बाहरी सुंदरता की कसौटी के रूप में समरूपता। चेहरे की विषमता: रोग संबंधी विकारों के कारण और उनके सुधार के तरीके

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की तारीख: 2017-10-17 दृश्य: 18 963 श्रेणी: 5.0

प्रशिक्षण का उद्देश्य: 3 बिंदुओं (भौहें, आंखें, होंठ) पर चेहरे की विषमता को ठीक करें।

किसी व्यक्ति का चेहरा शरीर की तरह सममित नहीं है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है।

हालाँकि, ऐसे मामले भी होते हैं जब चेहरे की विषमता गंभीर होती है और आपको मनोवैज्ञानिक परेशानी का कारण बनती है। मैं तुरंत एक आरक्षण कर दूं कि सभी प्रकार की विषमता को व्यायाम से ठीक नहीं किया जा सकता है।

विषमता को व्यायाम से ठीक नहीं किया जा सकता यदि:

• यह हड्डी की विकृति के कारण होता है;
• पैथोलॉजिकल विकृतियाँ;
• चेहरे की तंत्रिका का बहुत "पुराना" न्यूरिटिस;
• कुछ मामलों में, बोटेक्स इंजेक्शन के परिणाम तथाकथित दुष्प्रभाव होते हैं।

विषमता के कारण

साथ ही, चेहरे की विषमता काफी हद तक आपके शरीर की स्थिति पर निर्भर करती है। चेहरे और शरीर के बीच संबंध के बारे में.

संक्षेप में, स्कोलियोसिस, लॉर्डोसिस, पेल्विक विकृतियों और मस्कुलोस्केलेटल प्रणाली में अन्य परिवर्तनों के साथ, विषमता होती है और इसका सुधार एड़ी से शुरू होना चाहिए!

लेकिन विषमता अत्यधिक चेहरे के हाव-भाव, चेहरे की हरकतों और व्यवहार संबंधी आदतों का परिणाम हो सकती है। उदाहरण के लिए, जब आप वीडियो में अपने चेहरे को ध्यान से देखते हैं तो यह सब स्पष्ट हो जाता है।

मुस्कुराएँ, बात करें, केवल एक तरफ से चबाएँ, या लगातार अपनी एक भौंहें ऊपर उठाएँ। मांसपेशी स्मृति के अस्तित्व को याद रखें? और वह आपके बारे में याद करती है और हर समय अपनी सक्रिय भौंहों को ऊपर की ओर खींचती है, और एक आंख को छोटी दिखाती है।

विषमता कैसे मापें?

चेहरे की समरूपता कैसे जांचें? एक फोटो चाहिए! अपने बालों को अपने चेहरे से दूर हटाएं और अपनी तस्वीर लेने के लिए कहें। फोटो पासपोर्ट की तरह है: हम मुस्कुराते नहीं हैं, हम फोटो में अच्छा दिखने की कोशिश नहीं करते हैं।

हम एक रूलर लेते हैं और आंखों (पुतलियों), भौहों और होंठों के साथ एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं। शुरुआत आंखों से करें. आख़िरकार, हमारी आंतरिक भावना का स्तर (स्तर) ठीक आँख क्षेत्र में क्षितिज की ओर झुकता है, ताकि आप आसानी से चल सकें और गिरें नहीं।

आइए अब 3 परिणामी पंक्तियों को देखें। शायद एक भौंह ऊंची होगी और दूसरी निचली, होठों के कोने एक ही रेखा पर नहीं होंगे।

याद रखें कि विषमता के लिए स्वीकार्य मूल्य हैं और यह बिल्कुल प्राकृतिक है और इसमें समायोजन की आवश्यकता नहीं है।

जहां क्षितिज से विचलन हैं, आपको मांसपेशियों के साथ काम करने की ज़रूरत है, और कुछ के लिए यह व्यवहार संबंधी रूढ़िवादिता को ठीक करने के लिए पर्याप्त होगा और सब कुछ चेहरे पर अपनी जगह पर आ जाएगा।

विषमता के लिए चेहरे के लिए व्यायाम

आइए अभ्यासों पर आगे बढ़ें। वैसे, उन्हें किसी भी परिसर के साथ जोड़ा जा सकता है: , । बस उन्हें अपने प्रशिक्षण कार्यक्रम में जोड़ें। उदाहरण के लिए, जब कर रहे हों तो उसी क्षेत्र की विषमता को ठीक करने के लिए व्यायाम करें।

उदाहरण में, मैं एक तरफा चेहरे की विषमता को ठीक करने के विकल्प पर विचार कर रहा हूं, जब चेहरे का आधा भाग के सापेक्ष निचला भाग खराब काम करता है, तो आप इसे कम महसूस करते हैं! उदाहरण के लिए, बायीं भौंह, बायीं आंख, होंठ का बायां कोना चेहरे के दाहिनी ओर से नीचे स्थित है - ऐसी विषमता को एक तरफा कहा जाता है।

चेहरे की विषमता विकर्ण या जटिल हो सकती है। ऐसे मामलों में, व्यक्तिगत रूप से व्यायाम का चयन करना बेहतर होता है।

30 प्रतिनिधि अनुशंसित, अंतिम गणना में 5 सेकंड का स्थिर विलंब होता है। प्रशिक्षण "बेस" के प्रदर्शन पर आधारित है - एक विशिष्ट क्षेत्र की विषमता को ठीक करने के लिए विशेष अभ्यासों के साथ बुनियादी अभ्यास।

माथा। भौंहों की स्थिति का सुधार

व्यायाम #1: अपनी भौहें ऊपर उठाएं

यह एक बुनियादी व्यायाम है. इसे करते समय अपनी भौहों पर ध्यान दें? कौन सा बदतर हो जाता है? आपको कौन सा कम लगता है?

अपनी उंगलियों को अपनी भौहों के ऊपर रखें। विरोध करने के लिए अपनी उंगलियों का उपयोग करते हुए, अपनी भौंहों को जोर से ऊपर की ओर धकेलें। सुनिश्चित करें कि अभ्यास के दौरान माथे पर कोई क्षैतिज झुर्रियाँ न हों, अपने कंधों को आराम देने और उन्हें नीचे करने की कोशिश करें, भौंहों के ऊपर की त्वचा को कसकर ठीक करें। व्यायाम पूरा करने के बाद अपनी उंगलियों को अपने माथे पर थपथपाएं।

आइए भौंहों की ऊंचाई की विभिन्न स्थितियों को सही करने के लिए अभ्यासों के एक सेट पर आगे बढ़ें:

व्यायाम संख्या 2: बारी-बारी से भौहें ऊपर उठाना

अपनी अंगुलियों को माथे पर, भौंहों के ऊपर रखें, और अपनी उंगलियों से त्वचा को हल्के से पकड़ें ताकि वह सिलवटों में इकट्ठा न हो जाए। अब अपनी भौहों को बारी-बारी से ऊपर उठाएं: अब बाईं ओर, अब दाईं ओर।

महसूस करें कि कौन सी भौहें अधिक ऊपर उठती हैं, या जब उनमें से एक भौंह ऊपर उठती है, तो तनाव और असुविधा उत्पन्न होती है। जो भौहें अधिक ऊपर उठती हैं उन्हें 2 बार बढ़ाया जाना चाहिए: 1-उठाया हुआ, 2-विस्तारित। व्यायाम पूरा करने के बाद अपनी उंगलियों को अपने माथे पर थपथपाएं।

व्यायाम संख्या 3: एक भौंह ऊपर उठाना

जब आपको एक ऐसी भौंह मिल जाए जो खराब काम करती है और नीचे स्थित है, तो आपको इसे अलग से "प्रशिक्षित" करने की आवश्यकता है।

हम ऊपर स्थित भौंह को अपने हाथ से ठीक करते हैं, और दूसरे को ऊपर उठाते हैं, भौंह के ऊपर की त्वचा को अपनी उंगलियों के फालेंजों से पकड़ते हैं ताकि यह सिलवटों में इकट्ठा न हो। व्यायाम पूरा करने के बाद अपनी उंगलियों को अपने माथे पर थपथपाएं।

आँखें

सामान्य वीडियो:

व्यायाम संख्या 1: ऊपरी पलक को मजबूत करने के लिए

यह एक बुनियादी व्यायाम है. प्रदर्शन करते समय, अपनी तर्जनी उंगलियों के नीचे संवेदनाओं की निगरानी करें; आपकी एक उंगली के नीचे, धड़कन; मांसपेशियों में कंपन कम स्पष्ट होगा। जब आप इस आंख को बंद करें तो अपनी ऊपरी पलक से निचली पलक को थोड़ा जोर से दबाने की कोशिश करें। महत्वपूर्ण! अपनी उंगलियों से बहुत जोर से न दबाएं और त्वचा को अलग-अलग दिशाओं में न खींचें!

हम अपनी उंगलियों से आंखों के कोनों को पकड़ते हैं और ऊपरी पलक को निचली पलक पर दबाते हुए, थोड़े प्रयास से अपनी आंखें बंद कर लेते हैं। अपनी भौहों को अपनी जगह पर रखने की कोशिश करें और अपनी ऊपरी पलक के पीछे न रेंगें, और अपने माथे को आराम दें। फिर हम अपनी आँखें खोलते हैं. व्यायाम पूरा करने के बाद अपनी आँखें झपकाएँ।

व्यायाम संख्या 2: आँखों का वैकल्पिक कार्य

आइए एक-एक करके अपनी आँखें बंद करें। हम त्वचा को दबाए या खींचे बिना, तर्जनी और मध्यमा उंगलियों को आंखों के कोनों में रखते हैं। हम बारी-बारी से अपनी आँखें बंद करते हैं: बाएँ, दाएँ, बाएँ.... जब आप एक आँख बंद करते हैं, तो आपको दूसरी को खुला रखना होता है। अपने माथे को आराम देना सुनिश्चित करें ताकि भौंह ऊपरी पलक के साथ नीचे न गिरे। व्यायाम पूरा करने के बाद अपनी आँखें झपकाएँ।

होठों के कोने

सामान्य वीडियो:

व्यायाम नंबर 1: होठों के झुके हुए कोनों को ऊपर उठाने में मदद करता है

यह एक बुनियादी व्यायाम है. नासोलैबियल क्षेत्र (मुंह के कोने से नाक तक) को ठीक करने के लिए अपनी उंगलियों का उपयोग करें। अपने होठों के कोनों को ऊपर की ओर उठाएं, जैसे कि आप मुस्कुरा रहे हों, अपनी उंगलियों से प्रतिरोध करें, आपके होठों के कोनों की गति आपकी आंखों के नीचे तक जाती है, जबकि आपके होठों का केंद्र शिथिल रहता है। कोशिश करें कि आपकी उंगलियां आपके चेहरे पर न घूमें; जब आप उठाते हैं, तो आपके होंठ का कोना आपकी उंगलियों पर रहता है।

व्यायाम संख्या 2: होठों के कोनों को बारी-बारी से ऊपर उठाएं

नासोलैबियल क्षेत्र (मुंह के कोने से नाक तक) को ठीक करने के लिए अपनी उंगलियों का उपयोग करें। हम बारी-बारी से अपने होंठों के कोनों को ऊपर उठाते हैं, जैसे कि हम अपने होंठों के एक कोने से मुस्कुरा रहे हों, हम अपनी उंगलियों से प्रतिरोध करते हैं, हमारे होंठों के कोनों की हरकत हमारी आँखों के नीचे तक जाती है, जबकि हमारे होंठों के बीच का हिस्सा आराम है. कोशिश करें कि आपकी उंगलियां आपके चेहरे पर न घूमें; जब आप उठाते हैं, तो आपके होंठ का कोना आपकी उंगलियों पर रहता है।

व्यायाम संख्या 3: होंठ के एक कोने को ऊपर उठाना

अपनी उंगलियों का उपयोग करके, हम होंठ के कोने के किनारे से नासोलैबियल क्षेत्र (मुंह के कोने से नाक तक) को ठीक करते हैं, जो नीचे स्थित है। हम बस अपने हाथ से मुंह के विपरीत कोने को ठीक करते हैं ताकि वह काम में शामिल न हो। हम अपने होठों के कोने को ऊपर की ओर उठाते हैं, जैसे कि हम अपने होठों के एक कोने से मुस्कुरा रहे हों, हम अपनी उंगलियों से प्रतिरोध करते हैं, हमारे होठों के कोने की गति आंख के नीचे तक जाती है, जबकि हमारे होठों का केंद्र शिथिल होता है . कोशिश करें कि आपकी उंगलियां आपके चेहरे पर न घूमें; जब आप उठाते हैं, तो आपके होंठ का कोना आपकी उंगलियों पर रहता है।

पी.एस.मैं चेहरा-निर्माण प्रशिक्षण के लिए व्यक्तिगत कार्यक्रम विकसित करता हूं और स्काइप के माध्यम से कक्षाएं पढ़ाता हूं। अगर आपको रुचि हो तो -

चेहरे की विषमता की स्थापना एक सनसनी बन गई है, क्योंकि विषमता शायद ही ध्यान देने योग्य है। यह पता चला कि लोग अपनी विषमता की डिग्री में उतने ही भिन्न होते हैं जितने कि उनके चेहरे की विशेषताओं में। इसकी पुष्टि न केवल माप से की गई, बल्कि दाएं और बाएं हिस्सों की तस्वीरों से बने चित्रों की तुलना से भी की गई (मुद्रण करते समय उनमें से एक को उल्टा कर दिया जाना चाहिए) एक व्यक्ति के सामान्य चित्र के साथ, बिल्कुल सामने से लिया गया। परिणाम पूरी तरह से अलग चेहरे हैं।

संसार में कोई भी पूर्ण समरूपता नहीं है। चेहरे की समरूपता को उसके सौन्दर्य के लिए अपरिहार्य शर्त मानना ​​भूल है। वंशानुगत गुणों का मिश्रण बच्चे के चेहरे पर प्रतिबिंबित होता है। किसी चेहरे की सुंदरता का आकलन करने के लिए, विशेषताओं और थोड़ी सी विषमता का संयोजन महत्वपूर्ण है, जो, वैसे, सभी लोगों के चेहरों में निहित है और चित्र की खूबियों से बिल्कुल भी अलग नहीं होता है। यहां तक ​​कि वीनस डी मिलो और अपोलो बेल्वेडियर की मूर्तिकला छवियों में भी, उनके चेहरों में पूर्ण समरूपता नहीं है। अच्छे कारण के साथ हम कह सकते हैं कि दाएं और बाएं हिस्सों की निर्विवाद सख्त समरूपता वाला एक भी चेहरा नहीं है। शायद इसीलिए क्लॉडियस गैलेन ने लिखा है कि "असली सुंदरता उद्देश्य की पूर्णता में व्यक्त होती है और सभी भागों का पहला उद्देश्य संरचना की समीचीनता है।" निस्संदेह, पी.एफ. लेसगाफ्ट सही थे जब उन्होंने लिखा था कि “सभी मांसपेशियों और मांसपेशी समूहों के सामंजस्यपूर्ण विकास के साथ, चेहरा अपनी निश्चित अभिव्यक्ति खो देगा। चेहरे की विशेषताओं की वैयक्तिकता संबंधित मांसपेशियों के लगातार उपयोग के माध्यम से प्राप्त की जाती है।

मिशेल मोनाघन

इसलिए, हमें चेहरे की विषमता को एक तथ्य के रूप में पहचानना चाहिए, यानी, इसके दाएं और बाएं हिस्सों की असमानता: उनमें से एक, एक नियम के रूप में, व्यापक है, दूसरा संकीर्ण है, एक ऊंचा है, दूसरा निचला है . विषमता का कारण ज्यादातर मामलों में खोपड़ी की हड्डियों के संरचनात्मक तत्वों की असमानता है। मानव चेहरे पर, बढ़ी हुई विषमता चेहरे के भावों (शारीरिक विषमता) की विशिष्टता से निर्धारित होती है।

नाओमी वत्स

ऐसे वैज्ञानिक कार्य हैं जिनमें वैज्ञानिक चेहरे की विषमता के निम्नलिखित पैटर्न की पहचान करते हैं। अगर चेहरे का आधा हिस्सा लंबा है तो वह संकरा भी है। इस मामले में, भौं विपरीत की तुलना में ऊंची स्थित होती है, चेहरे का आधा हिस्सा चौड़ा होता है, और तालु का विदर बड़ा होता है। पूरी आँख ऊपर की ओर मुड़ी हुई प्रतीत होती है। चेहरे का बायां आधा हिस्सा आमतौर पर दाएं से ऊंचा होता है। कई लेखक अभी भी मानते हैं कि चेहरे का दाहिना आधा हिस्सा बाएं से बड़ा है, अधिक स्पष्ट रूप से सामने आता है और पुरुषत्व को व्यक्त करता है। बायां आधा हिस्सा आम तौर पर नरम होता है, जो स्त्रीत्व को दर्शाता है।

केट बोसवर्थ

चेहरे की विषमता को लंबे समय से समग्र शरीर की विषमता के प्रतिबिंब के रूप में देखा गया है। तस्वीर के ठीक आधे हिस्से और उसकी दर्पण छवि का उपयोग करके चित्र में चेहरे को पुनर्स्थापित करने का प्रयास किया गया। दाएं और बाएं हिस्सों ने अलग-अलग छवियां बनाईं। वे मूल संस्करण से मेल नहीं खाते थे। नकल की विषमता, हालांकि चेहरे की खोपड़ी के दाएं और बाएं हिस्सों के अनुपातहीन स्तर पर होती है, इसकी भी अपनी विशेषताएं होती हैं। यह स्थापित किया गया है कि चेहरे की दाहिनी मांसपेशियों का तंत्रिका विनियमन अधिक समृद्ध है, दाईं ओर सिर और आंखों की गतिविधियों को अधिक आसानी से पुन: पेश किया जाता है। यहां तक ​​कि दाहिनी आंख भी भेंकने की आदत अधिक हो जाती है।

चिकित्सा विज्ञान के उम्मीदवार, प्लास्टिक सर्जन ""

15वीं शताब्दी में, लियोनार्डो दा विंची ने मानव चेहरे और शरीर के "दिव्य" अनुपात को दर्शाने वाले चित्र बनाए, जो अभी भी मानक हैं (चित्र 1)। हालाँकि, ये अनुपात इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखते हैं कि जीवित प्रकृति में बिल्कुल सममित वस्तुएं नहीं हैं: उनमें से किसी में हमेशा समरूपता और विषमता की एकता होती है।

चावल। 1.

पूरे इतिहास में, लोगों ने सुंदरता को "मापने" की कोशिश की है, गणितीय सूत्रों या ज्यामितीय अनुपात का उपयोग करके इसका वर्णन किया है, जिससे इसे फिर से बनाना संभव हो गया है। इस प्रकार, प्राचीन ग्रीस में, प्रकृति में देखी गई व्यवस्था और सामंजस्य को देवी-देवताओं की चमकदार छवियों में व्यक्त किया गया था, जो सुंदर मूर्तियों में अमर थे।

ग्रीक मूर्तिकारों के अनुसार, समरूपता प्राकृतिक निकायों और मानव शरीर के सामंजस्य, आनुपातिकता और सद्भाव की विशेषता है। इसलिए, समरूपता और सौंदर्य की अवधारणाएं समान हैं। यह स्थापत्य स्मारकों के कड़ाई से सममित निर्माण, पारंपरिक आभूषणों के स्वाभाविक रूप से दोहराए जाने वाले पैटर्न, ग्रीक फूलदानों के अद्भुत सामंजस्य (चित्र 2) को याद करने के लिए पर्याप्त है।

मानव चेहरे और शरीर की विषमता का तथ्य प्राचीन दुनिया के कलाकारों और मूर्तिकारों को ज्ञात था और उन्होंने इसका उपयोग अपने द्वारा बनाए गए कार्यों में अभिव्यक्ति और आध्यात्मिकता जोड़ने के लिए किया था।

विषमता का एक उल्लेखनीय उदाहरण वीनस डी मिलो का चेहरा है (चित्र 3)। समरूपता के समर्थकों ने महिला सौंदर्य के इस आम तौर पर स्वीकृत मानक के रूपों की विषमता की आलोचना की, उनका मानना ​​​​था कि यदि शुक्र का चेहरा सममित होता तो वह अधिक सुंदर होता। हालाँकि, रचनात्मक तस्वीरों को देखने पर, हम देखते हैं कि ऐसा नहीं है।

"समरूपता" की अवधारणा सीधे तौर पर सामंजस्य से संबंधित है।यह प्राचीन ग्रीक शब्द συμμετρία (आनुपातिकता) से आया है और इसका अर्थ किसी वस्तु में सामंजस्यपूर्ण और आनुपातिक है। "दर्पण" समरूपता की अवधारणा मनुष्यों पर लागू होती है। यह समरूपता सुगठित मानव शरीर के लिए हमारी सौंदर्य संबंधी प्रशंसा का मुख्य स्रोत है।

यह समरूपता न केवल सुंदर है, बल्कि कार्यात्मक भी है। इस प्रकार, सममित अंग आपको अंतरिक्ष में आसानी से घूमने की अनुमति देते हैं, आंखों का स्थान आपको सही दृश्य छवि बनाने की अनुमति देता है, और एक सीधा नाक सेप्टम पर्याप्त श्वास सुनिश्चित करता है। हालाँकि, विकास और कार्य की असमानता के कारण जीवित जीवों की समरूपता गणितीय सटीकता के साथ प्रकट नहीं होती है।

चेहरे की समरूपता और सौंदर्य मानक

समय के साथ, सौंदर्य मानक बदल गए हैं, लेकिन सिद्धांत और पैरामीटर जो चेहरे के संबंधों और अनुपात को निर्धारित करते हैं, और तदनुसार, इसका आकर्षण, प्राचीन काल से संरक्षित हैं। किसी चेहरे को सामंजस्यपूर्ण बनाने के लिए, उसके विभिन्न हिस्सों को एक निश्चित अनुपात में संबंधित होना चाहिए, जिसके माध्यम से एक समग्र संतुलन प्राप्त किया जाता है। चेहरे का कोई भी हिस्सा मौजूद नहीं है या दूसरों से अलग होकर काम नहीं करता है। चेहरे के किसी विशेष हिस्से में कोई भी बदलाव अन्य हिस्सों और पूरे चेहरे की धारणा पर वास्तविक या स्पष्ट प्रभाव डालेगा।

यह स्वाभाविक है मानव चेहरे के सभी अनुपात उसके सौंदर्यशास्त्र के लिए केवल अनुमानित हैंकई कारणों से:

• सबसे पहले, चेहरे का अनुपात किसी व्यक्ति की उम्र, लिंग, शारीरिक विकास के आधार पर बदलता है और काफी हद तक व्यक्तिगत संरचनात्मक विशेषताओं द्वारा निर्धारित होता है
• दूसरे, सिर की स्थिति के आधार पर आनुपातिकता का आकलन अधिक कठिन हो जाता है
• तीसरी कठिनाई मानव चेहरे की विषमता में निहित है, जो अक्सर नाक के आकार, आंखों के छिद्रों और भौंहों की स्थिति और मुंह के कोनों की स्थिति में प्रकट होती है। किसी चेहरे के दोनों किनारे एक जैसी दर्पण छवि नहीं बनाते हैं, भले ही चेहरा हमें बिल्कुल सही लगता हो।

इस प्रकार, चेहरे की विषमता का तथ्य, दाएं और बाएं हिस्सों की असमानता द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिनमें से एक, एक नियम के रूप में, व्यापक और ऊंचा है, दूसरा संकीर्ण और निचला है, आज आम तौर पर स्वीकार किया जाता है।

चित्र 4 में प्रस्तुत तस्वीरों से, यह स्पष्ट है कि बिल्कुल सममित चेहरे प्राकृतिक विषमता वाले चेहरे की मूल छवि से स्पष्ट रूप से भिन्न हैं। हमारी राय में, "सिंथेटिक" सममित चेहरे कम आकर्षक लगते हैं, जैसा कि मूल तस्वीरों में है, हालाँकि हमने समग्र चित्र बनाने के लिए उन अभिनेताओं के चेहरों का चयन किया जिनकी उपस्थिति को सबसे अधिक रेटिंग दी गई थी। इसके अलावा, यह ये चेहरे हैं जो अधिकांश लोगों की तुलना में अधिक स्पष्ट समरूपता द्वारा प्रतिष्ठित हैं, लेकिन थोड़ी सी विषमता केवल उनके आकर्षण पर जोर देती है।

विषमता में सौंदर्य?

तो, क्या हम सभी में निहित विषमता वास्तव में सुंदर है या नहीं? यह बिल्कुल स्पष्ट है कि हम चेहरे की संरचना में समरूपता के महत्वपूर्ण उल्लंघनों को आकर्षक नहीं मानते हैं। हालाँकि, समरूपता से छोटे विचलन असामंजस्य का परिचय नहीं देते हैं, बल्कि केवल व्यक्तित्व को अनुकूल रूप से उजागर करते हैं।

अधिकांश मरीज़ जो प्लास्टिक सर्जन के पास जाते हैं, उन्हें अपने चेहरे और शरीर के अनुपात की विषमता नज़र नहीं आती है। इसलिए, परामर्श के दौरान सर्जन के महत्वपूर्ण कार्यों में से एक रोगी का ध्यान उसके अनुपात की विशेषताओं की ओर आकर्षित करना और ऑपरेशन के परिणामस्वरूप आने वाले परिवर्तनों का विस्तार से वर्णन करना है। चेहरे की विषमता का सुधार न्यूनतम आक्रामक तरीकों, जैसे कि और के उपयोग से काफी सुविधाजनक होता है।

इसलिए, स्पष्ट विषमता को आमतौर पर अनैच्छिक माना जाता है, और ऐसे मामलों में अधिक सममित उपस्थिति प्राप्त करने की इच्छा काफी स्वाभाविक है और प्लास्टिक सर्जरी के लिए एक संकेत के रूप में काम कर सकती है। हालाँकि, चेहरे की थोड़ी सी विषमता ही इसे आकर्षक और व्यक्तिगत बनाती है, और इसलिए आपको पूर्ण समरूपता के लिए प्रयास नहीं करना चाहिए।

समरूपता और आनुपातिकता किसी व्यक्ति की बाहरी सुंदरता के महत्वपूर्ण घटक हैं, और कुछ मामलों में, स्वास्थ्य के संकेतक हैं। लेकिन हर कोई नहीं जानता कि अपने चेहरे और शरीर के अनुपात और समरूपता का आकलन कैसे किया जाए। हम बिल्कुल इसी बारे में बात करेंगे।

क्या लंबी नाक किसी इंसान की शक्ल बिल्कुल भी खराब नहीं कर सकती? निश्चित रूप से हां। यदि नाक उसके चेहरे के समानुपाती हो।

अपने चेहरे के अनुपात का आकलन करने के लिए, आपको दर्पण के पास जाकर तीन दूरियाँ मापनी होंगी:
माथे पर बालों की रेखा से लेकर नाक के पुल तक
नाक के पुल से ऊपरी होंठ तक
ऊपरी होंठ से ठुड्डी तक.

यदि वे समान हैं, तो आप आनुपातिक चेहरे के खुश मालिक हैं।

यदि नहीं, तो यह असमानता है, जो निराशा का बिल्कुल भी कारण नहीं है। सबसे पहले, इसमें चेहरे की एक निश्चित आकर्षण और मौलिकता शामिल हो सकती है, और दूसरी बात, अनुपात बदला जा सकता है।

पहली दूरी को बढ़ाना या घटाना हेयरस्टाइल का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, साथ ही भौंहों को एक निश्चित आकार भी दिया जा सकता है। दूसरी दूरी लगभग हमेशा नाक की लंबाई को बदलकर ठीक की जाती है। तीसरी दूरी को सही ढंग से चयनित लिपस्टिक या अधिक टिकाऊ उपाय - होंठ वृद्धि द्वारा दृष्टिगत रूप से प्रभावित किया जा सकता है।

चेहरे की समरूपता का आकलन करना भी आसान है। आपको युग्मित शारीरिक संरचनाओं के स्थान और आकार पर ध्यान देने की आवश्यकता है: भौहें, आंखें, कान, नासोलैबियल सिलवटें।

यदि वे समान स्तर पर स्थित हों और उनका आकार समान हो, तो फलक सममित होता है। चेहरे की समरूपता न केवल सौंदर्य की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण है। इसका अचानक व्यवधान कई गंभीर न्यूरोलॉजिकल रोगों के लिए एक महत्वपूर्ण निदान संकेत है।

शरीर के अनुपात को आंकने का सबसे आसान तरीका उसके आयतन से है: छाती, कमर और कूल्हे।

आनुपातिक रूप से निर्मित व्यक्ति में, छाती का आयतन प्रमुख होता है। ज्यामितीय रूप से, आदर्श पुरुष आकृति एक समद्विबाहु त्रिभुज है जो उल्टा हो गया है।

एक आनुपातिक महिला आकृति में, छाती और कूल्हों का आयतन लगभग एक दूसरे के बराबर होता है। और आपकी कमर का साइज इन दोनों वॉल्यूम से 1/3 कम होना चाहिए। प्रसिद्ध मानक को याद करना पर्याप्त है: 90 सेमी -60 सेमी-90 सेमी। हालाँकि, अनुपात 120cm-80cm-120cm कोई कम आनुपातिक नहीं है। आदर्श की ज्यामितीय अभिव्यक्ति घंटे के चश्मे की आकृति है।

दृष्टिगत रूप से आवश्यक अनुपात कपड़ों, कोर्सेट्री और कुछ शारीरिक व्यायामों द्वारा प्राप्त किया जाता है। हालाँकि, ऐसे समस्या क्षेत्र हैं जिन्हें ठीक करना काफी कठिन है, उदाहरण के लिए, कुख्यात "ब्रीच" - जांघों की पार्श्व सतहों का ऊपरी भाग। उचित तरीके से किया गया लिपोसक्शन यहां प्रभावी ढंग से मदद कर सकता है।

शारीरिक समरूपता का आकलन युग्मित संरचनाओं द्वारा भी किया जाता है। कॉलरबोन, निपल्स, कंधे के ब्लेड, पूर्वकाल सुपीरियर इलियाक स्पाइन और ग्लूटियल फोल्ड एक ही स्तर पर होने चाहिए।

यह जानने योग्य है कि शरीर की समरूपता का दृश्य उल्लंघन हमेशा मस्कुलोस्केलेटल प्रणाली की गहन जांच का एक कारण होता है।

सामान्य तौर पर, किसी भी पैरामीटर के आधार पर अपनी उपस्थिति का आकलन करते समय, चाहे वह आनुपातिकता हो, समरूपता हो या कुछ और, आपको अत्यधिक चयनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है।

कुछ विशेषताएं, खामियां, असमानताएं ही हमें एक-दूसरे से अलग करती हैं और इसलिए हमें अद्वितीय बनाती हैं।

आइए अभी यह पता न लगाएं कि वास्तव में एक बिल्कुल सममित व्यक्ति मौजूद है या नहीं। निस्संदेह, हर किसी के पास एक तिल, बालों का एक गुच्छा या कोई अन्य विवरण होगा जो बाहरी समरूपता को तोड़ता है। बायीं आंख कभी भी दाहिनी आंख के समान नहीं होती है, और मुंह के कोने अलग-अलग ऊंचाई पर होते हैं, कम से कम अधिकांश लोगों के लिए। फिर भी ये केवल छोटी-मोटी विसंगतियाँ हैं। किसी को संदेह नहीं होगा कि बाह्य रूप से एक व्यक्ति सममित रूप से निर्मित होता है: बायां हाथ हमेशा दाएं से मेल खाता है और दोनों हाथ बिल्कुल एक जैसे होते हैं! रुकना। यहीं रुकना उचित है. यदि हमारे हाथ सचमुच एक जैसे होते, तो हम उन्हें किसी भी समय बदल सकते थे। यह संभव होगा, मान लीजिए, प्रत्यारोपण द्वारा बाईं हथेली को दाहिने हाथ में प्रत्यारोपित किया जाएगा, या, अधिक सरलता से, बायां दस्ताना फिर दाहिने हाथ में फिट होगा, लेकिन वास्तव में यह मामला नहीं है।

बेशक, हर कोई जानता है कि हमारे हाथों, कानों, आंखों और शरीर के अन्य हिस्सों के बीच वही समानता है जो किसी वस्तु और दर्पण में उसके प्रतिबिंब के बीच होती है। आपके सामने पुस्तक समरूपता और दर्पण प्रतिबिंब के मुद्दों के लिए समर्पित है।

कई कलाकारों ने मानव शरीर की समरूपता और अनुपात पर बारीकी से ध्यान दिया, कम से कम तब तक जब तक वे अपने कार्यों में प्रकृति का यथासंभव बारीकी से पालन करने की इच्छा से प्रेरित नहीं हुए। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर और लियोनार्डो दा विंची द्वारा संकलित प्रोडोर्टियस के सिद्धांत प्रसिद्ध हैं। इन सिद्धांतों के अनुसार, मानव शरीर न केवल सममित है, बल्कि आनुपातिक भी है। लियोनार्डो ने पाया कि शरीर एक वृत्त और एक वर्ग में फिट बैठता है। ड्यूरर एक एकल माप की खोज कर रहा था जो धड़ या पैर की लंबाई के साथ एक निश्चित संबंध में होगा (उसने कोहनी तक हाथ की लंबाई को ऐसा माप माना था)।

चित्रकला के आधुनिक स्कूलों में, सिर के ऊर्ध्वाधर आकार को अक्सर एक ही माप के रूप में लिया जाता है। एक निश्चित धारणा के साथ, हम मान सकते हैं कि शरीर की लंबाई सिर के आकार से आठ गुना है। पहली नज़र में ये बात अजीब लगती है. लेकिन हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि अधिकांश लम्बे लोगों की खोपड़ी लम्बी होती है और इसके विपरीत, लम्बे सिर वाला छोटा, मोटा आदमी मिलना दुर्लभ है।

सिर का आकार न केवल शरीर की लंबाई के समानुपाती होता है, बल्कि शरीर के अन्य भागों के आकार के भी समानुपाती होता है। सभी लोग इसी सिद्धांत पर बने हैं, यही कारण है कि हम आम तौर पर एक-दूसरे के समान होते हैं। (हम कुछ पन्नों में समानता या समानता पर लौटेंगे।) हालाँकि, हमारा अनुपात केवल लगभग सुसंगत है, और इसलिए लोग केवल समान हैं, लेकिन समान नहीं हैं। किसी भी मामले में, हम सभी सममित हैं! इसके अलावा, कुछ कलाकार अपने कार्यों में इस समरूपता पर विशेष रूप से जोर देते हैं।

पूर्ण समरूपता उबाऊ है

और कपड़ों में, एक व्यक्ति, एक नियम के रूप में, समरूपता की छाप बनाए रखने की भी कोशिश करता है: दाहिनी आस्तीन बाईं ओर से मेल खाती है, दाहिनी पतलून पैर बाईं ओर से मेल खाती है।

जैकेट और शर्ट पर बटन बिल्कुल बीच में बैठते हैं, और यदि वे इससे दूर जाते हैं, तो सममित दूरी पर। शायद ही कभी किसी महिला में वास्तव में विषम पोशाक पहनने का साहस होता है (हम आगे देखेंगे कि समरूपता से कितने मजबूत विचलन की अनुमति है)।

लेकिन इस सामान्य समरूपता की पृष्ठभूमि के खिलाफ, छोटे विवरणों में हम जानबूझकर विषमता की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, अपने बालों को साइड पार्टिंग में कंघी करना - बाईं ओर या दाईं ओर। या, कहें, सूट पर छाती पर एक विषम जेब रखना, जिसे अक्सर स्कार्फ द्वारा जोर दिया जाता है। या केवल एक हाथ की अनामिका पर अंगूठी पहनना। ऑर्डर और बैज छाती के केवल एक तरफ (आमतौर पर बाईं ओर) पहने जाते हैं।

पूर्ण दोषरहित समरूपता असहनीय रूप से उबाऊ लगेगी। यह उससे छोटे विचलन हैं जो विशिष्ट, व्यक्तिगत विशेषताएं देते हैं। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर का प्रसिद्ध स्व-चित्र पहली नज़र में बिल्कुल सममित लगता है। लेकिन, करीब से देखने पर, आपको एक छोटा सा असममित विवरण दिखाई देगा, जो चित्र को सजीवता और जीवंतता देता है: बिदाई के पास बालों का एक किनारा।

वहीं, कभी-कभी व्यक्ति बाएं और दाएं के बीच के अंतर पर जोर देने और उसे मजबूत करने की कोशिश करता है। मध्य युग में, एक समय में पुरुष विभिन्न रंगों के पैरों वाले पतलून पहनते थे (उदाहरण के लिए, एक लाल और दूसरा काला या सफेद)। और इन दिनों, चमकीले पैच या रंगीन दाग वाली जींस लोकप्रिय थीं। लेकिन ऐसा फैशन हमेशा अल्पकालिक होता है। समरूपता से केवल चतुराईपूर्ण, मामूली विचलन ही लंबे समय तक बने रहते हैं।

समानता क्या है?

हम अक्सर कहते हैं कि दो लोग एक-दूसरे के समान होते हैं। बच्चे आमतौर पर अपने माता-पिता की तरह दिखते हैं (कम से कम अपनी दादी-नानी के अनुसार)। समान, लेकिन समान नहीं!

आइए समझने की कोशिश करें कि गणित में समानता या समानता का क्या मतलब है। समान आंकड़ों के लिए, संबंधित खंड एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। हमारे मामले में, हम इस स्थिति को इस प्रकार तैयार कर सकते हैं: समान नाकों का आकार समान होता है, लेकिन आकार में भिन्न हो सकते हैं। इस मामले में, नाक का प्रत्येक व्यक्तिगत भाग (उदाहरण के लिए, नाक का पुल) अन्य सभी के समानुपाती होना चाहिए।

समानता का यह नियम कभी-कभी मुश्किलों से भरा होता है। उदाहरण के लिए, इस तरह की समस्या में:

टावर A की ऊंचाई 10 मीटर है। इससे कुछ दूरी पर , टावर C का तल और शीर्ष, जिसकी ऊंचाई 15 मीटर है। टावर A से टावर B तक की दूरी क्या है?

ऐसा प्रतीत होता है कि इस समस्या को हल करने के लिए एक कंपास और एक रूलर चुनना ही काफी है। लेकिन यह तुरंत पता चलता है कि उत्तरों की संख्या अनंत होगी। दूसरे शब्दों में, X के मान के बारे में प्रश्न का कोई स्पष्ट उत्तर नहीं हो सकता है।

इस पुस्तक में, आपको अक्सर ऐसी समस्याएं मिलेंगी जिनके बारे में सोचने की आवश्यकता है। इसका एक निश्चित शैक्षणिक अर्थ है। इस प्रकार की समस्याएँ, भले ही उनका कोई समाधान न हो, जैसे कि ऊपर प्रस्तावित, किसी समस्या से संबंधित होती हैं जो हमारे ज्ञान की सीमा के भीतर होती है। अधिकांश भाग के लिए, ये वही सीमाएँ हैं जिनके आगे प्रसिद्ध "सामान्य ज्ञान" हार मान लेता है, और केवल प्राकृतिक विज्ञान के साथ मिलकर कड़ाई से गणितीय तार्किक सोच ही सही निर्णय ले सकती है।

आइए हम फिर से मनुष्य की ओर मुड़ें: जीवित प्राणियों की तुलना करते समय, यदि उनका अनुपात मेल खाता है तो समानता स्पष्ट रूप से महसूस की जाती है। इसलिए, बच्चे और वयस्क समान हो सकते हैं। यद्यपि शरीर के किसी भी हिस्से का द्रव्यमान और आकार, चाहे वह नाक हो या मुंह, अलग-अलग होते हैं, समान व्यक्तियों का अनुपात समान होता है।

समानता का एक उल्लेखनीय उदाहरण अंगूठे का उपयोग करके दूरी का दृश्य अनुमान है। इस तरह, सैन्यकर्मी और नाविक जमीन पर या समुद्र में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का अनुमान उंगली या मुट्ठी की चौड़ाई से तुलना करके लगाते हैं। सबसे सरल मामले में, वे एक आंख बंद कर लेते हैं और खुली आंख से एक विस्तारित हाथ की उंगली को देखते हैं, इसे एक दृष्टि के रूप में उपयोग करते हैं।

जब हाथ को फैलाकर अंगूठे से देखते हैं (एक बार बाईं आंख से और दूसरी दाईं ओर से), तो उंगली लगभग 6° तक "उछलती" है

यदि आप पहले से बंद आंख को खोलते हैं (और दूसरी को बंद करते हैं), तो उंगली बगल में एक दृश्यमान दूरी तय करेगी। डिग्री के संदर्भ में यह दूरी 6° है। और, इसके अलावा, इस "छलांग" का परिमाण (अनुमेय त्रुटि के भीतर) सभी लोगों के लिए समान है! तो, दाहिनी ओर की कंपनी, दो मीटर लंबा एक व्यक्ति, और सबसे छोटा - बायां पार्श्व, केवल साठ मीटर लंबा, उंगली के इन "छलांगों" की तुलना करते हुए, समान मूल्य प्राप्त करेगा।

इस घटना का कारण अंततः लोगों की समानता में और निश्चित रूप से, प्रकाशिकी के नियमों में निहित है जो हमारी दृष्टि को नियंत्रित करते हैं।

"मुट्ठी नियम" को - शब्द के सबसे शाब्दिक अर्थ में - कोण के आकार के मोटे अनुमान के लिए भी जाना जाता है। यदि हम एक आँख से फैलाए हुए हाथ की मुट्ठी को देखें (इस बार उसी आँख से), तो मुट्ठी की चौड़ाई 10° होगी, और फलांगों की दोनों हड्डियों के बीच की दूरी 3° होगी। बगल की ओर फैली हुई मुट्ठी और अंगूठा 15° होगा। इन मापों को मिलाकर, आप जमीन पर लगभग सभी कोणों को माप सकते हैं।

और अंत में, हमारे शरीर का एक और कोणीय माप, जो घरेलू काम के लिए उपयोगी हो सकता है। फैली हुई हथेली के अंगूठे और छोटी उंगली के बीच का कोण 90° होता है। यह असंभव लगता है, लेकिन आप अपनी हथेली की फैली हुई उंगलियों को हमारी किताब के कोने पर रखकर तुरंत सब कुछ स्वयं जांच सकते हैं। अपनी छोटी उंगली को एक किनारे के बिल्कुल समानांतर रखें और अपने हाथ को उसके साथ तब तक नीचे ले जाएं जब तक कि आपका अंगूठा भी निचले किनारे पर न आ जाए। क्या आपको यकीन है?

बेशक, यहां त्रुटि कभी-कभी अपेक्षाकृत बड़ी हो जाती है, क्योंकि हाथ की उम्र और विकास के आधार पर, अंगूठे को अलग-अलग दूरी पर वापस सेट किया जा सकता है। लेकिन पहले परीक्षण के लिए, जो आपको यह तय करने की अनुमति देता है कि मापा कोण समकोण से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होता है या नहीं, यह विधि काफी उपयुक्त है।

लाइनलैंड और फ्लैटलैंड

कल्पनाशक्ति से संपन्न लोगों ने लंबे समय से देखा है कि सर्वांगसमता के नियम, जो द्वि-आयामी स्थान के लिए इतने सख्त हैं, जब व्यवहार में लागू होते हैं तो अक्सर तीसरे आयाम के उपयोग की आवश्यकता होती है।

औपचारिक स्वागत के लिए टेबल सेट करते समय, नैपकिन को आमतौर पर एक त्रिकोण में मोड़ा जाता है। लेकिन जैसे ही आप इन त्रिकोणों को एक के ऊपर एक ढेर में इकट्ठा करते हैं, तो आपको पता चलता है कि ये त्रिकोण दो प्रकार के होते हैं: कुछ तुरंत एक-दूसरे में "फिट" हो जाते हैं, जबकि अन्य को "दाहिनी ओर" मोड़ना पड़ता है। ” इसी तरह की समस्या तब होती है जब कोई तैयार उत्पाद को ढेर करने की कोशिश करता है तो छोटे हिस्सों पर मोहर लगा देता है।

कवि और लेखक कमोबेश संभावित स्थितियों के बारे में कल्पना करते रहते हैं। इस प्रकार, ऐसे कार्य हैं जिनमें जीवन को दो-आयामी अंतरिक्ष में दर्शाया गया है (जहां आप "नैपकिन" को पलट नहीं सकते हैं)।

कुछ लेखक इससे भी आगे बढ़ते हैं और स्ट्रेट कंट्री - लाइनलैंड में एक-आयामी अंतरिक्ष में जीवन की कल्पना करने का प्रयास करते हैं। लाइनलैंड केवल पतली लकड़ी की छड़ियों से बसा हुआ है, जो सरलतम मामले में एक दूसरे से अलग नहीं हैं। हालाँकि, जैसे ही आप उन्हें सिर देते हैं (मैच तुरंत दिमाग में आते हैं!), उनके पास तुरंत दो संभावनाएँ होती हैं।

अथवा सभी तीलियों का सिर एक ही दिशा की ओर हो - तो उन्हें मिलाने से कोई कठिनाई नहीं होती। या कुछ माचिस बायीं ओर सिर रखकर और कुछ दायीं ओर सिर रखकर झूठ बोलती हैं। लाइनलैंड के गणितज्ञ के पास "बाएं" मिलान को "दाएं" में बदलने की कोई व्यावहारिक क्षमता नहीं है। लेकिन समतलता की भूमि - फ़्लैटलैंड का एक गणितज्ञ, जिसके पास एक और आयाम है, तुरंत एक सरल समाधान ढूंढ लेगा: वह विमान में माचिस को पलट देगा।

हालाँकि, कुछ लेखकों के अनुसार फ़्लैटलैंड में जीवन इतना सरल नहीं है। आइए कल्पना करें कि इस देश के निवासी छोटे आयताकार हैं जिनके एक कोने में एक आंख है (और उनकी केवल एक आंख है)। ऐसा आयत, निश्चित रूप से, केवल एक विमान में ही देखा जा सकता है, और वह कभी भी इस विमान को ऊपर से देखने का प्रबंधन नहीं करता है। इसलिए कोई भी फ़्लैटलैंडर कभी कल्पना नहीं कर पाएगा कि वह वास्तव में कैसा दिखता है: इसके लिए पहले से ही त्रि-आयामी अंतरिक्ष से एक दृश्य की आवश्यकता होती है। फ़्लैटलैंडर्स के घर बच्चों के चित्र के समान होंगे। इस अंतर के साथ कि दरवाजे किनारे पर होंगे और केवल एक ही तल में खुलेंगे। लेकिन दरवाज़े का कब्ज़ा विमान के बाहर, उसके ऊपर या नीचे बनाना होगा। इसके अलावा, जब घर में रहने वाले लोग दरवाज़ा खोलना चाहेंगे तो घर की दीवार को गिरने से रोकने के लिए समर्थन की एक जटिल प्रणाली की आवश्यकता होगी। और दो फ़्लैटलैंडर केवल एक-दूसरे को देख सकते थे यदि उनमें से एक अपने सिर के बल खड़ा होने में कामयाब हो जाता।

यदि फ़्लैटलैंड में दो लोग रहते तो स्थिति और भी जटिल होती। आइए मान लें कि बाएँ और दाएँ हाथ के फ़्लैटलैंडर्स। ऐसी स्थिति के सभी संभावित परिणामों की कल्पना करने के लिए बहुत अधिक कल्पना की आवश्यकता होती है, विशेष रूप से यह देखते हुए कि हम तीन आयामों में सोचने के आदी हैं!

चूँकि लाइनलैंड और फ़्लैटलैंड दोनों को लेखकों के सामने हास्यप्रद रूप में प्रस्तुत किया गया था, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि इस विषय पर साहित्य इंग्लैंड में उत्पन्न हुआ।

1880 में अंग्रेजी शिक्षक एडविन एबोनी एबॉट ने फ़्लैटलैंड और उसके निवासियों के बारे में एक किताब लिखी ( एबट ई. ई. फ़्लैटलैंड। पुस्तक में: एबॉट ई.ई. फ़्लैटलैंड। बर्गर डी. सफ़रलैंडिया। -एम.: मीर, 1976). एबॉट का फ्लैटलैंडर, एक सपने में खुद को लाइनलैंड में पाकर, वहां के निवासियों को एक विमान के अस्तित्व के बारे में समझाने की व्यर्थ कोशिश करता है।

कार्रवाई के दौरान, फ़्लैटलैंडर्स में से एक त्रि-आयामी अंतरिक्ष को समझने में कामयाब होता है, जिसके लिए उसे "सबसे पागलों में सबसे पागल" के रूप में पहचाना जाता है।

बीस से अधिक वर्षों के बाद, 1907 में, सी. जी. हिंटन ने द फ़्लैटलैंड इंसीडेंट नामक उपन्यास प्रकाशित किया। इसमें फ्लैटलैंड के दो लोग युद्ध छेड़ते हैं। चूंकि सभी फ़्लैटलैंडर्स एक ही दिशा का सामना करते हैं, इसलिए लोगों में से एक हमेशा निराशाजनक नुकसान में रहता है: वह मुड़ नहीं सकता और सही दिशा में वापस हमला नहीं कर सकता - नफरत करने वाला दुश्मन लगातार उसकी गर्दन पर बैठा रहता है। लेकिन अंत में जीत अच्छे की होती है. कुछ चतुर दिमाग ने नोटिस किया कि फ़्लैटलैंड एक गेंद पर स्थित है और इसलिए, आप इसके चारों ओर दौड़ सकते हैं और दुश्मन की रेखाओं के पीछे पहुँच सकते हैं।

उपन्यास के लेखक ने अपनी कहानी इस मौन धारणा पर बनाई है कि फ़्लैटलैंडर्स केवल कुछ सामान्य दिशाओं के साथ ही आगे बढ़ सकते हैं, जिसमें बग़ल में चक्कर लगाना शामिल नहीं है, और उनके लिए दुश्मन को उखाड़ फेंकना असंभव है।

जैसा कि देखा जा सकता है, द्वि-आयामी अंतरिक्ष में जीवन के संबंध में सबसे परिष्कृत सिद्धांत सामने रखे गए हैं, लेकिन उन्हें कभी भी आवेदन नहीं मिला है। संभवतः, इन दोनों पुस्तकों और उनके लेखकों को बहुत पहले ही भुला दिया गया होता यदि लाइनलैंड और फ्लैटलैंड को दर्पण प्रतिबिंब के सिद्धांत को समझाने की इतनी आवश्यकता नहीं होती और यदि खुफिया समस्याओं के संकलनकर्ताओं को विचारों को निकालने के लिए बार-बार फ्लैटलैंड की ओर रुख नहीं करना पड़ता इसकी द्वि-आयामीता से (वैसे, बहुत समय पहले हंगरी में स्कूली छात्र एडोलजर की फ़्लैटलैंड की यात्रा के बारे में एक कार्टून बनाया गया था)।

अन्य बातों के अलावा, फ़्लैटलैंडर्स प्लेटफ़ॉर्म को सर्कल पर रोल करके माल का परिवहन करते हैं। जब भी लोड सर्कल से गुजरता है तो वहां का परिवहन अधिकारी सर्कल को आगे की ओर घुमाकर प्लेटफार्म के सामने रख देता है।

यहां कई दिलचस्प समस्याएं सामने आती हैं. लेकिन हम केवल एक ही चीज़ में रुचि रखते हैं: यदि पहिया धुरी 10 मीटर प्रति मिनट की गति से चलती है, तो भार किस गति से चलता है?

हम अपनी सांसारिक कार के बारे में जानते हैं कि एक भी पहिया (अधिक सटीक रूप से, एक भी पहिया धुरी नहीं) पूरी कार की तुलना में तेज़ नहीं चल सकता है। लेकिन समतल भूमि वाले वाहन पर पहिया कठोरता से भार से जुड़ा नहीं होता है। विचार करने पर, यह समझना कठिन नहीं है कि यहाँ भार दो गतिविधियों में शामिल है।

सबसे पहले, यह पहिये के घूमने की धुरी के साथ चलता है (यह कार के समान है)। और इसके अलावा, भार अभी भी पहिया की परिधि के चारों ओर घूमता है, और साथ ही धुरी के घूमने की गति के बराबर गति से भी घूमता है। इसलिए, सामान्य तौर पर, भार पहिये की गति से दोगुनी गति से लुढ़कता है। निःसंदेह, भार तेजी से बढ़ना चाहिए क्योंकि पहिए हमेशा पीछे रहते हैं और उन्हें लगातार आगे बढ़ाना होता है।

कुछ पाठक सोचेंगे: "समस्या वास्तव में दिलचस्प है, लेकिन क्या?"

हालाँकि, समतल भूमि परिवहन का संचालन सिद्धांत हमारी तकनीक में अपना स्थान पाता है। इस प्रकार, एक डिजाइनर, एक छोटे से कमरे में एक दरवाजा डिजाइन कर रहा है (उदाहरण के लिए, एक छोटे लिफ्ट के पास), टिका छोड़ने के लिए मजबूर किया जाता है। वह दरवाजे को दो हिस्सों में विभाजित करता है (यदि, निश्चित रूप से, वह ऐसी कोई तरकीब लेकर आता है!), जो एक दूसरे के समानांतर चलते हैं। दरवाजे का एक आधा हिस्सा निश्चित रूप से रोलर अक्ष से जुड़ा हुआ है, और दूसरा इस रोलर की परिधि के साथ चलता है। जहां एक आधा दरवाज़े की आधी चौड़ाई में चलता है, वहीं दूसरा दरवाज़े की पूरी चौड़ाई में (दोगुनी गति से) दौड़ने में कामयाब होता है।

आइए फ़्लैटलैंड और लेखकों की कल्पनाओं को तुच्छ न समझें। आइए मान लें कि फ़्लैटलैंडर्स वास्तव में गेंद की सतह पर रहते हैं। यह सतह इतनी बड़ी है कि निवासियों को इसकी वक्रता नज़र नहीं आती। स्वाभाविक रूप से, वे सोचते हैं कि वे एक विमान पर रहते हैं, क्योंकि वे एक क्षेत्र की कल्पना नहीं कर सकते: आखिरकार, तीसरा आयाम, सिद्धांत रूप में, उनके लिए अपरिचित है। इसलिए, फ़्लैटलैंड प्रोफेसर फ़्लैटलैंड गणित विकसित करते हैं, जिसका अध्ययन स्कूलों में किया जाता है। वहां के बच्चे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित परिभाषा को याद करते हैं: दो समानांतर रेखाएं एक सीमित दूरी पर प्रतिच्छेद करती हैं। अथवा: किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक होता है। हम, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लोग, जानते हैं कि एक गोलाकार सतह एक द्वि-आयामी गैर-यूक्लिडियन अंतरिक्ष है जो सामान्य यूक्लिडियन ज्यामिति में फिट नहीं होती है।

ग्लोब को देखने पर, हम देखते हैं कि भूमध्य रेखा के समानांतर दो याम्योत्तर ध्रुव पर प्रतिच्छेद करते हैं। ग्लोब को देखने पर आप यह भी देख सकते हैं कि दो याम्योत्तर भूमध्य रेखा के साथ 90° का कोण बनाते हैं। ध्रुव पर प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक और कोण दिखाई देता है। और तीनों कोणों का योग किसी भी स्थिति में 180° से अधिक होता है। लेकिन बेचारे फ़्लैटलैंडर्स, निश्चित रूप से, यह सब कल्पना भी नहीं कर सकते। उन्हें यकीन है कि वे हवाई जहाज़ पर रहते हैं.

एक संशयवादी गणितज्ञ, कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) ने गंभीरता से सोचा कि क्या हम इंसान भी फ़्लैटलैंडर्स की स्थिति में थे। शायद, गॉस ने सोचा, हम भी एक गैर-यूक्लिडियन दुनिया में रहते हैं, लेकिन हम इस पर ध्यान नहीं देते हैं। यदि ऐसा होता, तो अंतरिक्ष घुमावदार होता (जिसकी, निश्चित रूप से, हम कल्पना नहीं कर सकते), और एक पर्याप्त बड़े त्रिभुज में 180° के अलावा अन्य कोणों का योग होता। गॉस ने ब्रॉकेन, इनसेलबर्ग और होहे हेगन के बीच त्रिकोण को मापा, लेकिन 180° से कोई महत्वपूर्ण विचलन नहीं पाया। निःसंदेह, यह निर्विवाद प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता, क्योंकि त्रिभुज अभी भी बहुत छोटा हो सकता है।

हालाँकि, कोई भी उस गैर-यूक्लिडियन स्थान की तुलना नहीं कर सकता जिसकी चर्चा सापेक्षता के सिद्धांत में अंतरिक्ष से की गई थी। आप और मैं, फ़्लैटलैंडर्स और गॉस, एक विशुद्ध ज्यामितीय, स्थानिक समस्या के बारे में बात कर रहे हैं और क्या कुछ स्वयंसिद्ध सत्य हैं (उदाहरण के लिए, अनंत पर दो समानांतर रेखाओं का प्रतिच्छेदन)। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुयायी समय को चौथे स्थानिक समन्वय के रूप में पेश करते हैं।

सर्वांगसमता के बारे में

दो समतल आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं यदि उनके संगत बिंदुओं के बीच के सभी कोण और रेखाखंड बराबर हों।

स्कूल में हम त्रिभुजों के संघटन पर प्रमेयों का अध्ययन करते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्थापित किया गया है कि त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है यदि उनकी एक भुजा हो और दो आसन्न कोण संपाती हों। इसका मतलब यह है कि, यद्यपि आप त्रिभुज बनाने के लिए एक भुजा और दो आसन्न कोणों का उपयोग कर सकते हैं, त्रिभुजों को उनके सभी भागों में मेल खाना चाहिए।

बोलचाल की भाषा में (जिसे हम इस पुस्तक में उपयोग करते हैं), हम कह सकते हैं कि सर्वांगसम तल एक-दूसरे पर बिल्कुल आरोपित होते हैं, या, इसके विपरीत, यदि एक समतल आकृति दूसरे पर बिल्कुल आरोपित होती है, तो वे सर्वांगसम होते हैं। त्रि-आयामी निकायों के लिए भी यही सच है: यदि उन्हें जोड़ा जा सकता है, तो वे सर्वांगसम हैं।

चित्र में दिखाए गए त्रिभुजों को देखें। वे सभी सर्वांगसम हैं. जाहिर है, बाईं ओर रखे गए दोनों त्रिकोण फिट हो जाएंगे यदि आप बस उन्हें हिलाएंगे। लेकिन दायीं ओर स्थित त्रिभुज, यद्यपि बायीं ओर के दो त्रिभुजों के सर्वांगसम है, हम इसे केवल समतल में घूमकर उनके साथ नहीं जोड़ सकते। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम इसे समतल में कैसे घुमाते हैं, यह कभी भी किसी भी बाएँ त्रिभुज के साथ संरेखित नहीं होगा। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको त्रिभुज को विमान के ऊपर उठाना होगा, इसे अंतरिक्ष में घुमाना होगा और इसे वापस विमान पर रखना होगा। लेकिन अगर हम शिफ्टिंग और इनवर्टिंग द्वारा संयुक्त त्रिकोणों की सापेक्ष स्थितियों की तुलना करते हैं, तो हम देखेंगे कि दोनों मामलों में उनकी अलग-अलग भुजाएँ मेल खाती हैं। जब कतरा जाता है, तो एक कागज त्रिकोण की निचली सतह दूसरे त्रिकोण की ऊपरी सतह को ओवरलैप कर देती है। पेपर शीट की सतह का स्थानिक अभिविन्यास नहीं बदला है। इस मामले में हम सर्वसम सर्वांगसमता की बात करते हैं। यदि अंतरिक्ष में घुमाने पर कागज की दोनों ऊपरी सतहें एक सीध में आ जाती हैं, तो समतल आकृतियाँ दर्पण-सर्वांगसम कहलाती हैं।

सर्वांगसम वे समतल आकृतियाँ हैं जिन्हें हम समान मानते हैं और जिन्हें किसी समतल में स्थानांतरित करके या अंतरिक्ष में घुमाकर एक दूसरे के साथ जोड़ा जा सकता है।

त्रिभुजों की सर्वांगसमता

सर्वांगसमता ज्यामितीय सपाट आकृतियों का गुण है जो आकार और आकार में एक दूसरे से मेल खाते हैं।

समान रूप से सर्वांगसम आंकड़े वे होते हैं जिन्हें घूर्णन और/या बदलाव द्वारा एक दूसरे के साथ जोड़ा जा सकता है।

दर्पण-सर्वांगसम आकृतियाँ वे होती हैं जिनके संयोजन के लिए दर्पण प्रतिबिंब के अतिरिक्त संचालन की आवश्यकता होती है।

त्रिभुज सर्वांगसमता के चार चिह्न हैं। त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि:

1) एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर होती हैं (S, S, S);

2) एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का आंतरिक कोण दो भुजाओं और उनके बीच घिरे दूसरे त्रिभुज के आंतरिक कोण के बराबर हैं (S, W, S);

3) एक त्रिभुज की दो भुजाएं और बड़े वाले के विपरीत आंतरिक कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और बड़े वाले के विपरीत आंतरिक कोण के बराबर होते हैं (एस, एस, डब्ल्यू);

4) एक त्रिभुज की भुजा और उससे सटे दोनों आंतरिक कोण दूसरे त्रिभुज (W, S, W) की भुजा और उससे सटे दोनों आंतरिक कोण के बराबर होते हैं।

समानता

आकार में नहीं, बल्कि समतल आकृतियों का संयोग समानता कहलाता है।

किसी एक आकृति का प्रत्येक कोण समान आकृति के बराबर कोण से मेल खाता है।

ऐसे आंकड़ों में, संबंधित खंड आनुपातिक होते हैं।

स्थानांतरित करने, घुमाने और (या) प्रतिबिंबित करके, दो समान आकृतियों को समरूपता की स्थिति में लाया जा सकता है। इस स्थिति में, दोनों आकृतियों की संगत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

अक्षीय समरूपता

मान लीजिए कि समतल को एक सीधी रेखा s द्वारा दो अर्ध-तलों में विभाजित किया गया है। यदि अब हम एक आधे तल को रेखा 5 के चारों ओर 180° घुमाएँ, तो इस आधे तल के सभी बिंदु दूसरे आधे तल के बिंदुओं के साथ मेल खाएँगे।

सीधी रेखा s को सममिति अक्ष कहा जाता है।

इस तथ्य के कारण कि उल्टे आधे तल पर बिंदु अपनी मूल स्थिति के संबंध में दर्पण की स्थिति में हैं, इस व्युत्क्रम को स्पेक्युलर प्रतिबिंब भी कहा जाता है। यदि आप एक आधे तल पर घूर्णन की कुछ दिशाओं को इंगित करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो दर्पण प्रतिबिंब के बाद यह दिशा विपरीत में बदल जाएगी। इसलिए, एक एकल मिररिंग ऑपरेशन दर्पण-सर्वांगसम आंकड़े उत्पन्न करता है। ऐसे दो ऑपरेशनों से समान रूप से सर्वांगसम आंकड़े प्राप्त होते हैं। वे एक बदलाव या रोटेशन के अनुरूप हैं।

रेडियल समरूपता

रेडियल सममित आकृतियों को बिंदु S के चारों ओर घुमाकर एक दूसरे के साथ संरेखित किया जा सकता है। इस बिंदु को समरूपता का केंद्र कहा जाता है।

घूमते समय, आकृतियों के संगत बिंदु संयुक्त हो जाते हैं। घूमने की दिशा नहीं बदलती. इस प्रकार परिलक्षित एक आकृति सर्वांगसम होती है।

बाद के रोटेशन ऑपरेशन किसी भी तरह से आंकड़ों की पहचान को प्रभावित नहीं करेंगे। 180° के घूर्णन कोण पर, हम केंद्रीय समरूपता की बात करते हैं।

पासा चाल

शिक्षकों का कहना है कि ब्लॉकों के साथ खेलने से स्थानिक कल्पना विकसित होती है। और इसलिए माता-पिता अपनी संतानों के लिए लोकप्रिय परियों की कहानियों के चित्रों के टुकड़ों से ढके चमकीले क्यूब्स वाले बक्से खरीदते हैं। इन क्यूब्स को सही तरीके से मोड़ने पर, आपको ग्रे वुल्फ के साथ लिटिल रेड राइडिंग हूड या सात बौनों के साथ स्नो व्हाइट दिखाई देगा।

वास्तव में, इस प्रकार के क्यूब्स और पहेलियाँ न केवल बच्चों में, बल्कि युवा से लेकर बूढ़े तक सभी में स्थानिक कल्पना विकसित करती हैं। कभी-कभी हमें विभिन्न आकार के लट्ठों से एक घन मोड़ने को मिलता है।

इन अलग-अलग तत्वों का बारीकी से निरीक्षण करने पर, ऐसा प्रतीत होता है कि उनमें से कम से कम दो का आकार और आकार समान है, लेकिन बाएं और दाएं दस्ताने की तरह एक-दूसरे से संबंधित हैं। इस प्रकार की पहेलियों के निर्माता स्पष्ट रूप से आशा करते हैं कि खिलाड़ी इस अंतर को तुरंत नोटिस नहीं करेंगे। अगर हमें याद है कि हमने कितनी बार दाएं और बाएं दस्तानों को भ्रमित किया है, तो हमें यह स्वीकार करना होगा कि ऐसी उम्मीदें निराधार नहीं हैं।

इन तत्वों को संयोजित करना लगभग असंभव है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम यहां (या कहीं नीचे) "व्यावहारिक रूप से संभव" अभिव्यक्ति का उपयोग करते हैं, तो हमारा मतलब व्यवहार में ऐसे कार्य के कार्यान्वयन से है।

लेकिन ऐसी गणितीय या भौतिक विधियाँ भी हैं जो तत्वों को संयोजित करना संभव बनाती हैं, कम से कम सैद्धांतिक रूप से या बाहरी संकेतों के अनुसार - यह आगे विचार का विषय होगा। और चूँकि हम एक तत्व को दूसरे के साथ मिलाने की बात कर रहे थे, एक महत्वपूर्ण परिस्थिति पर विशेष रूप से ध्यान दिया जाना चाहिए। फ़्लैटलैंड में समतल आकृतियों को विमान से निकालकर अंतरिक्ष में घुमाकर संयोजित करना संभव होगा। लाइनलैंड में, उसी तरह, बस एक और आयाम की आवश्यकता होगी: विमान में एक घूर्णन, और खंड संगत हो जाते हैं।

लेकिन हम केवल अंतरिक्ष में स्थानिक इमारतों को ही घुमा सकते हैं! और चूंकि चौथा आयाम, गॉस के सभी तर्कों के बावजूद, हमारे लिए बंद है, यह कल्पना करना भी मुश्किल है कि व्यावहारिक रूप से (!) हम अपनी "ईंटों" को त्रि-आयामी स्थान के अलावा कहीं और कैसे तैनात कर सकते हैं ताकि वे एक साथ फिट हो जाएं!

रोजमर्रा की जिंदगी में, हमें अक्सर इसी तरह की पहेलियों को हल करना पड़ता है (मैं जोर देता हूं: उन्हें व्यावहारिक रूप से हल करें, न कि खेलें!), उदाहरण के लिए, विभिन्न वस्तुओं को पैक करते समय। या, उदाहरण के लिए, केंद्रीय हीटिंग रेडिएटर्स की कल्पना करें। उनमें से कुछ में बाईं ओर समायोजन वाल्व है, जबकि अन्य में दाईं ओर है। एक बैटरी में कई रेडिएटर कैसे कनेक्ट करें?

रेफ्रिजरेटर, स्टोव और अन्य घरेलू सामान आमतौर पर दाएं और बाएं हाथ के हैंडल, चाबियाँ और नल के साथ डिज़ाइन किए जाते हैं। ऐसी वस्तुओं को चौथे आयाम में घुमाने की शानदार क्षमता उन सभी को बहुत प्रसन्न करेगी जो उनके परिवहन और स्थापना से संबंधित हैं।

शब्दकोश में देखें!

पुस्तक की शुरुआत में हमने मनुष्य को एक सममित प्राणी कहा है। इसके बाद, "समरूपता" शब्द का अब उपयोग नहीं किया गया। हालाँकि, आपने शायद पहले ही देखा होगा कि सभी मामलों में जब रेखा खंड, सपाट आकृतियाँ या स्थानिक पिंड समान थे, लेकिन अतिरिक्त क्रियाओं के बिना उन्हें संयोजित करना असंभव, "व्यावहारिक रूप से" असंभव था, हमें समरूपता की घटना का सामना करना पड़ा। ये तत्व एक-दूसरे से मेल खाते थे, जैसे कोई पेंटिंग और उसकी दर्पण छवि। बाएँ और दाएँ हाथ की तरह. यदि हम "विदेशी शब्दों के शब्दकोश" को देखने का कष्ट करें, तो हम पाएंगे कि समरूपता को "आनुपातिकता, मध्य रेखा, केंद्र के सापेक्ष संपूर्ण के भागों की व्यवस्था में पूर्ण पत्राचार... ऐसी व्यवस्था" के रूप में समझा जाता है। बिंदु (समरूपता का केंद्र), सीधी रेखा (समरूपता का अक्ष) या विमान (समरूपता का विमान) के सापेक्ष बिंदु, जिसमें प्रत्येक दो संबंधित बिंदु समरूपता के केंद्र से गुजरने वाली एक ही सीधी रेखा पर एक ही लंबवत पर स्थित होते हैं सममिति का अक्ष या तल, उनसे समान दूरी पर हैं..." ( विदेशी शब्दों का शब्दकोश: एड. 7वाँ, संशोधित. -एम।; रूसी भाषा 1980, पृ. 465)

और इतना ही नहीं, जैसा कि अक्सर विदेशी शब्दों के साथ होता है, "समरूपता" शब्द के कई अर्थ हैं। यह निश्चित रूप से ऐसी अभिव्यक्तियों का लाभ है: उनका उपयोग उन मामलों में किया जा सकता है जहां कोई स्पष्ट परिभाषा नहीं देना चाहता है या बस दो वस्तुओं के बीच स्पष्ट अंतर नहीं जानता है।

हम किसी व्यक्ति, चित्र या किसी वस्तु के संबंध में "आनुपातिक" शब्द का उपयोग तब करते हैं जब छोटी-मोटी विसंगतियां हमें "सममित" शब्द का उपयोग करने की अनुमति नहीं देती हैं।

चूँकि हम संदर्भ पुस्तकें खंगाल रहे हैं, आइए विश्वकोश शब्दकोश पर एक नज़र डालें ( सोवियत विश्वकोश शब्दकोश - एम.: सोवियत विश्वकोश, 1980, पृ. 1219-1220). हम यहां "समरूपता" शब्द से शुरू होने वाले छह लेख पाएंगे। इसके अलावा, यह शब्द कई अन्य लेखों में भी आता है।

गणित में, "समरूपता" शब्द के कम से कम सात अर्थ होते हैं (उनमें से सममित बहुपद, सममित मैट्रिक्स)। तर्क में सममित संबंध होते हैं। समरूपता क्रिस्टलोग्राफी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है (आप इस पुस्तक में इसके बारे में अधिक पढ़ेंगे)। जीव विज्ञान में समरूपता की अवधारणा की दिलचस्प ढंग से व्याख्या की गई है। यह छह विभिन्न प्रकार की समरूपता का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, हम सीखते हैं कि केटेनोफोर्स असममित होते हैं, जबकि स्नैपड्रैगन फूल द्विपक्षीय रूप से सममित होते हैं। हम पाएंगे कि संगीत और कोरियोग्राफी (नृत्य) में समरूपता मौजूद है। यह यहां धड़कनों के प्रत्यावर्तन पर निर्भर करता है। यह पता चलता है कि कई लोक गीत और नृत्य सममित रूप से निर्मित होते हैं।

इसलिए, हमें इस बात पर सहमत होने की आवश्यकता है कि हम किस प्रकार की समरूपता के बारे में बात करेंगे। विचाराधीन वस्तुओं की प्रकृति के बावजूद, हमारे लिए मुख्य रुचि दर्पण समरूपता होगी - बाएं और दाएं की समरूपता। हम देखेंगे कि यह स्पष्ट सीमा हमें विज्ञान और प्रौद्योगिकी की दुनिया में बहुत दूर ले जाएगी और हमें समय-समय पर अपने मस्तिष्क की क्षमताओं का परीक्षण करने की अनुमति देगी (क्योंकि यह समरूपता के लिए प्रोग्राम किया गया है)।

बिन्दुओं और रेखाओं का खेल

हमने अभी तक लाइनलैंड और फ़्लैटलैंड को नहीं छोड़ा है। और इसकी एक खास वजह है. यहां तक ​​कि अगर वहां कोई निवासी नहीं हैं, तो सीधी रेखाएं और विमान स्वयं काफी वास्तविक हैं!

आइए इस बारे में सोचें कि चीजें एक सीधी रेखा पर समरूपता के साथ कैसे खड़ी होती हैं। दो मैचों की सहायता से हम बहुत सरलता से दो संभावित मामलों की कल्पना कर सकते हैं। (हम पहले ही इस स्थिति के कुछ पहलुओं की जांच कर चुके हैं।) माचिस एक दिशा में अपना सिर रखकर लेट सकती है। फिर वे आसानी से एक साथ फिट हो जाते हैं। या सिरों (या सिरों) को एक-दूसरे के सामने रखते हुए। इस मामले में, सीधी रेखा पर एक बिंदु होता है जिस पर दर्पण को इस तरह रखा जा सकता है कि माचिस उसके प्रतिबिंब के साथ संरेखित होती दिखाई दे। दूसरे शब्दों में, सीधी रेखा पर समरूपता का एक केंद्र होता है। हमें कल्पना करनी होगी कि दर्पण एक बिंदु पर फिट बैठता है और आधा सीधी रेखा खंड उसमें प्रतिबिंबित होता है। गणितीय तर्क में यह काफी संभव है।

समतल आकृतियाँ समरूपता के अक्षों में "प्रतिबिंबित" होती हैं

समतल पर निर्माण करते समय, हमारा दर्पण अभी भी एक बिंदु, या शायद एक सीधी रेखा ही रह सकता है। संभवतः इसे उल्टे क्रम में कहना अधिक सही होगा: एक सीधी रेखा या एक बिंदु दर्पण के रूप में काम करेगा। आख़िरकार, यदि कहीं एक सीधी रेखा है, तो उस पर समरूपता का एक बिंदु केंद्र संभव है।

समतलों के आधे भाग के दर्पण प्रतिबिंब वास्तविक समतल के समान दिखते हैं: समतल को एक सीधी रेखा - दर्पण - के चारों ओर घुमाकर इसे प्रतिबिंब के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए अभिव्यक्ति "समरूपता का अक्ष"।

एक वृत्त में सममिति अक्षों की अनंत संख्या होती है। "तिपतिया घास का पत्ता" - केवल एक

तो, अब हम जानते हैं कि समरूपता का केंद्र और समरूपता की धुरी क्या हैं, और यह भी कि एक वस्तु (आइए इस तटस्थ शब्द को लें) सममित है यदि इसका एक आधा हिस्सा दूसरे से संबंधित है, जैसे एक छवि और इसकी दर्पण छवि।

एक वृत्त में समरूपता के अक्षों की अनंत संख्या होती है, और वे सभी समरूपता के एक सामान्य केंद्र से होकर गुजरते हैं। अन्य आकृतियों के लिए, समरूपता के अक्षों की संख्या सीमित है, लेकिन फिर भी सभी अक्ष (दो या अधिक) समरूपता के केंद्र से होकर गुजरते हैं। इसका मतलब यह है कि हम आकृति को एक निश्चित कोण (अधिकतम 180°) तक घुमा सकते हैं और यह फिर से ठीक उसी स्थान पर होगी जहां घूमने से पहले थी।

आइए दर्पण समरूपता के बारे में अपना तर्क जारी रखें। यह स्थापित करना आसान है कि प्रत्येक सममित समतल आकृति को दर्पण का उपयोग करके स्वयं के साथ संरेखित किया जा सकता है। यह आश्चर्य की बात है कि पाँच-कोणीय तारा या समबाहु पंचकोण जैसी जटिल आकृतियाँ भी सममित हैं। जैसा कि यह कुल्हाड़ियों की संख्या से पता चलता है, वे उच्च समरूपता द्वारा प्रतिष्ठित हैं। और इसके विपरीत: यह समझना इतना आसान नहीं है कि तिरछी समांतर चतुर्भुज जैसी प्रतीत होने वाली नियमित आकृति असममित क्यों है। प्रथम दृष्टया ऐसा लगता है कि समरूपता की धुरी इसके किसी एक पक्ष के समानांतर चल सकती है। लेकिन जैसे ही आप मानसिक रूप से इसका उपयोग करने की कोशिश करते हैं, आप तुरंत आश्वस्त हो जाते हैं कि ऐसा नहीं है। सर्पिल भी असममित है.

अजीब तरह से, समांतर चतुर्भुज की तरह प्रतीत होने वाली "सममित" आकृति में न केवल समरूपता के अक्ष होते हैं, बल्कि सामान्य रूप से दर्पण समरूपता भी होती है।

जबकि सममित आकृतियाँ पूरी तरह से उनके प्रतिबिंब से मेल खाती हैं, असममित आकृतियाँ इससे भिन्न होती हैं: दाएँ से बाएँ मुड़ने वाले सर्पिल से, दर्पण में आपको बाएँ से दाएँ मुड़ने वाला सर्पिल मिलेगा। इस संपत्ति का उपयोग अक्सर टेलीविजन पर आयोजित होने वाले सामूहिक खेलों और प्रतियोगिताओं में किया जाता है। खिलाड़ियों को दर्पण में देखने और सर्पिल जैसी कुछ असममित आकृति बनाने के लिए कहा जाता है। और फिर "बिल्कुल वही" सर्पिल फिर से बनाएं, लेकिन दर्पण के बिना। दोनों चित्रों की तुलना से पता चलता है कि सर्पिल अलग-अलग निकले: एक बाएँ से दाएँ मुड़ता है, दूसरा दाएँ से बाएँ।

लेकिन यहां व्यावहारिक जीवन में जो मजाक जैसा लगता है, वह न सिर्फ बच्चों के लिए, बल्कि बड़ों के लिए भी काफी मुश्किलें पैदा करता है। बच्चे अक्सर कुछ अक्षर अंदर-बाहर लिखते हैं। लैटिन N, I जैसा दिखता है, S और Z के बजाय यह S और Z बन जाता है। यदि हम लैटिन वर्णमाला के अक्षरों को ध्यान से देखें (और ये भी, संक्षेप में, सपाट आकृतियाँ हैं!), तो हम उनमें सममित देखेंगे और विषम. N, S, Z जैसे अक्षरों में समरूपता का एक भी अक्ष नहीं है (जैसा कि F, G, J, L, P, Q और R में है)। लेकिन एन, एस और जेड को "उल्टा" लिखना विशेष रूप से आसान है ( उनके पास समरूपता का केंद्र है। - लगभग। संपादन करना). अन्य सभी बड़े अक्षरों में समरूपता का कम से कम एक अक्ष होता है। अक्षर A, M, T, U, V, W और Y को समरूपता के अनुदैर्ध्य अक्ष के साथ आधे में विभाजित किया जा सकता है। अक्षर बी, सी, डी, ई, आई, के - समरूपता की अनुप्रस्थ धुरी। अक्षर H, O और X प्रत्येक में समरूपता के दो परस्पर लंबवत अक्ष हैं।

यदि आप अक्षरों को दर्पण के सामने, रेखा के समानांतर रखते हैं, तो आप देखेंगे कि जिनकी समरूपता की धुरी क्षैतिज रूप से चलती है, उन्हें दर्पण में भी पढ़ा जा सकता है। लेकिन जिनकी धुरी लंबवत या अनुपस्थित है वे "अपठनीय" हो जाते हैं।

यह प्रश्न काफी दिलचस्प है कि अनुदैर्ध्य अक्ष वाले अक्षर अनुप्रस्थ अक्ष वाले अक्षरों से भिन्न व्यवहार क्यों करते हैं। शायद आप भी इस बारे में सोचेंगे. हम इस घटना के कारण पर बाद में चर्चा करेंगे।

ऐसे बच्चे हैं जो बाएं हाथ से लिखते हैं, और उनके सभी अक्षर प्रतिबिंबित, प्रतिबिंबित रूप में सामने आते हैं। लियोनार्डो दा विंची की डायरियाँ मिरर फ़ॉन्ट में लिखी गई हैं। संभवतः ऐसा कोई बाध्यकारी कारण नहीं है जो हमें उसी तरह से पत्र लिखने के लिए बाध्य करता हो जैसे हम करते हैं। यह संभावना नहीं है कि मिरर फ़ॉन्ट में महारत हासिल करना हमारे नियमित फ़ॉन्ट की तुलना में अधिक कठिन है।

वर्तनी आसान नहीं होगी, और कुछ शब्द, जैसे ओटीटीओ, बिल्कुल भी नहीं बदलेंगे। ऐसी भाषाएँ हैं जिनमें वर्णों की रूपरेखा समरूपता की उपस्थिति पर आधारित होती है। तो, चीनी लेखन में, चित्रलिपि का अर्थ सच्चा मध्य है।

वास्तुकला में, समरूपता के अक्षों का उपयोग वास्तुशिल्प डिजाइन को व्यक्त करने के साधन के रूप में किया जाता है। इंजीनियरिंग में, समरूपता अक्षों को सबसे स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है जहां शून्य स्थिति से विचलन का अनुमान लगाना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, ट्रक के स्टीयरिंग व्हील पर या जहाज के स्टीयरिंग व्हील पर।

दर्पण में हमारी दुनिया

लाइनलैंड से हमें समरूपता के केंद्र का विचार मिला, और फ़्लैटलैंड से हमें समरूपता के अक्ष का विचार मिला। स्थानिक पिंडों की त्रि-आयामी दुनिया में, जहां हम रहते हैं, वहां समरूपता के अनुरूप तल होते हैं। एक "दर्पण" का आयाम हमेशा उस दुनिया से एक आयाम कम होता है जिस पर वह प्रतिबिंबित होता है। गोल पिंडों को देखने पर, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि उनमें समरूपता के तल हैं, लेकिन वास्तव में कितने, यह तय करना हमेशा आसान नहीं होता है।

आइए एक गेंद को दर्पण के सामने रखें और इसे धीरे-धीरे घुमाना शुरू करें: दर्पण में छवि मूल से किसी भी तरह से भिन्न नहीं होगी, बेशक, अगर गेंद की सतह पर कोई विशिष्ट विशेषताएं नहीं हैं। एक पिंग पोंग बॉल समरूपता के अनगिनत स्तरों को प्रदर्शित करती है। आइए एक चाकू लें, गेंद का आधा हिस्सा काट लें और इसे दर्पण के सामने रख दें। दर्पण छवि फिर से इस आधे से पूरी गेंद को पूरा कर देगी।

लेकिन यदि हम एक ग्लोब लें और उस पर अंकित भौगोलिक आकृतियों को ध्यान में रखते हुए उसकी समरूपता पर विचार करें, तो हमें समरूपता का एक भी तल नहीं मिलेगा।

फ़्लैटलैंड में, समरूपता के अनगिनत अक्षों वाली एक आकृति एक वृत्त थी। इसलिए, हमें आश्चर्य नहीं होना चाहिए कि अंतरिक्ष में गेंद में समान गुण निहित हैं। लेकिन यदि एक वृत्त एक प्रकार का है, तो त्रि-आयामी दुनिया में अनंत संख्या में समरूपता वाले विमानों के साथ निकायों की एक पूरी श्रृंखला होती है: आधार पर एक वृत्त के साथ एक सीधा सिलेंडर, एक गोलाकार या अर्धगोलाकार शंकु आधार, एक गेंद या गेंद का एक खंड। या आइए जीवन से उदाहरण लें: एक सिगरेट, एक सिगार, एक गिलास, आइसक्रीम के साथ एक शंकु के आकार का पाउंड केक, तार का एक टुकड़ा, एक पाइप।

यदि हम इन पिंडों पर करीब से नज़र डालें, तो हम देखेंगे कि ये सभी किसी न किसी तरह से एक वृत्त से बने हैं, अनंत संख्या में समरूपता अक्षों के माध्यम से अनगिनत समरूपता विमान हैं। इनमें से अधिकांश पिंडों (उन्हें क्रांति के पिंड कहा जाता है) में, निश्चित रूप से, समरूपता का एक केंद्र (वृत्त का केंद्र) भी होता है, जिसके माध्यम से समरूपता का कम से कम एक अक्ष गुजरता है।

उदाहरण के लिए, आइसक्रीम कोन की धुरी स्पष्ट रूप से दिखाई देती है। यह वृत्त के मध्य से (आइसक्रीम से बाहर चिपकी हुई!) से फ़नल शंकु के नुकीले सिरे तक चलता है। हम किसी पिंड के समरूपता तत्वों की समग्रता को एक प्रकार की समरूपता माप के रूप में देखते हैं। गेंद, बिना किसी संदेह के, समरूपता की दृष्टि से, पूर्णता का एक नायाब अवतार है, एक आदर्श है। प्राचीन यूनानियों ने इसे सबसे उत्तम शरीर और वृत्त को, स्वाभाविक रूप से, सबसे उत्तम सपाट आकृति के रूप में माना था।

सामान्य तौर पर, ये विचार आज भी काफी स्वीकार्य हैं। इसके अलावा, यूनानी दार्शनिकों ने निष्कर्ष निकाला कि ब्रह्मांड को निस्संदेह गणितीय आदर्श के मॉडल पर बनाया जाना चाहिए। इस निष्कर्ष से त्रुटियाँ उत्पन्न हुईं, जिनके परिणामों पर हम बाद में चर्चा करेंगे। यह स्पष्ट है कि प्राचीन यूनानियों के पास अभी तक आइसक्रीम पफ नहीं थे! अन्यथा, ऐसी गद्यात्मक वस्तु, जिसमें समरूपता के अनगिनत स्तर हैं, उनकी सामंजस्यपूर्ण प्रणाली को बाधित कर सकती है।

यदि हम तुलना के लिए एक घन को देखें, तो हम देखेंगे कि इसमें सममिति के नौ तल हैं। उनमें से तीन इसके मुखों को समद्विभाजित करते हैं, और छह शीर्षों से होकर गुजरते हैं। एक गेंद की तुलना में, निःसंदेह, यह पर्याप्त नहीं है।

क्या ऐसे पिंड हैं, जो विमानों की संख्या के संदर्भ में, एक गोले और एक घन के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति पर कब्जा करते हैं? बिना किसी संदेह के - हाँ। किसी को केवल यह याद रखना है कि एक वृत्त, संक्षेप में, बहुभुजों से बना होता है। हमने स्कूल में संख्या π की गणना करते समय इसका अध्ययन किया था। यदि हम प्रत्येक एन-गोन के ऊपर एक एन-गोनल पिरामिड खड़ा करते हैं, तो हम इसके माध्यम से समरूपता के एन विमान खींच सकते हैं।

32-तरफा सिगार का आविष्कार करना संभव होगा जिसमें उचित समरूपता होगी!

लेकिन अगर हम फिर भी क्यूब को कुख्यात आइसक्रीम पाउंड की तुलना में अधिक सममित वस्तु के रूप में देखते हैं, तो यह सतह की संरचना के कारण है। गेंद की केवल एक ही सतह होती है. घन में छह हैं - फलकों की संख्या के अनुसार, और प्रत्येक फलक को एक वर्ग द्वारा दर्शाया गया है। आइसक्रीम फ़नल में दो सतहें होती हैं: एक वृत्त और एक शंकु के आकार का खोल।

दो सहस्राब्दियों से अधिक समय से (शायद प्रत्यक्ष धारणा के कारण), परंपरागत रूप से "अनुरूप" ज्यामितीय निकायों को प्राथमिकता दी गई है। यूनानी दार्शनिक प्लेटो (427-347 ईसा पूर्व) ने पाया कि नियमित सर्वांगसम समतल आकृतियों से केवल पाँच त्रि-आयामी पिंडों का निर्माण किया जा सकता है।

चार नियमित (समबाहु) त्रिभुजों से एक चतुष्फलक (टेट्राहेड्रोन) प्राप्त होता है। आठ नियमित त्रिभुजों से आप एक अष्टफलक (ऑक्टाहेड्रोन) बना सकते हैं और अंत में, बीस नियमित त्रिभुजों से - एक इकोसाहेड्रोन बना सकते हैं। और केवल चार, आठ या बीस समान त्रिभुजों से ही त्रि-आयामी ज्यामितीय निकाय प्राप्त किया जा सकता है। वर्गों से आप केवल एक बड़ा आकार बना सकते हैं - एक हेक्साहेड्रोन (हेक्साहेड्रोन), और समबाहु पंचकोणों से - एक डोडेकाहेड्रोन (डोडेकाहेड्रोन)।

और हमारी त्रि-आयामी दुनिया में क्या पूरी तरह से दर्पण समरूपता से रहित है?

यदि फ़्लैटलैंड में यह एक सपाट सर्पिल था, तो हमारी दुनिया में यह निश्चित रूप से एक सर्पिल सीढ़ी या एक सर्पिल ड्रिल होगा। इसके अलावा, हमारे आस-पास के जीवन और प्रौद्योगिकी में हजारों और भी विषम चीजें और वस्तुएं हैं। एक नियम के रूप में, पेंच में दाहिने हाथ का धागा होता है। लेकिन कभी-कभी बायां भी मिल जाता है. इस प्रकार, अधिक सुरक्षा के लिए, प्रोपेन सिलेंडर बाएं हाथ के धागे से सुसज्जित होते हैं ताकि उदाहरण के लिए, किसी अन्य गैस वाले सिलेंडर के लिए डिज़ाइन किए गए रिड्यूसर वाल्व को उन पर खराब न किया जा सके। रोजमर्रा की जिंदगी में, इसका मतलब है कि कैंपिंग करते समय, कैंप स्टोव पर खाना पकाने से पहले, आपको हमेशा यह कोशिश करनी चाहिए कि सिलेंडर किस तरह से खुला है।

एक ओर गेंद और घन के बीच, और दूसरी ओर सर्पिल सीढ़ी के बीच, अभी भी समरूपता के कई अंश हैं। हम धीरे-धीरे घन से सममिति तलों, अक्षों और केंद्र को घटा सकते हैं जब तक कि हम पूर्ण विषमता की स्थिति तक नहीं पहुंच जाते।

हम, लोग, समरूपता की इस श्रृंखला के लगभग अंत में खड़े हैं, समरूपता का केवल एक ही तल हमारे शरीर को बाएँ और दाएँ हिस्सों में विभाजित करता है। हमारी समरूपता की डिग्री समान है, उदाहरण के लिए, साधारण फेल्डस्पार (एक खनिज जो अभ्रक और क्वार्ट्ज के साथ मिलकर नीस या ग्रेनाइट बनाता है)।

पाँच प्लैटोनियन ठोस

नियमित पॉलीहेड्रा के लिए निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1. किसी भी बहुफलक (नियमित सहित) में, एक शीर्ष पर एकत्रित किनारों के बीच के सभी कोणों का योग हमेशा 360° से कम होता है।

2. उत्तल बहुफलक के लिए यूलर प्रमेय द्वारा

जहाँ e शीर्षों की संख्या है, ƒ फलकों की संख्या है और k किनारों की संख्या है।

नियमित बहुफलक के फलक केवल निम्नलिखित नियमित बहुभुज हो सकते हैं:

60° के कोण वाले 3, 4 या 5 समबाहु त्रिभुज। ऐसे छह त्रिभुज पहले से ही 60° X 6 = 360° देते हैं और इसलिए, एक बहुफलकीय कोण को सीमित नहीं कर सकते।

तीन वर्ग (90° X 3 = 270°), 3 नियमित पंचकोण (108° X 3 = 324°), 3 नियमित षट्भुज (120° X 3 = 360°) एक बहुफलकीय कोण को परिभाषित करते हैं।

यूलर के प्रमेय और फलकों के आकार से यह पता चलता है कि केवल 5 नियमित पॉलीहेड्रा हैं:

पाँच नियमित पॉलीहेड्रा की तालिका

चेहरे का आकार	संख्या				प्लेटोनिक ठोस
	एक शीर्ष पर मुख	चोटियों	चेहरे के	पसलियां
समबाहु त्रिभुज	3	4	4	6	चतुर्पाश्वीय
वही	4	6	8	12	अष्टफलक
वही	5	12	20	30	विंशतिफलक
वर्गों	3	8	6	12	हेक्साहेड्रोन (घन)
सही पंचकोण	3	20	12	20	पेंटागन-डोडेकाहेड्रोन

(पेंटागन डोडेकाहेड्रोन का कोई भी चेहरा एक पंचकोणीय आकृति है जिसमें चार भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, लेकिन पाँचवीं से भिन्न होती हैं। - लगभग। अनुवाद)