समान यादृच्छिक वितरण. एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर को सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर में परिवर्तित करना
सतत यादृच्छिक चर के उदाहरण के रूप में, अंतराल (ए; बी) पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर एक्स पर विचार करें। हम कहते हैं कि यादृच्छिक चर X समान रूप से वितरित अंतराल (ए; बी) पर, यदि इस अंतराल पर इसका वितरण घनत्व स्थिर नहीं है:
सामान्यीकरण स्थिति से, हम स्थिरांक c का मान निर्धारित करते हैं। वितरण घनत्व वक्र के नीचे का क्षेत्र एक के बराबर होना चाहिए, लेकिन हमारे मामले में यह आधार (बी - α) और ऊंचाई सी (छवि 1) के साथ एक आयत का क्षेत्र है। 
चावल। 1 समान वितरण घनत्व
यहां से हम स्थिरांक c का मान ज्ञात करते हैं: 
तो, एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का घनत्व बराबर है 
आइए अब सूत्र द्वारा वितरण फलन ज्ञात करें:
1) के लिए 
2) के लिए
3) 0+1+0=1 के लिए.
इस प्रकार, 
वितरण फलन सतत है और घटता नहीं है (चित्र 2)। 
चावल। 2 समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण कार्य
पता लगाते हैं एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षासूत्र के अनुसार:
समान वितरण विचरणसूत्र द्वारा गणना की जाती है और इसके बराबर है
उदाहरण 1। मापने वाले उपकरण का स्केल डिवीजन मान 0.2 है। उपकरण रीडिंग को निकटतम पूरे डिवीजन में पूर्णांकित किया जाता है। पढ़ने के दौरान त्रुटि होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) 0.04 से कम; बी) बड़ा 0.02
समाधान। गोलाई त्रुटि एक यादृच्छिक चर है जो आसन्न पूर्णांक विभाजनों के बीच के अंतराल पर समान रूप से वितरित होती है। अंतराल (0; 0.2) को ऐसे विभाजन के रूप में मानें (चित्र ए)। राउंडिंग को बायीं सीमा की ओर - 0, और दायीं ओर - 0.2 दोनों तरह से किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि 0.04 से कम या उसके बराबर की त्रुटि दो बार की जा सकती है, जिसे संभाव्यता की गणना करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए: 
पी = 0.2 + 0.2 = 0.4
दूसरे मामले के लिए, दोनों विभाजन सीमाओं पर त्रुटि मान 0.02 से अधिक हो सकता है, अर्थात, यह या तो 0.02 से अधिक या 0.18 से कम हो सकता है। 
फिर इस तरह की त्रुटि की संभावना:
उदाहरण #2. यह माना गया कि पिछले 50 वर्षों में देश में आर्थिक स्थिति की स्थिरता (युद्धों, प्राकृतिक आपदाओं आदि की अनुपस्थिति) का अंदाजा उम्र के अनुसार जनसंख्या के वितरण की प्रकृति से लगाया जा सकता है: एक शांत स्थिति में, यह होना चाहिए वर्दी. अध्ययन के परिणामस्वरूप, एक देश के लिए निम्नलिखित डेटा प्राप्त हुए।
क्या यह मानने का कोई कारण है कि देश में अस्थिर स्थिति थी?हम कैलकुलेटर परिकल्पना परीक्षण का उपयोग करके निर्णय लेते हैं. संकेतकों की गणना के लिए तालिका।
| समूह | अंतराल मध्य, x i | मात्रा, फ़ि | एक्स आई * एफ आई | संचयी आवृत्ति, एस | |एक्स - एक्स सीएफ |*एफ | (एक्स - एक्स एसआर) 2 *एफ | आवृत्ति, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
भारित औसत
भिन्नता सूचक.
पूर्ण भिन्नता दरें.
भिन्नता की सीमा प्राथमिक श्रृंखला की विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है।
आर = एक्स अधिकतम - एक्स मिनट
आर=70 - 0=70
फैलाव- इसके माध्य मान के चारों ओर फैलाव के माप को दर्शाता है (फैलाव का माप, यानी माध्य से विचलन)।
मानक विचलन.
श्रृंखला का प्रत्येक मान 43 के औसत मान से 23.92 से अधिक भिन्न नहीं है
वितरण के प्रकार के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करना.
4. के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करना वर्दी वितरणसामान्य जनसंख्या.
एक्स के समान वितरण के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, अर्थात। कानून के अनुसार: f(x) = 1/(b-a) अंतराल में (a,b)
ज़रूरी:
1. पैरामीटर ए और बी का अनुमान लगाएं - अंतराल के अंत जिसमें एक्स के संभावित मान देखे गए थे, सूत्रों के अनुसार (* चिह्न पैरामीटर के अनुमान को दर्शाता है):
2. अनुमानित वितरण की संभाव्यता घनत्व ज्ञात करें f(x) = 1/(b * - a *)
3. सैद्धांतिक आवृत्तियाँ खोजें:
एन 1 = एनपी 1 = एन = एन * 1 / (बी * - ए *) * (एक्स 1 - ए *)
एन 2 = एन 3 = ... = एन एस-1 = एन * 1 / (बी * - ए *) * (एक्स आई - एक्स आई-1)
एन एस = एन*1/(बी * - ए *)*(बी * - एक्स एस-1)
4. पियर्सन परीक्षण का उपयोग करके अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों की तुलना करें, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या k = s-3 मानते हुए, जहां s प्रारंभिक नमूना अंतराल की संख्या है; हालाँकि, यदि छोटी आवृत्तियों और इसलिए स्वयं अंतरालों का संयोजन बनाया गया था, तो s संयोजन के बाद शेष अंतरालों की संख्या है।
समाधान:
1. सूत्रों का उपयोग करके समान वितरण के पैरामीटर ए * और बी * का अनुमान लगाएं:
2. कल्पित समान वितरण का घनत्व ज्ञात कीजिए:
एफ(एक्स) = 1/(बी * - ए *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. सैद्धांतिक आवृत्तियाँ ज्ञात करें:
एन 1 = एन * एफ (एक्स) (एक्स 1 - ए *) = 1 * 0.0121 (10-1.58) = 0.1
एन 8 = एन * एफ (एक्स) (बी * - एक्स 7) = 1 * 0.0121 (84.42-70) = 0.17
शेष n s बराबर होंगे:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| मैं | एन मैं | n*i | एन आई - एन * आई | (एन आई - एन* आई) 2 | (एन आई - एन * आई) 2 /एन * आई |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6ई-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0ई-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5ई-5 | 0.000199 |
| कुल | 1 | 0.0532 |
इसलिए, इस आंकड़े के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्र हमेशा दाएं हाथ का होता है: यदि इसकी संभावना घनत्व इस खंड पर स्थिर है, और इसके बाहर 0 है (यानी, एक यादृच्छिक चर) एक्सखंड पर ध्यान केंद्रित किया गया [ ए, बी], जिस पर इसका घनत्व स्थिर रहता है)। इस परिभाषा के अनुसार, खंड पर समान रूप से वितरित घनत्व [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सकी तरह लगता है:
कहाँ साथकुछ संख्या है. हालाँकि, अंतराल पर केंद्रित आर.वी. के लिए संभाव्यता घनत्व गुण का उपयोग करके इसे खोजना आसान है [ ए,
बी]:
. अत: यह उसका अनुसरण करता है 
, कहाँ 
. इसलिए, घनत्व खंड पर समान रूप से वितरित किया गया [ ए,
बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सकी तरह लगता है:
.
एन.एस.वी. के वितरण की एकरूपता का न्याय करने के लिए। एक्सनिम्नलिखित विचार से संभव है. एक सतत यादृच्छिक चर का अंतराल पर एक समान वितरण होता है [ ए, बी] यदि यह केवल इस खंड से मान लेता है, और इस खंड की किसी भी संख्या को इस यादृच्छिक चर का मान होने में सक्षम होने के अर्थ में इस खंड की अन्य संख्याओं पर लाभ नहीं होता है।
समान वितरण वाले यादृच्छिक चर में ऐसे चर शामिल होते हैं जैसे एक स्टॉप पर परिवहन का प्रतीक्षा समय (आंदोलन के निरंतर अंतराल पर, प्रतीक्षा समय इस अंतराल पर समान रूप से वितरित किया जाता है), पूर्णांक में संख्या की पूर्णांक त्रुटि (समान रूप से वितरित) [−0.5 पर , 0.5 ]) और दूसरे।
वितरण समारोह का प्रकार एफ(एक्स)
ए,
बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सज्ञात संभाव्यता घनत्व द्वारा खोजा जाता है एफ(एक्स)
उनके कनेक्शन के सूत्र का उपयोग करना 
. संगत गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें वितरण फलन के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है एफ(एक्स)
समान रूप से वितरित खंड [ ए,
बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स
:
.
आंकड़े संभाव्यता घनत्व के ग्राफ़ दिखाते हैं एफ(एक्स) और वितरण कार्य एफ(एक्स) समान रूप से वितरित खंड [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स :
समान रूप से वितरित खंड की गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन, मोड और माध्यिका [ ए, बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्ससंभाव्यता घनत्व से गणना की गई एफ(एक्स) सामान्य तरीके से (और बिल्कुल साधारण दिखने के कारण एफ(एक्स) ). परिणाम निम्नलिखित सूत्र है:
लेकिन फैशन डी(एक्स) खंड की कोई भी संख्या है [ ए, बी].
आइए हम समान रूप से वितरित खंड से टकराने की प्रायिकता ज्ञात करें [ ए,
बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सअंतराल में 
, पूरी तरह से अंदर पड़ा हुआ [ ए,
बी]. वितरण फलन के ज्ञात रूप को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
इस प्रकार, समान रूप से वितरित खंड से टकराने की संभावना [ ए,
बी] अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सअंतराल में 
, पूरी तरह से अंदर पड़ा हुआ [ ए,
बी], इस अंतराल की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल इसकी लंबाई पर निर्भर करता है और इस लंबाई के सीधे आनुपातिक है।
उदाहरण. बस का अंतराल 10 मिनट है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बस स्टॉप पर आने वाला यात्री बस के लिए 3 मिनट से कम समय तक प्रतीक्षा करेगा? बस के लिए औसत प्रतीक्षा समय क्या है?
सामान्य वितरण
यह वितरण अक्सर व्यवहार में पाया जाता है और संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों और उनके अनुप्रयोगों में एक असाधारण भूमिका निभाता है, क्योंकि प्राकृतिक विज्ञान, अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान, समाजशास्त्र, सैन्य विज्ञान और इसी तरह के कई यादृच्छिक चर में ऐसा वितरण होता है। यह वितरण सीमित कानून है, जो वितरण के कई अन्य कानूनों द्वारा (कुछ प्राकृतिक परिस्थितियों में) लागू किया जाता है। सामान्य वितरण कानून की मदद से, उन घटनाओं का भी वर्णन किया जाता है जो किसी भी प्रकृति के कई स्वतंत्र यादृच्छिक कारकों और उनके वितरण के किसी भी कानून की कार्रवाई के अधीन हैं। आइए परिभाषाओं पर चलते हैं।
एक सतत यादृच्छिक चर को वितरित कहा जाता है सामान्य कानून (या गाऊसी कानून), यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:
,
नंबर कहां हैं एऔर σ (σ>0 ) इस वितरण के पैरामीटर हैं।
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यादृच्छिक चर के वितरण के गॉस नियम के कई अनुप्रयोग हैं। इस कानून के अनुसार, उपकरणों द्वारा माप त्रुटियां, शूटिंग के दौरान लक्ष्य के केंद्र से विचलन, निर्मित भागों के आयाम, लोगों का वजन और ऊंचाई, वार्षिक वर्षा, नवजात शिशुओं की संख्या और बहुत कुछ वितरित किया जाता है।
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व के लिए उपरोक्त सूत्र में, जैसा कि कहा गया था, दो पैरामीटर शामिल हैं एऔर σ , और इसलिए फ़ंक्शंस के एक परिवार को परिभाषित करता है जो इन मापदंडों के मूल्यों के आधार पर भिन्न होता है। यदि हम कार्यों के अध्ययन और सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व की साजिश रचने के गणितीय विश्लेषण के सामान्य तरीकों को लागू करते हैं, तो हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
इसके विभक्ति बिन्दु हैं।
प्राप्त जानकारी के आधार पर, हम संभाव्यता घनत्व का एक ग्राफ बनाते हैं एफ(एक्स) सामान्य वितरण (इसे गॉसियन वक्र कहा जाता है - चित्र)।
आइए जानें कि पैरामीटर बदलने से क्या प्रभाव पड़ता है एऔर σ गॉसियन वक्र के आकार पर. यह स्पष्ट है (इसे सामान्य वितरण के घनत्व के सूत्र से देखा जा सकता है) कि पैरामीटर में परिवर्तन एवक्र का आकार नहीं बदलता, बल्कि केवल अक्ष के अनुदिश दायीं या बायीं ओर खिसकता है एक्स. निर्भरता σ अधिक मुश्किल। उपरोक्त अध्ययन से यह देखा जा सकता है कि अधिकतम का मान और विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक पैरामीटर पर कैसे निर्भर करते हैं σ . इसके अलावा, किसी भी पैरामीटर के लिए इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए एऔर σ गॉसियन वक्र के अंतर्गत क्षेत्र 1 के बराबर रहता है (यह संभाव्यता घनत्व का एक सामान्य गुण है)। जो कहा गया है, उससे यह पता चलता है कि पैरामीटर में वृद्धि के साथ σ वक्र चपटा हो जाता है और अक्ष के अनुदिश खिंच जाता है एक्स. यह आंकड़ा पैरामीटर के विभिन्न मूल्यों के लिए गाऊसी वक्र दिखाता है σ (σ 1 < σ< σ 2 ) और समान पैरामीटर मान ए.
पैरामीटरों का संभाव्य अर्थ ज्ञात कीजिए एऔर σ
सामान्य वितरण। पहले से ही संख्या से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के संबंध में गाऊसी वक्र की समरूपता से एधुरी पर एक्सयह स्पष्ट है कि औसत मूल्य (अर्थात गणितीय अपेक्षा एम(एक्स)) सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के बराबर है ए. उन्हीं कारणों से, बहुलक और माध्यिका भी संख्या a के बराबर होनी चाहिए। संबंधित सूत्रों के अनुसार सटीक गणना इसकी पुष्टि करती है। यदि हम उपरोक्त अभिव्यक्ति को लिखते हैं एफ(एक्स)
विचरण के लिए सूत्र में स्थानापन्न करें 
, फिर अभिन्न की (बल्कि कठिन) गणना के बाद, हमें उत्तर में संख्या प्राप्त होती है σ
2
. इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर के लिए एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित, निम्नलिखित मुख्य संख्यात्मक विशेषताएँ प्राप्त हुईं:
इसलिए, सामान्य वितरण के मापदंडों का संभाव्य अर्थ एऔर σ अगला। यदि आर.वी. एक्सएऔर σ ए σ.
आइए अब वितरण फलन ज्ञात करें एफ(एक्स)
एक यादृच्छिक चर के लिए एक्स, संभाव्यता घनत्व के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति का उपयोग करके, सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है एफ(एक्स)
और सूत्र 
. प्रतिस्थापित करते समय एफ(एक्स)
हमें एक "अप्रकाशित" अभिन्न अंग प्राप्त होता है। अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए वह सब कुछ किया जा सकता है एफ(एक्स),
यह इस फ़ंक्शन का इस रूप में प्रतिनिधित्व है:
,
कहाँ एफ(एक्स)- कहा गया लाप्लास फ़ंक्शन, जो दिखता है
.
जिस अभिन्न अंग के संदर्भ में लाप्लास फ़ंक्शन व्यक्त किया गया है वह भी गैर-लिया गया है (लेकिन प्रत्येक के लिए)। एक्सइस अभिन्न अंग की गणना लगभग किसी भी पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ की जा सकती है)। हालाँकि, इसकी गणना करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक तालिका होती है एफ(एक्स)किसी दिए गए मूल्य पर एक्स. निम्नलिखित में, हमें लाप्लास फ़ंक्शन की विषमता संपत्ति की आवश्यकता होगी: F(−x)=−एफ(एक्स)सभी नंबरों के लिए एक्स.
आइए अब हम इसकी प्रायिकता ज्ञात करें कि एक सामान्य रूप से वितरित आर.वी. एक्सदिए गए संख्यात्मक अंतराल से एक मान लेगा (α, β) . वितरण फलन के सामान्य गुणों से Р(α< एक्स< β)= एफ(β) − एफ(α) . स्थानापन्न α और β के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति में एफ(एक्स) , हम पाते हैं
.
जैसा कि ऊपर बताया गया है, यदि आर.वी. एक्समापदंडों के साथ सामान्य रूप से वितरित एऔर σ , तो इसका माध्य मान बराबर है ए, और मानक विचलन के बराबर है σ. इसीलिए औसतइस आर.वी. के मूल्यों का विचलन जब संख्या से परीक्षण किया गया एके बराबर होती है σ. लेकिन यह औसत विचलन है. इसलिए, बड़े विचलन भी संभव हैं. हमें पता चलता है कि औसत मूल्य से ये या वे विचलन कितने संभव हैं। आइए हम प्रायिकता ज्ञात करें कि एक यादृच्छिक चर का मान सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है एक्सअपने मतलब से भटकना एम(एक्स)=एकुछ संख्या δ से कम, यानी आर(| एक्स− ए|<δ ) : . इस प्रकार,
.
इस समानता में प्रतिस्थापित करना δ=3σ, हमें प्रायिकता प्राप्त होती है कि r.v. का मान एक्स(एक परीक्षण में) माध्य से तीन गुना से कम विचलन होगा σ (औसत विचलन के साथ, जैसा कि हमें याद है, बराबर है σ ): (अर्थ एफ(3)लाप्लास फ़ंक्शन के मानों की तालिका से लिया गया)। यह लगभग है 1 ! फिर विपरीत घटना की संभावना (कि मान कम से कम विचलित हो जाता है 3σ) के बराबर है 1 −0.997=0.003 , जो बहुत करीब है 0 . इसलिए, यह घटना "लगभग असंभव" है − ऐसा बहुत कम होता है (औसतन)। 3 समय पूरा हुआ 1000 ). यह तर्क सुप्रसिद्ध "थ्री सिग्मा नियम" का औचित्य है।
तीन सिग्मा नियम. सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक ही परीक्षण मेंव्यावहारिक रूप से इसके औसत से अधिक विचलन नहीं होता है 3σ.
एक बार फिर, हम इस बात पर जोर देते हैं कि हम एक परीक्षण के बारे में बात कर रहे हैं। यदि किसी यादृच्छिक चर के कई परीक्षण हों तो यह बहुत संभव है कि उसके कुछ मान औसत से आगे बढ़ जायेंगे 3σ. यह निम्नलिखित की पुष्टि करता है
उदाहरण. क्या संभावना है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के 100 परीक्षणों के बाद एक्सइसका कम से कम एक मान मानक विचलन से तीन गुना से अधिक माध्य से विचलित होगा? 1000 परीक्षणों के बारे में क्या?
समाधान। चलो घटना एइसका मतलब है कि जब एक यादृच्छिक चर का परीक्षण किया जाता है एक्सइसका मान माध्य से अधिक भटक गया 3σ.जैसा कि अभी पता चला है, इस घटना की संभावना पी=पी(ए)=0.003.ऐसे 100 परीक्षण किए गए हैं। हमें घटना की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है एघटित कम से कमसमय, यानी से आया 1 पहले 100 एक बार। यह मापदंडों के साथ एक विशिष्ट बर्नौली योजना समस्या है एन=100 (स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या), पी=0.003(घटना की संभावना एएक परीक्षण में) क्यू=1− पी=0.997 . खोजना चाहता था आर 100 (1≤ क≤100) . इस मामले में, निःसंदेह, पहले विपरीत घटना की संभावना ज्ञात करना आसान है आर 100 (0) − संभावना है कि घटना एकभी नहीं हुआ (अर्थात् 0 बार हुआ)। घटना की संभावनाओं और उसके विपरीत के बीच संबंध पर विचार करने पर, हमें यह मिलता है:
इतना कम नहीं. ऐसा हो सकता है (औसतन परीक्षणों की हर चौथी श्रृंखला में ऐसा होता है)। पर 1000 उसी योजना के अनुसार परीक्षण करने पर यह प्राप्त किया जा सकता है कि कम से कम एक विचलन की संभावना इससे अधिक है 3σ, बराबर: . इसलिए कम से कम ऐसे एक विचलन की प्रतीक्षा करना सुरक्षित है।
उदाहरण. एक निश्चित आयु वर्ग के पुरुषों की ऊंचाई सामान्यतः गणितीय अपेक्षा के साथ वितरित की जाती है ए, और मानक विचलन σ . वेशभूषा का अनुपात क्या है? क-वें विकास को किसी दिए गए आयु वर्ग के लिए कुल उत्पादन में शामिल किया जाना चाहिए यदि क-वीं वृद्धि निम्नलिखित सीमाओं द्वारा निर्धारित होती है:
1 ऊंचाई : 158 − 164 सेमी 2ऊंचाई : 164 - 170 सेमी 3ऊंचाई : 170 - 176 सेमी 4ऊंचाई : 176 - 182 सेमी
समाधान। आइए निम्नलिखित पैरामीटर मानों के साथ समस्या का समाधान करें: ए=178,σ=6,क=3
. चलो आर.वी. एक्स
−
बेतरतीब ढंग से चुने गए आदमी की ऊंचाई (इसे दिए गए मापदंडों के साथ सामान्य रूप से स्थिति के अनुसार वितरित किया जाता है)। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुने गए व्यक्ति की आवश्यकता होगी 3
वें विकास. लाप्लास फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करना एफ(एक्स)और इसके मूल्यों की एक तालिका: पी(170
एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण एक्स, जो खंड से सभी मान लेता है , कहा जाता है वर्दी, यदि इस खंड पर इसकी संभाव्यता घनत्व स्थिर है, और इसके बाहर शून्य के बराबर है। इस प्रकार, एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व एक्स, खंड पर समान रूप से वितरित , की तरह लगता है:
आइए परिभाषित करें अपेक्षित मूल्य, फैलावऔर एक समान वितरण वाले यादृच्छिक चर के लिए।
, 
, 
.
उदाहरण।समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के सभी मान खंड पर स्थित होते हैं . अंतराल में एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (3;5) .
ए=2, बी=8, 
.
द्विपद वितरण
इसका उत्पादन होने दीजिए एनपरीक्षण, और किसी घटना के घटित होने की संभावना एप्रत्येक परीक्षण में है पीऔर यह अन्य परीक्षणों (स्वतंत्र परीक्षणों) के परिणाम पर निर्भर नहीं करता है। चूंकि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता एएक परीक्षण में है पी, तो इसके घटित न होने की प्रायिकता बराबर है क्यू=1-पी.
चलो घटना एमें आया एनपरीक्षणों एमएक बार। इस जटिल घटना को एक उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:
.
तब संभावना यह है कि एनपरीक्षण घटना एआ जाएगा एमसमय की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
या 
(1)
सूत्र (1) कहा जाता है बर्नौली सूत्र.
होने देना एक्सघटना की घटनाओं की संख्या के बराबर एक यादृच्छिक चर है एवी एनपरीक्षण, जो संभावनाओं के साथ मान लेता है:
यादृच्छिक चर के वितरण का परिणामी नियम कहलाता है द्विपद वितरण कानून.
| एक्स | एम | एन | ||||
| पी |
अपेक्षित मूल्य, फैलावऔर मानक विचलनद्विपद नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
, , .
उदाहरण।लक्ष्य पर तीन गोलियाँ चलाई गईं, और प्रत्येक गोली लगने की संभावना 0.8 है। हम एक यादृच्छिक चर पर विचार करते हैं एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या. इसका वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।
पी=0.8, क्यू=0.2, एन=3, 
, , 
.
- 0 हिट की संभावना;
एक हिट की संभावना;
दो हिट की संभावना;
तीन हिट की संभावना है.
हमें वितरण कानून मिलता है:
| एक्स | ||||
| पी | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
कार्य
1. एक सिक्के को 7 बार उछाला जाता है। इसके 4 बार उल्टा गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
2. एक सिक्के को 8 बार उछाला जाता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि राज्य-चिह्न तीन बार से अधिक दिखाई नहीं देगा।
3. बंदूक से फायर करने पर लक्ष्य पर वार करने की प्रायिकता p=0.6. यदि 10 गोलियाँ चलाई गईं तो हिट की कुल संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
4. यदि 20 टिकटें खरीदी जाती हैं तो जीतने वाली लॉटरी टिकटों की संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए और एक टिकट के जीतने की संभावना 0.3 है।
इस मामले में वितरण फ़ंक्शन, (5.7) के अनुसार, रूप लेगा:
जहाँ: m गणितीय अपेक्षा है, s मानक विचलन है।
जर्मन गणितज्ञ गॉस के नाम पर सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर में पैरामीटर के साथ एक सामान्य वितरण होता है: एम,, निम्नानुसार दर्शाया गया है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम;
अक्सर, सूत्रों में, गणितीय अपेक्षा को निरूपित किया जाता है ए . यदि किसी यादृच्छिक चर को नियम N(0,1) के अनुसार वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य मान कहा जाता है। इसके लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है:
|
|
.सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ, जिसे सामान्य वक्र या गॉसियन वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।
चावल। 5.4. सामान्य वितरण घनत्व
एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं को उसके घनत्व द्वारा निर्धारित करना एक उदाहरण पर माना जाता है।
उदाहरण 6.
वितरण घनत्व द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर दिया जाता है: 
.
वितरण का प्रकार निर्धारित करें, गणितीय अपेक्षा M(X) और प्रसरण D(X) ज्ञात करें।
दिए गए वितरण घनत्व की तुलना (5.16) से करने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि m =4 के साथ सामान्य वितरण कानून दिया गया है। इसलिए, गणितीय अपेक्षा M(X)=4, प्रसरण D(X)=9.
मानक विचलन s=3.
लाप्लास फ़ंक्शन, जिसका रूप है:
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,सामान्य वितरण फ़ंक्शन (5.17) से संबंधित है, संबंध द्वारा:
एफ 0 (एक्स) = एफ (एक्स) + 0.5।
लाप्लास फ़ंक्शन विषम है.
Ф(-x)=-Ф(x).
लाप्लास फ़ंक्शन Ф(х) के मानों को सारणीबद्ध किया गया है और x के मान के अनुसार तालिका से लिया गया है (परिशिष्ट 1 देखें)।
सतत यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण संभाव्यता के सिद्धांत और वास्तविकता के वर्णन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; यह यादृच्छिक प्राकृतिक घटनाओं में बहुत व्यापक है। व्यवहार में, अक्सर ऐसे यादृच्छिक चर होते हैं जो कई यादृच्छिक शब्दों के योग के परिणामस्वरूप सटीक रूप से बनते हैं। विशेष रूप से, माप त्रुटियों के विश्लेषण से पता चलता है कि वे विभिन्न प्रकार की त्रुटियों का योग हैं। अभ्यास से पता चलता है कि माप त्रुटियों की संभाव्यता वितरण सामान्य कानून के करीब है।
लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोई किसी दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना और सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए विचलन की गणना करने की समस्याओं को हल कर सकता है।
इस मुद्दे का लंबे समय से विस्तार से अध्ययन किया गया है, और 1958 में जॉर्ज बॉक्स, मर्विन मुलर और जॉर्ज मार्साग्लिया द्वारा प्रस्तावित ध्रुवीय निर्देशांक की विधि का सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। यह विधि आपको माध्य 0 और विचरण 1 के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की एक जोड़ी प्राप्त करने की अनुमति देती है:
जहां Z 0 और Z 1 वांछित मान हैं, s \u003d u 2 + v 2, और u और v खंड (-1, 1) पर समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं, इस तरह से चुने गए हैं कि शर्त 0 संतुष्ट है< s < 1.
कई लोग बिना सोचे-समझे इन फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं, और कईयों को उनके अस्तित्व पर संदेह भी नहीं होता है, क्योंकि वे तैयार कार्यान्वयन का उपयोग करते हैं। लेकिन ऐसे लोग भी हैं जिनके मन में सवाल हैं: “यह फॉर्मूला कहां से आया? और आपको एक ही बार में मूल्यों की एक जोड़ी क्यों मिलती है? निम्नलिखित में, मैं इन प्रश्नों का स्पष्ट उत्तर देने का प्रयास करूँगा।
आरंभ करने के लिए, मैं आपको याद दिला दूं कि संभाव्यता घनत्व, यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन और व्युत्क्रम फ़ंक्शन क्या हैं। मान लीजिए कि कोई यादृच्छिक चर है, जिसका वितरण घनत्व फ़ंक्शन f(x) द्वारा दिया गया है, जिसका निम्न रूप है:
इसका मतलब यह है कि इस यादृच्छिक चर का मान अंतराल (ए, बी) में होने की संभावना छायांकित क्षेत्र के क्षेत्र के बराबर है। और परिणामस्वरूप, संपूर्ण छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल एकता के बराबर होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्थिति में यादृच्छिक चर का मान फ़ंक्शन f के डोमेन में आ जाएगा।
यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन घनत्व फ़ंक्शन का एक अभिन्न अंग है। और इस स्थिति में इसका अनुमानित रूप इस प्रकार होगा:
यहां तात्पर्य यह है कि यादृच्छिक चर का मान प्रायिकता बी के साथ ए से कम होगा। और परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन कभी नहीं घटता है, और इसके मान अंतराल में निहित होते हैं।
व्युत्क्रम फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जो मूल फ़ंक्शन का तर्क लौटाता है यदि आप इसमें मूल फ़ंक्शन का मान पास करते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन x 2 के लिए व्युत्क्रम मूल निष्कर्षण फ़ंक्शन होगा, पाप (x) के लिए यह आर्क्सिन (x) है, आदि।
चूंकि अधिकांश छद्म-यादृच्छिक संख्या जनरेटर आउटपुट पर केवल एक समान वितरण देते हैं, इसलिए इसे किसी अन्य में परिवर्तित करना अक्सर आवश्यक हो जाता है। इस मामले में, एक सामान्य गाऊसी के लिए:
एक समान वितरण को किसी अन्य वितरण में बदलने की सभी विधियों का आधार व्युत्क्रम परिवर्तन विधि है। यह इस प्रकार काम करता है. एक फ़ंक्शन पाया जाता है जो आवश्यक वितरण के फ़ंक्शन के विपरीत होता है, और खंड (0, 1) पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर को एक तर्क के रूप में पारित किया जाता है। आउटपुट पर, हमें आवश्यक वितरण के साथ एक मान प्राप्त होता है। स्पष्टता के लिए, यहां निम्नलिखित चित्र है।
इस प्रकार, एक समान खंड, जैसा कि यह था, नए वितरण के अनुसार धब्बा है, एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन के माध्यम से किसी अन्य अक्ष पर प्रक्षेपित किया जा रहा है। लेकिन समस्या यह है कि गॉसियन वितरण के घनत्व के अभिन्न अंग की गणना करना आसान नहीं है, इसलिए उपरोक्त वैज्ञानिकों को धोखा देना पड़ा।
एक ची-स्क्वायर वितरण (पियर्सन वितरण) है, जो कि k स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वितरण है। और उस स्थिति में जब k = 2, यह वितरण घातीय है।
इसका मतलब यह है कि यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु पर यादृच्छिक एक्स और वाई निर्देशांक सामान्य रूप से वितरित होते हैं, तो इन निर्देशांक को ध्रुवीय प्रणाली (आर, θ) में परिवर्तित करने के बाद, त्रिज्या का वर्ग (मूल से बिंदु तक की दूरी) तेजी से वितरित किया जाएगा, क्योंकि त्रिज्या का वर्ग निर्देशांक के वर्गों का योग है (पायथागॉरियन कानून के अनुसार)। समतल पर ऐसे बिंदुओं का वितरण घनत्व इस प्रकार दिखेगा:
चूँकि यह सभी दिशाओं में समान है, कोण θ का 0 से 2π तक की सीमा में एक समान वितरण होगा। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि आप दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर (समान रूप से वितरित कोण और घातीय रूप से वितरित त्रिज्या) का उपयोग करके ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक बिंदु निर्दिष्ट करते हैं, तो इस बिंदु के आयताकार निर्देशांक स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर होंगे। और समान व्युत्क्रम परिवर्तन विधि का उपयोग करके, एक समान वितरण से घातांकीय वितरण प्राप्त करना पहले से ही बहुत आसान है। यह बॉक्स-मुलर ध्रुवीय विधि का सार है।
अब आइए सूत्र प्राप्त करें।
(1)
आर और θ प्राप्त करने के लिए, खंड (0, 1) पर समान रूप से वितरित दो यादृच्छिक चर उत्पन्न करना आवश्यक है (चलो उन्हें यू और वी कहते हैं), जिनमें से एक का वितरण (मान लें वी) को घातीय में परिवर्तित किया जाना चाहिए त्रिज्या प्राप्त करें. घातीय वितरण फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:
इसका उलटा कार्य:
चूँकि समान वितरण सममित है, परिवर्तन फ़ंक्शन के साथ समान रूप से कार्य करेगा
यह ची-स्क्वायर वितरण सूत्र से निम्नानुसार है कि λ = 0.5। हम इस फ़ंक्शन में λ, v प्रतिस्थापित करते हैं और त्रिज्या का वर्ग प्राप्त करते हैं, और फिर त्रिज्या स्वयं:
हम इकाई खंड को 2π तक खींचकर कोण प्राप्त करते हैं:
अब हम r और θ को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
(2)
ये सूत्र उपयोग के लिए तैयार हैं. एक्स और वाई स्वतंत्र होंगे और आम तौर पर 1 के भिन्नता और 0 के माध्य के साथ वितरित किए जाएंगे। अन्य विशेषताओं के साथ वितरण प्राप्त करने के लिए, फ़ंक्शन के परिणाम को मानक विचलन से गुणा करना और माध्य जोड़ना पर्याप्त है।
लेकिन किसी वृत्त में किसी यादृच्छिक बिंदु के आयताकार निर्देशांक के माध्यम से प्रत्यक्ष रूप से नहीं, बल्कि परोक्ष रूप से कोण निर्दिष्ट करके त्रिकोणमितीय कार्यों से छुटकारा पाना संभव है। फिर, इन निर्देशांकों के माध्यम से, त्रिज्या वेक्टर की लंबाई की गणना करना संभव होगा, और फिर क्रमशः x और y को विभाजित करके कोसाइन और साइन ज्ञात करना संभव होगा। यह कैसे और क्यों काम करता है?
हम वृत्त में समान रूप से वितरित इकाई त्रिज्या में से एक यादृच्छिक बिंदु चुनते हैं और इस बिंदु की त्रिज्या वेक्टर की लंबाई के वर्ग को अक्षर s द्वारा निरूपित करते हैं:
चुनाव अंतराल (-1, 1) में समान रूप से वितरित यादृच्छिक x और y आयताकार निर्देशांक निर्दिष्ट करके और उन बिंदुओं को त्यागकर किया जाता है जो सर्कल से संबंधित नहीं हैं, साथ ही केंद्रीय बिंदु जिस पर त्रिज्या वेक्टर का कोण है परिभाषित नहीं। यानी शर्त 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
लेख की शुरुआत में हमें सूत्र मिलते हैं। इस पद्धति का नुकसान उन बिंदुओं की अस्वीकृति है जो सर्कल में शामिल नहीं हैं। अर्थात्, उत्पन्न यादृच्छिक चर का केवल 78.5% उपयोग करना। पुराने कंप्यूटरों पर, त्रिकोणमितीय कार्यों की कमी अभी भी एक बड़ा लाभ थी। अब, जब एक प्रोसेसर निर्देश एक साथ एक पल में साइन और कोसाइन की गणना करता है, तो मुझे लगता है कि ये विधियां अभी भी प्रतिस्पर्धा कर सकती हैं।
व्यक्तिगत रूप से, मेरे पास दो और प्रश्न हैं:
- का मान समान रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
- दो सामान्य यादृच्छिक चरों के वर्गों का योग चरघातांकीय रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
यदि एक सामान्य यादृच्छिक चर के लिए समान परिवर्तन किया जाता है, तो उसके वर्ग का घनत्व फ़ंक्शन हाइपरबोला के समान हो जाएगा। और सामान्य यादृच्छिक चर के दो वर्गों को जोड़ना पहले से ही दोहरे एकीकरण से जुड़ी एक बहुत अधिक जटिल प्रक्रिया है। और तथ्य यह है कि परिणाम एक घातीय वितरण होगा, व्यक्तिगत रूप से, इसे व्यावहारिक विधि से जांचना या इसे एक सिद्धांत के रूप में स्वीकार करना मेरे लिए बाकी है। और जो लोग रुचि रखते हैं, उनके लिए मेरा सुझाव है कि आप इन पुस्तकों से ज्ञान प्राप्त करते हुए विषय को करीब से जान लें:
- वेंटज़ेल ई.एस. सिद्धांत संभावना
- नट डी.ई. प्रोग्रामिंग की कला खंड 2
अंत में, मैं जावास्क्रिप्ट में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या जनरेटर के कार्यान्वयन का एक उदाहरण दूंगा:
फ़ंक्शन गॉस () (var तैयार = गलत; var सेकंड = 0.0; this.next = function(मीन, देव) ( माध्य = माध्य == अपरिभाषित? 0.0: माध्य; देव = देव == अपरिभाषित? 1.0: देव; यदि ( this.ready) ( this.ready = false; return this. दूसरा * dev + माध्य; ) अन्यथा ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. यादृच्छिक() - 1.0; s = u * u + v * v; ) जबकि (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); यह.दूसरा = आर * यू; यह.तैयार = सत्य; वापसी आर * वी * देव + माध्य; ) ); ) जी = नया गॉस(); // एक ऑब्जेक्ट बनाएं a = g.next(); // मानों की एक जोड़ी बनाएं और पहला प्राप्त करें b = g.next(); // दूसरा प्राप्त करें c = g.next(); // मूल्यों की एक जोड़ी फिर से उत्पन्न करें और पहला प्राप्त करें
माध्य (गणितीय अपेक्षा) और देव (मानक विचलन) पैरामीटर वैकल्पिक हैं। मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि लघुगणक प्राकृतिक है।
