एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करें। सतत मात्रात्मक डेटा के लिए अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण

समूहन- यह किसी जनसंख्या का उन समूहों में विभाजन है जो किसी विशेषता के अनुसार सजातीय होते हैं।

सेवा का उद्देश्य. ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके आप यह कर सकते हैं:

• एक विविधता श्रृंखला बनाएं, एक हिस्टोग्राम और बहुभुज बनाएं;
• भिन्नता के संकेतक खोजें (औसत, मोड (ग्राफिकल सहित), माध्यिका, भिन्नता की सीमा, चतुर्थक, दशमांश, चतुर्थक विभेदन गुणांक, भिन्नता का गुणांक और अन्य संकेतक);

निर्देश। किसी श्रृंखला को समूहीकृत करने के लिए, आपको प्राप्त विविधता श्रृंखला के प्रकार (अलग-अलग या अंतराल) का चयन करना होगा और डेटा की मात्रा (पंक्तियों की संख्या) का संकेत देना होगा। परिणामी समाधान एक वर्ड फ़ाइल में सहेजा गया है (सांख्यिकीय डेटा को समूहीकृत करने का उदाहरण देखें)।

इनपुट डेटा की संख्या
",0);">

यदि समूहीकरण पहले ही किया जा चुका है और असतत भिन्नता श्रृंखलाया अंतराल श्रृंखला, तो आपको ऑनलाइन कैलकुलेटर वेरिएशन इंडेक्स का उपयोग करने की आवश्यकता है। वितरण के प्रकार के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करनावितरण प्रपत्र का अध्ययन सेवा का उपयोग करके किया जाता है।

सांख्यिकीय समूहों के प्रकार

विविधता शृंखला. असतत यादृच्छिक चर के अवलोकन के मामले में, एक ही मान का कई बार सामना किया जा सकता है। एक यादृच्छिक चर के ऐसे मान x i को n i दर्शाते हुए दर्ज किया जाता है कि यह n अवलोकनों में कितनी बार प्रकट होता है, यह इस मान की आवृत्ति है।
सतत यादृच्छिक चर के मामले में, व्यवहार में समूहीकरण का उपयोग किया जाता है।

1. टाइपोलॉजिकल ग्रुपिंग- यह अध्ययन के तहत गुणात्मक रूप से विषम जनसंख्या का वर्गों, सामाजिक-आर्थिक प्रकारों, इकाइयों के सजातीय समूहों में विभाजन है। इस समूह को बनाने के लिए, असतत भिन्नता श्रृंखला पैरामीटर का उपयोग करें।
2. समूहन को संरचनात्मक कहा जाता है, जिसमें एक सजातीय आबादी को समूहों में विभाजित किया जाता है जो कुछ अलग-अलग विशेषताओं के अनुसार इसकी संरचना की विशेषता बताते हैं। इस समूह को बनाने के लिए, अंतराल श्रृंखला पैरामीटर का उपयोग करें।
3. वह समूहीकरण जो अध्ययन की जा रही घटनाओं और उनकी विशेषताओं के बीच संबंधों को प्रकट करता है, कहलाता है विश्लेषणात्मक समूह(श्रृंखला का विश्लेषणात्मक समूहन देखें)।

सांख्यिकीय समूहों के निर्माण के सिद्धांत

आरोही क्रम में क्रमबद्ध अवलोकनों की श्रृंखला को भिन्नता श्रृंखला कहा जाता है. समूहीकरण सुविधाएक विशेषता है जिसके द्वारा जनसंख्या को अलग-अलग समूहों में विभाजित किया जाता है। इसे समूह का आधार कहा जाता है। समूहीकरण मात्रात्मक और गुणात्मक दोनों विशेषताओं पर आधारित हो सकता है।
समूहीकरण का आधार निर्धारित करने के बाद, अध्ययनाधीन जनसंख्या को कितने समूहों में विभाजित किया जाना चाहिए, इसका प्रश्न तय किया जाना चाहिए।

सांख्यिकीय डेटा को संसाधित करने के लिए व्यक्तिगत कंप्यूटर का उपयोग करते समय, मानक प्रक्रियाओं का उपयोग करके ऑब्जेक्ट इकाइयों का समूहन किया जाता है।
ऐसी एक प्रक्रिया समूहों की इष्टतम संख्या निर्धारित करने के लिए स्टर्गेस सूत्र के उपयोग पर आधारित है:

के = 1+3.322*लॉग(एन)

जहाँ k समूहों की संख्या है, N जनसंख्या इकाइयों की संख्या है।

आंशिक अंतराल की लंबाई की गणना h=(x अधिकतम -x मिनट)/k के रूप में की जाती है

फिर इन अंतरालों में आने वाले प्रेक्षणों की संख्या की गणना की जाती है, जिन्हें आवृत्तियों n i के रूप में लिया जाता है। कुछ आवृत्तियाँ, जिनका मान 5 (n i) से कम है< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
अंतराल के मध्य मान x i =(c i-1 +c i)/2 को नए मान के रूप में लिया जाता है।

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काम1

उद्यम में कर्मचारियों के वेतन पर निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है:

तालिका 1.1

	पारंपरिक शर्तों में मजदूरी की राशि. माँद इकाइयां

एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करना आवश्यक है जिसके द्वारा ज्ञात किया जा सके;

1) औसत वेतन;

2) औसत रैखिक विचलन;

4) मानक विचलन;

5) भिन्नता की सीमा;

6) दोलन गुणांक;

7) भिन्नता का रैखिक गुणांक;

8) भिन्नता का सरल गुणांक;

10) माध्यिका;

11) विषमता गुणांक;

12) पियर्सन असममिति सूचकांक;

13) कुर्टोसिस गुणांक।

समाधान

जैसा कि आप जानते हैं, विकल्प (मान्य मान) को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है असतत भिन्नता श्रृंखला। बड़ी संख्या के साथ विकल्प (10 से अधिक), असतत भिन्नता के मामले में भी, अंतराल श्रृंखला का निर्माण किया जाता है।

यदि एक अंतराल श्रृंखला को सम अंतरालों के साथ संकलित किया जाता है, तो भिन्नता की सीमा को अंतरालों की निर्दिष्ट संख्या से विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, यदि परिणामी मान पूर्णांक और असंदिग्ध है (जो दुर्लभ है), तो अंतराल की लंबाई इस संख्या के बराबर मानी जाती है। अन्य मामलों में उत्पादन गोलाई अनिवार्य रूप से वी ओर बढ़ोतरी, इसलिए को शेष अंतिम अंक सम था। जाहिर है, जैसे-जैसे अंतराल की लंबाई बढ़ती है अंतराल की संख्या के उत्पाद के बराबर मात्रा में भिन्नता की सीमा: अंतराल की गणना और प्रारंभिक लंबाई के बीच के अंतर से

ए) यदि भिन्नता की सीमा के विस्तार का परिमाण महत्वहीन है, तो इसे या तो विशेषता के सबसे बड़े मूल्य में जोड़ा जाता है या सबसे छोटे मूल्य से घटाया जाता है;

बी) यदि भिन्नता की सीमा के विस्तार का परिमाण ध्यान देने योग्य है, तो सीमा के केंद्र के भ्रम से बचने के लिए, इसे एक साथ सबसे बड़े में जोड़कर और सबसे छोटे मूल्यों से घटाकर लगभग आधे में विभाजित किया जाता है। विशिष्टता।

यदि असमान अंतराल वाली एक अंतराल श्रृंखला संकलित की जाती है, तो प्रक्रिया सरल हो जाती है, लेकिन फिर भी अंतराल की लंबाई को अंतिम सम अंक के साथ एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए, जो संख्यात्मक विशेषताओं की बाद की गणना को बहुत सरल बनाता है।

30 नमूना आकार है.

आइए स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके एक अंतराल वितरण श्रृंखला बनाएं:

के = 1 + 3.32*लॉग एन,

के - समूहों की संख्या;

के = 1 + 3.32*एलजी 30 = 5.91=6

हम सूत्र का उपयोग करके विशेषता की सीमा - उद्यम में श्रमिकों की मजदूरी - (x) पाते हैं

आर= एक्समैक्स - एक्समिन और 6 से विभाजित करें; आर=195-112=83

तो अंतराल की लंबाई होगी एललेन=83:6=13.83

पहले अंतराल की शुरुआत 112 होगी। 112 में जोड़ने पर एलरास = 13.83, हमें इसका अंतिम मान 125.83 मिलता है, जो दूसरे अंतराल की शुरुआत भी है, आदि। पांचवें अंतराल का अंत - 195.

आवृत्तियों को खोजते समय, किसी को नियम द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: "यदि किसी सुविधा का मान आंतरिक अंतराल की सीमा के साथ मेल खाता है, तो इसे पिछले अंतराल के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए।"

हमें आवृत्तियों और संचयी आवृत्तियों की एक अंतराल श्रृंखला प्राप्त होती है।

तालिका 1.2

इसलिए, 3 कर्मचारियों का वेतन है। 112 से 125.83 पारंपरिक मौद्रिक इकाइयों तक शुल्क। उच्चतम वेतन 181.15 से 195 पारंपरिक मौद्रिक इकाइयों तक शुल्क। केवल 6 कर्मचारी।

संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करने के लिए, हम अंतराल श्रृंखला को एक अलग श्रृंखला में बदलते हैं, अंतराल के मध्य को एक विकल्प के रूप में लेते हैं:

तालिका 1.3

							14131,83

भारित अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करना

पारंपरिक मौद्रिक इकाइयाँ

औसत रैखिक विचलन:

जहां xi जनसंख्या की i-वीं इकाई के लिए अध्ययन की जा रही विशेषता का मान है,

अध्ययन किए गए गुण का औसत मूल्य.

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पारंपरिक मौद्रिक इकाइयाँ

मानक विचलन:

फैलाव:

भिन्नता की सापेक्ष सीमा (दोलन गुणांक): सी = आर:,

सापेक्ष रैखिक विचलन:क्यू = एल:

भिन्नता का गुणांक: वी = वाई:

दोलन गुणांक अंकगणित माध्य के आसपास किसी विशेषता के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है, और भिन्नता का गुणांक जनसंख्या की डिग्री और एकरूपता को दर्शाता है।

सी= आर: = 83 / 159.485*100% = 52.043%

इस प्रकार, चरम मूल्यों के बीच का अंतर उद्यम में कर्मचारियों के औसत वेतन से 5.16% (=94.84%-100%) कम है।

क्यू = एल: = 17.765/159.485*100% = 11.139%

वी = वाई: = 21.704/159.485*100% = 13.609%

भिन्नता का गुणांक 33% से कम है, जो उद्यम में श्रमिकों के वेतन में कमजोर भिन्नता को इंगित करता है, अर्थात। औसत मूल्य श्रमिकों के वेतन की एक विशिष्ट विशेषता है (जनसंख्या सजातीय है)।

अंतराल वितरण श्रृंखला में पहनावासूत्र द्वारा निर्धारित -

मोडल अंतराल की आवृत्ति, यानी सबसे बड़ी संख्या में विकल्पों वाला अंतराल;

मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति;

मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति;

मोडल अंतराल लंबाई;

मोडल अंतराल की निचली सीमा.

निर्धारण हेतु माध्यिकाओंअंतराल श्रृंखला में हम सूत्र का उपयोग करते हैं

माध्यिका से पहले के अंतराल की संचयी (संचित) आवृत्ति कहां है;

माध्यिका अंतराल की निचली सीमा;

माध्यिका अंतराल आवृत्ति;

माध्यिका अंतराल की लंबाई.

माध्यिका अंतराल- एक अंतराल जिसकी संचित आवृत्ति (=3+3+5+7) आवृत्तियों के योग के आधे से अधिक है - (153.49; 167.32)।

आइए विषमता और कुर्टोसिस की गणना करें, जिसके लिए हम एक नई वर्कशीट बनाएंगे:

तालिका 1.4

तथ्यात्मक डेटा	गणना डेटा

आइए तीसरे क्रम के क्षण की गणना करें

इसलिए, विषमता बराबर है

0.3553 0.25 के बाद से, विषमता को महत्वपूर्ण माना जाता है।

आइए चौथे क्रम के क्षण की गणना करें

इसलिए, कर्टोसिस बराबर है

क्योंकि< 0, то эксцесс является плосковершинным.

विषमता की डिग्री पियर्सन विषमता गुणांक (एएस) का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: दोलन नमूना मूल्य कारोबार

वितरण श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य कहाँ है; -- पहनावा; -- मानक विचलन।

सममित (सामान्य) वितरण के साथ = मो, इसलिए, विषमता गुणांक शून्य है। यदि As> 0 है, तो अधिक मोड है, इसलिए, दाएं हाथ की विषमता है।

के रूप में अगर< 0, то меньше моды, следовательно, имеется левосторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может изменяться от -3 до +3.

वितरण सममित नहीं है, बल्कि बायीं ओर की विषमता है।

काम 2

नमूना आकार क्या होना चाहिए ताकि संभावना 0.954 के साथ नमूना त्रुटि 0.04 से अधिक न हो, यदि पिछले सर्वेक्षणों के आधार पर, यह ज्ञात हो कि भिन्नता 0.24 है?

समाधान

गैर-दोहरावीय नमूने के लिए नमूना आकार की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

टी - आत्मविश्वास गुणांक (0.954 की संभावना के साथ यह 2.0 के बराबर है; संभाव्यता अभिन्न की तालिकाओं से निर्धारित),

y2=0.24 - मानक विचलन;

10,000 लोग - नमूने का आकार;

डीएक्स =0.04 - नमूना माध्य की अधिकतम त्रुटि।

95.4% की संभावना के साथ, यह कहा जा सकता है कि नमूना आकार, 0.04 से अधिक की सापेक्ष त्रुटि सुनिश्चित करते हुए, कम से कम 566 परिवार होना चाहिए।

काम3

उद्यम की मुख्य गतिविधियों, मिलियन रूबल से आय पर निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है।

गतिशीलता की एक श्रृंखला का विश्लेषण करने के लिए, निम्नलिखित संकेतक निर्धारित करें:

1)श्रृंखला और बुनियादी:

पूर्ण वृद्धि;

विकास दर;

विकास दर;

2) औसत

गतिशीलता पंक्ति स्तर;

पूर्ण वृद्धि;

विकास दर;

वृद्धि की दर;

3) 1% वृद्धि का पूर्ण मूल्य।

समाधान

1. पूर्ण वृद्धि (डीय)- यह श्रृंखला के अगले स्तर और पिछले (या मूल) के बीच का अंतर है:

श्रृंखला: DN = yi - yi-1,

बुनियादी: डीएन = yi - y0,

यी - पंक्ति स्तर,

मैं - पंक्ति स्तर संख्या,

y0 - आधार वर्ष स्तर.

2. विकास दर (तु)श्रृंखला के अगले स्तर और पिछले स्तर (या आधार वर्ष 2001) का अनुपात है:

श्रृंखला: तु = ;

बुनियादी: तु =

3. विकास दर (टीडी) पिछले स्तर पर पूर्ण वृद्धि का अनुपात है, जिसे % में व्यक्त किया गया है।

श्रृंखला: तु = ;

बुनियादी: तु =

4. 1% वृद्धि का पूर्ण मूल्य (ए)- यह श्रृंखला पूर्ण वृद्धि और विकास दर का अनुपात है, जिसे % में व्यक्त किया गया है।

ए =

औसत पंक्ति स्तरअंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके गणना की गई।

4 वर्षों के लिए मुख्य गतिविधियों से आय का औसत स्तर:

औसत पूर्ण वृद्धिसूत्र द्वारा गणना:

जहाँ n श्रृंखला के स्तरों की संख्या है।

औसतन, वर्ष के लिए, मुख्य गतिविधियों से आय में 3.333 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई।

औसत वार्षिक वृद्धि दरज्यामितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:

уn पंक्ति का अंतिम स्तर है,

y0 श्रृंखला का प्रारंभिक स्तर है।

तु = 100% = 102.174%

औसत वार्षिक वृद्धि दरसूत्र द्वारा गणना:

टी? = टीयू - 100% = 102.74% - 100% = 2.74%।

इस प्रकार, वर्ष के दौरान औसतन उद्यम की मुख्य गतिविधियों से आय में 2.74% की वृद्धि हुई।

कार्यए4

गणना करें:

1. व्यक्तिगत मूल्य सूचकांक;

2. सामान्य व्यापार टर्नओवर सूचकांक;

3. समग्र मूल्य सूचकांक;

4. माल की बिक्री की भौतिक मात्रा का समग्र सूचकांक;

5. व्यापार टर्नओवर के मूल्य में पूर्ण वृद्धि को कारकों द्वारा विभाजित करें (कीमतों में परिवर्तन और बेची गई वस्तुओं की संख्या के कारण);

6. सभी प्राप्त संकेतकों पर संक्षिप्त निष्कर्ष निकालें।

समाधान

1. शर्त के अनुसार, उत्पाद ए, बी, सी के लिए व्यक्तिगत मूल्य सूचकांक की राशि -

आईपीए=1.20; iрБ=1.15; iрВ=1.00.

2. हम सूत्र का उपयोग करके सामान्य व्यापार टर्नओवर सूचकांक की गणना करेंगे:

मैं w = = 1470/1045*100% = 140.67%

व्यापार कारोबार में 40.67% (140.67%-100%) की वृद्धि हुई।

औसतन, कमोडिटी की कीमतों में 10.24% की वृद्धि हुई।

मूल्य वृद्धि से खरीदारों की अतिरिक्त लागत की राशि:

डब्ल्यू(पी) = ? p1q1 - ? p0q1 = 1470 - 1333.478 = 136.522 मिलियन रूबल।

बढ़ती कीमतों के परिणामस्वरूप, खरीदारों को अतिरिक्त 136.522 मिलियन रूबल खर्च करने पड़े।

4. व्यापार कारोबार की भौतिक मात्रा का सामान्य सूचकांक:

व्यापार कारोबार की भौतिक मात्रा में 27.61% की वृद्धि हुई।

5. आइए पहली अवधि की तुलना में दूसरी अवधि में व्यापार कारोबार में समग्र परिवर्तन का निर्धारण करें:

डब्ल्यू = 1470-1045 = 425 मिलियन रूबल।

मूल्य परिवर्तन के कारण:

डब्ल्यू(पी) = 1470 - 1333.478 = 136.522 मिलियन रूबल।

भौतिक आयतन में परिवर्तन के कारण:

डब्ल्यू(क्यू) = 1333.478 - 1045 = 288.478 मिलियन रूबल।

माल के कारोबार में 40.67% की वृद्धि हुई। 3 वस्तुओं की कीमतों में औसतन 10.24% की वृद्धि हुई। व्यापार कारोबार की भौतिक मात्रा में 27.61% की वृद्धि हुई।

सामान्य तौर पर, बिक्री की मात्रा में 425 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई, जिसमें बढ़ती कीमतों के कारण 136.522 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई, और बिक्री की मात्रा में वृद्धि के कारण - 288.478 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई।

काम5

एक उद्योग में 10 कारखानों के लिए निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है।

पौधे की संख्या	उत्पाद आउटपुट, हजार पीसी। (एक्स)

दिए गए डेटा के आधार पर:

I) कारक विशेषता (उत्पाद मात्रा) और परिणामी विशेषता (बिजली की खपत) के बीच एक रैखिक सहसंबंध की उपस्थिति के बारे में तार्किक विश्लेषण के प्रावधानों की पुष्टि करने के लिए, सहसंबंध क्षेत्र के ग्राफ पर प्रारंभिक डेटा प्लॉट करें और फॉर्म के बारे में निष्कर्ष निकालें रिश्ते का, उसका सूत्र बताएं;

2) कनेक्शन समीकरण के पैरामीटर निर्धारित करें और परिणामी सैद्धांतिक रेखा को सहसंबंध क्षेत्र के ग्राफ पर प्लॉट करें;

3) रैखिक सहसंबंध गुणांक की गणना करें,

4) पैराग्राफ 2) और 3 में प्राप्त संकेतकों का अर्थ स्पष्ट करें);

5) परिणामी मॉडल का उपयोग करके, 4.5 हजार इकाइयों की उत्पादन मात्रा वाले संयंत्र में संभावित ऊर्जा खपत के बारे में पूर्वानुमान लगाएं।

समाधान

विशेषता का डेटा - उत्पादन की मात्रा (कारक), xi द्वारा दर्शाया जाएगा; संकेत - वाईआई के माध्यम से बिजली की खपत (परिणाम); निर्देशांक (x, y) वाले बिंदुओं को सहसंबंध क्षेत्र OXY पर प्लॉट किया जाता है।

सहसंबंध क्षेत्र के बिंदु एक निश्चित सीधी रेखा के साथ स्थित होते हैं। इसलिए, संबंध रैखिक है; हम एक सीधी रेखा Уx=ax+b के रूप में एक प्रतिगमन समीकरण की तलाश करेंगे। इसे खोजने के लिए, हम सामान्य समीकरणों की प्रणाली का उपयोग करते हैं:

आइए एक गणना तालिका बनाएं।

पाए गए औसत का उपयोग करके, हम एक प्रणाली बनाते हैं और इसे पैरामीटर ए और बी के संबंध में हल करते हैं:

तो, हमें x पर y के लिए प्रतिगमन समीकरण मिलता है: = 3.57692 x + 3.19231

हम सहसंबंध क्षेत्र पर एक प्रतिगमन रेखा बनाते हैं।

कॉलम 2 से x मानों को प्रतिगमन समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम परिकलित (कॉलम 7) प्राप्त करते हैं और उनकी तुलना y डेटा से करते हैं, जो कॉलम 8 में परिलक्षित होता है। वैसे, गणना की शुद्धता की पुष्टि की जाती है y और के औसत मानों का संयोग।

गुणकरैखिक सहसंबंधविशेषताओं x और y के बीच संबंध की निकटता का मूल्यांकन करता है और सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है

प्रत्यक्ष प्रतिगमन का कोणीय गुणांक (x पर) पहचान की दिशा को दर्शाता हैनिर्भरताएँसंकेत: a>0 के लिए वे समान हैं, a के लिए<0- противоположны. यह पूर्ण है मूल्य - माप की एक इकाई द्वारा कारक विशेषता में परिवर्तन होने पर परिणामी विशेषता में परिवर्तन का एक माप।

प्रत्यक्ष प्रतिगमन का मुक्त पद दिशा को प्रकट करता है, और इसका पूर्ण मूल्य परिणामी विशेषता पर अन्य सभी कारकों के प्रभाव का एक मात्रात्मक माप है।

अगर< 0, तो किसी व्यक्तिगत वस्तु की कारक विशेषता का संसाधन कम और कब प्रयोग किया जाता है>0 साथवस्तुओं के पूरे सेट के लिए औसत से अधिक दक्षता।

आइए एक पोस्ट-रिग्रेशन विश्लेषण करें।

प्रत्यक्ष प्रतिगमन के x पर गुणांक 3.57692 >0 के बराबर है, इसलिए, उत्पादन उत्पादन में वृद्धि (कमी) के साथ, बिजली की खपत बढ़ जाती है (घट जाती है)। उत्पादन उत्पादन में 1 हजार यूनिट की वृद्धि। बिजली की खपत में 3.57692 हजार kWh की औसत वृद्धि देता है।

2. प्रत्यक्ष प्रतिगमन की मुक्त अवधि 3.19231 के बराबर है, इसलिए, अन्य कारकों के प्रभाव से बिजली की खपत पर उत्पाद उत्पादन का प्रभाव पूर्ण रूप से 3.19231 हजार kWh बढ़ जाता है।

3. 0.8235 का सहसंबंध गुणांक उत्पाद उत्पादन पर बिजली की खपत की बहुत करीबी निर्भरता को दर्शाता है।

प्रतिगमन मॉडल समीकरण का उपयोग करके पूर्वानुमान लगाना आसान है। ऐसा करने के लिए, x के मान - उत्पादन की मात्रा - को प्रतिगमन समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और बिजली की खपत का अनुमान लगाया जाता है। इस स्थिति में, x का मान न केवल किसी दी गई सीमा के भीतर, बल्कि उसके बाहर भी लिया जा सकता है।

आइए 4.5 हजार इकाइयों की उत्पादन मात्रा वाले संयंत्र में संभावित ऊर्जा खपत के बारे में पूर्वानुमान लगाएं।

3.57692*4.5 + 3.19231= 19.288 45 हजार किलोवाट।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

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अनुभवजन्य श्रृंखला को असतत और अंतराल श्रृंखला में परिवर्तित करना। किसी पृथक श्रृंखला के गुणों का उपयोग करके उसके औसत मूल्य का निर्धारण। मोड, माध्यिका, भिन्नता संकेतक (फैलाव, विचलन, दोलन गुणांक) की एक अलग श्रृंखला का उपयोग करके गणना।

परीक्षण, 04/17/2011 को जोड़ा गया


संगठनों के वितरण की एक सांख्यिकीय श्रृंखला का निर्माण। मोड और माध्य मानों का चित्रमय निर्धारण। निर्धारण के गुणांक का उपयोग करके सहसंबंध की निकटता। कर्मचारियों की औसत संख्या की नमूनाकरण त्रुटि का निर्धारण।

यदि अध्ययन के तहत यादृच्छिक चर निरंतर है, तो देखे गए मूल्यों की रैंकिंग और समूहीकरण अक्सर इसके मूल्यों में भिन्नता की विशिष्ट विशेषताओं की पहचान करने की अनुमति नहीं देता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि यादृच्छिक चर के अलग-अलग मान एक-दूसरे से इच्छानुसार कम भिन्न हो सकते हैं, और इसलिए, देखे गए डेटा की समग्रता में, किसी मात्रा के समान मान शायद ही कभी हो सकते हैं, और की आवृत्तियाँ वैरिएंट एक दूसरे से बहुत कम भिन्न होते हैं।

असतत यादृच्छिक चर के लिए असतत श्रृंखला का निर्माण करना भी अव्यावहारिक है, जिसके संभावित मानों की संख्या बड़ी है। ऐसे मामलों में, आपको निर्माण करना चाहिए अंतराल भिन्नता श्रृंखला वितरण.

ऐसी श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, यादृच्छिक चर के देखे गए मानों की भिन्नता के पूरे अंतराल को एक श्रृंखला में विभाजित किया जाता है आंशिक अंतराल और प्रत्येक आंशिक अंतराल में मूल्य मानों की घटना की आवृत्ति की गणना करना।

अंतराल भिन्नता श्रृंखलाएक यादृच्छिक चर के अलग-अलग मानों के अंतरालों के एक क्रमबद्ध सेट को संबंधित आवृत्तियों या उनमें से प्रत्येक में आने वाले चर के मूल्यों की सापेक्ष आवृत्तियों के साथ कॉल करें।

एक अंतराल श्रृंखला बनाने के लिए आपको चाहिए:

1. परिभाषित करना आकार आंशिक अंतराल;
2. परिभाषित करना चौड़ाई अंतराल;
3. इसे प्रत्येक अंतराल के लिए सेट करें शीर्ष और निचली सीमा ;
4. अवलोकन परिणामों को समूहित करें।

1 . समूहीकरण अंतरालों की संख्या और चौड़ाई चुनने का प्रश्न प्रत्येक विशिष्ट मामले के आधार पर तय किया जाना है लक्ष्य अनुसंधान, आयतन नमूने और भिन्नता की डिग्री नमूने में विशेषता.

अंतरालों की अनुमानित संख्या क केवल नमूना आकार के आधार पर अनुमान लगाया जा सकता है एन निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से:

• सूत्र के अनुसार स्टर्गेस : के = 1 + 3.32 लॉग एन ;
• तालिका 1 का उपयोग करना।

तालिका नंबर एक

2 . आम तौर पर समान चौड़ाई वाले स्थानों को प्राथमिकता दी जाती है। अंतराल की चौड़ाई निर्धारित करने के लिए एच गणना करें:

• भिन्नता की सीमा आर - नमूना मान: आर = एक्स अधिकतम - एक्स मिनट ,

कहाँ xmax और xmin - अधिकतम और न्यूनतम नमूनाकरण विकल्प;

• प्रत्येक अंतराल की चौड़ाई एच निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित: एच = आर/के .

3 . जमीनी स्तर पहला अंतराल एक्स एच1 न्यूनतम नमूना विकल्प इसलिए चुना गया है xmin लगभग इस अंतराल के मध्य में गिरा: x h1 = x मिनट - 0.5 घंटे .

मध्यवर्ती अंतरालपिछले अंतराल के अंत में आंशिक अंतराल की लंबाई जोड़कर प्राप्त किया गया एच :

x हाय = x हाय-1 +h.

अंतराल सीमाओं की गणना के आधार पर अंतराल पैमाने का निर्माण मान तक जारी रहता है एक्स हाय संबंध को संतुष्ट करता है:

एक्स हाय< x max + 0,5·h .

4 . अंतराल पैमाने के अनुसार, विशेषता मानों को समूहीकृत किया जाता है - प्रत्येक आंशिक अंतराल के लिए आवृत्तियों के योग की गणना की जाती है एन मैं विकल्प शामिल है मैं वें अंतराल. इस मामले में, अंतराल में यादृच्छिक चर के मान शामिल होते हैं जो निचली सीमा से अधिक या उसके बराबर होते हैं और अंतराल की ऊपरी सीमा से कम होते हैं।

बहुभुज और हिस्टोग्राम

स्पष्टता के लिए, विभिन्न सांख्यिकीय वितरण ग्राफ़ बनाए गए हैं।

एक असतत भिन्नता श्रृंखला के डेटा के आधार पर, वे निर्माण करते हैं बहुभुज आवृत्तियाँ या सापेक्ष आवृत्तियाँ।

आवृत्ति बहुभुज एक्स 1 ; एन 1 ), (एक्स 2 ; एन 2 ), ..., (एक्स क ; एन के ). बारंबारता बहुभुज का निर्माण करने के लिए, भुज अक्ष पर विकल्प आलेखित किए जाते हैं। एक्स मैं , और कोटि पर - संगत आवृत्तियाँ एन मैं . अंक ( एक्स मैं ; एन मैं ) सीधे खंडों से जुड़े होते हैं और एक आवृत्ति बहुभुज प्राप्त होता है (चित्र 1)।

सापेक्ष आवृत्तियों का बहुभुजएक टूटी हुई रेखा कहलाती है जिसके खंड बिंदुओं को जोड़ते हैं ( एक्स 1 ; डब्ल्यू 1 ), (एक्स 2 ; डब्ल्यू 2 ), ..., (एक्स क ; सप्त ). सापेक्ष आवृत्तियों का बहुभुज बनाने के लिए, भुज अक्ष पर विकल्प प्लॉट किए जाते हैं एक्स मैं , और कोटि पर - संगत सापेक्ष आवृत्तियाँ डब्ल्यू मैं . अंक ( एक्स मैं ; डब्ल्यू मैं ) सीधे खंडों से जुड़े होते हैं और सापेक्ष आवृत्तियों का एक बहुभुज प्राप्त होता है।

कब निरंतर संकेत निर्माण करना उचित है हिस्टोग्राम .

आवृत्ति हिस्टोग्रामइसे आयतों से बनी एक चरणबद्ध आकृति कहा जाता है, जिसके आधार लंबाई के आंशिक अंतराल होते हैं एच , और ऊंचाइयां अनुपात के बराबर हैं एनआईएच (आवृत्ति घनत्व)।

फ़्रीक्वेंसी हिस्टोग्राम बनाने के लिए, एब्सिस्सा अक्ष पर आंशिक अंतराल बिछाए जाते हैं, और एब्सिस्सा अक्ष के समानांतर खंड उनके ऊपर कुछ दूरी पर खींचे जाते हैं। एनआईएच .

अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करते समय, तीन प्रश्न हल किए जाते हैं:

• 1. मुझे कितने अंतराल लेने चाहिए?
• 2. अंतराल की लंबाई क्या है?
• 3. जनसंख्या इकाइयों को अंतराल की सीमाओं के भीतर शामिल करने की प्रक्रिया क्या है?
• 1. अंतरालों की संख्याद्वारा निर्धारित किया जा सकता है स्टर्गेस सूत्र:

2. अंतराल की लंबाई, या अंतराल चरण, आमतौर पर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ आर-भिन्नता की सीमा.

3. अंतराल की सीमाओं के भीतर जनसंख्या इकाइयों को शामिल करने का क्रम

भिन्न हो सकते हैं, लेकिन अंतराल श्रृंखला का निर्माण करते समय, वितरण को सख्ती से परिभाषित किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, यह: [), जिसमें जनसंख्या इकाइयों को निचली सीमाओं में शामिल किया जाता है, लेकिन ऊपरी सीमाओं में शामिल नहीं किया जाता है, बल्कि अगले अंतराल में स्थानांतरित कर दिया जाता है। इस नियम का अपवाद अंतिम अंतराल है, जिसकी ऊपरी सीमा में रैंक की गई श्रृंखला की अंतिम संख्या शामिल है।

अंतराल सीमाएँ हैं:

• बंद - विशेषता के दो चरम मूल्यों के साथ;
• खुला - विशेषता के एक चरम मूल्य के साथ (पहलेऐसी और ऐसी संख्या या ऊपरऐसी और ऐसी संख्या)।

सैद्धांतिक सामग्री को आत्मसात करने के लिए, हम परिचय देते हैं पृष्ठभूमि की जानकारीसमाधान के लिए अंत-से-अंत कार्य.

बिक्री प्रबंधकों की औसत संख्या, उनके द्वारा बेचे गए समान सामानों की मात्रा, इस उत्पाद के लिए व्यक्तिगत बाजार मूल्य, साथ ही पहले रूसी संघ के क्षेत्रों में से एक में 30 कंपनियों की बिक्री की मात्रा पर सशर्त डेटा हैं। रिपोर्टिंग वर्ष की तिमाही (तालिका 2.1)।

तालिका 2.1

क्रॉस-कटिंग कार्य के लिए प्रारंभिक जानकारी

	संख्या प्रबंधक,		कीमत, हजार रूबल	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल।

	संख्या प्रबंधक,	बेचे गए माल की मात्रा, पीसी।	कीमत, हजार रूबल	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल।

प्रारंभिक जानकारी के साथ-साथ अतिरिक्त जानकारी के आधार पर, हम अलग-अलग कार्य निर्धारित करेंगे। फिर हम उन्हें हल करने की पद्धति और स्वयं समाधान प्रस्तुत करेंगे।

क्रॉस-कटिंग कार्य. कार्य 2.1

तालिका से प्रारंभिक डेटा का उपयोग करना। 2.1 आवश्यकबेची गई वस्तुओं की मात्रा के आधार पर फर्मों के वितरण की एक अलग श्रृंखला बनाएं (तालिका 2.2)।

समाधान:

तालिका 2.2

रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के क्षेत्रों में से किसी एक में बेची गई वस्तुओं की मात्रा के आधार पर फर्मों के वितरण की अलग श्रृंखला

क्रॉस-कटिंग कार्य. कार्य 2.2

आवश्यकप्रबंधकों की औसत संख्या के अनुसार 30 फर्मों की एक रैंक श्रृंखला बनाएं।

समाधान:

15; 17; 18; 20; 20; 20; 22; 22; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 28; 29; 30; 32; 32; 33; 33; 33; 34; 35; 35; 38; 39; 39; 45.

क्रॉस-कटिंग कार्य. कार्य 2.3

तालिका से प्रारंभिक डेटा का उपयोग करना। 2.1, आवश्यक:

• 1. प्रबंधकों की संख्या के आधार पर फर्मों के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला बनाएं।
• 2. फर्मों की वितरण श्रृंखला की आवृत्तियों की गणना करें।
• 3. निष्कर्ष निकालें.

समाधान:

आइए स्टर्गेस सूत्र (2.5) का उपयोग करके गणना करें अंतरालों की संख्या:

इस प्रकार, हम 6 अंतराल (समूह) लेते हैं।

अंतराल की लंबाई, या अंतराल चरण, सूत्र का उपयोग करके गणना करें

टिप्पणी।अंतराल की सीमाओं में जनसंख्या इकाइयों को शामिल करने का क्रम इस प्रकार है: I), जिसमें जनसंख्या इकाइयों को निचली सीमाओं में शामिल किया जाता है, लेकिन ऊपरी सीमाओं में शामिल नहीं किया जाता है, बल्कि अगले अंतराल में स्थानांतरित कर दिया जाता है। इस नियम का अपवाद अंतिम अंतराल I] है, जिसकी ऊपरी सीमा में रैंक की गई श्रृंखला की अंतिम संख्या शामिल है।

हम एक अंतराल श्रृंखला बनाते हैं (तालिका 2.3)।

रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के क्षेत्रों में से एक में फर्मों के वितरण की अंतराल श्रृंखला और प्रबंधकों की औसत संख्या

निष्कर्ष।फर्मों का सबसे बड़ा समूह 25-30 लोगों की औसत संख्या वाले प्रबंधकों वाला समूह है, जिसमें 8 फर्म (27%) शामिल हैं; 40-45 लोगों के प्रबंधकों की औसत संख्या वाले सबसे छोटे समूह में केवल एक कंपनी (3%) शामिल है।

तालिका से प्रारंभिक डेटा का उपयोग करना। 2.1, साथ ही प्रबंधकों की संख्या के आधार पर फर्मों के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला (तालिका 2.3), आवश्यकप्रबंधकों की संख्या और फर्मों की बिक्री की मात्रा के बीच संबंधों का एक विश्लेषणात्मक समूह बनाएं और इसके आधार पर, इन विशेषताओं के बीच संबंध की उपस्थिति (या अनुपस्थिति) के बारे में निष्कर्ष निकालें।

समाधान:

विश्लेषणात्मक समूहन कारक विशेषताओं पर आधारित है। हमारी समस्या में, कारक विशेषता (x) प्रबंधकों की संख्या है, और परिणामी विशेषता (y) बिक्री की मात्रा है (तालिका 2.4)।

आइए अब निर्माण करें विश्लेषणात्मक समूहन(सारणी 2.5).

निष्कर्ष।निर्मित विश्लेषणात्मक समूह के आंकड़ों के आधार पर, हम कह सकते हैं कि बिक्री प्रबंधकों की संख्या में वृद्धि के साथ, समूह में कंपनी की औसत बिक्री मात्रा भी बढ़ जाती है, जो इन विशेषताओं के बीच सीधा संबंध की उपस्थिति को इंगित करता है।

तालिका 2.4

विश्लेषणात्मक समूहन के निर्माण के लिए सहायक तालिका

	प्रबंधकों, लोगों की संख्या,	कंपनी संख्या	बिक्री की मात्रा, मिलियन रूबल, वाई
			" = 59 एफ = 9.97
			मैं-™ 4 -यू.22
			74 '25 1पीवाई1 उ4 = 7 = 10,61

			पर = ’ =10,31 30

तालिका 2.5

रिपोर्टिंग वर्ष की पहली तिमाही में रूसी संघ के किसी एक क्षेत्र में कंपनी प्रबंधकों की संख्या पर बिक्री की मात्रा की निर्भरता

नियंत्रण प्रश्न

• 1. सांख्यिकीय अवलोकन का सार क्या है?
• 2. सांख्यिकीय अवलोकन के चरणों का नाम बताइए।
• 3. सांख्यिकीय अवलोकन के संगठनात्मक रूप क्या हैं?
• 4. सांख्यिकीय अवलोकन के प्रकारों के नाम बताइए।
• 5. सांख्यिकीय सारांश क्या है?
• 6. सांख्यिकीय रिपोर्ट के प्रकारों के नाम बताइए।
• 7. सांख्यिकीय समूहन क्या है?
• 8. सांख्यिकीय समूहों के प्रकारों के नाम बताइए।
• 9. वितरण श्रृंखला क्या है?
• 10. वितरण पंक्ति के संरचनात्मक तत्वों के नाम बताइए।
• 11. वितरण श्रृंखला के निर्माण की प्रक्रिया क्या है?

इन्हें वितरण शृंखला के रूप में प्रस्तुत किया जाता है और प्रपत्र में प्रस्तुत किया जाता है।

वितरण श्रृंखला समूहीकरण के प्रकारों में से एक है।

वितरण सीमा- एक निश्चित भिन्न विशेषता के अनुसार समूहों में अध्ययन की जा रही जनसंख्या की इकाइयों के क्रमबद्ध वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

वितरण श्रृंखला के गठन की अंतर्निहित विशेषता के आधार पर, उन्हें प्रतिष्ठित किया जाता है गुणात्मक और परिवर्तनशीलवितरण पंक्तियाँ:

• ठहराव- गुणात्मक विशेषताओं के अनुसार निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है।
• किसी मात्रात्मक विशेषता के मानों के आरोही या अवरोही क्रम में निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है परिवर्तन संबंधी.

वितरण की भिन्नता श्रृंखला में दो कॉलम होते हैं:

पहला कॉलम अलग-अलग विशेषताओं के मात्रात्मक मान प्रदान करता है, जिन्हें कहा जाता है विकल्पऔर नामित हैं. असतत विकल्प - पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया गया। अंतराल विकल्प से लेकर तक होता है। विकल्पों के प्रकार के आधार पर, आप एक अलग या अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण कर सकते हैं।
दूसरे कॉलम में शामिल है विशिष्ट विकल्प की संख्या, आवृत्तियों या आवृत्तियों के संदर्भ में व्यक्त किया गया:

आवृत्तियों- ये निरपेक्ष संख्याएँ हैं जो दर्शाती हैं कि किसी विशेषता का दिया गया मान समुच्चय में कितनी बार आता है, जो दर्शाता है। सभी आवृत्तियों का योग संपूर्ण जनसंख्या में इकाइयों की संख्या के बराबर होना चाहिए।

आवृत्तियों() आवृत्तियाँ कुल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती हैं। प्रतिशत के रूप में व्यक्त सभी आवृत्तियों का योग एक के अंशों में 100% के बराबर होना चाहिए।

वितरण श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वितरण श्रृंखला को ग्राफिकल छवियों का उपयोग करके दृश्य रूप से प्रस्तुत किया गया है।

वितरण श्रृंखला को इस प्रकार दर्शाया गया है:

• बहुभुज
• हिस्टोग्राम
• संचयी
• तोरण

बहुभुज

बहुभुज का निर्माण करते समय, अलग-अलग विशेषता के मान क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष) पर प्लॉट किए जाते हैं, और आवृत्तियों या आवृत्तियों को ऊर्ध्वाधर अक्ष (y-अक्ष) पर प्लॉट किया जाता है।

चित्र में बहुभुज. 6.1 1994 में रूस की जनसंख्या की सूक्ष्म जनगणना के आंकड़ों पर आधारित है।

6.1. घरेलू आकार वितरण

स्थिति: टैरिफ श्रेणियों के अनुसार किसी एक उद्यम के 25 कर्मचारियों के वितरण पर डेटा प्रदान किया गया है:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
काम: एक पृथक भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करें और इसे वितरण बहुभुज के रूप में ग्राफ़िक रूप से चित्रित करें।
समाधान:
इस उदाहरण में, विकल्प कर्मचारी का वेतन ग्रेड हैं। आवृत्तियों को निर्धारित करने के लिए, संबंधित टैरिफ श्रेणी वाले कर्मचारियों की संख्या की गणना करना आवश्यक है।

बहुभुज का उपयोग असतत भिन्नता श्रृंखला के लिए किया जाता है।

एक वितरण बहुभुज (छवि 1) का निर्माण करने के लिए, हम एब्सिस्सा (एक्स) अक्ष पर अलग-अलग विशेषता-विकल्पों के मात्रात्मक मान और ऑर्डिनेट अक्ष पर आवृत्तियों या आवृत्तियों को प्लॉट करते हैं।

यदि किसी विशेषता के मानों को अंतराल के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो ऐसी श्रृंखला को अंतराल कहा जाता है।
अंतराल श्रृंखलावितरण को ग्राफ़िक रूप से हिस्टोग्राम, क्यूम्युलेट या ऑगिव के रूप में दर्शाया गया है।

सांख्यिकीय तालिका

स्थिति: एक बैंक में 20 व्यक्तियों की जमा राशि के आकार पर डेटा प्रदान किया जाता है (हजार रूबल) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
काम: समान अंतराल के साथ एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करें।
समाधान:

1. प्रारंभिक जनसंख्या में 20 इकाइयाँ (N = 20) शामिल हैं।
2. स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके, हम उपयोग किए गए समूहों की आवश्यक संख्या निर्धारित करते हैं: n=1+3.322*lg20=5
3. आइए समान अंतराल के मान की गणना करें: i=(152 - 2) /5 = 30 हजार रूबल
4. आइए प्रारंभिक जनसंख्या को 30 हजार रूबल के अंतराल के साथ 5 समूहों में विभाजित करें।
5. हम समूहीकरण परिणाम तालिका में प्रस्तुत करते हैं:

किसी सतत विशेषता की ऐसी रिकॉर्डिंग के साथ, जब एक ही मान दो बार होता है (एक अंतराल की ऊपरी सीमा और दूसरे अंतराल की निचली सीमा के रूप में), तो यह मान उस समूह से संबंधित होता है जहां यह मान ऊपरी सीमा के रूप में कार्य करता है।

बार चार्ट

हिस्टोग्राम बनाने के लिए, अंतराल की सीमाओं के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ इंगित किया जाता है और, उनके आधार पर, आयतों का निर्माण किया जाता है, जिनकी ऊंचाई आवृत्तियों (या आवृत्तियों) के समानुपाती होती है।

चित्र में. 6.2. 1997 में आयु समूह के अनुसार रूसी जनसंख्या के वितरण का एक हिस्टोग्राम दिखाता है।

चावल। 6.2. आयु समूहों द्वारा रूसी जनसंख्या का वितरण

स्थिति: कंपनी के 30 कर्मचारियों का मासिक वेतन का वितरण दिया गया है

काम: अंतराल भिन्नता श्रृंखला को हिस्टोग्राम और संचयी के रूप में ग्राफ़िक रूप से प्रदर्शित करें।
समाधान:

1. खुले (प्रथम) अंतराल की अज्ञात सीमा दूसरे अंतराल के मूल्य से निर्धारित होती है: 7000 - 5000 = 2000 रूबल। उसी मूल्य पर हम पहले अंतराल की निचली सीमा पाते हैं: 5000 - 2000 = 3000 रूबल।
2. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक हिस्टोग्राम बनाने के लिए, हम एब्सिस्सा अक्ष के साथ उन खंडों को प्लॉट करते हैं जिनके मान वैरिकाज़ श्रृंखला के अंतराल से मेल खाते हैं।
   ये खंड निचले आधार के रूप में कार्य करते हैं, और संबंधित आवृत्ति (आवृत्ति) गठित आयतों की ऊंचाई के रूप में कार्य करती है।
3. आइए एक हिस्टोग्राम बनाएं:

संचयी निर्माण के लिए संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) की गणना करना आवश्यक है। वे पिछले अंतरालों की आवृत्तियों (आवृत्तियों) को क्रमिक रूप से जोड़कर निर्धारित किए जाते हैं और उन्हें एस नामित किया जाता है। संचित आवृत्तियों से पता चलता है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों का विशिष्ट मान विचाराधीन इकाई से अधिक नहीं है।

संचयी

संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) पर भिन्नता श्रृंखला में एक विशेषता का वितरण एक संचयी का उपयोग करके दर्शाया गया है।

संचयीया एक संचयी वक्र, बहुभुज के विपरीत, संचित आवृत्तियों या आवृत्तियों से निर्मित होता है। इस मामले में, विशेषता के मानों को भुज अक्ष पर रखा जाता है, और संचित आवृत्तियों या आवृत्तियों को कोर्डिनेट अक्ष पर रखा जाता है (चित्र 6.3)।

चावल। 6.3. घरेलू आकार वितरण का संचयी संग्रह

4. आइए संचित आवृत्तियों की गणना करें:
पहले अंतराल की संचयी आवृत्ति की गणना इस प्रकार की जाती है: 0 + 4 = 4, दूसरे के लिए: 4 + 12 = 16; तीसरे के लिए: 4 + 12 + 8 = 24, आदि।

संचयी का निर्माण करते समय, संबंधित अंतराल की संचित आवृत्ति (आवृत्ति) को इसकी ऊपरी सीमा को सौंपा जाता है:

ओगिवा

ओगिवाइसका निर्माण संचयी के समान ही किया गया है, जिसमें एकमात्र अंतर यह है कि संचित आवृत्तियों को एब्सिस्सा अक्ष पर रखा जाता है, और विशेषता मान को ऑर्डिनेट अक्ष पर रखा जाता है।

संचयी का एक प्रकार सांद्रण वक्र या लोरेंत्ज़ प्लॉट है। एकाग्रता वक्र का निर्माण करने के लिए, आयताकार समन्वय प्रणाली के दोनों अक्षों पर 0 से 100 तक प्रतिशत में एक स्केल स्केल प्लॉट किया जाता है। साथ ही, संचित आवृत्तियों को एब्सिस्सा अक्ष पर इंगित किया जाता है, और शेयर के संचित मूल्य (प्रतिशत में) विशेषता के आयतन को कोटि अक्ष पर दर्शाया गया है।

विशेषता का समान वितरण ग्राफ़ पर वर्ग के विकर्ण से मेल खाता है (चित्र 6.4)। असमान वितरण के साथ, ग्राफ़ विशेषता की एकाग्रता के स्तर के आधार पर एक अवतल वक्र का प्रतिनिधित्व करता है।

6.4. एकाग्रता वक्र