आर्थिक समस्याओं के समाधान के लिए कतारबद्ध प्रणालियों के गणितीय मॉडल। · काम शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि उपकरण और तारों को कोई दृश्य क्षति न हो

चित्रकला 0 - 2 घटनाओं का प्रवाह (ए) और सरलतम प्रवाह (बी)

10.5.2.1. stationarity

प्रवाह को स्थिर कहा जाता है , यदि प्रारंभिक समय खंड में किसी विशेष संख्या में घटनाएँ घटित होने की प्रायिकता लंबाई τ (

चित्र 0-2 , ए)यह केवल अनुभाग की लंबाई पर निर्भर करता है और इस पर निर्भर नहीं करता कि अक्ष पर वास्तव में कहां हैटी यह क्षेत्र स्थित है.

स्थिर प्रवाह का अर्थ है समय के साथ इसकी एकरूपता; ऐसे प्रवाह की संभाव्य विशेषताएं समय के आधार पर नहीं बदलती हैं। विशेष रूप से, घटनाओं के प्रवाह की तथाकथित तीव्रता (या "घनत्व") - एक स्थिर प्रवाह के लिए प्रति इकाई समय घटनाओं की औसत संख्या - स्थिर रहनी चाहिए। निःसंदेह, इसका मतलब यह नहीं है कि प्रति इकाई समय में प्रदर्शित होने वाली घटनाओं की वास्तविक संख्या स्थिर है; प्रवाह में स्थानीय संघनन और विरलन हो सकते हैं। यह महत्वपूर्ण है कि एक स्थिर प्रवाह के लिए ये संघनन और विरलन नियमित प्रकृति के नहीं होते हैं, और एक ही अवधि के भीतर होने वाली घटनाओं की औसत संख्या विचाराधीन संपूर्ण अवधि के लिए स्थिर रहती है।

व्यवहार में, अक्सर घटनाओं का प्रवाह होता है जिसे (कम से कम सीमित समय के लिए) स्थिर माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी टेलीफोन एक्सचेंज पर 12 से 13 बजे के बीच आने वाली कॉलों को लैंडलाइन माना जा सकता है। वही प्रवाह अब पूरे दिन स्थिर नहीं रहेगा (रात में कॉल प्रवाह की तीव्रता दिन की तुलना में बहुत कम होती है)। ध्यान दें कि अधिकांश भौतिक प्रक्रियाओं का भी यही मामला है, जिन्हें हम "स्थिर" कहते हैं; वास्तव में, वे केवल एक सीमित अवधि के लिए स्थिर होते हैं, और इस क्षेत्र का अनंत तक विस्तार इस उद्देश्य के लिए उपयोग की जाने वाली एक सुविधाजनक तकनीक है। सरलीकरण का.

10.5.2.2. कोई अनुवर्ती प्रभाव नहीं

घटनाओं की धारा को बिना किसी परिणाम वाली धारा कहा जाता है , यदि किसी गैर-अतिव्यापी समय अवधि के लिए, उनमें से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या इस पर निर्भर नहीं करती है कि दूसरे पर कितनी घटनाएं घटती हैं (या अन्य, यदि दो से अधिक खंडों पर विचार किया जाता है)।

ऐसी धाराओं में, धारा को बनाने वाली घटनाएँ समय के क्रमिक क्षणों में एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से प्रकट होती हैं। उदाहरण के लिए, मेट्रो स्टेशन में प्रवेश करने वाले यात्रियों के प्रवाह को बिना किसी दुष्प्रभाव के प्रवाह माना जा सकता है, क्योंकि जिन कारणों से एक निश्चित समय पर एक व्यक्तिगत यात्री का आगमन निर्धारित होता है, दूसरे पर नहीं, एक नियम के रूप में, समान कारणों से संबंधित नहीं होते हैं अन्य यात्री. यदि ऐसी निर्भरता प्रकट होती है, तो दुष्परिणामों की अनुपस्थिति की शर्त का उल्लंघन होता है।

उदाहरण के लिए, रेलवे लाइन के किनारे मालगाड़ियों के प्रवाह पर विचार करें। यदि, सुरक्षा स्थितियों के कारण, वे अंतराल पर अधिक बार एक-दूसरे का अनुसरण नहीं कर सकते हैंटी 0 , तो प्रवाह में घटनाओं के बीच निर्भरता होती है, और कोई परिणाम न होने की स्थिति का उल्लंघन होता है। हालाँकि, यदि अंतरालटी 0 ट्रेनों के बीच औसत अंतराल की तुलना में छोटा है, तो ऐसा उल्लंघन महत्वहीन है।

चित्रकला 0 - 3 पॉसों वितरण

अक्ष पर विचार करेंटी तीव्रता λ के साथ घटनाओं की सबसे सरल धारा। (चित्र 0-2 बी) . हमें इस प्रवाह में पड़ोसी घटनाओं के बीच यादृच्छिक समय अंतराल टी में रुचि होगी; आइए इसका वितरण नियम खोजें। सबसे पहले, आइए वितरण फ़ंक्शन ढूंढें:

एफ(टी) = पी(टी ( 0-2)

यानी प्रायिकता कि मान T से कम मूल्य होगाटी. आइए हम अंतराल T (अंक) की शुरुआत से स्थगित करेंटी 0 ) खंड टी और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंतराल T कम होगाटी . ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि लंबाई के एक अनुभाग के लिएटी, एक बिंदु के निकटटी 0 , कम से कम एक प्रवाह घटना हिट। आइए इसकी संभावना की गणना करेंएफ(टी) विपरीत घटना की संभावना के माध्यम से (प्रति अनुभागटी किसी भी प्रवाह घटना पर असर नहीं पड़ेगा):

एफ (टी) = 1 - पी 0

संभावना पी0हम यह मानते हुए सूत्र (1) से पाते हैंएम = 0:

जहाँ से मान T का वितरण फलन होगा:

(0-3)

वितरण घनत्व ज्ञात करनाएफ(टी) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु टी,अभिव्यक्ति (0‑1) को अलग करना आवश्यक हैटी:

0-4)

घनत्व (0‑4) वाले वितरण नियम को घातांकीय कहा जाता है (या घातीय ). मात्रा λ को पैरामीटर कहा जाता है प्रदर्शनात्मक कानून.

चित्र 0 - 4 घातांकी रूप से वितरण

आइए एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात करें टी- गणितीय अपेक्षा (औसत मूल्य)एम [ टी ]= एम टी , और विचरण Dt. हमारे पास है

( 0-5)

(भागों द्वारा एकीकृत).

T मान का फैलाव है:

(0-6)

प्रसरण का वर्गमूल लेकर, हम यादृच्छिक चर का मानक विचलन ज्ञात करते हैं टी।

तो, एक घातीय वितरण के लिए, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं और पैरामीटर λ के व्युत्क्रम हैं, जहां λ। प्रवाह की तीव्रता.

इस प्रकार, उपस्थिति एम किसी निश्चित समयावधि में घटनाएँ पॉइसन वितरण से मेल खाती हैं, और संभावना है कि घटनाओं के बीच का समय अंतराल एक निश्चित पूर्व निर्धारित संख्या से कम होगा, घातीय वितरण से मेल खाता है। ये सभी एक ही स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के अलग-अलग विवरण हैं।

उदाहरण एसएमओ-1 .

उदाहरण के तौर पर, एक बैंकिंग प्रणाली पर विचार करें जो वास्तविक समय में संचालित होती है और बड़ी संख्या में ग्राहकों को सेवा प्रदान करती है। पीक आवर्स के दौरान, ग्राहकों के साथ काम करने वाले बैंक टेलर के अनुरोध एक पॉइसन प्रवाह बनाते हैं और औसतन दो प्रति 1 सेकंड (λ = 2) पर आते हैं। प्रवाह में प्रति सेकंड 2 अनुरोधों की तीव्रता पर आने वाले अनुरोध शामिल होते हैं।

आइए संभाव्यता P की गणना करें (एम ) दिखावट एम 1 एस में संदेश. चूँकि λ = 2, तो पिछले सूत्र से हमारे पास है

m = प्रतिस्थापित करने पर 0, 1, 2, 3, हमें निम्नलिखित मान मिलते हैं (चार की सटीकता के साथदशमलव स्थानों):

चित्र 0 - 5 सरल प्रवाह का उदाहरण

1 सेकंड में 9 से अधिक संदेश प्राप्त करना संभव है, लेकिन इसकी संभावना बहुत कम (लगभग 0.000046) है।

परिणामी वितरण को हिस्टोग्राम के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है (चित्र में दिखाया गया है)।

उदाहरण एसएमओ-2.

एक उपकरण (सर्वर) जो प्रति 1 सेकंड में तीन संदेशों को संसाधित करता है।

ऐसे उपकरण हों जो 1 सेकंड (μ=3) में तीन संदेशों को संसाधित कर सकें। औसतन, प्रति 1 सेकंड में दो संदेश प्राप्त होते हैं, और उसके अनुसारसी पॉसों वितरण। इन संदेशों के किस अनुपात पर तुरंत कार्रवाई की जाएगी?

संभावना यह है कि आगमन दर 3 एस से कम या उसके बराबर होगी

यदि कोई सिस्टम 1 एस में अधिकतम 3 संदेशों को संसाधित कर सकता है, तो संभावना है कि यह अतिभारित नहीं होगा

दूसरे शब्दों में, 85.71% संदेश तुरंत परोसे जाएंगे, और 14.29% कुछ देरी से भेजे जाएंगे। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक संदेश को संसाधित करने में तीन संदेशों के प्रसंस्करण समय से अधिक समय तक देरी शायद ही कभी होगी। 1 संदेश का प्रसंस्करण समय औसतन 1/3 सेकंड है। इसलिए, 1 सेकंड से अधिक की देरी एक दुर्लभ घटना होगी, जो अधिकांश प्रणालियों के लिए काफी स्वीकार्य है।

उदाहरण एसएमओ- 3

· यदि कोई बैंक टेलर अपने कामकाजी समय का 80% व्यस्त रहता है और अपना शेष समय ग्राहकों के इंतजार में बिताता है, तो उसे 0.8 के उपयोगिता कारक वाला उपकरण माना जा सकता है।

· यदि एक संचार चैनल का उपयोग 2400 बीपीएस की दर से 8-बिट प्रतीकों को प्रसारित करने के लिए किया जाता है, यानी, 1 एस में अधिकतम 2400/8 प्रतीक प्रसारित होते हैं, और हम एक प्रणाली का निर्माण कर रहे हैं जिसमें डेटा की कुल मात्रा 12000 प्रतीक है सबसे भारी भार (सिंक्रनाइज़ेशन, अंत-संदेश प्रतीकों, नियंत्रण इत्यादि सहित) के प्रति मिनट संचार चैनल के माध्यम से विभिन्न उपकरणों से भेजा जाता है, तो इस मिनट के दौरान संचार चैनल उपकरण की उपयोग दर बराबर होती है

· यदि एक फ़ाइल एक्सेस इंजन एक व्यस्त घंटे के दौरान 9,000 फ़ाइल एक्सेस करता है, और प्रति एक्सेस औसत समय 300 एमएस है, तो एक्सेस इंजन की पीक आवर हार्डवेयर उपयोग दर है

उपकरण उपयोग की अवधारणा का प्रयोग अक्सर किया जाएगा। उपकरण का उपयोग जितना करीब 100% होगा, देरी उतनी ही अधिक होगी और कतारें उतनी ही लंबी होंगी।

पिछले सूत्र का उपयोग करके, आप पॉइसन फ़ंक्शन मानों की तालिकाएँ बना सकते हैं, जिससे आप आगमन की संभावना निर्धारित कर सकते हैंएम या एक निश्चित समयावधि में अधिक संदेश। उदाहरण के लिए, यदि प्रति सेकंड औसतन 3.1 संदेश हैं [अर्थात्। ई. λ = 3.1], तो किसी दिए गए सेकंड में 5 या अधिक संदेश प्राप्त होने की संभावना 0.2018 है (के लिए)एम = तालिका में 5)। या विश्लेषणात्मक रूप में

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करके, एक सिस्टम विश्लेषक इस संभावना की गणना कर सकता है कि सिस्टम किसी दिए गए लोड मानदंड को पूरा नहीं करेगा।

अक्सर उपकरण लोड मानों के लिए प्रारंभिक गणना की जा सकती है

ρ ≤ 0.9

ये मान पॉइसन तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

मान लीजिए कि औसत संदेश आगमन दर λ = 3.1 संदेश/सेकेंड है। तालिकाओं से यह पता चलता है कि 1 सेकंड में 6 या अधिक संदेश प्राप्त होने की संभावना 0.0943 है। इसलिए, प्रारंभिक गणना के लिए इस संख्या को लोड मानदंड के रूप में लिया जा सकता है।

10.6.2. डिजाइन कार्य

यदि संदेश डिवाइस पर बेतरतीब ढंग से आते हैं, तो डिवाइस अपने समय का कुछ हिस्सा प्रत्येक संदेश को संसाधित करने या सर्विस करने में खर्च करता है, जिसके परिणामस्वरूप कतारें बनती हैं। बैंक में कतार खजांची और उसके कंप्यूटर (टर्मिनल) की रिहाई का इंतजार कर रही है। कंप्यूटर के इनपुट बफ़र में एक संदेश कतार प्रोसेसर द्वारा प्रसंस्करण की प्रतीक्षा कर रही है। डेटा सरणियों के लिए अनुरोधों की एक कतार चैनलों के मुक्त होने आदि की प्रतीक्षा करती है। सिस्टम में सभी बाधाओं पर कतारें बन सकती हैं।

उपकरण उपयोग दर जितनी अधिक होगी, परिणामी कतारें उतनी ही लंबी होंगी। जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, ρ = 0.7 के उपयोग कारक के साथ एक संतोषजनक ऑपरेटिंग सिस्टम को डिज़ाइन करना संभव है, लेकिन ρ > 0.9 से अधिक गुणांक सेवा की गुणवत्ता में गिरावट का कारण बन सकता है। दूसरे शब्दों में, यदि किसी बल्क डेटा लिंक पर 20% लोड है, तो उस पर कतार होने की संभावना नहीं है। यदि लोड हो रहा है; 0.9 है, तो, एक नियम के रूप में, कतारें बनेंगी, कभी-कभी बहुत बड़ी।

उपकरण उपयोग कारक उपकरण पर भार के उस अधिकतम भार के अनुपात के बराबर है जिसे यह उपकरण झेल सकता है, या उपकरण के उपयोग के समय और उसके संचालन के कुल समय के अनुपात के बराबर है।

किसी सिस्टम को डिज़ाइन करते समय, विभिन्न प्रकार के उपकरणों के लिए उपयोग कारक का अनुमान लगाना आम बात है; प्रासंगिक उदाहरण अगले अध्यायों में दिए जाएंगे। इन गुणांकों को जानने से आप संबंधित उपकरणों के लिए कतारों की गणना कर सकते हैं।

· कतार की लंबाई क्या है?

· इसमे कितना टाइम लगेगा?

इस प्रकार के प्रश्नों का उत्तर कतार सिद्धांत का उपयोग करके दिया जा सकता है।

10.6.3. कतारबद्ध प्रणालियाँ, उनके वर्ग और मुख्य विशेषताएं

क्यूएस के लिए, घटना प्रवाह अनुप्रयोगों के प्रवाह, "सर्विसिंग" अनुप्रयोगों के प्रवाह आदि हैं। यदि ये प्रवाह पॉइसन (मार्कोव प्रक्रिया) नहीं हैं, तो क्यूएस में होने वाली प्रक्रियाओं का गणितीय विवरण अतुलनीय रूप से अधिक जटिल हो जाता है और अधिक बोझिल की आवश्यकता होती है उपकरण, इसे विश्लेषणात्मक सूत्रों में लाना केवल सरलतम मामलों में ही संभव है।

हालाँकि, "मार्कोवियन" कतार सिद्धांत का उपकरण उस स्थिति में भी उपयोगी हो सकता है जब क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया मार्कोवियन से भिन्न होती है; इसकी मदद से, क्यूएस की प्रदर्शन विशेषताओं का लगभग आकलन किया जा सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्यूएस जितना अधिक जटिल होगा, इसमें जितने अधिक सेवा चैनल होंगे, मार्कोव सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त अनुमानित सूत्र उतने ही सटीक होंगे। इसके अलावा, कई मामलों में, क्यूएस के संचालन के प्रबंधन पर सूचित निर्णय लेने के लिए, इसकी सभी विशेषताओं के सटीक ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, अक्सर केवल अनुमानित, अनुमानित ज्ञान ही पर्याप्त होता है।

QS को सिस्टम में वर्गीकृत किया गया है:

· विफलताएँ (नुकसान के साथ)। ऐसी प्रणालियों में, ऐसे समय में प्राप्त अनुरोध जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं तो "अस्वीकार" प्राप्त होता है, क्यूएस छोड़ देता है और आगे की सेवा प्रक्रिया में भाग नहीं लेता है।

· इंतज़ार में (एक कतार के साथ). ऐसी प्रणालियों में, ऐसे समय में आने वाला अनुरोध जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, कतारबद्ध होते हैं और तब तक प्रतीक्षा करते हैं जब तक कि कोई एक चैनल खाली न हो जाए। जब चैनल मुक्त हो जाता है, तो कतारबद्ध अनुरोधों में से एक को सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है।

प्रतीक्षा प्रणाली में सेवा (कतारबद्ध अनुशासन) हो सकती है

· आदेश दिया (आवेदन प्राप्त होने के क्रम में संसाधित किए जाते हैं),

· बेक़ायदा(आवेदन यादृच्छिक क्रम में प्रस्तुत किए जाते हैं) या

· ढेर किया हुआ (अंतिम अनुरोध कतार से पहले चुना गया है)।

· प्राथमिकता

हे स्थिर प्राथमिकता के साथ

हे गतिशील प्राथमिकता के साथ

(बाद वाले मामले में, पूर्व उदाहरण के लिए, टीईटी किसी आवेदन की प्रतीक्षा की अवधि के साथ बढ़ सकती है)।

कतार प्रणालियों को प्रणालियों में विभाजित किया गया है

· असीमित प्रतीक्षा के साथ और

· सीमित के साथ इंतज़ार में।

असीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम में, प्रत्येक अनुरोध जो उस समय आता है जब कोई मुफ्त चैनल नहीं होता है, एक कतार में लग जाता है और "धैर्यपूर्वक" चैनल के उपलब्ध होने और उसे सेवा के लिए स्वीकार करने की प्रतीक्षा करता है। सीएमओ को प्राप्त कोई भी आवेदन देर-सवेर पूरा कर दिया जाएगा।

सीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम में, कतार में किसी एप्लिकेशन के रहने पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं। ये प्रतिबंध लागू हो सकते हैं

· कतार की लंबाई (सीमित कतार लंबाई वाले सिस्टम में कतार में एक साथ अनुप्रयोगों की संख्या),

· वह समय जो एप्लिकेशन ने कतार में बिताया (कतार में रहने की एक निश्चित अवधि के बाद, एप्लिकेशन कतार छोड़ देता है और सिस्टम सीमित प्रतीक्षा समय के साथ निकल जाता है),

· सीएमओ में आवेदन के रहने का कुल समय

वगैरह।

क्यूएस के प्रकार के आधार पर, इसकी प्रभावशीलता का आकलन करते समय कुछ मूल्यों (प्रदर्शन संकेतक) का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विफलताओं वाले क्यूएस के लिए, इसकी उत्पादकता की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक तथाकथित है पूर्ण थ्रूपुटअनुरोधों की औसत संख्या जो सिस्टम प्रति यूनिट समय में पूरा कर सकता है।

निरपेक्ष के साथ-साथ इस पर भी अक्सर विचार किया जाता है सापेक्ष थ्रूपुटक्यूएस सिस्टम द्वारा प्राप्त प्राप्त आवेदनों का औसत हिस्सा है (इस समय के दौरान प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या के लिए समय की प्रति यूनिट सिस्टम द्वारा सेवित अनुप्रयोगों की औसत संख्या का अनुपात)।

निरपेक्ष और सापेक्ष थ्रूपुट के अलावा, अनुसंधान कार्य के आधार पर विफलताओं वाले क्यूएस का विश्लेषण करते समय, हमें अन्य विशेषताओं में रुचि हो सकती है, उदाहरण के लिए:

· व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

· संपूर्ण सिस्टम और एक व्यक्तिगत चैनल का औसत सापेक्ष डाउनटाइम

वगैरह।

अपेक्षा वाले प्रश्नों की विशेषताएँ थोड़ी भिन्न होती हैं। जाहिर है, असीमित प्रतीक्षा वाले क्यूएस के लिए, पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट दोनों अपना अर्थ खो देते हैं, क्योंकि प्रत्येक प्राप्त अनुरोध जल्दी होता हैया इसे बाद में परोसा जाएगा. ऐसे QS के लिए, महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं:

· कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

· सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या (कतार में और सेवा के तहत);

· कतार में किसी आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

· किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय (कतार में और सेवा के अंतर्गत);

साथ ही अपेक्षा की अन्य विशेषताएं भी।

सीमित प्रतीक्षा वाले क्यूएस के लिए, विशेषताओं के दोनों समूह रुचि के हैं: पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट, और प्रतीक्षा विशेषताएँ दोनों।

क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया का विश्लेषण करने के लिए, सिस्टम के मुख्य मापदंडों को जानना आवश्यक है: चैनलों की संख्या पी,अनुप्रयोग प्रवाह की तीव्रताλ , प्रत्येक चैनल का प्रदर्शन (प्रति यूनिट समय चैनल द्वारा दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या μ), कतार के गठन की शर्तें (प्रतिबंध, यदि कोई हो)।

इन मापदंडों के मूल्यों के आधार पर, क्यूएस की प्रदर्शन विशेषताओं को व्यक्त किया जाता है।

10.6.4. एक डिवाइस से सर्विसिंग के मामले में क्यूएस की विशेषताओं की गणना के लिए सूत्र

चित्र 0 - 6 कतार के साथ कतार प्रणाली का मॉडल

ऐसी कतारें प्रसंस्करण की प्रतीक्षा कर रहे प्रोसेसर इनपुट पर संदेशों द्वारा बनाई जा सकती हैं। वे मल्टीपॉइंट संचार चैनल से जुड़े ग्राहक बिंदुओं के संचालन के दौरान हो सकते हैं। इसी तरह गैस स्टेशनों पर भी कारों की कतारें लग जाती हैं। हालाँकि, यदि एक से अधिक सेवा प्रवेश द्वार हैं, तो हमारे पास कई उपकरणों के साथ एक कतार है और विश्लेषण अधिक जटिल हो जाता है।

आइए सेवा अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह के मामले पर विचार करें।

प्रस्तुत कतारबद्ध सिद्धांत का उद्देश्य औसत कतार आकार, साथ ही कतार में प्रतीक्षा कर रहे संदेशों द्वारा बिताए गए औसत समय का अनुमान लगाना है। यह अनुमान लगाना भी उचित है कि कतार कितनी बार एक निश्चित लंबाई से अधिक हो जाती है। यह जानकारी हमें गणना करने की अनुमति देगी, उदाहरण के लिए, संदेश कतारों और संबंधित कार्यक्रमों को संग्रहीत करने के लिए बफर मेमोरी की आवश्यक मात्रा, संचार लाइनों की आवश्यक संख्या, हब के लिए आवश्यक बफर आकार आदि। प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाना संभव होगा।

प्रत्येक विशेषता उपयोग किए गए साधन के आधार पर भिन्न होती है।

एक सर्वर के साथ एक कतार पर विचार करें। कंप्यूटिंग सिस्टम को डिज़ाइन करते समय, इस प्रकार की अधिकांश कतारों की गणना दिए गए सूत्रों का उपयोग करके की जाती है।सेवा समय की भिन्नता का गुणांक

सूचना प्रणाली को डिज़ाइन करते समय कतार की लंबाई की गणना करने के लिए खिनचिन-पोलासेक सूत्र का उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग सेवा समय के किसी भी वितरण और किसी भी नियंत्रण अनुशासन के लिए आगमन समय के घातीय वितरण के मामले में किया जाता है, जब तक कि सेवा के लिए अगले संदेश का चुनाव सेवा समय पर निर्भर न हो।

सिस्टम डिज़ाइन करते समय, ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब प्रबंधन अनुशासन निस्संदेह सेवा समय पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कुछ मामलों में हम कम औसत सेवा समय प्राप्त करने के लिए प्राथमिकता सेवा के लिए छोटे संदेशों का चयन कर सकते हैं। संचार लाइन को नियंत्रित करते समय, आप आउटपुट संदेशों की तुलना में इनपुट संदेशों को उच्च प्राथमिकता दे सकते हैं क्योंकि पहले वाले छोटे होते हैं। ऐसे मामलों में, खिनचिन समीकरण का उपयोग करना अब आवश्यक नहीं है

सूचना प्रणालियों में अधिकांश सेवा समय इन दो मामलों के बीच कहीं होता है। स्थिर मान के बराबर रखरखाव समय दुर्लभ है। यहां तक ​​कि सतह पर डेटा सरणियों की विभिन्न स्थितियों के कारण हार्ड ड्राइव एक्सेस समय भी स्थिर नहीं है। निरंतर सेवा समय के मामले को दर्शाने वाला एक उदाहरण एक निश्चित लंबाई के संदेशों को प्रसारित करने के लिए संचार लाइन का कब्ज़ा है।

दूसरी ओर, सेवा समय का प्रसार उतना बड़ा नहीं है जितना कि इसके मनमाने या घातीय वितरण के मामले में, यानी।σs शायद ही कभी मूल्यों तक पहुंचता हैटी. इस मामले को कभी-कभी "सबसे खराब मामला" माना जाता है और इसलिए वे सेवा समय के घातांकीय वितरण से संबंधित सूत्रों का उपयोग करते हैं। इस तरह की गणना से कतारों के आकार और उनमें प्रतीक्षा समय थोड़ा बढ़ा हुआ मिल सकता है, लेकिन यह त्रुटि कम से कम खतरनाक नहीं है।

सेवा समय का घातीय वितरण, निश्चित रूप से, वास्तविकता से निपटने के लिए सबसे खराब मामला नहीं है। हालाँकि, यदि कतारबद्ध गणना से प्राप्त सेवा समय तेजी से वितरित समय से भी बदतर वितरित हो जाता है, तो यह अक्सर डिजाइनर के लिए एक चेतावनी संकेत होता है। यदि मानक विचलन औसत से अधिक है, तो आमतौर पर गणनाओं को समायोजित करने की आवश्यकता होती है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. 15, 20, 25, 30, 35 और 300 के सेवा समय के साथ छह प्रकार के संदेश हैं। प्रत्येक प्रकार के संदेशों की संख्या समान है। संकेतित समय का मानक विचलन उनके औसत से थोड़ा अधिक है। अंतिम सेवा समय का मूल्य अन्य की तुलना में बहुत अधिक है। इससे संदेश कतार में काफी लंबे समय तक खड़े रहेंगे, यदि सेवा समय परिमाण के समान क्रम में होता। इस मामले में, डिजाइन करते समय, कतार की लंबाई कम करने के उपाय करने की सलाह दी जाती है। उदाहरण के लिए, यदि ये संख्याएँ संदेश की लंबाई से संबंधित हैं, तो बहुत लंबे संदेशों को भागों में विभाजित करना उचित हो सकता है।

10.6.6. गणना उदाहरण

बैंकिंग प्रणाली को डिज़ाइन करते समय, उन ग्राहकों की संख्या जानना वांछनीय है जिन्हें पीक आवर्स के दौरान एक टेलर के लिए लाइन में इंतजार करना होगा।

सिस्टम प्रतिक्रिया समय और इसके मानक विचलन की गणना कार्य केंद्र, मुद्रण और दस्तावेज़ निष्पादन से डेटा दर्ज करने के समय को ध्यान में रखकर की जाती है।

खजांची के कार्य समयबद्ध थे। सेवा समय टीएस कैशियर द्वारा ग्राहक पर खर्च किए गए कुल समय के बराबर है। खजांची की उपयोग दर ρ उसके व्यस्त रहने के समय के समानुपाती होती है। यदि व्यस्त समय के दौरान ग्राहकों की संख्या λ है, तो कैशियर के लिए ρ के बराबर है

आइए मान लें कि पीक आवर्स के दौरान प्रति घंटे 30 ग्राहक हैं। औसतन, एक कैशियर प्रति ग्राहक 1.5 मिनट खर्च करता है। तब

ρ =(1.5 * 30) / 60 = 0.75

यानि 75% पर कैशियर का उपयोग होता है।

ग्राफ़ का उपयोग करके पंक्ति में लोगों की संख्या का तुरंत अनुमान लगाया जा सकता है। उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि ρ = 0.75 है, तो लोगों की औसत संख्या nq हैचेकआउट लाइन में मानक विचलन के आधार पर 1.88 और 3.0 के बीच होता हैटी .

मान लीजिए कि टी के लिए मानक विचलन माप हैएस 0.5 मिनट का मान दिया। तब

σ एस = 0.33 टी एस

पहले आंकड़े में ग्राफ से हम पाते हैं कि nq = 2.0, यानी, औसतन, दो ग्राहक कैश रजिस्टर पर इंतजार कर रहे होंगे।

ग्राहक द्वारा कैश रजिस्टर पर बिताया गया कुल समय इस प्रकार पाया जा सकता है

टी ∑ = टी क्यू + टी एस = 2.5 मिनट + 1.5 मिनट = 4 मिनट

जहां टी एस खिनचिन-पोलासेक सूत्र का उपयोग करके गणना की गई।

10.6.7. लाभ कारक

आंकड़ों में दिखाए गए वक्रों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि जब कतार की सेवा करने वाले उपकरण 80% से अधिक उपयोग किए जाते हैं, तो वक्र खतरनाक दर से बढ़ने लगते हैं। डेटा ट्रांसमिशन सिस्टम डिज़ाइन करते समय यह तथ्य बहुत महत्वपूर्ण है। यदि हम 80% से अधिक हार्डवेयर उपयोग के साथ एक सिस्टम डिजाइन कर रहे हैं, तो ट्रैफ़िक में थोड़ी सी वृद्धि के कारण सिस्टम का प्रदर्शन गिर सकता है या यहां तक ​​कि यह क्रैश भी हो सकता है।

आने वाले ट्रैफ़िक में छोटी संख्या x% की वृद्धि। कतार के आकार में लगभग वृद्धि होती है

यदि उपकरण उपयोग दर 50% है, तो सेवा समय के घातीय वितरण के लिए यह वृद्धि 4ts% के बराबर है। लेकिन यदि हार्डवेयर उपयोग दर 90% है, तो कतार आकार में वृद्धि 100ts% है, जो 25 गुना बड़ी है। 90% उपकरण उपयोग पर लोड में मामूली वृद्धि के परिणामस्वरूप 50% उपकरण उपयोग की तुलना में कतार के आकार में 25 गुना वृद्धि होती है।

इसी तरह कतार में लगने वाला समय भी बढ़ जाता है

तेजी से वितरित सेवा समय के साथ, इस मान का मान 4 t हैएस 2 उपकरण उपयोग कारक के लिए 50% और 100 टन के बराबरएस 2 90% के गुणांक के लिए, यानी फिर से 25 गुना बदतर।

इसके अलावा, कम उपकरण उपयोग दर के लिए, कतार के आकार पर σs में परिवर्तन का प्रभाव नगण्य है। हालाँकि, बड़े गुणांकों के लिए σ में परिवर्तन होता हैएस कतार के आकार को बहुत प्रभावित करता है। इसलिए, उच्च उपकरण उपयोग के साथ सिस्टम डिजाइन करते समय, पैरामीटर के बारे में सटीक जानकारी प्राप्त करना वांछनीय हैσ एस. टी वितरण की घातीयता के संबंध में धारणा की अशुद्धिएसρ के बड़े मूल्यों पर सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है। इसके अलावा, यदि सेवा समय अचानक बढ़ जाता है, जो लंबे संदेश प्रसारित करते समय संचार चैनलों में संभव है, तो बड़े ρ के मामले में एक महत्वपूर्ण कतार बन जाएगी।

पिछले व्याख्यान में चर्चा की गई अलग-अलग स्थितियों और निरंतर समय के साथ मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया, कतारबद्ध प्रणालियों (क्यूएस) में होती है।

कतारबद्ध प्रणाली - ये ऐसे सिस्टम हैं जो यादृच्छिक समय पर सेवा के लिए अनुरोध प्राप्त करते हैं, और प्राप्त अनुरोधों को सिस्टम में उपलब्ध सेवा चैनलों का उपयोग करके सेवा प्रदान की जाती है।

कतारबद्ध प्रणालियों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• बैंकों और उद्यमों में नकद निपटान इकाइयाँ;
• कुछ समस्याओं के समाधान के लिए आने वाले अनुप्रयोगों या आवश्यकताओं को पूरा करने वाले पर्सनल कंप्यूटर;
• कार सर्विस स्टेशन; गैस स्टेशन;
• ऑडिट फर्म;
• उद्यमों की वर्तमान रिपोर्टिंग को स्वीकार करने और सत्यापित करने के लिए जिम्मेदार कर निरीक्षण विभाग;
• टेलीफोन एक्सचेंज, आदि

	नोड्स	आवश्यकताएं
अस्पताल	अर्दली	मरीजों
उत्पादन
एयरपोर्ट	रनवे से बाहर निकलें पंजीकरण बिंदु	यात्रियों

आइए QS के संचालन आरेख पर विचार करें (चित्र 1)। सिस्टम में एक अनुरोध जनरेटर, एक डिस्पैचर और एक सेवा इकाई, एक विफलता लेखा इकाई (टर्मिनेटर, ऑर्डर विध्वंसक) शामिल है। सामान्य तौर पर, एक सेवा नोड में कई सेवा चैनल हो सकते हैं।

चावल। 1

1. अनुप्रयोग जनरेटर - ऑब्जेक्ट जनरेटिंग अनुरोध: सड़क, स्थापित इकाइयों के साथ कार्यशाला। इनपुट है अनुप्रयोगों का प्रवाह(स्टोर में ग्राहकों का प्रवाह, मरम्मत के लिए टूटी हुई इकाइयों (मशीनों, मशीनों) का प्रवाह, अलमारी में आगंतुकों का प्रवाह, गैस स्टेशन पर कारों का प्रवाह, आदि)।
2. डिस्पैचर - एक व्यक्ति या उपकरण जो जानता है कि एप्लिकेशन के साथ क्या करना है। एक नोड जो सेवा चैनलों के अनुरोधों को नियंत्रित और निर्देशित करता है। प्रेषक:

• आवेदन स्वीकार करता है;
• यदि सभी चैनल व्यस्त हैं तो एक कतार बनती है;
• यदि निःशुल्क चैनल हों तो उन्हें सेवा चैनलों की ओर निर्देशित करता है;
• आवेदनों को अस्वीकार कर देता है (विभिन्न कारणों से);
• निःशुल्क चैनलों के बारे में सेवा नोड से जानकारी प्राप्त करता है;
• सिस्टम के संचालन समय की निगरानी करता है।

1. कतार - आवेदन संचायक. हो सकता है कोई कतार न हो.
2. सर्विस सेंटर सेवा चैनलों की एक सीमित संख्या शामिल है। प्रत्येक चैनल की 3 स्थितियाँ होती हैं: खाली, व्यस्त, काम नहीं कर रहा। यदि सभी चैनल व्यस्त हैं, तो आप एक रणनीति बना सकते हैं कि अनुरोध किसे स्थानांतरित करना है।
3. इनकार सेवा से तब होता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं (उनमें से कुछ काम नहीं कर सकते हैं)।

क्यूएस में इन बुनियादी तत्वों के अलावा, कुछ स्रोत निम्नलिखित घटकों पर भी प्रकाश डालते हैं:

टर्मिनेटर - लेनदेन को नष्ट करने वाला;

गोदाम - संसाधनों और तैयार उत्पादों का भंडारण;

लेखांकन खाता - "पोस्टिंग" प्रकार के लेनदेन करने के लिए;

प्रबंधक - संसाधन प्रबंधक;

एसएमओ का वर्गीकरण

प्रथम श्रेणी (कतारों की उपस्थिति के आधार पर):

• विफलताओं के साथ क्यूएस;
• एक कतार के साथ एसएमओ.

में क्यूएस विफलताओं के साथऐसे समय में प्राप्त आवेदन जब सभी चैनल व्यस्त हैं, अस्वीकार कर दिया जाता है, क्यूएस छोड़ देता है और भविष्य में सेवा नहीं दी जाती है।

में कतार के साथ कतारएक एप्लिकेशन जो ऐसे समय में आती है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, वह जाता नहीं है, बल्कि कतार में लग जाता है और अवसर मिलने का इंतजार करता है।

क्यूएस कतारों के साथकतार को व्यवस्थित करने के तरीके के आधार पर विभिन्न प्रकारों में विभाजित किया गया है - सीमित या असीमित. प्रतिबंध कतार की लंबाई और प्रतीक्षा समय, "सेवा अनुशासन" दोनों से संबंधित हो सकते हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित QS पर विचार किया जाता है:

• अधीर अनुरोधों के साथ सीएमओ (कतार की लंबाई और सेवा समय सीमित है);
• प्राथमिकता सेवा के साथ क्यूएस, यानी कुछ अनुरोधों को बारी से पहले पूरा किया जाता है, आदि।

कतार प्रतिबंधों के प्रकारों को जोड़ा जा सकता है।

एक अन्य वर्गीकरण सीएमओ को अनुप्रयोगों के स्रोत के अनुसार विभाजित करता है। एप्लिकेशन (आवश्यकताएँ) सिस्टम द्वारा स्वयं या सिस्टम से स्वतंत्र रूप से मौजूद किसी बाहरी वातावरण द्वारा उत्पन्न की जा सकती हैं।

स्वाभाविक रूप से, सिस्टम द्वारा उत्पन्न अनुरोधों का प्रवाह सिस्टम और उसकी स्थिति पर निर्भर करेगा।

इसके अलावा, एसएमओ को विभाजित किया गया है खुलासीएमओ और बंद किया हुआएसएमओ.

एक खुले क्यूएस में, अनुप्रयोगों के प्रवाह की विशेषताएं क्यूएस की स्थिति (कितने चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है) पर निर्भर नहीं होती हैं। एक बंद क्यूएस में - वे निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कर्मचारी मशीनों के एक समूह की सेवा करता है जिन्हें समय-समय पर समायोजन की आवश्यकता होती है, तो मशीनों से "मांगों" के प्रवाह की तीव्रता इस बात पर निर्भर करती है कि उनमें से कितनी पहले से ही चालू हैं और समायोजन की प्रतीक्षा कर रही हैं।

एक बंद प्रणाली का एक उदाहरण: एक खजांची एक उद्यम में वेतन जारी करता है।

चैनलों की संख्या के आधार पर, QS को निम्न में विभाजित किया गया है:

• एक चैनल;
• मल्टीचैनल.

कतार प्रणाली के लक्षण

किसी भी प्रकार की कतार प्रणाली की मुख्य विशेषताएं हैं:

• सेवा के लिए आने वाली आवश्यकताओं या अनुरोधों की इनपुट स्ट्रीम;
• कतार अनुशासन;
• सेवा तंत्र.

इनपुट आवश्यकताएँ स्ट्रीम

इनपुट स्ट्रीम का वर्णन करने के लिए, आपको निर्दिष्ट करना होगा एक संभाव्य कानून जो सेवा के लिए अनुरोध प्राप्त होने पर क्षणों का क्रम निर्धारित करता है,और प्रत्येक आगामी रसीद में ऐसी आवश्यकताओं की संख्या इंगित करें। इस मामले में, एक नियम के रूप में, वे "आवश्यकताओं की प्राप्ति के क्षणों के संभाव्य वितरण" की अवधारणा के साथ काम करते हैं। यहां वे निम्नलिखित कार्य कर सकते हैं: व्यक्तिगत और समूह आवश्यकताएँ (प्रत्येक नियमित रसीद में ऐसी आवश्यकताओं की संख्या). बाद के मामले में, हम आम तौर पर समानांतर-समूह सर्विसिंग के साथ कतार प्रणाली के बारे में बात कर रहे हैं।

ए मैं- आवश्यकताओं के बीच आगमन का समय - स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर;

ई(ए)- औसत (एमओ) आगमन का समय;

λ=1/ई(ए)- मांगों की प्राप्ति की तीव्रता;

इनपुट स्ट्रीम विशेषताएँ:

1. एक संभाव्य कानून जो सेवा के लिए अनुरोध प्राप्त होने पर क्षणों का क्रम निर्धारित करता है।
2. समूह प्रवाह के लिए प्रत्येक अगले आगमन में अनुरोधों की संख्या।

कतारबद्ध अनुशासन

कतार - सेवा की प्रतीक्षा में आवश्यकताओं का एक सेट।

कतार का एक नाम है.

कतारबद्ध अनुशासन उस सिद्धांत को परिभाषित करता है जिसके अनुसार सेवा प्रणाली के इनपुट पर आने वाली आवश्यकताएं कतार से सेवा प्रक्रिया से जुड़ी होती हैं। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कतार विषयों को निम्नलिखित नियमों द्वारा परिभाषित किया गया है:

• पहले आओ पहले पाओ;

पहले अंदर पहले बाहर (फीफो)

कतार का सबसे सामान्य प्रकार.

ऐसी कतार का वर्णन करने के लिए कौन सी डेटा संरचना उपयुक्त है? सरणी ख़राब (सीमित) है। आप LIST संरचना का उपयोग कर सकते हैं.

सूची की शुरुआत और अंत है। सूची में प्रविष्टियाँ शामिल हैं। रिकॉर्ड एक सूची कक्ष है. एप्लिकेशन सूची के अंत में आता है, और सूची की शुरुआत से सेवा के लिए चुना जाता है। रिकॉर्ड में एप्लिकेशन की विशेषताएं और एक लिंक (इसके पीछे कौन है इसका संकेतक) शामिल हैं। इसके अलावा, यदि कतार में प्रतीक्षा समय सीमा है, तो अधिकतम प्रतीक्षा समय भी इंगित किया जाना चाहिए।

प्रोग्रामर के रूप में, आपको दो-तरफ़ा, एक-तरफ़ा सूचियाँ बनाने में सक्षम होना चाहिए।

सूची क्रियाएँ:

• पूंछ में डालें;
• शुरू से ही लो;
• समय समाप्ति के बाद सूची से हटा दें।
• सबसे बाद में आने वाला - सबसे पहले परोसा जाने वाला LIFO (कारतूस क्लिप, एक ट्रेन स्टेशन पर गतिरोध, एक भीड़ भरी कार में चला गया)।

एक संरचना जिसे स्टैक के नाम से जाना जाता है। किसी सरणी या सूची संरचना द्वारा वर्णित किया जा सकता है;

• अनुप्रयोगों का यादृच्छिक चयन;
• प्राथमिकता मानदंडों के आधार पर आवेदनों का चयन।

प्रत्येक एप्लिकेशन को, अन्य बातों के अलावा, उसके प्राथमिकता स्तर से चिह्नित किया जाता है और प्राप्त होने पर उसे कतार के अंत में नहीं, बल्कि उसके प्राथमिकता समूह के अंत में रखा जाता है। डिस्पैचर प्राथमिकता के आधार पर क्रमबद्ध करता है।

कतार विशेषताएँ

• परिसीमनइंतज़ार का समयसेवा का क्षण (सेवा के लिए सीमित प्रतीक्षा समय वाली एक कतार है, जो "अनुमेय कतार लंबाई" की अवधारणा से जुड़ी है);
• कतार की लंबाई.

सेवा तंत्र

सेवा तंत्र सेवा प्रक्रिया की विशेषताओं और सेवा प्रणाली की संरचना द्वारा ही निर्धारित किया जाता है। रखरखाव प्रक्रिया विशेषताओं में शामिल हैं:

• सेवा चैनलों की संख्या ( एन);
• सेवा प्रक्रिया की अवधि (सेवा आवश्यकताओं के लिए समय का संभाव्य वितरण);
• ऐसी प्रत्येक प्रक्रिया के परिणामस्वरूप संतुष्ट आवश्यकताओं की संख्या (समूह अनुप्रयोगों के लिए);
• सेवा चैनल विफलता की संभावना;
• सेवा प्रणाली की संरचना.

किसी सेवा प्रक्रिया की विशेषताओं का विश्लेषणात्मक वर्णन करने के लिए, "सेवा आवश्यकताओं के लिए समय के संभावित वितरण" की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

एस मैं- सेवा का समय मैं-वीं आवश्यकता;

ई(एस)- औसत सेवा समय;

μ=1/ई(एस)- सर्विसिंग अनुरोधों की गति।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी एप्लिकेशन की सेवा के लिए आवश्यक समय एप्लिकेशन की प्रकृति या ग्राहक की आवश्यकताओं और सर्विसिंग सिस्टम की स्थिति और क्षमताओं पर निर्भर करता है। कुछ मामलों में इसका भी ध्यान रखना जरूरी है सेवा चैनल विफलता की संभावनाएक निश्चित सीमित समय के बाद. इस विशेषता को क्यूएस में प्रवेश करने वाली विफलताओं की एक धारा के रूप में तैयार किया जा सकता है और अन्य सभी अनुरोधों पर प्राथमिकता दी जा सकती है।

क्यूएस उपयोग दर

एन·μ - जब सभी सेवा उपकरण व्यस्त हों तो सिस्टम में सेवा की गति।

ρ=λ/( एनμ) - कहा जाता है क्यूएस के उपयोग का गुणांक , दिखाता है कि कितने सिस्टम संसाधनों का उपयोग किया गया है।

सेवा प्रणाली संरचना

सेवा प्रणाली की संरचना सेवा चैनलों (तंत्र, उपकरण, आदि) की संख्या और सापेक्ष स्थिति से निर्धारित होती है। सबसे पहले, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि एक सेवा प्रणाली में एक से अधिक, लेकिन कई सेवा चैनल हो सकते हैं; इस प्रकार की प्रणाली एक साथ कई आवश्यकताओं को पूरा करने में सक्षम है। इस मामले में, सभी सेवा चैनल समान सेवाएं प्रदान करते हैं, और इसलिए यह तर्क दिया जा सकता है समानांतर सेवा .

उदाहरण। दुकान में कैश रजिस्टर।

सेवा प्रणाली में कई अलग-अलग प्रकार के सेवा चैनल शामिल हो सकते हैं जिनके माध्यम से प्रत्येक सेवा की आवश्यकता को पारित करना होगा, यानी सेवा प्रणाली में आवश्यकताओं की सेवा प्रक्रियाएँ लगातार लागू की जाती हैं . सर्विसिंग तंत्र अनुरोधों के आउटगोइंग (सेवारत) प्रवाह की विशेषताओं को निर्धारित करता है।

उदाहरण। चिकित्सा आयोग.

संयुक्त सेवा - बचत बैंक में जमा की सेवा: पहले नियंत्रक, फिर खजांची। एक नियम के रूप में, प्रति कैशियर 2 नियंत्रक।

इसलिए, किसी भी कतार प्रणाली की कार्यक्षमता निम्नलिखित मुख्य कारकों द्वारा निर्धारित होती है :

• सेवा के लिए अनुरोध प्राप्त होने के क्षणों का संभाव्य वितरण (एकल या समूह);
• आवश्यकताओं के स्रोत की शक्ति;
• सेवा अवधि समय का संभाव्य वितरण;
• सेवा प्रणाली का विन्यास (समानांतर, अनुक्रमिक या समानांतर-अनुक्रमिक सेवा);
• सेवा चैनलों की संख्या और उत्पादकता;
• कतार अनुशासन.

क्यूएस के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मुख्य मानदंड

जैसा कतारबद्ध प्रणालियों की प्रभावशीलता के लिए मुख्य मानदंड हल की जा रही समस्या की प्रकृति के आधार पर, निम्नलिखित प्रकट हो सकते हैं:

• आने वाले एप्लिकेशन की तत्काल सर्विसिंग की संभावना (P obsl = K obs / K पोस्ट);
• आने वाले आवेदन को सेवा देने से इनकार करने की संभावना (पी ओपन = के ओपन / के पोस्ट);

जाहिर है, P obsl + P खुला =1।

प्रवाह, विलंब, रखरखाव। पोलाचेक-खिनचिन फॉर्मूला

देरी - क्यूएस की सेवा के लिए मानदंडों में से एक सेवा की प्रतीक्षा में एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया समय है।

डी मैं- अनुरोध कतार में देरी मैं;

डब्ल्यू आई =डी आई +एस आई- सिस्टम में आवश्यक समय मैं.

(संभावना 1 के साथ) - कतार में अनुरोध की स्थापित औसत देरी;

(संभावना 1 के साथ) - स्थापित औसत समय की आवश्यकता क्यूएस (प्रतीक्षा) में है।

क्यू(टी) -एक समय में कतार में अनुरोधों की संख्या टी;

एल(टी)– एक समय में सिस्टम में आवश्यकताओं की संख्या टी(क्यू(टी)साथ ही एक समय में पूरी की जाने वाली आवश्यकताओं की संख्या टी।

फिर संकेतक (यदि वे मौजूद हैं)

(संभावना 1 के साथ) - समय के साथ कतार में अनुरोधों की स्थिर-स्थिति औसत संख्या;

(संभावना 1 के साथ) - समय के साथ सिस्टम में मांगों की स्थिर-स्थिति औसत संख्या।

ध्यान दें कि ρ<1 – обязательное условие существования डी, डब्ल्यू, क्यूऔर एलएक कतार प्रणाली में.

अगर हमें याद है कि ρ= λ/( एनμ), तो यह स्पष्ट है कि यदि आवेदन प्राप्त होने की तीव्रता इससे अधिक है एनμ, फिर ρ>1 और यह स्वाभाविक है कि सिस्टम अनुप्रयोगों के ऐसे प्रवाह का सामना करने में सक्षम नहीं होगा, और इसलिए, हम मात्राओं के बारे में बात नहीं कर सकते हैं डी, डब्ल्यू, क्यूऔर एल

कतारबद्ध प्रणालियों के लिए सबसे सामान्य और आवश्यक परिणामों में संरक्षण समीकरण शामिल हैं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सिस्टम प्रदर्शन का आकलन करने के लिए उपरोक्त मानदंड कतारबद्ध प्रणालियों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से गणना की जा सकती है एम/एम/एन(एन>1), यानी अनुरोध और सेवा के मार्कोव प्रवाह वाले सिस्टम। के लिए एम/जी/एल किसी भी वितरण के लिए जीऔर कुछ अन्य प्रणालियों के लिए. सामान्य तौर पर, एक विश्लेषणात्मक समाधान संभव होने के लिए अंतर-आगमन समय वितरण, सेवा समय वितरण, या दोनों को घातीय (या किसी प्रकार का kth-क्रम घातीय एर्लांग वितरण) होना चाहिए।

इसके अलावा, हम निम्नलिखित विशेषताओं के बारे में भी बात कर सकते हैं:

• निरपेक्ष प्रणाली क्षमता - А=Р obsl *λ;
• सापेक्ष सिस्टम क्षमता -

विश्लेषणात्मक समाधान का एक और दिलचस्प (और उदाहरणात्मक) उदाहरण – कतार प्रणाली के लिए कतार में स्थिर-अवस्था औसत विलंब की गणना करना एम/जी/ 1 सूत्र के अनुसार:

.

रूस में इस फार्मूले को पोलासेक फार्मूला के नाम से जाना जाता है – खिनचिन, विदेश में यह सूत्र रॉस के नाम से जुड़ा है।

इस प्रकार, यदि ई(एस)अधिक है, तो अधिभार (इस मामले में मापा जाता है डी) बड़ा होगा; जिसकी अपेक्षा की जानी चाहिए. सूत्र एक कम स्पष्ट तथ्य को भी उजागर करता है: जब सेवा समय वितरण की परिवर्तनशीलता बढ़ती है तो भीड़भाड़ भी बढ़ जाती है, भले ही औसत सेवा समय समान रहता हो। सहज रूप से, इसे इस प्रकार समझाया जा सकता है: सेवा समय के यादृच्छिक चर का विचरण एक बड़ा मूल्य ले सकता है (क्योंकि यह सकारात्मक होना चाहिए), यानी, एकमात्र सेवा उपकरण लंबे समय तक व्यस्त रहेगा, जिसके कारण कतार में वृद्धि.

कतार सिद्धांत का विषयकतार प्रणाली की कार्यक्षमता और इसके संचालन की दक्षता निर्धारित करने वाले कारकों के बीच संबंध स्थापित करना है। ज्यादातर मामलों में, कतारबद्ध प्रणालियों का वर्णन करने वाले सभी पैरामीटर यादृच्छिक चर या फ़ंक्शन हैं, इसलिए ये सिस्टम स्टोकेस्टिक सिस्टम से संबंधित हैं।

अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) के प्रवाह की यादृच्छिक प्रकृति, साथ ही, सामान्य मामले में, सेवा की अवधि इस तथ्य की ओर ले जाती है कि कतार प्रणाली में एक यादृच्छिक प्रक्रिया होती है। यादृच्छिक प्रक्रिया की प्रकृति से , कतार प्रणाली (क्यूएस) में होने वाले, प्रतिष्ठित हैं मार्कोवियन और गैर-मार्कोवियन प्रणालियाँ . मार्कोव सिस्टम में, आवश्यकताओं का आने वाला प्रवाह और सेवित आवश्यकताओं (एप्लिकेशन) का आउटगोइंग प्रवाह पॉइसन है। पॉइसन प्रवाह कतार प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन और निर्माण करना आसान बनाता है। इन मॉडलों में काफी सरल समाधान हैं, इसलिए कतारबद्ध सिद्धांत के अधिकांश प्रसिद्ध अनुप्रयोग मार्कोव योजना का उपयोग करते हैं। गैर-मार्कोव प्रक्रियाओं के मामले में, कतारबद्ध प्रणालियों के अध्ययन की समस्याएं काफी जटिल हो जाती हैं और कंप्यूटर का उपयोग करके सांख्यिकीय मॉडलिंग और संख्यात्मक तरीकों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

प्रणालियों का एक बड़ा वर्ग, जिनका विश्लेषणात्मक तरीकों से अध्ययन करना कठिन है, लेकिन जिनका सांख्यिकीय मॉडलिंग विधियों द्वारा अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है, कतारबद्ध प्रणालियों (क्यूएस) में आते हैं।

क्यूएस का तात्पर्य है कि वहाँ है विशिष्ट पथ(सेवा चैनल) जिसके माध्यम से वे प्रसंस्करण प्रक्रिया के दौरान गुजरते हैं अनुप्रयोग. आमतौर पर कहा जाता है कि एप्लीकेशन सेवितचैनल. चैनल उद्देश्य, विशेषताओं में भिन्न हो सकते हैं, उन्हें विभिन्न संयोजनों में जोड़ा जा सकता है; आवेदन सेवा की प्रतीक्षा में कतार में हो सकते हैं। कुछ एप्लिकेशन चैनलों द्वारा सेवित हो सकते हैं, जबकि अन्य इससे इनकार कर सकते हैं। यह महत्वपूर्ण है कि अनुरोध, सिस्टम के दृष्टिकोण से, अमूर्त हों: वे कुछ ऐसे हैं जिन्हें पूरा किया जाना है, यानी सिस्टम में एक निश्चित रास्ते पर जाना है। चैनल भी एक अमूर्तता है: वे वही हैं जो अनुरोधों को पूरा करते हैं।

अनुरोध असमान रूप से आ सकते हैं, चैनल अलग-अलग समय पर अलग-अलग अनुरोध प्रस्तुत कर सकते हैं, इत्यादि, अनुरोधों की संख्या हमेशा बहुत बड़ी होती है। यह सब ऐसी प्रणालियों का अध्ययन और प्रबंधन करना कठिन बना देता है, और उनमें सभी कारण-और-प्रभाव संबंधों का पता लगाना संभव नहीं है। इसलिए, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि जटिल प्रणालियों में रखरखाव यादृच्छिक होता है।

सीएमओ के उदाहरण (तालिका 30.1 देखें) में शामिल हैं: बस मार्ग और यात्री परिवहन; प्रसंस्करण भागों के लिए उत्पादन कन्वेयर; विदेशी क्षेत्र में उड़ान भरने वाले विमानों का एक स्क्वाड्रन, जिसे वायु रक्षा विमान भेदी बंदूकों द्वारा "सेवा" दी जाती है; मशीन गन का बैरल और हॉर्न, जो कारतूसों की "सेवा" करता है; किसी उपकरण आदि में विद्युत आवेशों का घूमना।

तालिका 30.1. कतारबद्ध प्रणालियों के उदाहरण

अनुप्रयोग चैनल बस मार्ग और यात्री परिवहन यात्रियों बसों प्रसंस्करण भागों के लिए उत्पादन कन्वेयर भाग, अवयव मशीन टूल्स, गोदाम विदेशी क्षेत्र में उड़ान भरने वाले विमानों का एक दस्ता, जिसे वायु रक्षा विमानभेदी तोपों द्वारा "सेवा" दी जाती है हवाई जहाज विमान भेदी बंदूकें, रडार, तीर, गोले मशीन गन का बैरल और हॉर्न, जो कारतूसों की "सेवा" करते हैं बैरल, सींग किसी उपकरण में विद्युत आवेश घूम रहा है तकनीकी उपकरणों के कैस्केड

लेकिन इन सभी प्रणालियों को क्यूएस के एक वर्ग में संयोजित किया गया है, क्योंकि उनके अध्ययन का दृष्टिकोण समान है। इसमें यह तथ्य शामिल है कि, सबसे पहले, एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर की मदद से, यादृच्छिक संख्याएं खींची जाती हैं जो आदेशों की उपस्थिति के यादृच्छिक क्षणों और चैनलों में उनकी सेवा के समय का अनुकरण करती हैं। लेकिन कुल मिलाकर, ये यादृच्छिक संख्याएँ, निश्चित रूप से, अधीन हैं सांख्यिकीयपैटर्न.

उदाहरण के लिए, यह कहा जाए: "औसतन, आवेदन प्रति घंटे 5 टुकड़ों की मात्रा में आते हैं।" इसका मतलब यह है कि दो पड़ोसी अनुरोधों के आगमन के बीच का समय यादृच्छिक है, उदाहरण के लिए: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 30.1, लेकिन कुल मिलाकर वे 1 का औसत देते हैं (ध्यान दें कि उदाहरण में यह बिल्कुल 1 नहीं है, बल्कि 1.1 है - लेकिन दूसरे घंटे में यह योग, उदाहरण के लिए, 0.9 के बराबर हो सकता है); लेकिन केवल काफी लंबे समय तकइन नंबरों का औसत एक घंटे के करीब हो जाएगा.

परिणाम (उदाहरण के लिए, सिस्टम थ्रूपुट), निश्चित रूप से, व्यक्तिगत समय अंतराल पर एक यादृच्छिक चर भी होगा। लेकिन लंबी अवधि में मापा गया यह मान, औसतन, सटीक समाधान के अनुरूप होगा। अर्थात्, क्यूएस को चिह्नित करने के लिए, वे सांख्यिकीय अर्थों में उत्तरों में रुचि रखते हैं।

इसलिए, किसी दिए गए सांख्यिकीय कानून के अधीन, सिस्टम को यादृच्छिक इनपुट संकेतों के साथ परीक्षण किया जाता है, और परिणाम विचार के समय या प्रयोगों की संख्या पर औसत सांख्यिकीय संकेतक होता है। पहले, में व्याख्यान 21(सेमी। चावल। 21.1), हमने पहले ही ऐसे सांख्यिकीय प्रयोग के लिए एक योजना विकसित कर ली है (चित्र 30.2 देखें)।

दूसरे, सभी क्यूएस मॉडल तत्वों के एक छोटे सेट (चैनल, अनुरोधों का स्रोत, कतार, अनुरोध, सेवा अनुशासन, स्टैक, रिंग, आदि) से एक मानक तरीके से इकट्ठे किए जाते हैं, जो आपको इन कार्यों का अनुकरण करने की अनुमति देता है। ठेठरास्ता। ऐसा करने के लिए, ऐसे तत्वों के कंस्ट्रक्टर से एक सिस्टम मॉडल इकट्ठा किया जाता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस विशिष्ट प्रणाली का अध्ययन किया जा रहा है, यह महत्वपूर्ण है कि सिस्टम आरेख समान तत्वों से इकट्ठा किया गया हो। बेशक, सर्किट की संरचना हमेशा अलग होगी।

आइए QS की कुछ बुनियादी अवधारणाओं को सूचीबद्ध करें।

चैनल वे हैं जो सेवा करते हैं; गर्म (वे चैनल में प्रवेश करते ही अनुरोध की सेवा शुरू कर देते हैं) और ठंडे (चैनल को सर्विसिंग शुरू होने से पहले तैयारी के लिए समय की आवश्यकता होती है)। ऑर्डर स्रोत - उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट सांख्यिकीय कानून के अनुसार, यादृच्छिक समय पर ऑर्डर उत्पन्न करें। एप्लिकेशन, जिन्हें क्लाइंट के रूप में भी जाना जाता है, सिस्टम में प्रवेश करते हैं (एप्लिकेशन स्रोतों द्वारा उत्पन्न), इसके तत्वों से गुजरते हैं (सर्विस किए जाते हैं), और इसे सेवित या असंतुष्ट छोड़ देते हैं। अधीर आवेदन हैं - वे जो इंतजार करते-करते या सिस्टम में रहकर थक गए हैं और जो अपनी मर्जी से सीएमओ छोड़ देते हैं। एप्लिकेशन फॉर्म प्रवाह - सिस्टम इनपुट पर एप्लिकेशन का प्रवाह, सेवित एप्लिकेशन का प्रवाह, अस्वीकृत एप्लिकेशन का प्रवाह। प्रवाह की विशेषता समय की प्रति इकाई (घंटा, दिन, महीना) क्यूएस के एक निश्चित स्थान पर देखे गए एक निश्चित प्रकार के अनुप्रयोगों की संख्या से होती है, अर्थात प्रवाह एक सांख्यिकीय मात्रा है।

कतारों की विशेषता कतार के नियमों (सेवा अनुशासन), कतार में स्थानों की संख्या (कतार में हो सकने वाले ग्राहकों की अधिकतम संख्या), और कतार की संरचना (कतार में स्थानों के बीच संबंध) से होती है। सीमित और असीमित कतारें हैं। आइए सबसे महत्वपूर्ण रखरखाव विषयों की सूची बनाएं। फीफो (फर्स्ट इन, फर्स्ट आउट - फर्स्ट इन, फर्स्ट आउट): यदि अनुरोध कतार में सबसे पहले आता है, तो यह सेवा के लिए जाने वाला पहला होगा। LIFO (अंतिम अंदर, पहले बाहर - आखिरी अंदर, पहले बाहर): यदि अनुरोध कतार में आने वाला आखिरी था, तो यह सेवा के लिए जाने वाला पहला व्यक्ति होगा (उदाहरण - मशीन गन के हॉर्न में कारतूस)। एसएफ (शॉर्ट फॉरवर्ड): कतार से वे अनुरोध जिनकी सेवा का समय कम है, उन्हें पहले पूरा किया जाता है।

आइए हम एक आकर्षक उदाहरण दें जो दर्शाता है कि कैसे एक या दूसरे सेवा अनुशासन का सही विकल्प आपको महत्वपूर्ण समय की बचत प्राप्त करने की अनुमति देता है।

दो दुकानें हो जाएं. स्टोर नंबर 1 में, सेवा पहले आओ, पहले पाओ के आधार पर की जाती है, अर्थात, FIFO सेवा अनुशासन यहां लागू किया जाता है (चित्र 30.3 देखें)।

सेवा का समय टीसेवा चित्र में 30.3 दर्शाता है कि विक्रेता एक खरीदार को सेवा देने में कितना समय व्यतीत करेगा। यह स्पष्ट है कि एक टुकड़ा उत्पाद खरीदते समय, विक्रेता थोक उत्पादों को खरीदने की तुलना में सेवा पर कम समय खर्च करेगा, जिसमें अतिरिक्त हेरफेर (चुनना, वजन करना, कीमत की गणना करना आदि) की आवश्यकता होती है। इंतज़ार का समय टीअपेक्षित यह दर्शाता है कि अगले खरीदार को विक्रेता द्वारा सेवा प्रदान करने में कितना समय लगेगा।

स्टोर नंबर 2 में, एसएफ अनुशासन लागू किया गया है (चित्र 30.4 देखें), जिसका अर्थ है कि सेवा समय के बाद से टुकड़ा सामान बिना बारी के खरीदा जा सकता है। टीसेवा ऐसी खरीदारी छोटी है.

जैसा कि दोनों आंकड़ों से देखा जा सकता है, अंतिम (पांचवां) खरीदार एक टुकड़ा उत्पाद खरीदने जा रहा है, इसलिए उसकी सेवा का समय कम है - 0.5 मिनट। यदि यह ग्राहक स्टोर नंबर 1 पर आता है, तो उसे पूरे 8 मिनट तक लाइन में खड़े रहने के लिए मजबूर किया जाएगा, जबकि स्टोर नंबर 2 पर उसे लाइन से बाहर तुरंत सेवा दी जाएगी। इस प्रकार, FIFO सेवा अनुशासन वाले स्टोर में प्रत्येक ग्राहक के लिए औसत सेवा समय 4 मिनट होगा, और HF सेवा अनुशासन वाले स्टोर में - केवल 2.8 मिनट। और सामाजिक लाभ, समय की बचत होगी: (1 - 2.8/4) · 100% = 30 प्रतिशत! इस प्रकार, समाज के लिए 30% समय की बचत हुई - और यह केवल सेवा अनुशासन के सही विकल्प के कारण है।

सिस्टम विशेषज्ञ को उसके द्वारा डिज़ाइन किए गए सिस्टम के प्रदर्शन और दक्षता संसाधनों की गहन समझ होनी चाहिए जो मापदंडों, संरचनाओं और रखरखाव विषयों के अनुकूलन में छिपे हुए हैं। मॉडलिंग इन छिपे हुए भंडारों को पहचानने में मदद करती है।

मॉडलिंग परिणामों का विश्लेषण करते समय, रुचियों और उनकी पूर्ति की सीमा को इंगित करना भी महत्वपूर्ण है। क्लाइंट के हितों और सिस्टम मालिक के हितों के बीच अंतर किया जाता है। ध्यान दें कि ये रुचियां हमेशा मेल नहीं खातीं।

क्यूएस के प्रदर्शन को संकेतकों द्वारा आंका जा सकता है। उनमें से सबसे लोकप्रिय:

सिस्टम द्वारा ग्राहक सेवा की संभावना;

सिस्टम थ्रूपुट;

किसी ग्राहक को सेवा से वंचित किए जाने की संभावना;

प्रत्येक चैनल और उन सभी के एक साथ रोजगार की संभावना;

प्रत्येक चैनल का औसत व्यस्त समय;

सभी चैनलों के अधिभोग की संभावना;

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

प्रत्येक चैनल के लिए डाउनटाइम की संभावना;

पूरे सिस्टम के डाउनटाइम की संभावना;

कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

कतार में किसी आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग का औसत समय;

किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय।

परिणामी प्रणाली की गुणवत्ता को संकेतक मूल्यों की समग्रता से आंका जाना चाहिए। मॉडलिंग परिणामों (संकेतकों) का विश्लेषण करते समय, ग्राहक के हितों और सिस्टम मालिक के हितों पर ध्यान देना भी महत्वपूर्ण है, यानी, एक या दूसरे संकेतक को कम या अधिकतम किया जाना चाहिए, साथ ही उनके कार्यान्वयन की डिग्री भी। . ध्यान दें कि अक्सर ग्राहक और मालिक के हित एक-दूसरे से मेल नहीं खाते हैं या हमेशा मेल नहीं खाते हैं। हम नीचे दिए गए संकेतकों को निरूपित करेंगे एच = { एच 1 , एच 2 , …} .

क्यूएस के पैरामीटर हो सकते हैं: अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता, सेवा प्रवाह की तीव्रता, औसत समय जिसके दौरान अनुरोध कतार में सेवा के लिए प्रतीक्षा करने के लिए तैयार है, सेवा चैनलों की संख्या, सेवा अनुशासन, और जल्द ही। पैरामीटर वे हैं जो सिस्टम के प्रदर्शन को प्रभावित करते हैं। हम नीचे दिए गए मापदंडों को इस प्रकार निरूपित करेंगे आर = { आर 1 , आर 2 , …} .

उदाहरण। गैस स्टेशन (गैस स्टेशन)।

1. समस्या का विवरण. चित्र में. चित्र 30.5 गैस स्टेशन का लेआउट दिखाता है। आइए इसके उदाहरण और इसके अनुसंधान की योजना का उपयोग करके क्यूएस को मॉडलिंग करने की विधि पर विचार करें। सड़क पर गैस स्टेशनों से गुजरने वाले ड्राइवर अपने वाहन में ईंधन भरना चाह सकते हैं। सभी मोटर चालक सेवा प्राप्त नहीं करना चाहते (अपनी कार में गैसोलीन भरवाना); आइए मान लें कि कारों के पूरे प्रवाह में से, प्रति घंटे औसतन 5 कारें गैस स्टेशन पर आती हैं।

एक गैस स्टेशन पर दो समान स्तंभ होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का सांख्यिकीय प्रदर्शन ज्ञात होता है। पहला कॉलम औसतन प्रति घंटे 1 कार परोसता है, दूसरा औसतन - प्रति घंटे 3 कारें। गैस स्टेशन के मालिक ने कारों के लिए एक जगह बनाई है जहाँ वे सेवा के लिए प्रतीक्षा कर सकते हैं। यदि पंपों पर कब्जा है, तो अन्य कारें इस स्थान पर सेवा के लिए प्रतीक्षा कर सकती हैं, लेकिन एक समय में दो से अधिक नहीं। हम कतार को सामान्य मानेंगे. जैसे ही स्तंभों में से एक खाली होता है, कतार में पहली कार स्तंभ पर अपना स्थान ले सकती है (जबकि दूसरी कार कतार में पहले स्थान पर चली जाती है)। यदि कोई तीसरी कार आती है, और कतार में सभी स्थानों (उनमें से दो हैं) पर कब्जा कर लिया जाता है, तो उसे सेवा से वंचित कर दिया जाता है, क्योंकि सड़क पर खड़ा होना निषिद्ध है (गैस स्टेशन के पास सड़क के संकेत देखें)। ऐसी कार हमेशा के लिए सिस्टम छोड़ देती है और, एक संभावित ग्राहक के रूप में, गैस स्टेशन के मालिक के लिए खो जाती है। आप कैश रजिस्टर (एक अन्य सेवा चैनल, जहां आपको किसी एक कॉलम में सर्विसिंग के बाद प्राप्त करने की आवश्यकता है) और इसके लिए कतार, इत्यादि पर विचार करके कार्य को जटिल बना सकते हैं। लेकिन सबसे सरल संस्करण में, यह स्पष्ट है कि क्यूएस के माध्यम से अनुप्रयोगों के प्रवाह पथ को समकक्ष आरेख के रूप में दर्शाया जा सकता है, और क्यूएस के प्रत्येक तत्व की विशेषताओं के मूल्यों और पदनामों को जोड़कर, हम अंततः चित्र में दिखाया गया चित्र प्राप्त करें। 30.6.

2. एसएमओ अनुसंधान विधि. हमारे उदाहरण में, हम आदेशों की क्रमिक पोस्टिंग के सिद्धांत को लागू करेंगे (मॉडलिंग के सिद्धांतों पर विवरण के लिए, देखें) व्याख्यान 32). इसका विचार यह है कि एक एप्लिकेशन को प्रवेश से निकास तक पूरे सिस्टम से गुजारा जाता है, और उसके बाद ही अगला एप्लिकेशन तैयार किया जाता है।

स्पष्टता के लिए, आइए क्यूएस ऑपरेशन का एक समय आरेख बनाएं, जो प्रत्येक पंक्ति (समय अक्ष) पर प्रतिबिंबित हो टी) सिस्टम के एक व्यक्तिगत तत्व की स्थिति। क्यूएस और प्रवाह में जितनी अलग-अलग जगहें हैं उतनी ही समय रेखाएं हैं। हमारे उदाहरण में, उनमें से 7 हैं (अनुरोधों का प्रवाह, कतार में पहले स्थान पर एक प्रतीक्षा थ्रेड, कतार में दूसरे स्थान पर एक प्रतीक्षा थ्रेड, चैनल 1 में एक सेवा प्रवाह, चैनल 2 में एक सेवा प्रवाह) , सिस्टम द्वारा दिए गए अनुरोधों का प्रवाह, अस्वीकृत अनुरोधों का प्रवाह)।

अनुरोधों के आगमन का समय उत्पन्न करने के लिए, हम दो यादृच्छिक घटनाओं के आगमन के समय के बीच के अंतराल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं (देखें)। व्याख्यान 28):

इस सूत्र में, प्रवाह मान λ निर्दिष्ट किया जाना चाहिए (इससे पहले इसे सांख्यिकीय औसत के रूप में सुविधा पर प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए), आर- आरएनजी से 0 से 1 तक यादृच्छिक समान रूप से वितरित संख्या टेबल, जिसमें यादृच्छिक संख्याओं को एक पंक्ति में लिया जाना चाहिए (विशेष चयन के बिना)।

काम। 5 पीसी/घंटा की घटना दर के साथ 10 यादृच्छिक घटनाओं की एक स्ट्रीम उत्पन्न करें।

समस्या का समाधान. आइए 0 से 1 तक की सीमा में समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याएँ लें (देखें)। मेज़), और उनके प्राकृतिक लघुगणक की गणना करें (तालिका 30.2 देखें)।

तालिका 30.2. यादृच्छिक संख्याओं और उनके लघुगणक की तालिका का टुकड़ा

आर पीपी एलएन(आर पीपी )

पॉइसन प्रवाह सूत्र दो यादृच्छिक घटनाओं के बीच की दूरी को निम्नानुसार निर्धारित करता है: टी= -Ln(r рр)/ λ . फिर, वह दिया λ = 5, हमारे पास दो यादृच्छिक पड़ोसी घटनाओं के बीच की दूरी है: 0.68, 0.21, 0.31, 0.12 घंटे। अर्थात्, घटनाएँ घटित होती हैं: प्रथम - समय के क्षण में टी= 0, दूसरा - समय के क्षण में टी= 0.68, तीसरा - समय के क्षण में टी= 0.89, चौथा - समय के क्षण में टी= 1.20, पाँचवाँ - समय के क्षण में टी= 1.32 इत्यादि। घटनाएँ - ऑर्डर का आगमन पहली पंक्ति पर प्रतिबिंबित होगा (चित्र 30.7 देखें)।

चावल। 30.7. क्यूएस ऑपरेशन का समय आरेख

पहला अनुरोध स्वीकार कर लिया गया है और चूंकि इस समय चैनल मुफ़्त हैं, इसलिए इसे पहले चैनल की सेवा देने के लिए सेट किया गया है। एप्लिकेशन 1 को "1 चैनल" लाइन में स्थानांतरित कर दिया गया है।

चैनल में सेवा समय भी यादृच्छिक है और इसकी गणना एक समान सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहां तीव्रता की भूमिका सेवा प्रवाह के आकार द्वारा निभाई जाती है μ 1 या μ 2, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन सा चैनल अनुरोध को पूरा करता है। हम आरेख पर सेवा के अंत का क्षण पाते हैं, सेवा शुरू होने के क्षण से उत्पन्न सेवा समय को स्थगित करते हैं, और अनुरोध को "सेवा" लाइन पर कम करते हैं।

आवेदन सीएमओ तक गया। अब, आदेशों की अनुक्रमिक पोस्टिंग के सिद्धांत के अनुसार, दूसरे आदेश के पथ का अनुकरण करना भी संभव है।

यदि किसी बिंदु पर यह पता चलता है कि दोनों चैनल व्यस्त हैं, तो अनुरोध को एक कतार में रखा जाना चाहिए। चित्र में. 30.7 संख्या 3 के साथ एक अनुरोध है। ध्यान दें कि समस्या की शर्तों के अनुसार, चैनलों के विपरीत, अनुरोध यादृच्छिक समय के लिए कतार में नहीं हैं, बल्कि किसी एक चैनल के मुक्त होने की प्रतीक्षा कर रहे हैं। चैनल जारी होने के बाद, अनुरोध को संबंधित चैनल की लाइन पर उठाया जाता है और उसकी सर्विसिंग वहां आयोजित की जाती है।

यदि अगला आवेदन आने के समय कतार में सभी स्थानों पर कब्जा हो गया है, तो आवेदन को "अस्वीकृत" लाइन पर भेजा जाना चाहिए। चित्र में. 30.7 आवेदन क्रमांक 6 है।

एप्लिकेशन सर्विसिंग के अनुकरण की प्रक्रिया कुछ अवलोकन समय तक जारी रहती है। टीएन। इस बार जितना अधिक समय लगेगा, भविष्य में सिमुलेशन परिणाम उतने ही अधिक सटीक होंगे। वास्तव में, वे सरल प्रणालियों को चुनते हैं टी n, 50-100 या अधिक घंटों के बराबर, हालांकि कभी-कभी इस मान को समीक्षा किए गए आवेदनों की संख्या से मापना बेहतर होता है।

कतारबद्ध प्रणालियों (क्यूएस) का विश्लेषणात्मक अनुसंधान सिमुलेशन मॉडलिंग के लिए एक दृष्टिकोण विकल्प है, और इसमें क्यूएस के आउटपुट मापदंडों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करना और फिर प्रत्येक व्यक्तिगत प्रयोग में इन सूत्रों में तर्कों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करना शामिल है।

QS मॉडल निम्नलिखित वस्तुओं पर विचार करते हैं:

1) सेवा अनुरोध (लेनदेन);

2) सेवा उपकरण (OA), या उपकरण।

कतारबद्ध सिद्धांत का व्यावहारिक कार्य इन वस्तुओं द्वारा संचालन के अध्ययन से जुड़ा है और इसमें व्यक्तिगत तत्व शामिल हैं जो यादृच्छिक कारकों से प्रभावित होते हैं।

कतार सिद्धांत में विचार की जाने वाली समस्याओं के उदाहरणों में शामिल हैं: डेटा ट्रांसमिशन चैनल के साथ संदेश स्रोत की क्षमता का मिलान करना, शहरी परिवहन के इष्टतम प्रवाह का विश्लेषण करना, हवाई अड्डे पर यात्रियों के लिए प्रतीक्षा कक्ष की क्षमता की गणना करना आदि।

अनुरोध या तो सेवा स्थिति में या सेवा लंबित स्थिति में हो सकता है।

सर्विसिंग उपकरण या तो सर्विसिंग में व्यस्त हो सकता है या खाली हो सकता है।

क्यूएस की स्थिति को सर्विसिंग उपकरणों और अनुरोधों की स्थिति के एक सेट द्वारा दर्शाया जाता है। QS में स्थिति में बदलाव को एक घटना कहा जाता है।

क्यूएस मॉडल का उपयोग सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है जब अनुरोधों का प्रवाह इनपुट पर सबमिट किया जाता है। ये प्रक्रियाएँ घटनाओं का एक क्रम हैं।

QS का सबसे महत्वपूर्ण आउटपुट पैरामीटर

प्रदर्शन

बैंडविड्थ

सेवा से इनकार की संभावना

औसत सेवा समय;

उपकरण लोड फैक्टर (OA)।

एप्लिकेशन उत्पादों के उत्पादन के लिए ऑर्डर, कंप्यूटर सिस्टम में हल की गई समस्याएं, बैंकों में ग्राहक, परिवहन के लिए प्राप्त सामान आदि हो सकते हैं। जाहिर है, सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों के पैरामीटर यादृच्छिक चर होते हैं और अनुसंधान या डिजाइन के दौरान केवल उनके वितरण के नियम होते हैं। .

इस संबंध में, सिस्टम स्तर पर कामकाज का विश्लेषण, एक नियम के रूप में, प्रकृति में सांख्यिकीय है। गणितीय मॉडलिंग उपकरण के रूप में कतारबद्धता के सिद्धांत को अपनाना और इस स्तर पर सिस्टम के मॉडल के रूप में कतारबद्ध प्रणालियों का उपयोग करना सुविधाजनक है।

QS का सबसे सरल मॉडल

सबसे सरल मामले में, क्यूएस एक उपकरण है जिसे सेवा उपकरण (एसए) कहा जाता है, जिसमें इनपुट पर अनुरोधों की कतार होती है।

ग्राहक सेवा मॉडल (चित्र 5.1)

चावल। 5.1. विफलताओं के साथ QS मॉडल:

0 - अनुरोधों का स्रोत;

1 - सेवा उपकरण;

ए- सेवा के लिए अनुरोधों का इनपुट प्रवाह;

वी- दिए गए अनुरोधों की आउटपुट स्ट्रीम;

साथ- असंसाधित अनुरोधों की आउटपुट स्ट्रीम।

इस मॉडल में, OA इनपुट पर कोई मांग संचायक नहीं है। यदि कोई अनुरोध स्रोत 0 से उस समय आता है जब OA पिछले अनुरोध को पूरा करने में व्यस्त है, तो नया आया अनुरोध सिस्टम छोड़ देता है (क्योंकि यह सेवा से वंचित है) और खो जाता है (प्रवाह साथ).

एम ओ डी ई एल ओ एफ ओ आर एम ई एन टी आई एन जी (चित्र 5.2)

चावल। 5.2. उम्मीद के साथ क्यूएस मॉडल

(एन- 1)- स्टोरेज में फिट हो सकने वाले एप्लिकेशन की संख्या

इस मॉडल में OA इनपुट पर एक मांग संचायक होता है। यदि कोई अनुरोध स्रोत 0 से उस समय आता है जब OA पिछले अनुरोध को पूरा करने में व्यस्त है, तो नया आया हुआ अनुरोध भंडारण इकाई में समाप्त हो जाता है, जहां वह OA मुक्त होने तक अनिश्चित काल तक प्रतीक्षा करता है।

सीमित समय के साथ सेवा मॉडल

ओ डब्ल्यू आई डी ए एन आई ए (चित्र 5.3)

चावल। 5.4. विफलताओं के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस मॉडल:

एन– समान सेवा उपकरणों की संख्या (उपकरण)

इस मॉडल में एक OA नहीं, बल्कि कई OA हैं। आवेदन, जब तक कि विशेष रूप से न कहा गया हो, सेवा से मुक्त किसी भी OA को प्रस्तुत किया जा सकता है। कोई भंडारण उपकरण नहीं है, इसलिए इस मॉडल में चित्र में दिखाए गए मॉडल के गुण शामिल हैं। 5.1: किसी आवेदन को सेवा देने से इंकार करने का मतलब उसकी अपूरणीय हानि है (यह तभी होता है, जब इस आवेदन के आगमन के समय, सभी OA व्यस्त हैं)।

डब्ल्यू एइटिंग टाइम (चित्र 5.5)

चावल। 5.6. OA की अपेक्षा और बहाली के साथ SMO का मल्टीचैनल मॉडल:

इ- सेवा उपकरण जो क्रम से बाहर हैं;

एफ- नवीनीकृत सेवा उपकरण

इस मॉडल में चित्र में प्रस्तुत मॉडल के गुण हैं। 5.2 और 5.4, और इसके अतिरिक्त गुण जो ओए की संभावित यादृच्छिक विफलताओं को ध्यान में रखना संभव बनाते हैं, जो इस मामले में मरम्मत इकाई 2 पर पहुंचते हैं, जहां वे अपनी बहाली पर खर्च किए गए समय की यादृच्छिक अवधि के लिए रहते हैं, और फिर वापस आते हैं फिर से सेवा इकाई 1 पर।

लिमिटेड के साथ एसएमओ का मल्टी-चैनल मॉडल

OA की प्रतीक्षा और पुनर्प्राप्ति का समय (चित्र 5.7)

चावल। 5.7. सीमित विलंबता और OA पुनर्प्राप्ति के साथ मल्टी-चैनल QS मॉडल

यह मॉडल काफी जटिल है, क्योंकि यह एक साथ दो बहुत सरल मॉडल (चित्र 5.5 और 5.6) के गुणों को ध्यान में रखता है।

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परिचय

अध्याय 1. सैद्धांतिक भाग

1.1 विफलताओं के साथ कतारबद्ध प्रणालियाँ

1.2 कतारबद्ध प्रणालियों की मॉडलिंग

1.3 विफलताओं वाला सबसे सरल क्यूएस

1.4 विफलताओं के साथ एकल-चैनल क्यूएस

1.5 मल्टीचैनल क्यूएस विफलताओं के साथ

1.6 सीमित कतार लंबाई के साथ एकल-चैनल क्यूएस

1.7 असीमित कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस

1.8 सीमित कतार लंबाई के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस

1.9 असीमित कतार के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस

1.10 क्यूएस मॉडलिंग एल्गोरिदम

अध्याय 2. व्यावहारिक भाग

अध्याय 3. सुरक्षा नियम

निष्कर्ष

प्रयुक्त संदर्भों की सूची

परिचय

हाल ही में, अभ्यास के विभिन्न क्षेत्रों में, तथाकथित कतार प्रणाली (क्यूएस) के संचालन से संबंधित विभिन्न संभाव्य समस्याओं को हल करने की आवश्यकता उत्पन्न हुई है।

ऐसी प्रणालियों के उदाहरणों में शामिल हैं: टेलीफोन एक्सचेंज, मरम्मत की दुकानें, टिकट कार्यालय, टैक्सी स्टैंड, हेयरड्रेसर, आदि।

इस पाठ्यक्रम परियोजना का विषय बिल्कुल ऐसी ही समस्या का समाधान है।

हालाँकि, प्रस्तावित समस्या में, एक QS का अध्ययन किया जाएगा जिसमें अनुरोधों की 2 धाराओं पर विचार किया जाएगा, जिनमें से एक को प्राथमिकता दी जाएगी।

इसके अलावा, विचाराधीन प्रक्रियाएं गैर-मार्कोवियन हैं, क्योंकि समय कारक महत्वपूर्ण है.

इसलिए, इस समस्या का समाधान सिस्टम के विश्लेषणात्मक विवरण पर नहीं, बल्कि सांख्यिकीय मॉडलिंग पर आधारित है।

पाठ्यक्रम कार्य का उद्देश्य कतार प्रणाली के रूप में मुख्य उपकरण के प्रतिनिधित्व के आधार पर उत्पादन प्रक्रिया को मॉडल करना है।

लक्ष्य प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्य निर्धारित किए गए: - उत्पादन प्रक्रिया प्रबंधन की विशेषताओं का विश्लेषण करें; - समय के साथ उत्पादन प्रक्रिया के संगठन पर विचार करें; - उत्पादन चक्र की अवधि को कम करने के लिए मुख्य विकल्प प्रदान करें;

उद्यम में उत्पादन प्रक्रिया प्रबंधन विधियों का विश्लेषण करना;

क्यूएमएस सिद्धांत का उपयोग करके उत्पादन प्रक्रिया के मॉडलिंग की विशेषताओं पर विचार करें;

उत्पादन प्रक्रिया का एक मॉडल विकसित करें और क्यूएस की मुख्य विशेषताओं का मूल्यांकन करें, और इसके आगे के सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन के लिए संभावनाएं प्रदान करें।

सैद्धांतिक ज्ञान को समेकित करना और इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग में कौशल प्राप्त करना;

रिपोर्ट में एक परिचय, तीन अध्याय, एक निष्कर्ष, संदर्भों की एक सूची और परिशिष्ट शामिल हैं।

दूसरा अध्याय कतार प्रणाली की सैद्धांतिक सामग्री पर चर्चा करता है। और तीसरे में हम कतारबद्ध प्रणालियों की समस्या की गणना करते हैं।

अध्याय 1. सैद्धांतिक भाग

1.1 कतारबद्ध प्रणालीसीविफलताएं

क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) कोई भी सिस्टम है जिसे यादृच्छिक समय पर आने वाले किसी भी एप्लिकेशन (आवश्यकताओं) को पूरा करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। सर्विसिंग अनुरोधों में सीधे शामिल किसी भी उपकरण को सर्विस चैनल (या "डिवाइस") कहा जाता है। एसएमओ एकल या मल्टी-चैनल हो सकते हैं।

विफलताओं के साथ क्यूएस और कतार के साथ क्यूएस हैं। रिफ्यूज़ल वाले क्यूएस में, एक एप्लिकेशन जो ऐसे समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, उसे रिफ्यूज़ल मिलता है, क्यूएस छोड़ देता है, और बाद में उसके काम में भाग नहीं लेता है। कतार वाले क्यूएस में, एक अनुरोध जो तब आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, क्यूएस को नहीं छोड़ता है, बल्कि कतार में आ जाता है और कुछ चैनल के मुक्त होने तक प्रतीक्षा करता है। कतार m में स्थानों की संख्या सीमित या असीमित हो सकती है। एम=0 पर, कतार वाला क्यूएस विफलताओं वाले क्यूएस में बदल जाता है। कतार में न केवल उसमें खड़े अनुप्रयोगों की संख्या (कतार की लंबाई) पर प्रतिबंध हो सकता है, बल्कि प्रतीक्षा समय पर भी (ऐसे क्यूएस को "अधीर ग्राहकों वाले सिस्टम" कहा जाता है)।

क्यूएस का विश्लेषणात्मक अध्ययन सबसे सरल है यदि घटनाओं के सभी प्रवाह जो इसे एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करते हैं, सबसे सरल (स्थिर पॉइसन) हैं। इसका मतलब यह है कि प्रवाह में घटनाओं के बीच के समय अंतराल में संबंधित प्रवाह की तीव्रता के बराबर पैरामीटर के साथ एक घातांकीय वितरण होता है। क्यूएस के लिए, इस धारणा का अर्थ है कि अनुरोध प्रवाह और सेवा प्रवाह दोनों सरलतम हैं। सेवा प्रवाह को एक लगातार व्यस्त चैनल द्वारा एक के बाद एक दिए गए अनुरोधों के प्रवाह के रूप में समझा जाता है। यह प्रवाह सबसे सरल तभी होता है जब अनुरोध सर्विसिंग समय घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर होता है। इस वितरण का पैरामीटर m औसत सेवा समय का व्युत्क्रम है:

वाक्यांश "सेवा प्रवाह सबसे सरल है" के बजाय, वे अक्सर कहते हैं "सेवा समय सांकेतिक है।" कोई भी QS जिसमें सभी प्रवाह सबसे सरल हों, सरलतम QS कहलाता है।

यदि घटनाओं के सभी प्रवाह सबसे सरल हैं, तो क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया अलग-अलग स्थितियों और निरंतर समय के साथ एक मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया है। यदि इस प्रक्रिया के लिए कुछ शर्तें पूरी की जाती हैं, तो एक अंतिम स्थिर व्यवस्था होती है जिसमें राज्यों की संभावनाएं और प्रक्रिया की अन्य विशेषताएं दोनों समय पर निर्भर नहीं होती हैं।

QS मॉडल आधुनिक कंप्यूटिंग सिस्टम के अलग-अलग सबसिस्टम, जैसे प्रोसेसर सबसिस्टम - मुख्य मेमोरी, इनपुट-आउटपुट चैनल, आदि का वर्णन करने के लिए सुविधाजनक हैं।

समग्र रूप से एक कंप्यूटिंग प्रणाली परस्पर जुड़े उपप्रणालियों का एक संग्रह है, जिनकी परस्पर क्रिया प्रकृति में संभाव्य होती है। कंप्यूटिंग सिस्टम में प्रवेश करने वाली एक निश्चित समस्या को हल करने के लिए एक एप्लिकेशन गिनती के चरणों, बाहरी भंडारण उपकरणों और इनपुट-आउटपुट उपकरणों तक पहुंचने के अनुक्रम से गुजरता है।

ऐसे चरणों का एक निश्चित क्रम पूरा करने के बाद, जिसकी संख्या और अवधि कार्यक्रम की जटिलता पर निर्भर करती है, अनुरोध को सेवित माना जाता है और कंप्यूटर सिस्टम को छोड़ देता है।

इस प्रकार, समग्र रूप से कंप्यूटिंग प्रणाली को क्यूएस के एक सेट द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक व्यक्तिगत डिवाइस या समान उपकरणों के समूह के कामकाज की प्रक्रिया को दर्शाता है जो सिस्टम का हिस्सा हैं।

कतारबद्ध सिद्धांत का कार्य क्यूएस के विभिन्न राज्यों की संभावनाओं का पता लगाना है, साथ ही दिए गए मापदंडों (चैनलों की संख्या एन, अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता एन, सेवा समय का वितरण, आदि) के बीच संबंध स्थापित करना है। .) और QS की प्रदर्शन विशेषताएँ। ऐसी विशेषताओं पर विचार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित:

समय की प्रति इकाई क्यूएस द्वारा दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या, या क्यूएस की पूर्ण क्षमता;

आने वाले अनुरोध Q या QS की सापेक्ष क्षमता को पूरा करने की संभावना; क्यू = ए/एल;

रोटक की विफलता की संभावना, अर्थात्। संभावना है कि प्राप्त आवेदन की सेवा नहीं ली जाएगी और उसे अस्वीकार कर दिया जाएगा; रोटक= 1 - क्यू;

क्यूएस में आवेदनों की औसत संख्या (प्रस्तुत या कतार में प्रतीक्षारत);

कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

किसी एप्लिकेशन के QS में रहने का औसत समय (कतार में या सेवा में);

किसी एप्लिकेशन द्वारा कतार में बिताया गया औसत समय;

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या.

सामान्यतः ये सभी विशेषताएँ समय पर निर्भर करती हैं। लेकिन कई स्व-सेवा प्रणालियाँ काफी लंबे समय तक निरंतर परिस्थितियों में काम करती हैं, और इसलिए उनके लिए स्थिर के करीब एक शासन स्थापित किया जा सकता है।

हम यहां हर बार इसे विशेष रूप से निर्धारित किए बिना, राज्यों की अंतिम संभावनाओं और इसके संचालन के सीमित स्थिर मोड से संबंधित क्यूएस की दक्षता की अंतिम विशेषताओं की गणना करेंगे।

एक क्यूएस को खुला कहा जाता है यदि उस पर आने वाले अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता क्यूएस की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है।

सीमित स्थिर मोड में किसी भी खुले क्यूएस के लिए, सिस्टम में दावे का औसत रहने का समय लिटिल के सूत्र का उपयोग करके सिस्टम में दावों की औसत संख्या के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:

जहां एल अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता है।

एक समान सूत्र (जिसे लिटिल का सूत्र भी कहा जाता है) किसी एप्लिकेशन द्वारा कतार में बिताए गए औसत समय और कतार में आवेदनों की औसत संख्या से संबंधित होता है:

लिटिल के सूत्र बहुत उपयोगी हैं क्योंकि वे आपको दोनों दक्षता विशेषताओं (औसत निवास समय और अनुप्रयोगों की औसत संख्या) की गणना करने की अनुमति नहीं देते हैं, बल्कि उनमें से केवल एक की गणना करने की अनुमति देते हैं।

हम विशेष रूप से इस बात पर जोर देते हैं कि सूत्र (1) और (2) किसी भी खुले क्यूएस (एकल-चैनल, मल्टी-चैनल, किसी भी प्रकार के अनुरोध प्रवाह और सेवा प्रवाह के लिए) के लिए मान्य हैं; एप्लिकेशन प्रवाह और सेवाओं के लिए एकमात्र आवश्यकता यह है कि वे स्थिर रहें।

इसी प्रकार, पूर्ण क्षमता ए के माध्यम से कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या को व्यक्त करने वाला सूत्र खुले क्यूएस के लिए एक सार्वभौमिक अर्थ है:

सेवा प्रवाह की तीव्रता कहां है.

सरलतम क्यूएस से संबंधित कतार सिद्धांत की कई समस्याओं को मृत्यु और प्रजनन योजना का उपयोग करके हल किया जाता है।

राज्यों की अंतिम संभावनाएँ सूत्रों द्वारा व्यक्त की जाती हैं:

स्क्रॉल कतारबद्ध प्रणालियों की विशेषताओं को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

· औसत सेवा समय;

· कतार में औसत प्रतीक्षा समय;

· स्वास्थ्य सेवा में रहने का औसत समय;

औसत कतार की लंबाई;

· सीएमओ को आवेदनों की औसत संख्या;

· सेवा चैनलों की संख्या;

· अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह की तीव्रता;

· सेवा की तीव्रता;

· भार की तीव्रता;

· लोड फैक्टर;

· सापेक्ष थ्रूपुट;

· पूर्ण थ्रूपुट;

· क्यूएस डाउनटाइम का हिस्सा;

· परोसे गए आवेदनों का हिस्सा;

· खोए हुए अनुप्रयोगों का हिस्सा;

· व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

· मुफ़्त चैनलों की औसत संख्या;

· चैनल लोड फैक्टर;

· चैनलों का औसत डाउनटाइम.

1 . 2 कतारबद्ध प्रणालियों की मॉडलिंग

एक राज्य से दूसरे राज्य में क्यूएस का संक्रमण बहुत विशिष्ट घटनाओं के प्रभाव में होता है - आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सर्विसिंग। यादृच्छिक समय पर एक के बाद एक घटित होने वाली घटनाओं का क्रम घटनाओं के तथाकथित प्रवाह का निर्माण करता है। व्यावसायिक गतिविधियों में ऐसे प्रवाह के उदाहरण विभिन्न प्रकृति के प्रवाह हैं - माल, धन, दस्तावेज़, परिवहन, ग्राहक, खरीदार, टेलीफोन कॉल, बातचीत। किसी प्रणाली का व्यवहार आमतौर पर एक नहीं, बल्कि घटनाओं की कई धाराओं द्वारा निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, किसी स्टोर में ग्राहक सेवा ग्राहकों के प्रवाह और सेवा के प्रवाह से निर्धारित होती है; इन प्रवाहों में, वह क्षण जब ग्राहक आते हैं, लाइन में प्रतीक्षा समय और प्रत्येक ग्राहक को सेवा देने में बिताया गया समय यादृच्छिक होता है।

इस मामले में, प्रवाह की मुख्य विशेषता पड़ोसी घटनाओं के बीच समय का संभाव्य वितरण है। ऐसी विभिन्न धाराएँ हैं जो अपनी विशेषताओं में भिन्न हैं।

घटनाओं के प्रवाह को नियमित कहा जाता है यदि घटनाएँ पूर्व निर्धारित और कड़ाई से परिभाषित अंतराल पर एक दूसरे का अनुसरण करती हैं। यह प्रवाह आदर्श है और व्यवहार में इसका सामना बहुत कम होता है। अधिकतर अनियमित प्रवाह होते हैं जिनमें नियमितता का गुण नहीं होता।

घटनाओं के प्रवाह को स्थिर कहा जाता है यदि किसी समय अंतराल में किसी भी संख्या में घटनाओं के आने की संभावना केवल इस अंतराल की लंबाई पर निर्भर करती है और इस पर निर्भर नहीं करती है कि यह अंतराल समय की शुरुआत से कितनी दूर स्थित है। प्रवाह की स्थिरता का मतलब है कि इसकी संभाव्य विशेषताएं समय से स्वतंत्र हैं; विशेष रूप से, ऐसे प्रवाह की तीव्रता समय की प्रति इकाई घटनाओं की औसत संख्या है और एक स्थिर मूल्य बनी हुई है। व्यवहार में, प्रवाह को आमतौर पर केवल एक निश्चित सीमित अवधि के लिए ही स्थिर माना जा सकता है। आमतौर पर, ग्राहकों का प्रवाह, उदाहरण के लिए, किसी स्टोर में, कार्य दिवस के दौरान महत्वपूर्ण रूप से बदलता है। हालाँकि, कुछ निश्चित समय अंतरालों की पहचान करना संभव है जिसके भीतर इस प्रवाह को स्थिर तीव्रता के साथ स्थिर माना जा सकता है।

घटनाओं के प्रवाह को परिणाम रहित प्रवाह कहा जाता है यदि मनमाने ढंग से चुने गए समय अंतरालों में से किसी एक में गिरने वाली घटनाओं की संख्या दूसरे, मनमाने ढंग से चुने गए अंतराल में गिरने वाली घटनाओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है, बशर्ते कि ये अंतराल एक-दूसरे को नहीं काटते हैं . बिना किसी परिणाम के प्रवाह में, घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से लगातार समय पर घटित होती हैं। उदाहरण के लिए, किसी स्टोर में प्रवेश करने वाले ग्राहकों के प्रवाह को बिना किसी परिणाम के प्रवाह माना जा सकता है क्योंकि उनमें से प्रत्येक के आगमन को निर्धारित करने वाले कारण अन्य ग्राहकों के समान कारणों से संबंधित नहीं हैं।

घटनाओं के प्रवाह को सामान्य कहा जाता है यदि बहुत ही कम समय में दो या दो से अधिक घटनाओं के एक साथ घटित होने की संभावना केवल एक घटना के घटित होने की संभावना की तुलना में नगण्य हो। सामान्य प्रवाह में, घटनाएँ दो या दो से अधिक बार के बजाय एक समय में घटित होती हैं। यदि किसी प्रवाह में एक साथ स्थिरता, सामान्यता और परिणामों की अनुपस्थिति के गुण हों, तो ऐसे प्रवाह को घटनाओं का सबसे सरल (या पॉइसन) प्रवाह कहा जाता है। सिस्टम पर ऐसे प्रवाह के प्रभाव का गणितीय विवरण सबसे सरल है। इसलिए, विशेष रूप से, सबसे सरल प्रवाह अन्य मौजूदा प्रवाहों के बीच एक विशेष भूमिका निभाता है।

आइए समय अक्ष पर एक निश्चित समय अंतराल t पर विचार करें। आइए मान लें कि इस अंतराल में आने वाली एक यादृच्छिक घटना की संभावना पी है, और संभावित घटनाओं की कुल संख्या एन है। घटनाओं के सामान्य प्रवाह की संपत्ति की उपस्थिति में, संभावना पी पर्याप्त रूप से छोटा मूल्य होना चाहिए, और मेरी संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि सामूहिक घटनाओं पर विचार किया जा रहा है।

इन शर्तों के तहत, समय अवधि टी में होने वाली घटनाओं की एक निश्चित संख्या की संभावना की गणना करने के लिए, आप पॉइसन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

अपराह्न, एन= मैं_ए-ए; (एम=0,एन),

जहां a = pr का मान समय अवधि t के भीतर होने वाली घटनाओं की औसत संख्या है, जिसे घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता के माध्यम से निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है: a = l f

प्रवाह तीव्रता X का आयाम प्रति इकाई समय में घटनाओं की औसत संख्या है। पी और एल, पी और एफ के बीच निम्नलिखित संबंध है:

एन= एल टी; पी= एफ/टी

जहां t संपूर्ण समयावधि है जिसके दौरान घटनाओं के प्रवाह की क्रिया पर विचार किया जाता है।

ऐसे प्रवाह में घटनाओं के बीच समय अंतराल टी का वितरण निर्धारित करना आवश्यक है। चूँकि यह एक यादृच्छिक चर है, आइए इसका वितरण फलन ज्ञात करें। जैसा कि संभाव्यता सिद्धांत से ज्ञात है, संचयी वितरण फ़ंक्शन F(t) संभावना है कि मान T समय t से कम होगा।

एफ(टी)=पी(टी

शर्त के अनुसार, समय T के दौरान कोई भी घटना घटित नहीं होनी चाहिए, और समय अंतराल t के दौरान कम से कम एक घटना सामने आनी चाहिए। इस संभावना की गणना समय अंतराल (0; t) में विपरीत घटना की संभावना का उपयोग करके की जाती है, जहां कोई घटना नहीं हुई, यानी। एम = 0, फिर

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

छोटे?t के लिए, कोई फ़ंक्शन e-Xt को?t की शक्तियों में विस्तार के केवल दो शब्दों के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त अनुमानित सूत्र प्राप्त कर सकता है, तो समय की एक छोटी अवधि के भीतर कम से कम एक घटना घटित होने की संभावना है?

पी(टी

हम समय के संबंध में F(t) को विभेदित करके दो लगातार घटनाओं के बीच समय अंतराल का वितरण घनत्व प्राप्त करते हैं,

f(t)= l e- l t ,t?0

प्राप्त वितरण घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप यादृच्छिक चर टी की संख्यात्मक विशेषताओं को प्राप्त कर सकते हैं: गणितीय अपेक्षा एम (टी), विचरण डी (टी) और मानक विचलन वाई (टी)।

M(T)= l??0 t*e-лt*dt=1/ l; डी(टी)=1/एल2; y(T)=1/ एल.

यहां से हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: सरलतम प्रवाह में किन्हीं दो पड़ोसी घटनाओं के बीच औसत समय अंतराल T औसतन 1/l के बराबर है, और इसका मानक विचलन भी 1/l के बराबर है, l जहां, तीव्रता है प्रवाह का, यानी समय की प्रति इकाई घटित होने वाली घटनाओं की औसत संख्या। M(T) = T जैसे गुणों वाले एक यादृच्छिक चर के वितरण कानून को घातीय (या घातीय) कहा जाता है, और मान l इस घातीय कानून का एक पैरामीटर है। इस प्रकार, सरलतम प्रवाह के लिए, पड़ोसी घटनाओं के बीच समय अंतराल की गणितीय अपेक्षा इसके मानक विचलन के बराबर है। इस मामले में, समय अवधि t के दौरान सेवा के लिए प्राप्त अनुरोधों की संख्या k के बराबर होने की संभावना पॉइसन के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है:

Pk(t)=(лt)k/ k! *ई-एल टी,

जहां एल अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता है, समय की प्रति इकाई क्यूएस में घटनाओं की औसत संख्या, उदाहरण के लिए [व्यक्ति/मिनट; रगड़/घंटा; जाँच/घंटा; दस्तावेज़/दिन; किग्रा./घंटा; टी./वर्ष].

अनुरोधों के ऐसे प्रवाह के लिए, दो पड़ोसी अनुरोधों टी के बीच का समय संभाव्यता घनत्व के साथ तेजी से वितरित किया जाता है:

ѓ(टी)= एल ई-एल टी।

सेवा प्रारंभ कतार में यादृच्छिक प्रतीक्षा समय टी को भी तेजी से वितरित माना जा सकता है:

? (टोच)=वी*ई-वी टोच,

जहां v कतार मार्ग प्रवाह की तीव्रता है, जो समय की प्रति इकाई सेवा के लिए पारित होने वाले आवेदनों की औसत संख्या से निर्धारित होती है:

v=1/बिंदु,

जहां टोच कतार में सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय है।

अनुरोधों का आउटपुट प्रवाह चैनल में सेवा प्रवाह से जुड़ा हुआ है, जहां सेवा अवधि टोब्स भी एक यादृच्छिक चर है और कई मामलों में संभाव्यता घनत्व के साथ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है:

?(t obs)=µ*e µ t obs,

जहां µ सेवा प्रवाह की तीव्रता है, अर्थात समय की प्रति इकाई सेवा प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या:

µ=1/ t ओब्स[व्यक्ति/मिनट; रगड़/घंटा; जाँच/घंटा; दस्तावेज़/दिन; किग्रा./घंटा; टी./वर्ष] ,

जहां टी ओब्स सर्विसिंग अनुरोधों के लिए औसत समय है।

क्यूएस की एक महत्वपूर्ण विशेषता, संकेतक एल और µ का संयोजन, लोड तीव्रता है: सी = एल/ µ, जो सेवा चैनल के अनुरोधों के इनपुट और आउटपुट प्रवाह के समन्वय की डिग्री दिखाता है और कतार प्रणाली की स्थिरता निर्धारित करता है .

घटनाओं की सबसे सरल धारा की अवधारणा के अलावा, अन्य प्रकार की धाराओं की अवधारणाओं का उपयोग करना अक्सर आवश्यक होता है। घटनाओं की एक धारा को पाल्मा धारा कहा जाता है जब इस धारा में क्रमिक घटनाओं T1, T2, ..., Tk ..., Tn के बीच का समय अंतराल स्वतंत्र, समान रूप से वितरित, यादृच्छिक चर होते हैं, लेकिन सबसे सरल धारा के विपरीत, वे होते हैं आवश्यक नहीं कि इसे घातीय नियम के अनुसार वितरित किया जाए। सबसे सरल प्रवाह पाम प्रवाह का एक विशेष मामला है।

पाम प्रवाह का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तथाकथित एरलांग प्रवाह है।

यह प्रवाह सबसे सरल प्रवाह को "पतला" करके प्राप्त किया जाता है। यह "थिनिंग" एक निश्चित नियम के अनुसार सबसे सरल प्रवाह से घटनाओं का चयन करके किया जाता है।

उदाहरण के लिए, सबसे सरल प्रवाह बनाने वाली प्रत्येक दूसरी घटना को ध्यान में रखने के लिए सहमत होने पर, हम दूसरे क्रम का एर्लांग प्रवाह प्राप्त करते हैं। यदि हम केवल हर तीसरी घटना को लें, तो एक तीसरे क्रम का एर्लांग प्रवाह बनता है, आदि।

किसी भी kth क्रम की एर्लैंग धाराएँ प्राप्त करना संभव है। जाहिर है, सबसे सरल प्रवाह प्रथम-क्रम एर्लांग प्रवाह है।

कतारबद्ध प्रणाली का कोई भी अध्ययन यह अध्ययन करने से शुरू होता है कि क्या परोसा जाना चाहिए, इसलिए, अनुप्रयोगों के आने वाले प्रवाह और इसकी विशेषताओं का अध्ययन करना।

चूँकि समय क्षण t और अनुरोधों की प्राप्ति का समय अंतराल f, सेवा संचालन की अवधि t obs और कतार में प्रतीक्षा समय, साथ ही कतार loch की लंबाई यादृच्छिक चर हैं, इसलिए, की विशेषताएं क्यूएस की स्थिति प्रकृति में संभाव्य है, और उनका वर्णन करने के लिए कतारबद्ध सिद्धांत के तरीकों और मॉडलों को लागू करना आवश्यक है।

ऊपर सूचीबद्ध विशेषताएँ k, f, l, Loch, Toch, v, tobs, µ, p, Pk QS के लिए सबसे आम हैं, जो आमतौर पर उद्देश्य फ़ंक्शन का केवल कुछ हिस्सा हैं, क्योंकि इसे ध्यान में रखना भी आवश्यक है व्यावसायिक गतिविधि के संकेतक.

1 . 3 विफलताओं वाला सबसे सरल QS

विफलताओं वाला एक एन-चैनल क्यूएस तीव्रता एन के साथ अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करता है; सेवा समय पैरामीटर का सूचक है. क्यूएस के राज्यों को क्यूएस में स्थित अनुरोधों की संख्या के अनुसार क्रमांकित किया जाता है (कतार की अनुपस्थिति के कारण, यह कब्जे वाले चैनलों की संख्या के साथ मेल खाता है):

S0 - QS मुफ़्त है;

S1 - एक चैनल पर कब्जा है, बाकी मुफ़्त हैं;

...;

एस क- व्यस्त कचैनल, बाकी मुफ़्त हैं (1 कएन);

…;

एस एन- हर कोई व्यस्त है एनचैनल.

राज्यों की अंतिम संभावनाएँ एर्लांग सूत्रों द्वारा व्यक्त की जाती हैं:

जहां s=l/m.

दक्षता विशेषताएँ:

ए=(1-पी एन); क्यू = 1-पी एन; पीटीके = पी एन; =(1-पी एन).

बड़े मूल्यों के लिए पीराज्य संभावनाओं (1*) की गणना सारणीबद्ध कार्यों के माध्यम से आसानी से की जाती है:

(पॉइसन वितरण) और

,

जिनमें से पहले को दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है:

इन फ़ंक्शंस का उपयोग करके, एर्लांग सूत्र (1*) को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है

.

1.4 विफलताओं के साथ एकल-चैनल क्यूएस

आइए हम सेवा विफलताओं के साथ एक सरल एकल-चैनल क्यूएस का विश्लेषण करें, जो तीव्रता एल के साथ अनुरोधों का पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है, और तीव्रता एम के साथ पॉइसन प्रवाह के प्रभाव में सर्विसिंग होती है।

एकल-चैनल QS n=1 के संचालन को एक लेबल राज्य ग्राफ़ (3.1) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

QS का एक राज्य S0 से दूसरे S1 में संक्रमण तीव्रता l के साथ अनुरोधों के इनपुट प्रवाह के प्रभाव में होता है, और विपरीत संक्रमण तीव्रता m के साथ सेवा प्रवाह के प्रभाव में होता है।

आइए ऊपर बताए गए नियमों के अनुसार राज्य संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों की प्रणाली लिखें:

हमें राज्य S0 की संभाव्यता p0(t) निर्धारित करने के लिए अंतर समीकरण कहां से मिलता है:

इस समीकरण को प्रारंभिक स्थितियों के तहत इस धारणा के तहत हल किया जा सकता है कि सिस्टम इस समय t=0 स्थिति S0 में था, फिर p0(0)=1, p1(0)=0।

इस मामले में, अंतर समीकरण को हल करने से हमें यह संभावना निर्धारित करने की अनुमति मिलती है कि चैनल मुफ़्त है और सेवा में व्यस्त नहीं है:

फिर चैनल अधिभोग की संभावना निर्धारित करने की संभावना के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करना आसान है:

संभावना p0(t) समय के साथ और t> पर सीमा में घटती जाती है? मूल्य की ओर प्रवृत्त होता है

और संभावना p1(t) एक ही समय में 0 से बढ़ जाती है, t> पर सीमा की ओर बढ़ती है? आकार के लिए

ये संभाव्यता सीमाएँ सीधे कोलमोगोरोव समीकरणों से प्राप्त की जा सकती हैं, बशर्ते

फ़ंक्शन р0(t) और р1(t) एकल-चैनल QS में क्षणिक प्रक्रिया को परिभाषित करते हैं और विचाराधीन सिस्टम की समय स्थिर विशेषता के साथ इसकी सीमा स्थिति में QS के घातीय दृष्टिकोण की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ, हम मान सकते हैं कि क्यूएस में संक्रमण प्रक्रिया 3f के बराबर समय के भीतर समाप्त हो जाती है।

संभाव्यता p0(t) QS की सापेक्ष क्षमता निर्धारित करती है, जो प्रति यूनिट समय में आने वाले अनुप्रयोगों की कुल संख्या के संबंध में सेवित अनुप्रयोगों का अनुपात निर्धारित करती है।

दरअसल, p0(t) संभावना है कि समय t पर आने वाला अनुरोध सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाएगा। कुल मिलाकर, प्रति यूनिट समय में औसतन एल आवेदन आते हैं, और एलआर0 आवेदनों की सेवा की जाती है।

फिर अनुप्रयोगों के संपूर्ण प्रवाह के संबंध में सेवित अनुप्रयोगों का हिस्सा मूल्य द्वारा निर्धारित किया जाएगा

t> पर सीमा में? व्यावहारिक रूप से पहले से ही t>3ph पर सापेक्ष थ्रूपुट का मान बराबर होगा

पूर्ण थ्रूपुट, जो t>? की सीमा में समय की प्रति यूनिट दिए गए अनुरोधों की संख्या निर्धारित करता है, इसके बराबर है:

तदनुसार, अस्वीकृत किए गए आवेदनों का अनुपात समान सीमित शर्तों के तहत है:

और असेवित आवेदनों की कुल संख्या बराबर है

सेवा अस्वीकरण के साथ एकल-चैनल क्यूएस के उदाहरण हैं: एक स्टोर में एक ऑर्डर डेस्क, एक मोटर परिवहन उद्यम का एक नियंत्रण कक्ष, एक गोदाम कार्यालय, एक वाणिज्यिक कंपनी का एक प्रबंधन कार्यालय, जिसके साथ टेलीफोन द्वारा संचार स्थापित किया जाता है।

1.5 विफलताओं के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

व्यावसायिक गतिविधियों में, मल्टी-चैनल क्यूएस के उदाहरण कई टेलीफोन चैनलों वाले वाणिज्यिक उद्यमों के कार्यालय हैं; मॉस्को में ऑटो स्टोर्स में सबसे सस्ती कारों की उपलब्धता के लिए एक मुफ्त हेल्प डेस्क में 7 टेलीफोन नंबर हैं, और, जैसा कि ज्ञात है, यह है कॉल करना और सहायता प्राप्त करना बहुत कठिन है।

नतीजतन, ऑटो स्टोर ग्राहकों को खो देते हैं, बेची गई कारों की संख्या और बिक्री राजस्व, टर्नओवर और लाभ बढ़ाने का अवसर खो देते हैं।

टूर पैकेज बेचने वाली ट्रैवल कंपनियों के पास एक्सप्रेस-लाइन जैसे दो, तीन, चार या अधिक चैनल हैं।

आइए सेवा विफलताओं वाले एक मल्टी-चैनल क्यूएस पर विचार करें जिसके इनपुट को तीव्रता एल के साथ अनुरोधों का पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है।

प्रत्येक चैनल में सेवा प्रवाह की तीव्रता m है। QS अनुरोधों की संख्या के आधार पर, इसकी स्थिति Sk निर्धारित की जाती है, जिसे एक लेबल ग्राफ़ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है:

S0 - सभी चैनल निःशुल्क हैं k=0,

S1 - केवल एक चैनल पर कब्जा है, k=1,

S2 - केवल दो चैनल व्याप्त हैं, k=2,

एसके-के चैनलों पर कब्जा है,

एसएन - सभी एन चैनल व्याप्त हैं, के= एन।

मल्टीचैनल QS की स्थितियाँ यादृच्छिक समय पर अचानक बदल जाती हैं। एक राज्य से संक्रमण, उदाहरण के लिए S0 से S1, तीव्रता l के साथ अनुरोधों के इनपुट प्रवाह के प्रभाव में होता है, और इसके विपरीत - तीव्रता m के साथ सर्विसिंग अनुरोधों के प्रवाह के प्रभाव में होता है।

सिस्टम को राज्य Sk से Sk-1 में स्थानांतरित करने के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा चैनल जारी किया गया है, इसलिए QS को स्थानांतरित करने वाली घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता किमी है, इसलिए, घटनाओं का प्रवाह जो सिस्टम को Sn से स्थानांतरित करता है Sn-1 की तीव्रता एनएम है।

इस प्रकार क्लासिक एरलांग समस्या तैयार की गई है, जिसका नाम डेनिश इंजीनियर और गणितज्ञ के नाम पर रखा गया है जिन्होंने कतार के सिद्धांत की स्थापना की थी।

क्यूएस में होने वाली यादृच्छिक प्रक्रिया "जन्म-मृत्यु" प्रक्रिया का एक विशेष मामला है और इसे एर्लांग अंतर समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया गया है, जो विचाराधीन प्रणाली की स्थिति की सीमित संभावनाओं के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करना संभव बनाता है। एर्लांग सूत्र कहलाते हैं:

.

विफलताओं p0, p1, p2, ..., pk,..., pn के साथ n-चैनल QS की स्थिति की सभी संभावनाओं की गणना करके, हम सेवा प्रणाली की विशेषताओं का पता लगा सकते हैं।

सेवा अस्वीकरण की संभावना इस संभावना से निर्धारित होती है कि आने वाले सेवा अनुरोध में सभी एन चैनल शामिल होंगे, सिस्टम एसएन स्थिति में होगा:

क=एन.

विफलताओं वाले सिस्टम में, विफलता और रखरखाव की घटनाएं घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, इसलिए:

रोटक+रॉब्स=1

इस आधार पर, सापेक्ष थ्रूपुट सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

क्यू = पोब्स = 1-रोटक = 1-पीएन

क्यूएस की पूर्ण क्षमता सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है

ए=एल*रॉब्स

सेवा की संभावना, या दिए गए अनुरोधों का अनुपात, क्यूएस की सापेक्ष क्षमता निर्धारित करता है, जिसे दूसरे सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

इस अभिव्यक्ति से आप सेवा के तहत अनुरोधों की औसत संख्या, या, वही, सेवा द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या निर्धारित कर सकते हैं

सेवा द्वारा चैनलों की अधिभोग दर, अधिभोगित चैनलों की औसत संख्या और उनकी कुल संख्या के अनुपात से निर्धारित होती है

सेवा द्वारा चैनलों पर कब्जा किए जाने की संभावना, जो औसत व्यस्त समय टी व्यस्त और निष्क्रिय समय टीपीआर चैनलों को ध्यान में रखती है, निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:

इस अभिव्यक्ति से आप चैनलों का औसत डाउनटाइम निर्धारित कर सकते हैं

किसी अनुरोध के सिस्टम में स्थिर अवस्था में रहने का औसत समय लिटिल के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

टीएसएमओ = एनजेड/एल।

1.6 सीमित कतार लंबाई के साथ एकल-चैनल क्यूएस

व्यावसायिक गतिविधियों में, प्रतीक्षा (कतार में लगना) वाला क्यूएस अधिक आम है।

आइए एक सीमित कतार के साथ एक सरल एकल-चैनल QS पर विचार करें, जिसमें कतार m में स्थानों की संख्या एक निश्चित मान है। नतीजतन, ऐसे समय में प्राप्त आवेदन जब कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है, सेवा के लिए स्वीकार नहीं किया जाता है, कतार में शामिल नहीं होता है और सिस्टम छोड़ देता है।

इस QS का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 3.4 और चित्र में दिए गए ग्राफ़ से मेल खाता है। 2.1 "जन्म-मृत्यु" की प्रक्रिया का वर्णन करता है, इस अंतर के साथ कि केवल एक चैनल की उपस्थिति में।

सेवा की "जन्म-मृत्यु" प्रक्रिया का लेबल ग्राफ़; सेवा प्रवाह की सभी तीव्रताएँ समान हैं

QS के राज्यों को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

S0 - सेवा चैनल मुफ़्त है,

एस, - सेवा चैनल व्यस्त है, लेकिन कोई कतार नहीं है,

S2 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में एक अनुरोध है,

S3 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में दो अनुरोध हैं,

एसएम+1 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में सभी एम स्थान भरे हुए हैं, कोई भी अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया गया है।

यादृच्छिक QS प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए, आप पहले बताए गए नियमों और सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। आइए हम ऐसे भाव लिखें जो राज्यों की सीमित संभावनाओं को निर्धारित करते हैं:

इस मामले में p0 के लिए अभिव्यक्ति को सरल तरीके से लिखा जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि हर में पी के सापेक्ष एक ज्यामितीय प्रगति होती है, फिर उचित परिवर्तनों के बाद हम प्राप्त करते हैं:

सी= (1- साथ)

यह सूत्र 1 के अलावा सभी p के लिए मान्य है, लेकिन यदि p = 1 है, तो p0 = 1/(m + 2), और अन्य सभी संभावनाएँ भी 1/(m + 2) के बराबर हैं।

यदि हम एम = 0 मानते हैं, तो हम प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस पर विचार करने से आगे बढ़कर सेवा से इनकार के साथ पहले से ही विचार किए गए एकल-चैनल क्यूएस की ओर बढ़ते हैं।

दरअसल, मामले में सीमांत संभावना p0 के लिए अभिव्यक्ति m = 0 का रूप है:

पीओ = एम / (एल+एम)

और एल = एम की स्थिति में इसका मान पी0 = 1/2 है।

आइए प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस की मुख्य विशेषताओं को निर्धारित करें: सापेक्ष और पूर्ण थ्रूपुट, विफलता की संभावना, साथ ही औसत कतार की लंबाई और कतार में एक आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय।

एक आवेदन अस्वीकार कर दिया जाता है यदि वह ऐसे समय पर आता है जब क्यूएस पहले से ही एसएम + 1 स्थिति में है और इसलिए, कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया गया है और एक चैनल सेवा दे रहा है

इसलिए, विफलता की संभावना घटना की संभावना से निर्धारित होती है

एसएम+1 बताता है:

पीटीके = अपराह्न+1 = सेमी+1 * पी0

सापेक्ष थ्रूपुट, या समय की प्रति इकाई आने वाले सेवित अनुरोधों का अनुपात, अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

क्यू = 1- रोटक = 1- सेमी+1 * पी0

पूर्ण थ्रूपुट है:

सेवा के लिए कतार में अनुप्रयोगों एल की औसत संख्या यादृच्छिक चर k की गणितीय अपेक्षा से निर्धारित होती है - कतार में अनुप्रयोगों की संख्या

यादृच्छिक चर k केवल निम्नलिखित पूर्णांक मान लेता है:

1 - कतार में एक आवेदन है,

2 - कतार में दो आवेदन हैं,

टी-पंक्ति में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया गया है

इन मानों की संभावनाएँ राज्य S2 से शुरू होकर, राज्यों की संगत संभावनाओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं। असतत यादृच्छिक चर k का वितरण कानून निम्नानुसार दर्शाया गया है:

तालिका 1. असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम

इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है:

लोच = 1* पी2 +2* पी3 +...+ एम* अपराह्न+1

सामान्य स्थिति में, पी ? 1 के लिए, इस योग को ज्यामितीय प्रगति मॉडल का उपयोग करके अधिक सुविधाजनक रूप में बदला जा सकता है:

लोच = पी2* 1- अपराह्न* (एम-एम*पी+1)*प0

विशेष स्थिति में जब p = 1, जब सभी संभावनाएँ pk बराबर हों, तो आप संख्यात्मक श्रृंखला के पदों के योग के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं

1+2+3+ मी = एम(एम+1)

तब हमें सूत्र मिलता है

ल"ओच= एम(एम+1)*प0= एम(एम+1)(पी=1).

समान तर्क और परिवर्तनों का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि कतार में अनुरोध की सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय लिटिल के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है

बिंदु = लोच/ए (पी? 1 पर) और टी1ओच= एल"ओच/ए (पी = 1 पर)।

यह परिणाम, जब यह पता चलता है कि Toc ~ 1/l, अजीब लग सकता है: अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता में वृद्धि के साथ, कतार की लंबाई बढ़ती प्रतीत होती है और औसत प्रतीक्षा समय कम हो जाता है। हालाँकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि, सबसे पहले, Loch का मान l और m का एक फ़ंक्शन है और, दूसरी बात, विचाराधीन QS की सीमित कतार लंबाई m अनुप्रयोगों से अधिक नहीं है।

क्यूएस द्वारा ऐसे समय में प्राप्त आवेदन अस्वीकार कर दिया जाता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, और इसलिए, क्यूएस में इसका "प्रतीक्षा" समय शून्य होता है। इससे सामान्य स्थिति में (पी? 1 के लिए) टोक्रोमोस्ट एल में कमी आती है, क्योंकि ऐसे अनुरोधों का हिस्सा एल बढ़ने के साथ बढ़ता है।

यदि हम कतार की लंबाई पर प्रतिबंध को छोड़ देते हैं, अर्थात प्रत्यक्ष m--> >?, फिर मामले p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

जब k पर्याप्त रूप से बड़ा होता है, तो प्रायिकता pk शून्य हो जाती है। इसलिए, सापेक्ष थ्रूपुट Q = 1 होगा, और पूर्ण थ्रूपुट A --l Q -- l के बराबर होगा, इसलिए, आने वाले सभी अनुरोधों की सेवा की जाती है, और औसत कतार की लंबाई इसके बराबर होगी:

लोच = पी2 1-पी

और लिटिल के फार्मूले के अनुसार औसत प्रतीक्षा समय

बिंदु = लोच/ए

सीमा में प<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). इसलिए राज्यों की सीमित संभावनाएँ निर्धारित नहीं की जा सकतीं: Q = 1 के लिए वे शून्य के बराबर हैं। वास्तव में, क्यूएस अपने कार्यों को पूरा नहीं करता है, क्योंकि यह आने वाले सभी अनुप्रयोगों को सेवा देने में सक्षम नहीं है।

यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि सेवित अनुप्रयोगों का हिस्सा और पूर्ण थ्रूपुट क्रमशः औसत सी और एम पर हैं, हालांकि, कतार में असीमित वृद्धि, और इसलिए इसमें प्रतीक्षा समय, इस तथ्य की ओर जाता है कि कुछ के बाद समय आवेदन अनिश्चित काल के लिए कतार में जमा होने लगते हैं।

QS की विशेषताओं में से एक के रूप में, किसी एप्लिकेशन के QS में रहने के औसत समय Tsmo का उपयोग किया जाता है, जिसमें कतार में बिताया गया औसत समय और औसत सेवा समय शामिल है। इस मान की गणना लिटिल के सूत्रों का उपयोग करके की जाती है: यदि कतार की लंबाई सीमित है, तो कतार में अनुप्रयोगों की औसत संख्या इसके बराबर है:

एलएसएमओ= एम+1 ;2

त्समो= एलएसएमओ;पी?1 पर

और फिर कतार प्रणाली (कतार में और सेवा के तहत दोनों) में एक अनुरोध के रहने का औसत समय इसके बराबर है:

त्समो= एम+1 पी पर ?1 2 मी

1.7 असीमित कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस

व्यावसायिक गतिविधियों में, उदाहरण के लिए, एक वाणिज्यिक निदेशक असीमित प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल सीएमओ के रूप में कार्य करता है, क्योंकि, एक नियम के रूप में, उसे विभिन्न प्रकृति के सेवा अनुरोधों के लिए मजबूर किया जाता है: दस्तावेज़, टेलीफोन वार्तालाप, बैठकें और अधीनस्थों, प्रतिनिधियों के साथ बातचीत कर निरीक्षक, पुलिस, कमोडिटी विशेषज्ञ, विपणक, उत्पाद आपूर्तिकर्ता और कमोडिटी-वित्तीय क्षेत्र में समस्याओं को उच्च स्तर की वित्तीय जिम्मेदारी के साथ हल करते हैं, जो अनुरोधों की अनिवार्य पूर्ति से जुड़ा होता है जो कभी-कभी अपनी आवश्यकताओं की पूर्ति के लिए बेसब्री से इंतजार करते हैं, और गलत सेवा की त्रुटियाँ, एक नियम के रूप में, आर्थिक रूप से बहुत महत्वपूर्ण हैं। मार्कोव विफलता रखरखाव मॉडल

उसी समय, बिक्री (सेवा) के लिए आयातित सामान, गोदाम में रहते हुए, सेवा (बिक्री) के लिए कतार बनाते हैं।

कतार की लंबाई बिक्री के लिए इच्छित वस्तुओं की संख्या है। इस स्थिति में, विक्रेता सामान की सेवा करने वाले चैनल के रूप में कार्य करते हैं।

यदि बिक्री के लिए इच्छित वस्तुओं की संख्या बड़ी है, तो इस मामले में हम प्रतीक्षा के साथ क्यूएस के एक विशिष्ट मामले से निपट रहे हैं।

आइए सेवा की प्रतीक्षा के साथ सबसे सरल एकल-चैनल क्यूएस पर विचार करें, जो तीव्रता एल और सेवा तीव्रता के साथ अनुरोधों का पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है।

इसके अलावा, ऐसे समय में प्राप्त अनुरोध जब चैनल सर्विसिंग में व्यस्त है, उसे कतार में रखा जाता है और सेवा की प्रतीक्षा की जाती है।

ऐसी प्रणाली का लेबल किया गया राज्य ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। 3.5

संभावित अवस्थाओं की संख्या अनंत है:

चैनल मुफ़्त है, कोई कतार नहीं है;

चैनल सेवा में व्यस्त है, कोई कतार नहीं है;

चैनल व्यस्त, एक अनुरोध कतार में, ;

चैनल व्यस्त है, आवेदन कतार में है.

असीमित कतार के साथ QS राज्यों की संभावना का अनुमान लगाने के लिए मॉडल m>? पर सीमा पार करके असीमित कतार के साथ QS के लिए आवंटित सूत्रों से प्राप्त किए जा सकते हैं:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सूत्र में सीमित कतार लंबाई वाले क्यूएस के लिए

पहले पद 1 और हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है।

ऐसा अनुक्रम अनंत पदों का योग है।

यदि प्रगति, जो अनंत रूप से घटती है, जो QS के स्थिर-अवस्था संचालन मोड को निर्धारित करती है, तो यह योग एकत्रित हो जाता है, समय के साथ कतार अनंत तक बढ़ सकती है।

चूंकि विचाराधीन क्यूएस में कतार की लंबाई पर कोई प्रतिबंध नहीं है, इसलिए कोई भी अनुरोध परोसा जा सकता है, इसलिए, क्रमशः सापेक्ष थ्रूपुट, और पूर्ण थ्रूपुट

K अनुप्रयोगों के कतार में होने की प्रायिकता है:

कतार में आवेदनों की औसत संख्या -

सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या -

किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय -

किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने का औसत समय -

यदि प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस में प्राप्त अनुरोधों की तीव्रता सेवा की तीव्रता से अधिक है, तो कतार लगातार बढ़ती जाएगी। इस संबंध में, स्थिर मोड में काम कर रहे स्थिर क्यूएस सिस्टम का विश्लेषण।

1.8 सीमित कतार लंबाई के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

आइए एक मल्टी-चैनल क्यूएस पर विचार करें, जिसके इनपुट को तीव्रता के साथ अनुरोधों का पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है, और प्रत्येक चैनल की सेवा तीव्रता कतार में स्थानों की अधिकतम संभव संख्या एम द्वारा सीमित है। क्यूएस की अलग-अलग स्थितियाँ सिस्टम द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले आवेदनों की संख्या से निर्धारित होती हैं जिन्हें रिकॉर्ड किया जा सकता है।

सभी चैनल मुफ़्त हैं;

केवल एक चैनल (कोई भी) पर कब्जा है;

केवल दो चैनल (कोई भी) व्यस्त हैं;

सभी चैनल व्यस्त हैं.

जबकि क्यूएस इनमें से किसी भी राज्य में है, वहां कोई कतार नहीं है। सभी सेवा चैनलों पर कब्जा हो जाने के बाद, बाद के अनुरोध एक कतार बनाते हैं, जिससे सिस्टम की आगे की स्थिति निर्धारित होती है:

सभी चैनल व्यस्त हैं और एक एप्लिकेशन कतार में है,

सभी चैनल व्यस्त हैं और दो अनुरोध कतार में हैं,

सभी चैनल और कतार में सभी स्थान भरे हुए हैं,

बड़ी संख्या वाली स्थिति में क्यूएस का संक्रमण तीव्रता के साथ आने वाले अनुरोधों के प्रवाह से निर्धारित होता है, जबकि स्थिति के अनुसार, प्रत्येक चैनल के लिए समान सेवा प्रवाह तीव्रता वाले समान चैनल इन अनुरोधों की सेवा में भाग लेते हैं। इस मामले में, सेवा प्रवाह की कुल तीव्रता नए चैनलों के कनेक्शन के साथ उस स्थिति तक बढ़ जाती है जब सभी एन चैनल व्यस्त होते हैं। कतार की उपस्थिति के साथ, सेवा की तीव्रता और बढ़ जाती है, क्योंकि यह पहले से ही अधिकतम मूल्य के बराबर पहुंच चुकी है।

आइए हम राज्यों की सीमित संभावनाओं के लिए अभिव्यक्तियाँ लिखें:

हर के साथ पदों के योग के लिए ज्यामितीय प्रगति सूत्र का उपयोग करके अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जा सकता है:

कतार का गठन तब संभव है जब एक नया प्राप्त एप्लिकेशन सिस्टम में कम से कम आवश्यकताओं को पूरा करता है, अर्थात। जब सिस्टम में आवश्यकताएं हों.

ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए सभी चैनलों के व्यस्त होने की संभावना संबंधित संभावनाओं के योग के बराबर है

इसलिए, कतार बनने की संभावना है:

सेवा से इनकार की संभावना तब होती है जब सभी चैनलों और कतार के सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है:

सापेक्ष थ्रूपुट इसके बराबर होगा:

पूर्ण थ्रूपुट -

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या -

निष्क्रिय चैनलों की औसत संख्या -

चैनल अधिभोग (उपयोग) कारक -

चैनल डाउनटाइम अनुपात -

कतारों में आवेदनों की औसत संख्या -

यदि यह सूत्र भिन्न रूप धारण कर ले -

कतार में औसत प्रतीक्षा समय लिटिल के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है -

क्यूएस में एक एप्लिकेशन का औसत ठहराव समय, एकल-चैनल क्यूएस के लिए, औसत सेवा समय द्वारा कतार में औसत प्रतीक्षा समय से अधिक है, जो बराबर है, क्योंकि एप्लिकेशन हमेशा केवल एक चैनल द्वारा परोसा जाता है:

1.9 असीमित कतार के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

आइए प्रतीक्षा और असीमित कतार लंबाई वाले एक मल्टी-चैनल क्यूएस पर विचार करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है और जिसमें प्रत्येक चैनल की सेवा तीव्रता होती है।

लेबल किया गया राज्य ग्राफ़ चित्र 3.7 में दिखाया गया है। इसमें राज्यों की अनंत संख्या है:

एस - सभी चैनल मुफ़्त हैं, के=0;

एस - एक चैनल पर कब्जा है, बाकी मुफ़्त हैं, के=1;

एस - दो चैनल भरे हुए हैं, बाकी मुफ़्त हैं, के=2;

एस - सभी एन चैनल व्यस्त हैं, के=एन, कोई कतार नहीं;

एस - सभी एन चैनल भरे हुए हैं, एक अनुरोध कतार में है, के=एन+1,

एस - सभी एन चैनल व्याप्त हैं, आर अनुप्रयोग कतार में हैं, के=एन+आर,

हम एम पर सीमा पार करते समय एक सीमित कतार के साथ मल्टीचैनल क्यूएस के सूत्रों से राज्य संभावनाएं प्राप्त करते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पी के लिए अभिव्यक्ति में ज्यामितीय प्रगति का योग लोड स्तर पी/एन>1 पर भिन्न होता है, कतार अनिश्चित काल तक बढ़ेगी, और पी/एन पर<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

कोई कतार नहीं

चूँकि ऐसी प्रणालियों में सेवा से इनकार नहीं किया जा सकता है, थ्रूपुट विशेषताएँ इसके बराबर हैं:

कतार में आवेदनों की औसत संख्या -

कतार में औसत प्रतीक्षा समय -

सीएमओ को आवेदनों की औसत संख्या -

संभावना यह है कि क्यूएस ऐसी स्थिति में है जहां कोई अनुरोध नहीं है और कोई चैनल कब्जा नहीं किया गया है, अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह संभावना सेवा चैनल डाउनटाइम का औसत प्रतिशत निर्धारित करती है। K अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त रहने की संभावना -

इस आधार पर, सभी चैनलों पर सेवा द्वारा कब्जा किए जाने की संभावना, या समय का अनुपात निर्धारित करना संभव है

यदि सभी चैनल पहले से ही सर्विसिंग में व्यस्त हैं, तो स्थिति की संभावना अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है

कतार में होने की संभावना पहले से ही सेवा में शामिल सभी चैनलों को खोजने की संभावना के बराबर है

कतार में और सेवा की प्रतीक्षा में आवेदनों की औसत संख्या है:

लिटिल के सूत्र के अनुसार कतार में किसी आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय:

और सिस्टम में

सेवा द्वारा प्राप्त चैनलों की औसत संख्या:

मुफ़्त चैनलों की औसत संख्या:

सेवा चैनल अधिभोग अनुपात:

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि पैरामीटर इनपुट प्रवाह के समन्वय की डिग्री को दर्शाता है, उदाहरण के लिए, सेवा प्रवाह की तीव्रता वाले स्टोर में ग्राहक। सेवा प्रक्रिया स्थिर होगी यदि, हालांकि, कतार की औसत लंबाई और सिस्टम में सेवा शुरू करने के लिए ग्राहकों के लिए औसत प्रतीक्षा समय में वृद्धि होगी और इसलिए, सेवा प्रणाली अस्थिर रूप से काम करेगी।

1.10 क्यूएस मॉडलिंग एल्गोरिदम

समस्या में माना गया QS एक QS है:

दो-चैनल सेवा;

एक दो-चैनल इनपुट स्ट्रीम (इसमें 2 इनपुट हैं, जिनमें से एक को ऑर्डर I की एक यादृच्छिक स्ट्रीम प्राप्त होती है, दूसरे इनपुट को ऑर्डर II की एक स्ट्रीम प्राप्त होती है)।

आवेदनों की प्राप्ति और सर्विसिंग का समय निर्धारित करना:

· अनुरोधों की प्राप्ति और सर्विसिंग का समय किसी दिए गए घातीय वितरण कानून के साथ यादृच्छिक रूप से उत्पन्न होता है;

· अनुरोधों की प्राप्ति और सेवा की दरें निर्दिष्ट हैं;

सुविचारित QS की कार्यप्रणाली:

प्रत्येक चैनल एक समय में एक अनुरोध प्रस्तुत करता है;

यदि नया अनुरोध प्राप्त होने के समय कम से कम एक चैनल निःशुल्क है, तो आने वाला अनुरोध सेवा के लिए प्राप्त हो जाता है;

यदि कोई एप्लिकेशन नहीं है, तो सिस्टम निष्क्रिय है।

सेवा अनुशासन:

ऑर्डर I की प्राथमिकता: यदि सिस्टम व्यस्त है (दोनों चैनल ऑर्डर परोसते हैं), और एक चैनल पर ऑर्डर II का कब्जा है, तो ऑर्डर I ऑर्डर II को रोक देता है; अनुरोध II सिस्टम को असेवित छोड़ देता है;

यदि अनुरोध II आने तक दोनों चैनल व्यस्त हैं, तो अनुरोध II की सेवा नहीं ली गई है;

यदि ऑर्डर I आने तक दोनों चैनल ऑर्डर I की सेवा कर रहे हैं, तो प्राप्त ऑर्डर I सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देता है;

मॉडलिंग कार्य: अनुरोधों के इनपुट प्रवाह के मापदंडों को जानना, सिस्टम के व्यवहार का अनुकरण करना और इसकी प्रभावशीलता की मुख्य विशेषताओं की गणना करना। टी के मान को छोटे मानों से बड़े मानों में बदलकर (वह समय अंतराल जिसके दौरान सेवा के लिए क्यूएस में पहले और दूसरे के आवेदनों की प्राप्ति की एक यादृच्छिक प्रक्रिया होती है), आप ऑपरेटिंग दक्षता मानदंड में परिवर्तन पा सकते हैं और इष्टतम का चयन करें.

क्यूएस के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मानदंड:

· विफलता की संभावना;

· सापेक्ष थ्रूपुट;

· पूर्ण थ्रूपुट;

मॉडलिंग सिद्धांत:

हम प्रारंभिक शर्तों का परिचय देते हैं: सिस्टम का कुल परिचालन समय, एप्लिकेशन प्रवाह की तीव्रता मान; सिस्टम के कार्यान्वयन की संख्या;

हम समय बिंदु उत्पन्न करते हैं जिस पर अनुरोध आते हैं, अनुरोध I, अनुरोध II के आगमन का क्रम, प्रत्येक आने वाले अनुरोध का सेवा समय;

हम गिनते हैं कि कितने आवेदनों की सेवा ली गई और कितने अस्वीकृत किए गए;

हम क्यूएस की प्रभावशीलता के मानदंड की गणना करते हैं;

अध्याय2 . व्यावहारिक भाग

चित्र 1. समय पर ओपीएसएस की निर्भरता

प्रोग्राम CAN_SMO;

चैनल = (मुफ़्त, दावा1, दावा2);

तीव्रता = शब्द;

सांख्यिकी = शब्द;

चैनल1, चैनल2: चैनल;(चैनल)

टी_, टी, टीसी1, टीसी2: समय; (समय)

एल1, एल2, एन1, एन2: तीव्रता;(तीव्रता)

परोसा गया1, नहीं_दिया गया1,

परोसा गया2, नहीं_दिया गया2,

एस: सांख्यिकी; (सांख्यिकी)

एम,एन:पूर्णांक;(कार्यान्वयन की संख्या)

फ़ंक्शन डब्ल्यू (टी: समय; एल: तीव्रता): बूलियन; (निर्धारित करता है कि ऑर्डर सामने आया है या नहीं)

आरंभ (प्रवाह तीव्रता एल द्वारा)

अगर यादृच्छिक< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

फ़ंक्शन एफ(टी: समय; एन: तीव्रता): समय; (यह निर्धारित करता है कि आवेदन कितने समय तक संसाधित किया जाएगा)

प्रारंभ करें (सर्विसिंग अनुरोधों की तीव्रता के अनुसार)

एफ:= टी +राउंड(60/(एन));

चित्र 2. समय पर ओपीपीएस की निर्भरता

राइटलन ("एसएमओ के कार्यान्वयन की संख्या दर्ज करें");

राइटएलएन(एम, "वां कार्यान्वयन");

चैनल1:= मुफ़्त; चैनल2:= मुफ़्त;

एल1:=3; एल2:= 1; n1:= 2; n2:= 1;

परोसा1:= 0; not_served1:= 0;

परोसा2:= 0; not_served2:= 0;

लिखें ("एसएमओ अध्ययन का समय दर्ज करें - टी:"); readln(_T_);

यदि CHANNAL1 = CLAIM1 तो inc(served1) अन्यथा inc(served2);

चैनल1:= मुफ़्त;

writeln('चैनल1 ने अनुरोध पूरा किया');

यदि CHANNAL2 = CLAIM1 तो inc(served1) अन्यथा inc(served2);

चैनल2:= मुफ़्त;

writeln('चैनल2 ने अनुरोध पूरा किया');

चित्र 3. समय बनाम सिस्टम में विफलता की संभावना का ग्राफ़

writeln('अनुरोध1 प्राप्त हुआ');

यदि CHANNAL1 = मुफ़्त है तो

चैनल1 शुरू करें:= दावा1; tc1:= F(t,n1); writeln('चैनल1 ने अनुरोध स्वीकार कर लिया1'); अंत

अन्यथा यदि CHANNAL2 = मुफ़्त है तो

चैनल2 शुरू करें:= दावा1; tc2:= F(t,n1); writeln('चैनल2 ने अनुरोध स्वीकार कर लिया1'); अंत

अन्यथा यदि CHANNAL1 = CLAIM2 है तो

चैनल1 शुरू करें:= दावा1; tc1:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln('चैनल1 ने request2 के बजाय request1 स्वीकार कर लिया'); अंत

अन्यथा यदि CHANNAL2 = CLAIM2 है तो

चैनल2 शुरू करें:= दावा1; tc2:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln('चैनल2 ने request2 के बजाय request1 स्वीकार कर लिया'); अंत

अन्यथा शुरू करें inc(not_served1); writeln('अनुरोध 1 पूरा नहीं हुआ'); अंत;

चित्र 4. समय पर आवेदनों की संख्या की निर्भरता

writeln('अनुरोध2 प्राप्त हुआ');

यदि CHANNAL1 = मुफ़्त है तो

चैनल1 शुरू करें:= दावा2; tc1:= F(t,n2); writeln('चैनल1 ने अनुरोध स्वीकार कर लिया2');अंत

अन्यथा यदि CHANNAL2 = मुफ़्त है तो

CHANNAL2 शुरू करें:= दावा2; tc2:= F(t,n2); writeln('चैनल2 ने अनुरोध स्वीकार कर लिया2');अंत

अन्यथा प्रारंभ करें inc(not_served2); writeln('अनुरोध2 की सेवा नहीं हुई'); अंत;

एस:= परोसा गया1 + परोसा गया1 + परोसा गया2 + परोसा नहीं गया2;

राइटएलएन ("एसएमओ ऑपरेटिंग समय",_टी_);

writeln('चैनल1 द्वारा परोसा गया:' ,served1);

writeln("चैनल2 द्वारा परोसा गया: ",सर्व किया2);

writeln("अनुरोध प्राप्त हुए: ",एस);

writeln('अनुरोध परोसे गए:',served1+served2);

writeln('अनुरोध पूरा नहीं हुआ:',not_served1+not_served2);

(writeln("सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की तीव्रता: ",(served1+served2)/_T_:2:3);)

राइटएलएन ("एब्सोल्यूट सिस्टम थ्रूपुट:", (सर्वेड1+सर्व्ड2)/टी:2:3);

writeln('विफलता की संभावना:',(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,'%');

राइटएलएन ("सापेक्ष प्रणाली थ्रूपुट:", (सेवा1+सेवा2)/एस:2:3);

राइटएलएन ("सिमुलेशन समाप्त");

तालिका 2. क्यूएस कार्य के परिणाम

क्यूएस के संचालन की विशेषताएं

एसएमओ परिचालन घंटे

आवेदन प्राप्त हुए

आवेदन दिये गये

कोई अनुरोध पूरा नहीं किया गया

पूर्ण सिस्टम थ्रूपुट

सापेक्ष सिस्टम थ्रूपुट

अध्याय 3।सुरक्षा नियम

सामान्य प्रावधान

· जो व्यक्ति सुरक्षा निर्देशों और आचरण के नियमों से परिचित हैं उन्हें कंप्यूटर लैब में काम करने की अनुमति है।

· निर्देशों के उल्लंघन के मामले में, छात्र को काम से निलंबित कर दिया जाता है और शिक्षक की लिखित अनुमति के बाद ही उसे अध्ययन करने की अनुमति दी जाती है।

· कंप्यूटर लैब में छात्रों को केवल शिक्षक (इंजीनियर, प्रयोगशाला सहायक) की उपस्थिति में काम करने की अनुमति है।

· याद रखें कि प्रत्येक छात्र अपने कार्यस्थल की स्थिति और उस पर रखे गए उपकरणों की सुरक्षा के लिए जिम्मेदार है।

काम शुरू करने से पहले:

· काम शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि उपकरण और तारों को कोई दृश्य क्षति न हो। कंप्यूटर और परिधीय उपकरणों को टेबल पर स्थिर स्थिति में रखा जाना चाहिए।

· छात्रों को उपकरणों में प्रवेश करने की सख्त मनाही है। आप शिक्षक की अनुमति से ही डिवाइस चालू कर सकते हैं।

कंप्यूटर कक्षा में काम करते समय यह निषिद्ध है:

1. शिक्षक की अनुमति के बिना कक्षा में प्रवेश करना और छोड़ना।

2. क्लास के लिए देर से आना.

3. ठंड के मौसम में गंदे और गीले जूते, धूल भरे कपड़े और बाहरी वस्त्र पहनकर कक्षा में प्रवेश करें।

4. गीले हाथों से कंप्यूटर पर काम करें.

5. कार्यस्थल पर विदेशी वस्तुएं रखें।

6. काम करते समय उठें, घूमें, अपने पड़ोसी से बात करें।

7. शिक्षक की अनुमति के बिना उपकरण चालू और बंद करें।

8. उपकरण को चालू और बंद करने की प्रक्रिया का उल्लंघन करें।

9. कंप्यूटर बंद होने पर कीबोर्ड और माउस को स्पर्श करें, फर्नीचर और उपकरण को हिलाएं।

10. डिस्प्ले स्क्रीन, केबल, कनेक्टिंग वायर, कनेक्टर, प्लग और सॉकेट को स्पर्श करें।

11. बिना अनुमति के शिक्षक के कार्यस्थल पर जाना

पीसी के साथ काम करते समय मानव स्वास्थ्य के लिए मुख्य खतरा बिजली के झटके का खतरा है। इसलिए यह निषिद्ध है:

1. उन उपकरणों पर काम करें जिनमें दृश्य दोष हों। सिस्टम यूनिट खोलें.

2. केबल कनेक्ट या डिस्कनेक्ट करें, कनेक्टिंग केबल, तारों और सॉकेट, ग्राउंडिंग डिवाइस के कनेक्टर्स को स्पर्श करें।

3. स्क्रीन और मॉनिटर तथा कीबोर्ड के पिछले भाग को स्पर्श करें।

4. उपकरण की खराबी का निवारण स्वयं करने का प्रयास करें।

5. गीले कपड़ों और गीले हाथों में काम करें

6. शिक्षक एवं प्रयोगशाला सहायक की आवश्यकताओं को पूरा करना; शांति और व्यवस्था बनाए रखें;

7. ऑनलाइन रहते समय केवल अपने नाम और पासवर्ड से ही काम करें;

8. ऑपरेटिंग मोड का निरीक्षण करें (स्वच्छता नियमों और मानकों के अनुसार);

9. शिक्षक की अनुमति से ही कार्य प्रारंभ करें और समाप्त करें।

10. यदि स्वास्थ्य में तेज गिरावट हो (आंखों में दर्द, दृश्यता में तेज गिरावट, ध्यान केंद्रित करने या तेज करने में असमर्थता, उंगलियों और हाथों में दर्द, दिल की धड़कन में वृद्धि), तो तुरंत कार्यस्थल छोड़ दें, घटना की रिपोर्ट करें शिक्षक और डॉक्टर से परामर्श लें;

11. कार्यस्थल को साफ़ रखें.

12. शिक्षक की अनुमति से कार्य समाप्त करें।

13. पूर्ण किये गये कार्य में हाथ बँटाना।

14. सभी सक्रिय प्रोग्राम बंद करें और कंप्यूटर को सही ढंग से बंद करें।

15. कार्यस्थल को व्यवस्थित रखें.

16. ड्यूटी अधिकारी को अगले पाठ के लिए कार्यालय की तैयारी की जांच करनी चाहिए।

उपकरण का संचालन करते समय, आपको सावधान रहना चाहिए: - बिजली का झटका;

- यांत्रिक क्षति, चोटें

आपात्कालीन स्थिति में:

1. यदि स्पार्किंग का पता चलता है, जलने की गंध आती है, या अन्य समस्याओं का पता चलता है, तो आपको तुरंत काम बंद कर देना चाहिए और शिक्षक को सूचित करना चाहिए।

2. यदि किसी को बिजली का झटका लगता है, तो यह आवश्यक है: काम बंद कर दें और सुरक्षित दूरी पर चले जाएं; वोल्टेज बंद करें (कैबिनेट स्विचबोर्ड पर); शिक्षक को सूचित करें; प्राथमिक उपचार के साथ आगे बढ़ें और डॉक्टर को बुलाएँ।

3. आग लगने की स्थिति में, यह आवश्यक है: काम बंद करें और निकासी शुरू करें; शिक्षक को सूचित करें और अग्निशमन विभाग को कॉल करें (दूरभाष 01); वोल्टेज बंद करें (कैबिनेट स्विचबोर्ड पर); अग्निशामक यंत्र से आग बुझाने के लिए आगे बढ़ें (पानी से आग बुझाना वर्जित है)।

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