एक सीधी रेखा का समीकरण चार रूपों में। एक रेखा का सामान्य समीकरण

अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरण ऐसे समीकरण हैं जो दिशा वेक्टर के संरेख में दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा को परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है एलकेवल यदि सदिश और संरेख हैं, अर्थात, उनके लिए शर्त संतुष्ट है:

.

उपरोक्त समीकरण सीधी रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनऔर पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश शून्येतर है, तो सभी संख्याएँ एम , एनऔर पीएक साथ शून्य के बराबर नहीं हो सकता. लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निम्नलिखित प्रविष्टि की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण ओएऔर आउंसशून्य के बराबर हैं. इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा परिभाषित वेक्टर और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएऔर आउंस, यानी विमान yOz .

उदाहरण 1।किसी समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए समीकरण लिखें और अक्ष के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजर रहा है आउंस .

समाधान। आइए अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें आउंस. चूँकि अक्ष पर स्थित कोई भी बिन्दु आउंस, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए, निर्देशांक हैं एक्स = वाई = 0, हमें 4 मिलता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2 . इसलिए, अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक (0; 0; 2) हैं। चूँकि वांछित रेखा समतल के लंबवत है, यह इसके सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर सामान्य वेक्टर हो सकता है दिया गया विमान.

आइए अब एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण लिखें ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में:

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर स्थित दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है और इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा निर्धारित करते हैं।

उदाहरण 2.अंतरिक्ष में बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान। आइए सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण लिखें:

.

चूँकि, तब वांछित सीधी रेखा अक्ष पर लंबवत होती है ओए .

समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समान सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी, दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में

सिस्टम के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3.सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक रेखा के विहित समीकरण बनाएं

समाधान। किसी रेखा के विहित समीकरण या, जो समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखने के लिए, आपको रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। उदाहरण के लिए, वे किन्हीं दो समन्वय तलों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं yOzऔर xOz .

एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु yOzफरसीसा है एक्स= 0 . इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0, हमें दो चर वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय य = 2 , जेड= साथ में 6 एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित पंक्ति। फिर समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें य= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में य= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

आइए अब बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखें ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या हरों को -2 से विभाजित करने के बाद:

,

बिंदु K(x 0 ; y 0) से गुजरने वाली रेखा y = kx + a के समानांतर सूत्र द्वारा पाई जाती है:

वाई - वाई 0 = के(एक्स - एक्स 0) (1)

जहाँ k रेखा का ढलान है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) से गुजरने वाली और रेखा Ax+By+C=0 के समानांतर एक रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

बिंदु K से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें( ;) सीधी रेखा y = के समानांतर एक्स+ .

उदाहरण क्रमांक 1. बिंदु M 0 (-2,1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें और साथ ही:
a) सीधी रेखा 2x+3y -7 = 0 के समानांतर;
बी) सीधी रेखा 2x+3y -7 = 0 के लंबवत।
समाधान . आइए y = kx + a के रूप में ढलान वाले समीकरण की कल्पना करें। ऐसा करने के लिए, y को छोड़कर सभी मानों को दाईं ओर ले जाएँ: 3y = -2x + 7। फिर दाईं ओर को 3 के गुणक से विभाजित करें। हमें मिलता है: y = -2/3x + 7/3
आइए बिंदु K(-2;1) से गुजरने वाली सीधी रेखा y = -2 / 3 x + 7 / 3 के समानांतर समीकरण NK खोजें
x 0 = -2, k = -2/3, y 0 = 1 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
या
y = -2 / 3 x - 1 / 3 या 3y + 2x +1 = 0

उदाहरण क्रमांक 2. रेखा 2x + 5y = 0 के समानांतर एक रेखा का समीकरण लिखें और निर्देशांक अक्षों के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाएं जिसका क्षेत्रफल 5 है।
समाधान . चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं, वांछित रेखा का समीकरण 2x + 5y + C = 0 है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, जहाँ a और b इसके पैर हैं। आइए निर्देशांक अक्षों के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:
;
.
तो, ए(-सी/2,0), बी(0,-सी/5)। आइए इसे क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करें: . हमें दो समाधान मिलते हैं: 2x + 5y + 10 = 0 और 2x + 5y – 10 = 0.

उदाहरण संख्या 3. बिंदु (-2; 5) से गुजरने वाली और रेखा 5x-7y-4=0 के समानांतर एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
समाधान। इस सीधी रेखा को समीकरण y = 5/7 x - 4/7 (यहाँ a = 5/7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। वांछित रेखा का समीकरण y - 5 = 5/7 (x - (-2)) है, अर्थात। 7(y-5)=5(x+2) या 5x-7y+45=0 .

उदाहरण संख्या 4. सूत्र (2) का उपयोग करके उदाहरण 3 (A=5, B=-7) को हल करने पर, हम 5(x+2)-7(y-5)=0 पाते हैं।

उदाहरण क्रमांक 5. बिंदु (-2;5) से गुजरने वाली और रेखा 7x+10=0 के समानांतर एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
समाधान। यहां A=7, B=0. सूत्र (2) 7(x+2)=0 देता है, अर्थात। x+2=0. फॉर्मूला (1) लागू नहीं है, क्योंकि इस समीकरण को y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है)।

मान लीजिए कि रेखा बिंदु M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) से होकर गुजरती है। बिंदु M 1 से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का रूप y-y 1 = है क (एक्स - एक्स 1), (10.6)

कहाँ क - अभी भी अज्ञात गुणांक.

चूँकि सीधी रेखा बिंदु M 2 (x 2 y 2) से होकर गुजरती है, इस बिंदु के निर्देशांक को समीकरण (10.6) को संतुष्ट करना होगा: y 2 -y 1 = क (एक्स 2 - एक्स 1).

यहां से हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं क समीकरण (10.6) में, हम बिंदु एम 1 और एम 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह माना जाता है कि इस समीकरण में x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

यदि x 1 = x 2, तो बिंदु M 1 (x 1,y I) और M 2 (x 2,y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है। इसका समीकरण है एक्स = एक्स 1 .

यदि y 2 = y I, तो रेखा का समीकरण y = y 1 के रूप में लिखा जा सकता है, सीधी रेखा M 1 M 2 भुज अक्ष के समानांतर है।

खंडों में एक रेखा का समीकरण

मान लीजिए कि सीधी रेखा ऑक्स अक्ष को बिंदु M 1 (a;0), और Oy अक्ष को बिंदु M 2 (0;b) पर प्रतिच्छेद करती है। समीकरण इस प्रकार बनेगा:
वे।
. इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, क्योंकि संख्या ए और बी इंगित करती है कि रेखा निर्देशांक अक्षों पर किन खंडों को काटती है.

किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

आइए किसी दिए गए गैर-शून्य वेक्टर n = (A; B) के लंबवत किसी दिए गए बिंदु Mo (x O; y o) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण खोजें।

आइए रेखा पर एक मनमाना बिंदु M(x; y) लें और वेक्टर M 0 M (x - x 0; y - y o) पर विचार करें (चित्र 1 देखें)। चूँकि सदिश n और M o M लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है: अर्थात

ए(एक्स - एक्सओ) + बी(वाई - यो) = 0. (10.8)

समीकरण (10.8) कहा जाता है किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण .

वेक्टर एन= (ए; बी), रेखा के लंबवत, को सामान्य कहा जाता है इस लाइन का सामान्य वेक्टर .

समीकरण (10.8) को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है आह + वू + सी = 0 , (10.9)

जहां A और B सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, C = -Ax o - Vu o मुक्त पद है। समीकरण (10.9) रेखा का सामान्य समीकरण है(चित्र 2 देखें)।

चित्र.1 चित्र.2

रेखा के विहित समीकरण

,

कहाँ
- उस बिंदु के निर्देशांक जिससे होकर रेखा गुजरती है, और
- दिशा वेक्टर.

दूसरा क्रम वक्र वृत्त

वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित समतल के सभी बिंदुओं का समूह है, जिसे केंद्र कहा जाता है।

त्रिज्या वाले एक वृत्त का विहित समीकरण आर एक बिंदु पर केन्द्रित
:

विशेष रूप से, यदि दांव का केंद्र निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, तो समीकरण इस तरह दिखेगा:

अंडाकार

एक दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग होता है और , जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मात्रा है
, foci के बीच की दूरी से अधिक
.

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण जिसका नाभि ऑक्स अक्ष पर स्थित है, और नाभियों के बीच में निर्देशांक की उत्पत्ति का रूप है
जी डेए अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई;बी - अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई (चित्र 2)।

समतल पर एक रेखा का समीकरण.

जैसा कि ज्ञात है, समतल पर कोई भी बिंदु किसी समन्वय प्रणाली में दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित होता है। आधार और उत्पत्ति की पसंद के आधार पर समन्वय प्रणालियाँ भिन्न हो सकती हैं।

परिभाषा। रेखा समीकरणइस रेखा को बनाने वाले बिंदुओं के निर्देशांकों के बीच संबंध y = f(x) कहलाता है।

ध्यान दें कि एक रेखा के समीकरण को पैरामीट्रिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात, प्रत्येक बिंदु के प्रत्येक निर्देशांक को कुछ स्वतंत्र पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है टी.

एक विशिष्ट उदाहरण एक गतिमान बिंदु का प्रक्षेप पथ है। इस मामले में, पैरामीटर की भूमिका समय द्वारा निभाई जाती है।

समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.

परिभाषा। समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक्स + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक ए और बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, यानी। A 2 + B 2  0. यह प्रथम कोटि का समीकरण कहलाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

C = 0, A  0, B  0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

ए = 0, बी  0, सी  0 (बाय + सी = 0) - ऑक्स अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = 0, ए  0, सी  0 (एक्स + सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = सी = 0, ए  0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए = सी = 0, बी  0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ संपाती होती है

किसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक सामान्य वेक्टर का समीकरण।

परिभाषा। कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) वाला एक वेक्टर समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 द्वारा दी गई सीधी रेखा के लंबवत है।

उदाहरण।सदिश के लंबवत बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए (3, -1).

A = 3 और B = -1 के साथ, आइए सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C = 0. गुणांक C खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं।

हमें मिलता है: 3 - 2 + C = 0, इसलिए C = -1।

कुल: आवश्यक समीकरण: 3x – y – 1 = 0.

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण.

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:

यदि कोई भी हर शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

समतल पर, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल किया गया है:

यदि x 1  x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2।

अंश
=k कहा जाता है ढलानसीधा।

उदाहरण।बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

ऊपर लिखे सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:

एक बिंदु और ढलान का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सीधी रेखा Ax + By + C = 0 का सामान्य समीकरण निम्न रूप में घटाया जाए:

और नामित करें
, तो परिणामी समीकरण कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक दिशा वेक्टर का समीकरण।

एक सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा की परिभाषा और सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर को दर्ज कर सकते हैं।

परिभाषा। प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर ( 1,  2), जिसके घटक A 1 + B 2 = 0 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, रेखा के निर्देशन सदिश कहलाते हैं

एक्स + वू + सी = 0.

उदाहरण।दिशा सदिश वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजर रहा है।

हम वांछित रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: Ax + By + C = 0. परिभाषा के अनुसार, गुणांकों को शर्तों को पूरा करना होगा:

1ए + (-1)बी = 0, यानी। ए = बी.

फिर सीधी रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2 पर हमें C/A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात्। आवश्यक समीकरण:

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ах + Ву + С = 0 С 0, तो -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:
या

, कहाँ

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ वह गुणांक है एऑक्स अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।रेखा x – y + 1 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इस रेखा का समीकरण खंडों में ज्ञात कीजिए।

सी = 1,
, ए = -1, बी = 1.

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + By + C = 0 को संख्या से विभाजित किया जाता है
जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcos + ysin - पी = 0 –

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न  चुना जाना चाहिए ताकि С< 0.

p मूल बिंदु से सीधी रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई है, और  ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ इस लंब द्वारा बनाया गया कोण है।

उदाहरण।रेखा 12x – 5y – 65 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इस रेखा के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखना आवश्यक है।

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक रेखा का सामान्य समीकरण:

; cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में एक समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण।सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए यदि इन खंडों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है।

सीधी रेखा का समीकरण है:
, ए = बी = 1; एबी/2 = 8; ए = 4; -4.

a = -4 समस्या की स्थितियों के अनुसार उपयुक्त नहीं है।

कुल:
या x + y – 4 = 0.

उदाहरण।बिंदु A(-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

सीधी रेखा का समीकरण है:
, जहां x 1 = y 1 = 0; एक्स 2 = -2; आप 2 = -3.

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा। यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हैं, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा

.

यदि k 1 = k 2 है तो दो रेखाएँ समानांतर हैं।

यदि k 1 = -1/k 2 है तो दो रेखाएँ लंबवत हैं।

प्रमेय. सीधी रेखाएँ Ax + Wu + C = 0 और A 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 समानांतर हैं जब गुणांक ए आनुपातिक हैं 1 =  ए, बी 1 =  बी. यदि सी भी 1 =  C, तो रेखाएँ संपाती होती हैं।

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा के लंबवत.

परिभाषा। बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत एक सीधी रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी.

प्रमेय. यदि बिंदु M(x) दिया गया है 0 , य 0 ), तो सीधी रेखा Ах + Ву + С =0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

.

सबूत। मान लीजिए बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई सीधी रेखा पर डाले गए लंबवत का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

समीकरणों की प्रणाली को हल करके निर्देशांक x 1 और y 1 पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए रेखा के लंबवत बिंदु M 0 से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है।

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण।रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

के 1 = -3; के 2 = 2 टीजी =
;  = /4.

उदाहरण।दिखाएँ कि रेखाएँ 3x – 5y + 7 = 0 और 10x + 6y – 3 = 0 लंबवत हैं।

हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण।त्रिभुज A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

आवश्यक ऊँचाई समीकरण का रूप है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b।

क = . फिर y =
. क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
जहाँ से b = 17. कुल:
.

उत्तर: 3x + 2y – 34 = 0.

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति.

अंतरिक्ष में एक रेखा का समीकरण.

अंतरिक्ष में एक बिंदु दिए गए रेखा का समीकरण और

दिशा सदिश.

आइए एक मनमाना रेखा और एक सदिश लें (एम, एन, पी), दी गई रेखा के समानांतर। वेक्टर बुलाया मार्गदर्शक वेक्टरसीधा।

सीधी रेखा पर हम दो मनमाना बिंदु M 0 (x 0 , y 0 , z 0) और M (x, y, z) लेते हैं।

जेड

एम 1

आइए हम इन बिंदुओं के त्रिज्या सदिशों को इस प्रकार निरूपित करें और , यह स्पष्ट है कि - =
.

क्योंकि वैक्टर
और संरेख हैं, तो संबंध सत्य है
= t, जहां t कुछ पैरामीटर है।

कुल मिलाकर, हम लिख सकते हैं: = + टी।

क्योंकि यह समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट है, तो परिणामी समीकरण है एक रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण.

इस वेक्टर समीकरण को निर्देशांक रूप में दर्शाया जा सकता है:

इस प्रणाली को परिवर्तित करके और पैरामीटर t के मानों को बराबर करके, हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:

.

परिभाषा। दिशा कोसाइनप्रत्यक्ष वेक्टर की दिशा कोसाइन हैं , जिसकी गणना सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है:

;

.

यहां से हमें मिलता है: m: n: p = cos : cos : cos.

संख्याएँ m, n, p कहलाती हैं कोण गुणांकसीधा। क्योंकि एक गैर-शून्य वेक्टर है, तो m, n और p एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकते हैं, लेकिन इनमें से एक या दो संख्याएँ शून्य के बराबर हो सकती हैं। इस स्थिति में, रेखा के समीकरण में, संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

अंतरिक्ष से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

दो बिंदुओं के माध्यम से.

यदि अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा पर हम दो मनमाना बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) चिह्नित करते हैं, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक को सीधी रेखा समीकरण को संतुष्ट करना होगा ऊपर प्राप्त:

.

इसके अलावा, बिंदु एम 1 के लिए हम लिख सकते हैं:

.

इन समीकरणों को एक साथ हल करने पर, हमें मिलता है:

.

यह अंतरिक्ष में दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण।

एक सीधी रेखा के समीकरण को दो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा का समीकरण माना जा सकता है।

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, वेक्टर रूप में एक विमान को समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

+ डी = 0, कहां

- विमान सामान्य; - त्रिज्या समतल पर एक मनमाना बिंदु का सदिश है।

यह लेख एक समतल पर स्थित आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की व्युत्पत्ति का खुलासा करता है। आइए हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करें। हम कवर की गई सामग्री से संबंधित कई उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाएंगे और हल करेंगे।

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दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण प्राप्त करने से पहले कुछ तथ्यों पर ध्यान देना आवश्यक है। एक सिद्धांत है जो कहता है कि एक समतल पर दो अलग-अलग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है और केवल एक ही। दूसरे शब्दों में, एक समतल पर दिए गए दो बिंदु इन बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा परिभाषित होते हैं।

यदि विमान को आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी द्वारा परिभाषित किया गया है, तो इसमें चित्रित कोई भी सीधी रेखा विमान पर एक सीधी रेखा के समीकरण के अनुरूप होगी। सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के साथ भी एक संबंध है। यह डेटा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए पर्याप्त है।

आइए इसी तरह की समस्या को हल करने का एक उदाहरण देखें। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में स्थित दो अपसारी बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है।

एक तल पर एक रेखा के विहित समीकरण में, जिसका रूप x - x 1 a x = y - y 1 a y है, एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y को एक रेखा के साथ निर्दिष्ट किया जाता है जो इसके साथ निर्देशांक M 1 (x) वाले एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। 1, y 1) एक गाइड वेक्टर के साथ a → = (a x , a y) ।

एक सीधी रेखा a का विहित समीकरण बनाना आवश्यक है, जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) वाले दो बिंदुओं से होकर गुजरेगी।

सीधे a में निर्देशांक (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के साथ एक दिशा वेक्टर M 1 M 2 → है, क्योंकि यह बिंदु M 1 और M 2 को काटता है। हमने दिशा वेक्टर M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के निर्देशांक और उन पर स्थित बिंदुओं M 1 के निर्देशांक के साथ विहित समीकरण को बदलने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त किया है। (x 1, y 1) और M 2 (x 2 , y 2) . हमें x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

गणनाओं के बाद, हम एक समतल पर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) वाले दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ या x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है। y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

आइए कई उदाहरणों को हल करने पर करीब से नज़र डालें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 के साथ दिए गए 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें।

समाधान

निर्देशांक x 1, y 1 और x 2, y 2 के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक रेखा के लिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 का रूप लेता है। समस्या की शर्तों के अनुसार, हमारे पास यह है कि x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 में संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। यहां से हमें पता चलता है कि विहित समीकरण x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 का रूप लेता है।

उत्तर: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

यदि आपको किसी भिन्न प्रकार के समीकरण के साथ किसी समस्या को हल करने की आवश्यकता है, तो पहले आप विहित समीकरण पर जा सकते हैं, क्योंकि इससे किसी अन्य समीकरण पर आना आसान है।

उदाहरण 2

O x y समन्वय प्रणाली में निर्देशांक M 1 (1, 1) और M 2 (4, 2) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाएं।

समाधान

सबसे पहले, आपको किसी दी गई रेखा का विहित समीकरण लिखना होगा जो दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 के रूप का एक समीकरण मिलता है।

आइए विहित समीकरण को वांछित रूप में लाएं, फिर हमें मिलता है:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

उत्तर:एक्स - 3 वाई + 2 = 0 .

ऐसे कार्यों के उदाहरणों पर स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में बीजगणित पाठों के दौरान चर्चा की गई थी। स्कूल की समस्याएँ इस मायने में भिन्न थीं कि कोण गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात था, जिसका रूप y = k x + b था। यदि आपको ढलान k और संख्या b का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है जिसके लिए समीकरण y = k x + b O x y प्रणाली में एक रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदु M 1 (x 1, y 1) और M 2 ( x 2, y 2) , जहां x 1 ≠ x 2. जब x 1 = x 2 , तो कोणीय गुणांक अनंत का मान लेता है, और सीधी रेखा M 1 M 2 को x - x 1 = 0 के रूप के एक सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है .

क्योंकि अंक एम 1और एम 2एक सीधी रेखा पर हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y 1 = k x 1 + b और y 2 = k x 2 + b को संतुष्ट करते हैं। के और बी के लिए समीकरणों y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b की प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

ऐसा करने के लिए, हम पाते हैं कि k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = वाई 2 - वाई 2 - वाई 1 एक्स 2 - एक्स 1 एक्स 2।

K और b के इन मानों के साथ, दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x हो जाता है 1 या y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

इतनी बड़ी संख्या में सूत्रों को एक साथ याद रखना असंभव है। ऐसा करने के लिए, समस्याओं को हल करने में दोहराव की संख्या बढ़ाना आवश्यक है।

उदाहरण 3

निर्देशांक M 2 (2, 1) और y = k x + b वाले बिंदुओं से गुजरने वाली कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, हम y = k x + b के रूप के कोणीय गुणांक वाले सूत्र का उपयोग करते हैं। गुणांक k और b को ऐसा मान लेना चाहिए कि यह समीकरण निर्देशांक M 1 (- 7, - 5) और M 2 (2, 1) वाले दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा से मेल खाता हो।

अंक एम 1और एम 2एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो उनके निर्देशांक को समीकरण y = k x + b को एक वास्तविक समानता बनाना चाहिए। इससे हमें पता चलता है कि - 5 = k · (- 7) + b और 1 = k · 2 + b. आइए समीकरण को सिस्टम में संयोजित करें - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b और हल करें।

प्रतिस्थापन पर हमें वह प्राप्त होता है

5 = के · - 7 + बी 1 = के · 2 + बी ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के + बी = 1 ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के - 5 + 7 के = 1 ⇔ ⇔ बी = - 5 + 7 केके = 2 3 ⇔ बी = - 5 + 7 2 3 के = 2 3 ⇔ बी = - 1 3 के = 2 3

अब मान k = 2 3 और b = - 1 3 को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित किया जाता है। हम पाते हैं कि दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाला आवश्यक समीकरण y = 2 3 x - 1 3 के रूप का समीकरण होगा।

समाधान की यह विधि बहुत सारे समय की बर्बादी को पूर्व निर्धारित करती है। एक ऐसा तरीका है जिसमें कार्य को वस्तुतः दो चरणों में हल किया जाता है।

आइए हम M 2 (2, 1) और M 1 (- 7, - 5) से गुजरने वाली रेखा का विहित समीकरण लिखें, जिसका रूप x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) है। ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6।

अब आइए ढलान समीकरण पर चलते हैं। हम पाते हैं कि: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

उत्तर: y = 2 3 x - 1 3 .

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z है जिसमें निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) के साथ दो गैर-संपाती बिंदु हैं, तो उनसे होकर गुजरने वाली सीधी रेखा M 1 M 2 से इस रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

हमारे पास x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z के रूप के विहित समीकरण और x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z के रूप के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। 1 + a z · λ समन्वय प्रणाली O x y z में एक रेखा को परिभाषित करने में सक्षम हैं, जो एक दिशा वेक्टर a → = (a x, a y, a z) के साथ निर्देशांक (x 1, y 1, z 1) वाले बिंदुओं से गुजरती है।

सीधा एम 1 एम 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) के रूप का एक दिशा वेक्टर है, जहां सीधी रेखा बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर गुजरती है। z 1) और M 2 (x 2 , y 2 , z 2), इसलिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 के रूप का हो सकता है z 2 - z 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, बदले में पैरामीट्रिक x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ या x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

एक चित्र पर विचार करें जो अंतरिक्ष में दिए गए 2 बिंदुओं और एक सीधी रेखा के समीकरण को दर्शाता है।

उदाहरण 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z में परिभाषित एक रेखा का समीकरण लिखें, जो निर्देशांक M 1 (2, - 3, 0) और M 2 (1, - 3, - 5) के साथ दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है।

समाधान

विहित समीकरण ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के बारे में बात कर रहे हैं, इसका मतलब है कि जब एक रेखा दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है, तो वांछित विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z का रूप लेगा। - z 1 z 2 - z 1 .

शर्त के अनुसार हमारे पास है कि x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. इससे यह पता चलता है कि आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिखे जाएंगे:

एक्स - 2 1 - 2 = वाई - (- 3) - 3 - (- 3) = जेड - 0 - 5 - 0 ⇔ एक्स - 2 - 1 = वाई + 3 0 = जेड - 5

उत्तर: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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