किसी संख्या से मूल कैसे निकाले. इस विषय पर शोध कार्य: "कैलकुलेटर के बिना बड़ी संख्याओं से वर्गमूल निकालना"

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बड़ी संख्या से मूल निकालना. प्रिय मित्रों!इस लेख में हम आपको दिखाएंगे कि बिना कैलकुलेटर के बड़ी संख्या का मूल कैसे निकाला जाता है। यह न केवल कुछ प्रकार की यूएसई समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है (ऐसे हैं - आंदोलन के लिए), बल्कि सामान्य गणितीय विकास के लिए भी, इस विश्लेषणात्मक तकनीक को जानना वांछनीय है।

ऐसा प्रतीत होता है कि सब कुछ सरल है: गुणनखंडन और निष्कर्षण। कोई बात नहीं है। उदाहरण के लिए, संख्या 291600, विस्तारित होने पर, गुणनफल देगी:

हम गणना करते हैं:

एक है लेकिन! यह विधि अच्छी है यदि भाजक 2, 3, 4 इत्यादि आसानी से निर्धारित किए जा सकें। लेकिन क्या होगा यदि जिस संख्या से हम मूल निकालते हैं वह अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हो? उदाहरण के लिए, 152881 संख्याओं 17, 17, 23, 23 का गुणनफल है। इन विभाजकों को तुरंत खोजने का प्रयास करें।

हम जिस विधि पर विचार कर रहे हैं उसका सार- यह शुद्ध विश्लेषण है. संचित कौशल से जड़ शीघ्र मिल जाती है। यदि कौशल पर काम नहीं किया गया है, लेकिन दृष्टिकोण को सरलता से समझा जाता है, तो यह थोड़ा धीमा है, लेकिन फिर भी निर्धारित है।

आइए 190969 का मूल लें।

सबसे पहले, आइए यह निर्धारित करें कि हमारा परिणाम किन संख्याओं (सौ के गुणज) के बीच है।

जाहिर है, किसी दी गई संख्या के मूल का परिणाम 400 से 500 के बीच होता है,क्योंकि

400 2 =160000 और 500 2 =250000

वास्तव में:

बीच में, 160,000 या 250,000 के करीब?

संख्या 190969 बीच में कहीं है, लेकिन फिर भी 160000 के करीब है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे रूट का परिणाम 450 से कम होगा। आइए जाँच करें:

वास्तव में, यह 190,969 से 450 से कम है< 202 500.

आइए अब संख्या 440 की जाँच करें:

अतः हमारा परिणाम 440 से कम है 190 969 < 193 600.

संख्या 430 की जाँच हो रही है:

हमने स्थापित किया है कि इस रूट का परिणाम 430 से 440 तक की सीमा में है।

1 या 9 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 1 पर समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 21 गुना 21 बराबर 441.

2 या 8 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 4 पर समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 18 गुना 18 बराबर 324 है।

5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 5 पर समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 25 गुना 25 बराबर 625.

4 या 6 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 6 पर समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 26 गुना 26 बराबर 676 है।

3 या 7 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 9 पर समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 17 गुना 17 बराबर 289.

चूँकि संख्या 190969 संख्या 9 पर समाप्त होती है, तो यह गुणनफल या तो 433 या 437 होता है।

*केवल वे ही, वर्ग करने पर, अंत में 9 दे सकते हैं।

हम जाँच:

तो मूल का परिणाम 437 होगा.

अर्थात्, हमें एक प्रकार से सही उत्तर "महसूस" हुआ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक कॉलम में अधिकतम 5 क्रियाएं करना आवश्यक है। शायद आप तुरंत मुद्दे पर पहुंच जाएंगे, या आप केवल तीन कार्य करेंगे। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप संख्या का प्रारंभिक अनुमान कितना सटीक लगाते हैं।

148996 से अपनी स्वयं की जड़ निकालें

समस्या में ऐसा विभेदक प्राप्त होता है:

मोटर जहाज नदी के साथ-साथ गंतव्य तक 336 किमी चलता है और पार्किंग के बाद प्रस्थान बिंदु पर लौट आता है। शांत पानी में जहाज की गति ज्ञात कीजिए, यदि धारा की गति 5 किमी/घंटा है, तो पार्किंग 10 घंटे तक चलती है, और जहाज प्रस्थान के 48 घंटे बाद प्रस्थान बिंदु पर वापस आ जाता है। अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।

समाधान देखें

मूल का परिणाम संख्या 300 और 400 के बीच है:

300 2 =90000 400 2 =160000

दरअसल, 90000<148996<160000.

आगे के तर्क का सार यह निर्धारित करना है कि संख्या 148996 इन संख्याओं के सापेक्ष कैसे स्थित (दूरी) है।

अंतरों की गणना करें 148996 - 90000=58996 और 160000 - 148996=11004।

यह पता चला है कि 148996, 160000 के करीब (बहुत करीब) है। इसलिए, रूट का परिणाम निश्चित रूप से 350 और यहां तक ​​कि 360 से भी अधिक होगा।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारा परिणाम 370 से अधिक है। इसके अलावा, यह स्पष्ट है: चूंकि 148996 संख्या 6 पर समाप्त होता है, इसका मतलब है कि आपको 4 या 6 में समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग करना होगा। *केवल इन संख्याओं का वर्ग करने पर, दिया जाता है अंत 6.

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पी.एस.: यदि आप सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

जड़ एनएक प्राकृतिक संख्या की वां घात एनंबर पर कॉल किया जाता है एनजिसकी th शक्ति बराबर है ए. मूल को इस प्रकार दर्शाया गया है: . प्रतीक √ को कहा जाता है मूल चिन्हया कट्टरपंथी का संकेत, संख्या ए - मूल संख्या, एन - मूल प्रतिपादक.

वह क्रिया जिसके द्वारा किसी दिए गए अंश का मूल ज्ञात किया जाता है, कहलाती है जड़ निष्कर्षण.

चूंकि, जड़ की अवधारणा की परिभाषा के अनुसार एनवें डिग्री

वह जड़ निष्कर्षण- घातांक के विपरीत क्रिया, जिसकी सहायता से दी गई डिग्री के अनुसार और दिए गए घातांक के अनुसार डिग्री का आधार पाया जाता है।

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल एवह संख्या है जिसका वर्ग है ए.

वह संक्रिया जिसके द्वारा वर्गमूल की गणना की जाती है, वर्गमूल लेना कहलाती है।

वर्गमूल निकालना- वर्ग करने की विपरीत क्रिया (या किसी संख्या को दूसरी घात तक बढ़ाना)। किसी संख्या का वर्ग करते समय, आपको उसका वर्ग ज्ञात करना होगा। वर्गमूल निकालने पर संख्या का वर्ग ज्ञात हो जाता है, उससे संख्या स्वयं ज्ञात करना आवश्यक है।

इसलिए, की गई कार्रवाई की शुद्धता की जांच करने के लिए, आप पाए गए रूट को दूसरी डिग्री तक बढ़ा सकते हैं, और यदि डिग्री रूट संख्या के बराबर है, तो रूट सही पाया गया था।

एक उदाहरण के साथ वर्गमूल निकालने और उसके सत्यापन पर विचार करें। हम गणना करते हैं या (मूल्य 2 के साथ मूल घातांक आमतौर पर नहीं लिखा जाता है, क्योंकि 2 सबसे छोटा घातांक है और यह याद रखना चाहिए कि यदि मूल चिह्न के ऊपर कोई घातांक नहीं है, तो घातांक 2 निहित है), इसके लिए हमें इसकी आवश्यकता है संख्या ज्ञात करने के लिए, जब इसे दूसरे तक बढ़ाया जाता है तो डिग्री 49 होगी। जाहिर है, यह संख्या 7 है

7 7 = 7 2 = 49.

वर्गमूल की गणना

यदि दी गई संख्या 100 या उससे कम है, तो उसके वर्गमूल की गणना गुणन तालिका का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 25 का वर्गमूल 5 है क्योंकि 5 x 5 = 25.

अब कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना किसी भी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के तरीके पर विचार करें। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 4489 लें और चरण दर चरण गणना करना शुरू करें।

1. आइए निर्धारित करें कि वांछित रूट में कौन से अंक शामिल होने चाहिए। चूँकि 10 2 = 10 10 = 100, और 100 2 = 100 100 = 10000, यह स्पष्ट हो जाता है कि वांछित रूट 10 से अधिक और 100 से कम होना चाहिए, अर्थात। दहाई और इकाइयों से मिलकर बनता है।
2. मूल की दहाई की संख्या ज्ञात कीजिए। दहाई को गुणा करने पर सैकड़ा बनता है, हमारी संख्या 44 है, इसलिए मूल में इतनी दहाई होनी चाहिए कि दहाई का वर्ग लगभग 44 सैकड़ा दे। इसलिए, मूल में 6 दहाई होनी चाहिए, क्योंकि 60 2 = 3600, और 70 2 = 4900 (यह बहुत अधिक है)। इस प्रकार, हमें पता चला कि हमारी जड़ में 6 दहाई और अनेक इकाई हैं, क्योंकि यह 60 से 70 के बीच है।
3. गुणन तालिका मूल में इकाइयों की संख्या निर्धारित करने में मदद करेगी। संख्या 4489 को देखने पर हम देखते हैं कि इसमें अंतिम अंक 9 है। अब हम गुणन सारणी को देखते हैं और देखते हैं कि 9 इकाइयाँ केवल संख्या 3 और 7 का वर्ग करके प्राप्त की जा सकती हैं। इसलिए संख्या का मूल 63 होगा या 67.
4. हम 63 और 67 प्राप्त संख्याओं को वर्ग करके जाँचते हैं: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489।

अधिमानतः इंजीनियरिंग - वह जिसमें रूट चिन्ह वाला एक बटन हो: "√"। आमतौर पर, रूट निकालने के लिए, संख्या को टाइप करना ही पर्याप्त है, और फिर बटन दबाएं: "√"।

अधिकांश आधुनिक मोबाइल फोन में रूट निष्कर्षण फ़ंक्शन के साथ एक "कैलकुलेटर" एप्लिकेशन होता है। टेलीफोन कैलकुलेटर का उपयोग करके किसी संख्या का मूल ज्ञात करने की प्रक्रिया उपरोक्त के समान है।
उदाहरण।
2 से खोजें.
हम कैलकुलेटर चालू करते हैं (यदि यह बंद है) और क्रमिक रूप से दो और रूट ("2", "√") की छवि वाले बटन दबाते हैं। "=" कुंजी दबाना आमतौर पर आवश्यक नहीं है। परिणामस्वरूप, हमें 1.4142 जैसी एक संख्या मिलती है (वर्णों की संख्या और "गोलाकारता" बिट गहराई और कैलकुलेटर सेटिंग्स पर निर्भर करती है)।
ध्यान दें: मूल खोजने का प्रयास करते समय, कैलकुलेटर आमतौर पर एक त्रुटि देता है।

यदि आपके पास कंप्यूटर तक पहुंच है, तो किसी संख्या का मूल खोजना बहुत आसान है।
1. आप लगभग किसी भी कंप्यूटर पर उपलब्ध कैलकुलेटर एप्लिकेशन का उपयोग कर सकते हैं। Windows XP के लिए, यह प्रोग्राम निम्नानुसार चलाया जा सकता है:
"प्रारंभ" - "सभी कार्यक्रम" - "सहायक उपकरण" - "कैलकुलेटर"।
दृश्य को "सामान्य" पर सेट करना बेहतर है। वैसे, एक वास्तविक कैलकुलेटर के विपरीत, रूट निकालने के बटन को "sqrt" के रूप में चिह्नित किया जाता है, "√" के रूप में नहीं।

यदि आप निर्दिष्ट तरीके से कैलकुलेटर तक नहीं पहुंच पाते हैं, तो आप मानक कैलकुलेटर "मैन्युअल रूप से" शुरू कर सकते हैं:
"प्रारंभ" - "भागो" - "कैल्क"।
2. किसी संख्या का मूल ज्ञात करने के लिए आप अपने कंप्यूटर पर इंस्टॉल किए गए कुछ प्रोग्राम का भी उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा, प्रोग्राम का अपना स्वयं का अंतर्निहित कैलकुलेटर है।

उदाहरण के लिए, एमएस एक्सेल एप्लिकेशन के लिए, आप क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम कर सकते हैं:
हम एमएस एक्सेल शुरू करते हैं।

हम किसी भी सेल में वह नंबर लिखते हैं जिससे आप रूट निकालना चाहते हैं।

सेल पॉइंटर को किसी भिन्न स्थान पर ले जाएँ

फ़ंक्शन चयन बटन दबाएं (एफएक्स)

"रूट" फ़ंक्शन का चयन करें

फ़ंक्शन तर्क के रूप में, एक संख्या के साथ एक सेल निर्दिष्ट करें

"ओके" या "एंटर" दबाएँ
इस पद्धति का लाभ यह है कि अब यह किसी संख्या के साथ सेल में कोई भी मान दर्ज करने के लिए पर्याप्त है, जैसे कि फ़ंक्शन तुरंत दिखाई देता है।
टिप्पणी।
किसी संख्या का मूल ज्ञात करने के कई अन्य, अधिक अनोखे तरीके हैं। उदाहरण के लिए, एक "कोना", स्लाइड नियम या ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करते हुए। हालाँकि, इन विधियों पर उनकी जटिलता और व्यावहारिक अनुपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया गया है।

संबंधित वीडियो

स्रोत:

• किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें

कभी-कभी ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आपको कोई गणितीय गणना करनी होती है, जिसमें किसी संख्या से वर्गमूल और उच्च डिग्री की जड़ें निकालना शामिल होता है। "a" का "n" मूल वह संख्या है जिसकी nवीं घात "a" है।

अनुदेश

का मूल "n" खोजने के लिए, निम्नलिखित कार्य करें।

अपने कंप्यूटर पर "प्रारंभ" - "सभी प्रोग्राम" - "सहायक उपकरण" पर क्लिक करें। फिर "उपयोगिताएँ" उपधारा दर्ज करें और "कैलकुलेटर" चुनें। आप इसे मैन्युअल रूप से कर सकते हैं: "स्टार्ट" पर क्लिक करें, "रन" लाइन में "कैल्क" टाइप करें और "एंटर" दबाएँ। खुलेगा। किसी भी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, इसे कैलकुलेटर लाइन में दर्ज करें और "sqrt" लेबल वाला बटन दबाएँ। कैलकुलेटर दर्ज संख्या से दूसरी डिग्री का मूल निकालेगा, जिसे वर्ग कहा जाता है।

रूट निकालने के लिए, जिसकी डिग्री दूसरे से अधिक है, आपको एक अलग प्रकार के कैलकुलेटर का उपयोग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर के इंटरफ़ेस में "देखें" बटन पर क्लिक करें और मेनू से "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" लाइन का चयन करें। इस प्रकार के कैलकुलेटर में nवीं डिग्री के मूल की गणना करने के लिए आवश्यक कार्य होते हैं।

तीसरी डिग्री () का मूल निकालने के लिए, "इंजीनियरिंग" कैलकुलेटर पर वांछित संख्या टाइप करें और "3√" बटन दबाएँ। तीसरे से बड़ा रूट प्राप्त करने के लिए, वांछित संख्या टाइप करें, "y√x" आइकन वाला बटन दबाएं और फिर संख्या - घातांक दर्ज करें। उसके बाद, बराबर चिह्न ("= बटन) दबाएं और आपको वह रूट मिल जाएगा जिसे आप ढूंढ रहे हैं।

यदि आपके कैलकुलेटर में "y√x" फ़ंक्शन नहीं है, तो निम्नलिखित।

घनमूल निकालने के लिए, रेडिकल अभिव्यक्ति दर्ज करें, फिर शिलालेख "इन्व" के बगल में स्थित बॉक्स को चेक करें। इस क्रिया से, आप कैलकुलेटर बटनों के कार्यों को उलट देंगे, यानी, क्यूब बटन पर क्लिक करके, आप क्यूब रूट निकाल लेंगे। उस बटन पर आप

और क्या आपके पास है कैलकुलेटर पर निर्भरता? या क्या आपको लगता है कि, उदाहरण के लिए, कैलकुलेटर या वर्गों की तालिका का उपयोग करने के अलावा, गणना करना बहुत मुश्किल है।

ऐसा होता है कि स्कूली बच्चे कैलकुलेटर से बंधे होते हैं और यहां तक ​​कि पोषित बटन दबाकर 0.7 को 0.5 से गुणा कर देते हैं। वे कहते हैं, ठीक है, मैं अभी भी गणना करना जानता हूं, लेकिन अब मैं समय बचाऊंगा... परीक्षा होगी... फिर मैं तनावग्रस्त हो जाऊंगा...

तो सच तो यह है कि वैसे भी परीक्षा में बहुत सारे "तनावपूर्ण क्षण" होंगे... जैसा कि कहा जाता है, पानी पत्थर को घिस देता है। तो परीक्षा में, छोटी-छोटी चीज़ें, यदि उनमें से बहुत सारी हों, आपको निराश कर सकती हैं...

आइए संभावित परेशानियों की संख्या को कम करें।

बड़ी संख्या का वर्गमूल निकालना

अब हम केवल उस स्थिति के बारे में बात करेंगे जब वर्गमूल निकालने का परिणाम पूर्णांक हो।

मामला एक

तो, आइए हमें हर तरह से (उदाहरण के लिए, विवेचक की गणना करते समय) 86436 के वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता है।

हम संख्या 86436 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करेंगे। हम 2 से विभाजित करते हैं, हमें 43218 मिलता है; पुनः हम 2 से विभाजित करते हैं, - हमें 21609 प्राप्त होता है। संख्या 2 से अधिक विभाजित नहीं होती है। लेकिन चूंकि अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य है (सामान्यतया, यह देखा जा सकता है कि यह 9 से भी विभाज्य है)। . एक बार फिर हम 3 से भाग देते हैं, तो हमें 2401 प्राप्त होता है। 2401, 3 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है। पांच से विभाज्य नहीं (0 या 5 पर समाप्त नहीं होता)।

हमें 7 से विभाज्यता पर संदेह है। वास्तव में, ए,

तो, पूरा ऑर्डर!

केस 2

आइए हमें गणना करने की आवश्यकता है। ऊपर वर्णित तरीके से कार्य करना असुविधाजनक है। कारक बनाने की कोशिश की जा रही है...

संख्या 1849 2 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (यह सम नहीं है)...

यह 3 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (अंकों का योग 3 का गुणज नहीं है)...

यह 5 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (अंतिम अंक 5 या 0 नहीं है)...

यह 7 से पूरी तरह विभाज्य नहीं है, यह 11 से विभाज्य नहीं है, यह 13 से विभाज्य नहीं है... खैर, इस तरह सभी अभाज्य संख्याओं को समझने में हमें कितना समय लगेगा?

आइए थोड़ा अलग ढंग से बहस करें।

हम इसे समझते हैं

हमने खोज को सीमित कर दिया. अब हम 41 से 49 तक की संख्याओं को क्रमबद्ध करते हैं। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि चूँकि संख्या का अंतिम अंक 9 है, तो विकल्प 43 या 47 पर रुकना उचित है - केवल ये संख्याएँ, जब वर्गित की जाती हैं, तो अंतिम अंक देंगी 9.

खैर, यहाँ पहले से ही, निश्चित रूप से, हम 43 पर रुकते हैं। वास्तव में,

पी.एस.आखिर हम 0.7 को 0.5 से गुणा कैसे करते हैं?

आपको शून्य और चिह्नों को नज़रअंदाज करते हुए 5 को 7 से गुणा करना चाहिए और फिर दाएँ से बाएँ जाते हुए दो दशमलव स्थानों को अलग करना चाहिए। हमें 0.35 मिलता है।