क्रॉस को 5 कोशिकाओं के आकार में विभाजित करें। समस्याओं को काटना.docx - समस्याओं को काटना

1. एक वर्ग में 16 कोशिकाएँ होती हैं। वर्ग को दो बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट रेखा कोशिकाओं के किनारों के साथ चले। (किसी वर्ग को दो भागों में काटने की विधियां अलग-अलग मानी जाएंगी यदि काटने की एक विधि से प्राप्त वर्ग के हिस्से दूसरी विधि से प्राप्त भागों के बराबर नहीं हैं।) समस्या के कुल कितने समाधान हैं?
2. एक 3X4 आयत में 12 कोशिकाएँ हैं। एक आयत को दो समान भागों में काटने के पांच तरीके खोजें ताकि कट रेखा कोशिकाओं के किनारों के साथ चले (काटने के तरीकों को अलग माना जाता है यदि एक काटने की विधि द्वारा प्राप्त हिस्से किसी अन्य विधि द्वारा प्राप्त भागों के बराबर नहीं हैं)।
3. एक 3X5 आयत में 15 कोशिकाएँ हैं और केंद्रीय कोशिका हटा दी गई है। शेष आकृति को दो बराबर भागों में काटने के पांच तरीके खोजें ताकि काटने की रेखा कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले।
4. एक 6x6 वर्ग को 36 समान वर्गों में विभाजित किया गया है। एक वर्ग को दो बराबर भागों में काटने के पांच तरीके खोजें ताकि काटने की रेखा वर्गों के किनारों के साथ-साथ चले। नोट: समस्या के 200 से अधिक समाधान हैं।
5. 4x4 वर्ग को चार बराबर भागों में विभाजित करें, कट लाइन वर्गों के किनारों के साथ चलती है। आप काटने की कितनी भिन्न विधियाँ पा सकते हैं?
6. आकृति (चित्र 5) को तीन बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कटी हुई रेखा वर्गों के किनारों के साथ चले।

7. आकृति (चित्र 6) को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कटी हुई रेखा वर्गों के किनारों के साथ चले।

8. आकृति (चित्र 7) को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कटी हुई रेखाएं वर्गों के किनारों के साथ-साथ चलें। जितना संभव हो उतने समाधान खोजें.

9. 5x5 वर्ग को बीच वाले वर्ग से काटकर चार बराबर भागों में विभाजित करें।

10. चित्र 8 में दिखाए गए आंकड़ों को ग्रिड लाइनों के साथ दो बराबर भागों में काटें, और प्रत्येक भाग में एक वृत्त होना चाहिए।

11. चित्र 9 में दिखाए गए आंकड़ों को ग्रिड लाइनों के साथ चार बराबर भागों में काटा जाना चाहिए ताकि प्रत्येक भाग में एक वृत्त हो। इसे कैसे करना है?

12. चित्र 10 में दिखाई गई आकृति को ग्रिड रेखाओं के साथ चार बराबर भागों में काटें और उन्हें एक वर्ग में मोड़ें ताकि वृत्त और तारे वर्ग की समरूपता के सभी अक्षों के संबंध में सममित रूप से स्थित हों।

13. इस वर्ग (चित्र 11) को कोशिकाओं के किनारों के साथ काटें ताकि सभी भाग समान आकार और आकार के हों और प्रत्येक में एक वृत्त और एक तारांकन हो।

14. चित्र 12 में दिखाए गए 6x6 चेकर्ड पेपर वर्ग को चार बराबर टुकड़ों में काटें ताकि प्रत्येक टुकड़े में तीन छायांकित वर्ग हों।

10. चेकर पेपर की एक चौकोर शीट को वर्गों के किनारों के साथ चलने वाले खंडों द्वारा छोटे वर्गों में विभाजित किया जाता है। साबित करें कि इन खंडों की लंबाई का योग 4 से विभाज्य है। (सेल के किनारे की लंबाई 1 है)।

समाधान: मान लीजिए Q कागज की एक वर्गाकार शीट है, L(Q) इसके अंदर स्थित कोशिकाओं की उन भुजाओं की लंबाई का योग है। तब L(Q) को 4 से विभाजित किया जाता है, क्योंकि विचाराधीन सभी पक्षों को चार भुजाओं में विभाजित किया जाता है, जो वर्ग के केंद्र के सापेक्ष 90 0 और 180 0 के घूर्णन द्वारा एक दूसरे से प्राप्त होते हैं।

यदि वर्ग Q को वर्ग Q 1, ..., Q n में विभाजित किया गया है, तो विभाजन खंडों की लंबाई का योग बराबर है

एल (क्यू) - एल (क्यू 1) - ... - एल (क्यू एन)। यह स्पष्ट है कि यह संख्या 4 से विभाज्य है, क्योंकि संख्याएँ L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) 4 से विभाज्य हैं।

4. अपरिवर्तनशीलताओं

11. एक शतरंज की बिसात दी गई. इसे किसी भी क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रेखा की सभी कोशिकाओं को एक ही बार में एक अलग रंग में दोबारा रंगने की अनुमति है। क्या इसका परिणाम बिल्कुल एक काले वर्ग वाला बोर्ड हो सकता है?

समाधान: जब आप k काली और 8-k सफेद कोशिकाओं वाली क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रेखा को दोबारा रंगते हैं, तो आपको 8-k काली और k सफेद कोशिकाएं मिलती हैं। इसलिए, काली कोशिकाओं की संख्या बदल जाएगी (8-k)-k=8-2k, यानी। एक सम संख्या तक. चूँकि काली कोशिकाओं की संख्या की समता संरक्षित है, मूल 32 काली कोशिकाओं से हम एक काली कोशिका प्राप्त नहीं कर सकते।

12. एक शतरंज की बिसात दी गई. इसे 2 x 2 आकार के एक वर्ग के अंदर स्थित सभी कोशिकाओं को एक ही बार में एक अलग रंग में रंगने की अनुमति है। क्या यह बोर्ड पर बिल्कुल एक काली कोशिका छोड़ सकता है?

समाधान: यदि आप k काली और 4-k सफेद कोशिकाओं वाले 2 x 2 वर्ग को दोबारा रंगते हैं, तो आपको 4-k काली और k सफेद कोशिकाएं मिलती हैं। इसलिए, काली कोशिकाओं की संख्या बदल जाएगी (4-k)-k=4-2k, यानी। एक सम संख्या तक. चूँकि काली कोशिकाओं की संख्या की समता संरक्षित है, मूल 32 काली कोशिकाओं से हम एक काली कोशिका प्राप्त नहीं कर सकते।

13. सिद्ध करें कि एक उत्तल बहुभुज को एक सीमित संख्या में गैर-उत्तल चतुर्भुजों में नहीं काटा जा सकता है।

समाधान: मान लीजिए कि एक उत्तल बहुभुज M को गैर-उत्तल चतुर्भुज M 1,..., M n में काटा जाता है। प्रत्येक बहुभुज N के लिए हम एक संख्या f(N) निर्दिष्ट करते हैं, जो 180 से कम उसके आंतरिक कोणों के योग और 360 तक पूरक कोणों के योग के बीच के अंतर के बराबर है, इसके 180 से अधिक कोण हैं। आइए संख्याओं की तुलना करें ए = एफ(एम) और बी = एफ(एम 1)+…+ एफ(एम एन)। ऐसा करने के लिए, उन सभी बिंदुओं पर विचार करें जो चतुर्भुज M 1 ..., M n के शीर्ष हैं। इन्हें चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है.

1. बहुभुज M के शीर्ष। ये बिंदु A और B में समान योगदान देते हैं।

2. बहुभुज एम या एम के किनारों पर बिंदु 1. ऐसे प्रत्येक बिंदु का बी पर योगदान

ए से 180 अधिक.

3. बहुभुज के आंतरिक बिंदु जिन पर चतुर्भुज के कोने मिलते हैं,

180 से कम। ऐसे प्रत्येक बिंदु का B के लिए योगदान A की तुलना में 360 अधिक है।

4. बहुभुज M के आंतरिक बिंदु, जिन पर चतुर्भुजों के कोण मिलते हैं, और उनमें से एक 180 से बड़ा है। ऐसे बिंदु A और B में शून्य योगदान देते हैं।

परिणामस्वरूप हमें A प्राप्त होता है<В. С другой стороны, А>0, और बी=0. असमानता A >0 स्पष्ट है, और समानता B=0 को साबित करने के लिए यह जांचना पर्याप्त है कि यदि कोई N-गैर-उत्तल चतुर्भुज है, तो f(N)=0। माना कि कोण N, a>b>c>d के बराबर है। किसी भी गैर-उत्तल चतुर्भुज का ठीक एक कोण 180 से बड़ा होता है, इसलिए f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

एक विरोधाभास प्राप्त होता है, इसलिए एक उत्तल बहुभुज को एक सीमित संख्या में गैर-उत्तल चतुर्भुजों में नहीं काटा जा सकता है।

14. शतरंज की बिसात के प्रत्येक वर्ग के मध्य में एक मोहरा होता है। चिप्स को पुनर्व्यवस्थित किया गया ताकि उनके बीच जोड़ीवार दूरियाँ कम न हों। सिद्ध कीजिए कि वास्तव में जोड़ीवार दूरियाँ नहीं बदली हैं।

समाधान: यदि टोकन के बीच कम से कम एक दूरी बढ़ जाती है, तो टोकन के बीच सभी जोड़ीवार दूरियों का योग बढ़ जाएगा, लेकिन टोकन के बीच सभी जोड़ीदार दूरियों का योग किसी भी क्रमपरिवर्तन के साथ नहीं बदलता है।

15. वर्गाकार मैदान को 100 समान वर्गाकार खंडों में विभाजित किया गया है, जिनमें से 9 में घास-फूस उगे हुए हैं। यह ज्ञात है कि एक वर्ष में खरपतवार केवल उन्हीं क्षेत्रों में फैलते हैं जिनमें कम से कम दो पड़ोसी (अर्थात एक समान पक्ष वाले) क्षेत्र पहले से ही खरपतवार से भरे हुए हैं। साबित करें कि खेत कभी भी पूरी तरह से खरपतवार से नहीं उगेगा।

समाधान: यह जांचना आसान है कि खरपतवार से भरे पूरे क्षेत्र (या कई क्षेत्रों) की सीमा की लंबाई नहीं बढ़ेगी। आरंभिक क्षण में यह 4*9=36 से अधिक नहीं होता, इसलिए अंतिम क्षण में यह 40 के बराबर नहीं हो सकता।

नतीजतन, खेत कभी भी पूरी तरह से खर-पतवार से नहीं उगेगा।

16. एक उत्तल 2m-गोन A 1 ...A 2 m दिया गया है। इसके अंदर, एक बिंदु P लिया गया है जो किसी भी विकर्ण पर स्थित नहीं है। सिद्ध करें कि बिंदु P, बिंदु A 1,..., A 2 m पर शीर्षों वाले सम संख्या में त्रिभुजों से संबंधित है।

समाधान: विकर्ण बहुभुज को कई भागों में विभाजित करते हैं। हम कॉल करेंगे पड़ोसीजिनका एक ही पक्ष होता है। यह स्पष्ट है कि बहुभुज के किसी भी आंतरिक बिंदु से आप किसी अन्य तक पहुँच सकते हैं, हर बार केवल पड़ोसी भाग से पड़ोसी भाग की ओर बढ़ते हुए। बहुभुज के बाहर स्थित समतल के भाग को भी इन भागों में से एक माना जा सकता है। इस भाग के बिंदुओं के लिए विचाराधीन त्रिभुजों की संख्या शून्य है, इसलिए यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि आसन्न भाग से निकटवर्ती भाग में जाने पर त्रिभुजों की संख्या की समता बनी रहती है।

मान लीजिए कि दो आसन्न भागों की उभयनिष्ठ भुजा विकर्ण (या भुजा) PQ पर स्थित है। फिर विचाराधीन सभी त्रिभुजों में, भुजा PQ वाले त्रिभुजों को छोड़कर, ये दोनों भाग या तो एक ही समय में संबंधित होते हैं या नहीं होते हैं। इसलिए, एक भाग से दूसरे भाग में जाने पर, त्रिभुजों की संख्या k 1 -k 2 से बदल जाती है, जहाँ k 1 PQ के एक तरफ स्थित बहुभुज के शीर्षों की संख्या है। चूँकि k 1 +k 2 =2m-2, तो संख्या k 1 -k 2 सम है।

4. चेकरबोर्ड पैटर्न में सहायक रंग भरने वाले पृष्ठ

17. 5 x 5 बोर्ड के प्रत्येक कक्ष में एक बीटल है। किसी बिंदु पर, सभी भृंग आसन्न (क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर) कोशिकाओं पर रेंगते हैं। क्या यह आवश्यक रूप से एक खाली सेल छोड़ता है?

समाधान: चूँकि 5 x 5 सेलों की शतरंज की बिसात पर सेलों की कुल संख्या विषम होती है, इसलिए काले और सफेद सेलों की संख्या समान नहीं हो सकती। सुनिश्चित करने के लिए और अधिक काली कोशिकाएँ होने दें। फिर सफेद कोशिकाओं पर काली कोशिकाओं की तुलना में कम भृंग बैठते हैं। इसलिए, काली कोशिकाओं में से कम से कम एक खाली रहती है, क्योंकि केवल सफेद कोशिकाओं पर बैठे भृंग ही काली कोशिकाओं पर रेंगते हैं।

19. साबित करें कि 10 x 10 वर्ग मापने वाले बोर्ड को चार वर्गों से युक्त टी-आकार की आकृतियों में नहीं काटा जा सकता है।

समाधान: मान लीजिए कि 10 x 10 कोशिकाओं का एक बोर्ड निम्नलिखित आकृतियों में विभाजित है। प्रत्येक आकृति में या तो 1 या 3 काली कोशिकाएँ होती हैं, अर्थात्। हमेशा एक विषम संख्या. आंकड़े स्वयं 100/4 = 25 टुकड़े होने चाहिए। इसलिए, उनमें विषम संख्या में काली कोशिकाएँ होती हैं, और कुल मिलाकर 100/2 = 50 काली कोशिकाएँ होती हैं। एक विरोधाभास प्राप्त हुआ है.

5. रंग भरने वाली किताबों के बारे में समस्याएँ

20. विमान को दो रंगों में रंगा गया है. साबित करें कि एक ही रंग के दो बिंदु हैं, उनके बीच की दूरी बिल्कुल 1 है।

समाधान: 1 भुजा वाले एक नियमित त्रिभुज पर विचार करें।

प्रतिलिपि

1 एम. ए. एकिमोवा, जी. पी. कुकिन एमसीएनएमओ मॉस्को, 2002

2 यूडीसी बीबीके ई45 ई45 एकिमोवा एम.ए., कुकिन जी.पी. काटने की समस्या। एम.: एमटीएसएनएमओ, पी.: बीमार। शृंखला: "गणित पढ़ाने का रहस्य।" यह पुस्तक "सीक्रेट्स ऑफ टीचिंग मैथमेटिक्स" श्रृंखला की पहली पुस्तक है, जिसे गणित शिक्षा के क्षेत्र में संचित अनुभव को प्रस्तुत करने और सारांशित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह संग्रह "ग्रेड 5-7 में विकासात्मक तर्क" पाठ्यक्रम के एक भाग का प्रतिनिधित्व करता है। पुस्तक में दी गई सभी समस्याओं के लिए समाधान या निर्देश दिए गए हैं। गणित में पाठ्येतर कार्य के लिए इस पुस्तक की अनुशंसा की जाती है। एलबीसी आईएसबीएन सी कुकिन जी.पी., एकिमोवा एम.ए., सी एमसीएनएमओ, 2002।

3 परिचय वर्तमान में, स्कूली बच्चों द्वारा अध्ययन किए गए विषयों की संरचना के पारंपरिक दृष्टिकोण को संशोधित और स्पष्ट किया जा रहा है। स्कूली पाठ्यक्रम में विभिन्न नये विषयों को शामिल किया जा रहा है। इन्हीं विषयों में से एक है तर्कशास्त्र। तर्क का अध्ययन तर्क की सुंदरता और सुंदरता, तर्क करने की क्षमता, व्यक्तित्व के रचनात्मक विकास और व्यक्ति की सौंदर्य शिक्षा को समझने में योगदान देता है। प्रत्येक सुसंस्कृत व्यक्ति को तार्किक कार्यों, पहेलियों और खेलों से परिचित होना चाहिए जो दुनिया के कई देशों में कई शताब्दियों या सहस्राब्दियों से ज्ञात हैं। यदि कोई व्यक्ति सफल होना चाहता है और जीवन में सद्भाव प्राप्त करना चाहता है तो बुद्धि, सरलता और स्वतंत्र सोच का विकास आवश्यक है। हमारा अनुभव बताता है कि औपचारिक तर्क या गणितीय तर्क के अंशों का व्यवस्थित अध्ययन माध्यमिक विद्यालय के वरिष्ठ ग्रेड तक स्थगित कर दिया जाना चाहिए। साथ ही, जितनी जल्दी हो सके तार्किक सोच विकसित करना आवश्यक है। वास्तव में, स्कूल में शैक्षणिक विषयों का अध्ययन करते समय, तर्क और प्रमाण केवल 7वीं कक्षा में दिखाई देते हैं (जब एक व्यवस्थित ज्यामिति पाठ्यक्रम शुरू होता है)। कई छात्रों के लिए, अचानक परिवर्तन (कोई तर्क नहीं बहुत अधिक तर्क बन गया) असहनीय रूप से कठिन है। ग्रेड 5-7 के लिए विकासात्मक तर्क के पाठ्यक्रम में, स्कूली बच्चों को तर्क करना, साबित करना और पैटर्न ढूंढना सिखाना काफी संभव है। उदाहरण के लिए, गणितीय पहेलियाँ हल करते समय, आपको न केवल कई उत्तरों का अनुमान लगाना (चयन करना) चाहिए, बल्कि यह भी साबित करना चाहिए कि आपने संभावित उत्तरों की पूरी सूची प्राप्त कर ली है। पांचवीं कक्षा के विद्यार्थी के लिए यह काफी संभव है। लेकिन माध्यमिक विद्यालयों के ग्रेड 5-7 में तर्कशास्त्र पढ़ाने की प्रक्रिया में, शिक्षकों को कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है: पाठ्यपुस्तकों, शिक्षण सामग्री, मैनुअल और दृश्य सामग्री की कमी। यह सब शिक्षक को स्वयं संकलित, लिखित और चित्रित करना होगा। इस संग्रह का एक लक्ष्य शिक्षकों के लिए कक्षाएं तैयार करना और संचालित करना आसान बनाना है। हम संग्रह के साथ काम करने से पहले पाठ आयोजित करने के लिए कुछ सिफारिशें देंगे।

4 4 परिचय यह सलाह दी जाती है कि स्कूली बच्चों को पांचवीं कक्षा में और शायद उससे भी पहले तर्कशास्त्र पढ़ाना शुरू किया जाए। तर्क शिक्षण आरामदेह, लगभग कामचलाऊ शैली में किया जाना चाहिए। इस स्पष्ट सहजता के लिए वास्तव में शिक्षक को बहुत अधिक गंभीर तैयारी की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, एक मोटी हस्तलिखित नोटबुक से एक दिलचस्प और मनोरंजक समस्या को पढ़ना अस्वीकार्य है, जैसा कि शिक्षक कभी-कभी करते हैं। हम कक्षाओं को गैर-मानक रूप में संचालित करने की अनुशंसा करते हैं। पाठों में यथासंभव दृश्य सामग्री का उपयोग करना आवश्यक है: विभिन्न कार्ड, चित्र, आकृतियों के सेट, समस्याओं को हल करने के लिए चित्र, चित्र। आपको छोटे विद्यार्थियों के साथ एक ही विषय का अधिक समय तक अध्ययन नहीं करना चाहिए। किसी विषय का विश्लेषण करते समय, आपको मुख्य तार्किक मील के पत्थर को उजागर करने और इन बिंदुओं की समझ (और याद रखने की नहीं) हासिल करने का प्रयास करना चाहिए। कवर की गई सामग्री पर लगातार लौटना आवश्यक है। यह स्वतंत्र कार्य, टीम प्रतियोगिताओं (पाठों के दौरान), तिमाही के अंत में परीक्षण, मौखिक और लिखित ओलंपियाड, मैटबॉय (कक्षा घंटों के बाहर) में किया जा सकता है। कक्षाओं में मनोरंजक और विनोदी कार्यों का उपयोग करना भी आवश्यक है; कभी-कभी गतिविधि की दिशा बदलना भी उपयोगी होता है। यह संग्रह "ग्रेड 5-7 में विकासात्मक तर्क" "काटने की समस्याएं" पाठ्यक्रम के कुछ हिस्सों में से एक है। ओम्स्क के लिसेयुम स्कूल 74 में ग्रेड 5-7 में तर्क पाठ में इस भाग का परीक्षण किया गया था। कई वैज्ञानिक प्राचीन काल से ही समस्याओं को काटने में रुचि रखते रहे हैं। कई सरल काटने की समस्याओं के समाधान प्राचीन यूनानियों और चीनियों द्वारा पाए गए थे, लेकिन इस विषय पर पहला व्यवस्थित ग्रंथ 10 वीं शताब्दी के प्रसिद्ध फ़ारसी खगोलशास्त्री अबुल-वेफ़ की कलम से संबंधित है, जो बगदाद में रहते थे। जियोमीटर ने आकृतियों को सबसे छोटे भागों में काटने और फिर उनसे एक या दूसरी नई आकृति बनाने की समस्याओं को गंभीरता से 20वीं सदी की शुरुआत में ही हल करना शुरू कर दिया। ज्यामिति की इस आकर्षक शाखा के संस्थापकों में से एक प्रसिद्ध पहेली निर्माता हेनरी थे

5 परिचय 5 ई. डुडेनी। ऑस्ट्रेलियाई पेटेंट कार्यालय के एक विशेषज्ञ, हैरी लिंडग्रेन द्वारा आकृतियों को काटने के लिए विशेष रूप से बड़ी संख्या में पहले से मौजूद रिकॉर्ड तोड़ दिए गए थे। वह आकृतियाँ काटने के क्षेत्र में अग्रणी विशेषज्ञ हैं। आजकल, पहेली प्रेमी मुख्य रूप से कटिंग समस्याओं को हल करने के लिए उत्सुक हैं क्योंकि ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कोई सार्वभौमिक तरीका नहीं है, और जो कोई भी उन्हें हल करता है वह पूरी तरह से अपनी सरलता, अंतर्ज्ञान और रचनात्मक सोच की क्षमता का प्रदर्शन कर सकता है। चूँकि इसके लिए ज्यामिति के गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, शौकिया कभी-कभी पेशेवर गणितज्ञों से भी बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं। हालाँकि, काटने की समस्याएँ तुच्छ या बेकार नहीं हैं, वे गंभीर गणितीय समस्याओं से बहुत दूर नहीं हैं। काटने की समस्याओं से बोल्याई गेरविन का प्रमेय आया कि समान आकार के कोई भी दो बहुभुज समतुल्य हैं (विपरीत स्पष्ट है), और फिर हिल्बर्ट की तीसरी समस्या: क्या एक समान कथन पॉलीहेड्रा के लिए सत्य है? काटने के कार्य स्कूली बच्चों को विभिन्न प्रकार की सामग्रियों का उपयोग करके यथाशीघ्र ज्यामितीय अवधारणाएँ बनाने में मदद करते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करते समय प्रकृति में सुंदरता, कानून और व्यवस्था की भावना पैदा होती है। "समस्याओं को काटना" संग्रह दो खंडों में विभाजित है। पहले खंड की समस्याओं को हल करते समय, छात्रों को प्लैनिमेट्री की मूल बातें के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होगी, बल्कि सरलता, ज्यामितीय कल्पना और काफी सरल ज्यामितीय जानकारी की आवश्यकता होगी जो हर किसी को पता हो। दूसरा खंड वैकल्पिक कार्य है। इसमें ऐसे कार्य शामिल थे जिनमें आकृतियों, उनके गुणों और विशेषताओं के बारे में बुनियादी ज्यामितीय जानकारी और कुछ प्रमेयों के ज्ञान की आवश्यकता होती है। प्रत्येक अनुभाग को पैराग्राफ में विभाजित किया गया है, जिसमें हमने एक विषय पर कार्यों को संयोजित करने का प्रयास किया है, और बदले में, उन्हें पाठों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक में बढ़ती कठिनाई के क्रम में सजातीय कार्य शामिल हैं। पहले खंड में आठ पैराग्राफ हैं। 1. चेकर पेपर पर समस्याएँ। इस खंड में ऐसी समस्याएं हैं जिनमें आकृतियों (अधिकतर वर्ग और आयत) को कोशिकाओं के किनारों से काटा जाता है। पैराग्राफ में 4 पाठ हैं, हम उन्हें 5वीं कक्षा के छात्रों के अध्ययन के लिए अनुशंसित करते हैं।

6 6 परिचय 2. पेंटामिनो। इस पैराग्राफ में पेंटोमिनो आकृतियों से संबंधित समस्याएं हैं, इसलिए इन पाठों के लिए बच्चों को इन आकृतियों के सेट वितरित करने की सलाह दी जाती है। यहां दो पाठ हैं, हम उन्हें कक्षा 5-6 के छात्रों द्वारा अध्ययन के लिए अनुशंसित करते हैं। 3. कठिन कार्य काटना। यहां अधिक जटिल आकृतियों को काटने के लिए कार्य एकत्र किए गए हैं, उदाहरण के लिए, सीमाओं के साथ जो चाप हैं, और अधिक जटिल काटने के कार्य हैं। इस अनुच्छेद में दो पाठ हैं; हम उन्हें 7वीं कक्षा में पढ़ाने की अनुशंसा करते हैं। 4. विमान का विभाजन. यहां एकत्रित समस्याएं हैं जिनमें आपको आयताकार टाइलों में आयतों के निरंतर विभाजन, लकड़ी के फर्श की रचना पर समस्याएं, एक आयत या वर्ग में आकृतियों की सबसे सघन व्यवस्था पर समस्याएं ढूंढनी होंगी। हम इस अनुच्छेद का 6-7 ग्रेड में अध्ययन करने की अनुशंसा करते हैं। 5. तंगराम. यहां प्राचीन चीनी पहेली "टेन्ग्राम" से संबंधित समस्याएं एकत्रित की गई हैं। इस पाठ को संचालित करने के लिए, यह सलाह दी जाती है कि यह पहेली कम से कम कार्डबोर्ड से बनी हो। हम 5वीं कक्षा में अध्ययन के लिए इस अनुच्छेद की अनुशंसा करते हैं। 6. अंतरिक्ष में कटौती से जुड़ी समस्याएं। यहां, छात्रों को एक घन और एक त्रिकोणीय पिरामिड के विकास से परिचित कराया जाता है, समानताएं खींची जाती हैं और एक विमान और वॉल्यूमेट्रिक निकायों पर आकृतियों के बीच अंतर दिखाया जाता है, और इसलिए समस्याओं को हल करने में अंतर दिखाया जाता है। पैराग्राफ में एक पाठ है जिसे हम छठी कक्षा के छात्रों को पढ़ने के लिए अनुशंसित करते हैं। 7. रंग भरने का कार्य। इससे पता चलता है कि आकृति को रंगने से समस्या को हल करने में कैसे मदद मिलती है। यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि किसी आकृति को टुकड़ों में काटने की समस्या का समाधान संभव है; काटने की कोई विधि प्रदान करना ही पर्याप्त है। लेकिन यह साबित करना अधिक कठिन है कि काटना असंभव है। आकृति को रंगने से हमें ऐसा करने में मदद मिलती है। इस पैराग्राफ में तीन पाठ हैं. हम उन्हें 7वीं कक्षा के विद्यार्थियों के अध्ययन के लिए अनुशंसित करते हैं। 8. रंग रोगन की समस्या होना। यहां ऐसे कार्य एकत्रित किए गए हैं जिनमें आपको किसी आकृति को एक निश्चित तरीके से रंगने की आवश्यकता है, प्रश्न का उत्तर दें: ऐसे रंग भरने के लिए कितने रंगों की आवश्यकता होगी (सबसे छोटी या सबसे बड़ी संख्या), आदि। पैराग्राफ में सात पाठ हैं। हम उन्हें 7वीं कक्षा के विद्यार्थियों के अध्ययन के लिए अनुशंसित करते हैं। दूसरे खंड में ऐसे कार्य शामिल हैं जिन्हें अतिरिक्त कक्षाओं में हल किया जा सकता है। इसमें तीन पैराग्राफ हैं.

7 परिचय 7 9. आकृतियों का रूपांतरण। इसमें ऐसी समस्याएँ हैं जिनमें एक आकृति को भागों में काटा जाता है जिससे दूसरी आकृति बनाई जाती है। इस पैराग्राफ में तीन पाठ हैं, पहला विभिन्न आकृतियों के "परिवर्तन" की जांच करता है (यहां काफी आसान कार्य एकत्र किए गए हैं), और दूसरा पाठ एक वर्ग के परिवर्तन की ज्यामिति की जांच करता है। 10. विभिन्न कटिंग कार्य। इसमें विभिन्न कटिंग कार्य शामिल हैं जिन्हें विभिन्न तरीकों से हल किया जाता है। इस पैराग्राफ में तीन पाठ हैं. 11. आकृतियों का क्षेत्रफल. इस पैराग्राफ में दो पाठ हैं. पहला पाठ उन समस्याओं की जाँच करता है जिनमें आपको आकृतियों को टुकड़ों में काटने की आवश्यकता होती है और फिर यह साबित करना होता है कि आकृतियाँ समान रूप से बनी हैं; दूसरे पाठ में, समस्याएँ जिनमें आपको आकृतियों के क्षेत्रों के गुणों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

8 खंड 1 1. चेकर पेपर पर समस्याएँ पाठ 1.1 विषय: चेकर पेपर पर समस्याएँ काटना। लक्ष्य: समरूपता के बारे में विचार विकसित करने के लिए संयोजन कौशल विकसित करना (आंकड़ों के लिए एक कटिंग लाइन बनाने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना, नियम जो आपको इस लाइन का निर्माण करते समय समाधान खोने की अनुमति नहीं देते हैं)। हम कक्षा में समस्याएँ हल करते हैं, घर के लिए समस्या 1.5। एक वर्ग में 16 कोशिकाएँ होती हैं। वर्ग को दो बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट रेखा कोशिकाओं के किनारों के साथ चले। (किसी वर्ग को दो भागों में काटने की विधियां अलग-अलग मानी जाएंगी यदि काटने की एक विधि से प्राप्त वर्ग के हिस्से दूसरी विधि से प्राप्त भागों के बराबर नहीं हैं।) समस्या के कुल कितने समाधान हैं? टिप्पणी। इस समस्या के अनेक समाधान ढूँढना उतना कठिन नहीं है। चित्र में. 1 उनमें से कुछ दिखाए गए हैं, और समाधान बी) और सी) समान हैं, क्योंकि उनमें प्राप्त आंकड़ों को ओवरलैपिंग द्वारा जोड़ा जा सकता है (यदि आप वर्ग सी को 90 डिग्री तक घुमाते हैं)। चावल। 1 लेकिन सभी समाधान ढूंढना और एक भी समाधान न खोना पहले से ही अधिक कठिन है। ध्यान दें कि वर्ग को दो समान भागों में विभाजित करने वाली टूटी हुई रेखा वर्ग के केंद्र के संबंध में सममित है। यह अवलोकन चरण की अनुमति देता है

9 दोनों सिरों पर पॉलीलाइन खींचने का चरण दर चरण पाठ। उदाहरण के लिए, यदि किसी टूटी हुई रेखा की शुरुआत बिंदु A पर है, तो उसका अंत बिंदु B पर होगा (चित्र 2)। सुनिश्चित करें कि इस समस्या के लिए पॉलीलाइन की शुरुआत और अंत दो तरीकों से खींचा जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 2. पॉलीलाइन का निर्माण करते समय, कोई समाधान न खोने के लिए, आप इस नियम का पालन कर सकते हैं। यदि किसी टूटी हुई रेखा की अगली कड़ी दो तरीकों से खींची जा सकती है, तो आपको पहले एक दूसरी समान ड्राइंग तैयार करनी होगी और इस चरण को एक ड्राइंग में पहले तरीके से और दूसरे में दूसरे तरीके से करना होगा (चित्र 3 दिखाता है) चित्र 2 (ए) की दो निरंतरताएँ)। आपको ऐसा ही करने की ज़रूरत है जब दो नहीं, बल्कि तीन विधियाँ हों (चित्र 4 चित्र 2 (बी) की तीन निरंतरताएँ दिखाता है)। निर्दिष्ट प्रक्रिया सभी समाधान खोजने में मदद करती है। चावल। 2 अंजीर. 3 चित्र आयत 3 4 में 12 कोशिकाएँ हैं। एक आयत को दो बराबर भागों में काटने के पांच तरीके खोजें ताकि कट रेखा कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले (काटने के तरीकों को अलग माना जाता है यदि एक काटने की विधि से प्राप्त भाग किसी अन्य विधि से प्राप्त भागों के बराबर नहीं हैं) ए 3 5 आयत में 15 सेल हैं और एक केंद्रीय सेल हटा दिया गया है। शेष आकृति को काटने के पांच तरीके खोजें

10 10 1. चेकर पेपर पर समस्याओं को दो बराबर भागों में काटें ताकि कट लाइन कोशिकाओं के किनारों के साथ चले। वर्ग 6 6 को 36 समान वर्गों में विभाजित किया गया है। एक वर्ग को दो बराबर भागों में काटने के पांच तरीके खोजें ताकि काटने की रेखा वर्गों के किनारों के साथ-साथ चले। समस्या 1.4 में 200 से अधिक समाधान हैं। उनमें से कम से कम 15 खोजें। पाठ 1.2 विषय: चेकर पेपर पर समस्याओं को काटना। लक्ष्य: समरूपता के बारे में विचार विकसित करना जारी रखें, "पेंटामिनो" विषय की तैयारी (पांच कोशिकाओं से बनाई जा सकने वाली विभिन्न आकृतियों की जांच)। समस्याएँ: क्या 5 5 कोशिकाओं के एक वर्ग को दो बराबर भागों में काटना संभव है ताकि कटी हुई रेखा कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध करें 4 4 वर्ग को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट रेखा कोशिकाओं के किनारों के साथ चले। आप काटने की कितनी भिन्न विधियाँ पा सकते हैं? 1.8. आकृति (चित्र 5) को तीन बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कटी हुई रेखा वर्गों के किनारों के साथ चले। चावल। 5 अंजीर. 6 चित्र। आकृति (चित्र 6) को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कटी हुई रेखा वर्गों के किनारों के साथ-साथ चले। आकृति (चित्र 7) को चार समान भागों में विभाजित करें ताकि कटी हुई रेखाएँ वर्गों के किनारों के साथ-साथ जाएँ वर्ग. जितना संभव हो उतने समाधान खोजें.

पाठ 11 वर्ग 5 5 कोशिकाओं को विभाजित करें और केंद्रीय कोशिका को चार बराबर भागों में काटें। पाठ 1.3 विषय: चेकर पेपर पर समस्याओं को काटना। लक्ष्य: समरूपता (अक्षीय, केंद्रीय) के बारे में विचार विकसित करना जारी रखें। कार्य चित्र में दिखाई गई आकृतियों को काटें। 8, ग्रिड लाइनों के साथ दो बराबर भागों में, और प्रत्येक भाग में एक वृत्त होना चाहिए। चावल। 8 चित्र। चित्र में दिखाए गए आंकड़े। 9, आपको ग्रिड लाइनों के साथ चार बराबर भागों में कटौती करने की आवश्यकता है ताकि प्रत्येक भाग में एक वृत्त हो। इसे कैसे करना है? चित्र में दिखाए गए चित्र को काटें। 10, ग्रिड रेखाओं के अनुदिश चार बराबर भागों में बांटें और उन्हें एक वर्ग में मोड़ें ताकि वृत्त और तारे वर्ग की समरूपता के सभी अक्षों के सापेक्ष सममित रूप से स्थित हों। चावल। 10

12 12 1. चेकर पेपर पर समस्याएं इस वर्ग (चित्र 11) को कोशिकाओं के किनारों के साथ काटें ताकि सभी भाग समान आकार और आकार के हों और प्रत्येक में एक वृत्त और एक तारांकन हो। चेकर से वर्ग 6 6 काटें चित्र में दिखाया गया कागज। 12 को चार समान भागों में बाँटें ताकि उनमें से प्रत्येक में तीन छायांकित कोशिकाएँ हों। पाठ 1.4 चित्र. 11 चित्र. 12 विषय: चेकर पेपर पर समस्याओं को काटना। लक्ष्य: एक आयत को दो बराबर भागों में काटना सीखें, जिससे आप एक वर्ग और दूसरे आयत को मोड़ सकते हैं। यह निर्धारित करना सीखें कि किन आयतों को काटकर वर्ग बनाया जा सकता है। समस्याएँ अतिरिक्त कार्य 1.23, 1.24 (इन समस्याओं पर वार्म अप के लिए पाठ की शुरुआत में विचार किया जा सकता है) कोशिकाओं के किनारों पर 4 9 कोशिकाओं के एक आयत को दो बराबर भागों में काटें ताकि उन्हें फिर एक वर्ग में मोड़ा जा सके। क्या 48 कोशिकाओं के एक आयत को कोशिकाओं के किनारों के साथ दो भागों में काटना संभव है ताकि उनका उपयोग एक वर्ग बनाने के लिए किया जा सके? 10 7 कोशिकाओं के एक आयत से, 1 6 कोशिकाओं का एक आयत काटा गया, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 13. परिणामी आकृति को दो भागों में काटें ताकि उन्हें एक वर्ग में मोड़ा जा सके। छायांकित आकृतियों को 8 9 कोशिकाओं के एक आयत से काटा गया, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 14. परिणामी आकृति को दो बराबर भागों में काटें ताकि आप उन्हें 6 10 आयत में मोड़ सकें।

13 पाठ चित्र. 13 चित्र: चेकदार कागज पर 5 5 कोष्ठों का एक वर्ग बनाया गया है। दिखाएँ कि इसे वर्गों की भुजाओं के अनुदिश 7 अलग-अलग आयतों में कैसे काटें। वर्ग को वर्गों की भुजाओं के अनुदिश 5 आयतों में काटें ताकि आयतों की भुजाओं की लंबाई व्यक्त करने वाली सभी दस संख्याएँ अलग-अलग पूर्णांक हों। दिखाए गए आंकड़ों को विभाजित करें चित्र में 15, दो बराबर भागों में बाँट लें। (आप न केवल कोशिका रेखाओं के साथ, बल्कि उनके विकर्णों के साथ भी काट सकते हैं।) चित्र। 15

14 14 2. पेंटोमिनो चित्र में दिखाई गई आकृतियों को काटें। 16, चार बराबर भागों में। 2. पेंटामिनो अंजीर। 16 पाठ 2.1 विषय: पेंटामिनो। लक्ष्य: छात्रों के संयोजन कौशल का विकास। समस्याएँ डोमिनोइज़, ट्रिमिनोइज़, टेट्रोमिनोइज़ (ऐसी आकृतियों वाले खेल को टेट्रिस कहा जाता है) की आकृतियाँ, पेंटोमिनोइज़ दो, तीन, चार, पाँच वर्गों से बनी होती हैं ताकि किसी भी वर्ग की कम से कम एक वर्ग के साथ एक उभयनिष्ठ भुजा हो। दो समान वर्गों से आप केवल एक डोमिनो आकृति बना सकते हैं (चित्र 17 देखें)। विभिन्न तरीकों से एक ही डोमिनो आकृति में एक और वर्ग जोड़कर ट्रिमिनो आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं। आपको दो ट्रिमिनो आकृतियाँ मिलेंगी (चित्र 18)। चावल। 17 अंजीर सभी प्रकार की टेट्रोमिनो आकृतियाँ बनाएं (ग्रीक शब्द "टेट्रा" से चार)। आपको उनमें से कितने मिले? (किसी अन्य से घूर्णन या सममित प्रदर्शन द्वारा प्राप्त आकृतियाँ नई नहीं मानी जाती हैं)।

पाठ 15 सभी संभव पेंटोमिनो आकृतियाँ बनाएं (ग्रीक "पेंटा" पाँच से)। आपको उनमें से कितने मिले? 2.3. चित्र में दर्शाई गई आकृतियाँ बनाइए। 19, पेंटोमिनो आकृतियों से। प्रत्येक आकृति के लिए समस्या के कितने समाधान हैं? चित्र पेंटोमिनो आकृतियों का उपयोग करके एक 3 5 आयत को मोड़ें। आप कितने अलग-अलग समाधान लेकर आ सकते हैं? 2.5. चित्र में दर्शाई गई आकृतियाँ बनाइए। 20, पेंटोमिनो आंकड़ों से। चावल। 20

16 16 2. पेंटामिनो पाठ 2.2 विषय: पेंटामिनो। लक्ष्य: समरूपता के बारे में विचारों का विकास। समस्याएँ समस्या 2.2 में हमने सभी संभावित पेंटोमिनो आकृतियों की रचना की है। उन्हें चित्र में देखें। 21. अंजीर. 21 चित्र 1 में निम्नलिखित गुण हैं। यदि आप इसे कागज से काटते हैं और इसे एक सीधी रेखा ए (छवि 22) के साथ मोड़ते हैं, तो आकृति का एक हिस्सा दूसरे के साथ मेल खाएगा। वे कहते हैं कि आकृति सममिति के सीधे अक्ष के प्रति सममित है। चित्र 12 में भी समरूपता का एक अक्ष है, यहाँ तक कि दो सीधी रेखाएँ b और c हैं, लेकिन चित्र 2 में समरूपता का कोई अक्ष नहीं है। चित्र प्रत्येक पेंटोमिनो आकृति में सममिति के कितने अक्ष हैं? 2.7. सभी 12 पेंटोमिनो आकृतियों में से, एक आयत को मोड़ें। असममित टुकड़ों को पलटने की अनुमति है। बारह पेंटोमिनो आकृतियों को एक आयत 6 10 में मोड़ें, और इस प्रकार कि प्रत्येक तत्व इस आयत के किसी न किसी पक्ष को छूए।

पाठ 17 चित्र में दिखाए गए आयत को काटें। 23 (ए), आंतरिक रेखाओं के साथ दो ऐसे हिस्सों में, जिसमें से एक सेल के आकार के तीन वर्ग छेद वाली एक आकृति को मोड़ा जा सकता है (चित्र 23 (बी))। चित्र। पेंटोमिनो आकृतियों से, एक वर्ग 8 8 को बीच में एक वर्ग 2 2 काटकर मोड़ें। कई समाधान खोजें। बारह पेंटोमिनो को एक आयत में रखा गया है। यदि प्रत्येक तारा गिरता है तो आकृतियों की सीमाओं को पुनर्स्थापित करें (चित्र 24) बिल्कुल एक पेंटोमिनो में। चावल। 24 चित्र: बारह पेंटोमिनो आकृतियाँ एक बॉक्स 12 10 में रखी गई हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 25. शेष खाली क्षेत्र पर पेंटोमिनो का एक और सेट रखने का प्रयास करें।

18 18 3. काटने की कठिन समस्याएँ 3. काटने की कठिन समस्याएँ पाठ 3.1 विषय: चाप जैसी सीमाओं वाली अधिक जटिल आकृतियों को काटने की समस्याएँ। लक्ष्य: अधिक जटिल आकृतियों को उन सीमाओं के साथ काटना सीखें जो चाप हैं, और परिणामी भागों से एक वर्ग बनाएं। चित्र में कार्य। 26 4 आंकड़े दिखाता है। एक कट से उनमें से प्रत्येक को दो भागों में बाँट लें और उनका एक चौकोर आकार बना लें। चेकर्ड पेपर आपके लिए समस्या को हल करना आसान बना देगा। चित्र: 6 6 वर्गों को टुकड़ों में काटें और उन्हें चित्र में दिखाए गए आकार में एक साथ रखें। 27. अंजीर. 27

पाठ 19 चित्र में। 28 किले की दीवार का हिस्सा दिखाता है। इनमें से एक पत्थर का आकार इतना विचित्र है कि यदि आप उसे दीवार से निकालकर दूसरी तरह रख दें तो दीवार बराबर हो जाएगी। इस पत्थर का चित्र बनाएं। किस चीज़ के लिए अधिक पेंट का उपयोग किया जाएगा: एक वर्ग या यह असामान्य अंगूठी (चित्र 29)? चावल। 28 चित्र। चित्र में दिखाए गए फूलदान को काटें। 30, तीन भागों में, जिससे आप एक समचतुर्भुज को मोड़ सकते हैं। चावल। 30 अंजीर. 31 चित्र. 32 पाठ 3.2 विषय: अधिक जटिल कटिंग कार्य। लक्ष्य: अधिक जटिल कटिंग समस्याओं को हल करने का अभ्यास करना। हम घर पर कक्षा, कार्य 3.12 में समस्याओं को हल करते हैं। आकृति (चित्र 31) को दो सीधे कटों से ऐसे टुकड़ों में काटें, जिनसे आप एक वर्ग को मोड़ सकें। चित्र में दिखाई गई आकृति को काटें। 32. आकृति को चार बराबर भागों में बाँट लें, जिससे एक वर्ग को मोड़ा जा सके। चित्र में दिखाए गए अक्षर E को काटें। 33, पांच भागों में बांटें और उन्हें एक वर्ग में मोड़ें। भागों को पीछे की ओर न मोड़ें

20 20 4. विमान उपविभाजन की अनुमति है। यदि आप भागों को पलटने की अनुमति देते हैं, तो क्या चार भागों से काम चलाना संभव है? 3.9. पांच वर्गों से बने एक क्रॉस को टुकड़ों में काटने की जरूरत है, जिससे क्रॉस के आकार के बराबर एक वर्ग बनाया जा सके (अर्थात क्षेत्रफल में बराबर)। दो शतरंज की बिसातें दी गई हैं: एक साधारण, जिसमें 64 वर्ग हैं, और दूसरा 36 वर्गों के साथ। उनमें से प्रत्येक को दो भागों में काटना आवश्यक है ताकि सभी परिणामी चार भागों से कोशिकाओं की एक नई शतरंज की बिसात बनाई जा सके। कैबिनेट निर्माता के पास कीमती महोगनी से बनी 7 7 कोशिकाओं की शतरंज की बिसात का एक टुकड़ा है। वह सामग्री खोए बिना और अंजीर को पूरा करना चाहता है। केवल वर्गों के किनारों पर 33 कट लगाए, बोर्ड को 6 भागों में काटा ताकि उनसे तीन नए वर्ग बनाए जा सकें, सभी अलग-अलग आकार के। इसे कैसे करना है? क्या समस्या 3.11 को हल करना संभव है यदि भागों की संख्या 5 है और कटों की कुल लंबाई 17 है? 4. समतल का विभाजन पाठ 4.1 विषय: आयतों का ठोस विभाजन। लक्ष्य: आयताकार टाइलों से आयतों के निरंतर विभाजन बनाना सीखें। इस प्रश्न का उत्तर दें कि किन परिस्थितियों में एक आयत तल के ऐसे विभाजन की अनुमति देता है। समस्याएँ (ए) कक्षा में हल की जाती हैं। समस्याएँ 4.5 (बी), 4.6, 4.7 घर पर छोड़ी जा सकती हैं। मान लीजिए कि हमारे पास 2 1 आकार की आयताकार टाइलों की असीमित आपूर्ति है, और हम उनके साथ एक आयताकार फर्श बिछाना चाहते हैं, और कोई भी दो टाइलें ओवरलैप नहीं होनी चाहिए। 5 6 मापने वाले कमरे में फर्श पर 2 1 टाइलें बिछाएं। यह स्पष्ट है कि यदि एक आयताकार कमरे p q में फर्श 2 1 टाइलों से बिछाया गया है, तो p q सम है (क्योंकि क्षेत्र 2 से विभाज्य है)। और इसके विपरीत: यदि pq सम है, तो फर्श को 2 1 टाइलों से बिछाया जा सकता है।

पाठ 21 वास्तव में, इस मामले में संख्या p या q में से एक संख्या सम होनी चाहिए। यदि, उदाहरण के लिए, p = 2r, तो फर्श को चित्र में दिखाए अनुसार बिछाया जा सकता है। 34. लेकिन ऐसे फर्शों में ब्रेक लाइनें होती हैं जो पूरे "कमरे" को एक दीवार से दूसरी दीवार तक पार करती हैं, लेकिन टाइलों को पार नहीं करती हैं। लेकिन व्यवहार में, ऐसी रेखाओं के बिना लकड़ी की छत का उपयोग किया जाता है - ठोस लकड़ी की छत। चित्र टाइलें बिछाना 2 1 कमरे की सतत लकड़ी की छत टाइल्स 2 1 ए) आयत 4 6 में निरंतर विभाजन खोजने का प्रयास करें; बी) वर्ग टाइलें 2 1 ठोस लकड़ी की छत बिछाएं ए) कमरे 5 8; बी) कमरे 6 8. सवाल स्वाभाविक रूप से उठता है: किस पी और क्यू के लिए आयत पी क्यू टाइल्स 2 1 में एक सतत विभाजन स्वीकार करता है? हम पहले से ही आवश्यक शर्तों को जानते हैं: 1) p q 2, 2) (p, q) (6, 6) और (p, q) (4, 6) से विभाज्य है। आप एक और शर्त भी देख सकते हैं: 3) पी 5, क्यू 5। यह पता चलता है कि ये तीन शर्तें भी पर्याप्त हैं। अन्य आकार की टाइलें बिना किसी रुकावट के टाइलें 3 2 बिछाएं: ए) आयत 11 18; बी) आयत, यदि संभव हो तो वर्ग को बिना टूटे टाइल्स में बिछाएं। क्या यह संभव है, चेकर पेपर का 5 5 सेलों का एक वर्ग लेकर उसमें से 1 सेलों को काट लें ताकि शेष भाग को 1 से 3 सेलों की प्लेटों में काटा जा सके? पाठ 4.2 विषय: लकड़ी की छतें।

22 22 4. विमान का विभाजन लक्ष्य: विमान को विभिन्न आकृतियों से ढंकना सीखें (और लकड़ी के फर्श टूटी रेखाओं या ठोस के साथ हो सकते हैं), या साबित करें कि यह असंभव है। समस्याएँ समतल विभाजन के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण प्रश्नों में से एक है: "एक टाइल किस आकार की होनी चाहिए ताकि उसकी प्रतियां बिना अंतराल या दोहरे आवरण के समतल को ढक सकें?" कुछ स्पष्ट रूप तुरंत दिमाग में आते हैं। यह साबित किया जा सकता है कि केवल तीन नियमित बहुभुज हैं जो एक विमान को कवर कर सकते हैं। ये एक समबाहु त्रिभुज, एक वर्ग और एक षट्भुज हैं (चित्र 35 देखें)। अनियमित बहुभुजों की अनंत संख्या है जिनका उपयोग किसी समतल को ढकने के लिए किया जा सकता है। अंजीर एक मनमाना अधिक त्रिभुज को चार समान और समरूप त्रिभुजों में विभाजित करें। समस्या 4.8 में हमने त्रिभुज को चार समान और समरूप त्रिभुजों में विभाजित किया है। चार परिणामी त्रिभुजों में से प्रत्येक को बदले में चार समान और समान त्रिभुजों आदि में विभाजित किया जा सकता है। यदि आप विपरीत दिशा में चलते हैं, यानी, चार समान अधिक त्रिभुजों को जोड़ें ताकि आपको उनके समान एक त्रिभुज प्राप्त हो, लेकिन चार गुना बड़ा क्षेत्रफल आदि में, तो समतल को ऐसे त्रिभुजों से टाइल किया जा सकता है। समतल को अन्य आकृतियों से ढका जा सकता है, उदाहरण के लिए, समलंब चतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज। चित्र में दिखाए गए समान आकृतियों से समतल को ढकें। 36.

23 पाठ चित्र में दिखाए गए समान "ब्रैकेट" से विमान को टाइल करें। 37. अंजीर. 36 चित्र। भुजा 1 वाले चार वर्ग हैं, भुजा 2 वाले आठ, भुजा 3 वाले बारह। क्या इन्हें एक बड़े वर्ग में मोड़ना संभव है? क्या चित्र में दिखाई गई लकड़ी की टाइलों से किसी भी आकार का वर्ग बनाना संभव है? दोनों प्रकार की टाइलों का उपयोग करके 38 प्रकार? पाठ 4.3 विषय: सबसे घनी पैकिंग के बारे में समस्याएँ। चावल। 38 लक्ष्य: एक इष्टतम समाधान की अवधारणा तैयार करना। समस्याएँ 1 5 कोशिकाओं को मापने वाली पट्टियों की सबसे बड़ी संख्या क्या है जिसे 8 8 कोशिकाओं वाले चेकर पेपर के एक वर्ग से काटा जा सकता है? कारीगर के पास वर्गाकार आकार की टिन की एक शीट है। डी.एम. मास्टर इसमें से 3-5 वर्ग मीटर मापने वाले अधिक से अधिक आयताकार रिक्त स्थान काटना चाहता है। डी.एम. उसकी मदद करें। क्या किसी सेल आयत को बिना कोई अवशेष छोड़े 5 7 माप वाले आयतों में काटना संभव है? यदि संभव हो तो कैसे? यदि नहीं, तो क्यों नहीं? कोशिकाओं के आयामों के साथ चेकर पेपर की एक शीट पर, कट्स को चिह्नित करें, जिसकी मदद से आप जितना संभव हो उतने पूर्ण आंकड़े प्राप्त कर सकते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 39. चित्र में दिखाए गए आंकड़े। 39 (बी, डी), को पलटा जा सकता है।

24 24 5. टेंग्राम चित्र टेंग्राम पाठ 5.1 विषय: टेंग्राम। उद्देश्य: छात्रों को चीनी पहेली "टेन्ग्राम" से परिचित कराना। ज्यामितीय अनुसंधान और डिज़ाइन का अभ्यास करें। संयोजन कौशल विकसित करें. कार्य काटने के कार्यों के बारे में बोलते हुए, कोई भी प्राचीन चीनी पहेली "टेंग्राम" का उल्लेख करने में विफल नहीं हो सकता है, जिसकी उत्पत्ति 4 हजार साल पहले चीन में हुई थी। चीन में इसे ची ताओ तू या सात टुकड़ों वाली मानसिक पहेली कहा जाता है। दिशानिर्देश. इस पाठ को संचालित करने के लिए, हैंडआउट्स रखने की सलाह दी जाती है: एक पहेली (जिसे स्कूली बच्चे स्वयं बना सकते हैं), आकृतियों के चित्र जिन्हें मोड़ने की आवश्यकता होगी। चित्र। पहेली स्वयं बनाएं: सात भागों में विभाजित एक वर्ग को मोटे कागज पर स्थानांतरित करें (चित्र 40) और इसे काट लें। पहेली के सभी सात भागों का उपयोग करके, चित्र में दिखाए गए आंकड़े बनाएं। 41.

25 पाठ चित्र. 41 चित्र. 42 पद्धति संबंधी सिफ़ारिशें. बच्चों को आकृतियों के आदमकद चित्र दिए जा सकते हैं a), b) और इसलिए, छात्र आकृति के चित्र पर पहेली भागों को जोड़कर और इस प्रकार आवश्यक भागों का चयन करके समस्या का समाधान कर सकता है, जो कार्य को सरल बनाता है। और आकृतियों के चित्र

26 26 6. अंतरिक्ष में काटने की समस्याएँ c), d) छोटे पैमाने पर दी जा सकती हैं; इसलिए, इन समस्याओं को हल करना अधिक कठिन होगा। चित्र में. आपको स्वयं रचना करने के लिए 42 और आकृतियाँ दी गई हैं। टैंग्राम के सभी सात भागों का उपयोग करके अपनी स्वयं की आकृति बनाने का प्रयास करें। टैंग्राम में, इसके सात भागों में से पहले से ही विभिन्न आकारों के त्रिकोण हैं। लेकिन इसके हिस्सों से आप अभी भी विभिन्न त्रिकोण जोड़ सकते हैं। टेंग्राम के चार हिस्सों का उपयोग करके एक त्रिकोण को मोड़ें: ए) एक बड़ा त्रिकोण, दो छोटे त्रिकोण और एक वर्ग; बी) एक बड़ा त्रिभुज, दो छोटे त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज; ग) एक बड़ा त्रिभुज, एक मध्यम त्रिभुज और दो छोटे त्रिभुज। क्या केवल दो टेंग्राम भागों का उपयोग करके एक त्रिभुज बनाना संभव है? तीन हिस्से? पाँच भाग? छह भाग? टेंग्राम के सभी सात भाग? 5.6. जाहिर है, टेंग्राम के सभी सात भाग एक वर्ग बनाते हैं। क्या दो भागों से एक वर्ग बनाना संभव है या नहीं? तीन में से? चार में से? 5.7. टेंग्राम के कौन से अलग-अलग हिस्से हैं जिनका उपयोग एक आयत बनाने के लिए किया जा सकता है? अन्य कौन से उत्तल बहुभुज बनाए जा सकते हैं? 6. अंतरिक्ष में काटने की समस्याएँ पाठ 6.1 विषय: अंतरिक्ष में काटने की समस्याएँ। लक्ष्य: स्थानिक कल्पना विकसित करना. त्रिकोणीय पिरामिड, घन के विकास का निर्माण करना सीखें और निर्धारित करें कि कौन से विकास गलत हैं। अंतरिक्ष में पिंडों को काटने की समस्याओं को हल करने का अभ्यास करें (ऐसी समस्याओं को हल करना किसी समतल पर आकृतियों को काटने की समस्याओं को हल करने से भिन्न होता है)। समस्याएँ बुराटिनो में एक तरफ पॉलीथीन से ढका हुआ कागज था। उसने चित्र में दिखाया गया रिक्त स्थान बनाया। 43 उसमें से दूध की थैलियाँ (त्रिकोणीय पिरामिड) चिपका दें। और ऐलिस लोमड़ी एक और तैयारी कर सकती है। कौन सा?

27 पाठ चावल बेसिलियो बिल्ली को भी इस तरह का कुछ कागज मिला, लेकिन वह क्यूब्स (केफिर बैग) को गोंद करना चाहता है। उसने चित्र में दिखाए गए रिक्त स्थान बनाए। 44. और ऐलिस लोमड़ी कहती है, कि कुछ को तुरन्त फेंक दिया जा सकता है, क्योंकि वे अच्छे नहीं हैं। क्या वह सही है? चित्र चेप्स के पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है, और इसके पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। पिनोचियो ऊपर चढ़ गया और शीर्ष पर चेहरे का कोण मापा (एएमडी, चित्र 45 में)। यह 100 निकला। और ऐलिस लोमड़ी का कहना है कि वह धूप में ज़्यादा गरम हो गया, क्योंकि यह नहीं हो सकता। क्या वह सही है? 6.4. घन को 64 छोटे घनों में विभाजित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम संख्या में फ्लैट कट कितने हैं? प्रत्येक कट के बाद, आपको क्यूब के हिस्सों को अपनी इच्छानुसार पुनर्व्यवस्थित करने की अनुमति है। लकड़ी के क्यूब को बाहर की तरफ सफेद रंग से रंगा गया था, फिर उसके प्रत्येक किनारे को चित्र में दिखाया गया है। 45 को 5 बराबर भागों में विभाजित किया गया, जिसके बाद उन्हें काटा गया ताकि छोटे क्यूब्स प्राप्त हों, जिनका किनारा मूल क्यूब की तुलना में 5 गुना छोटा था। आपको कितने छोटे घन मिले? ऐसे कितने घन हैं जिनकी तीन भुजाएँ रंगीन हैं? दो पक्षों? एक किनारा? कितने बिना रंग वाले घन बचे हैं? 6.6. तरबूज को 4 भागों में काट कर खाया जाता है. यह 5 क्रस्ट निकला। क्या ये संभव हो सकता है?

28 28 7. रंग भरने के कार्य 6.7. एक पैनकेक को तीन सीधे कटों से काटे जाने वाले टुकड़ों की सबसे बड़ी संख्या क्या है? एक पाव रोटी के तीन टुकड़ों से आप कितने टुकड़े प्राप्त कर सकते हैं? 7. रंग की समस्याएँ पाठ 7.1 विषय: रंग समस्याओं को हल करने में मदद करता है। लक्ष्य: अच्छी तरह से चुने गए रंग (उदाहरण के लिए, चेकरबोर्ड रंग) का उपयोग करके यह साबित करना सीखें कि काटने की कुछ समस्याओं का कोई समाधान नहीं है, जिससे छात्रों की तार्किक संस्कृति में सुधार होगा। समस्याएँ यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि किसी आकृति को भागों में काटने की समस्या का समाधान संभव है: काटने की कुछ विधि प्रदान करना ही पर्याप्त है। सभी समाधान ढूँढना, यानी काटने की सभी विधियाँ, पहले से ही अधिक कठिन है। और यह साबित करना भी काफी मुश्किल है कि काटना असंभव है। कुछ मामलों में, आकृति को रंगने से हमें ऐसा करने में मदद मिलती है। हमने 8 × 8 मापने वाले चेकर्ड पेपर का एक वर्ग लिया और उसमें से दो वर्ग काट दिए (निचले बाएँ और ऊपर दाएँ)। क्या परिणामी आकृति को "डोमिनोज़" आयतों 1 2 से पूरी तरह से ढकना संभव है? 7.2. शतरंज की बिसात पर एक ऊँट का टुकड़ा होता है, जो प्रत्येक चाल के साथ तीन वर्ग लंबवत और एक क्षैतिज रूप से, या तीन क्षैतिज और एक लंबवत रूप से चलता है। क्या एक "ऊँट" कई चालें चलने के बाद, मूल कोठरी के बगल वाली कोठरी में घुस सकता है? 7.3. 5 5 वर्ग की प्रत्येक कोशिका में एक भृंग बैठता है। आदेश पर, प्रत्येक भृंग बगल की कोशिकाओं में से एक तक रेंगता हुआ चला गया। क्या ऐसा हो सकता है कि इसके बाद प्रत्येक कोशिका में फिर से एक ही भृंग होगा? यदि मूल वर्ग का आयाम 6 6 हो तो क्या होगा? 7.4. क्या 4 गुणा 4 टार्टन पेपर के एक वर्ग को एक पेडस्टल, एक वर्ग, एक पोस्ट और एक ज़िगज़ैग में काटना संभव है (चित्र 46)?

एम. ए. एकिमोवा, जी. पी. कुकिन एमटीएसएनएमओ मॉस्को, 2002 यूडीसी 514.11 बीबीके 22.151.0 ई45 ई45 एकिमोवा एम. ए., कुकिन जी. पी. काटने की समस्या। एम.: एमटीएसएनएमओ, 2002. 120 पीपी.: बीमार। शृंखला: "गणित पढ़ाने का रहस्य।" यह

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1. चेकर्ड पेपर पर एक आकृति बनाएं। इसे 4 बराबर भागों में बाँट लें
चेकर्ड पेपर की तर्ज पर हिस्से। जिसके लिए सभी संभावित आंकड़े खोजें
आप समस्या की स्थितियों के अनुसार इस आंकड़े में कटौती कर सकते हैं।
समाधान।
2. 5 5 वर्ग में से एक केंद्रीय कक्ष काटा गया। परिणामी को काटें
दो तरीकों से दो बराबर भागों में आकार दें।
समाधान।

3. 3×4 आयत को दो बराबर भागों में विभाजित करें। जितना संभव हो उतना खोजें
और भी तरीके. आप केवल 1 × 1 वर्ग के किनारे ही काट सकते हैं, और विधियाँ
यदि परिणामी आंकड़े प्रत्येक के लिए समान नहीं हैं तो उन्हें अलग माना जाता है
रास्ता।
समाधान।
4. चित्र में दिखाई गई आकृति को 2 बराबर भागों में काटें।
समाधान।
5. चित्र में दिखाई गई आकृति को 2 बराबर भागों में काटें।

समाधान।
6. चित्र में दिखाई गई आकृति को दो बराबर भागों में काट लें
ग्रिड रेखाएँ, और प्रत्येक भाग में एक वृत्त होना चाहिए।
समाधान।
7. चित्र में दिखाई गई आकृति को चार बराबर भागों में काटें

समाधान।

8. चित्र में दिखाई गई आकृति को चार बराबर भागों में काटें
ग्रिड लाइनों के साथ, और प्रत्येक भाग में एक वृत्त होना चाहिए।
समाधान।
9. इस वर्ग को कोशिकाओं के किनारों के साथ काटें ताकि सभी भाग
एक ही आकार और आकार के हों और प्रत्येक में एक हो
मग और क्रॉस.
समाधान।

10. चित्र में दिखाए गए चित्र को ग्रिड रेखाओं के अनुदिश काटें
चार बराबर भाग करें और उन्हें एक वर्ग में मोड़ें ताकि वृत्त और क्रॉस हो जाएं
वर्ग की समरूपता के सभी अक्षों के सापेक्ष सममित रूप से स्थित है।
समाधान।
11. चित्र में दिखाए गए 6 6 वर्ग को चार भागों में काटें
समान भाग ताकि उनमें से प्रत्येक में तीन छायांकित कोशिकाएँ हों।

समाधान।
12. क्या एक वर्ग को चार भागों में काटना संभव है ताकि प्रत्येक भाग अलग हो जाए
अन्य तीन के संपर्क में था (यदि उनके हिस्से समान हैं तो वे संपर्क में हैं
सीमा खंड)?
समाधान।
13. क्या 9×4 कोशिकाओं के एक आयत को लंबाई में दो बराबर भागों में काटना संभव है?

तो फिर यह कैसे करें?
समाधान. ऐसे वर्ग का क्षेत्रफल 36 कोष्ठ है, अर्थात इसकी भुजा 6 है
कोशिकाएं. काटने की विधि चित्र में दिखाई गई है।

14. क्या 5 x 10 कोशिकाओं के एक आयत को दो बराबर भागों में काटना संभव है?
कोशिकाओं की भुजाएँ ताकि उन्हें एक वर्ग का रूप दिया जा सके? यदि हां,
तो फिर यह कैसे करें?
समाधान. ऐसे वर्ग का क्षेत्रफल 50 कोष्ठ है, अर्थात् उसकी भुजा है
7 से अधिक, लेकिन 8 से कम पूर्ण कोशिकाएँ। तो, ऐसे आयत को काटें
कोशिकाओं के किनारों पर आवश्यक तरीके से यह असंभव है।
15. कागज की 9 शीटें थीं। उनमें से कुछ को तीन भागों में काटा गया। कुल
15 शीट बन गईं. आपने कागज की कितनी शीटें काटीं?
समाधान। हमने 3 शीटें काटी: 3 ∙ 3 + 6 = 15।