सहअभाज्य संख्याओं का नोड क्या है? महत्तम सामान्य भाजक

प्राकृत संख्याएँ a और b कहलाती हैं सह अभाज्य, यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 (gcd(a ; b ) = 1) है। दूसरे शब्दों में, यदि संख्या a और b में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो वे सहअभाज्य हैं।

सहअभाज्य संख्याओं के जोड़े के उदाहरण: 2 और 5, 13 और 16, 35 और 88, आदि। आप कई सहअभाज्य संख्याएँ निर्दिष्ट कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 7, 9, 16 सहअभाज्य हैं।

अक्सर सहअभाज्य संख्याओं को इस प्रकार दर्शाया जाता है: (ए, बी) \u003d 1. उदाहरण के लिए, (23, 30) \u003d 1. यह प्रविष्टि, जैसा कि यह थी, दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य विभाजक के पदनाम का संक्षिप्त नाम है (जीसीडी (23, 30) = 1), और कहते हैं कि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है।

दो आसन्न प्राकृत संख्याएँ सदैव सहअभाज्य होंगी।उदाहरण के लिए, 15 और 16, 16 और 17 की तरह, सहअभाज्य संख्याओं की एक जोड़ी हैं। यह समझना आसान है अगर हम "नियम" को ध्यान में रखते हैं कि यदि दो प्राकृतिक संख्याएं ए और बी एक ही बड़ी प्राकृतिक संख्या से विभाज्य हैं 1 ( n > 1), तो उनका अंतर भी इस संख्या n से विभाज्य होना चाहिए (यहां हमारा मतलब है कि ए, बी और उनका अंतर एक पूर्णांक से विभाजित है, यानी वे संख्या एन के गुणज हैं)। लेकिन यदि a और b दो आसन्न संख्याएँ हैं (मान लीजिए a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

यह सहअभाज्य संख्याओं और अभाज्य संख्याओं की परिभाषा से भी अनुसरण करता है विभिन्न अभाज्य संख्याएँ सदैव सहअभाज्य होती हैं. आख़िरकार, किसी भी अभाज्य संख्या का एकमात्र भाजक स्वयं और 1 ही होते हैं।

सहअभाज्य संख्याओं के गुण

• सहअभाज्य संख्याओं की एक जोड़ी का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उनके गुणनफल के बराबर होता है।उदाहरण के लिए, (3, 8) = 1 (जिसका अर्थ है अपेक्षाकृत अभाज्य), इसलिए उनका एलसीएम 3 × 8 = 24 (एलसीएम (3, 8) = 24) है। वास्तव में, आपको 24 से छोटी कोई संख्या नहीं मिलेगी जो कि 3 और 8 दोनों का गुणज हो।
• यदि संख्या a और b सहअभाज्य हैं और संख्या c, a और b दोनों का गुणज है, तो यह संख्या ab के गुणनफल का भी गुणज होगी। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: यदि c a और c b , तो c ab । उदाहरण के लिए, (3, 10) = 1, संख्या 60, 3 और 10 दोनों का गुणज है, और 30 (3 × 10) का भी गुणज है।
• यदि संख्या a और b सहअभाज्य हैं और संख्या c को b (c b) के गुणज के रूप में लिया जाता है, तो गुणनफल ac भी b (ac b) का गुणज होगा। उदाहरण के लिए, (2, 17) = 1, मान लीजिए c = 34। संख्या 34, b = 17 का गुणज है, तो ac = 2 × 34 = 68। जांचें: 68 ÷ 17 = 4, यानी, यह विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि 68, 17 का गुणज है।

आमतौर पर यहां सूचीबद्ध संपत्तियों से अधिक संपत्तियां होती हैं। इसके अलावा, अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के गुण अलग-अलग तरीकों से तैयार किए जाते हैं। कभी-कभी इन गुणों को साबित करने की भी आवश्यकता होती है (इस मामले में कोई सबूत नहीं दिया गया है)।

सहअभाज्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक हमेशा एक होता है।

अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के नोड्स के उदाहरण.

संख्या 11 और 7 की जीसीडी

संख्याएँ 11 और 7 सहअभाज्य हैं और साथ ही, अभाज्य भी हैं।

संख्या 11 और 7 में 1 के अलावा कोई अन्य सामान्य भाजक नहीं है।

जीसीडी(11, 7) = 1

संख्या 11 और 15 की जीसीडी

संख्याएँ 11 और 15 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इस मामले में, 11 एक अभाज्य संख्या है, और 15 एक भाज्य संख्या है।

11 के भाजक 1 और 11 हैं।

15 के भाजक 1, 3, 5, 15 हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 11 और 15 का एकमात्र सामान्य गुणनखंड संख्या 1 है। इसलिए, इकाई संख्या 11 और 15 की जीसीडी है:

जीसीडी(11, 15) = 1

संख्या 10 और 21 की जीसीडी

संख्याएँ 10 और 21 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इस स्थिति में, संख्या 10 और संख्या 21 दोनों संयुक्त हैं।

10 के गुणनखंड 1, 2, 5, 10 हैं।

संख्या 21 के गुणनखंड 1, 3, 7, 21 हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 10 और 21 का एकमात्र सामान्य गुणनखंड संख्या 1 है। इसलिए, इकाई संख्या 10 और 21 की जीसीडी है:

जीसीडी(21,10) = 1

संख्या 16 और 23 की जीसीडी

संख्या 16 और 23 सहअभाज्य हैं। इस मामले में, 23 एक अभाज्य संख्या है, और 16 एक भाज्य संख्या है।

कार्य: सबसे सुविधाजनक तरीके से संख्याओं का GCD और LCM ज्ञात करें:

ए) 12 और 40; बी) 9 और 40; ग) 12 और 72.

कार्य के लिए 5 मिनट का समय दिया गया है।

प्रत्येक व्यायाम को करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?

स्लाइड टूटना.

a) अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन विधि द्वारा हल करना अधिक सुविधाजनक है

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

जीसीडी(12;40)=2 2=4; एलसीएम(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

ख) क्या संख्या 9 और 40 में उभयनिष्ठ भाजक हैं? (है, 1.)

इन नंबरों को क्या कहा जाता है? ? (सह अभाज्य।)

इन नंबरों की GCD क्या है? ? (जीसीडी(9;40) = 1)

इन संख्याओं का LCM क्या है? ? (एलसीएम(9;40) = 9 40=360.)

ग) आप संख्या 12 और 72 के बारे में क्या कह सकते हैं ? (72 को 12 से विभाजित करें) हम कौन सा नियम जानते हैं? (यदि एक संख्या दूसरे से विभाज्य है, तो GCD = सबसे छोटी संख्या, और LCM - सबसे बड़ी)

जीसीडी(12;72) = 12; एलसीएम(12;72) = 72

आपने जो डेटा प्राप्त किया है उसकी जाँच उस मानक से करें जो शिक्षक की मेज पर मौजूद है।

एफओ: मानक पत्रक में लिखे मानदंडों के अनुसार अपना मूल्यांकन करें। मानदंड के आगे टिक लगाना.

7 टिक - उच्च स्तर

6-4 टिक - औसत स्तर

1-3 टिक - निम्न स्तर

फ़िज़मिनुत्का

जल्दी से उठे, मुस्कुराए,

और ऊँचा खींच लिया।

अच्छा, अपने कंधे सीधे करो

नीचे करो।

दाएं मुड़ें, बाएं मुड़ें

अपने हाथों को अपने घुटनों से स्पर्श करें।

बैठो, उठो, बैठो, उठो

और वे मौके पर दौड़ पड़े.

शिक्षक का प्रश्न: जीसीडी और एलसीएम संख्याओं के बारे में हम पहले से ही अपने ज्ञान का उपयोग कहां कर रहे हैं?

समस्याओं का समाधान करते समय.

उनके सामने, शिक्षक की मेज पर, 21 पंखुड़ियों से युक्त "कार्यों का कैमोमाइल" है।

लाल पंखुड़ी - स्तर सी कार्य।

पीली पंखुड़ी - स्तर बी के कार्य।

हरी पंखुड़ी - स्तर ए कार्य।

	माशा ने दुकान में भालू के लिए अंडे खरीदे। जंगल के रास्ते में, उसे एहसास हुआ कि अंडों की संख्या 2,3,5,10 और 15 से विभाज्य है। माशा ने कितने अंडे खरीदे?
	210 बरगंडी, 126 सफेद, 294 लाल गुलाबों में से गुलदस्ते एकत्र किए गए और प्रत्येक गुलदस्ते में एक ही रंग के गुलाबों की संख्या बराबर है। इन गुलाबों से बने गुलदस्तों की सबसे बड़ी संख्या क्या है और एक गुलदस्ते में प्रत्येक रंग के कितने गुलाब हैं?
	कार्डबोर्ड की एक शीट का आकार एक आयत जैसा है, जिसकी लंबाई 48 सेमी और चौड़ाई 40 सेमी है। इस शीट को बिना कचरे के समान वर्गों में काटा जाना चाहिए। इस शीट से कौन से सबसे बड़े वर्ग प्राप्त किये जा सकते हैं और कितने?
	परेड ग्राउंड पर कितने सैनिक मार्च कर रहे हैं यदि वे एक पंक्ति में 12 लोगों के समूह में मार्च करते हैं और एक पंक्ति में 18 लोगों के स्तंभ में बदल जाते हैं?
	बंदरगाह शहर में तीन पर्यटक नाव यात्राएं शुरू होती हैं, जिनमें से पहली 15 दिन, दूसरी - 20 और तीसरी - 12 दिन तक चलती है। बंदरगाह पर लौटकर जहाज़ उसी दिन पुनः यात्रा पर निकल पड़ते हैं। मोटर जहाज आज तीनों मार्गों पर बंदरगाह से रवाना हुए। वे पहली बार एक साथ कितने दिनों में यात्रा करेंगे?प्रत्येक जहाज कितनी यात्राएँ करेगा?
	कमरे में चिमनी को चौकोर आकार में फिनिशिंग टाइल्स के साथ बिछाया जाना चाहिए। 195 ͯ156 सेमी फायरप्लेस के लिए कितनी टाइलों की आवश्यकता है और सबसे बड़े टाइल आकार क्या हैं?
	वोलोडा का कदम 75 सेमी है, और कात्या का कदम 60 सेमी है। वे दोनों किस न्यूनतम दूरी पर पूर्णांक संख्या में कदम उठाएंगे?
	नए साल के उपहार के लिए हमने 180 सेब, 90 संतरे और 900 मिठाइयाँ खरीदीं। सभी बच्चों को समान उपहार मिले। इन फलों और मिठाइयों से बने समान उपहारों की सबसे बड़ी संख्या क्या है?
	परिधि के चारों ओर 54 ͯ48 मीटर मापने वाले बगीचे के भूखंड को बंद कर दिया जाना चाहिए, इसके लिए नियमित अंतराल पर कंक्रीट के खंभे लगाए जाने चाहिए। साइट के लिए कितने खंभे लाए जाने चाहिए और खंभे एक दूसरे से अधिकतम कितनी दूरी पर खड़े होंगे?
	खोजें: एलसीएम(360;252)।
	नए साल के उपहारों के लिए 78 चॉकलेट बार, 156 जिंजरब्रेड, कुकीज़ के 52 पैक, 104 संतरे और 130 सेब खरीदे गए। आप एक जैसे उपहारों की अधिकतम संख्या कितनी एकत्र कर सकते हैं?
	16 ͯ20 सेमी मापने वाले बक्सों को रखने के लिए चौकोर तल वाला एक बक्सा बनाना आवश्यक है। बक्सों को बक्से में फिट करने के लिए वर्गाकार तली की सबसे छोटी भुजा क्या होनी चाहिए?
	जीसीडी(720,216), एलसीएम(720,216) की गणना करें।
	एलसीएम (308.264) से जीसीएम (308.264) का अनुपात क्या है?
	क्रिसमस ट्री की व्यवस्था के लिए, उन्होंने मेवे, मिठाइयाँ और जिंजरब्रेड खरीदे - कुल 760 टुकड़े। उन्होंने मिठाइयों से 80 अधिक मेवे और मेवों से 120 कम जिंजरब्रेड लिए। इस स्टॉक से बच्चों के लिए समान उपहारों की सबसे बड़ी संख्या क्या बनाई जा सकती है?
	एलसीएम(84,160,96) खोजें,
	समान संख्याओं के जीसीडी से विभाजित एलसीएम(24, 2004) का भागफल ज्ञात कीजिए।
	सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जो 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 का गुणज हो।
	जीसीडी (56, 72) खोजें।
	मेज पर किताबें हैं, जिनकी संख्या 100 से कम है। ऐसी कितनी किताबें हैं यदि यह ज्ञात हो कि उन्हें 3, 4 और 5 टुकड़ों के पैक में बांधा जा सकता है?
	स्टोर में 600 से कम, लेकिन 500 से अधिक प्लेटें आईं। जब उन्होंने उन्हें दर्जनों में रखना शुरू किया, तो 3 प्लेटें दसियों की पूरी संख्या तक पहुंचने के लिए पर्याप्त नहीं थीं, और जब उन्होंने उन्हें दर्जनों (प्रत्येक में 12 प्लेटें) में रखना शुरू किया, तो 7 प्लेटें रह गईं। आप स्टोर में कितनी प्लेटें लाए?

एफडी:लाल रंग में पंखुड़ियों की प्रमुख संख्या उच्च स्तर की आत्मसात का संकेत देती है, पीला - आत्मसात का औसत स्तर और हरा - आत्मसात का निम्न स्तर दर्शाता है।