स्थिर गुणांकों के साथ उच्च कोटि के विभेदक समीकरण। दूसरे क्रम और उच्च क्रम के विभेदक समीकरण

अक्सर सिर्फ एक उल्लेख विभेदक समीकरणछात्रों को असहज महसूस कराता है। ऐसा क्यों हो रहा है? सबसे अधिक बार, क्योंकि सामग्री की मूल बातों का अध्ययन करते समय, ज्ञान में एक अंतर पैदा होता है, जिसके कारण डिफ़र्स का आगे का अध्ययन बस यातना बन जाता है। यह स्पष्ट नहीं है कि क्या करें, कैसे निर्णय लें, कहाँ से शुरू करें?

हालाँकि, हम आपको यह दिखाने का प्रयास करेंगे कि डिफ़र्स उतने कठिन नहीं हैं जितना लगता है।

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

स्कूल से हम सबसे सरल समीकरण जानते हैं जिनमें हमें अज्ञात x ज्ञात करना होता है। वास्तव में विभेदक समीकरणकेवल उनसे थोड़ा अलग - एक चर के बजाय एक्स आपको उनमें एक फ़ंक्शन ढूंढने की आवश्यकता है वाई(एक्स) , जो समीकरण को एक पहचान में बदल देगा।

डी विभेदक समीकरणबड़े व्यावहारिक महत्व के हैं. यह कोई अमूर्त गणित नहीं है जिसका हमारे आसपास की दुनिया से कोई संबंध नहीं है। कई वास्तविक प्राकृतिक प्रक्रियाओं का वर्णन विभेदक समीकरणों का उपयोग करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक स्ट्रिंग के कंपन, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की गति, यांत्रिकी की समस्याओं में अंतर समीकरणों का उपयोग करके, किसी पिंड की गति और त्वरण का पता लगाएं। भी ड्यूजीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और कई अन्य विज्ञानों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अंतर समीकरण (ड्यू) एक समीकरण है जिसमें फ़ंक्शन y(x) के व्युत्पन्न, स्वयं फ़ंक्शन, स्वतंत्र चर और विभिन्न संयोजनों में अन्य पैरामीटर शामिल हैं।

विभेदक समीकरण कई प्रकार के होते हैं: साधारण अंतर समीकरण, रैखिक और अरैखिक, सजातीय और अमानवीय, प्रथम और उच्च क्रम के अंतर समीकरण, आंशिक अंतर समीकरण, इत्यादि।

विभेदक समीकरण का समाधान एक फ़ंक्शन है जो इसे एक पहचान में बदल देता है। रिमोट कंट्रोल के सामान्य और विशेष समाधान हैं।

विभेदक समीकरण का एक सामान्य समाधान समाधानों का एक सामान्य सेट है जो समीकरण को एक पहचान में बदल देता है। विभेदक समीकरण का आंशिक समाधान एक ऐसा समाधान है जो प्रारंभ में निर्दिष्ट अतिरिक्त शर्तों को पूरा करता है।

किसी अवकल समीकरण का क्रम उसके अवकलजों के उच्चतम क्रम से निर्धारित होता है।

सामान्य अवकल समीकरण

सामान्य अवकल समीकरणएक स्वतंत्र चर वाले समीकरण हैं।

आइए प्रथम कोटि के सबसे सरल साधारण अवकल समीकरण पर विचार करें। ऐसा लग रहा है:

ऐसे समीकरण को इसके दाएँ पक्ष को एकीकृत करके ही हल किया जा सकता है।

ऐसे समीकरणों के उदाहरण:

वियोज्य समीकरण

सामान्य तौर पर, इस प्रकार का समीकरण इस तरह दिखता है:

यहाँ एक उदाहरण है:

ऐसे समीकरण को हल करते समय, आपको चरों को अलग करना होगा, इसे इस रूप में लाना होगा:

इसके बाद, यह दोनों भागों को एकीकृत करने और समाधान प्राप्त करने के लिए रहता है।

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण

ऐसे समीकरण इस प्रकार दिखते हैं:

यहाँ p(x) और q(x) स्वतंत्र चर के कुछ फलन हैं, और y=y(x) वांछित फलन है। यहां ऐसे समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

ऐसे समीकरण को हल करते समय, अक्सर वे एक मनमाना स्थिरांक को बदलने की विधि का उपयोग करते हैं या दो अन्य कार्यों y(x)=u(x)v(x) के उत्पाद के रूप में वांछित फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए कुछ तैयारी की आवश्यकता होती है और उन्हें "एक नज़र में" लेना काफी कठिन होगा।

वियोज्य चरों के साथ अवकल समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

इसलिए हमने रिमोट कंट्रोल के सबसे सरल प्रकारों पर ध्यान दिया। आइए अब उनमें से किसी एक का समाधान देखें। मान लीजिए कि यह वियोज्य चरों वाला एक समीकरण है।

सबसे पहले, आइए व्युत्पन्न को अधिक परिचित रूप में फिर से लिखें:

फिर हम चरों को विभाजित करते हैं, अर्थात, समीकरण के एक भाग में हम सभी "I" एकत्र करते हैं, और दूसरे में - "X":

अब दोनों भागों को एकीकृत करना बाकी है:

हम इस समीकरण को एकीकृत करते हैं और एक सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं:

बेशक, अंतर समीकरणों को हल करना एक तरह की कला है। आपको यह समझने में सक्षम होने की आवश्यकता है कि यह किस प्रकार का समीकरण है, और यह भी देखना सीखें कि एक या दूसरे रूप में ले जाने के लिए इसके साथ क्या परिवर्तन करने की आवश्यकता है, न कि केवल अंतर करने और एकीकृत करने की क्षमता का उल्लेख करें। और DE को हल करने में सफल होने के लिए, आपको अभ्यास की आवश्यकता है (जैसा कि हर चीज़ में होता है)। और यदि आपके पास वर्तमान में यह समझने का समय नहीं है कि अंतर समीकरणों को कैसे हल किया जाता है या कॉची समस्या आपके गले में हड्डी की तरह फंस गई है, या आप नहीं जानते हैं, तो हमारे लेखकों से संपर्क करें। थोड़े समय में, हम आपको एक तैयार और विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे, जिसका विवरण आप अपने लिए सुविधाजनक किसी भी समय समझ सकते हैं। इस बीच, हम "अंतर समीकरणों को कैसे हल करें" विषय पर एक वीडियो देखने का सुझाव देते हैं:

कंप्यूटिंग का सिद्धांत अमानवीय विभेदक समीकरण(डीयू) इस प्रकाशन में नहीं दिया जाएगा; पिछले पाठों से आप प्रश्न का उत्तर खोजने के लिए पर्याप्त जानकारी पा सकते हैं "एक अमानवीय अंतर समीकरण को कैसे हल करें?"अमानवीय डीई की डिग्री यहां एक बड़ी भूमिका नहीं निभाती है; ऐसे कई तरीके नहीं हैं जो किसी को ऐसे डीई के समाधान की गणना करने की अनुमति देते हैं। उदाहरणों में उत्तर पढ़ना आपके लिए आसान बनाने के लिए, मुख्य जोर केवल गणना पद्धति और युक्तियों पर दिया गया है जो अंतिम फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति को सुविधाजनक बनाएगा।

उदाहरण 1। अवकल समीकरण हल करें
समाधान: दिया गया तीसरे क्रम का सजातीय अंतर समीकरण,इसके अलावा, इसमें केवल दूसरा और तीसरा डेरिवेटिव शामिल है और इसमें कोई फ़ंक्शन और इसका पहला डेरिवेटिव नहीं है। इस तरह के मामलों में डिग्री कम करने की विधि लागू करेंअंतर समीकरण। ऐसा करने के लिए, एक पैरामीटर प्रस्तुत करें - आइए पैरामीटर पी के माध्यम से दूसरे व्युत्पन्न को निरूपित करें

तो फ़ंक्शन का तीसरा व्युत्पन्न बराबर है

मूल सजातीय डीई को फॉर्म में सरल बनाया जाएगा

फिर, हम इसे भिन्न-भिन्न रूपों में लिखते हैं एक अलग चर समीकरण को कम करेंऔर एकीकरण द्वारा समाधान खोजें

याद रखें कि पैरामीटर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न है

इसलिए, फ़ंक्शन के लिए सूत्र खोजने के लिए, हम पाए गए अंतर निर्भरता को दो बार एकीकृत करते हैं

फ़ंक्शन में, मान C 1 , C 2 , C 3 मनमाने मानों के बराबर हैं।
यह योजना कितनी सरल दिखती है: एक पैरामीटर प्रस्तुत करके एक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजें।निम्नलिखित समस्याएँ अधिक जटिल हैं और उनसे आप तृतीय-क्रम अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करना सीखेंगे। गणना के संदर्भ में सजातीय और विषम नियंत्रण प्रणालियों के बीच कुछ अंतर है, जैसा कि आप अब देखेंगे।

उदाहरण 2. खोजो
समाधान: हमारे पास तीसरा क्रम है। अत: इसका समाधान दो के योग के रूप में खोजना चाहिए - एक सजातीय समीकरण का समाधान और एक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान

आइए पहले तय कर लें

जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें फ़ंक्शन का केवल दूसरा और तीसरा डेरिवेटिव शामिल है और फ़ंक्शन स्वयं शामिल नहीं है। इस तरह अंतर समीकरणों को एक पैरामीटर पेश करके हल किया जाता है, जिसमेंबदले में, समीकरण का समाधान ढूंढना कम और सरल बनाता है। व्यवहार में, यह इस तरह दिखता है: मान लें कि दूसरा व्युत्पन्न एक निश्चित फ़ंक्शन के बराबर है, तो तीसरे व्युत्पन्न में औपचारिक रूप से अंकन होगा

तीसरे क्रम का माना गया सजातीय अंतर समीकरण पहले क्रम के समीकरण में बदल जाता है

जहां से, चरों को विभाजित करके, हम अभिन्न पाते हैं
x*dp-p*dx=0;

हम ऐसी समस्याओं में सूत्रों को क्रमांकित करने की अनुशंसा करते हैं, क्योंकि तीसरे क्रम के अंतर समीकरण के समाधान में 3 स्थिरांक होते हैं, चौथे क्रम में 4 स्थिरांक होते हैं, और इसी तरह सादृश्य द्वारा। अब हम प्रस्तुत पैरामीटर पर लौटते हैं: चूंकि दूसरे व्युत्पन्न का रूप है, तो फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए निर्भरता होने पर इसे एकीकृत करना

और बार-बार एकीकरण से हम पाते हैं एक सजातीय कार्य का सामान्य रूप

समीकरण का आंशिक समाधानआइए इसे लघुगणक द्वारा गुणा किए गए एक चर के रूप में लिखें। यह इस तथ्य से निकलता है कि DE का दायां (अमानवीय) भाग -1/x के बराबर है और समकक्ष अंकन प्राप्त करने के लिए

समाधान प्रपत्र में मांगा जाना चाहिए

आइए गुणांक A ज्ञात करें, इसके लिए हम पहले और दूसरे क्रम के डेरिवेटिव की गणना करते हैं

आइए पाए गए भावों को मूल अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करें और गुणांकों को x की समान शक्तियों पर बराबर करें:

स्टील का मूल्य -1/2 के बराबर है, और इसका आकार है

विभेदक समीकरण का सामान्य समाधानइसे पाए गए योग के रूप में लिखें

जहां C 1, C 2, C 3 मनमाना स्थिरांक हैं जिन्हें कॉची समस्या का उपयोग करके परिष्कृत किया जा सकता है।

उदाहरण 3. तीसरे क्रम DE का समाकलन ज्ञात कीजिए
समाधान: हम एक सजातीय और आंशिक अमानवीय समीकरण के समाधानों के योग के रूप में तीसरे क्रम के अमानवीय अंतर समीकरण के सामान्य अभिन्न अंग की तलाश कर रहे हैं। सबसे पहले, किसी भी प्रकार के समीकरण के लिए हम शुरू करते हैं सजातीय विभेदक समीकरण का विश्लेषण करें

इसमें वर्तमान में अज्ञात फ़ंक्शन का केवल दूसरा और तीसरा डेरिवेटिव शामिल है। हम चर (पैरामीटर) में परिवर्तन का परिचय देते हैं: हम दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निरूपित करते हैं

फिर तीसरा व्युत्पन्न बराबर है

पिछले कार्य में भी वही परिवर्तन किए गए थे। यह अनुमति देता है तीसरे क्रम के अंतर समीकरण को फॉर्म के पहले क्रम के समीकरण में कम करें

एकीकरण से हम पाते हैं

हमें याद है कि, चरों के परिवर्तन के अनुसार, यह केवल दूसरा व्युत्पन्न है

और एक सजातीय तीसरे क्रम के अंतर समीकरण का समाधान खोजने के लिए, इसे दो बार एकीकृत करने की आवश्यकता है

दाहिनी ओर के प्रकार के आधार पर (गैर-समान भाग =x+1), हम फॉर्म में समीकरण का आंशिक समाधान ढूंढते हैं

यह कैसे जानें कि आंशिक समाधान किस रूप में खोजना है, आपको पाठ्यक्रम के सैद्धांतिक भाग में अंतर समीकरणों पर पढ़ाया जाना चाहिए था। यदि नहीं, तो हम केवल यह सुझाव दे सकते हैं कि फ़ंक्शन के लिए एक अभिव्यक्ति को इस तरह चुना जाए कि, समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, उच्चतम व्युत्पन्न या छोटा वाला पद समीकरण के अमानवीय भाग के समान क्रम (समान) का हो

मुझे लगता है कि अब यह आपके लिए स्पष्ट हो गया है कि निजी समाधान का प्रकार कहाँ से आता है। आइए गुणांक ए, बी खोजें, इसके लिए हम फ़ंक्शन के दूसरे और तीसरे डेरिवेटिव की गणना करते हैं

और इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। समान पदों को समूहीकृत करने के बाद, हमें रैखिक समीकरण प्राप्त होता है

जिससे, चर की समान शक्तियों के लिए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं

और अज्ञात स्टील्स खोजें। इनके प्रतिस्थापन के बाद निर्भरता द्वारा व्यक्त किया जाता है

विभेदक समीकरण का सामान्य समाधानसजातीय और आंशिक के योग के बराबर है और इसका रूप है

जहाँ C 1, C 2, C 3 मनमाना स्थिरांक हैं।

उदाहरण 4. पी विभेदक समीकरण हल करें
समाधान: हमारे पास एक समाधान है जिसे हम योग के माध्यम से ढूंढेंगे। आप गणना योजना जानते हैं, तो आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ें सजातीय विभेदक समीकरण

मानक विधि के अनुसार पैरामीटर दर्ज करें
मूल अवकल समीकरण का रूप लेगा, जहाँ से, चरों को विभाजित करने पर, हम पाते हैं

याद रखें कि पैरामीटर दूसरे व्युत्पन्न के बराबर है
DE को एकीकृत करके हम फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं

बार-बार एकीकरण से एक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन ज्ञात कीजिए

हम फॉर्म में समीकरण का आंशिक समाधान ढूंढते हैं, चूँकि दाहिना भाग बराबर है
आइए गुणांक A ज्ञात करें - ऐसा करने के लिए, अंतर समीकरण में y* को प्रतिस्थापित करें और चर की समान शक्तियों पर गुणांक को बराबर करें

पदों के प्रतिस्थापन और समूहीकरण के बाद हमें निर्भरता प्राप्त होती है

जिसमें से स्टील A=8/3 के बराबर है।
इस प्रकार, हम लिख सकते हैं DE का आंशिक समाधान

विभेदक समीकरण का सामान्य समाधानपाए गए लोगों के योग के बराबर

जहाँ C 1, C 2, C 3 मनमाना स्थिरांक हैं। यदि कॉची शर्त दी गई है, तो हम उन्हें बहुत आसानी से परिभाषित कर सकते हैं।

मेरा मानना ​​है कि व्यावहारिक कक्षाओं, मॉड्यूल या परीक्षणों की तैयारी करते समय यह सामग्री आपके लिए उपयोगी होगी। कॉची समस्या पर यहां चर्चा नहीं की गई, लेकिन पिछले पाठों से आप आम तौर पर जानते हैं कि इसे कैसे करना है।

उच्च क्रम विभेदक समीकरण

उच्च क्रम विभेदक समीकरणों (DEHE) की मूल शब्दावली।

प्रपत्र का एक समीकरण, जहां एन >1 (2)

उच्चतर कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है, अर्थात एन-वाँ क्रम.

डीयू परिभाषा क्षेत्र, एनआदेश का एक क्षेत्र है.

इस पाठ्यक्रम में निम्नलिखित प्रकार की नियंत्रण प्रणालियों पर विचार किया जाएगा:

कॉची समस्या डीयू उपाध्यक्ष:

रिमोट कंट्रोल दिया जाए,
और प्रारंभिक शर्तें n/a: संख्याएं।

आपको एक सतत और n गुना अवकलनीय फ़ंक्शन खोजने की आवश्यकता है
:

1)
दिए गए DE का एक समाधान है, अर्थात।
;

2) दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है: .

दूसरे क्रम के DE के लिए, समस्या के समाधान की ज्यामितीय व्याख्या इस प्रकार है: बिंदु से गुजरने वाला एक अभिन्न वक्र मांगा जाता है (एक्स 0 , य 0 ) और एक कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा की स्पर्शरेखा क = य 0 ́ .

अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय(डीई (2) के लिए कॉची समस्या का समाधान):

यदि 1)
निरंतर (कुल मिलाकर) (एन+1) तर्क) क्षेत्र में
; 2)
निरंतर (तर्कों की समग्रता पर
) फिर में ! DE के लिए कॉची समस्या का समाधान, दी गई प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करता है n/a: .

इस क्षेत्र को DE की विशिष्टता का क्षेत्र कहा जाता है।

रिमोट कंट्रोल वीपी का सामान्य समाधान (2) – एन -पैरामीट्रिकसमारोह,
, कहाँ
- मनमाना स्थिरांक, निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करते हुए:

1)

– DE (2) का समाधान ;

2) n/a विशिष्टता के क्षेत्र से!
:
दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

टिप्पणी.

संबंध देखें
, जो स्पष्ट रूप से DE (2) के सामान्य समाधान को निर्धारित करता है, कहलाता है सामान्य अभिन्नडीयू.

निजी समाधान DE (2) एक विशिष्ट मान के लिए इसके सामान्य समाधान से प्राप्त किया जाता है .

वीपी रिमोट कंट्रोल का एकीकरण।

उच्च क्रम के अंतर समीकरण, एक नियम के रूप में, सटीक विश्लेषणात्मक तरीकों से हल नहीं किए जा सकते हैं।

आइए हम एक निश्चित प्रकार के डीयूवीपी की पहचान करें जो क्रम में कटौती की अनुमति देता है और इसे चतुष्कोणों में घटाया जा सकता है। आइए हम इस प्रकार के समीकरणों और उनके क्रम को कम करने की विधियों को सारणीबद्ध करें।

वीपी डीयू जो ऑर्डर में कटौती की अनुमति देते हैं

		ऑर्डर कम करने की विधि
	नियंत्रण प्रणाली अपूर्ण है, इसमें शामिल नहीं है . उदाहरण के लिए,	वगैरह। बाद एनएकाधिक एकीकरण से DE का सामान्य समाधान प्राप्त होता है।
	समीकरण अधूरा है; इसमें स्पष्ट रूप से आवश्यक फ़ंक्शन शामिल नहीं है और वह प्रथम व्युत्पन्न. उदाहरण के लिए,	प्रतिस्थापन समीकरण के क्रम को कम करता है कइकाइयाँ।
	अधूरा समीकरण; इसमें स्पष्ट रूप से कोई तर्क नहीं है वांछित कार्य. उदाहरण के लिए,	प्रतिस्थापन समीकरण का क्रम एक से कम हो गया है।
	समीकरण सटीक व्युत्पन्न में है; यह पूर्ण या अपूर्ण हो सकता है। ऐसे समीकरण को (*) ́= (*)́ के रूप में बदला जा सकता है, जहां समीकरण के दाएं और बाएं पक्ष कुछ कार्यों के सटीक व्युत्पन्न होते हैं।	तर्क पर समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को एकीकृत करने से समीकरण का क्रम एक से कम हो जाता है।
		प्रतिस्थापन समीकरण के क्रम को एक से कम कर देता है।

एक सजातीय फलन की परिभाषा:

समारोह
चरों में सजातीय कहा जाता है
, अगर


फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर
;

– एकरूपता का क्रम.

उदाहरण के लिए, के संबंध में दूसरे क्रम का एक सजातीय कार्य है
, अर्थात। .

उदाहरण 1:

रिमोट कंट्रोल का सामान्य समाधान खोजें
.

तीसरे क्रम का डीई, अपूर्ण, स्पष्ट रूप से शामिल नहीं है
. हम क्रमिक रूप से समीकरण को तीन बार एकीकृत करते हैं।

,

- रिमोट कंट्रोल का सामान्य समाधान।

उदाहरण 2:

रिमोट कंट्रोल के लिए कॉची समस्या का समाधान करें
पर

.

दूसरे क्रम का डीई, अपूर्ण, स्पष्ट रूप से शामिल नहीं है .

प्रतिस्थापन
और इसका व्युत्पन्न
रिमोट कंट्रोल का ऑर्डर एक से कम कर देगा।

. हमने प्रथम कोटि DE - बर्नौली समीकरण प्राप्त किया। इस समीकरण को हल करने के लिए हम बर्नौली प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं:

,

और इसे समीकरण में प्लग करें।

इस स्तर पर, हम समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करते हैं
:
.

- वियोज्य चर के साथ प्रथम क्रम समीकरण।

हम प्रारंभिक शर्तों को अंतिम समानता में प्रतिस्थापित करते हैं:

उत्तर:
कॉची समस्या का एक समाधान है जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

उदाहरण 3:

DE को हल करें.

- दूसरे क्रम का DE, अपूर्ण, इसमें स्पष्ट रूप से चर शामिल नहीं है, और इसलिए प्रतिस्थापन का उपयोग करके ऑर्डर को एक से कम करने की अनुमति देता है या
.

हमें समीकरण मिलता है
(होने देना
).

- अलग-अलग चर के साथ पहला क्रम DE। आइए उन्हें अलग करें.

- डीई का सामान्य अभिन्न अंग।

उदाहरण 4:

DE को हल करें.

समीकरण
सटीक डेरिवेटिव में एक समीकरण होता है। वास्तव में,
.

आइए बाएँ और दाएँ पक्षों को, अर्थात् के संबंध में एकीकृत करें।
या । हमने अलग-अलग चरों के साथ पहला क्रम DE प्राप्त किया, अर्थात।
- डीई का सामान्य अभिन्न अंग।

उदाहरण5:

कॉची समस्या को हल करें
पर ।

चौथे क्रम का डीई, अपूर्ण, स्पष्ट रूप से शामिल नहीं है
. यह देखते हुए कि यह समीकरण सटीक व्युत्पन्न में है, हम पाते हैं
या
,
. आइए प्रारंभिक स्थितियों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
. आइए एक रिमोट कंट्रोल लें
पहले प्रकार का तीसरा क्रम (तालिका देखें)। आइए इसे तीन बार एकीकृत करें, और प्रत्येक एकीकरण के बाद हम प्रारंभिक शर्तों को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:

उत्तर:
- मूल DE की कॉची समस्या का समाधान।

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें।

- दूसरे क्रम का डीई, पूर्ण, के संबंध में एकरूपता शामिल है
. प्रतिस्थापन
समीकरण के क्रम को कम कर देगा. ऐसा करने के लिए, आइए हम समीकरण को फॉर्म में घटाएँ
, मूल समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करने पर . और फ़ंक्शन को अलग करें पी:

.

आइए स्थानापन्न करें
और
रिमोट कंट्रोल में:
. यह वियोज्य चरों वाला प्रथम क्रम का समीकरण है।

ध्यान में रख कर
, हमें रिमोट कंट्रोल मिलता है या
- मूल DE का सामान्य समाधान।

उच्च कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों का सिद्धांत।

बुनियादी शब्दावली.

- एनएलडीयू वें क्रम, जहां एक निश्चित अंतराल पर निरंतर कार्य होते हैं।

इसे रिमोट कंट्रोल की निरंतरता का अंतराल (3) कहा जाता है।

आइए हम वें क्रम के एक (सशर्त) अंतर ऑपरेटर का परिचय दें

जब यह फ़ंक्शन पर कार्य करता है, तो हमें मिलता है

अर्थात्, वें क्रम के रैखिक अवकल समीकरण का बायाँ भाग।

परिणामस्वरूप, LDE लिखा जा सकता है

ऑपरेटर के रैखिक गुण
:

1)-योगात्मकता का गुण

2)
– संख्या – एकरूपता का गुण

गुणों को आसानी से सत्यापित किया जा सकता है, क्योंकि इन कार्यों के डेरिवेटिव में समान गुण होते हैं (डेरिवेटिव का एक सीमित योग डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या के योग के बराबर होता है; निरंतर कारक को व्युत्पन्न के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है)।

वह।
– रैखिक ऑपरेटर.

आइए एलडीई के लिए कॉची समस्या के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के प्रश्न पर विचार करें
.

आइए हम इसके संबंध में एलडीई को हल करें
: ,
, – निरंतरता अंतराल.

डोमेन, डेरिवेटिव में निरंतर कार्य
क्षेत्र में निरंतर

नतीजतन, विशिष्टता का क्षेत्र जिसमें कॉची एलडीई समस्या (3) का एक अद्वितीय समाधान है और यह केवल बिंदु की पसंद पर निर्भर करता है
, अन्य सभी तर्क मान
कार्य
मनमाने ढंग से लिया जा सकता है.

OLDE का सामान्य सिद्धांत.

– निरंतरता अंतराल.

OLDE समाधानों के मुख्य गुण:

1. योगात्मकता गुण

(
– OLDE का समाधान (4) पर )
(
– OLDE (4) का समाधान ).

सबूत:

- OLDE (4) का समाधान चालू

- OLDE (4) का समाधान चालू

तब

2. एकरूपता का गुण

(- OLDE (4) का समाधान ) (
(– संख्यात्मक क्षेत्र))

- OLDE (4) का समाधान।

प्रमाण समान है.

योगात्मकता और एकरूपता के गुणों को OLDE (4) के रैखिक गुण कहा जाता है।

परिणाम:

(
- OLDE (4) का समाधान )(

– OLDE (4) का समाधान ).

3. (- OLDE (4) का जटिल-मूल्य समाधान )(
OLDE (4) के वास्तविक-मूल्यवान समाधान हैं)।

सबूत:

यदि OLDE (4) का एक समाधान है, तो जब इसे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह इसे एक पहचान में बदल देता है, अर्थात।
.

ऑपरेटर की रैखिकता के कारण, अंतिम समानता के बाईं ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
.

इसका मतलब यह है कि, यानी, OLDE (4) के वास्तविक-मूल्यवान समाधान हैं।

OLDEs के समाधान के बाद के गुण इस अवधारणा से संबंधित हैं " रैखिक निर्भरता”.

कार्यों की एक परिमित प्रणाली की रैखिक निर्भरता का निर्धारण

कहा जाता है कि कार्यों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि कोई है गैरतुच्छसंख्याओं का सेट
ऐसा कि रैखिक संयोजन
कार्य
इन संख्याओं के साथ शून्य पर समान रूप से बराबर है, यानी
.n जो गलत है. प्रमेय सिद्ध है। अंतर समीकरणउच्चपरिमाण का क्रम(चार घंटे...

दूसरे क्रम और उच्च क्रम के विभेदक समीकरण।
स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण।
समाधान के उदाहरण.

आइए दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों और उच्च क्रम के अंतर समीकरणों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि एक विभेदक समीकरण क्या है (या बिल्कुल समझ में नहीं आता कि यह क्या है), तो मैं पाठ से शुरुआत करने की सलाह देता हूं प्रथम कोटि अवकल समीकरण. समाधान के उदाहरण. इसलिए, प्रथम-क्रम डिफ्यूज़ के कई समाधान सिद्धांत और बुनियादी अवधारणाएँ स्वचालित रूप से उच्च-क्रम अंतर समीकरणों तक विस्तारित होती हैं पहले प्रथम क्रम के समीकरणों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है.

कई पाठकों के मन में यह पूर्वाग्रह हो सकता है कि दूसरे, तीसरे और अन्य आदेशों का रिमोट कंट्रोल बहुत कठिन और दुर्गम है। यह गलत है . उच्च क्रम के डिफ्यूज़ को हल करना सीखना "सामान्य" प्रथम क्रम डीई की तुलना में शायद ही अधिक कठिन है. और कुछ स्थानों पर यह और भी सरल है, क्योंकि समाधान सक्रिय रूप से स्कूली पाठ्यक्रम से सामग्री का उपयोग करते हैं।

सबसे लोकप्रिय दूसरे क्रम के विभेदक समीकरण. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के लिए अनिवार्य रूप सेदूसरा व्युत्पन्न और शामिल है शामिल नहीं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ बच्चे (और यहां तक ​​कि सभी एक ही बार में) समीकरण से गायब हो सकते हैं; यह महत्वपूर्ण है कि पिता घर पर हों। सबसे आदिम दूसरे क्रम का अंतर समीकरण इस तरह दिखता है:

व्यावहारिक कार्यों में तीसरे क्रम के अंतर समीकरण बहुत कम आम हैं; मेरी व्यक्तिपरक टिप्पणियों के अनुसार, उन्हें राज्य ड्यूमा में लगभग 3-4% वोट मिलेंगे।

तीसरे क्रम के अंतर समीकरण के लिए अनिवार्य रूप सेतीसरा व्युत्पन्न और शामिल है शामिल नहींउच्च आदेशों के व्युत्पन्न:

सबसे सरल तीसरे क्रम का अंतर समीकरण इस तरह दिखता है: - पिताजी घर पर हैं, सभी बच्चे टहलने के लिए बाहर हैं।

इसी तरह, आप चौथे, पांचवें और उच्चतर क्रम के अंतर समीकरणों को परिभाषित कर सकते हैं। व्यावहारिक समस्याओं में, ऐसी नियंत्रण प्रणालियाँ शायद ही कभी विफल होती हैं, हालाँकि, मैं प्रासंगिक उदाहरण देने का प्रयास करूँगा।

व्यावहारिक समस्याओं में प्रस्तावित उच्च क्रम के अंतर समीकरणों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है।

1) पहला समूह - तथाकथित समीकरण जिन्हें क्रम से कम किया जा सकता है. चलो भी!

2) दूसरा समूह - स्थिर गुणांकों के साथ उच्च कोटि के रैखिक समीकरण. जिसे हम अभी देखना शुरू करेंगे.

दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण
निरंतर गुणांक के साथ

सिद्धांत और व्यवहार में, ऐसे दो प्रकार के समीकरण प्रतिष्ठित हैं: सजातीय समीकरणऔर अमानवीय समीकरण.

स्थिर गुणांकों के साथ सजातीय दूसरा क्रम DEनिम्नलिखित रूप है:
, कहां और स्थिरांक (संख्याएं) हैं, और दाईं ओर - कठोरता सेशून्य।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सजातीय समीकरणों के साथ कोई विशेष कठिनाइयाँ नहीं हैं, मुख्य बात यह है द्विघात समीकरण को सही ढंग से हल करें.

कभी-कभी गैर-मानक सजातीय समीकरण होते हैं, उदाहरण के लिए फॉर्म में एक समीकरण , जहां दूसरे व्युत्पन्न में एकता से भिन्न कुछ स्थिरांक है (और, स्वाभाविक रूप से, शून्य से भिन्न)। समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल नहीं बदलता है, आपको शांति से एक विशेषता समीकरण बनाना चाहिए और उसकी जड़ें ढूंढनी चाहिए। यदि विशेषता समीकरण उदाहरण के लिए, दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें होंगी: , तो सामान्य समाधान सामान्य योजना के अनुसार लिखा जाएगा: .

कुछ मामलों में, स्थिति में टाइपो त्रुटि के कारण, "खराब" जड़ें हो सकती हैं, कुछ इस तरह . क्या करें उत्तर इस प्रकार लिखना होगा:

"खराब" संयुग्मित जटिल जड़ें जैसे कोई समस्या नहीं, सामान्य समाधान:

वह है, वैसे भी एक सामान्य समाधान है. क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं।

अंतिम पैराग्राफ में, जैसा कि मैंने वादा किया था, हम संक्षेप में विचार करेंगे:

उच्च कोटि के रैखिक सजातीय समीकरण

सब कुछ बहुत, बहुत समान है.

तीसरे क्रम के एक रैखिक सजातीय समीकरण का निम्नलिखित रूप होता है:
, स्थिरांक कहाँ हैं.
इस समीकरण के लिए, आपको एक अभिलक्षणिक समीकरण भी बनाना होगा और उसके मूल खोजने होंगे। जैसा कि कई लोगों ने अनुमान लगाया है, विशेषता समीकरण इस तरह दिखता है:
, और यह फिर भीयह है बिल्कुल तीनजड़

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि सभी जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं: , तो सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाएगा:

यदि एक जड़ वास्तविक है, और अन्य दो संयुग्मी सम्मिश्र हैं, तो हम सामान्य समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

एक विशेष मामला जब तीनों जड़ें एकाधिक (समान) हों। आइए एक अकेले पिता के साथ तीसरे क्रम के सबसे सरल सजातीय DE पर विचार करें:। अभिलक्षणिक समीकरण में तीन संपाती शून्य मूल हैं। हम सामान्य समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

यदि विशेषता समीकरण उदाहरण के लिए, तीन एकाधिक जड़ें हैं, तो सामान्य समाधान, तदनुसार, इस प्रकार है:

उदाहरण 9

एक सजातीय तृतीय कोटि अवकल समीकरण को हल करें

समाधान:आइए विशेषता समीकरण बनाएं और हल करें:

, - एक वास्तविक जड़ और दो संयुग्मित जटिल जड़ें प्राप्त होती हैं।

उत्तर:सामान्य निर्णय

इसी प्रकार, हम स्थिर गुणांक वाले चौथे क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण पर विचार कर सकते हैं: स्थिरांक कहां हैं।