ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या: यह क्या है? ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या कैसे ज्ञात करें? सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन, सूत्रों की व्युत्पत्ति, उदाहरण।

मैं आपको धोखा देने वाली शीट न लिखने के लिए मनाने की कोशिश नहीं करूंगा। लिखना! त्रिकोणमिति पर चीट शीट सहित। बाद में मैंने यह समझाने की योजना बनाई कि चीट शीट की आवश्यकता क्यों है और चीट शीट उपयोगी क्यों हैं। और यहां इस बात की जानकारी दी गई है कि कैसे सीखें नहीं, बल्कि कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों को कैसे याद रखें। तो - बिना चीट शीट के त्रिकोणमिति! हम याद रखने के लिए संघों का उपयोग करते हैं।

1. अतिरिक्त सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में आते हैं": कोसाइन-कोसाइन, साइन-साइन। और एक और बात: कोसाइन "अपर्याप्त" हैं। उनके लिए "सबकुछ सही नहीं है", इसलिए वे संकेतों को बदल देते हैं: "-" से "+", और इसके विपरीत।

साइनस - "मिश्रण": साइन-कोसाइन, कोसाइन-साइन।

2. योग और अंतर सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में आते हैं"। दो कोसाइन - "कोलोबोक" जोड़ने पर, हमें कोसाइन की एक जोड़ी मिलती है - "कोलोबोक"। और घटाने पर, हमें निश्चित रूप से कोई कोलोबोक नहीं मिलेगा। हमें कुछ साइन मिलते हैं। इसके अलावा आगे एक माइनस भी है।

साइनस - "मिश्रण" :

3. किसी उत्पाद को योग और अंतर में बदलने के सूत्र।

हमें कोज्या युग्म कब मिलता है? जब हम कोसाइन जोड़ते हैं. इसीलिए

हमें कुछ साइन कब मिलते हैं? कोसाइन घटाते समय. यहाँ से:

साइन को जोड़ने और घटाने पर "मिश्रण" प्राप्त होता है। अधिक मज़ेदार क्या है: जोड़ना या घटाना? यह सही है, मोड़ो। और सूत्र के लिए वे अतिरिक्त लेते हैं:

पहले और तीसरे सूत्र में योग कोष्ठक में है। पदों के स्थानों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है। क्रम केवल दूसरे सूत्र के लिए महत्वपूर्ण है। लेकिन, भ्रमित न होने के लिए, याद रखने में आसानी के लिए, पहले कोष्ठक में तीनों सूत्रों में हम अंतर लेते हैं

और दूसरी बात - राशि

आपकी जेब में चीट शीट आपको मानसिक शांति देती है: यदि आप फॉर्मूला भूल जाते हैं, तो आप इसे कॉपी कर सकते हैं। और वे आपको आत्मविश्वास देते हैं: यदि आप चीट शीट का उपयोग करने में विफल रहते हैं, तो आप आसानी से सूत्रों को याद कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों साइन (sin x) और कोसाइन (cos x) पर संदर्भ जानकारी। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, ग्राफ़, सूत्र। ज्या और कोज्या की तालिका, व्युत्पन्न, अभिन्न, श्रृंखला विस्तार, छेदक, सहज्या। जटिल चरों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध.

ज्या और कोज्या की ज्यामितीय परिभाषा

|बीडी|- एक बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त के चाप की लंबाई ए.
α - कोण रेडियन में व्यक्त किया गया।

परिभाषा
साइन (पाप α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|

कोसाइन (cos α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|

स्वीकृत नोटेशन

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साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = पाप x

कोज्या फलन का ग्राफ़, y = cos x

साइन और कोसाइन के गुण

दौरा

फ़ंक्शंस y = पाप एक्सऔर y = क्योंकि xअवधि के साथ आवधिक 2π.

समानता

साइन फलन विषम है. कोज्या फलन सम है।

परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, चरम, वृद्धि, कमी

साइन और कोसाइन फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में, यानी सभी x के लिए निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (एन - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।

	य = पाप एक्स	य = क्योंकि x
दायरा और निरंतरता	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	-1 ≤ य ≤ 1	-1 ≤ य ≤ 1
की बढ़ती
अवरोही
मैक्सिमा, y = 1
मिनिमा, y = - 1
शून्य, y = 0
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0	य = 0	य = 1

मूल सूत्र

ज्या और कोज्या के वर्गों का योग

योग और अंतर से ज्या और कोज्या के सूत्र

;
;

ज्या और कोज्या के गुणनफल के लिए सूत्र

योग और अंतर सूत्र

साइन को कोसाइन के माध्यम से व्यक्त करना

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कोज्या को ज्या के माध्यम से व्यक्त करना

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स्पर्शरेखा के माध्यम से अभिव्यक्ति

; .

जब हम रखते है:
; .

पर :
; .

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए साइन और कोसाइन के मान दिखाती है।

जटिल चरों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

;

यूलर का सूत्र

{ -∞ < x < +∞ }

सेकेंट, कोसेकेंट

उलटा कार्य

साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम फलन क्रमशः आर्कसाइन और आर्ककोसाइन हैं।

आर्क्सिन, आर्क्सिन

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

-त्रिकोणमिति पर निश्चित रूप से कार्य होंगे। त्रिकोणमिति को अक्सर बड़ी संख्या में कठिन सूत्रों को रटने की आवश्यकता के कारण नापसंद किया जाता है, जिसमें साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की भरमार होती है। साइट ने पहले ही एक बार यूलर और पील फ़ार्मुलों के उदाहरण का उपयोग करके भूले हुए फ़ॉर्मूले को याद रखने की सलाह दी थी।

और इस लेख में हम यह दिखाने का प्रयास करेंगे कि केवल पाँच सरल त्रिकोणमितीय सूत्रों को दृढ़ता से जानना पर्याप्त है, और बाकी की सामान्य समझ रखें और जैसे ही आप आगे बढ़ें उन्हें प्राप्त करें। यह डीएनए के समान है: अणु एक पूर्ण जीवित प्राणी के संपूर्ण ब्लूप्रिंट को संग्रहीत नहीं करता है। बल्कि, इसमें उपलब्ध अमीनो एसिड से इसे असेंबल करने के निर्देश शामिल हैं। इसलिए त्रिकोणमिति में, कुछ सामान्य सिद्धांतों को जानकर, हम उन सभी आवश्यक सूत्रों को एक छोटे से सेट से प्राप्त करेंगे जिन्हें ध्यान में रखा जाना चाहिए।

हम निम्नलिखित सूत्रों पर भरोसा करेंगे:

ज्या और कोज्या योग के सूत्रों से, कोज्या फलन की समता और ज्या फलन की विषमता के बारे में जानकर, b के स्थान पर -b प्रतिस्थापित करने पर, हमें अंतर के सूत्र प्राप्त होते हैं:

1. अंतर की साइन: पाप(ए-बी) = पापएओल(-बी)+ओलएपाप(-बी) = पापएओलबी-ओलएपापबी
2. अंतर की कोज्या: ओल(ए-बी) = ओलएओल(-बी)-पापएपाप(-बी) = ओलएओलबी+पापएपापबी

समान सूत्रों में a = b डालने पर, हमें दोहरे कोणों की ज्या और कोज्या के सूत्र प्राप्त होते हैं:

1. दोहरे कोण की ज्या: पाप2ए = पाप(ए+ए) = पापएओलए+ओलएपापए = 2पापएओलए
2. दोहरे कोण की कोज्या: ओल2ए = ओल(ए+ए) = ओलएओलए-पापएपापए = ओल2 ए-पाप2 ए

अन्य अनेक कोणों के सूत्र इसी प्रकार प्राप्त होते हैं:

1. त्रिकोण की ज्या: पाप3 ए = पाप(2ए+ए)= पाप2एओलए+ओल2एपापए = (2पापएओलए)ओलए+(ओल2 ए-पाप2 ए)पापए = 2पापएओल2 ए+पापएओल2 ए-पाप 3 ए = 3 पापएओल2 ए-पाप 3 ए = 3 पापए(1-पाप2 ए)-पाप 3 ए = 3 पापए-4पाप 3 ए
2. त्रिकोण की कोज्या: ओल3 ए = ओल(2ए+ए)= ओल2एओलए-पाप2एपापए = (ओल2 ए-पाप2 ए)ओलए-(2पापएओलए)पापए = ओल 3 ए- पाप2 एओलए-2पाप2 एओलए = ओल 3 ए-3 पाप2 एओलए = ओल 3 ए-3(1- ओल2 ए)ओलए = 4ओल 3 ए-3 ओलए

इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, आइए एक समस्या पर नजर डालें।
दिया गया है: कोण तीव्र है।
यदि इसकी कोज्या ज्ञात कीजिए
एक छात्र द्वारा दिया गया समाधान:
क्योंकि , वह पापए= 3,ए ओलए = 4.
(गणित हास्य से)

तो, स्पर्शरेखा की परिभाषा इस फ़ंक्शन को साइन और कोसाइन दोनों से संबंधित करती है। लेकिन आप एक ऐसा सूत्र प्राप्त कर सकते हैं जो स्पर्शरेखा को केवल कोसाइन से संबंधित करता है। इसे प्राप्त करने के लिए, हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान लेते हैं: पाप 2 ए+ओल 2 ए= 1 और इसे से विभाजित करें ओल 2 ए. हम पाते हैं:

तो इस समस्या का समाधान यह होगा:

(चूंकि कोण न्यून है, मूल निकालते समय + चिह्न लिया जाता है)

किसी योग के स्पर्शरेखा का सूत्र एक और सूत्र है जिसे याद रखना कठिन है। आइए इसे इस तरह आउटपुट करें:

तुरंत प्रदर्शित और

दोहरे कोण के लिए कोज्या सूत्र से, आप आधे कोणों के लिए ज्या और कोज्या सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दोहरे कोण कोज्या सूत्र के बाईं ओर:
ओल2 ए = ओल 2 ए-पाप 2 ए
हम एक जोड़ते हैं, और दाईं ओर - एक त्रिकोणमितीय इकाई, यानी। ज्या और कोज्या के वर्गों का योग.
ओल2ए+1 = ओल2 ए-पाप2 ए+ओल2 ए+पाप2 ए
2ओल 2 ए = ओल2 ए+1
जताते ओलएके माध्यम से ओल2 एऔर चरों में परिवर्तन करते हुए, हमें मिलता है:

चतुर्थांश के आधार पर चिन्ह लिया जाता है।

इसी प्रकार, समानता के बाईं ओर से एक और दाईं ओर से ज्या और कोज्या के वर्गों के योग को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
ओल2ए-1 = ओल2 ए-पाप2 ए-ओल2 ए-पाप2 ए
2पाप 2 ए = 1-ओल2 ए

और अंत में, त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को उत्पाद में बदलने के लिए, हम निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि हमें ज्याओं के योग को एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है पापए+पापबी. आइए वेरिएबल x और y का परिचय इस प्रकार करें कि a = x+y, b+x-y। तब
पापए+पापबी = पाप(x+y)+ पाप(एक्स-वाई) = पापएक्स ओल y+ ओलएक्स पाप y+ पापएक्स ओलआप- ओलएक्स पापआप=2 पापएक्स ओलवाई आइए अब x और y को a और b के पदों में व्यक्त करें।

चूँकि a = x+y, b = x-y, तो। इसीलिए

आप तुरंत वापस ले सकते हैं

1. विभाजन का सूत्र साइन और कोसाइन के उत्पादवी मात्रा: पापएओलबी = 0.5(पाप(ए+बी)+पाप(ए-बी))

हम अनुशंसा करते हैं कि आप साइन के अंतर और कोसाइन के योग और अंतर को उत्पाद में परिवर्तित करने के साथ-साथ साइन और कोसाइन के उत्पादों को योग में विभाजित करने के लिए स्वयं अभ्यास करें और सूत्र प्राप्त करें। इन अभ्यासों को पूरा करने के बाद, आप त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्राप्त करने के कौशल में पूरी तरह से महारत हासिल कर लेंगे और सबसे कठिन परीक्षा, ओलंपियाड या परीक्षण में भी हार नहीं मानेंगे।

दो कोणों α और β के लिए ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्र हमें इन कोणों के योग से कोण α + β 2 और α - β 2 के गुणनफल तक जाने की अनुमति देते हैं। आइए हम तुरंत ध्यान दें कि आपको ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्रों को योग और अंतर की ज्या और कोज्या के सूत्रों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए। नीचे हम इन सूत्रों को सूचीबद्ध करते हैं, उनकी व्युत्पत्तियाँ देते हैं और विशिष्ट समस्याओं के लिए अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाते हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के लिए सूत्र

आइए लिखें कि ज्या और कोज्या के लिए योग और अंतर सूत्र कैसा दिखते हैं

ज्या के लिए योग और अंतर सूत्र

पाप α + पाप β = 2 पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 पाप α - पाप β = 2 पाप α - β 2 क्योंकि α + β 2

कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्र

कॉस α + कॉस β = 2 कॉस α + β 2 कॉस α - β 2 कॉस α - कॉस β = - 2 सिन α + β 2 कॉस α - β 2, कॉस α - कॉस β = 2 सिन α + β 2 · β - α 2

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं। कोण α + β 2 और α - β 2 को क्रमशः कोण अल्फा और बीटा का आधा योग और आधा अंतर कहा जाता है। आइए हम प्रत्येक सूत्र का सूत्रीकरण दें।

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के लिए सूत्रों की परिभाषा

दो कोणों की ज्याओं का योगइन कोणों के आधे योग की ज्या और आधे अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की ज्याओं का अंतरइन कोणों के आधे अंतर की ज्या और आधे योग की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की कोज्याओं का योगइन कोणों के आधे योग की कोज्या और आधे अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

दो कोणों की कोज्या का अंतरऋणात्मक चिन्ह के साथ लिए गए इन कोणों के आधे योग की ज्या और आधे अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के लिए सूत्र निकालना

दो कोणों की ज्या और कोज्या के योग और अंतर का सूत्र निकालने के लिए योग सूत्र का उपयोग किया जाता है। आइए उन्हें नीचे सूचीबद्ध करें

पाप (α + β) = पाप α · कॉस β + कॉस α · पाप β पाप (α - β) = पाप α · कॉस β - कॉस α · पाप β कॉस (α + β) = कॉस α · कॉस β - पाप α पाप β क्योंकि (α - β) = क्योंकि α क्योंकि β + पाप α पाप β

आइए, कोणों की भी आधे-जोड़ों और आधे-अंतरों के योग के रूप में कल्पना करें।

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

हम सीधे पाप और कॉस के योग और अंतर सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए आगे बढ़ते हैं।

ज्याओं के योग के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

पाप α + पाप β के योग में, हम α और β को ऊपर दिए गए इन कोणों के व्यंजकों से प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं

पाप α + पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 + पाप α + β 2 - α - β 2

अब हम पहले व्यंजक में जोड़ सूत्र लागू करते हैं, और दूसरे पर - कोण अंतर की ज्या का सूत्र लागू करते हैं (ऊपर सूत्र देखें)

पाप α + β 2 + α - β 2 = पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 + क्योंकि α + β 2 पाप α - β 2 पाप α + β 2 - α - β 2 = पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 - कॉस α + β 2 सिन α - β 2 सिन α + β 2 + α - β 2 + सिन α + β 2 - α - β 2 = सिन α + β 2 कॉस α - β 2 + कॉस α + β 2 पाप α - β 2 + पाप α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 पाप α - β 2 कोष्ठक खोलें, समान पद जोड़ें और आवश्यक सूत्र प्राप्त करें

पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 + क्योंकि α + β 2 पाप α - β 2 + पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 - क्योंकि α + β 2 पाप α - β 2 = = 2 पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2

शेष सूत्र प्राप्त करने के चरण समान हैं।

ज्याओं के अंतर के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

पाप α - पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 - पाप α + β 2 - α - β 2 पाप α + β 2 + α - β 2 - पाप α + β 2 - α - β 2 = पाप α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 पाप α - β 2 - पाप α + β 2 क्योंकि α - β 2 - cos α + β 2 पाप α - β 2 = = 2 पाप α - β 2 क्योंकि α + β 2

कोज्या के योग के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

कॉस α + कॉस β = कॉस α + β 2 + α - β 2 + कॉस α + β 2 - α - β 2 कॉस α + β 2 + α - β 2 + कॉस α + β 2 - α - β 2 = कॉस α + β 2 क्योंकि α - β 2 - पाप α + β 2 पाप α - β 2 + क्योंकि α + β 2 क्योंकि α - β 2 + पाप α + β 2 पाप α - β 2 = = 2 क्योंकि α + β 2 क्योंकि α - β 2

कोसाइन के अंतर के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

कॉस α - कॉस β = कॉस α + β 2 + α - β 2 - कॉस α + β 2 - α - β 2 कॉस α + β 2 + α - β 2 - कॉस α + β 2 - α - β 2 = कॉस α + β 2 क्योंकि α - β 2 - पाप α + β 2 पाप α - β 2 - क्योंकि α + β 2 क्योंकि α - β 2 + पाप α + β 2 पाप α - β 2 = = - 2 पाप α + β 2 पाप α - β 2

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के उदाहरण

सबसे पहले, आइए किसी एक सूत्र में विशिष्ट कोण मानों को प्रतिस्थापित करके उसकी जाँच करें। माना α = π 2, β = π 6. आइए इन कोणों की ज्याओं के योग का मान ज्ञात करें। सबसे पहले, हम त्रिकोणमितीय फलनों के मूल मानों की तालिका का उपयोग करेंगे, और फिर हम ज्याओं के योग के लिए सूत्र लागू करेंगे।

उदाहरण 1. दो कोणों की ज्याओं के योग के सूत्र की जाँच करना

α = π 2, β = π 6 पाप π 2 + पाप π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 पाप π 2 + पाप π 6 = 2 पाप π 2 + π 6 2 कॉस π 2 - π 6 2 = 2 पाप π 3 क्योंकि π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

आइए अब उस मामले पर विचार करें जब कोण मान तालिका में प्रस्तुत मूल मानों से भिन्न होते हैं। माना α = 165°, β = 75°. आइए इन कोणों की ज्याओं के बीच अंतर की गणना करें।

उदाहरण 2. ज्या सूत्र के अंतर का अनुप्रयोग

α = 165 °, β = 75 ° पाप α - पाप β = पाप 165 ° - पाप 75 ° पाप 165 - पाप 75 = 2 पाप 165 ° - पाप 75 ° 2 कॉस 165 ° + पाप 75 ° 2 = = 2 पाप 45 °cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग करके, आप योग या अंतर से त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद की ओर बढ़ सकते हैं। अक्सर इन सूत्रों को योग से उत्पाद की ओर बढ़ने के सूत्र कहा जाता है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने में साइन और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

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इस लेख में हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और किसी को ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।

आइए हम तुरंत उन मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों को सूचीबद्ध करें जिनका हम इस लेख में विश्लेषण करेंगे। आइए उन्हें एक तालिका में लिखें, और नीचे हम इन सूत्रों का आउटपुट देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण प्रदान करेंगे।

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एक कोण की ज्या और कोज्या के बीच संबंध

कभी-कभी वे उपरोक्त तालिका में सूचीबद्ध मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानदयालु . इस तथ्य की व्याख्या काफी सरल है: मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान से इसके दोनों भागों को क्रमशः और, और समानताओं से विभाजित करने के बाद समानताएं प्राप्त की जाती हैं। और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का पालन करें। हम इसके बारे में निम्नलिखित पैराग्राफ में अधिक विस्तार से बात करेंगे।

अर्थात्, यह वह समानता है जो विशेष रुचि रखती है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।

मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। अब आइए इसे साबित करें।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग अक्सर कब किया जाता है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना. यह एक कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। अक्सर, मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग उल्टे क्रम में किया जाता है: इकाई को किसी भी कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों के योग से प्रतिस्थापित किया जाता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

देखने के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का तुरंत पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, साइन y की कोटि है, कोसाइन x का भुज है, स्पर्शरेखा कोटि का भुज से अनुपात है, अर्थात, , और कोटैंजेंट भुज और कोटि का अनुपात है, अर्थात, .

पहचान की ऐसी स्पष्टता के लिए धन्यवाद और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को अक्सर भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। तो किसी कोण की स्पर्शरेखा इस कोण की ज्या और कोज्या का अनुपात है, और कोटैंजेंट ज्या की कोज्या का अनुपात है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और उन सभी कोणों के लिए घटित होता है जिन पर उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण होते हैं। तो सूत्र किसी के लिए भी मान्य है, इसके अलावा (अन्यथा हर में शून्य होगा, और हमने शून्य से विभाजन को परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए, से भिन्न, जहां z कोई है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

पिछले दो की तुलना में और भी अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचान प्रपत्र के एक कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह इसके अलावा किसी भी कोण के लिए मान्य है, अन्यथा स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट को परिभाषित नहीं किया गया है।

सूत्र का प्रमाण बहुत सरल। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से . सबूत को थोड़ा अलग तरीके से पेश किया जा सकता था। तब से , वह .

तो, एक ही कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जिस पर वे समझ में आते हैं।