प्रथम कोटि अवकल समीकरण को हल करें। प्रथम कोटि अवकल समीकरण

विभेदक समीकरण एक समीकरण है जिसमें एक फ़ंक्शन और उसके एक या अधिक व्युत्पन्न शामिल होते हैं। अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं में, फ़ंक्शन भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, व्युत्पन्न इन मात्राओं के परिवर्तन की दर के अनुरूप होते हैं, और एक समीकरण उनके बीच संबंध निर्धारित करता है।

यह आलेख कुछ प्रकार के सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है, जिनके समाधान फॉर्म में लिखे जा सकते हैं प्राथमिक कार्य, अर्थात्, बहुपद, घातांक, लघुगणक और त्रिकोणमितीय, साथ ही उनके व्युत्क्रम फलन। इनमें से कई समीकरण वास्तविक जीवन में घटित होते हैं, हालाँकि अधिकांश अन्य अंतर समीकरणों को इन विधियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, और उनके लिए उत्तर विशेष कार्यों या शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जाता है, या संख्यात्मक तरीकों से पाया जाता है।

इस लेख को समझने के लिए, आपको डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस में कुशल होना चाहिए, साथ ही आंशिक डेरिवेटिव की भी कुछ समझ होनी चाहिए। अंतर समीकरणों, विशेष रूप से दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों पर लागू रैखिक बीजगणित की मूल बातें जानने की भी सिफारिश की जाती है, हालांकि अंतर और अभिन्न कलन का ज्ञान उन्हें हल करने के लिए पर्याप्त है।

प्रारंभिक जानकारी

• विभेदक समीकरणों का व्यापक वर्गीकरण होता है। यह लेख बात करता है सामान्य अवकल समीकरण, यानी, उन समीकरणों के बारे में जिनमें एक चर और उसके डेरिवेटिव का एक फ़ंक्शन शामिल है। साधारण अंतर समीकरणों को समझना और हल करना बहुत आसान होता है आंशिक अंतर समीकरण, जिसमें कई चर के कार्य शामिल हैं। यह लेख आंशिक अंतर समीकरणों पर चर्चा नहीं करता है, क्योंकि इन समीकरणों को हल करने की विधियाँ आमतौर पर उनके विशेष रूप से निर्धारित होती हैं।
  • नीचे साधारण अंतर समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • नीचे आंशिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक x^(2)))+(\frac (\आंशिक ^(2) )f)(\आंशिक y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\आंशिक u)(\आंशिक t))-\alpha (\frac (\आंशिक ^(2)u)(\आंशिक x ^(2)))=0)
• आदेशएक विभेदक समीकरण का निर्धारण इस समीकरण में शामिल उच्चतम व्युत्पन्न के क्रम से होता है। उपरोक्त साधारण अवकल समीकरणों में से पहला प्रथम कोटि का है, जबकि दूसरा दूसरे कोटि का समीकरण है। डिग्रीकिसी अवकल समीकरण की वह उच्चतम घात होती है जिस तक इस समीकरण के किसी एक पद को बढ़ाया जाता है।
  • उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया समीकरण तीसरे क्रम और दूसरी डिग्री का है।
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ दाएँ)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• विभेदक समीकरण है रैखिक अंतर समीकरणइस घटना में कि फ़ंक्शन और उसके सभी डेरिवेटिव पहली डिग्री में हैं। अन्यथा समीकरण है अरेखीय विभेदक समीकरण. रैखिक अवकल समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय हैं कि उनके समाधानों का उपयोग रैखिक संयोजन बनाने के लिए किया जा सकता है जो दिए गए समीकरण का समाधान भी होगा।
  • नीचे रैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
  • नीचे अरेखीय अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। पहला समीकरण ज्या पद के कारण अरैखिक है।
    • d 2 θ d t 2 + g l पाप ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• सामान्य निर्णयसाधारण अंतर समीकरण अद्वितीय नहीं है, इसमें शामिल है मनमाना एकीकरण स्थिरांक. अधिकांश मामलों में, मनमाना स्थिरांकों की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। व्यवहार में, इन स्थिरांकों का मान दिए गए के आधार पर निर्धारित किया जाता है आरंभिक स्थितियां, अर्थात्, फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मानों के अनुसार x = 0. (\displaystyle x=0.)आरंभिक स्थितियों की संख्या जिन्हें खोजना आवश्यक है निजी समाधानअधिकांश मामलों में अवकल समीकरण भी दिए गए समीकरण के क्रम के बराबर होता है।
  • उदाहरण के लिए, यह आलेख नीचे दिए गए समीकरण को हल करने पर ध्यान देगा। यह द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। इसके सामान्य समाधान में दो मनमाने स्थिरांक शामिल हैं। इन स्थिरांकों को ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक स्थितियों को जानना आवश्यक है x (0) (\displaystyle x(0))और एक्स' (0) . (\डिस्प्लेस्टाइल x"(0).)आमतौर पर प्रारंभिक शर्तें बिंदु पर निर्दिष्ट की जाती हैं x = 0 , (\displaystyle x=0,), हालाँकि यह आवश्यक नहीं है. यह आलेख इस बात पर भी चर्चा करेगा कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए विशेष समाधान कैसे खोजा जाए।
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 syn ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

कदम

भाग ---- पहला

प्रथम क्रम समीकरण

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1. प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण.यह अनुभाग सामान्य और विशेष मामलों में प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है जब कुछ पद शून्य के बराबर होते हैं। चलिए ऐसा दिखावा करते हैं y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) पी (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल पी(एक्स))और q (x) (\displaystyle q(x))कार्य हैं एक्स। (\डिस्प्लेस्टाइल x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   पी (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)गणितीय विश्लेषण के मुख्य प्रमेयों में से एक के अनुसार, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का अभिन्न अंग भी एक फ़ंक्शन है। इस प्रकार, इसका समाधान खोजने के लिए समीकरण को एकीकृत करना ही पर्याप्त है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करते समय, एक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है।

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)हम विधि का उपयोग करते हैं चरों का पृथक्करण. यह विभिन्न चरों को समीकरण के विभिन्न पक्षों में ले जाता है। उदाहरण के लिए, आप सभी सदस्यों को यहां से स्थानांतरित कर सकते हैं वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)एक में, और सभी सदस्य एक साथ एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)समीकरण के दूसरी ओर. सदस्यों का स्थानांतरण भी किया जा सकता है d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)और d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), जो डेरिवेटिव के भावों में शामिल हैं, हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि यह सिर्फ एक प्रतीक है जो एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करते समय सुविधाजनक होता है। इन सदस्यों की चर्चा, जिन्हें बुलाया जाता है भिन्नता, इस लेख के दायरे से बाहर है।

   • सबसे पहले, आपको वेरिएबल्स को समान चिह्न के विपरीत पक्षों में ले जाना होगा।
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करें। एकीकरण के बाद, दोनों पक्षों पर मनमाना स्थिरांक दिखाई देंगे, जिन्हें समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.1.अंतिम चरण में हमने नियम का उपयोग किया e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))और प्रतिस्थापित किया गया ई सी (\displaystyle ई^(सी))पर सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), क्योंकि यह भी एक मनमाना एकीकरण स्थिरांक है।
     • d y d x - 2 y पाप ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = पाप ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e - 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(allined) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(संरेखित)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)एक सामान्य समाधान खोजने के लिए हमने परिचय दिया एकीकृत करने वाला कारकके एक समारोह के रूप में एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करना और इस प्रकार समीकरण को हल करना।

   • दोनों पक्षों को इससे गुणा करें μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • बाईं ओर को सामान्य व्युत्पन्न में कम करने के लिए, निम्नलिखित परिवर्तन किए जाने चाहिए:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • आखिरी समानता का मतलब यही है d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). यह एक एकीकृत कारक है जो किसी भी प्रथम-क्रम रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त है। अब हम इस समीकरण को हल करने के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं μ , (\displaystyle \mu ,)हालाँकि यह सभी मध्यवर्ती गणनाएँ करने के लिए प्रशिक्षण के लिए उपयोगी है।
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.2.यह उदाहरण दिखाता है कि दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ एक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान कैसे खोजा जाए।
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(alline)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(allined)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   प्रथम क्रम के रैखिक समीकरणों को हल करना (इंटुइट - राष्ट्रीय मुक्त विश्वविद्यालय द्वारा दर्ज)।

2. अरैखिक प्रथम कोटि समीकरण. यह अनुभाग कुछ प्रथम-क्रम अरेखीय अवकल समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है। हालाँकि ऐसे समीकरणों को हल करने की कोई सामान्य विधि नहीं है, उनमें से कुछ को नीचे दी गई विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)यदि फ़ंक्शन f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))को एक चर के फलनों में विभाजित किया जा सकता है, ऐसे समीकरण को कहा जाता है वियोज्य चरों के साथ विभेदक समीकरण. इस मामले में, आप उपरोक्त विधि का उपयोग कर सकते हैं:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )एक्स)
   • उदाहरण 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(allined)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(संरेखित)))

   डी वाई डी एक्स = जी (एक्स , वाई) एच (एक्स , वाई) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)चलिए ऐसा दिखावा करते हैं जी (एक्स , वाई) (\डिस्प्लेस्टाइल जी(एक्स,वाई))और h (x , y) (\displaystyle h(x,y))कार्य हैं एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)और वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई.)तब सजातीय विभेदक समीकरणएक समीकरण है जिसमें जी (\डिस्प्लेस्टाइल जी)और एच (\डिस्प्लेस्टाइल एच)हैं सजातीय कार्यउसी डिग्री तक. अर्थात्, कार्यों को शर्त पूरी करनी होगी g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)कहाँ के (\डिस्प्लेस्टाइल के)समरूपता की डिग्री कहलाती है. किसी भी सजातीय अंतर समीकरण का उपयोग उपयुक्त द्वारा किया जा सकता है चरों का प्रतिस्थापन (v = y / x (\displaystyle v=y/x)या v = x / y (\displaystyle v=x/y)) एक वियोज्य समीकरण में परिवर्तित करें।

   • उदाहरण 1.4.समरूपता का उपरोक्त विवरण अस्पष्ट लग सकता है। आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण से देखें।
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • आरंभ करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह समीकरण अरैखिक है वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई.)हम यह भी देखते हैं कि इस मामले में चरों को अलग करना असंभव है। साथ ही, यह अंतर समीकरण सजातीय है, क्योंकि अंश और हर दोनों 3 की घात के साथ सजातीय हैं। इसलिए, हम चर में परिवर्तन कर सकते हैं वी = वाई/एक्स. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (डी) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • डी वी डी एक्स एक्स = - 1 वी 2। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)परिणामस्वरूप, हमारे पास समीकरण है वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी)वियोज्य चर के साथ।
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   डी वाई डी एक्स = पी (एक्स) वाई + क्यू (एक्स) वाई एन। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)यह बर्नौली विभेदक समीकरण- प्रथम डिग्री का एक विशेष प्रकार का अरेखीय समीकरण, जिसका समाधान प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

   • समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • हम बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को इसके संबंध में एक रैखिक समीकरण में बदलते हैं y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)जिसे उपरोक्त विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (डी) )x))=0.)यह कुल अंतर में समीकरण. तथाकथित को खोजना आवश्यक है संभावित कार्य φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), जो शर्त को पूरा करता है d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • इस शर्त को पूरा करना जरूरी है कुल व्युत्पन्न. कुल व्युत्पन्न अन्य चर पर निर्भरता को ध्यान में रखता है। कुल व्युत्पन्न की गणना करने के लिए φ (\displaystyle \varphi )द्वारा एक्स , (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स,)हम मानते हैं कि वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)पर भी निर्भर हो सकता है एक्स। (\डिस्प्लेस्टाइल x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक x))+(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • शर्तों की तुलना करने से हमें पता चलता है M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक x)))और एन (एक्स, वाई) = ∂ φ ∂ वाई। (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\आंशिक \varphi )(\आंशिक y)).)यह कई चर वाले समीकरणों के लिए एक विशिष्ट परिणाम है, जिसमें सुचारू कार्यों के मिश्रित व्युत्पन्न एक दूसरे के बराबर होते हैं। कभी-कभी इस मामले को कहा जाता है क्लैरौट का प्रमेय. इस मामले में, यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है, तो अंतर समीकरण कुल अंतर समीकरण है:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\आंशिक M)(\आंशिक y))=(\frac (\आंशिक N)(\आंशिक x)))
   • कुल अंतरों में समीकरणों को हल करने की विधि कई व्युत्पन्नों की उपस्थिति में संभावित कार्यों को खोजने के समान है, जिस पर हम संक्षेप में चर्चा करेंगे। पहले एकीकरण करें एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)द्वारा एक्स। (\डिस्प्लेस्टाइल x.)क्योंकि एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)एक फ़ंक्शन है और एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x), और y , (\displaystyle y,)एकीकरण पर हमें एक अधूरा फ़ंक्शन मिलता है φ , (\displaystyle \varphi ,)के रूप में नामित φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). नतीजा भी इस पर निर्भर करता है वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)एकीकरण स्थिरांक.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (डी) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • इसके बाद पाना है सी (वाई) (\डिस्प्लेस्टाइल सी(वाई))हम परिणामी फ़ंक्शन के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न ले सकते हैं y , (\displaystyle y,)परिणाम को बराबर करें N (x , y) (\displaystyle N(x,y))और एकीकृत करें. आप पहले एकीकृत भी कर सकते हैं एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), और फिर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x), जो आपको एक मनमाना फ़ंक्शन ढूंढने की अनुमति देगा घ(x). (\displaystyle d(x).)दोनों विधियाँ उपयुक्त हैं, और आमतौर पर एकीकरण के लिए सरल फ़ंक्शन को चुना जाता है।
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ आंशिक (\tilde (\varphi )))(\आंशिक y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • उदाहरण 1.5.आप आंशिक व्युत्पन्न ले सकते हैं और देख सकते हैं कि नीचे दिया गया समीकरण कुल अंतर समीकरण है।
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(align)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\आंशिक) \varphi )(\आंशिक y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(allined)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • यदि अंतर समीकरण कुल अंतर समीकरण नहीं है, तो कुछ मामलों में आप एक एकीकृत कारक पा सकते हैं जो आपको इसे कुल अंतर समीकरण में बदलने की अनुमति देता है। हालाँकि, ऐसे समीकरणों का व्यवहार में शायद ही कभी उपयोग किया जाता है, और यद्यपि यह एकीकरण कारक है मौजूद, इसे ढूंढना होता है आसान नहीं है, इसलिए इस लेख में इन समीकरणों पर विचार नहीं किया गया है।

भाग 2

दूसरे क्रम के समीकरण

1. स्थिर गुणांकों के साथ सजातीय रैखिक अंतर समीकरण।ये समीकरण व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, इसलिए उनका समाधान प्राथमिक महत्व का है। इस मामले में, हम सजातीय कार्यों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि इस तथ्य के बारे में कि समीकरण के दाईं ओर 0 है। अगला भाग दिखाएगा कि संबंधित को कैसे हल किया जाए विजातीयविभेदक समीकरण। नीचे ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)स्थिरांक हैं.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण. यह विभेदक समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसे बहुत आसानी से हल किया जा सकता है यदि आप इस बात पर ध्यान दें कि इसके समाधान में क्या गुण होने चाहिए। समीकरण से यह स्पष्ट है कि वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)और इसके व्युत्पन्न एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। पिछले उदाहरणों से, जिनकी चर्चा प्रथम-क्रम समीकरणों के अनुभाग में की गई थी, हम जानते हैं कि केवल एक घातीय फलन में ही यह गुण होता है। अत: इसे आगे रखना संभव है ansatz(एक शिक्षित अनुमान) किसी दिए गए समीकरण का समाधान क्या होगा।

   • समाधान में एक घातांकीय फलन का रूप होगा ई आर एक्स , (\displaystyle ई^(आरएक्स),)कहाँ आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)एक स्थिरांक है जिसका मान ज्ञात किया जाना चाहिए। इस फ़ंक्शन को समीकरण में रखें और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करें
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • यह समीकरण इंगित करता है कि एक घातांकीय फलन और एक बहुपद का गुणनफल शून्य के बराबर होना चाहिए। यह ज्ञात है कि डिग्री के किसी भी मान के लिए घातांक शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि बहुपद शून्य के बराबर है। इस प्रकार, हमने एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या को एक बीजगणितीय समीकरण को हल करने की बहुत सरल समस्या में बदल दिया है, जिसे किसी दिए गए अंतर समीकरण के लिए विशेषता समीकरण कहा जाता है।
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • हमें दो जड़ें मिलीं। चूँकि यह विभेदक समीकरण रैखिक है, इसका सामान्य समाधान आंशिक समाधानों का एक रैखिक संयोजन है। चूँकि यह दूसरे क्रम का समीकरण है, हम जानते हैं कि यह है वास्तव मेंसामान्य समाधान, और कोई अन्य नहीं है। इसका अधिक कठोर औचित्य किसी समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेयों में निहित है, जो पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है।
   • यह जांचने का एक उपयोगी तरीका है कि क्या दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, गणना करना है रोन्स्कियाना. व्रोन्स्कियन डब्ल्यू (\डिस्प्लेस्टाइल डब्ल्यू)एक मैट्रिक्स का निर्धारक है जिसके कॉलम में फ़ंक्शन और उनके क्रमिक व्युत्पन्न होते हैं। रैखिक बीजगणित प्रमेय बताता है कि यदि व्रोनस्कियन शून्य के बराबर है तो व्रोनस्कियन में शामिल कार्य रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। इस खंड में हम जाँच सकते हैं कि क्या दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं - ऐसा करने के लिए हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि व्रोनस्कियन शून्य नहीं है। अलग-अलग मापदंडों की विधि द्वारा निरंतर गुणांक वाले अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करते समय व्रोनस्कियन महत्वपूर्ण है।
     • डब्ल्यू = | y 1 y 2 y 1' y 2' | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, किसी दिए गए अंतर समीकरण के सभी समाधानों का सेट एक वेक्टर स्थान बनाता है जिसका आयाम अंतर समीकरण के क्रम के बराबर होता है। इस स्थान में कोई भी आधार चुन सकता है रैखिक रूप से स्वतंत्रनिर्णय एक दूसरे से. यह इस तथ्य के कारण संभव है कि function y (x) (\displaystyle y(x))वैध रैखिक ऑपरेटर. यौगिक हैरैखिक ऑपरेटर, क्योंकि यह भिन्न-भिन्न कार्यों के स्थान को सभी कार्यों के स्थान में बदल देता है। समीकरणों को उन मामलों में सजातीय कहा जाता है, जब किसी रैखिक ऑपरेटर के लिए एल (\डिस्प्लेस्टाइल एल)हमें समीकरण का हल ढूंढना होगा एल [ वाई ] = 0. (\displaystyle एल[y]=0.)

   आइए अब हम कई विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें। हम क्रम को कम करने वाले अनुभाग में, विशेषता समीकरण की एकाधिक जड़ों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करेंगे।

   यदि जड़ें r ± (\displaystyle r_(\pm ))भिन्न-भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं, अवकल समीकरण का निम्नलिखित समाधान है

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r - x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   दो जटिल जड़ें.बीजगणित के मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि वास्तविक गुणांक वाले बहुपद समीकरणों के समाधानों की जड़ें वास्तविक होती हैं या संयुग्मी जोड़े बनाती हैं। इसलिए, यदि एक सम्मिश्र संख्या r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )तो, विशेषता समीकरण का मूल है r * = α - i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )इस समीकरण का मूल भी है. इस प्रकार, हम समाधान को फॉर्म में लिख सकते हैं c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)हालाँकि, यह एक जटिल संख्या है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए वांछनीय नहीं है।

   • इसके बजाय आप उपयोग कर सकते हैं यूलर का सूत्र e i x = cos ⁡ x + i पाप ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), जो आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में समाधान लिखने की अनुमति देता है:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 पाप ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x - i c 2 पाप ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ बीटा x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • अब आप एक स्थिरांक के बजाय कर सकते हैं सी 1 + सी 2 (\displaystyle सी_(1)+सी_(2))लिखो सी 1 (\डिस्प्लेस्टाइल सी_(1)), और अभिव्यक्ति i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))द्वारा प्रतिस्थापित सी 2 . (\displaystyle c_(2).)इसके बाद हमें निम्नलिखित समाधान मिलता है:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 syn ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\बीटा x))
   • आयाम और चरण के संदर्भ में समाधान लिखने का एक और तरीका है, जो भौतिकी समस्याओं के लिए बेहतर अनुकूल है।
   • उदाहरण 2.1.आइए दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ नीचे दिए गए अंतर समीकरण का समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, आपको परिणामी समाधान लेने की आवश्यकता है, साथ ही इसका व्युत्पन्न भी, और उन्हें प्रारंभिक स्थितियों में प्रतिस्थापित करें, जो हमें मनमाना स्थिरांक निर्धारित करने की अनुमति देगा।
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ' (0) = - 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )मैं)
     • x (t) = e - 3 t/2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 syn ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 पाप ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 पाप ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(allined)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(संरेखित)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e - 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 syn ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   स्थिर गुणांकों के साथ nवें क्रम के अंतर समीकरणों को हल करना (इंटुइट - राष्ट्रीय मुक्त विश्वविद्यालय द्वारा दर्ज)।

2. घटता क्रम.ऑर्डर रिडक्शन अंतर समीकरणों को हल करने की एक विधि है जब एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान ज्ञात होता है। इस विधि में समीकरण के क्रम को एक से कम करना शामिल है, जो आपको पिछले अनुभाग में वर्णित विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। समाधान बताएं. ऑर्डर में कमी का मुख्य विचार नीचे दिए गए फॉर्म में एक समाधान ढूंढना है, जहां फ़ंक्शन को परिभाषित करना आवश्यक है v (x) (\displaystyle v(x)), इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और खोजें वी(एक्स). (\डिस्प्लेस्टाइल v(x).)आइए देखें कि निरंतर गुणांक और एकाधिक जड़ों वाले अंतर समीकरण को हल करने के लिए ऑर्डर कटौती का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

   
   

   एकाधिक जड़ेंस्थिर गुणांकों के साथ सजातीय विभेदक समीकरण। याद रखें कि दूसरे क्रम के समीकरण में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान होने चाहिए। यदि विशेषता समीकरण में कई जड़ें हैं, तो समाधान का सेट नहींएक स्थान बनाता है क्योंकि ये समाधान रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। इस मामले में, दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने के लिए ऑर्डर कटौती का उपयोग करना आवश्यक है।

   • मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हैं आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर). आइए मान लें कि दूसरा समाधान फॉर्म में लिखा जा सकता है y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), और इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, अधिकांश पद, फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न वाले पद को छोड़कर वी , (\डिस्प्लेस्टाइल वी,)कम कर दिया जाएगा।
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • उदाहरण 2.2.मान लीजिए निम्नलिखित समीकरण दिया गया है जिसके अनेक मूल हैं आर = − 4. (\displaystyle आर=-4.)प्रतिस्थापन के दौरान, अधिकांश पद कम हो जाते हैं।
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e - 4 x y ′ = v ' (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x - 8 v ' (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(alline)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(संरेखित)))
     • v ″ e - 4 x - 8 v ′ e - 4 x + 16 v e - 4 x + 8 v ′ e - 4 x - 32 v e - 4 x + 16 v e - 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(संरेखित) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\रद्द करें (32ve^(-4x)))+(\रद्द करें (16ve^(-4x)))=0\end(संरेखित)))
   • स्थिर गुणांक वाले विभेदक समीकरण के लिए हमारे ansatz के समान, इस मामले में केवल दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो सकता है। हम दो बार एकीकृत करते हैं और वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • फिर स्थिर गुणांक वाले एक विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान उस स्थिति में जहां विशेषता समीकरण के कई मूल हों, निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। सुविधा के लिए, आप याद रख सकते हैं कि रैखिक स्वतंत्रता प्राप्त करने के लिए दूसरे पद को इससे गुणा करना ही पर्याप्त है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x). समाधानों का यह सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इस प्रकार हमने इस समीकरण के सभी समाधान ढूंढ लिए हैं।
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)यदि समाधान ज्ञात हो तो ऑर्डर में कटौती लागू होती है y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), जिसे समस्या विवरण में पाया या दिया जा सकता है।

   • हम फॉर्म में समाधान तलाश रहे हैं.' y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))और इसे इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ’ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • क्योंकि y 1 (\displaystyle y_(1))एक अवकल समीकरण का समाधान है, सभी पदों के साथ वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी)कम किये जा रहे हैं. अंत में यह बचता है प्रथम कोटि रैखिक समीकरण. इसे और अधिक स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आइए चरों में परिवर्तन करें w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • यदि अभिन्नों की गणना की जा सकती है, तो हम प्राथमिक कार्यों के संयोजन के रूप में सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं। अन्यथा, समाधान को समग्र रूप में छोड़ा जा सकता है।

3. कॉची-यूलर समीकरण.कॉची-यूलर समीकरण दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक उदाहरण है चरगुणांक, जिसका सटीक समाधान है। इस समीकरण का उपयोग व्यवहार में किया जाता है, उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास समीकरण को हल करने के लिए।

   एक्स 2 डी 2 वाई डी एक्स 2 + ए एक्स डी वाई डी एक्स + बी वाई = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण.जैसा कि आप देख सकते हैं, इस अंतर समीकरण में, प्रत्येक पद में एक शक्ति कारक होता है, जिसकी डिग्री संबंधित व्युत्पन्न के क्रम के बराबर होती है।

   • इस प्रकार, आप फॉर्म में समाधान ढूंढने का प्रयास कर सकते हैं y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)जहां यह निर्धारित करना आवश्यक है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), जैसे हम स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरण के लिए एक घातांकीय फलन के रूप में एक समाधान की तलाश कर रहे थे। विभेदन और प्रतिस्थापन के बाद हमें प्राप्त होता है
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • विशेषता समीकरण का उपयोग करने के लिए, हमें यह मानना ​​होगा x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). डॉट x = 0 (\displaystyle x=0)बुलाया नियमित एकवचन बिंदुअंतर समीकरण। घात श्रृंखला का उपयोग करके अंतर समीकरणों को हल करते समय ऐसे बिंदु महत्वपूर्ण होते हैं। इस समीकरण की दो जड़ें हैं, जो भिन्न और वास्तविक, एकाधिक या जटिल संयुग्मी हो सकती हैं।
     • n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   दो भिन्न वास्तविक जड़ें.यदि जड़ें n ± (\displaystyle n_(\pm ))वास्तविक और भिन्न हैं, तो अवकल समीकरण के समाधान का निम्नलिखित रूप होता है:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   दो जटिल जड़ें.यदि विशेषता समीकरण की जड़ें हैं n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), समाधान एक जटिल कार्य है।

   • समाधान को वास्तविक फ़ंक्शन में बदलने के लिए, हम चर में परिवर्तन करते हैं x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)वह है t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)और यूलर के सूत्र का उपयोग करें। मनमाना स्थिरांक निर्धारित करते समय पहले भी इसी तरह की क्रियाएं की गई थीं।
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • तब सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 पाप ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   एकाधिक जड़ें.दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, क्रम को फिर से कम करना आवश्यक है।

   • इसमें काफी गणनाएँ करनी पड़ती हैं, लेकिन सिद्धांत वही रहता है: हम स्थानापन्न करते हैं y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))एक समीकरण में जिसका पहला समाधान है y 1 (\displaystyle y_(1)). कटौती के बाद, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • यह के संबंध में प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है वी' (एक्स) . (\displaystyle v"(x).)उसका समाधान है वी (एक्स) = सी 1 + सी 2 एलएन ⁡ एक्स . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)इस प्रकार, समाधान को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। यह याद रखना काफी आसान है - दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए बस एक अतिरिक्त शब्द की आवश्यकता होती है ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. स्थिर गुणांक वाले अमानवीय रैखिक अंतर समीकरण।अमानवीय समीकरणों का रूप होता है L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)कहाँ एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))- तथाकथित स्वतंत्र सदस्य. अवकल समीकरणों के सिद्धांत के अनुसार, इस समीकरण का सामान्य समाधान एक सुपरपोजिशन है निजी समाधान y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))और अतिरिक्त समाधान वाई सी (एक्स) . (\displaystyle y_(c)(x).)हालाँकि, इस मामले में, एक विशेष समाधान का मतलब प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिया गया समाधान नहीं है, बल्कि एक ऐसा समाधान है जो विषमता (एक मुक्त शब्द) की उपस्थिति से निर्धारित होता है। एक अतिरिक्त समाधान संबंधित सजातीय समीकरण का एक समाधान है जिसमें f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)चूंकि, समग्र समाधान इन दो समाधानों का एक सुपरपोजिशन है L [y p + y c ] = L [y p ] + L [y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), और तबसे L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)ऐसा सुपरपोज़िशन वास्तव में एक सामान्य समाधान है।

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   अनिर्धारित गुणांकों की विधि.अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां अवरोधन शब्द घातीय, त्रिकोणमितीय, अतिशयोक्तिपूर्ण या शक्ति कार्यों का संयोजन होता है। केवल इन कार्यों में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या होने की गारंटी है। इस अनुभाग में हम समीकरण का एक विशेष समाधान ढूंढेंगे।

   • आइए शर्तों की तुलना करें एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))निरंतर कारकों पर ध्यान दिए बिना शर्तों के साथ। तीन संभावित मामले हैं.
     • कोई भी दो सदस्य एक जैसे नहीं होते.इस मामले में, एक विशेष समाधान y p (\displaystyle y_(p))से पदों का एक रैखिक संयोजन होगा y p (\displaystyle y_(p))
     • एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स)) सदस्य शामिल है x n (\displaystyle x^(n)) और सदस्य से y c , (\displaystyle y_(c),) कहाँ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन) शून्य या एक धनात्मक पूर्णांक है, और यह पद विशेषता समीकरण की एक अलग जड़ से मेल खाता है।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))फ़ंक्शन के संयोजन से युक्त होगा x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न, साथ ही अन्य पद एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))और उनके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न।
     • एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स)) सदस्य शामिल है एच (एक्स) , (\डिस्प्लेस्टाइल एच(एक्स),) जो एक काम है x n (\displaystyle x^(n)) और सदस्य से y c , (\displaystyle y_(c),) कहाँ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन) 0 या एक धनात्मक पूर्णांक के बराबर है, और यह पद इससे मेल खाता है एकाधिकविशेषता समीकरण की जड़.इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(कहाँ s (\डिस्प्लेस्टाइल s)- जड़ की बहुलता) और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न, साथ ही फ़ंक्शन के अन्य सदस्य एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न।
   • चलो इसे लिख लें y p (\displaystyle y_(p))ऊपर सूचीबद्ध शब्दों के एक रैखिक संयोजन के रूप में। इन गुणांकों के रैखिक संयोजन के कारण इस विधि को "अनिश्चित गुणांकों की विधि" कहा जाता है। जब इसमें समाहित हो y c (\displaystyle y_(c))मनमाने स्थिरांक की उपस्थिति के कारण सदस्यों को खारिज किया जा सकता है वाई सी . (\displaystyle y_(c).)इसके बाद हम स्थानापन्न करते हैं y p (\displaystyle y_(p))समीकरण में और समान पदों को बराबर करें।
   • हम गुणांक निर्धारित करते हैं। इस स्तर पर, बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है, जिसे आमतौर पर बिना किसी समस्या के हल किया जा सकता है। इस प्रणाली का समाधान हमें प्राप्त करने की अनुमति देता है y p (\displaystyle y_(p))और इस प्रकार समीकरण को हल करें।
   • उदाहरण 2.3.आइए हम एक अमानवीय अवकल समीकरण पर विचार करें जिसके मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्नों की एक सीमित संख्या होती है। ऐसे समीकरण का एक विशेष समाधान अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाया जा सकता है।
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t - cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 syn ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C syn ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 ए ई 3 टी - 25 बी कॉस ⁡ 5 टी - 25 सी साइन ⁡ 5 टी + 6 ए ई 3 टी + 6 बी कॉस ⁡ 5 टी + 6 सी साइन ⁡ 5 टी = 2 ई 3 टी - कॉस ⁡ 5 टी ( \displaystyle (\begin(allined)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ क्योंकि 5t\end(संरेखित)))
     • (9 ए + 6 ए = 2, ए = 2 15 - 25 बी + 6 बी = - 1, बी = 1 19 - 25 सी + 6 सी = 0, सी = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9ए+ 6ए) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ अंत(मामले)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 syn ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   लैग्रेंज विधि.लैग्रेंज विधि, या मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि, अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि है, खासकर उन मामलों में जहां अवरोधन शब्द में रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न की सीमित संख्या नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मुफ़्त सदस्यों के साथ tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)या x − n (\displaystyle x^(-n))किसी विशेष समाधान को खोजने के लिए लैग्रेंज विधि का उपयोग करना आवश्यक है। लैग्रेंज विधि का उपयोग चर गुणांक वाले अंतर समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि इस मामले में, कॉची-यूलर समीकरण के अपवाद के साथ, इसका उपयोग कम बार किया जाता है, क्योंकि अतिरिक्त समाधान आमतौर पर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है।

   • आइए मान लें कि समाधान का रूप निम्नलिखित है। इसका व्युत्पत्ति दूसरी पंक्ति में दिया गया है।
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • चूँकि प्रस्तावित समाधान में शामिल है दोअज्ञात मात्राएँ लगाना आवश्यक है अतिरिक्तस्थिति। आइए इस अतिरिक्त शर्त को निम्नलिखित रूप में चुनें:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)"+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • अब हम दूसरा समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। सदस्यों के प्रतिस्थापन और पुनर्वितरण के बाद, आप सदस्यों को एक साथ समूहित कर सकते हैं v 1 (\displaystyle v_(1))और सदस्यों के साथ v 2 (\displaystyle v_(2)). ये शर्तें इसलिए कम की गई हैं y 1 (\displaystyle y_(1))और y 2 (\displaystyle y_(2))संगत सजातीय समीकरण के समाधान हैं। परिणामस्वरूप, हमें समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(alline)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(allined)))
   • इस प्रणाली को फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण में बदला जा सकता है A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ,)जिसका समाधान है एक्स = ए - 1 बी। (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)मैट्रिक्स के लिए 2 × 2 (\प्रदर्शन शैली 2\गुना 2)व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निर्धारक द्वारा विभाजित करके, विकर्ण तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करके और गैर-विकर्ण तत्वों के चिह्न को बदलकर पाया जाता है। वास्तव में, इस मैट्रिक्स का निर्धारक एक व्रोनस्कियन है।
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ अंत(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • के लिए अभिव्यक्तियाँ v 1 (\displaystyle v_(1))और v 2 (\displaystyle v_(2))नीचे दिए गए हैं. जैसा कि क्रम में कमी विधि में होता है, इस मामले में, एकीकरण के दौरान, एक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है, जिसमें अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में एक अतिरिक्त समाधान शामिल होता है।
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   राष्ट्रीय मुक्त विश्वविद्यालय इंटुइट से व्याख्यान जिसका शीर्षक है "निरंतर गुणांक के साथ nवें क्रम के रैखिक अंतर समीकरण।"

प्रायोगिक उपयोग

विभेदक समीकरण किसी फ़ंक्शन और उसके एक या अधिक डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करते हैं। क्योंकि ऐसे रिश्ते बेहद आम हैं, अंतर समीकरणों को विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और चूंकि हम चार आयामों में रहते हैं, इसलिए ये समीकरण अक्सर अंतर समीकरण होते हैं निजीव्युत्पन्न। यह अनुभाग इस प्रकार के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों को शामिल करता है।

• घातीय वृद्धि और क्षय.रेडियोधर्मी क्षय। चक्रवृद्धि ब्याज। रासायनिक प्रतिक्रियाओं की दर. रक्त में दवाओं की सांद्रता. असीमित जनसंख्या वृद्धि. न्यूटन-रिचमैन नियम. वास्तविक दुनिया में कई प्रणालियाँ हैं जिनमें किसी भी समय वृद्धि या क्षय की दर किसी निश्चित समय की मात्रा के समानुपाती होती है या एक मॉडल द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित की जा सकती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी दिए गए अंतर समीकरण का समाधान, घातांकीय फलन, गणित और अन्य विज्ञानों में सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है। अधिक सामान्यतः, नियंत्रित जनसंख्या वृद्धि के साथ, सिस्टम में अतिरिक्त शर्तें शामिल हो सकती हैं जो वृद्धि को सीमित करती हैं। नीचे दिए गए समीकरण में, स्थिरांक के (\डिस्प्लेस्टाइल के)शून्य से अधिक या कम भी हो सकता है।
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• हार्मोनिक कंपन.शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में, हार्मोनिक ऑसिलेटर अपनी सादगी और सरल पेंडुलम जैसी अधिक जटिल प्रणालियों का अनुमान लगाने में व्यापक अनुप्रयोग के कारण सबसे महत्वपूर्ण भौतिक प्रणालियों में से एक है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, हार्मोनिक कंपन को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जो हुक के नियम के माध्यम से किसी सामग्री बिंदु की स्थिति को उसके त्वरण से जोड़ता है। इस मामले में, अवमंदन और ड्राइविंग बलों को भी ध्यान में रखा जा सकता है। नीचे दिए गए अभिव्यक्ति में x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- समय का व्युत्पन्न एक्स , (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स,) β (\डिस्प्लेस्टाइल \बीटा )- पैरामीटर जो भिगोना बल का वर्णन करता है, ω 0 (\displaystyle \ओमेगा _(0))- प्रणाली की कोणीय आवृत्ति, एफ (टी) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(टी))- समय पर निर्भर प्रेरक शक्ति। हार्मोनिक ऑसिलेटर इलेक्ट्रोमैग्नेटिक ऑसिलेटरी सर्किट में भी मौजूद होता है, जहां इसे मैकेनिकल सिस्टम की तुलना में अधिक सटीकता के साथ लागू किया जा सकता है।
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =एफ(टी))
• बेसेल का समीकरण.बेसेल अंतर समीकरण का उपयोग भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें तरंग समीकरण, लाप्लास के समीकरण और श्रोडिंगर के समीकरण को हल करना शामिल है, विशेष रूप से बेलनाकार या गोलाकार समरूपता की उपस्थिति में। चर गुणांकों वाला यह दूसरे क्रम का अंतर समीकरण कॉची-यूलर समीकरण नहीं है, इसलिए इसके समाधानों को प्राथमिक कार्यों के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। बेसेल समीकरण के समाधान बेसेल फ़ंक्शन हैं, जिनका कई क्षेत्रों में उपयोग के कारण अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है। नीचे दिए गए अभिव्यक्ति में α (\displaystyle \alpha )- एक स्थिरांक जो संगत है क्रम मेंबेसेल कार्य करता है.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• मैक्सवेल के समीकरण.लोरेंत्ज़ बल के साथ, मैक्सवेल के समीकरण शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स का आधार बनते हैं। ये विद्युत के लिए चार आंशिक अंतर समीकरण हैं E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))और चुंबकीय B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))खेत। नीचे दिए गए भावों में ρ = ρ (आर , टी) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- चार्ज का घनत्व, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- वर्तमान घनत्व, और ϵ 0 (\displaystyle \एप्सिलॉन _(0))और μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- क्रमशः विद्युत और चुंबकीय स्थिरांक।
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = - ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(align)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ Mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\आंशिक (\mathbf (E) ))(\आंशिक t))\end(संरेखित)))
• श्रोडिंगर समीकरण.क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण गति का मौलिक समीकरण है, जो तरंग फ़ंक्शन में परिवर्तन के अनुसार कणों की गति का वर्णन करता है Ψ = Ψ (आर , टी) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))समय के साथ। गति का समीकरण व्यवहार द्वारा वर्णित है हैमिल्टनियन एच^(\प्रदर्शन शैली (\टोपी (एच))) - ऑपरेटर, जो सिस्टम की ऊर्जा का वर्णन करता है। भौतिकी में श्रोडिंगर समीकरण के प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक क्षमता के अधीन एकल गैर-सापेक्षवादी कण के लिए समीकरण है V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). कई प्रणालियों का वर्णन समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण द्वारा किया गया है, और समीकरण के बाईं ओर है ई Ψ , (\displaystyle ई\Psi ,)कहाँ ई (\डिस्प्लेस्टाइल ई)- कण ऊर्जा. नीचे दिए गए भावों में ℏ (\displaystyle \hbar )- प्लैंक स्थिरांक कम हो गया।
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• तरंग समीकरण.तरंगों के बिना भौतिकी और प्रौद्योगिकी की कल्पना नहीं की जा सकती, ये सभी प्रकार की प्रणालियों में मौजूद हैं। सामान्य तौर पर, तरंगों का वर्णन नीचे दिए गए समीकरण द्वारा किया जाता है यू = यू (आर , टी) (\displaystyle यू=यू((\मैथबीएफ (आर) ),टी))वांछित कार्य है, और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)- प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित स्थिरांक। डी'अलेम्बर्ट ने सबसे पहले यह पता लगाया था कि एक-आयामी मामले के लिए तरंग समीकरण का समाधान क्या है कोईतर्क के साथ कार्य करें x − c t (\displaystyle x-ct), जो दाईं ओर फैलने वाली मनमाने आकार की एक लहर का वर्णन करता है। एक-आयामी मामले का सामान्य समाधान तर्क के साथ दूसरे फ़ंक्शन के साथ इस फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है x + c t (\displaystyle x+ct), जो बाईं ओर फैलने वाली एक लहर का वर्णन करता है। यह समाधान दूसरी पंक्ति में प्रस्तुत किया गया है.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\आंशिक ^(2)u)(\आंशिक t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• नेवियर-स्टोक्स समीकरण.नेवियर-स्टोक्स समीकरण तरल पदार्थों की गति का वर्णन करते हैं। क्योंकि तरल पदार्थ विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग हर क्षेत्र में मौजूद हैं, ये समीकरण मौसम की भविष्यवाणी करने, विमान डिजाइन करने, समुद्री धाराओं का अध्ययन करने और कई अन्य लागू समस्याओं को हल करने के लिए बेहद महत्वपूर्ण हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरण गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण हैं, और ज्यादातर मामलों में उन्हें हल करना बहुत मुश्किल होता है क्योंकि गैर-रैखिकता अशांति की ओर ले जाती है, और संख्यात्मक तरीकों से एक स्थिर समाधान प्राप्त करने के लिए बहुत छोटी कोशिकाओं में विभाजन की आवश्यकता होती है, जिसके लिए महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है। हाइड्रोडायनामिक्स में व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अशांत प्रवाह का अनुकरण करने के लिए समय औसत जैसी विधियों का उपयोग किया जाता है। गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता जैसे और भी बुनियादी प्रश्न चुनौतीपूर्ण हैं, और तीन आयामों में नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करना सहस्राब्दी की गणितीय समस्याओं में से एक है। नीचे असम्पीडित द्रव प्रवाह समीकरण और निरंतरता समीकरण हैं।
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u - ν ∇ 2 u = - ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\आंशिक (\mathbf (u) ) )(\आंशिक t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\आंशिक \rho )(\आंशिक t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• कई विभेदक समीकरणों को उपरोक्त विधियों का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है, विशेष रूप से पिछले अनुभाग में उल्लिखित विधियों का उपयोग करके। यह तब लागू होता है जब समीकरण में परिवर्तनीय गुणांक होते हैं और यह कॉची-यूलर समीकरण नहीं होता है, या जब समीकरण अरेखीय होता है, कुछ बहुत ही दुर्लभ मामलों को छोड़कर। हालाँकि, उपरोक्त विधियाँ कई महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों को हल कर सकती हैं जो अक्सर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सामने आते हैं।
• विभेदन के विपरीत, जो आपको किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की अनुमति देता है, कई अभिव्यक्तियों का अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए जहां यह असंभव है वहां अभिन्न की गणना करने में समय बर्बाद न करें। अभिन्नों की तालिका देखें. यदि किसी विभेदक समीकरण का समाधान प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो कभी-कभी इसे अभिन्न रूप में दर्शाया जा सकता है, और इस मामले में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस अभिन्न की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है या नहीं।

चेतावनियाँ

• उपस्थितिअंतर समीकरण भ्रामक हो सकता है. उदाहरण के लिए, नीचे दो प्रथम कोटि अवकल समीकरण हैं। इस आलेख में वर्णित विधियों का उपयोग करके पहला समीकरण आसानी से हल किया जा सकता है। पहली नज़र में, मामूली बदलाव वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)पर y 2 (\displaystyle y^(2))दूसरे समीकरण में यह गैर-रैखिक हो जाता है और इसे हल करना बहुत कठिन हो जाता है।
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) ) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

पहला क्रम, जिसका मानक रूप $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ है, जहां $P\left(x\right)$ एक सतत फलन है, रैखिक सजातीय कहलाता है। नाम "रैखिक" को इस तथ्य से समझाया गया है कि अज्ञात फ़ंक्शन $y$ और इसका पहला व्युत्पन्न $y"$ समीकरण में रैखिक रूप से, यानी पहली डिग्री तक शामिल हैं। "सजातीय" नाम इस तथ्य से आया है कि समीकरण के दाईं ओर एक शून्य है।

ऐसे विभेदक समीकरण को चर पृथक्करण विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। आइए इसे विधि के मानक रूप में प्रस्तुत करें: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, जहां $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\ दाएँ)$ और $f_(2)\left(y\right)=y$.

आइए अभिन्न $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $ की गणना करें।

आइए अभिन्न $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right की गणना करें |$ .

आइए सामान्य समाधान को $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$ के रूप में लिखें, जहां $ \ln \left |C_(1) \right|$ एक मनमाना स्थिरांक है, जिसे आगे के परिवर्तनों के लिए सुविधाजनक रूप में लिया जाता है।

आइए परिवर्तन करें:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . यह समानता, बदले में, समानता $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ के बराबर है।

मनमाना स्थिरांक $C=\pm C_(1) $ को प्रतिस्थापित करने पर, हम रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx )$.

समीकरण $f_(2) \left(y\right)=y=0$ को हल करने के बाद, हम विशेष समाधान ढूंढते हैं। सामान्य जांच से हम आश्वस्त हैं कि फ़ंक्शन $y=0$ इस अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान है।

हालाँकि, वही समाधान सामान्य समाधान $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ से प्राप्त किया जा सकता है, इसमें $C=0$ डालकर।

तो अंतिम परिणाम है: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

प्रथम-क्रम रैखिक सजातीय अंतर समीकरण को हल करने की सामान्य विधि को निम्नलिखित एल्गोरिदम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

1. इस समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ विधि के मानक रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यदि यह हासिल नहीं हुआ, तो इस अंतर समीकरण को हल किया जाना चाहिए एक अलग तरीका.
2. हम अभिन्न $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $ की गणना करते हैं।
3. हम सामान्य समाधान को $y=C\cdot e^(-I) $ के रूप में लिखते हैं और, यदि आवश्यक हो, तो सरलीकृत परिवर्तन करते हैं।

समस्या 1

अवकल समीकरण $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$ का सामान्य समाधान खोजें।

हमारे पास मानक रूप में पहले क्रम का एक रैखिक सजातीय समीकरण है, जिसके लिए $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

हम अभिन्न $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ की गणना करते हैं।

सामान्य समाधान का रूप है: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

प्रथम कोटि के रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण

परिभाषा

एक प्रथम क्रम अंतर समीकरण जिसे मानक रूप $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ में दर्शाया जा सकता है, जहां $P\left(x\right)$ और $ Q\left(x\right)$ - ज्ञात निरंतर फलन को एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण कहा जाता है। "अमानवीय" नाम को इस तथ्य से समझाया गया है कि अंतर समीकरण का दायां पक्ष गैर-शून्य है।

एक जटिल रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के समाधान को दो सरल अंतर समीकरणों के समाधान में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आवश्यक फ़ंक्शन $y$ को दो सहायक फ़ंक्शन $u$ और $v$ के उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, अर्थात, $y=u\cdot v$ डालें।

हम स्वीकृत प्रतिस्थापन को अलग करते हैं: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. हम परिणामी अभिव्यक्ति को इस अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ बाएँ(x\दाएँ)$ या $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ दाएं] =Q\बाएं(x\दाएं)$.

ध्यान दें कि यदि $y=u\cdot v$ स्वीकार किया जाता है, तो उत्पाद $u\cdot v$ के हिस्से के रूप में सहायक कार्यों में से एक को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। आइए सहायक फ़ंक्शन $v$ चुनें ताकि वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति शून्य हो जाए। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन $v$ के लिए अंतर समीकरण $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ को हल करना और इसके लिए सबसे सरल विशेष समाधान चुनना पर्याप्त है। $v=v\left(x \right)$, अशून्य। यह अंतर समीकरण रैखिक सजातीय है और ऊपर चर्चा की गई विधि द्वारा हल किया गया है।

हम परिणामी समाधान $v=v\left(x\right)$ को इस अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि अब वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है, और हमें एक और अंतर समीकरण प्राप्त होता है, लेकिन अब सम्मान के साथ सहायक फ़ंक्शन के लिए $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. इस अंतर समीकरण को $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके बाद यह स्पष्ट हो जाता है कि यह तत्काल अनुमति देता है एकीकरण। इस अंतर समीकरण के लिए $u=u\left(x,\; C\right)$ के रूप में एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है।

अब हम इस प्रथम-क्रम रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ के रूप में पा सकते हैं।

प्रथम-क्रम रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण को हल करने की सामान्य विधि को निम्नलिखित एल्गोरिदम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

1. इस समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ विधि के मानक रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यदि यह हासिल नहीं किया गया, तो इस अंतर समीकरण को किसी अन्य विधि से हल किया जाना चाहिए।
2. हम अभिन्न $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $ की गणना करते हैं, $v\left(x\right)=e^(-I_(1) के रूप में एक विशेष समाधान लिखते हैं ) $, सरलीकरण परिवर्तनों को निष्पादित करें और $v\left(x\right)$ के लिए सबसे सरल गैर-शून्य विकल्प चुनें।
3. हम अभिन्न $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ की गणना करते हैं, जिसके बाद हम अभिव्यक्ति को $u के रूप में लिखते हैं \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
4. हम इस रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ के रूप में लिखते हैं और, यदि आवश्यक हो, तो सरलीकृत परिवर्तन करते हैं।

समस्या 2

अवकल समीकरण $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$ का सामान्य समाधान खोजें।

हमारे पास मानक रूप में एक प्रथम-क्रम रैखिक अमानवीय समीकरण है, जिसके लिए $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ और $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

हम अभिन्न $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

हम $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ के रूप में एक विशेष समाधान लिखते हैं और सरलीकृत परिवर्तन करते हैं: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ दाएं|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. $v\left(x\right)$ के लिए हम सबसे सरल गैर-शून्य विकल्प चुनते हैं: $v\left(x\right)=x$.

हम अभिन्न $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) की गणना करते हैं ) \ cdot dx=3\cdot x $.

हम व्यंजक $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ लिखते हैं।

हम अंततः इस रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान को $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ के रूप में लिखते हैं, अर्थात, $y=\left( 3\cdot x+C \दाएं)\cdot x$.

मेरा मानना ​​है कि हमें अवकल समीकरण जैसे गौरवशाली गणितीय उपकरण के इतिहास से शुरुआत करनी चाहिए। सभी विभेदक और अभिन्न कलन की तरह, इन समीकरणों का आविष्कार 17वीं शताब्दी के अंत में न्यूटन द्वारा किया गया था। उन्होंने अपनी इस विशेष खोज को इतना महत्वपूर्ण माना कि उन्होंने एक संदेश को एन्क्रिप्ट भी किया, जिसका आज अनुवाद कुछ इस तरह किया जा सकता है: "प्रकृति के सभी नियम विभेदक समीकरणों द्वारा वर्णित हैं।" यह अतिशयोक्ति लग सकती है, लेकिन यह सच है। इन समीकरणों द्वारा भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान के किसी भी नियम का वर्णन किया जा सकता है।

गणितज्ञ यूलर और लैग्रेंज ने विभेदक समीकरणों के सिद्धांत के विकास और निर्माण में बहुत बड़ा योगदान दिया। पहले से ही 18वीं सदी में उन्होंने वह सब खोज लिया और विकसित किया जो वे अब वरिष्ठ विश्वविद्यालय पाठ्यक्रमों में पढ़ते हैं।

हेनरी पोंकारे की बदौलत अंतर समीकरणों के अध्ययन में एक नया मील का पत्थर शुरू हुआ। उन्होंने "विभेदक समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत" बनाया, जिसने एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के साथ मिलकर टोपोलॉजी की नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया - अंतरिक्ष और उसके गुणों का विज्ञान।

विभेदक समीकरण क्या हैं?

बहुत से लोग एक वाक्यांश से डरते हैं। हालाँकि, इस लेख में हम इस अत्यंत उपयोगी गणितीय उपकरण के संपूर्ण सार को विस्तार से रेखांकित करेंगे, जो वास्तव में उतना जटिल नहीं है जितना नाम से लगता है। प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करने के लिए, आपको पहले उन बुनियादी अवधारणाओं से परिचित होना चाहिए जो स्वाभाविक रूप से इस परिभाषा से जुड़ी हैं। और हम अंतर से शुरुआत करेंगे।

अंतर

बहुत से लोग इस अवधारणा को स्कूल के समय से जानते हैं। हालाँकि, आइए इस पर करीब से नज़र डालें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें. हम इसे इस सीमा तक बढ़ा सकते हैं कि इसका कोई भी खंड एक सीधी रेखा का रूप ले लेगा। आइए इस पर दो बिंदु लें जो एक दूसरे के असीम रूप से करीब हैं। उनके निर्देशांक (x या y) के बीच का अंतर बहुत छोटा होगा। इसे अंतर कहा जाता है और इसे dy (y का अंतर) और dx (x का अंतर) चिह्नों द्वारा दर्शाया जाता है। यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि अंतर एक सीमित मात्रा नहीं है, और यही इसका अर्थ और मुख्य कार्य है।

अब हमें अगले तत्व पर विचार करने की आवश्यकता है, जो विभेदक समीकरण की अवधारणा को समझाने में हमारे लिए उपयोगी होगा। यह एक व्युत्पन्न है.

यौगिक

हम सभी ने शायद यह अवधारणा स्कूल में सुनी होगी। व्युत्पन्न उस दर को कहा जाता है जिस पर कोई फ़ंक्शन बढ़ता या घटता है। हालाँकि, इस परिभाषा से बहुत कुछ अस्पष्ट हो जाता है। आइए अवकलज को अवकलन के माध्यम से समझाने का प्रयास करें। आइए एक फ़ंक्शन के एक अतिसूक्ष्म खंड पर वापस लौटें जिसमें दो बिंदु हैं जो एक दूसरे से न्यूनतम दूरी पर हैं। लेकिन इस दूरी पर भी फ़ंक्शन कुछ हद तक बदल जाता है। और इस परिवर्तन का वर्णन करने के लिए वे एक व्युत्पन्न लेकर आए, जिसे अन्यथा अंतर के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: f(x)"=df/dx।

अब यह व्युत्पन्न के मूल गुणों पर विचार करने लायक है। उनमें से केवल तीन हैं:

1. किसी योग या अंतर के व्युत्पन्न को व्युत्पन्नों के योग या अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है: (a+b)"=a"+b" और (a-b)"=a"-b"।
2. दूसरा गुण गुणन से संबंधित है। किसी उत्पाद का व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन के उत्पादों और दूसरे के व्युत्पन्न का योग है: (a*b)"=a"*b+a*b"।
3. अंतर के व्युत्पन्न को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2।

ये सभी गुण प्रथम-क्रम अवकल समीकरणों का समाधान खोजने में हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आंशिक व्युत्पन्न भी हैं। मान लीजिए कि हमारे पास एक फ़ंक्शन z है जो वेरिएबल x और y पर निर्भर करता है। इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, मान लीजिए, x के संबंध में, हमें चर y को एक स्थिरांक के रूप में लेना होगा और बस अंतर करना होगा।

अभिन्न

एक अन्य महत्वपूर्ण अवधारणा अभिन्न है। वास्तव में, यह व्युत्पन्न के बिल्कुल विपरीत है। अभिन्न कई प्रकार के होते हैं, लेकिन सबसे सरल अंतर समीकरणों को हल करने के लिए हमें सबसे तुच्छ समीकरणों की आवश्यकता होती है

तो, मान लीजिए कि हमें x पर f की कुछ निर्भरता है। हम इससे इंटीग्रल लेते हैं और फ़ंक्शन F(x) (जिसे अक्सर एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है) प्राप्त करते हैं, जिसका व्युत्पन्न मूल फ़ंक्शन के बराबर होता है। इस प्रकार F(x)"=f(x)। इससे यह भी पता चलता है कि व्युत्पन्न का अभिन्न अंग मूल फ़ंक्शन के बराबर है।

विभेदक समीकरणों को हल करते समय, अभिन्न के अर्थ और कार्य को समझना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि समाधान खोजने के लिए आपको उन्हें अक्सर लेना होगा।

समीकरण उनकी प्रकृति के आधार पर भिन्न-भिन्न होते हैं। अगले भाग में, हम प्रथम-क्रम अवकल समीकरणों के प्रकारों को देखेंगे, और फिर सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल करें।

विभेदक समीकरणों के वर्ग

"डिफ़र्स" को उनमें शामिल डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार विभाजित किया गया है। इस प्रकार प्रथम, द्वितीय, तृतीय तथा अधिक क्रम होता है। उन्हें कई वर्गों में भी विभाजित किया जा सकता है: साधारण और आंशिक व्युत्पन्न।

इस लेख में हम प्रथम कोटि के साधारण अवकल समीकरणों को देखेंगे। हम निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरणों और उन्हें हल करने के तरीकों पर भी चर्चा करेंगे। हम केवल ODE पर विचार करेंगे, क्योंकि ये सबसे सामान्य प्रकार के समीकरण हैं। साधारण लोगों को उप-प्रजातियों में विभाजित किया गया है: अलग-अलग चर के साथ, सजातीय और विषम। इसके बाद, आप सीखेंगे कि वे एक-दूसरे से कैसे भिन्न हैं और सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए।

इसके अलावा, इन समीकरणों को जोड़ा जा सकता है ताकि हम प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के साथ समाप्त हो जाएं। हम ऐसी प्रणालियों पर भी विचार करेंगे और सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए।

हम केवल पहले ऑर्डर पर ही विचार क्यों कर रहे हैं? क्योंकि आपको कुछ सरल से शुरुआत करने की आवश्यकता है, और एक लेख में अंतर समीकरणों से संबंधित हर चीज का वर्णन करना असंभव है।

वियोज्य समीकरण

ये संभवतः सबसे सरल प्रथम कोटि अवकल समीकरण हैं। इनमें ऐसे उदाहरण शामिल हैं जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है: y"=f(x)*f(y)। इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें अंतर के अनुपात के रूप में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता है: y"=dy/dx। इसके प्रयोग से हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: dy/dx=f(x)*f(y). अब हम मानक उदाहरणों को हल करने की विधि की ओर मुड़ सकते हैं: हम चर को भागों में विभाजित करेंगे, अर्थात, हम चर y के साथ सब कुछ उस हिस्से में ले जाएंगे जहां dy स्थित है, और चर x के साथ भी ऐसा ही करेंगे। हमें फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त होता है: dy/f(y)=f(x)dx, जिसे दोनों पक्षों के अभिन्न अंग लेकर हल किया जाता है। उस स्थिरांक के बारे में मत भूलिए जिसे इंटीग्रल लेने के बाद सेट करने की आवश्यकता है।

किसी भी "अंतर" का समाधान y पर x की निर्भरता का एक फलन है (हमारे मामले में) या, यदि कोई संख्यात्मक स्थिति मौजूद है, तो एक संख्या के रूप में उत्तर दिया जाता है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके संपूर्ण समाधान प्रक्रिया को देखें:

आइए वेरिएबल्स को अलग-अलग दिशाओं में ले जाएँ:

अब आइए अभिन्नों को लें। उन सभी को अभिन्नों की एक विशेष तालिका में पाया जा सकता है। और हमें मिलता है:

ln(y) = -2*cos(x) + C

यदि आवश्यक हो, तो हम "y" को "x" के फलन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अब हम कह सकते हैं कि यदि शर्त निर्दिष्ट नहीं है तो हमारा अंतर समीकरण हल हो गया है। एक शर्त निर्दिष्ट की जा सकती है, उदाहरण के लिए, y(n/2)=e. फिर हम बस इन चरों के मानों को समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं और स्थिरांक का मान ज्ञात करते हैं। हमारे उदाहरण में यह 1 है।

प्रथम कोटि के सजातीय अवकल समीकरण

अब आइए अधिक कठिन भाग पर आगे बढ़ें। पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरणों को सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: y"=z(x,y)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दो चर का दाहिना हाथ का कार्य सजातीय है, और इसे दो निर्भरताओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है : x पर z और y पर z। जांचें कि समीकरण सजातीय है या नहीं, यह काफी सरल है: हम प्रतिस्थापन x=k*x और y=k*y करते हैं। अब हम सभी k को रद्द करते हैं। यदि ये सभी अक्षर रद्द कर दिए जाते हैं , तो समीकरण सजातीय है और आप सुरक्षित रूप से इसे हल करना शुरू कर सकते हैं। आगे देखते हुए, मान लीजिए: इन उदाहरणों को हल करने का सिद्धांत भी बहुत सरल है।

हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=t(x)*x, जहां t एक निश्चित फ़ंक्शन है जो x पर भी निर्भर करता है। तब हम व्युत्पन्न व्यक्त कर सकते हैं: y"=t"(x)*x+t. इन सभी को हमारे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने और इसे सरल बनाने पर, हमें अलग-अलग चर t और x के साथ एक उदाहरण मिलता है। हम इसे हल करते हैं और निर्भरता t(x) प्राप्त करते हैं। जब हमें यह प्राप्त होता है, तो हम बस अपने पिछले प्रतिस्थापन में y=t(x)*x प्रतिस्थापित कर देते हैं। तब हमें x पर y की निर्भरता प्राप्त होती है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें: x*y"=y-x*e y/x ।

प्रतिस्थापन के साथ जाँच करते समय, सब कुछ कम हो जाता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण वास्तव में सजातीय है। अब हम एक और प्रतिस्थापन करते हैं जिसके बारे में हमने बात की: y=t(x)*x और y"=t"(x)*x+t(x)। सरलीकरण के बाद, हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: t"(x)*x=-e t। हम परिणामी उदाहरण को अलग-अलग चर के साथ हल करते हैं और प्राप्त करते हैं: e -t =ln(C*x)। हमें बस प्रतिस्थापित करना है t के साथ y/x (आखिरकार, यदि y =t*x, तो t=y/x), और हमें उत्तर मिलता है: e -y/x =ln(x*C)।

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण

अब एक और व्यापक विषय पर गौर करने का समय आ गया है। हम प्रथम-क्रम अमानवीय अंतर समीकरणों का विश्लेषण करेंगे। वे पिछले दो से किस प्रकार भिन्न हैं? आइए इसका पता लगाएं। सामान्य रूप में पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: y" + g(x)*y=z(x)। यह स्पष्ट करने योग्य है कि z(x) और g(x) स्थिर मात्रा हो सकते हैं।

और अब एक उदाहरण: y" - y*x=x 2।

दो समाधान हैं, और हम दोनों को क्रम से देखेंगे। पहली मनमाना स्थिरांकों को अलग-अलग करने की विधि है।

इस तरह से समीकरण को हल करने के लिए, आपको पहले दाएं पक्ष को शून्य के बराबर करना होगा और परिणामी समीकरण को हल करना होगा, जो भागों को स्थानांतरित करने के बाद, रूप लेगा:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2।

अब हमें स्थिरांक C 1 को फ़ंक्शन v(x) से बदलने की आवश्यकता है, जिसे हमें खोजना है।

आइए व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करें:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

और इन भावों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2।

आप देख सकते हैं कि बायीं ओर दो पद रद्द हैं। यदि किसी उदाहरण में ऐसा नहीं हुआ, तो आपने कुछ गलत किया है। आगे है:

v"*e x2/2 = x 2।

अब हम सामान्य समीकरण को हल करते हैं जिसमें हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता होती है:

डीवी/डीएक्स=एक्स 2 /ई एक्स2/2 ;

डीवी = एक्स 2 *ई - एक्स2/2 डीएक्स।

अभिन्न को निकालने के लिए हमें यहां भागों द्वारा एकीकरण लागू करना होगा। हालाँकि, यह हमारे लेख का विषय नहीं है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो आप सीख सकते हैं कि ऐसे कार्य स्वयं कैसे करें। यह कठिन नहीं है, और पर्याप्त कौशल और देखभाल के साथ इसमें अधिक समय भी नहीं लगता है।

आइए अमानवीय समीकरणों को हल करने की दूसरी विधि की ओर मुड़ें: बर्नौली की विधि। कौन सा तरीका तेज़ और आसान है, यह आपको तय करना है।

इसलिए, इस पद्धति का उपयोग करके समीकरण को हल करते समय, हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=k*n। यहाँ k और n कुछ x-निर्भर फलन हैं। तब व्युत्पन्न इस तरह दिखेगा: y"=k"*n+k*n"। हम दोनों प्रतिस्थापनों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

समूहन:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

अब हमें कोष्ठक में जो है उसे शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। अब, यदि हम दो परिणामी समीकरणों को जोड़ते हैं, तो हमें प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिसे हल करने की आवश्यकता होती है:

हम पहली समानता को एक साधारण समीकरण के रूप में हल करते हैं। ऐसा करने के लिए आपको वेरिएबल्स को अलग करना होगा:

हम अभिन्न लेते हैं और प्राप्त करते हैं: ln(n)=x 2 /2। फिर, यदि हम n व्यक्त करते हैं:

अब हम परिणामी समानता को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

k"*e x2/2 =x 2 .

और रूपांतरित करने पर, हमें पहली विधि जैसी ही समानता प्राप्त होती है:

dk=x 2 /e x2/2 .

हम आगे की कार्रवाई पर भी चर्चा नहीं करेंगे. यह कहने योग्य है कि प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों को हल करने से पहले महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ आती हैं। हालाँकि, जैसे-जैसे आप विषय की गहराई में उतरते हैं, यह बेहतर और बेहतर तरीके से काम करने लगता है।

विभेदक समीकरणों का उपयोग कहाँ किया जाता है?

भौतिकी में विभेदक समीकरणों का बहुत सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि लगभग सभी बुनियादी नियम विभेदक रूप में लिखे गए हैं, और जो सूत्र हम देखते हैं वे इन समीकरणों के समाधान हैं। रसायन विज्ञान में उनका उपयोग इसी कारण से किया जाता है: मौलिक कानून उनकी मदद से प्राप्त होते हैं। जीव विज्ञान में, शिकारी और शिकार जैसी प्रणालियों के व्यवहार को मॉडल करने के लिए विभेदक समीकरणों का उपयोग किया जाता है। उनका उपयोग सूक्ष्मजीवों की कॉलोनी के प्रजनन मॉडल बनाने के लिए भी किया जा सकता है।

जीवन में विभेदक समीकरण किस प्रकार आपकी सहायता कर सकते हैं?

इस प्रश्न का उत्तर सरल है: बिल्कुल नहीं। यदि आप वैज्ञानिक या इंजीनियर नहीं हैं, तो उनके आपके लिए उपयोगी होने की संभावना नहीं है। हालाँकि, सामान्य विकास के लिए यह जानना दुखदायी नहीं होगा कि विभेदक समीकरण क्या है और इसे कैसे हल किया जाता है। और फिर बेटे या बेटी का प्रश्न है "अंतर समीकरण क्या है?" आपको भ्रमित नहीं करेगा. वैसे अगर आप वैज्ञानिक या इंजीनियर हैं तो किसी भी विज्ञान में इस विषय का महत्व आप खुद ही समझते हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब सवाल यह है कि "प्रथम-क्रम अवकल समीकरण को कैसे हल करें?" आप हमेशा उत्तर दे सकते हैं. सहमत हूँ, यह हमेशा अच्छा होता है जब आप कोई ऐसी बात समझते हैं जिसे लोग समझने से डरते हैं।

पढ़ाई में मुख्य समस्याएँ

इस विषय को समझने में मुख्य समस्या कार्यों को एकीकृत करने और विभेदित करने में खराब कौशल है। यदि आप डेरिवेटिव और इंटीग्रल में अच्छे नहीं हैं, तो संभवतः अधिक अध्ययन करना, एकीकरण और विभेदीकरण के विभिन्न तरीकों में महारत हासिल करना और उसके बाद ही लेख में वर्णित सामग्री का अध्ययन शुरू करना उचित है।

कुछ लोग आश्चर्यचकित हो जाते हैं जब उन्हें पता चलता है कि dx को आगे बढ़ाया जा सकता है, क्योंकि पहले (स्कूल में) यह कहा गया था कि भिन्न dy/dx अविभाज्य है। यहां आपको व्युत्पन्न पर साहित्य पढ़ने और समझने की आवश्यकता है कि यह अनंत मात्राओं का अनुपात है जिसे समीकरणों को हल करते समय हेरफेर किया जा सकता है।

बहुत से लोगों को तुरंत यह एहसास नहीं होता है कि प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों को हल करना अक्सर एक फ़ंक्शन या अभिन्न अंग होता है जिसे नहीं लिया जा सकता है, और यह ग़लतफ़हमी उन्हें बहुत परेशानी देती है।

बेहतर समझ के लिए आप और क्या अध्ययन कर सकते हैं?

विशेष पाठ्यपुस्तकों के साथ अंतर कैलकुलस की दुनिया में आगे विसर्जन शुरू करना सबसे अच्छा है, उदाहरण के लिए, गैर-गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए गणितीय विश्लेषण पर। फिर आप अधिक विशिष्ट साहित्य की ओर आगे बढ़ सकते हैं।

यह कहने लायक है कि, अंतर समीकरणों के अलावा, अभिन्न समीकरण भी होते हैं, इसलिए आपके पास प्रयास करने के लिए और अध्ययन करने के लिए हमेशा कुछ न कुछ होगा।

निष्कर्ष

हमें उम्मीद है कि इस लेख को पढ़ने के बाद आपको यह पता चल गया होगा कि विभेदक समीकरण क्या हैं और उन्हें सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

वैसे भी जीवन में गणित किसी न किसी रूप में हमारे काम आएगा। यह तर्क और ध्यान विकसित करता है, जिसके बिना हर व्यक्ति बिना हाथ के है।

a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) रूप के प्रथम-क्रम समीकरण को रैखिक अंतर समीकरण कहा जाता है। यदि b(x) ≡ 0 है तो समीकरण सजातीय कहा जाता है, अन्यथा - विजातीय. एक रैखिक अंतर समीकरण के लिए, अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय का एक अधिक विशिष्ट रूप है।

सेवा का उद्देश्य. समाधान की जांच के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग किया जा सकता है सजातीय और अमानवीय रैखिक अंतर समीकरणफॉर्म का y"+y=b(x) .

=

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन y=u*v का प्रयोग करें
एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का प्रयोग करें
y( के लिए एक विशेष समाधान खोजें ) = .

समाधान प्राप्त करने के लिए, मूल अभिव्यक्ति को इस रूप में घटाया जाना चाहिए: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x)। उदाहरण के लिए, y"-exp(x)=2*y के लिए यह y"-2 *y=exp(x) होगा।

प्रमेय. मान लीजिए a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) अंतराल [α,β] पर निरंतर हैं, a 1 ≠0 ∀x∈[α,β] के लिए। फिर किसी भी बिंदु (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] के लिए, समीकरण का एक अनूठा समाधान है जो शर्त y(x 0) = y 0 को संतुष्ट करता है और पूरे अंतराल पर परिभाषित किया गया है [α ,β].
सजातीय रैखिक अवकल समीकरण a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 पर विचार करें।
चरों को अलग करने पर, हम पाते हैं, या, दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, अंतिम संबंध, अंकन exp(x) = e x को ध्यान में रखते हुए, फॉर्म में लिखा गया है

आइए अब हम संकेतित रूप में समीकरण का समाधान खोजने का प्रयास करें, जिसमें स्थिरांक C के स्थान पर फलन C(x) को प्रतिस्थापित किया गया है, अर्थात इस रूप में

आवश्यक परिवर्तन प्राप्त करने के बाद, इस समाधान को मूल समाधान में प्रतिस्थापित करना उत्तरार्द्ध को एकीकृत करते हुए, हमारे पास है

जहाँ C1 कुछ नया स्थिरांक है। परिणामी अभिव्यक्ति को C(x) के लिए प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंततः मूल रैखिक समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं
.

उदाहरण। समीकरण y" + 2y = 4x को हल करें। संगत सजातीय समीकरण y" + 2y = 0 पर विचार करें। इसे हल करने पर, हमें y = Ce -2 x प्राप्त होता है। अब हम y = C(x)e -2 x के रूप में मूल समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं। मूल समीकरण में y और y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें C"(x) = 4xe 2 x मिलता है, जहाँ से C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 और y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x मूल समीकरण का सामान्य समाधान है। यह समाधान y 1 ( x) = 2x-1 - बल के प्रभाव में वस्तु की गति b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - वस्तु की उचित गति।

उदाहरण क्रमांक 2. प्रथम कोटि अवकल समीकरण y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x का सामान्य हल खोजें।
यह एक सजातीय समीकरण नहीं है. आइए चरों में परिवर्तन करें: y=u v, y" = u"v + uv"।
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x या u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
समाधान में दो चरण होते हैं:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. u=0 की बराबरी करें, 3v tan(3x)+v" = 0 का हल खोजें
आइए इसे इस रूप में प्रस्तुत करें: v" = -3v tg(3x)

एकीकृत करने पर, हमें मिलता है:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. v को जानना, शर्त से u ज्ञात करें: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
यू" = 2/पाप 2 2एक्स
एकीकृत करने पर, हमें मिलता है:
शर्त y=u v से, हमें मिलता है:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) या y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

शैक्षणिक संस्थान "बेलारूसी राज्य

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

प्रथम क्रम के विभेदक समीकरण

लेखांकन छात्रों के लिए व्याख्यान नोट्स

शिक्षा का पत्राचार प्रपत्र (NISPO)

गोर्की, 2013

प्रथम कोटि अवकल समीकरण

विभेदक समीकरण की अवधारणा. सामान्य और विशेष समाधान

विभिन्न घटनाओं का अध्ययन करते समय, अक्सर ऐसा कानून ढूंढना संभव नहीं होता है जो स्वतंत्र चर और वांछित फ़ंक्शन को सीधे जोड़ता है, लेकिन वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करना संभव है।

स्वतंत्र चर, वांछित फलन तथा उसके व्युत्पन्नों को जोड़ने वाला संबंध कहलाता है अंतर समीकरण :

यहाँ एक्स- स्वतंत्र चर, य- आवश्यक कार्य,
- वांछित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। इस मामले में, संबंध (1) में कम से कम एक व्युत्पन्न होना चाहिए।

विभेदक समीकरण का क्रम समीकरण में शामिल उच्चतम अवकलज का क्रम कहा जाता है।

विभेदक समीकरण पर विचार करें

. (2)

चूँकि इस समीकरण में केवल प्रथम-क्रम व्युत्पन्न शामिल है, इसलिए इसे कहा जाता है प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है।

यदि समीकरण (2) को व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है और फॉर्म में लिखा जा सकता है

, (3)

तो ऐसे समीकरण को सामान्य रूप में प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है।

कई मामलों में फॉर्म के समीकरण पर विचार करने की सलाह दी जाती है

जिसे कहा जाता है अवकल रूप में लिखा गया प्रथम कोटि अवकल समीकरण।

क्योंकि
, तो समीकरण (3) को रूप में लिखा जा सकता है
या
, जहां हम गिन सकते हैं
और
. इसका मतलब है कि समीकरण (3) समीकरण (4) में बदल गया है।

आइए समीकरण (4) को फॉर्म में लिखें
. तब
,
,
, जहां हम गिन सकते हैं
, अर्थात। फॉर्म (3) का एक समीकरण प्राप्त होता है। इस प्रकार, समीकरण (3) और (4) समतुल्य हैं।

एक विभेदक समीकरण को हल करना (2) या (3) को कोई भी फलन कहा जाता है
, जो इसे समीकरण (2) या (3) में प्रतिस्थापित करने पर, इसे एक पहचान में बदल देता है:

या
.

किसी अवकल समीकरण के सभी समाधान खोजने की प्रक्रिया को उसका कहा जाता है एकीकरण , और समाधान ग्राफ़
अवकल समीकरण कहा जाता है अभिन्न वक्र यह समीकरण.

यदि अवकल समीकरण का हल अन्तर्निहित रूप में प्राप्त होता है
, तो इसे कहा जाता है अभिन्न इस विभेदक समीकरण का.

सामान्य समाधान प्रथम कोटि अवकल समीकरण के स्वरूप के कार्यों का एक परिवार है
, एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है साथ, जिनमें से प्रत्येक एक मनमाना स्थिरांक के किसी भी स्वीकार्य मूल्य के लिए दिए गए अंतर समीकरण का एक समाधान है साथ. इस प्रकार, अवकल समीकरण के अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

निजी निर्णय अवकल समीकरण एक मनमाना स्थिरांक के विशिष्ट मान के लिए सामान्य समाधान सूत्र से प्राप्त एक समाधान है साथ, शामिल
.

कॉची समस्या और इसकी ज्यामितीय व्याख्या

समीकरण (2) के अनंत संख्या में समाधान हैं। इस सेट से एक समाधान का चयन करने के लिए, जिसे निजी समाधान कहा जाता है, आपको कुछ अतिरिक्त शर्तें निर्धारित करने की आवश्यकता है।

दी गई शर्तों के तहत समीकरण (2) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या को कहा जाता है कॉची समस्या . यह समस्या विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण में से एक है।

कॉची समस्या इस प्रकार तैयार की गई है: समीकरण (2) के सभी समाधानों में से ऐसा समाधान खोजें
, जिसमें फ़ंक्शन
दिया गया संख्यात्मक मान लेता है , यदि स्वतंत्र चर एक्स दिया गया संख्यात्मक मान लेता है , अर्थात।

,
, (5)

कहाँ डी– फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन
.

अर्थ बुलाया फ़ंक्शन का प्रारंभिक मान , ए – स्वतंत्र चर का प्रारंभिक मान . शर्त (5) कहलाती है आरंभिक दशा या कौची हालत .

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अंतर समीकरण (2) के लिए कॉची समस्या निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: समीकरण (2) के अभिन्न वक्रों के सेट से, उसे चुनें जो किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है
.

वियोज्य चरों के साथ विभेदक समीकरण

सबसे सरल प्रकार के अंतर समीकरणों में से एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण है जिसमें वांछित फ़ंक्शन शामिल नहीं है:

. (6)

ध्यान में रख कर
, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
या
. अंतिम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हमें मिलता है:
या

. (7)

इस प्रकार, (7) समीकरण (6) का एक सामान्य समाधान है।

उदाहरण 1 . अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें
.

समाधान . आइए समीकरण को फॉर्म में लिखें
या
. आइए परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करें:
,
. हम अंततः इसे लिखेंगे
.

उदाहरण 2 . समीकरण का हल खोजें
मान लें कि
.

समाधान . आइए समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें:
,
,
,
. शर्त से
,
. आइए सामान्य समाधान में स्थानापन्न करें:
या
. हम सामान्य समाधान के सूत्र में एक मनमाना स्थिरांक के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
. यह अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान है जो दी गई शर्त को पूरा करता है।

समीकरण

(8)

बुलाया प्रथम कोटि का अवकल समीकरण जिसमें कोई स्वतंत्र चर नहीं होता . चलिए इसे फॉर्म में लिखते हैं
या
. आइए अंतिम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करें:
या
- समीकरण का सामान्य समाधान (8)।

उदाहरण . समीकरण का सामान्य हल खोजें
.

समाधान . आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें:
या
. तब
,
,
,
. इस प्रकार,
इस समीकरण का सामान्य समाधान है.

रूप का समीकरण

(9)

चरों के पृथक्करण का उपयोग करके एकीकृत होता है। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
, और फिर गुणा और भाग की संक्रियाओं का उपयोग करके हम इसे ऐसे रूप में लाते हैं कि एक भाग में केवल का कार्य शामिल होता है एक्सऔर अंतर डीएक्स, और दूसरे भाग में - का कार्य परऔर अंतर डीवाई. ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करना होगा डीएक्सऔर से विभाजित करें
. परिणामस्वरूप, हमें समीकरण प्राप्त होता है

, (10)

जिसमें चर एक्सऔर परअलग हो गए. आइए समीकरण (10) के दोनों पक्षों को एकीकृत करें:
. परिणामी संबंध समीकरण (9) का सामान्य अभिन्न अंग है।

उदाहरण 3 . एकीकृत समीकरण
.

समाधान . आइए समीकरण को रूपांतरित करें और चरों को अलग करें:
,
. आइए एकीकृत करें:
,
या इस समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग है।
.

मान लीजिए कि समीकरण प्रपत्र में दिया गया है

इस समीकरण को कहा जाता है वियोज्य चरों के साथ प्रथम कोटि अवकल समीकरण सममित रूप में.

चरों को अलग करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करना होगा
:

. (12)

परिणामी समीकरण कहलाता है पृथक विभेदक समीकरण . आइए समीकरण को एकीकृत करें (12):

.(13)

संबंध (13) अवकल समीकरण (11) का सामान्य समाकलन है।

उदाहरण 4 . एक विभेदक समीकरण को एकीकृत करें.

समाधान . आइए समीकरण को फॉर्म में लिखें

और दोनों भागों को विभाजित करें
,
. परिणामी समीकरण:
एक पृथक चर समीकरण है. आइए इसे एकीकृत करें:

,
,

,
. अंतिम समानता इस विभेदक समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग है।

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें
, शर्त को संतुष्ट करना
.

समाधान . ध्यान में रख कर
, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
या
. आइए चरों को अलग करें:
. आइए इस समीकरण को एकीकृत करें:
,
,
. परिणामी संबंध इस समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग है। शर्त से
. आइए इसे सामान्य समाकलन में प्रतिस्थापित करें और खोजें साथ:
,साथ=1. फिर अभिव्यक्ति
किसी दिए गए अवकल समीकरण का आंशिक समाधान है, जिसे आंशिक समाकलन के रूप में लिखा जाता है।

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण

समीकरण

(14)

बुलाया प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण . अज्ञात फ़ंक्शन
और इसका व्युत्पन्न इस समीकरण में रैखिक रूप से प्रवेश करता है, और कार्य करता है
और
निरंतर।

अगर
, फिर समीकरण

(15)

बुलाया रैखिक सजातीय . अगर
, तो समीकरण (14) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

समीकरण (14) का हल खोजने के लिए आमतौर पर इसका उपयोग किया जाता है प्रतिस्थापन विधि (बर्नौली) जिसका सार इस प्रकार है.

हम दो फलनों के गुणनफल के रूप में समीकरण (14) का हल खोजेंगे

, (16)

कहाँ
और
- कुछ निरंतर कार्य। आइए स्थानापन्न करें
और व्युत्पन्न
समीकरण में (14):

समारोह वीहम इस तरह से चयन करेंगे कि शर्तें पूरी हों
. तब
. इस प्रकार, समीकरण (14) का समाधान खोजने के लिए, अंतर समीकरणों की प्रणाली को हल करना आवश्यक है

सिस्टम का पहला समीकरण एक रैखिक सजातीय समीकरण है और इसे चरों को अलग करने की विधि द्वारा हल किया जा सकता है:
,
,
,
,
. एक समारोह के रूप में
आप सजातीय समीकरण के आंशिक समाधानों में से एक ले सकते हैं, अर्थात। पर साथ=1:
. आइए सिस्टम के दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:
या
।तब
. इस प्रकार, प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार होता है
.

उदाहरण 6 . प्रश्न हल करें
.

समाधान . हम फॉर्म में समीकरण का समाधान ढूंढेंगे
. तब
. आइए समीकरण में स्थानापन्न करें:

या
. समारोह वीइस प्रकार चुनें कि समानता बनी रहे
. तब
. आइए चरों को अलग करने की विधि का उपयोग करके इनमें से पहले समीकरण को हल करें:
,
,
,
,. समारोह वीआइए दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
,
,
,
. इस समीकरण का सामान्य हल है
.

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

एक अंतर समीकरण क्या है?

अवकल समीकरण का क्रम क्या है?

किस अवकल समीकरण को प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम कोटि अवकल समीकरण को अवकल रूप में कैसे लिखा जाता है?

अवकल समीकरण का हल क्या है?

अभिन्न वक्र क्या है?

प्रथम कोटि अवकल समीकरण का सामान्य समाधान क्या है?

अवकल समीकरण का आंशिक समाधान क्या कहलाता है?

प्रथम कोटि अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या कैसे तैयार की जाती है?

कॉची समस्या की ज्यामितीय व्याख्या क्या है?

वियोज्य चरों के साथ एक अवकल समीकरण को सममित रूप में कैसे लिखें?

किस समीकरण को प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है और इस विधि का सार क्या है?

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

वियोज्य चर वाले अंतर समीकरणों को हल करें:

ए)
; बी)
;

वी)
; जी)
.

2. प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करें:

ए)
; बी)
; वी)
;

जी)
; डी)
.