त्रिफलकीय कोण का उपयोग करके पिरामिड के आयतन का सूत्र। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन के लिए सूत्र

सबसे सरल त्रि-आयामी आकृतियों में से एक त्रिकोणीय पिरामिड है, क्योंकि इसमें सबसे कम संख्या में चेहरे होते हैं जिनसे अंतरिक्ष में एक आकृति बनाई जा सकती है। इस लेख में हम उन सूत्रों को देखेंगे जिनका उपयोग त्रिकोणीय नियमित पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

त्रिकोणीय पिरामिड

सामान्य परिभाषा के अनुसार, पिरामिड एक बहुभुज है, जिसके सभी शीर्ष एक बिंदु से जुड़े होते हैं जो इस बहुभुज के तल में स्थित नहीं है। यदि उत्तरार्द्ध एक त्रिभुज है, तो संपूर्ण आकृति को त्रिभुजाकार पिरामिड कहा जाता है।

प्रश्न में पिरामिड में एक आधार (त्रिकोण) और तीन पार्श्व फलक (त्रिकोण) होते हैं। वह बिंदु जिस पर तीनों पार्श्व फलक जुड़े हुए हैं, आकृति का शीर्ष कहलाता है। इस शीर्ष से आधार पर डाला गया लंब पिरामिड की ऊंचाई है। यदि आधार के साथ लम्ब का प्रतिच्छेदन बिंदु आधार पर त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है, तो हम एक नियमित पिरामिड की बात करते हैं। नहीं तो तिरछा हो जायेगा.

जैसा कि कहा गया है, एक त्रिकोणीय पिरामिड का आधार एक सामान्य प्रकार का त्रिकोण हो सकता है। हालाँकि, यदि यह समबाहु है, और पिरामिड स्वयं सीधा है, तो वे एक नियमित त्रि-आयामी आकृति की बात करते हैं।

किसी भी एक के 4 फलक, 6 किनारे और 4 शीर्ष होते हैं। यदि सभी किनारों की लंबाई समान है, तो ऐसी आकृति को चतुष्फलक कहा जाता है।

सामान्य प्रकार

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड को लिखने से पहले, हम एक सामान्य प्रकार के पिरामिड के लिए इस भौतिक मात्रा के लिए एक अभिव्यक्ति देते हैं। यह अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखती है:

यहाँ S o आधार का क्षेत्रफल है, h आकृति की ऊँचाई है। यह समानता किसी भी प्रकार के पिरामिड बहुभुज आधार के साथ-साथ शंकु के लिए भी मान्य होगी। यदि आधार पर एक त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई a और ऊंचाई h o कम है, तो आयतन का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन के लिए सूत्र

त्रिभुज के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है। यह ज्ञात है कि इस त्रिभुज की ऊंचाई इसकी भुजा की लंबाई से समानता से संबंधित है:

पिछले पैराग्राफ में लिखे त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन के सूत्र में इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

वी = 1/6*ए*एच ओ *एच = √3/12*ए 2 *एच.

त्रिकोणीय आधार वाले एक नियमित पिरामिड का आयतन आधार के किनारे की लंबाई और आकृति की ऊंचाई पर निर्भर करता है।

चूँकि किसी भी नियमित बहुभुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसकी त्रिज्या विशिष्ट रूप से बहुभुज के किनारे की लंबाई निर्धारित करेगी, तो यह सूत्र संबंधित त्रिज्या r के संदर्भ में लिखा जा सकता है:

यह सूत्र पिछले सूत्र से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, यदि हम इस बात को ध्यान में रखें कि त्रिभुज की भुजा की लंबाई के माध्यम से परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या r अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है:

चतुष्फलक का आयतन निर्धारित करने की समस्या

हम दिखाएंगे कि विशिष्ट ज्यामिति समस्याओं को हल करते समय उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कैसे करें।

यह ज्ञात है कि एक चतुष्फलक के किनारे की लंबाई 7 सेमी है। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड-चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

याद रखें कि टेट्राहेड्रोन एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड है जिसमें सभी आधार एक दूसरे के बराबर होते हैं। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन के सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको दो मात्राओं की गणना करने की आवश्यकता है:

• त्रिभुज की भुजा की लंबाई;
• आकृति की ऊंचाई.

पहली मात्रा समस्या स्थितियों से ज्ञात होती है:

ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, चित्र में दिखाए गए आंकड़े पर विचार करें।

अंकित त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ कोण ABC 90° है। भुजा AC कर्ण है और इसकी लंबाई a है। सरल ज्यामितीय तर्क का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि भुजा BC की लंबाई है:

ध्यान दें कि लंबाई BC त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।

एच = एबी = √(एसी 2 - बीसी 2) = √(ए 2 - ए 2 /3) = ए*√(2/3)।

अब आप आयतन के संगत सूत्र में h और a को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

वी = √3/12*ए 2 *ए*√(2/3) = √2/12*ए 3।

इस प्रकार, हमने चतुष्फलक के आयतन का सूत्र प्राप्त कर लिया है। यह देखा जा सकता है कि आयतन केवल किनारे की लंबाई पर निर्भर करता है। यदि हम समस्या स्थितियों से मूल्य को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें उत्तर मिलता है:

वी = √2/12*7 3 ≈ 40.42 सेमी 3.

यदि हम इस मान की तुलना समान किनारे वाले घन के आयतन से करें, तो हम पाते हैं कि चतुष्फलक का आयतन 8.5 गुना कम है। यह इंगित करता है कि चतुष्फलक एक सघन आकृति है जो कुछ प्राकृतिक पदार्थों में पाई जाती है। उदाहरण के लिए, मीथेन अणु का आकार चतुष्फलकीय होता है, और हीरे में प्रत्येक कार्बन परमाणु चतुष्फलकीय बनाने के लिए चार अन्य परमाणुओं से जुड़ा होता है।

समरूप पिरामिड समस्या

आइए एक दिलचस्प ज्यामितीय समस्या हल करें। मान लीजिए कि एक निश्चित आयतन V 1 के साथ एक त्रिकोणीय नियमित पिरामिड है। मूल से तीन गुना छोटे आयतन वाला एक समरूप पिरामिड प्राप्त करने के लिए इस आकृति का आकार कितनी बार कम किया जाना चाहिए?

आइए मूल नियमित पिरामिड का सूत्र लिखकर समस्या का समाधान शुरू करें:

वी 1 = √3/12*ए 1 2 *एच 1।

मान लीजिए कि समस्या की स्थितियों के लिए आवश्यक आंकड़े का आयतन उसके मापदंडों को गुणांक k से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। हमारे पास है:

वी 2 = √3/12*के 2 *ए 1 2 *के*एच 1 = के 3 *वी 1।

चूँकि आंकड़ों के आयतन का अनुपात शर्त से ज्ञात होता है, हम गुणांक k का मान प्राप्त करते हैं:

के = ∛(वी 2 /वी 1) = ∛(1/3) ≈ 0.693।

ध्यान दें कि हम किसी भी प्रकार के पिरामिड के लिए गुणांक k के समान मान प्राप्त करेंगे, न कि केवल एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के लिए।

परिभाषा। पार्श्व किनारा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के पक्ष से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियाँ- ये पार्श्व फलकों की सामान्य भुजाएँ हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज के कोण होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाई- यह पिरामिड के ऊपर से आधार तक डाला गया एक लंब है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व मुख का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा गया है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र. पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड के गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र से मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिराया गया एक लंब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे आधार के तल पर समान कोण पर झुके हुए हैं।

पार्श्व किनारे तब बराबर होते हैं जब वे आधार के तल के साथ समान कोण बनाते हैं या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को उसके केंद्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हों, तो पार्श्व फलक के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियाँ आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के अक्षर समान होते हैं।

5. सभी पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल बराबर है।

6. सभी फलकों का डायहेड्रल (सपाट) कोण समान होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिबद्ध गोले का केंद्र किनारों के मध्य से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. आप एक गोले को पिरामिड में फिट कर सकते हैं। अंकित गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि उत्कीर्ण गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π के बराबर है या इसके विपरीत, एक कोण π/n के बराबर है, जहां n संख्या है पिरामिड के आधार पर कोणों की संख्या.

पिरामिड और गोले के बीच संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन तब किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन करना हमेशा संभव होता है।

यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा.

एक शंकु के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित हो।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

पिरामिड और सिलेंडर के बीच संबंध

एक पिरामिड को सिलेंडर में अंकित कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर स्थित है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार पर अंकित है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिड प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर अनुभाग तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े पिरामिड के समान होता है। पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (चतुष्फलक)एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन वे स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष पर तीन फलक और किनारे बने होते हैं त्रिकोणीय कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है चतुष्फलक का माध्यिका(जीएम).

बिमेडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड कहा जाता है जो स्पर्श नहीं करते (केएल)।

चतुष्फलक की सभी द्विमध्यरेखाएँ और मध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, द्विमध्यरेखाओं को आधे में विभाजित किया जाता है, और शीर्ष से शुरू करके मध्यिकाओं को 3:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा। तिरछा पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक किनारा आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है।

परिभाषा। न्यूनकोण पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। कुंठित पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसके चारों फलक समबाहु त्रिभुज हों। यह पाँच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलकीय कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी फलक का एपोटेम आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। समफलकीय चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनचतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की ओर गई सभी ऊंचाइयां (लंब) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा है।

परिभाषा। bipyramid- एक बहुफलक जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को काटा भी जा सकता है), जिसका आधार एक समान होता है और शीर्ष तल के विपरीत दिशा में स्थित होते हैं।

पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको कई सूत्रों को जानना होगा। आइए उन पर नजर डालें.

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - पहली विधि

किसी पिरामिड का आयतन उसके आधार की ऊंचाई और क्षेत्रफल का उपयोग करके पाया जा सकता है। वी = 1/3*एस*एच. इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि पिरामिड की ऊंचाई 10 सेमी है, और उसके आधार का क्षेत्रफल 25 सेमी 2 है, तो आयतन V = 1/3*25*10 = 1/3*250 के बराबर होगा = 83.3 सेमी 3

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - दूसरी विधि

यदि एक नियमित बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो इसका आयतन निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: V = na 2 h/12*tg(180/n), जहां a आधार पर स्थित बहुभुज की भुजा है , और n इसकी भुजाओं की संख्या है। उदाहरण के लिए: आधार एक नियमित षट्भुज है, अर्थात n = 6. चूँकि यह नियमित है, इसकी सभी भुजाएँ समान हैं, अर्थात सभी a समान हैं। मान लीजिए a = 10, और h - 15। हम संख्याओं को सूत्र में डालते हैं और एक अनुमानित उत्तर प्राप्त करते हैं - 1299 सेमी 3

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - तीसरी विधि

यदि एक समबाहु त्रिभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो इसका आयतन निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: V = ha 2 /4√3, जहां a समबाहु त्रिभुज की भुजा है। उदाहरण के लिए: पिरामिड की ऊंचाई 10 सेमी है, आधार का किनारा 5 सेमी है। आयतन V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3 के बराबर होगा। आमतौर पर, हर में क्या है गणना नहीं की जाती है और उसे उसी रूप में छोड़ दिया जाता है। आप अंश और हर दोनों को 4√ 3 से गुणा भी कर सकते हैं। हमें 1000√ 3/48 मिलता है। घटाने पर हमें 125√ 3/6 सेमी 3 प्राप्त होता है।

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - चौथी विधि

यदि पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है, तो इसका आयतन निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: V = 1/3*h*a 2, जहाँ a वर्ग की भुजाएँ हैं। उदाहरण के लिए: ऊंचाई - 5 सेमी, वर्गाकार भुजा - 3 सेमी। वी = 1/3*5*9 = 15 सेमी 3

पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - 5वीं विधि

यदि पिरामिड एक चतुष्फलक है, अर्थात इसके सभी फलक समबाहु त्रिभुज हैं, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग करके पिरामिड का आयतन ज्ञात कर सकते हैं: V = a 3 √2/12, जहां a चतुष्फलक का किनारा है। उदाहरण के लिए: चतुष्फलकीय किनारा = 7. वी = 7*7*7√2/12 = 343 सेमी 3

शब्द "पिरामिड" अनजाने में मिस्र के राजसी दिग्गजों से जुड़ा है, जो ईमानदारी से फिरौन की शांति की रक्षा करते थे। शायद इसीलिए हर कोई, यहाँ तक कि बच्चे भी, पिरामिड को स्पष्ट रूप से पहचानते हैं।

फिर भी, आइए इसे एक ज्यामितीय परिभाषा देने का प्रयास करें। आइए हम समतल पर कई बिंदुओं (A1, A2,..., An) और एक अन्य (E) की कल्पना करें जो इससे संबंधित नहीं है। इसलिए, यदि बिंदु E (शीर्ष) बिंदु A1, A2,..., An (आधार) द्वारा निर्मित बहुभुज के शीर्षों से जुड़ा है, तो आपको एक बहुफलक मिलता है, जिसे पिरामिड कहा जाता है। जाहिर है, पिरामिड के आधार पर बहुभुज में किसी भी संख्या में शीर्ष हो सकते हैं और उनकी संख्या के आधार पर पिरामिड को त्रिकोणीय, चतुर्भुज, पंचकोणीय आदि कहा जा सकता है।

यदि आप पिरामिड को करीब से देखेंगे, तो यह स्पष्ट हो जाएगा कि इसे दूसरे तरीके से भी क्यों परिभाषित किया गया है - इसके आधार पर एक बहुभुज के साथ एक ज्यामितीय आकृति के रूप में, और इसके पार्श्व चेहरों के रूप में एक सामान्य शीर्ष द्वारा एकजुट त्रिकोण।

चूँकि पिरामिड एक स्थानिक आकृति है, इसमें निम्नलिखित मात्रात्मक विशेषताएँ भी हैं, जैसा कि पिरामिड के आधार और उसकी ऊँचाई के गुणनफल के प्रसिद्ध समान तिहाई से गणना की जाती है:

सूत्र प्राप्त करते समय, एक पिरामिड के आयतन की गणना शुरू में एक त्रिकोणीय के लिए की जाती है, इस मान को समान आधार और ऊंचाई वाले त्रिकोणीय प्रिज्म के आयतन के साथ जोड़ने वाले एक स्थिर अनुपात को आधार के रूप में लिया जाता है, जो, जैसा कि यह पता चला है, है इस मात्रा का तीन गुना.

और चूंकि किसी भी पिरामिड को त्रिकोणीय में विभाजित किया गया है, और इसकी मात्रा प्रमाण के दौरान किए गए निर्माणों पर निर्भर नहीं करती है, दिए गए वॉल्यूम सूत्र की वैधता स्पष्ट है।

सभी पिरामिडों के बीच अलग खड़े सही पिरामिड हैं, जिनके आधार पर, इसे आधार के केंद्र में "समाप्त" होना चाहिए।

आधार पर एक अनियमित बहुभुज के मामले में, आधार के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आपको इसकी आवश्यकता होगी:

• इसे त्रिभुजों और वर्गों में तोड़ें;

• उनमें से प्रत्येक के क्षेत्रफल की गणना करें;

• प्राप्त डेटा जोड़ें.

पिरामिड के आधार पर एक नियमित बहुभुज के मामले में, इसके क्षेत्रफल की गणना तैयार सूत्रों का उपयोग करके की जाती है, इसलिए एक नियमित पिरामिड के आयतन की गणना काफी सरलता से की जाती है।

उदाहरण के लिए, एक चतुर्भुज पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, यदि यह नियमित है, तो आधार पर एक नियमित चतुर्भुज (वर्ग) की भुजा की लंबाई का वर्ग किया जाता है और, पिरामिड की ऊंचाई से गुणा किया जाता है, परिणामी उत्पाद को विभाजित किया जाता है तीन।

पिरामिड के आयतन की गणना अन्य मापदंडों का उपयोग करके की जा सकती है:

• एक पिरामिड में अंकित गेंद की त्रिज्या और उसके कुल सतह क्षेत्र के उत्पाद के एक तिहाई के रूप में;

• दो मनमाने ढंग से चुने गए क्रॉसिंग किनारों और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बीच की दूरी के उत्पाद के दो-तिहाई के रूप में जो शेष चार किनारों के मध्य बिंदु बनाता है।

पिरामिड के आयतन की गणना केवल उस स्थिति में की जाती है जब इसकी ऊंचाई किसी एक किनारे के किनारों से मेल खाती है, यानी आयताकार पिरामिड के मामले में।

पिरामिडों के बारे में बोलते हुए, हम काटे गए पिरामिडों को नज़रअंदाज नहीं कर सकते, जो पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल से काटने पर प्राप्त होते हैं। उनका आयतन पूरे पिरामिड और कटे हुए शीर्ष के आयतन के बीच के अंतर के लगभग बराबर है।

डेमोक्रिटस पिरामिड का आयतन खोजने वाले पहले व्यक्ति थे, हालाँकि बिल्कुल अपने आधुनिक रूप में नहीं, लेकिन हमें ज्ञात प्रिज्म के आयतन के 1/3 के बराबर था। आर्किमिडीज़ ने अपनी गणना पद्धति को "बिना प्रमाण के" कहा, क्योंकि डेमोक्रिटस ने पिरामिड को असीम रूप से पतली, समान प्लेटों से बनी एक आकृति के रूप में देखा था।

वेक्टर बीजगणित ने पिरामिड के शीर्षों के निर्देशांकों का उपयोग करके उसका आयतन ज्ञात करने के मुद्दे को भी "संबोधित" किया। वैक्टर ए, बी, सी के त्रिगुण पर बना एक पिरामिड दिए गए वैक्टर के मिश्रित उत्पाद के मापांक के छठे हिस्से के बराबर है।

यहां हम आयतन की अवधारणा से संबंधित उदाहरण देखेंगे। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन का सूत्र जानना चाहिए:

एस

एच - पिरामिड की ऊंचाई

आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है. लेकिन यूनिफ़ाइड स्टेट परीक्षा की अधिकांश समस्याओं में, स्थिति आमतौर पर नियमित पिरामिड के बारे में होती है। मैं आपको इसके एक गुण की याद दिलाना चाहता हूँ:

एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है

नियमित त्रिकोणीय, चतुर्भुज और षट्कोणीय पिरामिडों के प्रक्षेपण को देखें (शीर्ष दृश्य):

आप ब्लॉग पर जा सकते हैं, जहां पिरामिड का आयतन ज्ञात करने से संबंधित समस्याओं पर चर्चा की गई थी।आइए कार्यों पर विचार करें:

27087. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 1 के बराबर हैं और जिसकी ऊँचाई तीन के मूल के बराबर है।

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

आइए पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यह एक नियमित त्रिभुज है। आइए सूत्र का उपयोग करें - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

उत्तर: 0.25

27088. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 2 के बराबर हैं और जिसका आयतन तीन के मूल के बराबर है।

पिरामिड की ऊँचाई और उसके आधार की विशेषताएँ जैसी अवधारणाएँ आयतन सूत्र से संबंधित हैं:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

हम स्वयं आयतन जानते हैं, हम आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि हम त्रिभुज की भुजाओं को जानते हैं, जो कि आधार है। संकेतित मानों को जानकर हम आसानी से ऊंचाई ज्ञात कर सकते हैं।

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

इस प्रकार, इन मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम पिरामिड की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं:

ऊंचाई तीन है.

उत्तर: 3

27109. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में ऊँचाई 6 और पार्श्व किनारा 10 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

हम ऊंचाई जानते हैं. आपको आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आधार एक वर्ग है। हम इसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (नीले रंग में हाइलाइट किया गया):

वर्ग के केंद्र को बिंदु B से जोड़ने वाला खंड एक पैर है जो वर्ग के आधे विकर्ण के बराबर है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इस चरण की गणना कर सकते हैं:

इसका मतलब है BD = 16. आइए चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करें:

इस तरह:

इस प्रकार, पिरामिड का आयतन है:

उत्तर: 256

27178. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में ऊँचाई 12 और आयतन 200 है। इस पिरामिड का पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिए।

पिरामिड की ऊंचाई और उसका आयतन ज्ञात है, जिसका अर्थ है कि हम वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, जो आधार है। किसी वर्ग का क्षेत्रफल जानकर हम उसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। इसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हुए, हम पार्श्व किनारे की गणना करते हैं:

आइए वर्ग का क्षेत्रफल (पिरामिड का आधार) ज्ञात करें:

आइए वर्ग के विकर्ण की गणना करें। चूँकि इसका क्षेत्रफल 50 है, भुजा पचास के मूल के बराबर होगी और पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

बिंदु O विकर्ण BD को आधे में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि समकोण त्रिभुज का पैर OB = 5 है।

इस प्रकार, हम गणना कर सकते हैं कि पिरामिड का पार्श्व किनारा किसके बराबर है:

उत्तर: 13

245353. चित्र में दिखाए गए पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए। इसका आधार एक बहुभुज है, जिसकी आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं, और पार्श्व किनारों में से एक आधार के तल के लंबवत है और 3 के बराबर है।

जैसा कि कई बार कहा गया है, पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

आधार से लंबवत पार्श्व किनारा तीन के बराबर है, जिसका अर्थ है कि पिरामिड की ऊंचाई तीन है। पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसका क्षेत्रफल बराबर है:

इस प्रकार:

उत्तर: 27

27086. पिरामिड का आधार एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3 और 4 हैं। इसका आयतन 16 है। इस पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।