आइए ज्ञात फैलाव मूल्य के मामले में वितरण के औसत मूल्य का अनुमान लगाने के लिए MS EXCEL में एक विश्वास अंतराल का निर्माण करें।

बेशक चुनाव विश्वास का स्तरपूरी तरह से समस्या के समाधान पर निर्भर करता है। इस प्रकार, हवाई जहाज की विश्वसनीयता में एक हवाई यात्री के विश्वास की डिग्री निस्संदेह एक विद्युत प्रकाश बल्ब की विश्वसनीयता में खरीदार के विश्वास की डिग्री से अधिक होनी चाहिए।

समस्या सूत्रीकरण

चलिए मान लेते हैं कि से जनसंख्यालिया जा चुका है नमूनाआकार एन. यह मान लिया है कि मानक विचलनयह वितरण ज्ञात है। इसके आधार पर यह जरूरी है नमूनेअज्ञात का मूल्यांकन करें वितरण माध्य(μ, ) और संगत रचना कीजिए दोहरा विश्वास अंतराल.

बिंदु लागत

जैसा कि ज्ञात होता है आंकड़े(आइए इसे निरूपित करें एक्स औसत) है माध्य का निष्पक्ष अनुमानयह जनसंख्याऔर इसका वितरण N(μ;σ 2 /n) है।

टिप्पणी: यदि आपको निर्माण करने की आवश्यकता हो तो क्या करें? विश्वास अंतरालवितरण के मामले में क्या नहीं है सामान्य?इस मामले में, बचाव के लिए आता है, जो बताता है कि पर्याप्त बड़े आकार के साथ नमूने n वितरण से नहीं बनना सामान्य, आँकड़ों का नमूना वितरण X औसतइच्छा लगभगअनुरूप सामान्य वितरणपैरामीटर N(μ;σ 2 /n) के साथ।

इसलिए, बिंदु लागत औसत वितरण मूल्यहमारे पास है - यह नमूना माध्य, अर्थात। एक्स औसत. अब चलिए शुरू करते हैं विश्वास अंतराल।

एक विश्वास अंतराल का निर्माण

आमतौर पर, वितरण और उसके मापदंडों को जानकर, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि यादृच्छिक चर हमारे द्वारा निर्दिष्ट अंतराल से एक मान लेगा। अब आइए इसके विपरीत करें: उस अंतराल को ढूंढें जिसमें यादृच्छिक चर किसी दी गई संभावना के साथ गिर जाएगा। उदाहरण के लिए, गुणों से सामान्य वितरणयह ज्ञात है कि 95% की संभावना के साथ, एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है सामान्य कानून, लगभग +/- 2 से की सीमा के भीतर आएगा औसत मूल्य(इसके बारे में लेख देखें)। यह अंतराल हमारे लिए एक प्रोटोटाइप के रूप में काम करेगा विश्वास अंतराल.

अब देखते हैं कि क्या हम वितरण जानते हैं , इस अंतराल की गणना करने के लिए? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें वितरण के आकार और उसके मापदंडों को इंगित करना होगा।

वितरण का स्वरूप हम जानते हैं - यह है सामान्य वितरण(याद रखें कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं नमूने का वितरण आंकड़े एक्स औसत).

पैरामीटर μ हमारे लिए अज्ञात है (इसे केवल इसका उपयोग करके अनुमान लगाने की आवश्यकता है विश्वास अंतराल), लेकिन हमारे पास इसका एक अनुमान है एक्स औसत,के आधार पर गणना की गई नमूने,जिसका उपयोग किया जा सकता है.

दूसरा पैरामीटर - नमूना माध्य का मानक विचलन हम इसे ज्ञात मानेंगे, यह σ/√n के बराबर है।

क्योंकि हम μ नहीं जानते, तो हम अंतराल +/- 2 बनाएंगे मानक विचलनइससे नहीं औसत मूल्य, और इसके ज्ञात अनुमान से एक्स औसत. वे। गणना करते समय विश्वास अंतरालहम ऐसा नहीं मानेंगे एक्स औसत+/- 2 की सीमा के अंतर्गत आता है मानक विचलन 95% की संभावना के साथ μ से, और हम मान लेंगे कि अंतराल +/- 2 है मानक विचलनसे एक्स औसत 95% संभावना के साथ यह μ को कवर करेगा – सामान्य जनसंख्या का औसत,जिससे यह लिया गया है नमूना. ये दोनों कथन समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा कथन हमें निर्माण करने की अनुमति देता है विश्वास अंतराल.

इसके अलावा, आइए अंतराल को स्पष्ट करें: एक यादृच्छिक चर वितरित किया गया सामान्य कानून, 95% संभावना के साथ अंतराल +/- 1.960 के भीतर आता है मानक विचलन,नहीं +/- 2 मानक विचलन. इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), सेमी। उदाहरण फ़ाइल शीट अंतराल.

अब हम एक संभाव्य कथन तैयार कर सकते हैं जो हमें बनाने में मदद करेगा विश्वास अंतराल:
"संभावना है कि आबादी मतलबसे स्थित है नमूना औसत 1,960 के भीतर" नमूना माध्य के मानक विचलन", 95% के बराबर"।

कथन में उल्लिखित संभाव्यता मान का एक विशेष नाम है , जिससे सम्बंधित हैएक सरल अभिव्यक्ति द्वारा महत्व स्तर α (अल्फा)। विश्वास स्तर =1 -α . हमारे मामले में महत्वपूर्ण स्तर α =1-0,95=0,05 .

अब, इस संभाव्य कथन के आधार पर, हम गणना के लिए एक अभिव्यक्ति लिखते हैं विश्वास अंतराल:

जहां Z α/2 – मानक सामान्य वितरण(यादृच्छिक चर का यह मान जेड, क्या पी(जेड>=जेड α/2 )=α/2).

टिप्पणी: ऊपरी α/2-मात्राचौड़ाई को परिभाषित करता है विश्वास अंतरालवी मानक विचलन नमूना माध्य। ऊपरी α/2-मात्रा मानक सामान्य वितरणहमेशा 0 से अधिक, जो बहुत सुविधाजनक है।

हमारे मामले में, α=0.05 के साथ, ऊपरी α/2-मात्रा 1.960 के बराबर है। अन्य महत्व स्तरों के लिए α (10%; 1%) ऊपरी α/2-मात्रा जेड α/2 सूत्र =NORM.ST.REV(1-α/2) या, यदि ज्ञात हो, का उपयोग करके गणना की जा सकती है विश्वास स्तर, =NORM.ST.OBR((1+विश्वास स्तर)/2).

आमतौर पर निर्माण करते समय माध्य का अनुमान लगाने के लिए आत्मविश्वास अंतरालकेवल उपयोग ऊपरी α/2-मात्रात्मकऔर उपयोग न करें निचला α/2-मात्रात्मक. ऐसा इसलिए संभव है क्योंकि मानक सामान्य वितरण x अक्ष के बारे में सममित रूप से ( इसका वितरण घनत्वके बारे में सममित औसत, यानी 0). इसलिए गणना करने की कोई जरूरत नहीं है निचला α/2-मात्रा(इसे बस α कहा जाता है /2-मात्रात्मक), क्योंकि यह बराबर है ऊपरी α/2-मात्रात्मकऋण चिह्न के साथ.

आइए हम याद करें कि, मान x के वितरण के आकार के बावजूद, संगत यादृच्छिक चर एक्स औसतवितरित लगभग अच्छा N(μ;σ 2 /n) (इसके बारे में लेख देखें)। इसलिए, सामान्य तौर पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए विश्वास अंतरालकेवल एक अनुमान है. यदि मान x को वितरित किया जाता है सामान्य कानून N(μ;σ 2 /n), फिर के लिए अभिव्यक्ति विश्वास अंतरालसही है।

MS EXCEL में कॉन्फिडेंस अंतराल गणना

आइए समस्या का समाधान करें.
इनपुट सिग्नल के लिए इलेक्ट्रॉनिक घटक का प्रतिक्रिया समय डिवाइस की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। एक इंजीनियर 95% के आत्मविश्वास स्तर पर औसत प्रतिक्रिया समय के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करना चाहता है। पिछले अनुभव से, इंजीनियर जानता है कि प्रतिक्रिया समय का मानक विचलन 8 एमएस है। यह ज्ञात है कि प्रतिक्रिया समय का मूल्यांकन करने के लिए, इंजीनियर ने 25 माप किए, औसत मूल्य 78 एमएस था।

समाधान: एक इंजीनियर किसी इलेक्ट्रॉनिक उपकरण का प्रतिक्रिया समय जानना चाहता है, लेकिन वह समझता है कि प्रतिक्रिया समय एक निश्चित मान नहीं है, बल्कि एक यादृच्छिक चर है जिसका अपना वितरण होता है। इसलिए, वह जो सबसे अच्छी उम्मीद कर सकता है वह इस वितरण के मापदंडों और आकार को निर्धारित करना है।

दुर्भाग्य से, समस्या की स्थिति से हम प्रतिक्रिया समय वितरण के आकार को नहीं जानते हैं (ऐसा होना जरूरी नहीं है)। सामान्य). , यह वितरण भी अज्ञात है। वही तो जाना जाता है मानक विचलनσ=8. इसलिए, जबकि हम संभावनाओं की गणना और निर्माण नहीं कर सकते विश्वास अंतराल.

हालाँकि, इस तथ्य के बावजूद कि हम वितरण को नहीं जानते हैं समय अलग प्रतिक्रिया, हम उसके अनुसार जानते हैं सीपीटी, नमूने का वितरण औसत प्रतिक्रिया समयलगभग है सामान्य(हम मान लेंगे कि शर्तें सीपीटीकिया जाता है, क्योंकि आकार नमूनेकाफी बड़ा (n=25)) .

इसके अतिरिक्त, औसतयह वितरण बराबर है औसत मूल्यएकल प्रतिक्रिया का वितरण, अर्थात μ. ए मानक विचलनइस वितरण की गणना (σ/√n) सूत्र =8/ROOT(25) का उपयोग करके की जा सकती है।

यह भी ज्ञात हुआ कि इंजीनियर को प्राप्त हुआ बिंदु लागतपैरामीटर μ 78 एमएस (एक्स औसत) के बराबर। इसलिए, अब हम संभावनाओं की गणना कर सकते हैं, क्योंकि हम वितरण का स्वरूप जानते हैं ( सामान्य) और इसके पैरामीटर (X avg और σ/√n)।

इंजीनियर जानना चाहता है अपेक्षित मूल्यμ प्रतिक्रिया समय वितरण। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह μ के बराबर है औसत प्रतिक्रिया समय के नमूना वितरण की गणितीय अपेक्षा. अगर हम उपयोग करते हैं सामान्य वितरण N(X avg; σ/√n), तो वांछित μ लगभग 95% की संभावना के साथ +/-2*σ/√n की सीमा में होगा।

महत्वपूर्ण स्तर 1-0.95=0.05 के बराबर है।

अंत में, आइए बाएँ और दाएँ बॉर्डर खोजें विश्वास अंतराल.
बाईं सीमा: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/रूट(25) = 74,864
दाहिनी सीमा: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/रूट(25)=81.136

बाईं सीमा: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/रूट(25))
दाहिनी सीमा: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/रूट(25))

उत्तर: विश्वास अंतरालपर 95% आत्मविश्वास स्तर और σ=8मिसेके बराबर होती है 78+/-3.136 एमएस.

में सिग्मा शीट पर उदाहरण फ़ाइलज्ञात, गणना और निर्माण के लिए एक प्रपत्र बनाया दोहरा विश्वास अंतरालमनमानी के लिए नमूनेदिए गए σ और के साथ स्तर का महत्व.

कॉन्फिडेंस.नॉर्म() फ़ंक्शन

यदि मान नमूनेके दायरे में हैं बी20:बी79 , ए महत्वपूर्ण स्तर 0.05 के बराबर; फिर MS Excel सूत्र:
=औसत(बी20:बी79)-आत्मविश्वास.मानदंड(0.05;σ; गिनती(बी20:बी79))
बाईं सीमा वापस कर देंगे विश्वास अंतराल.

उसी सीमा की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
=औसत(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/रूट(COUNT(B20:B79))

टिप्पणी: CONFIDENCE.NORM() फ़ंक्शन MS EXCEL 2010 में दिखाई दिया। MS EXCEL के पुराने संस्करणों में, TRUST() फ़ंक्शन का उपयोग किया गया था।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल - यह डेटा से गणना किया गया एक अंतराल है, जिसमें ज्ञात संभावना के साथ, सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा शामिल होती है। गणितीय अपेक्षा के लिए एक प्राकृतिक अनुमान उसके देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है। इसलिए, पूरे पाठ में हम "औसत" और "औसत मूल्य" शब्दों का उपयोग करेंगे। आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने की समस्याओं में, सबसे अधिक बार एक उत्तर की आवश्यकता होती है जैसे "औसत संख्या का विश्वास अंतराल [किसी विशेष समस्या में मूल्य] [छोटे मूल्य] से [बड़े मूल्य] तक होता है।" आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करके, आप न केवल औसत मूल्यों का मूल्यांकन कर सकते हैं, बल्कि सामान्य जनसंख्या की किसी विशेष विशेषता के अनुपात का भी मूल्यांकन कर सकते हैं। औसत मान, फैलाव, मानक विचलन और त्रुटि, जिसके माध्यम से हम नई परिभाषाओं और सूत्रों पर पहुंचेंगे, पाठ में चर्चा की गई है नमूने और जनसंख्या के लक्षण .

माध्य के बिंदु और अंतराल अनुमान

यदि जनसंख्या के औसत मूल्य का अनुमान किसी संख्या (बिंदु) द्वारा लगाया जाता है, तो एक विशिष्ट औसत, जिसकी गणना टिप्पणियों के नमूने से की जाती है, को जनसंख्या के अज्ञात औसत मूल्य के अनुमान के रूप में लिया जाता है। इस मामले में, नमूना माध्य का मान - एक यादृच्छिक चर - सामान्य जनसंख्या के माध्य मान से मेल नहीं खाता है। इसलिए, नमूना माध्य इंगित करते समय, आपको साथ ही नमूना त्रुटि भी इंगित करनी होगी। नमूनाकरण त्रुटि का माप मानक त्रुटि है, जिसे माध्य के समान इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, निम्नलिखित संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है: .

यदि औसत के अनुमान को एक निश्चित संभाव्यता के साथ जोड़ने की आवश्यकता है, तो जनसंख्या में रुचि के पैरामीटर का आकलन एक संख्या से नहीं, बल्कि एक अंतराल द्वारा किया जाना चाहिए। एक विश्वास अंतराल एक ऐसा अंतराल है जिसमें, एक निश्चित संभावना के साथ पीअनुमानित जनसंख्या सूचक का मान ज्ञात किया जाता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल जिसमें यह संभावित है पी = 1 - α यादृच्छिक चर पाया जाता है, जिसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

,

α = 1 - पी, जो सांख्यिकी पर लगभग किसी भी पुस्तक के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, जनसंख्या माध्य और विचरण ज्ञात नहीं हैं, इसलिए जनसंख्या विचरण को नमूना विचरण से और जनसंख्या माध्य को नमूना माध्य से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। इस प्रकार, अधिकांश मामलों में विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

.

जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए आत्मविश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग किया जा सकता है

• जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात है;
• या जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात है, लेकिन नमूना आकार 30 से अधिक है।

नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का निष्पक्ष अनुमान है। बदले में, नमूना विचरण जनसंख्या भिन्नता का निष्पक्ष अनुमान नहीं है। नमूना विचरण सूत्र, नमूना आकार में जनसंख्या विचरण का निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए एनद्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए एन-1.

उदाहरण 1।एक निश्चित शहर में यादृच्छिक रूप से चुने गए 100 कैफे से जानकारी एकत्र की गई कि उनमें कर्मचारियों की औसत संख्या 4.6 के मानक विचलन के साथ 10.5 है। कैफे कर्मचारियों की संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

इस प्रकार, कैफे कर्मचारियों की औसत संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल 9.6 से 11.4 तक था।

उदाहरण 2. 64 अवलोकनों की जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, निम्नलिखित कुल मूल्यों की गणना की गई:

प्रेक्षणों में मानों का योग,

माध्य से मानों के वर्ग विचलन का योग .

गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें।

आइए मानक विचलन की गणना करें:

,

आइए औसत मूल्य की गणना करें:

.

हम विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

इस प्रकार, इस नमूने की गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल 7.484 से 11.266 तक था।

उदाहरण 3. 100 अवलोकनों के यादृच्छिक जनसंख्या नमूने के लिए, परिकलित माध्य 15.2 है और मानक विचलन 3.2 है। अपेक्षित मूल्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें, फिर 99% विश्वास अंतराल की। यदि नमूना शक्ति और इसकी भिन्नता अपरिवर्तित रहती है और आत्मविश्वास गुणांक बढ़ता है, तो क्या आत्मविश्वास अंतराल संकीर्ण या चौड़ा होगा?

हम इन मानों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल 14.57 से 15.82 तक था।

हम फिर से इन मानों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,01 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के माध्य के लिए 99% विश्वास अंतराल 14.37 से 16.02 तक था।

जैसा कि हम देखते हैं, जैसे-जैसे विश्वास गुणांक बढ़ता है, मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य भी बढ़ता है, और परिणामस्वरूप, अंतराल के शुरुआती और समाप्ति बिंदु माध्य से आगे स्थित होते हैं, और इस प्रकार गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल बढ़ता है .

विशिष्ट गुरुत्व के बिंदु और अंतराल अनुमान

कुछ नमूना विशेषता के हिस्से की व्याख्या शेयर के बिंदु अनुमान के रूप में की जा सकती है पीसामान्य जनसंख्या में समान विशेषताएँ। यदि इस मान को संभाव्यता के साथ संबद्ध करने की आवश्यकता है, तो विशिष्ट गुरुत्व के विश्वास अंतराल की गणना की जानी चाहिए पीसंभाव्यता के साथ जनसंख्या में विशेषता पी = 1 - α :

.

उदाहरण 4.किसी शहर में दो उम्मीदवार हैं एऔर बीमेयर के लिए दौड़ रहे हैं. 200 शहर निवासियों का यादृच्छिक सर्वेक्षण किया गया, जिनमें से 46% ने जवाब दिया कि वे उम्मीदवार को वोट देंगे ए, 26% - उम्मीदवार के लिए बीऔर 28% को नहीं पता कि वे किसे वोट देंगे। उम्मीदवार का समर्थन करने वाले शहर निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ए.

सेवा का उद्देश्य. इस सेवा का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं:

• सामान्य माध्य के लिए विश्वास अंतराल, विचरण के लिए विश्वास अंतराल;
• मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल, सामान्य शेयर के लिए विश्वास अंतराल;

उदाहरण क्रमांक 1. एक सामूहिक फार्म पर, 1000 भेड़ों के कुल झुंड में से, 100 भेड़ों को चयनात्मक नियंत्रण कतरन से गुजरना पड़ा। परिणामस्वरूप, प्रति भेड़ औसतन 4.2 किलोग्राम ऊन की कतरन स्थापित की गई। प्रति भेड़ औसत ऊन कतरन का निर्धारण करते समय नमूने की औसत वर्ग त्रुटि 0.99 की संभावना के साथ निर्धारित करें और यदि भिन्नता 2.5 है तो कतरनी मूल्य किस सीमा के भीतर निहित है। नमूना गैर-दोहरावदार है.
उदाहरण क्रमांक 2. मॉस्को उत्तरी सीमा शुल्क के पद पर आयातित उत्पादों के एक बैच से, उत्पाद "ए" के 20 नमूने यादृच्छिक दोहराया नमूने द्वारा लिए गए थे। परीक्षण के परिणामस्वरूप, नमूने में उत्पाद "ए" की औसत नमी सामग्री स्थापित की गई, जो 1% के मानक विचलन के साथ 6% के बराबर निकली।
आयातित उत्पादों के पूरे बैच में उत्पाद की औसत नमी सामग्री की सीमा 0.683 संभावना के साथ निर्धारित करें।
उदाहरण संख्या 3. 36 छात्रों के एक सर्वेक्षण से पता चला कि शैक्षणिक वर्ष के दौरान उनके द्वारा पढ़ी गई पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या 6 के बराबर थी। यह मानते हुए कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की संख्या 6 के बराबर मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, खोजें : ए) इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.99 अंतराल अनुमान की विश्वसनीयता के साथ; बी) हम किस संभावना के साथ कह सकते हैं कि इस नमूने से गणना की गई प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या गणितीय अपेक्षा से पूर्ण मूल्य में 2 से अधिक नहीं भटकेगी।

आत्मविश्वास अंतराल का वर्गीकरण

नमूना प्रकार के अनुसार:

1. अनंत नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
2. अंतिम नमूने के लिए विश्वास अंतराल;

यादृच्छिक नमूनाकरण के लिए औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना

औसत नमूनाकरण त्रुटि सूत्र
पुनः चयन		चयन दोहराएँ
औसत के लिए	शेयर के लिए	औसत के लिए	शेयर के लिए

विशुद्ध रूप से यादृच्छिक नमूनाकरण विधि का उपयोग करके नमूना आकार की गणना के लिए सूत्र