समीकरण x2 y2. दो चर वाले समीकरणों को हल करना

1. एक पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली

एक पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को समीकरणों की सामान्य प्रणालियों के समान मूल तरीकों से हल किया जाता है: प्रतिस्थापन विधि, समीकरण जोड़ने की विधि और ग्राफिकल विधि। रैखिक प्रणालियों की चित्रमय व्याख्या का ज्ञान जड़ों की संख्या और उनके अस्तित्व के बारे में प्रश्न का उत्तर देना आसान बनाता है।

उदाहरण 1।

पैरामीटर a के लिए सभी मान खोजें जिनके लिए समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

(एक्स + (ए 2 – 3)वाई = ए,
(एक्स + वाई = 2.

समाधान।

आइए इस समस्या को हल करने के कई तरीकों पर गौर करें।

1 रास्ता.हम संपत्ति का उपयोग करते हैं: सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है यदि x के सामने गुणांक का अनुपात y के सामने गुणांक के अनुपात के बराबर है, लेकिन मुक्त शर्तों के अनुपात के बराबर नहीं है (ए/ए 1 = बी) /बी 1 ≠ सी/सी 1). तो हमारे पास हैं:

1/1 = (ए 2 - 3)/1 ≠ ए/2 या सिस्टम

(और 2 – 3 = 1,
(ए ≠ 2.

पहले समीकरण a 2 = 4 से, इसलिए, इस शर्त को ध्यान में रखते हुए कि a ≠ 2, हमें उत्तर मिलता है।

उत्तर: ए = -2.

विधि 2.हम प्रतिस्थापन विधि से हल करते हैं।

(2 – वाई + (ए 2 – 3)वाई = ए,
(एक्स = 2 – वाई,

((ए 2 – 3)वाई – वाई = ए – 2,
(एक्स = 2 – वाई.

पहले समीकरण में सामान्य गुणनखंड y को कोष्ठक से बाहर निकालने के बाद, हमें मिलता है:

((ए 2 – 4)वाई = ए – 2,
(एक्स = 2 – वाई.

यदि पहले समीकरण का कोई समाधान नहीं है, अर्थात सिस्टम का कोई समाधान नहीं है

(और 2 – 4 = 0,
(ए - 2 ≠ 0.

जाहिर है, a = ±2, लेकिन दूसरी शर्त को ध्यान में रखते हुए, उत्तर केवल ऋणात्मक उत्तर के साथ आता है।

उत्तर:ए = -2.

उदाहरण 2.

पैरामीटर a के लिए सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं।

(8x + ay = 2,
(कुल्हाड़ी + 2y = 1.

समाधान।

संपत्ति के अनुसार, यदि x और y के गुणांकों का अनुपात समान है, और सिस्टम के मुक्त सदस्यों के अनुपात के बराबर है, तो इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं (यानी a/a 1 = b/ बी 1 = सी/सी 1). इसलिए 8/ए = ए/2 = 2/1. प्रत्येक परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि इस उदाहरण में उत्तर a = 4 है।

उत्तर:ए = 4.

2. एक पैरामीटर के साथ तर्कसंगत समीकरणों की प्रणाली

उदाहरण 3.

(3|एक्स| + वाई = 2,
(|x| + 2y = a.

समाधान।

आइए सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर हमें 5|x| प्राप्त होता है = 4 – ए. इस समीकरण में a = 4 के लिए एक अद्वितीय समाधान होगा। अन्य मामलों में, इस समीकरण में दो समाधान होंगे (a के लिए)।< 4) или ни одного (при а > 4).

उत्तर: ए = 4.

उदाहरण 4.

पैरामीटर a के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है।

(एक्स + वाई = ए,
(वाई - एक्स 2 = 1.

समाधान।

हम इस सिस्टम को ग्राफ़िकल विधि से हल करेंगे। इस प्रकार, सिस्टम के दूसरे समीकरण का ग्राफ एक इकाई खंड द्वारा ओए अक्ष के साथ ऊपर उठाया गया एक परवलय है। पहला समीकरण रेखा y = -x के समानांतर रेखाओं का एक सेट निर्दिष्ट करता है (चित्र 1). चित्र से यह स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है कि सिस्टम के पास एक समाधान है यदि सीधी रेखा y = -x + a निर्देशांक (-0.5, 1.25) वाले एक बिंदु पर परवलय की स्पर्शरेखा है। इन निर्देशांकों को x और y के बजाय सीधी रेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पैरामीटर a का मान पाते हैं:

1.25 = 0.5 + ए;

उत्तर: ए = 0.75.

उदाहरण 5.

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके, पता लगाएं कि पैरामीटर ए के किस मूल्य पर, सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

(कुल्हाड़ी - y = ए + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

समाधान।

पहले समीकरण से हम y व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं:

(y = कुल्हाड़ी - ए - 1,
(कुल्हाड़ी + (ए + 2)(कुल्हाड़ी – ए – 1) = 2.

आइए हम दूसरे समीकरण को kx = b के रूप में घटाएँ, जिसका k ≠ 0 के लिए एक अद्वितीय समाधान होगा। हमारे पास है:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

ए 2 एक्स + 3एएक्स = 2 + ए 2 + 3ए + 2.

हम वर्ग त्रिपद a 2 + 3a + 2 को कोष्ठक के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं

(ए + 2)(ए + 1), और बाईं ओर हम कोष्ठक से x निकालते हैं:

(ए 2 + 3ए)एक्स = 2 + (ए + 2)(ए + 1)।

जाहिर है, a 2 + 3a शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, इसलिए,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, जिसका अर्थ है a ≠ 0 और ≠ -3।

उत्तर:ए ≠ 0; ≠ -3.

उदाहरण 6.

ग्राफ़िकल समाधान विधि का उपयोग करके, यह निर्धारित करें कि सिस्टम के पैरामीटर के किस मान पर एक अद्वितीय समाधान है।

(एक्स 2 + वाई 2 = 9,
(y – |x| = ए.

समाधान।

शर्त के आधार पर, हम मूल बिंदु पर एक केंद्र और 3 इकाई खंडों की त्रिज्या के साथ एक वृत्त का निर्माण करते हैं; यह सिस्टम के पहले समीकरण द्वारा निर्दिष्ट है

x 2 + y 2 = 9. सिस्टम का दूसरा समीकरण (y = |x| + a) एक टूटी हुई रेखा है। का उपयोग करके चित्र 2हम वृत्त के सापेक्ष इसके स्थान के सभी संभावित मामलों पर विचार करते हैं। यह देखना आसान है कि a = 3.

उत्तर: ए = 3.

क्या आपके पास अभी भी प्रश्न हैं? क्या आप नहीं जानते कि समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल किया जाए?
ट्यूटर से सहायता प्राप्त करने के लिए, पंजीकरण करें।
पहला पाठ निःशुल्क है!

वेबसाइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

निर्देश

प्रतिस्थापन विधि एक चर को व्यक्त करें और उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आप अपने विवेक से कोई भी परिवर्तन व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दूसरे समीकरण से y व्यक्त करें:
x-y=2 => y=x-2फिर पहले समीकरण में सब कुछ प्रतिस्थापित करें:
2x+(x-2)=10 "x" के बिना सभी चीज़ों को दाईं ओर ले जाएं और गणना करें:
2x+x=10+2
3x=12 अगला, x प्राप्त करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:
x=4। तो, आपको “x” मिला। खोजें "y. ऐसा करने के लिए, उस समीकरण में "x" प्रतिस्थापित करें जिससे आपने "y" व्यक्त किया था:
y=x-2=4-2=2
आप=2.

जांच करो. ऐसा करने के लिए, परिणामी मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:
2*4+2=10
4-2=2
अज्ञात सही ढंग से पाए गए हैं!

समीकरणों को जोड़ने या घटाने का एक तरीका किसी भी चर से तुरंत छुटकारा पाएं। हमारे मामले में, "y" के साथ ऐसा करना आसान है।
चूंकि समीकरण में "y" में "+" चिह्न है, और दूसरे में "-" है, तो आप अतिरिक्त ऑपरेशन कर सकते हैं, अर्थात। बाएँ भाग को बाएँ से और दाएँ को दाएँ से मोड़ें:
2x+y+(x-y)=10+2रूपांतरित करें:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4किसी भी समीकरण में "x" रखें और "y" ढूंढें:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 पहली विधि का उपयोग करके, आप जांच सकते हैं कि जड़ें सही ढंग से पाई गई हैं।

यदि कोई स्पष्ट रूप से परिभाषित चर नहीं हैं, तो समीकरणों को थोड़ा बदलना आवश्यक है।
पहले समीकरण में हमारे पास "2x" है, और दूसरे में हमारे पास बस "x" है। जोड़ने या घटाने पर x को कम करने के लिए, दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें:
x-y=2
2x-2y=4 फिर पहले समीकरण से दूसरा घटाएं:
2x+y-(2x-2y)=10-4 ध्यान दें कि यदि कोष्ठक के सामने ऋण चिन्ह है तो खोलने के बाद चिन्हों को विपरीत चिन्हों में बदल दें।
2x+y-2x+2y=6
3यू=6
किसी भी समीकरण से व्यक्त करके y=2x ज्ञात करें, अर्थात
एक्स=4

विषय पर वीडियो

विभेदक समीकरणों को हल करते समय, तर्क x (या भौतिक समस्याओं में समय t) हमेशा स्पष्ट रूप से उपलब्ध नहीं होता है। फिर भी, यह एक अंतर समीकरण को निर्दिष्ट करने का एक सरलीकृत विशेष मामला है, जो अक्सर इसके अभिन्न अंग की खोज को सरल बनाने में मदद करता है।

निर्देश

एक भौतिकी समस्या पर विचार करें जिसके परिणामस्वरूप एक विभेदक समीकरण बनता है जिसमें तर्क t गायब है। यह एक ऊर्ध्वाधर तल में स्थित r लंबाई के धागे पर निलंबित m द्रव्यमान के दोलनों के बारे में एक समस्या है। पेंडुलम की गति के समीकरण की आवश्यकता होती है यदि यह प्रारंभ में गतिहीन था और संतुलन अवस्था से कोण α द्वारा झुका हुआ था। बलों की उपेक्षा की जानी चाहिए (चित्र 1ए देखें)।

समाधान। गणितीय पेंडुलम एक भौतिक बिंदु है जो बिंदु O पर भारहीन और अवितानीय धागे पर लटका हुआ है। बिंदु पर दो बल कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण बल G=mg और धागे का तनाव बल N। ये दोनों बल ऊर्ध्वाधर तल में स्थित हैं . इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, आप बिंदु O से गुजरने वाली क्षैतिज धुरी के चारों ओर एक बिंदु की घूर्णी गति के समीकरण को लागू कर सकते हैं। किसी पिंड की घूर्णी गति के समीकरण का रूप चित्र में दिखाया गया है। 1बी. इस मामले में, I भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण है; j बिंदु के साथ धागे के घूमने का कोण है, जिसे ऊर्ध्वाधर अक्ष से वामावर्त मापा जाता है; एम एक भौतिक बिंदु पर लागू बलों का क्षण है।

इन मानों की गणना करें. I=mr^2, M=M(G)+M(N). लेकिन M(N)=0, क्योंकि बल की क्रिया रेखा बिंदु O से होकर गुजरती है। M(G)=-mgrsinj। "-" चिन्ह का अर्थ है कि बल का क्षण गति के विपरीत दिशा में निर्देशित है। गति के समीकरण में जड़त्व आघूर्ण और बल के आघूर्ण को प्रतिस्थापित करें और चित्र में दिखाया गया समीकरण प्राप्त करें। 1s. द्रव्यमान को कम करने से, एक संबंध उभरता है (चित्र 1डी देखें)। यहां कोई तर्क नहीं है.

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना सबसे पुरानी गणितीय समस्याओं में से एक है। पहले से ही दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत में। इ। बेबीलोनवासी दो चर वाले ऐसे समीकरणों की प्रणालियों को हल करना जानते थे। गणित का यह क्षेत्र प्राचीन ग्रीस में अपने सबसे बड़े उत्कर्ष पर पहुंचा। हमारा मुख्य स्रोत डायोफैंटस का अंकगणित है, जिसमें विभिन्न प्रकार के समीकरण शामिल हैं। इसमें, डायोफैंटस (उनके नाम के बाद समीकरणों का नाम डायोफैंटाइन समीकरण है) द्वितीय और तृतीय डिग्री के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए कई तरीकों का अनुमान लगाता है, जो केवल 19 वीं शताब्दी में विकसित हुए थे।

सबसे सरल डायोफैंटाइन समीकरण हैं ax + y = 1 (दो चर वाला समीकरण, पहली डिग्री) x2 + y2 = z2 (तीन चर वाला समीकरण, दूसरी डिग्री)

बीजगणितीय समीकरणों का पूरी तरह से अध्ययन किया गया है; उनका समाधान 16वीं और 17वीं शताब्दी में बीजगणित की सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक था।

19वीं सदी की शुरुआत तक, पी. फ़र्मेट, एल. यूलर, के. गॉस के कार्यों ने इस रूप के डायोफैंटाइन समीकरण की जांच की: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, जहां a, b, c , डी, ई, एफ संख्याएं हैं; x, y अज्ञात चर।

यह दो अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री का समीकरण है।

के. गॉस ने द्विघात रूपों का एक सामान्य सिद्धांत विकसित किया, जो दो चर (डायोफैंटाइन समीकरण) के साथ कुछ प्रकार के समीकरणों को हल करने का आधार है। बड़ी संख्या में विशिष्ट डायोफैंटाइन समीकरण हैं जिन्हें प्राथमिक तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। /पी>

सैद्धांतिक सामग्री.

कार्य के इस भाग में, बुनियादी गणितीय अवधारणाओं का वर्णन किया जाएगा, शब्दों को परिभाषित किया जाएगा, और विस्तार प्रमेय को अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके तैयार किया जाएगा, जिसका अध्ययन किया गया था और दो चर वाले समीकरणों को हल करते समय विचार किया गया था।

परिभाषा 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 के रूप का समीकरण, जहां a, b, c, d, e, f संख्याएं हैं; x, y अज्ञात चरों को दो चरों वाला द्वितीय डिग्री समीकरण कहा जाता है।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 का अध्ययन किया जाता है, जहां संख्या x का a, b, c एक चर है, जिसमें एक चर है। इस समीकरण को हल करने के कई तरीके हैं:

1. विवेचक का उपयोग करके जड़ें ढूँढना;

2. (D1= के अनुसार) में सम गुणांक के मूल ज्ञात करना;

3. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ें खोजना;

4. द्विपद का पूर्ण वर्ग अलग करके मूल ज्ञात करना।

किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूलों को खोजना या यह साबित करना कि उनका अस्तित्व नहीं है।

परिभाषा 2: किसी समीकरण का मूल एक संख्या है, जिसे जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक वास्तविक समानता बनती है।

परिभाषा 3: दो चर वाले समीकरण के समाधान को संख्याओं की एक जोड़ी कहा जाता है (x, y) जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह वास्तविक समानता में बदल जाता है।

किसी समीकरण का समाधान खोजने की प्रक्रिया में आमतौर पर समीकरण को समकक्ष समीकरण से प्रतिस्थापित करना शामिल होता है, लेकिन ऐसा समीकरण जिसे हल करना आसान होता है। ऐसे समीकरण समतुल्य कहलाते हैं।

परिभाषा 4: दो समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है यदि एक समीकरण का प्रत्येक समाधान दूसरे समीकरण का समाधान है, और इसके विपरीत, और दोनों समीकरणों को एक ही डोमेन में माना जाता है।

दो चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए, समीकरण को पूर्ण वर्गों के योग में विघटित करने पर प्रमेय का उपयोग करें (अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा)।

दूसरे क्रम के समीकरण ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) के लिए, विस्तार a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) होता है

आइए उन शर्तों को तैयार करें जिनके तहत दो चर के समीकरण (1) के लिए विस्तार (2) होता है।

प्रमेय: यदि समीकरण (1) के गुणांक a, b, c शर्तों a0 और 4ab - c20 को संतुष्ट करते हैं, तो विस्तार (2) एक अनोखे तरीके से निर्धारित किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, यदि प्रमेय की शर्तें पूरी होती हैं, तो दो चर वाले समीकरण (1) को अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके फॉर्म (2) में घटाया जा सकता है।

आइए एक उदाहरण देखें कि अनिश्चित गुणांक की विधि कैसे लागू की जाती है।

विधि संख्या 1. अनिर्धारित गुणांकों की विधि का उपयोग करके समीकरण को हल करें

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. आइए प्रमेय की शर्तों की पूर्ति की जाँच करें, a=2, b=1, c=2, जिसका अर्थ है a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40।

2. प्रमेय की शर्तें पूरी होती हैं; उन्हें सूत्र (2) के अनुसार विस्तारित किया जा सकता है।

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, प्रमेय की शर्तों के आधार पर, पहचान के दोनों भाग समतुल्य हैं। आइए हम पहचान के दाईं ओर को सरल बनाएं।

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h)।

5. हम समान चरों के गुणांकों को उनकी डिग्री के साथ बराबर करते हैं।

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. आइए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करें, इसे हल करें और गुणांकों के मान ज्ञात करें।

7. गुणांकों को (2) में रखें, तो समीकरण रूप ले लेगा

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

इस प्रकार, मूल समीकरण समीकरण के बराबर है

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), यह समीकरण दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के बराबर है।

उत्तर: (-1; 1).

यदि आप विस्तार के प्रकार (3) पर ध्यान देते हैं, तो आप देखेंगे कि यह एक चर वाले द्विघात समीकरण से एक पूर्ण वर्ग को अलग करने के समान है: ax2 + inx + c = a(x +)2 +।

आइए दो चर वाले समीकरण को हल करते समय इस तकनीक को लागू करें। आइए, एक पूर्ण वर्ग के चयन का उपयोग करके, दो चर वाले एक द्विघात समीकरण को हल करें जिसे पहले ही प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा चुका है।

विधि संख्या 2: समीकरण 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 को हल करें।

समाधान: 1. आइए 2x2 को दो पदों x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 के योग के रूप में कल्पना करें।

2. आइए पदों को इस प्रकार समूहित करें कि हम उन्हें पूर्ण वर्ग के सूत्र का उपयोग करके मोड़ सकें।

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. कोष्ठक में दिए गए भावों से पूर्ण वर्ग चुनें।

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. यह समीकरण रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के बराबर है।

उत्तर: (-1;1).

यदि आप परिणामों की तुलना करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि प्रमेय और अनिर्धारित गुणांक की विधि का उपयोग करके विधि संख्या 1 द्वारा हल किए गए समीकरण और पूर्ण वर्ग के निष्कर्षण का उपयोग करके विधि संख्या 2 द्वारा हल किए गए समीकरण की जड़ें समान हैं।

निष्कर्ष: दो चर वाले एक द्विघात समीकरण को दो तरीकों से वर्गों के योग में विस्तारित किया जा सकता है:

➢ पहली विधि अनिश्चित गुणांक की विधि है, जो प्रमेय और विस्तार (2) पर आधारित है।

➢ दूसरा तरीका पहचान परिवर्तनों का उपयोग करना है जो आपको क्रमिक रूप से पूर्ण वर्गों का चयन करने की अनुमति देता है।

बेशक, समस्याओं को हल करते समय, दूसरी विधि बेहतर होती है, क्योंकि इसमें विस्तार (2) और शर्तों को याद रखने की आवश्यकता नहीं होती है।

इस विधि का उपयोग तीन चर वाले द्विघात समीकरणों के लिए भी किया जा सकता है। ऐसे समीकरणों में एक पूर्ण वर्ग को अलग करना अधिक श्रमसाध्य है। मैं अगले वर्ष इस प्रकार का परिवर्तन करूँगा।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि एक फ़ंक्शन जिसका रूप है: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f, दो चरों वाला द्विघात फ़ंक्शन कहलाता है। गणित की विभिन्न शाखाओं में द्विघात फलन महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं:

गणितीय प्रोग्रामिंग में (द्विघात प्रोग्रामिंग)

रैखिक बीजगणित और ज्यामिति में (द्विघात रूप)

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में (दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण को विहित रूप में कम करना)।

इन विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, किसी को अनिवार्य रूप से एक द्विघात समीकरण (एक, दो या अधिक चर) से एक पूर्ण वर्ग को अलग करने की प्रक्रिया को लागू करना पड़ता है।

वे रेखाएँ जिनके समीकरणों का वर्णन दो चरों के द्विघात समीकरण द्वारा किया जाता है, दूसरे क्रम के वक्र कहलाते हैं।

यह एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय है।

इन वक्रों के ग्राफ़ बनाते समय, एक पूर्ण वर्ग को क्रमिक रूप से अलग करने की विधि का भी उपयोग किया जाता है।

आइए देखें कि विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके क्रमिक रूप से एक पूर्ण वर्ग का चयन करने की विधि कैसे काम करती है।

व्यावहारिक भाग.

एक पूर्ण वर्ग को क्रमिक रूप से अलग करने की विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करें।

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

उत्तर:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

उत्तर:(0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

उत्तर:(-1;1).

समीकरण हल करें:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(इस रूप में घटाएं: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

उत्तर: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(इस रूप में घटाएं: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

उत्तर: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(इस रूप में घटाएं: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

उत्तर: (7;-7)

निष्कर्ष।

इस वैज्ञानिक कार्य में दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों का अध्ययन किया गया और उन्हें हल करने के तरीकों पर विचार किया गया। कार्य पूरा हो गया है, समाधान की एक छोटी विधि तैयार की गई है और उसका वर्णन किया गया है, जो एक पूर्ण वर्ग को अलग करने और समीकरण को समीकरणों की समतुल्य प्रणाली के साथ बदलने पर आधारित है, जिसके परिणामस्वरूप दो चर वाले समीकरण की जड़ों को खोजने की प्रक्रिया शुरू हो गई है सरलीकरण किया गया.

कार्य का एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि विचाराधीन तकनीक का उपयोग द्विघात फ़ंक्शन से संबंधित विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने, दूसरे क्रम के वक्रों का निर्माण करने और अभिव्यक्तियों का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान खोजने में किया जाता है।

इस प्रकार, दो चर वाले दूसरे क्रम के समीकरण को वर्गों के योग में विघटित करने की तकनीक का गणित में सबसे अधिक अनुप्रयोग है।

प्राकृतिक संख्याओं में अनिश्चित समीकरण.

राज्य शैक्षणिक संस्थान "रेचित्सा जिला लिसेयुम"

द्वारा तैयार: ।

पर्यवेक्षक: ।

परिचय

1. गुणनखंडन विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना…………4

2. दो चर वाले समीकरणों को हल करना (विभेदक विधि)……………………………………………………………….11

3. अवशिष्ट विधि...................................................... ....................................13

4. "अंतहीन वंश" विधि................................................... .......... ..........15

5.नमूना विधि……………………………………………………16

निष्कर्ष................................................. ..................................18

परिचय

मैं, स्लावा, रेचित्सा डिस्ट्रिक्ट लिसेयुम में पढ़ता हूँ, 10वीं कक्षा का छात्र हूँ।

यह सब एक विचार से शुरू होता है! मुझसे तीन अज्ञात 29x+30y+31 वाले समीकरण को हल करने के लिए कहा गया थाजेड =366. अब मैं इस समीकरण को एक समस्या मानता हूं - एक मजाक, लेकिन पहली बार मैंने अपने दिमाग पर जोर डाला। मेरे लिए यह समीकरण कुछ अनिश्चित हो गया है कि इसे कैसे हल किया जाए, किस तरह से हल किया जाए।

अंतर्गत अनिश्चित समीकरणहमें यह समझना चाहिए कि ये एक से अधिक अज्ञात वाले समीकरण हैं। आमतौर पर, जो लोग इन समीकरणों को हल करते हैं वे पूर्ण संख्याओं में समाधान ढूंढते हैं।

अनिश्चित समीकरणों को हल करना एक बहुत ही रोमांचक और शैक्षिक गतिविधि है जो छात्रों की बुद्धि, अवलोकन, सावधानी के साथ-साथ स्मृति और अभिविन्यास के विकास, तार्किक रूप से सोचने, विश्लेषण करने, तुलना करने और सामान्यीकरण करने की क्षमता विकसित करने में मदद करती है। मुझे अभी तक कोई सामान्य विधि नहीं मिली है, लेकिन अब मैं आपको प्राकृतिक संख्याओं में ऐसे समीकरणों को हल करने की कुछ विधियों के बारे में बताऊंगा।

यह विषय वर्तमान गणित की पाठ्यपुस्तकों में पूरी तरह से प्रस्तुत नहीं किया गया है, और ओलंपियाड और केंद्रीकृत परीक्षण में समस्याएं पेश की जाती हैं। इसने मुझे दिलचस्पी दी और मुझे इतना मोहित कर लिया कि विभिन्न समीकरणों और समस्याओं को हल करते समय, मैंने अपने स्वयं के समाधानों का एक पूरा संग्रह एकत्र किया, जिसे मैंने और मेरे शिक्षक ने तरीकों और समाधानों में विभाजित किया। तो मेरे काम का उद्देश्य क्या है?

मेरा लक्ष्यप्राकृतिक संख्याओं के सेट पर कई चर वाले समीकरणों के समाधान का विश्लेषण करें।

पहले, हम व्यावहारिक समस्याओं पर गौर करेंगे, और फिर हम समीकरणों को हल करने की ओर बढ़ेंगे।

यदि किसी आयत का परिमाप संख्यात्मक रूप से उसके क्षेत्रफल के बराबर है तो उसकी भुजाओं की लंबाई क्या है?

पी=2(x+y),

S = xy, x€ N और y€ N

पी=एस

2x+2y=xy, फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>+फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>=फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन स्थिति:सापेक्ष>फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन> +फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन> =फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>उत्तर: (4:4); (3:6); (6:3)।

यदि आप केवल तीन और पांच रूबल के बिल का उपयोग कर सकते हैं तो 47 रूबल का भुगतान करने के तरीके खोजें।

समाधान

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y= 14+5K, K€जेड

x और y के प्राकृतिक मान K = 0, -1, -2 के अनुरूप हैं;

(1:14) (4:9) (7:4)

कार्य एक मजाक है

साबित करें कि समीकरण 29x+30y+31 का एक समाधान है जेड=336 प्राकृतिक संख्या में.

सबूत

एक लीप वर्ष में 366 दिन और एक महीना - 29 दिन, चार महीने - 30 दिन होते हैं।

7 महीने - 31 दिन.

समाधान तीन है (1:4:7). इसका मतलब यह है कि प्राकृतिक संख्याओं में समीकरण का समाधान है।

1. गुणनखंडन विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

1) समीकरण x2-y2=91 को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान

(x-y)(x+y)=91

8 सिस्टम समाधान

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>x-y=1

x+y=91

(46:45)

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

एक्स-वाई =7

x+y=13

(10:3)

एक्स-वाई= -1

x+y= -91

(-46: 45)

एक्स-वाई = -91

x+y= -1

(-46: -45)

एक्स-वाई = -13

x+y= -7

(-10:3)

एक्स-y फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

उत्तर: ( 46:45):(10:3).

2) समीकरण x3+91 =y3 को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

8 सिस्टम समाधान

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; पंक्ति-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

शेष 4 प्रणालियों में पूर्णांक समाधान नहीं हैं। एक समाधान शर्त को संतुष्ट करता है.

उत्तर: (5:6).

3) समीकरण xy=x+y को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1)(x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

समाधान 2 सिस्टम

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>у-1= -1

x-1= -1

(0:0)

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>у-1=1

x-1=1

(2:2)

उत्तर: (2:2).

4) समीकरण 2x2+5xy-12y2=28 को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y – प्राकृतिक संख्या; (x+4y)€एन

(x+4y)≥5

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>2х-3у=1

x+4y=28

(8:5)

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>2х-3у =4

x+4y= 7

2x-3y=2

x+4y=14

प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं

उत्तर: (8:5).

5) प्रश्न हल करें 2xy=x2+2y प्राकृतिक संख्या में

समाधान

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1= -1

एक्स-1=1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं

उत्तर: (2:2).

6) प्रश्न हल करें एक्सपरजेड-3 xy-2 xz+ yz+6 एक्स-3 य-2 जेड= -4 प्राकृतिक संख्या में

समाधान

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

6 सिस्टम समाधान

जेड -3= 1

एक्स +1=1

y -2 = 2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2= 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style='font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:' टाइम्स न्यू रोमन>z-3= 1

x+1=2

y-2 =1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

एक्स +1 = 2

y -2 = -1

(1:1:2)

z -3=2

एक्स +1= -1

आप -2= -1

(-2:1:5)

उत्तर: (1:3:4).

आइए मेरे लिए एक अधिक जटिल समीकरण पर विचार करें।

7) समीकरण x2-4xy-5y2=1996 को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x€ N, y€ N; (x+y)€ N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

कोई समाधान नहीं

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; पंक्ति-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>х-5у=499

x+y= 4

कोई समाधान नहीं

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>х-5у=4

x+y=499

कोई समाधान नहीं

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

कोई समाधान नहीं

उत्तर: x=832, y=166.

आइए निष्कर्ष निकालें:गुणनखंडन विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, संक्षिप्त गुणन सूत्र, एक समूहीकरण विधि और एक पूर्ण वर्ग को अलग करने की एक विधि का उपयोग किया जाता है .

2. दो चर वाले समीकरणों को हल करना (विभेदक विधि)

1) समीकरण 5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0 को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

डी= (8y – 2)2 – 4*5*(5y2+2y+2)= 4((4y – 1)2 –5*(5y2+2y+2))

x1,2= फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>=फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>

डी=0, फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>=0

y=-1, x=1

उत्तर:कोई समाधान नहीं हैं.

2) समीकरण 3(x2+xy+y2)=x+8y को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D=(3y-1)2-4*3(3y2-8y)=9y2-6y+1-36y2+96y=-27y2+90y+1

D≥0, -27у2+90у+1≥0

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>≤у≤फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>у€एन , y=1, 2, 3. इन मानों से गुजरने पर, हमारे पास (1:1) है।

उत्तर: (1:1).

3) समीकरण x4-y4-20x2+28y2=107 को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें

समाधान

हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1.2=-10± +96 फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन रंग:काला>a2-20a+28a-a2-96=11

a1.2=10± फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>=10±फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>=10±(a-14)

a1= a-4, a2=24-a

समीकरण इस प्रकार दिखता है:

(a-a+4)(a+a-24)=1

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; पंक्ति-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>х2-у2+4=1

x2+y2 – 24=11

प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं हैं;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>x2 - y2+4= -1

x2+y2 – 24= -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

x2+y2 – 24= -1 प्राकृतिक संख्याओं या पूर्णांकों में कोई समाधान नहींउत्तर: (4:3),(2:3).

3. अवशिष्ट विधि

अवशिष्ट विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित समस्याओं का अक्सर उपयोग किया जाता है:

ए) 3 और 4 से विभाजित करने पर क्या शेषफल प्राप्त हो सकता है?

यह बहुत सरल है, जब 3 या 4 से विभाजित किया जाता है, तो सटीक वर्ग दो संभावित शेषफल दे सकते हैं: 0 या 1।

बी) 7 और 9 से विभाजित करने पर कौन सा शेषफल सटीक घन दे सकता है?

7 से विभाजित करने पर शेषफल हो सकता है: 0, 1, 6; और 9: 0, 1, 8 से विभाजित करते समय।

1) समीकरण x2+y2=4 को हल करें जेड-1 प्राकृतिक संख्या में

समाधान

x2+y2+1=4 z

आइए विचार करें कि 4 से विभाजित करने पर इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष क्या शेषफल उत्पन्न कर सकते हैं। जब 4 से विभाजित किया जाता है, तो पूर्ण वर्ग केवल दो अलग-अलग शेषफल 0 और 1 दे सकते हैं। फिर x2+y2+1 को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1, 2, 3 और 4 मिलता है।जेड शेषफल के बिना विभाजित.

इसलिए, इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

2) समीकरण 1!+2!+3!+ …+x!= y2 को प्राकृत संख्याओं में हल करें

समाधान

ए) X=1, 1!=1, फिर y2=1, y=±1 (1:1)

बी) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, यानी y2= 9, y=±3 (3:3)

सी) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, यानी y=±फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%; फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>डी)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (नहीं), y2=33

इ) x≥5, 5!+6!+…+x!, कल्पना कीजिए 10एन , एन € एन

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10 एन

3 पर समाप्त होने वाली संख्या का अर्थ है कि यह पूर्णांक का वर्ग नहीं हो सकता। इसलिए, x≥5 का प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है।

उत्तर:(3:3) और (1:1).

3) साबित करें कि प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं हैं

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

सबूत

आइए मान लें कि सिस्टम हल करने योग्य हैजेड 2 =2у2+1, जेड2 - विषम संख्या

z =2 मीटर +1

वाई 2 +2 एम 2 +2 मीटर , y2– सम संख्या, y = 2एन , एन € एन

x2=8 n 3 +7, यानी x2– एक विषम संख्या और एक्सविषम, x = 2आर +1, एन € एन

आइए स्थानापन्न करें एक्स और पर पहले समीकरण में,

2(आर 2 + आर -2 एन 3 )=3

यह संभव नहीं है, क्योंकि समीकरण का बायाँ भाग दो से विभाज्य है, लेकिन दायाँ भाग दो से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा सही नहीं है, अर्थात सिस्टम के पास प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है।

4. अनंत वंश विधि

हम निम्नलिखित योजना के अनुसार हल करते हैं:

आइए मान लें कि समीकरण का एक समाधान है, हम किसी प्रकार की अनंत प्रक्रिया का निर्माण कर रहे हैं, जबकि समस्या के अर्थ के अनुसार, यह प्रक्रिया एक समान चरण पर समाप्त होनी चाहिए।

1)साबित करें कि समीकरण 8x4+4y4+2 है जेड4 = टी4 प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है

सबूत

आइए मान लें कि समीकरण का हल पूर्णांकों में है, तो यह उसका अनुसरण करता है

टी 4 एक सम संख्या है, तो t भी सम है

t=2t1 , t1€ Z

8x4+4y4+2 z 4 = 16t14

4x4+2y4+ z 4 = 8t14

z 4 =8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 सम है, तो z =2 z 1 , z 1 € Z

आइए स्थानापन्न करें

4x4+2y4+16 z 4 =8t14

y4= 4t14 – 2x4 - 8 z 1 4

x - सम, अर्थात x=2x, x1€ज़ेड, फिर

16х14 – 2 टी 1 4 – 4 जेड 1 4 +8 वाई 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

इसलिए एक्स, वाई, जेड , टी – सम संख्याएँ, फिर X1, y1,जेड 1 , टी 1 - यहां तक ​​की। फिर एक्स, वाई, z , t और x1, y1, z 1 , t 1 अर्थात् 2 से विभाज्य हैं, फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन स्थिति:सापेक्ष>फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन> औरफ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>,फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>।

तो, यह पता चला कि संख्या समीकरण को संतुष्ट करती है; 2 के गुणज हैं, और चाहे हम उन्हें कितनी भी बार 2 से विभाजित करें, हमें हमेशा वही संख्याएँ मिलेंगी जो 2 के गुणज हैं। एकमात्र संख्या जो इस शर्त को पूरा करती है वह शून्य है। लेकिन शून्य प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित नहीं है।

5. नमूना विधि

1) समीकरण का हल खोजें फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>+फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>=फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>समाधान

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>=फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>p(x+y)=xy

xy=px+ru

xy-ryh-ru=0

xy-rx-ru+p2=p2

x(y-r)-r(y-r)=p2

(y-r)(x-r)=p2

р2= ±р= ±1= ±р2

6 सिस्टम समाधान

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; पंक्ति-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>у-р= р

एक्स-पी=पी

y=2p, x=2p

वाई-आर= - आर

एक्स-पी= - पी

y=0, x=0

y-r=1

एक्स-पी=1

y=1+p, x=1+p

y-r= -1

एक्स-पी= -1

y=p-1, x=p-1

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; पंक्ति-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>у-р= р2

एक्स-पी = पी2

y=p2+p, x=p2+p

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; पंक्ति-ऊंचाई:150%;फ़ॉन्ट-फ़ैमिली:" टाइम्स न्यू रोमन>у-р= - р2

एक्स-पी= - पी2

y=p-p2, x=p-p2

उत्तर:(2р:2р), ( 1+r:1+р), (r-1:r-1), (r2+r: р2+р), (r-р2: р-р2).

निष्कर्ष

आमतौर पर, अनिश्चित समीकरणों का समाधान पूर्णांकों में खोजा जाता है। जिन समीकरणों में केवल पूर्णांक समाधान खोजा जाता है उन्हें डायफैंटाइन कहा जाता है।

मैंने प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर एक से अधिक अज्ञात संख्याओं वाले समीकरणों के समाधान का विश्लेषण किया। ऐसे समीकरण इतने विविध होते हैं कि उन्हें हल करने का शायद ही कोई तरीका या एल्गोरिदम होता है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए सरलता की आवश्यकता होती है और यह गणित में स्वतंत्र कार्य कौशल के अधिग्रहण में योगदान देता है।

मैंने सरलतम तकनीकों का उपयोग करके उदाहरणों को हल किया। ऐसे समीकरणों को हल करने का सबसे सरल तरीका एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना है, और आपको एक अभिव्यक्ति मिलती है जिसे हम उन चर को खोजने के लिए तलाशेंगे जिनके लिए यह प्राकृतिक (पूर्णांक) है।

इस मामले में, अवधारणाएँ और विभाज्यता से संबंधित तथ्य - जैसे अभाज्य और भाज्य संख्याएँ, विभाज्यता के चिह्न, सहअभाज्य संख्याएँ, आदि।

विशेष रूप से अक्सर उपयोग किया जाता है:

1) यदि कोई उत्पाद अभाज्य संख्या p से विभाज्य है, तो उसका कम से कम एक गुणनखंड p से विभाज्य है।

2) यदि उत्पाद किसी संख्या से विभाज्य है साथऔर कारकों में से एक संख्या के साथ सहअभाज्य है साथ, तो दूसरे कारक को विभाजित किया जाता है साथ.