यादृच्छिक चर x के वितरण का नियम दिया गया है। असतत यादृच्छिक चर और उसका वितरण कार्य

असतत यादृच्छिकचर यादृच्छिक चर होते हैं जो केवल वे मान लेते हैं जो एक दूसरे से दूर होते हैं और जिन्हें पहले से सूचीबद्ध किया जा सकता है।
वितरण का नियम
एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून एक ऐसा संबंध है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।
एक असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला उसके संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं की सूची है।
असतत यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन फ़ंक्शन है:
,
तर्क x के प्रत्येक मान के लिए यह संभावना निर्धारित करना कि यादृच्छिक चर X इस x से कम मान लेगा।

एक असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा
,
असतत यादृच्छिक चर का मान कहां है; - X मानों को स्वीकार करने वाले एक यादृच्छिक चर की संभावना।
यदि कोई यादृच्छिक चर संभावित मानों का गणनीय सेट लेता है, तो:
.
n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा:
,

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव और मानक विचलन
असतत यादृच्छिक चर का फैलाव:
या .
n स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संख्या में भिन्नता
,
जहाँ p घटना घटित होने की प्रायिकता है।
असतत यादृच्छिक चर का मानक विचलन:
.

उदाहरण 1
असतत यादृच्छिक चर (DRV) एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें. वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं (वितरण मोड, गणितीय अपेक्षा एम(एक्स), फैलाव डी(एक्स), मानक विचलन एस(एक्स))। समाधान:आइए हम संकेतन का परिचय दें: घटना ए - "पासे की एक जोड़ी फेंकने पर, कम से कम एक बार छक्का दिखाई देता है।" घटना A की प्रायिकता P(A) = p ज्ञात करने के लिए, पहले विपरीत घटना Ā की प्रायिकता P(Ā) = q ज्ञात करना अधिक सुविधाजनक है - "पासे का एक जोड़ा फेंकते समय, छक्का कभी नहीं आया।"
चूँकि एक पासा फेंकने पर "छह" न आने की प्रायिकता 5/6 है, तो प्रायिकता गुणन प्रमेय के अनुसार
पी(Ā) = क्यू = = .
क्रमश,
पी(ए) = पी = 1 – पी(Ā) = .
समस्या में परीक्षण बर्नौली योजना का पालन करते हैं, इसलिए डी.एस.वी. परिमाण एक्स- संख्या कदो पासे फेंकने पर कम से कम एक छः की घटना संभाव्यता वितरण के द्विपद नियम का पालन करती है:

जहाँ = के संयोजनों की संख्या है एनद्वारा क.

इस समस्या के लिए की गई गणनाओं को एक तालिका के रूप में आसानी से प्रस्तुत किया जा सकता है:
संभाव्यता वितरण डी.एस.वी. एक्स º क (एन = 8; पी = ; क्यू = )

क
पीएन(क)

असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का बहुभुज (बहुभुज)। एक्सचित्र में दिखाया गया है:

चावल। संभाव्यता वितरण बहुभुज डी.एस.वी. एक्स=क.
ऊर्ध्वाधर रेखा वितरण की गणितीय अपेक्षा को दर्शाती है एम(एक्स).

आइए हम डी.एस.वी. के संभाव्यता वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं। एक्स. वितरण मोड 2 (यहाँ) है पी 8(2) = 0.2932 अधिकतम)। परिभाषा के अनुसार गणितीय अपेक्षा इसके बराबर है:
एम(एक्स) = = 2,4444,
कहाँ एक्सके = क- डी.एस.वी. द्वारा लिया गया मान एक्स. झगड़ा डी(एक्स) हम सूत्र का उपयोग करके वितरण पाते हैं:
डी(एक्स) = = 4,8097.
मानक विचलन (आरएमएस):
एस( एक्स) = = 2,1931.

उदाहरण 2
असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण कानून द्वारा दिया गया

वितरण फ़ंक्शन F(x) ढूंढें और इसे प्लॉट करें।

समाधान।यदि , तो (तीसरी संपत्ति)।
तो अगर। वास्तव में, एक्सप्रायिकता 0.3 के साथ मान 1 ले सकते हैं।
तो अगर। वास्तव में, यदि यह असमानता को संतुष्ट करता है
, तो उस घटना की संभावना के बराबर है जो तब घटित हो सकती है एक्समान 1 (इस घटना की संभावना 0.3 है) या मान 4 (इस घटना की संभावना 0.1 है) लेगा। चूँकि ये दोनों घटनाएँ असंगत हैं, तो योग प्रमेय के अनुसार, किसी घटना की संभावना संभावनाओं के योग के बराबर होती है 0.3 + 0.1 = 0.4। तो अगर। दरअसल, घटना निश्चित है, इसलिए इसकी संभावना एक के बराबर है। तो, वितरण फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़:
आइए इन मानों के अनुरूप संभावनाएं खोजें। शर्त के अनुसार, उपकरणों की विफलता की संभावनाएँ बराबर होती हैं: फिर वारंटी अवधि के दौरान उपकरणों के काम करने की संभावनाएँ बराबर होती हैं:




वितरण कानून का रूप है:

परिभाषा 2.3. X द्वारा निरूपित एक यादृच्छिक चर को असतत कहा जाता है यदि यह मानों का एक परिमित या गणनीय सेट लेता है, अर्थात। समुच्चय - एक परिमित या गणनीय समुच्चय।

आइए असतत यादृच्छिक चर के उदाहरणों पर विचार करें।

1. दो सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। इस प्रयोग में प्रतीकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है एक्स. इसके संभावित मान 0,1,2 हैं, यानी। - एक परिमित समुच्चय.

2. एक निश्चित समयावधि के भीतर एम्बुलेंस कॉल की संख्या दर्ज की जाती है। यादृच्छिक मूल्य एक्स- कॉल की संख्या. इसके संभावित मान 0, 1, 2, 3, ..., यानी हैं। =(0,1,2,3,...) एक गणनीय समुच्चय है।

3. समूह में 25 छात्र हैं। एक निश्चित दिन पर, कक्षा में आने वाले छात्रों की संख्या दर्ज की जाती है - एक यादृच्छिक चर एक्स. इसके संभावित मान: 0, 1, 2, 3, ...,25 यानी। =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

हालाँकि उदाहरण 3 में सभी 25 लोग कक्षाएं नहीं छोड़ सकते, यादृच्छिक चर एक्सयह मान ले सकते हैं. इसका मतलब यह है कि एक यादृच्छिक चर के मानों की अलग-अलग संभावनाएँ होती हैं।

आइए एक असतत यादृच्छिक चर के गणितीय मॉडल पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है, जो प्रारंभिक घटनाओं के एक सीमित या गणनीय स्थान से मेल खाता है। आइए हम वास्तविक संख्याओं के सेट पर इस स्थान के मानचित्रण पर विचार करें, यानी, आइए हम प्रत्येक प्रारंभिक घटना को एक निश्चित वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करें। संख्याओं का समुच्चय परिमित या गणनीय हो सकता है, अर्थात्। या

उपसमुच्चय की एक प्रणाली, जिसमें एक-बिंदु सहित कोई भी उपसमुच्चय शामिल होता है, एक संख्यात्मक सेट (- परिमित या गणनीय) का बीजगणित बनाता है।

चूँकि कोई भी प्रारंभिक घटना कुछ निश्चित संभावनाओं से जुड़ी होती है पी मैं(सब कुछ परिमित होने की स्थिति में), और, तब एक यादृच्छिक चर का प्रत्येक मान एक निश्चित संभावना से जुड़ा हो सकता है पी मैं, ऐसा है कि ।

होने देना एक्सएक मनमाना वास्तविक संख्या है. चलो निरूपित करें आर एक्स (एक्स)संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सके बराबर मान लिया एक्स, अर्थात। पी एक्स (एक्स)=पी(एक्स=एक्स). फिर फ़ंक्शन आर एक्स (एक्स)केवल उन मानों के लिए सकारात्मक मान ले सकते हैं एक्स, जो एक परिमित या गणनीय समुच्चय से संबंधित हैं , और अन्य सभी मानों के लिए इस मान की प्रायिकता पी एक्स (एक्स) = 0.

इसलिए, हमने मूल्यों के सेट को परिभाषित किया है, -बीजगणित को किसी भी उपसमुच्चय की एक प्रणाली के रूप में और प्रत्येक घटना के लिए ( एक्स = एक्स) संभाव्यता की तुलना की किसी के लिए, यानी एक संभाव्यता स्थान का निर्माण किया।

उदाहरण के लिए, एक सममित सिक्के को दो बार उछालने वाले प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं के स्थान में चार प्रारंभिक घटनाएं शामिल होती हैं: , जहां

जब सिक्के को दो बार उछाला गया तो दो पट दिखाई दिए; जब सिक्का दो बार उछाला गया, तो हथियारों के दो कोट गिर गए;

सिक्के को पहली बार उछालने पर एक हैश निकला, और दूसरी बार उछालने पर हथियारों का एक कोट निकला;

सिक्के को पहली बार उछालने पर राजचिह्न सामने आया और दूसरी बार उछालने पर हैश का निशान।

चलो यादृच्छिक चर एक्स- ग्रेटिंग छोड़ने वालों की संख्या। इसे इसके मूल्यों के समुच्चय पर परिभाषित किया गया है . एकल-बिंदु वाले सहित सभी संभावित उपसमुच्चय, एक बीजगणित बनाते हैं, अर्थात। =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2))।

किसी घटना की संभावना ( एक्स=एक्स मैं}, і = 1,2,3, हम इसे किसी घटना के घटित होने की संभावना के रूप में परिभाषित करते हैं जो इसका प्रोटोटाइप है:

इस प्रकार, प्रारंभिक घटनाओं पर ( एक्स = xi) एक संख्यात्मक फ़ंक्शन सेट करें आर एक्स, इसलिए .

परिभाषा 2.4. असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम संख्याओं के जोड़े (x i, р i) का एक सेट है, जहां x i यादृच्छिक चर के संभावित मान हैं, और р i संभावनाएं हैं जिनके साथ यह इन मानों को लेता है, और .

असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका है जो यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करती है:

			…		…
			…		…

ऐसी तालिका को वितरण श्रृंखला कहा जाता है। वितरण श्रृंखला को अधिक दृश्य रूप देने के लिए, इसे ग्राफिक रूप से दर्शाया गया है: अक्ष पर ओहडॉट्स एक्स मैंऔर उनसे लंबाई के लंब खींचिए पी मैं. परिणामी बिंदु जुड़े हुए हैं और एक बहुभुज प्राप्त होता है, जो वितरण कानून के रूपों में से एक है (चित्र 2.1)।

इस प्रकार, एक असतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसके मान और संबंधित संभावनाओं को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण 2.2.हर बार संभावना वाला सिक्का डालने पर मशीन का कैश स्लॉट चालू हो जाता है आर. एक बार चालू होने के बाद, सिक्के नीचे नहीं आते। होने देना एक्स- मशीन के कैश स्लॉट चालू होने से पहले डाले जाने वाले सिक्कों की संख्या। असतत यादृच्छिक चर के वितरण की एक श्रृंखला का निर्माण करें एक्स.

समाधान।यादृच्छिक चर के संभावित मान एक्स: एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2,..., एक्स के = के, ...आइए इन मानों की प्रायिकताएँ ज्ञात करें: पी 1- संभावना है कि धन प्राप्तकर्ता पहली बार कम होने पर काम करेगा, और पी 1 = पी; पी 2 -संभावना है कि दो प्रयास किए जाएंगे. ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि: 1) धन प्राप्तकर्ता पहले प्रयास में काम न करे; 2) दूसरे प्रयास में यह काम कर गया। इस घटना की प्रायिकता है (1-आर)आर. वैसे ही और इसी तरह, . वितरण सीमा एक्सरूप ले लेगा

	1	2	3	…	को	…
	आर	क्यू.पी	क्यू 2 पी		क्यू आर -1 पी

ध्यान दें कि संभावनाएँ आर केहर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाएं: 1-पी=क्यू, क्यू<1, इसलिए इस संभाव्यता वितरण को कहा जाता है ज्यामितिक.

आइए आगे मान लें कि एक गणितीय मॉडल का निर्माण किया गया है एक असतत यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित प्रयोग एक्स, और मनमानी घटनाओं के घटित होने की संभावनाओं की गणना करने पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक मनमाना घटना में मूल्यों का एक सीमित या गणनीय सेट होता है एक्स मैं: ए= {एक्स 1, एक्स 2,..., एक्स आई, ...) ।आयोजन एफॉर्म की असंगत घटनाओं के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है:। फिर, कोलमोगोरोव के अभिगृहीत 3 का उपयोग करते हुए , हम पाते हैं

चूंकि हमने घटनाओं के घटित होने की संभावनाओं को उन घटनाओं के घटित होने की संभावनाओं के बराबर निर्धारित किया है जो उनके प्रोटोटाइप हैं। इसका मतलब है कि किसी भी घटना की संभावना , , सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है, क्योंकि इस घटना को घटनाओं के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां .

फिर वितरण समारोह एफ(एक्स) = Р(-<Х<х) सूत्र द्वारा पाया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्सअसंतत है और छलांग में वृद्धि होती है, यानी यह एक चरणीय कार्य है (चित्र 2.2):

यदि समुच्चय परिमित है, तो सूत्र में पदों की संख्या परिमित है, लेकिन यदि यह गणनीय है, तो पदों की संख्या गणनीय है।

उदाहरण 2.3.तकनीकी उपकरण में दो तत्व होते हैं जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। समय T के दौरान पहले तत्व की विफलता की संभावना 0.2 है, और दूसरे तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। यादृच्छिक मूल्य एक्स- समय टी के दौरान विफल तत्वों की संख्या। यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन ढूंढें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान।किसी तकनीकी उपकरण के दो तत्वों की विश्वसनीयता का अध्ययन करने वाले प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं का स्थान चार प्रारंभिक घटनाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है, , , : - दोनों तत्व क्रियाशील हैं; - पहला तत्व काम कर रहा है, दूसरा दोषपूर्ण है; - पहला तत्व दोषपूर्ण है, दूसरा काम कर रहा है; - दोनों तत्व दोषपूर्ण हैं। प्रत्येक प्रारंभिक घटना को रिक्त स्थान की प्रारंभिक घटनाओं के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है और , जहां - पहला तत्व क्रियाशील है; - पहला तत्व विफल हो गया है; - दूसरा तत्व काम कर रहा है; - दूसरा तत्व विफल हो गया है. फिर, और चूंकि तकनीकी उपकरण के तत्व एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं

8. इसकी क्या प्रायिकता है कि असतत यादृच्छिक चर के मान अंतराल से संबंधित हैं?

एक्स; अर्थ एफ(5); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सखंड से मान लेगा. एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें.

1. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन F(x) ज्ञात है एक्स:

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम निर्धारित करें एक्सएक तालिका के रूप में.

1. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

एक्स	–28	–20	–12	–4
पी	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. संभावना है कि स्टोर के पास उत्पादों की पूरी श्रृंखला के लिए गुणवत्ता प्रमाणपत्र हैं, 0.7 है। आयोग ने क्षेत्र की चार दुकानों में प्रमाणपत्रों की उपलब्धता की जाँच की। एक वितरण कानून बनाएं, गणितीय अपेक्षा और उन दुकानों की संख्या के फैलाव की गणना करें जिनमें निरीक्षण के दौरान गुणवत्ता प्रमाण पत्र नहीं पाए गए।

1. 350 समान बक्सों के एक बैच में इलेक्ट्रिक लैंप के औसत जलने का समय निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक बॉक्स से एक इलेक्ट्रिक लैंप को परीक्षण के लिए लिया गया था। नीचे दिए गए संभावना से अनुमान लगाएं कि चयनित विद्युत लैंप की औसत जलने की अवधि पूरे बैच की औसत जलने की अवधि से 7 घंटे से कम समय तक भिन्न होती है, यदि यह ज्ञात हो कि विद्युत लैंप की जलने की अवधि का मानक विचलन प्रत्येक बॉक्स 9 घंटे से कम का है।

1. एक टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.002 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 500 ​​कनेक्शनों के बीच निम्नलिखित घटित होगा:

एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. फ़ंक्शंस और के ग्राफ़ बनाएं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें एक्स.

1. एक स्वचालित मशीन रोलर बनाती है। ऐसा माना जाता है कि उनका व्यास 10 मिमी के औसत मान के साथ एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। मानक विचलन क्या है यदि, 0.99 की संभावना के साथ, व्यास 9.7 मिमी से 10.3 मिमी तक है।

नमूना ए: 6 9 7 6 4 4

नमूना बी: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

विकल्प 17.

1. 35 भागों में से 7 अमानक हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से लिए गए दो भाग मानक निकलेंगे।

1. तीन पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गिराए गए पक्षों पर अंकों का योग 9 का गुणज है।

1. "एडवेंचर" शब्द कार्डों से बना है, प्रत्येक कार्ड पर एक अक्षर लिखा होता है। कार्डों को मिलाया जाता है और बिना वापस लौटाए एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दिखने के क्रम में निकाले गए अक्षर शब्द बनाते हैं: ए) एडवेंचर; बी) कैदी।

1. एक कलश में 6 काली और 5 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से हैं:
1. 2 सफेद गेंदें;
2. 2 से कम सफेद गेंदें;
3. कम से कम एक काली गेंद.

1. एएक परीक्षण में 0.4 के बराबर है. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए:
1. आयोजन ए 7 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार प्रकट होता है;
2. आयोजन ए 400 परीक्षणों की श्रृंखला में 220 से कम नहीं और 235 से अधिक बार दिखाई देगा।

1. प्लांट ने बेस पर 5,000 अच्छी गुणवत्ता वाले उत्पाद भेजे। पारगमन में प्रत्येक उत्पाद के क्षतिग्रस्त होने की संभावना 0.002 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यात्रा के दौरान 3 से अधिक उत्पाद क्षतिग्रस्त नहीं होंगे।

1. पहले कलश में 4 सफेद और 9 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 7 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। पहले कलश से 3 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं, और दूसरे कलश से 4 गेंदें। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई सभी गेंदें एक ही रंग की हैं।

1. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें।

1. बॉक्स में 10 पेंसिलें हैं। 4 पेंसिलें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित लोगों में नीली पेंसिलों की संख्या। इसके वितरण का नियम, दूसरे और तीसरे क्रम के प्रारंभिक और केंद्रीय क्षण ज्ञात कीजिए।

1. तकनीकी नियंत्रण विभाग दोषों के लिए 475 उत्पादों की जाँच करता है। उत्पाद के ख़राब होने की प्रायिकता 0.05 है। संभावना 0.95 के साथ, वह सीमाएँ खोजें जिनके भीतर परीक्षण किए गए उत्पादों में से दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या समाहित होगी।

1. एक टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.003 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 कनेक्शनों के बीच निम्नलिखित घटित होगा:
1. कम से कम 4 गलत कनेक्शन;
2. दो से अधिक गलत कनेक्शन।

1. यादृच्छिक चर वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स. फ़ंक्शंस और के ग्राफ़ बनाएं। यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें।

1. यादृच्छिक चर वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

1. नमूने से एनिम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें:
1. एक विविधता श्रृंखला बनाएं;

· नमूना औसत;

· नमूना विचरण;

मोड और माध्यिका;

नमूना ए: 0 0 2 2 1 4

1. विविधता श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

· नमूना औसत;

· नमूना विचरण;

मानक नमूना विचलन;

· मोड और माध्यिका;

नमूना बी: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

विकल्प 18.

1. 10 लॉटरी टिकटों में से 2 विजेता हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से लिए गए पाँच टिकटों में से एक विजेता होगा।

1. तीन पासे फेंके जाते हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लुढ़के हुए अंकों का योग 15 से अधिक है।

1. शब्द "PERIMETER" कार्डों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा होता है। कार्डों को मिलाया जाता है और बिना वापस लौटाए एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर शब्द बनाते हैं: a) PERIMETER; बी) मीटर.

1. एक कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से हैं:
1. 4 सफेद गेंदें;
2. 2 से कम सफेद गेंदें;
3. कम से कम एक काली गेंद.

1. किसी घटना के घटित होने की संभावना एएक परीक्षण में 0.55 के बराबर है. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए:
1. आयोजन ए 5 चुनौतियों की श्रृंखला में 3 बार दिखाई देगा;
2. आयोजन ए 300 परीक्षणों की श्रृंखला में 130 से कम और 200 से अधिक बार दिखाई नहीं देगा।

1. डिब्बाबंद सामान के डिब्बे के टूटने की प्रायिकता 0.0005 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 2000 डिब्बों में से दो में रिसाव होगा।

1. पहले कलश में 4 सफेद और 8 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 7 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। पहले कलश से दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं और दूसरे कलश से तीन गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई सभी गेंदें एक ही रंग की हैं।

1. असेंबली के लिए आने वाले पुर्जों में से पहली मशीन से 0.1%, दूसरी से 0.2%, तीसरी से 0.25% और चौथी से 0.5% ख़राब हैं। मशीन उत्पादकता अनुपात क्रमशः 4:3:2:1 है। यादृच्छिक रूप से लिया गया भाग मानक निकला। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह भाग पहली मशीन पर बनाया गया था।

1. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें।

1. एक इलेक्ट्रीशियन के पास तीन प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक में 0.1 की संभावना के साथ खराबी है। प्रकाश बल्बों को सॉकेट में लगा दिया जाता है और करंट चालू कर दिया जाता है। जब करंट चालू किया जाता है, तो दोषपूर्ण प्रकाश बल्ब तुरंत जल जाता है और उसके स्थान पर दूसरा बल्ब लगा दिया जाता है। परीक्षण किए गए प्रकाश बल्बों की संख्या का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा और फैलाव ज्ञात करें।

1. 900 स्वतंत्र शॉट्स में से प्रत्येक के लिए लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.3 है। चेबीशेव की असमानता का उपयोग करते हुए, इस संभावना का अनुमान लगाएं कि लक्ष्य कम से कम 240 बार और अधिकतम 300 बार मारा जाएगा।

1. एक टेलीफोन एक्सचेंज में, 0.002 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 800 कनेक्शनों के बीच निम्नलिखित घटित होगा:
1. कम से कम तीन गलत कनेक्शन;
2. चार से अधिक गलत कनेक्शन।

1. यादृच्छिक चर वितरण घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन ढूंढें। फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं और। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका की गणना करें एक्स।

1. यादृच्छिक चर वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

1. नमूने से एनिम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें:
1. एक विविधता श्रृंखला बनाएं;
2. सापेक्ष और संचित आवृत्तियों की गणना करें;
3. एक अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन संकलित करें और उसे प्लॉट करें;
4. विविधता श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

· नमूना औसत;

· नमूना विचरण;

मानक नमूना विचलन;

· मोड और माध्यिका;

नमूना ए: 4 7 6 3 3 4

1. नमूना बी का उपयोग करके, निम्नलिखित समस्याओं को हल करें:
1. एक समूहीकृत विविधता श्रृंखला बनाएं;
2. एक हिस्टोग्राम और आवृत्ति बहुभुज बनाएं;
3. विविधता श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

· नमूना औसत;

· नमूना विचरण;

मानक नमूना विचलन;

· मोड और माध्यिका;

नमूना बी: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

विकल्प 19.

1. साइट पर 16 महिलाएं और 5 पुरुष काम कर रहे हैं। 3 लोगों को उनके कर्मियों की संख्या का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष होंगे।

2. चार सिक्के उछाले गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि केवल दो सिक्कों पर "हथियारों का कोट" होगा।

3. शब्द "PSYCHOLOGY" कार्डों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पर एक अक्षर लिखा हुआ है। कार्डों को मिलाया जाता है और बिना वापस लौटाए एक-एक करके निकाल लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अक्षर एक शब्द बनाते हैं: a) मनोविज्ञान; बी) कर्मचारी।

4. कलश में 6 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। 5 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से हैं:

एक। 3 सफेद गेंदें;

बी। 3 से कम सफेद गेंदें;

सी। कम से कम एक सफेद गेंद.

5. किसी घटना के घटित होने की संभावना एएक परीक्षण में 0.5 के बराबर है. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए:

एक। आयोजन ए 5 स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में 3 बार प्रकट होता है;

बी। आयोजन ए 50 परीक्षणों की श्रृंखला में कम से कम 30 और 40 से अधिक बार दिखाई देगा।

6. एक ही शक्ति की 100 मशीनें हैं, जो एक ही मोड में एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करती हैं, जिनमें उनकी ड्राइव 0.8 कार्य घंटों के लिए चालू रहती है। क्या संभावना है कि किसी भी समय 70 से 86 मशीनें चालू हो जाएंगी?

7. पहले कलश में 4 सफेद और 7 काली गेंदें हैं, और दूसरे कलश में 8 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। पहले कलश से 4 गेंदें और दूसरे से 1 गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंदों में से केवल 4 काली गेंदें हैं।

8. कार बिक्री शोरूम में प्रतिदिन तीन ब्रांडों की कारें आती हैं: "मोस्कविच" - 40%; "ओका" - 20%; "वोल्गा" - सभी आयातित कारों का 40%। मोस्कविच कारों में, 0.5% में चोरी-रोधी उपकरण है, ओका - 0.01%, वोल्गा - 0.1% है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निरीक्षण के लिए ली गई कार में चोरी-रोधी उपकरण है।

9. खंड पर संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ये संख्याएँ असमानताओं को संतुष्ट करती हैं।

10. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:

एक्स
पी	0,1	0,2	0,3	0,4

एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स; अर्थ एफ(2); संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से मान लेगा. एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें.

वितरण का नियम और विशेषताएँ

यादृच्छिक चर

यादृच्छिक चर, उनका वर्गीकरण और वर्णन के तरीके।

यादृच्छिक मात्रा वह मात्रा है जो प्रयोग के परिणामस्वरूप एक या दूसरा मान ले सकती है, लेकिन कौन सा मान पहले से ज्ञात नहीं होता है। इसलिए, एक यादृच्छिक चर के लिए, आप केवल मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिनमें से एक वह निश्चित रूप से प्रयोग के परिणामस्वरूप लेगा। निम्नलिखित में हम इन मानों को यादृच्छिक चर के संभावित मान कहेंगे। चूँकि एक यादृच्छिक चर मात्रात्मक रूप से किसी प्रयोग के यादृच्छिक परिणाम की विशेषता बताता है, इसे एक यादृच्छिक घटना की मात्रात्मक विशेषता के रूप में माना जा सकता है।

यादृच्छिक चर को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, X..Y..Z, और उनके संभावित मानों को संबंधित छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।

यादृच्छिक चर तीन प्रकार के होते हैं:

पृथक; निरंतर; मिश्रित।

अलगएक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मानों की संख्या एक गणनीय सेट बनाती है। बदले में, वह समुच्चय जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है, गणनीय कहलाता है। शब्द "असतत" लैटिन डिस्क्रेटस से आया है, जिसका अर्थ है "असंतत, अलग-अलग हिस्सों से मिलकर बना"।

उदाहरण 1. एक असतत यादृच्छिक चर nproducts के एक बैच में दोषपूर्ण भागों X की संख्या है। दरअसल, इस यादृच्छिक चर के संभावित मान 0 से n तक पूर्णांकों की एक श्रृंखला हैं।

उदाहरण 2. एक असतत यादृच्छिक चर लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या है। यहां, उदाहरण 1 की तरह, संभावित मानों को क्रमांकित किया जा सकता है, हालांकि सीमित मामले में संभावित मान एक असीम रूप से बड़ी संख्या है।

निरंतरएक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मान लगातार संख्यात्मक अक्ष के एक निश्चित अंतराल को भरते हैं, जिसे कभी-कभी इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल भी कहा जाता है। इस प्रकार, अस्तित्व के किसी भी सीमित अंतराल पर, निरंतर यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या असीम रूप से बड़ी होती है।

उदाहरण 3. एक सतत यादृच्छिक चर एक उद्यम की मासिक बिजली खपत है।

उदाहरण 4. एक सतत यादृच्छिक चर एक अल्टीमीटर का उपयोग करके ऊंचाई मापने में त्रुटि है। अल्टीमीटर के ऑपरेटिंग सिद्धांत से ज्ञात हो कि त्रुटि 0 से 2 मीटर तक की सीमा में होती है। इसलिए, इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल 0 से 2 मीटर तक का अंतराल है।

यादृच्छिक चरों के वितरण का नियम.

एक यादृच्छिक चर को पूरी तरह से निर्दिष्ट माना जाता है यदि इसके संभावित मान संख्यात्मक अक्ष पर इंगित किए जाते हैं और वितरण कानून स्थापित किया जाता है।

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम एक ऐसा संबंध है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।

एक यादृच्छिक चर को किसी दिए गए कानून के अनुसार, या किसी दिए गए वितरण कानून के अधीन वितरित किया जाता है। वितरण कानूनों के रूप में कई संभावनाओं, वितरण फ़ंक्शन, संभाव्यता घनत्व और विशेषता फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है।

वितरण कानून एक यादृच्छिक चर का पूर्ण संभावित विवरण देता है। वितरण नियम के अनुसार, कोई प्रयोग से पहले निर्णय ले सकता है कि यादृच्छिक चर के कौन से संभावित मान अधिक बार दिखाई देंगे और कौन से कम बार।

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण कानून को एक तालिका के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका (मैट्रिक्स) है, जो यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को आरोही क्रम में सूचीबद्ध करता है, अर्थात।

ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला कहा जाता है। 1

घटनाएँ X 1, X 2,..., X n, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर असंगत और एकमात्र संभव (चूंकि तालिका एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों को सूचीबद्ध करती है), यानी। एक पूरा समूह बनाएं. इसलिए, उनकी संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। इस प्रकार, किसी भी असतत यादृच्छिक चर के लिए

(यह इकाई किसी तरह यादृच्छिक चर के मूल्यों के बीच वितरित की जाती है, इसलिए "वितरण" शब्द)।

यदि यादृच्छिक चर के मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और उनकी संबंधित संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, तो वितरण श्रृंखला को ग्राफिक रूप से चित्रित किया जा सकता है। प्राप्त बिंदुओं का कनेक्शन एक टूटी हुई रेखा बनाता है जिसे बहुभुज या संभाव्यता वितरण का बहुभुज कहा जाता है (चित्र 1)।

उदाहरणलॉटरी में शामिल हैं: 5,000 डेन की कीमत वाली एक कार। इकाइयाँ, 250 डेन की लागत वाले 4 टीवी। इकाइयाँ, 200 डेन मूल्य के 5 वीडियो रिकॉर्डर। इकाइयां 7 दिनों के लिए कुल 1000 टिकट बिके। इकाइयां एक टिकट खरीदने वाले लॉटरी प्रतिभागी द्वारा प्राप्त शुद्ध जीत के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान. यादृच्छिक चर X के संभावित मान - प्रति टिकट शुद्ध जीत - 0-7 = -7 पैसे के बराबर हैं। इकाइयां (यदि टिकट नहीं जीता), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 डेन। इकाइयां (यदि टिकट पर क्रमशः वीसीआर, टीवी या कार की जीत दर्ज है)। यह मानते हुए कि 1000 टिकटों में से गैर-विजेताओं की संख्या 990 है, और संकेतित जीत क्रमशः 5, 4 और 1 है, और संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

इस पृष्ठ पर हमने शैक्षिक समाधानों के उदाहरण एकत्र किए हैं असतत यादृच्छिक चर के बारे में समस्याएं. यह एक काफी व्यापक खंड है: विभिन्न वितरण कानून (द्विपद, ज्यामितीय, हाइपरजियोमेट्रिक, पॉइसन और अन्य), गुणों और संख्यात्मक विशेषताओं का अध्ययन किया जाता है; प्रत्येक वितरण श्रृंखला के लिए, ग्राफिकल प्रतिनिधित्व बनाया जा सकता है: संभावनाओं का बहुभुज (बहुभुज), वितरण फ़ंक्शन।

नीचे आपको असतत यादृच्छिक चर के बारे में निर्णयों के उदाहरण मिलेंगे, जिसमें आपको वितरण कानून तैयार करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत के पिछले अनुभागों से ज्ञान लागू करने की आवश्यकता है, और फिर गणितीय अपेक्षा, फैलाव, मानक विचलन की गणना करें, एक वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें, उत्तर दें डीएसवी आदि के बारे में प्रश्न। पी.

लोकप्रिय संभाव्यता वितरण कानूनों के उदाहरण:

डीएसवी विशेषताओं के लिए कैलकुलेटर

• डीएसवी की गणितीय अपेक्षा, फैलाव और मानक विचलन की गणना।

डीएसवी के बारे में समस्याओं का समाधान किया गया

ज्यामितीय के करीब वितरण

कार्य 1।वाहन के रास्ते में 4 ट्रैफिक लाइटें हैं, जिनमें से प्रत्येक 0.5 की संभावना के साथ वाहन की आगे की गति को रोकती है। पहले पड़ाव से पहले कार द्वारा गुजरी गई ट्रैफिक लाइटों की संख्या की वितरण श्रृंखला ज्ञात कीजिए। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण क्या हैं?

कार्य 2.शिकारी खेल में पहली हिट तक गोली चलाता है, लेकिन चार से अधिक गोली नहीं चला पाता है। यदि एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.7 है तो चूक की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। इस यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

कार्य 3.शूटर, जिसके पास 3 कारतूस हैं, पहली हिट होने तक लक्ष्य पर गोली चलाता है। पहले, दूसरे और तीसरे शॉट के लिए हिट संभावनाएँ क्रमशः 0.6, 0.5, 0.4 हैं। एस.वी. $\xi$ - शेष कारतूसों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला संकलित करें, यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन ढूंढें, यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें, $P(|\xi-m| \le \sigma$ ढूंढें।

कार्य 4.बॉक्स में 7 मानक और 3 दोषपूर्ण भाग हैं। वे भागों को तब तक क्रमिक रूप से निकालते हैं जब तक कि मानक भाग सामने न आ जाए, उन्हें वापस लौटाए बिना। $\xi$ पुनर्प्राप्त किए गए दोषपूर्ण भागों की संख्या है।
एक असतत यादृच्छिक चर $\xi$ के लिए एक वितरण कानून बनाएं, इसकी गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन की गणना करें, एक वितरण बहुभुज और वितरण फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं।

स्वतंत्र घटनाओं के साथ कार्य

कार्य 5.संभाव्यता सिद्धांत में 3 छात्र दोबारा परीक्षा में शामिल हुए। पहले व्यक्ति के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.8, दूसरे की 0.7 और तीसरे की 0.9 है। परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्रों की संख्या के यादृच्छिक चर $\xi$ की वितरण श्रृंखला खोजें, वितरण फ़ंक्शन को प्लॉट करें, $M(\xi), D(\xi)$ खोजें।

कार्य 6.एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.8 है और प्रत्येक शॉट के साथ 0.1 कम हो जाती है। यदि तीन गोलियां चलाई जाती हैं तो लक्ष्य पर हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। अपेक्षित मान, विचरण और S.K.O ज्ञात करें। यह यादृच्छिक चर. वितरण फलन का ग्राफ बनाइये।

कार्य 7.लक्ष्य पर 4 गोलियाँ चलाई गईं। हिट की संभावना इस प्रकार बढ़ती है: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7। यादृच्छिक चर $X$ के वितरण का नियम ज्ञात करें - हिट की संख्या। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि $X \ge 1$।

कार्य 8.दो सममित सिक्कों को उछाला जाता है और सिक्कों के दोनों ऊपरी किनारों पर हथियारों के कोट की संख्या गिना जाता है। हम एक अलग यादृच्छिक चर $X$ पर विचार करते हैं - दोनों सिक्कों पर हथियारों के कोट की संख्या। यादृच्छिक चर $X$ का वितरण नियम लिखें, इसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।

डीएसवी के वितरण की अन्य समस्याएं और कानून

कार्य 9.दो बास्केटबॉल खिलाड़ी टोकरी में तीन शॉट लगाते हैं। पहले बास्केटबॉल खिलाड़ी के लिए हिट होने की संभावना 0.6 है, दूसरे के लिए - 0.7। मान लीजिए $X$ पहले और दूसरे बास्केटबॉल खिलाड़ियों के सफल शॉट्स की संख्या के बीच का अंतर है। यादृच्छिक चर $X$ की वितरण श्रृंखला, मोड और वितरण फ़ंक्शन खोजें। एक वितरण बहुभुज और वितरण फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। अपेक्षित मान, विचरण और मानक विचलन की गणना करें। घटना $(-2 \lt X \le 1)$ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समस्या 10.एक निश्चित बंदरगाह पर लोडिंग के लिए प्रतिदिन आने वाले अनिवासी जहाजों की संख्या एक यादृच्छिक चर $X$ है, जो इस प्रकार दी गई है:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
ए) सुनिश्चित करें कि वितरण श्रृंखला निर्दिष्ट है,
बी) यादृच्छिक चर $X$ का वितरण फ़ंक्शन ढूंढें,
सी) यदि किसी दिन तीन से अधिक जहाज आते हैं, तो बंदरगाह अतिरिक्त ड्राइवरों और लोडरों को किराए पर लेने की आवश्यकता के कारण लागत की जिम्मेदारी लेता है। इसकी क्या संभावना है कि बंदरगाह पर अतिरिक्त लागत लगेगी?
डी) यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।

समस्या 11. 4 पासे फेंके जाते हैं. सभी पक्षों पर दिखाई देने वाले अंकों की संख्या के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समस्या 12.दोनों बारी-बारी से एक सिक्का उछालते हैं जब तक कि हथियारों का कोट पहली बार सामने न आ जाए। जिस खिलाड़ी को हथियारों का कोट मिला, उसे दूसरे खिलाड़ी से 1 रूबल मिलता है। प्रत्येक खिलाड़ी के लिए जीत की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।