषता बताते हैं जो केवल सांख्यिकीय आबादी के एक निश्चित हिस्से में होती है, जो घटित हो भी सकती है और नहीं भी।

औसत मान उन विशेषताओं को कवर करते हैं जो टीम के सभी सदस्यों के लिए सामान्य हैं, लेकिन अलग-अलग डिग्री (वजन, ऊंचाई, अस्पताल में उपचार के दिन) तक होती हैं।

2. गुणात्मक विशेषताओं को मापने के लिए गुणांक का उपयोग किया जाता है। औसत मान - विभिन्न मात्रात्मक विशेषताओं के लिए।

औसत के प्रकार:

अंकगणित माध्य, इसकी विशेषताएँ मानक विचलन और माध्य त्रुटि हैं

मोड और माध्यिका. फ़ैशन (मो)- उस विशेषता के मूल्य से मेल खाता है जो किसी दी गई आबादी में दूसरों की तुलना में अधिक बार होती है। माध्यिका (मैं)- किसी विशेषता का मान जो किसी दी गई जनसंख्या में औसत मान रखता है। यह प्रेक्षणों की संख्या के अनुसार श्रृंखला को 2 बराबर भागों में विभाजित करता है। अंकगणित माध्य (एम)- बहुलक और माध्यिका के विपरीत, यह किए गए सभी अवलोकनों पर आधारित है, इसलिए यह संपूर्ण वितरण के लिए एक महत्वपूर्ण विशेषता है।

अन्य प्रकार के औसत जो विशेष अध्ययन में उपयोग किए जाते हैं: मूल माध्य वर्ग, घन, हार्मोनिक, ज्यामितीय, प्रगतिशील।

अंकगणित औसतसांख्यिकीय जनसंख्या के औसत स्तर की विशेषता है।

एक सरल श्रृंखला के लिए, कहाँ

∑v - राशि विकल्प,

n – अवलोकनों की संख्या.

एक भारित श्रृंखला के लिए, जहां

∑vр - प्रत्येक विकल्प के उत्पादों का योग और उसके घटित होने की आवृत्ति

n – अवलोकनों की संख्या.

मानक विचलनअंकगणितीय माध्य या सिग्मा (σ) किसी विशेषता की विविधता को दर्शाता है

- एक साधारण श्रृंखला के लिए

Σd 2 - अंकगणितीय माध्य और प्रत्येक विकल्प के बीच अंतर के वर्गों का योग (d = │M-V│)

n – अवलोकनों की संख्या

- एक तौल श्रृंखला के लिए

∑d 2 p - अंकगणित माध्य और प्रत्येक विकल्प और इसकी घटना की आवृत्ति के बीच अंतर के वर्गों के उत्पादों का योग,

n – अवलोकनों की संख्या.

विविधता की डिग्री का अंदाजा भिन्नता के गुणांक के परिमाण से लगाया जा सकता है
. 20% से अधिक मजबूत विविधता है, 10-20% मध्यम विविधता है, 10% से कम कमजोर विविधता है।

यदि हम अंकगणित माध्य मान में एक सिग्मा (M ± 1σ) जोड़ते और घटाते हैं, तो सामान्य वितरण के साथ, सभी वेरिएंट (टिप्पणियों) का कम से कम 68.3% इन सीमाओं के भीतर होगा, जिसे अध्ययन की जा रही घटना के लिए आदर्श माना जाता है। . यदि k 2 ± 2σ, तो सभी अवलोकनों का 95.5% इन सीमाओं के भीतर होगा, और यदि k M ± 3σ, तो सभी अवलोकनों का 99.7% इन सीमाओं के भीतर होगा। इस प्रकार, मानक विचलन एक मानक विचलन है जो हमें अध्ययन की जा रही विशेषता के ऐसे मूल्य की घटना की संभावना की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है जो निर्दिष्ट सीमाओं के भीतर है।

अंकगणित माध्य की औसत त्रुटिया प्रतिनिधित्व पूर्वाग्रह. एक सरल, भारित श्रृंखला और क्षणों के नियम के लिए:

.

औसत मूल्यों की गणना करने के लिए, यह आवश्यक है: सामग्री की एकरूपता, पर्याप्त संख्या में अवलोकन। यदि प्रेक्षणों की संख्या 30 से कम है, तो σ और m की गणना के लिए सूत्रों में n-1 का उपयोग किया जाता है।

औसत त्रुटि के आकार द्वारा प्राप्त परिणाम का आकलन करते समय, एक आत्मविश्वास गुणांक का उपयोग किया जाता है, जो सही उत्तर की संभावना निर्धारित करना संभव बनाता है, अर्थात यह इंगित करता है कि नमूना त्रुटि का परिणामी मूल्य इससे अधिक नहीं होगा निरंतर अवलोकन के परिणामस्वरूप हुई वास्तविक त्रुटि। नतीजतन, आत्मविश्वास की संभावना में वृद्धि के साथ, विश्वास अंतराल की चौड़ाई बढ़ जाती है, जो बदले में, निर्णय के आत्मविश्वास और प्राप्त परिणाम की समर्थन क्षमता को बढ़ाती है।

​ विविधता श्रृंखला - एक श्रृंखला जिसमें तुलना की जाती है (वृद्धि या कमी की डिग्री के अनुसार) विकल्पऔर संगत आवृत्तियों

​विकल्प किसी विशेषता की व्यक्तिगत मात्रात्मक अभिव्यक्ति हैं। एक लैटिन अक्षर से संकेत मिलता है वी . "वैरिएंट" शब्द की शास्त्रीय समझ यह मानती है कि पुनरावृत्ति की संख्या को ध्यान में रखे बिना, किसी विशेषता के प्रत्येक अद्वितीय मूल्य को वेरिएंट कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, दस रोगियों में मापे गए सिस्टोलिक रक्तचाप संकेतकों की भिन्नता श्रृंखला में:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

केवल 6 मान उपलब्ध हैं:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

​फ़्रीक्वेंसी एक संख्या है जो दर्शाती है कि कोई विकल्प कितनी बार दोहराया गया है। एक लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित पी . सभी आवृत्तियों का योग (जो, निश्चित रूप से, अध्ययन किए गए सभी की संख्या के बराबर है) को इस प्रकार दर्शाया गया है एन.

हमारे उदाहरण में, आवृत्तियाँ निम्नलिखित मान लेंगी:
• विकल्प 110 के लिए आवृत्ति पी = 1 (मूल्य 110 एक रोगी में होता है),
• विकल्प 120 के लिए आवृत्ति पी = 2 (मूल्य 120 दो रोगियों में होता है),
• विकल्प 130 के लिए आवृत्ति पी = 3 (मूल्य 130 तीन रोगियों में होता है),
• विकल्प 140 के लिए आवृत्ति पी = 2 (मूल्य 140 दो रोगियों में होता है),
• विकल्प 160 के लिए आवृत्ति पी = 1 (मूल्य 160 एक रोगी में होता है),
• विकल्प 170 के लिए आवृत्ति पी = 1 (मूल्य 170 एक रोगी में होता है),

विविधता श्रृंखला के प्रकार:

1. सरल- यह एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक विकल्प केवल एक बार आता है (सभी आवृत्तियाँ 1 के बराबर हैं);
2. निलंबित- एक श्रृंखला जिसमें एक या अधिक विकल्प एक से अधिक बार दिखाई देते हैं।

विविधता श्रृंखला का उपयोग संख्याओं की बड़ी श्रृंखलाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है; यह इस रूप में है कि अधिकांश चिकित्सा अध्ययनों के एकत्रित डेटा को शुरू में प्रस्तुत किया जाता है। भिन्नता श्रृंखला को चिह्नित करने के लिए, विशेष संकेतकों की गणना की जाती है, जिसमें औसत मूल्य, परिवर्तनशीलता के संकेतक (तथाकथित फैलाव), और नमूना डेटा की प्रतिनिधित्वशीलता के संकेतक शामिल हैं।

भिन्नता श्रृंखला संकेतक

1) अंकगणितीय माध्य एक सामान्य संकेतक है जो अध्ययन की जा रही विशेषता के आकार को दर्शाता है। अंकगणितीय माध्य को इस प्रकार दर्शाया जाता है एम , औसत का सबसे सामान्य प्रकार है। अंकगणित माध्य की गणना सभी अवलोकन इकाइयों के संकेतक मूल्यों के योग और अध्ययन किए गए सभी विषयों की संख्या के अनुपात के रूप में की जाती है। अंकगणितीय माध्य की गणना करने की विधि सरल और भारित भिन्नता श्रृंखला के लिए भिन्न होती है।

गणना के लिए सूत्र सरल अंकगणितीय औसत:

गणना के लिए सूत्र भारित अंकगणितीय औसत:

एम = Σ(वी * पी)/ एन

​ 2) मोड विविधता श्रृंखला का एक और औसत मूल्य है, जो सबसे अधिक बार दोहराए गए विकल्प के अनुरूप है। या, इसे दूसरे तरीके से कहें तो, यह वह विकल्प है जो उच्चतम आवृत्ति से मेल खाता है। इस रूप में घोषित किया गया एमओ . मोड की गणना केवल भारित श्रृंखला के लिए की जाती है, क्योंकि सरल श्रृंखला में कोई भी विकल्प दोहराया नहीं जाता है और सभी आवृत्तियाँ एक के बराबर होती हैं।

उदाहरण के लिए, हृदय गति मानों की भिन्नता श्रृंखला में:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

मोड मान 86 है, चूँकि यह विकल्प 3 बार आता है, इसलिए इसकी आवृत्ति उच्चतम है।

​

3) माध्यिका - भिन्नता श्रृंखला को आधे में विभाजित करने वाले विकल्प का मान: इसके दोनों तरफ समान संख्या में विकल्प होते हैं। माध्यिका, अंकगणितीय माध्य और बहुलक की तरह, औसत मूल्यों को संदर्भित करती है। इस रूप में घोषित किया गया मुझे

4) मानक विचलन (समानार्थी शब्द: मानक विचलन, सिग्मा विचलन, सिग्मा) - भिन्नता श्रृंखला की परिवर्तनशीलता का एक माप। यह एक अभिन्न संकेतक है जो औसत से विचलन के सभी मामलों को जोड़ता है। वास्तव में, यह इस प्रश्न का उत्तर देता है: अंकगणितीय माध्य से भिन्नताएँ कितनी दूर तक और कितनी बार फैलती हैं। एक यूनानी अक्षर द्वारा निरूपित σ ("सिग्मा").

यदि जनसंख्या का आकार 30 इकाइयों से अधिक है, तो मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छोटी आबादी के लिए - 30 अवलोकन इकाइयाँ या उससे कम - मानक विचलन की गणना एक अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समूहीकरण विधि आपको मापने की भी अनुमति देती है उतार-चढ़ाव(परिवर्तनशीलता, उतार-चढ़ाव) संकेतों की। जब किसी जनसंख्या में इकाइयों की संख्या अपेक्षाकृत कम होती है, तो जनसंख्या को बनाने वाली इकाइयों की क्रमबद्ध संख्या के आधार पर भिन्नता को मापा जाता है। शृंखला कहलाती है रैंक किया गया,यदि इकाइयों को विशेषता के आरोही (अवरोही) क्रम में व्यवस्थित किया गया है।

हालाँकि, जब भिन्नता की तुलनात्मक विशेषता की आवश्यकता होती है तो रैंक की गई श्रृंखलाएँ काफी संकेतक होती हैं। इसके अलावा, कई मामलों में हमें बड़ी संख्या में इकाइयों वाली सांख्यिकीय आबादी से निपटना पड़ता है, जिन्हें एक विशिष्ट श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना व्यावहारिक रूप से कठिन होता है। इस संबंध में, सांख्यिकीय डेटा के साथ प्रारंभिक सामान्य परिचित के लिए और विशेष रूप से विशेषताओं में भिन्नता के अध्ययन की सुविधा के लिए, अध्ययन के तहत घटनाओं और प्रक्रियाओं को आमतौर पर समूहों में जोड़ा जाता है, और समूहीकरण के परिणाम समूह तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।

यदि किसी समूह तालिका में केवल दो कॉलम हैं - चयनित विशेषता (विकल्प) और समूहों की संख्या (आवृत्ति या आवृत्ति) के अनुसार समूह, तो इसे कहा जाता है निकट वितरण.

वितरण सीमा -एक विशेषता के आधार पर सबसे सरल प्रकार का संरचनात्मक समूहन, एक समूह तालिका में प्रदर्शित किया जाता है जिसमें विशेषता के वेरिएंट और आवृत्तियों वाले दो कॉलम होते हैं। कई मामलों में, ऐसे संरचनात्मक समूहन के साथ, अर्थात्। वितरण श्रृंखला के संकलन के साथ ही प्रारम्भिक सांख्यिकीय सामग्री का अध्ययन प्रारम्भ हो जाता है।

वितरण श्रृंखला के रूप में एक संरचनात्मक समूह को वास्तविक संरचनात्मक समूह में बदला जा सकता है यदि चयनित समूहों को न केवल आवृत्तियों द्वारा, बल्कि अन्य सांख्यिकीय संकेतकों द्वारा भी चित्रित किया जाता है। वितरण श्रृंखला का मुख्य उद्देश्य विशेषताओं की भिन्नता का अध्ययन करना है। वितरण श्रृंखला का सिद्धांत गणितीय सांख्यिकी द्वारा विस्तार से विकसित किया गया है।

वितरण श्रृंखला को विभाजित किया गया है ठहराव(विशेषताओं के अनुसार समूहीकरण, उदाहरण के लिए, जनसंख्या को लिंग, राष्ट्रीयता, वैवाहिक स्थिति आदि के आधार पर विभाजित करना) और परिवर्तन संबंधी(मात्रात्मक विशेषताओं के आधार पर समूहीकरण)।

विविधता शृंखलाएक समूह तालिका है जिसमें दो कॉलम होते हैं: एक मात्रात्मक विशेषता के अनुसार इकाइयों का समूहन और प्रत्येक समूह में इकाइयों की संख्या। भिन्नता श्रृंखला में अंतराल आमतौर पर समान और बंद होते हैं। भिन्नता श्रृंखला औसत प्रति व्यक्ति मौद्रिक आय (तालिका 3.10) द्वारा रूसी आबादी का निम्नलिखित समूह है।

तालिका 3.10

2004-2009 में औसत प्रति व्यक्ति आय के आधार पर रूस की जनसंख्या का वितरण।

औसत प्रति व्यक्ति नकद आय के आधार पर जनसंख्या समूह, रूबल/माह	समूह में जनसंख्या, कुल का %
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
25,000.0 से अधिक
पूरी आबादी

भिन्नता श्रृंखला, बदले में, असतत और अंतराल में विभाजित होती है। अलगविविधता श्रृंखला अलग-अलग विशेषताओं के वेरिएंट को जोड़ती है जो संकीर्ण सीमाओं के भीतर भिन्न होती हैं। असतत भिन्नता श्रृंखला का एक उदाहरण रूसी परिवारों का उनके बच्चों की संख्या के आधार पर वितरण है।

मध्यान्तरविविधता श्रृंखला या तो निरंतर विशेषताओं या विस्तृत श्रृंखला में भिन्न भिन्न विशेषताओं के वेरिएंट को जोड़ती है। अंतराल औसत प्रति व्यक्ति मौद्रिक आय के आधार पर रूसी जनसंख्या के वितरण की भिन्नता श्रृंखला है।

व्यवहार में असतत भिन्नता श्रृंखला का प्रयोग बहुत बार नहीं किया जाता है। इस बीच, उन्हें संकलित करना मुश्किल नहीं है, क्योंकि समूहों की संरचना उन विशिष्ट प्रकारों द्वारा निर्धारित की जाती है जो अध्ययन किए गए समूहीकरण विशेषताओं के पास वास्तव में हैं।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला अधिक व्यापक हैं। उन्हें संकलित करते समय, समूहों की संख्या के साथ-साथ स्थापित किए जाने वाले अंतरालों के आकार के बारे में एक कठिन प्रश्न उठता है।

इस मुद्दे को हल करने के सिद्धांत सांख्यिकीय समूहों के निर्माण की पद्धति पर अध्याय में निर्धारित किए गए हैं (पैराग्राफ 3.3 देखें)।

विविधता श्रृंखला विविध जानकारी को एक संक्षिप्त रूप में संक्षिप्त या संपीड़ित करने का एक साधन है; उनसे भिन्नता की प्रकृति के बारे में काफी स्पष्ट निर्णय लिया जा सकता है, और अध्ययन के तहत सेट में शामिल घटनाओं की विशेषताओं में अंतर का अध्ययन किया जा सकता है। लेकिन भिन्नता श्रृंखला का सबसे महत्वपूर्ण महत्व यह है कि उनके आधार पर भिन्नता की विशेष सामान्यीकरण विशेषताओं की गणना की जाती है (अध्याय 7 देखें)।

परिवर्तन संबंधीमात्रात्मक आधार पर निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है। जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों में मात्रात्मक विशेषताओं के मूल्य स्थिर नहीं हैं और कमोबेश एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

उतार-चढ़ाव- जनसंख्या की इकाइयों के बीच किसी विशेषता के मूल्य में उतार-चढ़ाव, परिवर्तनशीलता। अध्ययन की जा रही जनसंख्या में पाई जाने वाली किसी विशेषता के व्यक्तिगत संख्यात्मक मान कहलाते हैं विकल्पमूल्य. जनसंख्या को पूरी तरह से चित्रित करने के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता हमें संकेतकों के साथ औसत मूल्यों को पूरक करने के लिए मजबूर करती है जो हमें अध्ययन की जा रही विशेषता की परिवर्तनशीलता (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करने की अनुमति देती है।

भिन्नता की उपस्थिति विशेषता के स्तर के निर्माण पर बड़ी संख्या में कारकों के प्रभाव के कारण होती है। ये कारक असमान शक्ति के साथ और अलग-अलग दिशाओं में कार्य करते हैं। भिन्नता सूचकांकों का उपयोग विशेषता परिवर्तनशीलता के माप का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

भिन्नता के सांख्यिकीय अध्ययन के उद्देश्य:

• 1) जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों में विशेषताओं की भिन्नता की प्रकृति और डिग्री का अध्ययन;
• 2) जनसंख्या की कुछ विशेषताओं की भिन्नता में व्यक्तिगत कारकों या उनके समूहों की भूमिका का निर्धारण।

सांख्यिकी में, संकेतकों की एक प्रणाली के उपयोग के आधार पर, भिन्नता का अध्ययन करने के लिए विशेष तरीकों का उपयोग किया जाता है, साथजिसके द्वारा भिन्नता मापी जाती है।

विविधता पर शोध महत्वपूर्ण है। नमूना अवलोकन, सहसंबंध और विचरण विश्लेषण आदि करते समय विविधताओं को मापना आवश्यक है। एर्मोलेव ओ.यू. मनोवैज्ञानिकों के लिए गणितीय आँकड़े: पाठ्यपुस्तक [पाठ]/ ओ.यू. एर्मोलेव। - एम.: मॉस्को साइकोलॉजिकल एंड सोशल इंस्टीट्यूट का फ्लिंट पब्लिशिंग हाउस, 2012। - 335 पी।

भिन्नता की डिग्री से कोई जनसंख्या की एकरूपता, विशेषताओं के व्यक्तिगत मूल्यों की स्थिरता और औसत की विशिष्टता का न्याय कर सकता है। उनके आधार पर, नमूना अवलोकन की सटीकता का आकलन करने के लिए विशेषताओं और संकेतकों के बीच संबंधों की निकटता के संकेतक विकसित किए जाते हैं।

स्थान में भिन्नता और समय में भिन्नता के बीच अंतर किया जाता है।

अंतरिक्ष में भिन्नता को व्यक्तिगत क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाली जनसंख्या इकाइयों के बीच विशेषता मूल्यों के उतार-चढ़ाव के रूप में समझा जाता है। समय भिन्नता से तात्पर्य विभिन्न समयावधियों में किसी विशेषता के मूल्यों में परिवर्तन से है।

वितरण पंक्तियों में भिन्नता का अध्ययन करने के लिए, विशेषता मानों के सभी प्रकारों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। इस प्रक्रिया को श्रृंखला रैंकिंग कहा जाता है।

भिन्नता के सबसे सरल लक्षण हैं न्यूनतम और अधिकतम- समुच्चय में विशेषता का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान। फीचर मानों के अलग-अलग वेरिएंट की पुनरावृत्ति की संख्या को पुनरावृत्ति आवृत्ति (फाई) कहा जाता है। आवृत्तियों को आवृत्तियों से बदलना सुविधाजनक है - वाई। आवृत्ति आवृत्ति का एक सापेक्ष संकेतक है, जिसे एक इकाई या प्रतिशत के अंशों में व्यक्त किया जा सकता है और आपको विभिन्न संख्याओं के अवलोकनों के साथ भिन्नता श्रृंखला की तुलना करने की अनुमति मिलती है। सूत्र द्वारा व्यक्त:

जहां एक्समैक्स, एक्समिन कुल में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्य हैं; n - समूहों की संख्या.

किसी विशेषता की भिन्नता को मापने के लिए, विभिन्न निरपेक्ष और सापेक्ष संकेतकों का उपयोग किया जाता है। भिन्नता के पूर्ण संकेतकों में भिन्नता की सीमा, औसत रैखिक विचलन, फैलाव और मानक विचलन शामिल हैं। दोलन के सापेक्ष संकेतकों में दोलन का गुणांक, सापेक्ष रैखिक विचलन और भिन्नता का गुणांक शामिल हैं।

विविधता श्रृंखला खोजने का एक उदाहरण

व्यायाम।इस नमूने के लिए:

• ए) विविधता श्रृंखला खोजें;
• बी) वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें;

सं.=42. नमूना तत्व:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

समाधान।

• क) एक क्रमबद्ध विविधता श्रृंखला का निर्माण:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• बी) एक अलग भिन्नता श्रृंखला का निर्माण।

आइए स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके विविधता श्रृंखला में समूहों की संख्या की गणना करें:

आइए समूहों की संख्या 7 के बराबर लें।

समूहों की संख्या जानने के बाद, हम अंतराल के आकार की गणना करते हैं:

तालिका निर्माण की सुविधा के लिए हम समूहों की संख्या 8 के बराबर लेंगे, अंतराल 1 होगा।

चावल। 1 एक निश्चित अवधि के लिए किसी स्टोर द्वारा माल की बिक्री की मात्रा

(एक भिन्नता श्रृंखला की परिभाषा; एक भिन्नता श्रृंखला के घटक; एक भिन्नता श्रृंखला के तीन रूप; एक अंतराल श्रृंखला के निर्माण की व्यवहार्यता; निष्कर्ष जो निर्मित श्रृंखला से निकाले जा सकते हैं)

भिन्नता श्रृंखला गैर-घटते क्रम में व्यवस्थित सभी नमूना तत्वों का अनुक्रम है। समान तत्वों को दोहराया जाता है

विविधतापूर्ण श्रृंखलाएं मात्रात्मक आधार पर बनाई गई श्रृंखलाएं हैं।

परिवर्तनीय वितरण श्रृंखला में दो तत्व शामिल हैं: विकल्प और आवृत्तियाँ:

वेरिएंट एक परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला में मात्रात्मक विशेषता के संख्यात्मक मान हैं। वे सकारात्मक और नकारात्मक, निरपेक्ष और सापेक्ष हो सकते हैं। इसलिए, जब उद्यमों को आर्थिक गतिविधि के परिणामों के अनुसार समूहित किया जाता है, तो सकारात्मक विकल्प लाभ होते हैं, और नकारात्मक संख्याएँ हानि होती हैं।

फ़्रीक्वेंसी अलग-अलग वेरिएंट या भिन्नता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या है, अर्थात। ये संख्याएँ दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कुछ विकल्प कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है और यह संपूर्ण जनसंख्या के तत्वों की संख्या से निर्धारित होता है।

आवृत्तियाँ वे आवृत्तियाँ हैं जिन्हें सापेक्ष मान (इकाइयों या प्रतिशत के अंश) के रूप में व्यक्त किया जाता है। आवृत्तियों का योग एक या 100% के बराबर है। आवृत्तियों को आवृत्तियों के साथ बदलने से किसी को विभिन्न संख्या के अवलोकनों के साथ भिन्नता श्रृंखला की तुलना करने की अनुमति मिलती है।

भिन्नता श्रृंखला के तीन रूप हैं:रैंक श्रृंखला, असतत श्रृंखला और अंतराल श्रृंखला।

एक रैंक श्रृंखला अध्ययन की जा रही विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों का वितरण है। रैंकिंग आपको मात्रात्मक डेटा को आसानी से समूहों में विभाजित करने, किसी विशेषता के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों का तुरंत पता लगाने और उन मूल्यों को उजागर करने की अनुमति देती है जो सबसे अधिक बार दोहराए जाते हैं।

भिन्नता श्रृंखला के अन्य रूप अध्ययन की जा रही विशेषता के मूल्यों में भिन्नता की प्रकृति के अनुसार संकलित समूह तालिकाएँ हैं। भिन्नता की प्रकृति के अनुसार, असतत (असंतत) और निरंतर विशेषताओं को प्रतिष्ठित किया जाता है।

असतत श्रृंखला एक परिवर्तनशील श्रृंखला है, जिसका निर्माण असंतत परिवर्तन (असतत विशेषताओं) वाली विशेषताओं पर आधारित होता है। उत्तरार्द्ध में टैरिफ श्रेणी, परिवार में बच्चों की संख्या, उद्यम में कर्मचारियों की संख्या आदि शामिल हैं। ये सुविधाएँ केवल विशिष्ट मानों की एक सीमित संख्या ही ले सकती हैं।

एक अलग भिन्नता श्रृंखला एक तालिका का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें दो कॉलम होते हैं। पहला कॉलम विशेषता के विशिष्ट मान को इंगित करता है, और दूसरा कॉलम विशेषता के विशिष्ट मान के साथ जनसंख्या में इकाइयों की संख्या को इंगित करता है।

यदि किसी विशेषता में निरंतर परिवर्तन होता है (आय की मात्रा, सेवा की लंबाई, किसी उद्यम की अचल संपत्तियों की लागत, आदि, जो कुछ सीमाओं के भीतर कोई भी मूल्य ले सकती है), तो इस विशेषता के लिए एक निर्माण करना आवश्यक है अंतराल भिन्नता श्रृंखला.

यहां समूह तालिका में भी दो कॉलम हैं। पहला अंतराल "से - से" (विकल्प) में विशेषता के मूल्य को इंगित करता है, दूसरा अंतराल (आवृत्ति) में शामिल इकाइयों की संख्या को इंगित करता है।

आवृत्ति (पुनरावृत्ति आवृत्ति) - विशेषता मानों के एक विशेष प्रकार की पुनरावृत्ति की संख्या को फाई दर्शाया जाता है, और अध्ययन के तहत जनसंख्या की मात्रा के बराबर आवृत्तियों का योग दर्शाया जाता है

जहां k विशेषता मानों के लिए विकल्पों की संख्या है

बहुत बार, तालिका को एक कॉलम के साथ पूरक किया जाता है जिसमें संचित आवृत्तियों एस की गणना की जाती है, जो दर्शाती है कि जनसंख्या में कितनी इकाइयों का विशेषता मान इस मान से अधिक नहीं है।

असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला एक ऐसी श्रृंखला है जिसमें समूहों की रचना एक विशेषता के अनुसार की जाती है जो अलग-अलग बदलती है और केवल पूर्णांक मान लेती है।

अंतराल परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूहीकरण विशेषता जो समूहीकरण का आधार बनती है, एक निश्चित अंतराल में भिन्नात्मक सहित किसी भी मान को ले सकती है।

एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को संबंधित आवृत्तियों या उनमें से प्रत्येक में मूल्य की घटनाओं की आवृत्तियों के साथ अलग-अलग करने के अंतराल का एक क्रमबद्ध सेट है।

एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करने की सलाह दी जाती है, सबसे पहले, एक विशेषता की निरंतर भिन्नता के साथ, और यह भी कि यदि एक अलग भिन्नता एक विस्तृत श्रृंखला में प्रकट होती है, यानी। एक अलग विशेषता के वेरिएंट की संख्या काफी बड़ी है।

इस श्रृंखला से पहले ही कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्नता श्रृंखला का मध्य तत्व (माध्यिका) सबसे संभावित माप परिणाम का अनुमान हो सकता है। भिन्नता श्रृंखला का पहला और अंतिम तत्व (यानी, नमूने का न्यूनतम और अधिकतम तत्व) नमूना तत्वों के प्रसार को दर्शाता है। कभी-कभी, यदि पहला या अंतिम तत्व बाकी नमूने से बहुत अलग है, तो उन्हें माप परिणामों से बाहर रखा जाता है, यह मानते हुए कि ये मान किसी प्रकार की घोर विफलता के परिणामस्वरूप प्राप्त किए गए थे, उदाहरण के लिए, प्रौद्योगिकी।