किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक. किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु क्या हैं: अधिकतम और न्यूनतम के महत्वपूर्ण बिंदु

कई समस्याओं के लिए द्विघात फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान की गणना करने की आवश्यकता होती है। यदि मूल फ़ंक्शन मानक रूप में लिखा गया है: या परवलय के शीर्ष के निर्देशांक के माध्यम से अधिकतम या न्यूनतम पाया जा सकता है: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). इसके अलावा, किसी भी द्विघात फलन के अधिकतम या न्यूनतम की गणना गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके की जा सकती है।

कदम

द्विघात फलन मानक रूप में लिखा जाता है

फ़ंक्शन को मानक रूप में लिखें.द्विघात फलन एक ऐसा फलन है जिसके समीकरण में एक चर शामिल होता है x 2 (\displaystyle x^(2)). समीकरण में एक चर शामिल हो भी सकता है और नहीं भी एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x). यदि किसी समीकरण में 2 से अधिक घातांक वाला एक चर शामिल है, तो यह एक द्विघात फ़ंक्शन का वर्णन नहीं करता है। यदि आवश्यक हो, तो समान शब्द प्रदान करें और फ़ंक्शन को मानक रूप में लिखने के लिए उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें।

• उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन दिया गया है f (x) = 3 x + 2 x - x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). चर के साथ पद जोड़ें x 2 (\displaystyle x^(2))और वेरिएबल वाले सदस्य एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)समीकरण को मानक रूप में लिखने के लिए:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. द्विघात फलन का ग्राफ एक परवलय होता है। परवलय की शाखाएँ ऊपर या नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। यदि गुणांक ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)चर के साथ x 2 (\displaystyle x^(2)) ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x - 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). यहाँ ए = 2 (\displaystyle ए=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). इसलिए, यहाँ परवलय नीचे की ओर निर्देशित है।
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). यहाँ ए = 1 (\displaystyle ए=1), इसलिए परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है।
   • यदि परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है, तो आपको इसके न्यूनतम को देखने की आवश्यकता है। यदि परवलय नीचे की ओर इंगित कर रहा है, तो उसके अधिकतम को देखें।

2. गणना -बी/2ए.अर्थ − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))समन्वय है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)परवलय के शीर्ष. यदि एक द्विघात फलन को मानक रूप में लिखा जाता है a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), के लिए गुणांक का उपयोग करें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)और x 2 (\displaystyle x^(2))इस अनुसार:

   • फ़ंक्शन गुणांक में ए = 1 (\displaystyle ए=1)और बी = 10 (\डिस्प्लेस्टाइल बी=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • दूसरे उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन पर विचार करें। यहाँ a = − 3 (\displaystyle a=-3)और बी = 6 (\डिस्प्लेस्टाइल बी=6). इसलिए, परवलय के शीर्ष के "x" निर्देशांक की गणना निम्नानुसार करें:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. f(x) का संगत मान ज्ञात कीजिए। f(x) का संगत मान ज्ञात करने के लिए "x" के पाए गए मान को मूल फ़ंक्शन में प्लग करें। इस तरह आपको फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम पता चल जाएगा।

   • पहले उदाहरण में f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)आपने गणना की है कि परवलय के शीर्ष का x निर्देशांक है x = − 5 (\displaystyle x=-5). मूल फ़ंक्शन में, इसके बजाय एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)विकल्प - 5 (\डिस्प्लेस्टाइल -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • दूसरे उदाहरण में f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)आपने पाया कि परवलय के शीर्ष का x निर्देशांक है x = 1 (\displaystyle x=1). मूल फ़ंक्शन में, इसके बजाय एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)विकल्प 1 (\प्रदर्शन शैली 1)इसका अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए:
     • f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = - 3 (1) 2 + 6 (1) - 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = - 3 + 6 - 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. अपना उत्तर लिखिए.समस्या कथन को दोबारा पढ़ें. यदि आपको किसी परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो अपने उत्तर में दोनों मान लिखें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)और वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)(या एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))). यदि आपको किसी फ़ंक्शन की अधिकतम या न्यूनतम गणना करने की आवश्यकता है, तो अपने उत्तर में केवल मान लिखें वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)(या एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))). गुणांक के चिह्न को पुनः देखें ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)यह जाँचने के लिए कि आपने अधिकतम या न्यूनतम की गणना की है।

   • पहले उदाहरण में f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)अर्थ ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)सकारात्मक, तो आपने न्यूनतम की गणना कर ली है। परवलय का शीर्ष निर्देशांक वाले बिंदु पर स्थित है (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), और फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है − 26 (\displaystyle -26).
   • दूसरे उदाहरण में f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)अर्थ ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)नकारात्मक, तो आपने अधिकतम पाया है। परवलय का शीर्ष निर्देशांक वाले बिंदु पर स्थित है (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), और फ़ंक्शन का अधिकतम मान है − 1 (\displaystyle -1).

5. परवलय की दिशा ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, गुणांक के चिह्न को देखें ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए). यदि गुणांक ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)सकारात्मक, परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है। यदि गुणांक ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)नकारात्मक, परवलय नीचे की ओर निर्देशित है। उदाहरण के लिए:

   • . यहाँ ए = 2 (\displaystyle ए=2), यानी, गुणांक सकारात्मक है, इसलिए परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है।
   • . यहाँ a = − 3 (\displaystyle a=-3), अर्थात्, गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए परवलय नीचे की ओर निर्देशित है।
   • यदि परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है, तो आपको फ़ंक्शन के न्यूनतम मान की गणना करने की आवश्यकता है। यदि परवलय नीचे की ओर निर्देशित है, तो आपको फ़ंक्शन का अधिकतम मान ज्ञात करना होगा।

6. फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम मान ज्ञात करें।यदि फ़ंक्शन परवलय के शीर्ष के निर्देशांक के माध्यम से लिखा गया है, तो न्यूनतम या अधिकतम गुणांक के मान के बराबर है के (\डिस्प्लेस्टाइल के). उपरोक्त उदाहरणों में:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). यहाँ k = − 4 (\displaystyle k=-4). यह फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है क्योंकि परवलय ऊपर की ओर निर्देशित होता है।
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). यहाँ के = 2 (\डिस्प्लेस्टाइल के=2). यह फ़ंक्शन का अधिकतम मान है क्योंकि परवलय नीचे की ओर निर्देशित है।

7. परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।यदि समस्या के लिए परवलय के शीर्ष को खोजने की आवश्यकता है, तो इसके निर्देशांक हैं (एच , के) (\डिस्प्लेस्टाइल (एच,के)). कृपया ध्यान दें कि जब एक परवलय के शीर्ष के निर्देशांक के माध्यम से एक द्विघात फलन लिखा जाता है, तो घटाव संक्रिया को कोष्ठक में संलग्न किया जाना चाहिए (x − h) (\displaystyle (x-h)), तो मूल्य एच (\डिस्प्लेस्टाइल एच)विपरीत चिन्ह से लिया जाता है।

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). यहां जोड़ संक्रिया (x+1) कोष्ठक में संलग्न है, जिसे निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: (x-(-1))। इस प्रकार, h = − 1 (\displaystyle h=-1). इसलिए, इस फ़ंक्शन के परवलय के शीर्ष के निर्देशांक बराबर हैं (- 1 , - 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). यहाँ कोष्ठक में अभिव्यक्ति (x-2) है। इस तरह, एच = 2 (\डिस्प्लेस्टाइल एच=2). शीर्ष के निर्देशांक (2,2) हैं।

गणित संक्रियाओं का उपयोग करके न्यूनतम या अधिकतम की गणना कैसे करें

1. सबसे पहले, आइए समीकरण के मानक रूप को देखें।द्विघात फलन को मानक रूप में लिखें: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). यदि आवश्यक हो, तो मानक समीकरण प्राप्त करने के लिए समान पद जोड़ें और उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें।

   • उदाहरण के लिए: ।

2. प्रथम व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए।किसी द्विघात फलन का प्रथम अवकलज, जो मानक रूप में लिखा जाता है, बराबर होता है f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\ prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 - 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). इस फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न की गणना निम्नानुसार की जाती है:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\ prime )(x)=4x-4)

3. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें।याद रखें कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु पर फ़ंक्शन के ढलान के बराबर होता है। न्यूनतम या अधिकतम पर ढलान शून्य है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को शून्य पर सेट किया जाना चाहिए। हमारे उदाहरण में.

77419.फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें y=x 3 –48x+17

आइए अवकलज के शून्य ज्ञात करें:

आइए जड़ें जानें:

आइए परिणामी व्युत्पन्न में अंतरालों से मानों को प्रतिस्थापित करके फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें, और चित्र में फ़ंक्शन के व्यवहार को चित्रित करें:

हमने पाया कि बिंदु -4 पर व्युत्पन्न अपना चिह्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल देता है। इस प्रकार, बिंदु x=-4 वांछित अधिकतम बिंदु है।

उत्तर - 4

77423. फलन y=x 3 –3x 2 +2 का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए

आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए अवकलज को शून्य के बराबर करें और समीकरण हल करें:

बिंदु x=0 पर, व्युत्पन्न चिह्न को सकारात्मक से नकारात्मक में बदल देता है, जिसका अर्थ है कि यह अधिकतम बिंदु है।

77427. फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें y=x 3 +2x 2 +x+3

आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

जब हम अवकलज को शून्य के बराबर करते हैं और समीकरण हल करते हैं:

आइए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करें और प्रत्येक अंतराल से मानों को व्युत्पन्न की अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करके फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल को चित्र में चित्रित करें:

बिंदु x=-1 पर, व्युत्पन्न चिह्न को सकारात्मक से नकारात्मक में बदल देता है, जिसका अर्थ है कि यह वांछित अधिकतम बिंदु है।

उत्तर 1

77431. फलन y=x 3 –5x 2 +7x–5 का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए अवकलज के शून्य ज्ञात करें:

3x 2 – 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

बिंदु x = 1 पर, व्युत्पन्न अपना चिह्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदलता है, जिसका अर्थ है कि यह वांछित अधिकतम बिंदु है।

77435. फलन y=7+12x–x 3 का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए अवकलज के शून्य ज्ञात करें:

12 – 3x 2 = 0

द्विघात समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:

*ये फ़ंक्शन के संभावित अधिकतम (न्यूनतम) के बिंदु हैं।

आइए एक संख्या रेखा बनाएं और अवकलज के शून्यों को चिह्नित करें। आइए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अभिव्यक्ति में प्रत्येक अंतराल से एक मनमाना मान प्रतिस्थापित करके व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें और अंतराल पर वृद्धि और कमी को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

बिंदु x = 2 पर, व्युत्पन्न अपना चिह्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदलता है, जिसका अर्थ है कि यह वांछित अधिकतम बिंदु है।

*समान फ़ंक्शन के लिए, न्यूनतम बिंदु बिंदु x = - 2 है।

77439. फलन y=9x 2 – x 3 का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए अवकलज के शून्य ज्ञात करें:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:

*ये फ़ंक्शन के संभावित अधिकतम (न्यूनतम) के बिंदु हैं।

आइए एक संख्या रेखा बनाएं और अवकलज के शून्यों को चिह्नित करें। आइए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अभिव्यक्ति में प्रत्येक अंतराल से एक मनमाना मान प्रतिस्थापित करके व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें और अंतराल पर वृद्धि और कमी को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

बिंदु x=6 पर, व्युत्पन्न अपना चिह्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदलता है, जिसका अर्थ है कि यह वांछित अधिकतम बिंदु है।

*समान फ़ंक्शन के लिए, न्यूनतम बिंदु बिंदु x = 0 है।

इस सेवा से आप कर सकते हैं किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें Word में स्वरूपित समाधान के साथ एक चर f(x)। इसलिए, यदि फलन f(x,y) दिया गया है, तो दो चरों के फलन का चरम ज्ञात करना आवश्यक है। आप बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल भी पा सकते हैं।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

आप=

खंड पर [ ;]

सिद्धांत शामिल करें

कार्यों में प्रवेश के नियम:

एक चर के फलन के चरम के लिए आवश्यक शर्त

समीकरण f" 0 (x *) = 0 एक चर के फ़ंक्शन के चरम के लिए एक आवश्यक शर्त है, यानी बिंदु x * पर फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाना चाहिए। यह स्थिर बिंदुओं x c की पहचान करता है जिस पर फ़ंक्शन नहीं होता है बढ़ा या घटा ।

एक चर के फलन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति

मान लीजिए f 0 (x) समुच्चय D से संबंधित x के संबंध में दो बार अवकलनीय है। यदि बिंदु x * पर शर्त पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ"" 0 (एक्स *) > 0

तब बिंदु x * फ़ंक्शन का स्थानीय (वैश्विक) न्यूनतम बिंदु है।

यदि बिंदु x * पर शर्त पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ"" 0 (एक्स *)< 0

तब बिंदु x * एक स्थानीय (वैश्विक) अधिकतम है।

उदाहरण क्रमांक 1. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें: खंड पर।
समाधान।

क्रांतिक बिंदु एक x 1 = 2 (f'(x)=0) है। यह बिंदु खंड का है. (बिंदु x=0 महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि 0∉)।
हम खंड के अंत और महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
उत्तर: f मिनट = 5/2 x=2 पर; f अधिकतम =9 x=1 पर

उदाहरण क्रमांक 2. उच्च क्रम डेरिवेटिव का उपयोग करके, फ़ंक्शन y=x-2sin(x) का चरम ज्ञात करें।
समाधान।
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y'=1-2cos(x) । आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z। हम y''=2sin(x) पाते हैं, गणना करते हैं, जिसका अर्थ है कि x= π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु हैं; , जिसका अर्थ है x=- π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु हैं।

उदाहरण संख्या 3. बिंदु x=0 के आसपास चरम फ़ंक्शन की जांच करें।
समाधान। यहां फलन का चरम खोजना आवश्यक है। यदि चरम x=0 है, तो इसका प्रकार (न्यूनतम या अधिकतम) ज्ञात कीजिए। यदि पाए गए बिंदुओं में कोई x = 0 नहीं है, तो फ़ंक्शन f(x=0) के मान की गणना करें।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब किसी दिए गए बिंदु के प्रत्येक पक्ष पर व्युत्पन्न अपना संकेत नहीं बदलता है, तो संभावित स्थितियां अलग-अलग कार्यों के लिए भी समाप्त नहीं होती हैं: ऐसा हो सकता है कि बिंदु x 0 के एक तरफ एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के लिए या दोनों तरफ व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न। इन बिंदुओं पर चरम सीमा पर कार्यों का अध्ययन करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करना आवश्यक है।

किसी कार्य का बढ़ना, घटना और चरम होना

किसी फ़ंक्शन की वृद्धि, कमी और चरमता के अंतराल का पता लगाना एक स्वतंत्र कार्य और विशेष रूप से अन्य कार्यों का एक अनिवार्य हिस्सा है। पूर्ण कार्य अध्ययन. फ़ंक्शन की वृद्धि, कमी और चरमता के बारे में प्रारंभिक जानकारी दी गई है व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक अध्याय, जिसकी मैं प्रारंभिक अध्ययन के लिए अत्यधिक अनुशंसा करता हूँ (या पुनरावृत्ति)- इस कारण से भी कि निम्नलिखित सामग्री इसी पर आधारित है मूलतः व्युत्पन्न,इस लेख की सामंजस्यपूर्ण निरंतरता होना। हालाँकि, यदि समय कम है, तो आज के पाठ से उदाहरणों का विशुद्ध रूप से औपचारिक अभ्यास भी संभव है।

और आज हवा में दुर्लभ सर्वसम्मति की भावना है, और मैं प्रत्यक्ष रूप से महसूस कर सकता हूं कि उपस्थित हर कोई इच्छा से जल रहा है किसी फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके एक्सप्लोर करना सीखें. इसलिए, उचित, अच्छी, शाश्वत शब्दावली तुरंत आपके मॉनिटर स्क्रीन पर दिखाई देती है।

किस लिए? इनमें से एक कारण सबसे व्यावहारिक है: ताकि यह स्पष्ट हो कि किसी विशेष कार्य में आम तौर पर आपसे क्या अपेक्षित है!

समारोह की एकरसता. किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु

आइए कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें. सीधे शब्दों में कहें तो हम यह मान लेते हैं कि वह निरंतरसंपूर्ण संख्या रेखा पर:

बस मामले में, आइए तुरंत संभावित भ्रम से छुटकारा पाएं, खासकर उन पाठकों के लिए जो हाल ही में इससे परिचित हुए हैं फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल. अब हम दिलचस्पी नहीं है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष कैसे स्थित है (ऊपर, नीचे, जहां अक्ष प्रतिच्छेद करता है)। आश्वस्त होने के लिए, मानसिक रूप से अक्षों को मिटा दें और एक ग्राफ छोड़ दें। क्योंकि यहीं रुचि निहित है।

समारोह बढ़ती हैकिसी अंतराल पर यदि संबंध से जुड़े इस अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, असमानता सत्य है। अर्थात्, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ़ "नीचे से ऊपर" तक जाता है। प्रदर्शन समारोह अंतराल के साथ बढ़ता है।

इसी प्रकार, समारोह कम हो जाती हैकिसी अंतराल पर यदि किसी दिए गए अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, असमानता सत्य है। अर्थात्, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ़ "ऊपर से नीचे" तक जाता है। हमारा कार्य अंतराल पर घटता जाता है .

यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल में बढ़ता या घटता है, तो उसे कहा जाता है सख्ती से नीरसइस अंतराल पर. एकरसता क्या है? इसे शाब्दिक रूप से लें - एकरसता।

आप भी परिभाषित कर सकते हैं गैर घटतेफ़ंक्शन (पहली परिभाषा में आराम की स्थिति) और गैर बढ़तीफ़ंक्शन (दूसरी परिभाषा में नरम स्थिति)। किसी अंतराल पर न घटने वाला या न बढ़ने वाला फलन किसी दिए गए अंतराल पर एक मोनोटोनिक फलन कहलाता है (सख्त एकरसता "सिर्फ" एकरसता का एक विशेष मामला है).

सिद्धांत किसी फ़ंक्शन की वृद्धि/कमी को निर्धारित करने के लिए अन्य दृष्टिकोणों पर भी विचार करता है, जिसमें अर्ध-अंतराल, खंड शामिल हैं, लेकिन आपके सिर पर तेल-तेल-तेल न डालने के लिए, हम स्पष्ट परिभाषाओं के साथ खुले अंतराल के साथ काम करने के लिए सहमत होंगे। - यह स्पष्ट है, और कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए काफी पर्याप्त है।

इस प्रकार, मेरे लेखों में "फ़ंक्शन की एकरसता" शब्द लगभग हमेशा छिपा रहेगा अंतरालसख्त एकरसता(सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा कार्य)।

एक बिंदु का पड़ोस. ऐसे शब्द जिनके बाद छात्र जहां भी भाग सकते हैं भाग जाते हैं और डर के मारे कोनों में छिप जाते हैं। ...हालांकि पोस्ट के बाद कॉची सीमाएँवे शायद अब छिप नहीं रहे हैं, लेकिन केवल थोड़ा कांप रहे हैं =) चिंता मत करो, अब गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों का कोई प्रमाण नहीं होगा - मुझे परिभाषाओं को और अधिक सख्ती से तैयार करने के लिए परिवेश की आवश्यकता थी चरम बिंदु. चलो याद करते हैं:

एक बिंदु का पड़ोसएक अंतराल जिसमें एक दिया गया बिंदु होता है, कहलाता है, और सुविधा के लिए अंतराल को अक्सर सममित माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु और उसका मानक पड़ोस:

दरअसल, परिभाषाएँ:

बिंदु कहा जाता है सख्त अधिकतम बिंदु, अगर मौजूदउसका पड़ोस, सभी के लिएजिसके मान, बिंदु को छोड़कर, असमानता हैं। हमारे विशिष्ट उदाहरण में, यह एक बिंदु है।

बिंदु कहा जाता है सख्त न्यूनतम बिंदु, अगर मौजूदउसका पड़ोस, सभी के लिएजिसके मान, बिंदु को छोड़कर, असमानता हैं। चित्र में बिंदु "ए" है।

टिप्पणी : पड़ोस समरूपता की आवश्यकता बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। इसके अलावा, यह महत्वपूर्ण है अस्तित्व का वास्तविक तथ्यपड़ोस (चाहे छोटा हो या सूक्ष्म) जो निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करता हो

बिन्दु कहलाते हैं सख्ती से चरम बिंदुया केवल चरम बिंदुकार्य. अर्थात्, यह अधिकतम अंक और न्यूनतम अंक के लिए एक सामान्यीकृत शब्द है।

हम "चरम" शब्द को कैसे समझते हैं? हाँ, बिल्कुल सीधे तौर पर एकरसता की तरह। रोलर कोस्टर के चरम बिंदु.

जैसा कि एकरसता के मामले में, ढीले अभिधारणाएँ मौजूद हैं और सिद्धांत में और भी अधिक सामान्य हैं (निश्चित रूप से, जिन सख्त मामलों पर विचार किया गया है वे इसके अंतर्गत आते हैं!):

बिंदु कहा जाता है अधिकतम बिंदु, अगर मौजूदइसका परिवेश ऐसा है सभी के लिए
बिंदु कहा जाता है न्यूनतम बिंदु, अगर मौजूदइसका परिवेश ऐसा है सभी के लिएइस पड़ोस के मूल्यों में असमानता कायम है।

ध्यान दें कि पिछली दो परिभाषाओं के अनुसार, एक स्थिर फ़ंक्शन के किसी भी बिंदु (या किसी फ़ंक्शन का "फ्लैट सेक्शन") को अधिकतम और न्यूनतम दोनों बिंदु माना जाता है! वैसे, फ़ंक्शन गैर-बढ़ने वाला और गैर-घटने वाला, यानी मोनोटोनिक दोनों है। हालाँकि, हम इन विचारों को सिद्धांतकारों पर छोड़ देंगे, क्योंकि व्यवहार में हम लगभग हमेशा एक अद्वितीय "पहाड़ी के राजा" या "दलदल की राजकुमारी" के साथ पारंपरिक "पहाड़ियों" और "खोखले" (चित्र देखें) पर विचार करते हैं। एक किस्म के रूप में, यह होता है बख्शीश, ऊपर या नीचे निर्देशित, उदाहरण के लिए, बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम।

ओह, और रॉयल्टी की बात हो रही है:
–अर्थ कहा जाता है अधिकतमकार्य;
–अर्थ कहा जाता है न्यूनतमकार्य.

साधारण नाम - चरमकार्य.

कृपया अपने शब्दों से सावधान रहें!

चरम बिंदु- ये "X" मान हैं।
चरम- "खेल" अर्थ.

! टिप्पणी : कभी-कभी सूचीबद्ध शब्द "XY" बिंदुओं को संदर्भित करते हैं जो सीधे फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित होते हैं।

एक कार्य के कितने चरम हो सकते हैं?

कोई नहीं, 1, 2, 3, ... आदि। अनंत की ओर। उदाहरण के लिए, साइन में अनंत रूप से कई मिनिमा और मैक्सिमा होते हैं।

महत्वपूर्ण!शब्द "अधिकतम कार्य" समान नहींशब्द "किसी फ़ंक्शन का अधिकतम मान"। यह नोटिस करना आसान है कि मूल्य केवल स्थानीय पड़ोस में अधिकतम है, और शीर्ष बाईं ओर "कूलर कॉमरेड" हैं। इसी तरह, "फ़ंक्शन का न्यूनतम" "फ़ंक्शन का न्यूनतम मान" के समान नहीं है, और ड्राइंग में हम देखते हैं कि मान केवल एक निश्चित क्षेत्र में न्यूनतम है। इस संबंध में, चरम बिंदुओं को भी कहा जाता है स्थानीय चरम बिंदु, और चरम - स्थानीय चरम. वे चलते हैं और आस-पास घूमते हैं और वैश्विकभाइयों तो, कोई भी परवलय अपने शीर्ष पर होता है वैश्विक न्यूनतमया वैश्विक अधिकतम. इसके अलावा, मैं चरम के प्रकारों के बीच अंतर नहीं करूंगा, और स्पष्टीकरण सामान्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए अधिक व्यक्त किया गया है - अतिरिक्त विशेषण "स्थानीय"/"वैश्विक" आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए।

आइए एक परीक्षण शॉट के साथ सिद्धांत में हमारे संक्षिप्त भ्रमण को संक्षेप में प्रस्तुत करें: कार्य "फ़ंक्शन के एकरसता अंतराल और चरम बिंदुओं को ढूंढें" का क्या अर्थ है?

शब्दांकन आपको खोजने के लिए प्रोत्साहित करता है:

- बढ़ते/घटते कार्य के अंतराल (गैर-घटते, गैर-बढ़ते बहुत कम बार दिखाई देते हैं);

- अधिकतम और/या न्यूनतम अंक (यदि कोई हो)। खैर, विफलता से बचने के लिए, न्यूनतम/अधिकतम स्वयं खोजना बेहतर है ;-)

यह सब कैसे निर्धारित करें?व्युत्पन्न फ़ंक्शन का उपयोग करना!

बढ़ने, घटने के अंतराल कैसे ज्ञात करें,
फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु?

वास्तव में, कई नियम पहले से ही ज्ञात और समझे जाते हैं व्युत्पन्न के अर्थ के बारे में पाठ.

स्पर्शरेखा व्युत्पन्न यह ख़ुशी की ख़बर लेकर आया है कि कार्य हर जगह बढ़ रहा है परिभाषा का क्षेत्र.

कोटैंजेंट और उसके व्युत्पन्न के साथ स्थिति बिल्कुल विपरीत है.

अंतराल के साथ आर्क्साइन बढ़ता है - यहां व्युत्पन्न सकारात्मक है: .
जब फ़ंक्शन परिभाषित है, लेकिन अवकलनीय नहीं है। हालाँकि, महत्वपूर्ण बिंदु पर एक दाएँ हाथ का व्युत्पन्न और एक दाएँ हाथ का स्पर्शरेखा है, और दूसरे किनारे पर उनके बाएँ हाथ के समकक्ष हैं।

मुझे लगता है कि आर्क कोसाइन और उसके व्युत्पन्न के लिए समान तर्क देना आपके लिए बहुत मुश्किल नहीं होगा।

उपरोक्त सभी मामले, जिनमें से कई हैं सारणीबद्ध व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिलाता हूं, सीधे अनुसरण करें व्युत्पन्न परिभाषाएँ.

किसी फ़ंक्शन का उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके अन्वेषण क्यों करें?

यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है: जहां यह "नीचे से ऊपर" जाता है, जहां "ऊपर से नीचे", जहां यह न्यूनतम और अधिकतम तक पहुंचता है (यदि यह बिल्कुल पहुंचता है)। सभी फ़ंक्शन इतने सरल नहीं होते - अधिकांश मामलों में हमें किसी विशेष फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में बिल्कुल भी पता नहीं होता है।

अब अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर आगे बढ़ने और विचार करने का समय आ गया है किसी फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल खोजने के लिए एल्गोरिदम:

उदाहरण 1

फ़ंक्शन की वृद्धि/कमी और चरम सीमा के अंतराल ज्ञात करें

समाधान:

1) पहला कदम खोजना है किसी फ़ंक्शन का डोमेन, और ब्रेक पॉइंट्स (यदि वे मौजूद हैं) पर भी ध्यान दें। इस स्थिति में, फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर होता है, और यह क्रिया कुछ हद तक औपचारिक होती है। लेकिन कई मामलों में, यहां गंभीर भावनाएं भड़क उठती हैं, तो आइए इस पैराग्राफ को बिना किसी तिरस्कार के देखें।

2) एल्गोरिथम का दूसरा बिंदु किसके कारण है

चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त:

यदि किसी बिंदु पर चरम सीमा है, तो या तो मान मौजूद नहीं है.

अंत से भ्रमित हैं? "मापांक x" फ़ंक्शन का चरम .

शर्त तो जरूरी है, लेकिन पर्याप्त नहीं, और इसका विपरीत हमेशा सत्य नहीं होता है। इसलिए, समानता से यह अभी तक नहीं निकला है कि फ़ंक्शन बिंदु पर अधिकतम या न्यूनतम तक पहुंचता है। एक क्लासिक उदाहरण पहले ही ऊपर हाइलाइट किया जा चुका है - यह एक घन परवलय और इसका महत्वपूर्ण बिंदु है।

लेकिन जैसा भी हो, चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्त संदिग्ध बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता को निर्धारित करती है। ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न खोजें और समीकरण हल करें:

पहले लेख की शुरुआत में फ़ंक्शन ग्राफ़ के बारे मेंमैंने आपको एक उदाहरण का उपयोग करके शीघ्रता से एक परवलय बनाने का तरीका बताया था : "...हम पहला व्युत्पन्न लेते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं: ...तो, हमारे समीकरण का समाधान: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है..."। अब, मुझे लगता है, हर कोई समझता है कि परवलय का शीर्ष ठीक इसी बिंदु पर क्यों स्थित है =) सामान्य तौर पर, हमें यहां एक समान उदाहरण से शुरुआत करनी चाहिए, लेकिन यह बहुत सरल है (चायदानी के लिए भी)। इसके अलावा, पाठ के बिल्कुल अंत में एक एनालॉग है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. इसलिए, आइए डिग्री बढ़ाएँ:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में समस्या का संपूर्ण समाधान और अनुमानित अंतिम नमूना।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों के साथ बैठक का लंबे समय से प्रतीक्षित क्षण आ गया है:

उदाहरण 3

पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अन्वेषण करें

इस बात पर ध्यान दें कि एक ही कार्य को कितने परिवर्तनीय ढंग से दोबारा तैयार किया जा सकता है।

समाधान:

1) फ़ंक्शन को बिंदुओं पर अनंत असंततता का सामना करना पड़ता है।

2) हम महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाते हैं। आइए पहला व्युत्पन्न ढूंढें और इसे शून्य के बराबर करें:

आइए समीकरण हल करें. एक भिन्न तब शून्य होती है जब उसका अंश शून्य हो:

इस प्रकार, हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं:

3) हम सभी ज्ञात बिंदुओं को संख्या रेखा पर आलेखित करते हैं अंतराल विधिहम व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि आपको अंतराल में कुछ बिंदु लेने और उस पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है और उसका चिन्ह निर्धारित करें। गिनना भी नहीं, बल्कि मौखिक रूप से "अनुमान लगाना" अधिक लाभदायक है। आइए, उदाहरण के लिए, अंतराल से संबंधित एक बिंदु लें और प्रतिस्थापन करें: .

इसलिए, दो "प्लस" और एक "माइनस" एक "माइनस" देते हैं, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न पूरे अंतराल पर नकारात्मक है।

जैसा कि आप समझते हैं, कार्रवाई छह अंतरालों में से प्रत्येक के लिए की जानी चाहिए। वैसे, ध्यान दें कि किसी भी अंतराल में किसी भी बिंदु के लिए अंश कारक और हर सख्ती से सकारात्मक होते हैं, जो कार्य को बहुत सरल बनाता है।

तो, व्युत्पन्न ने हमें बताया कि फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता है और घट जाती है. जॉइन आइकन के साथ एक ही प्रकार के अंतराल को जोड़ना सुविधाजनक है।

इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है:
इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है:

इस बारे में सोचें कि आपको दूसरे मान की पुनर्गणना क्यों नहीं करनी पड़ती ;-)

किसी बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है, इसलिए फ़ंक्शन का वहां कोई चरम नहीं होता है - यह दोनों घटता है और घटता रहता है।

! चलिए एक महत्वपूर्ण बात दोहराते हैं: बिंदुओं को महत्वपूर्ण नहीं माना जाता - उनमें एक फ़ंक्शन होता है निर्धारित नहीं है. तदनुसार, यहाँ सिद्धांततः कोई अति नहीं हो सकती(भले ही व्युत्पन्न का चिह्न बदल जाए)।

उत्तर: फ़ंक्शन बढ़ता है और घटता है उस बिंदु पर जब फ़ंक्शन अधिकतम तक पहुंच जाता है: , और बिंदु पर - न्यूनतम: .

एकरसता अंतराल और एक्स्ट्रेमा का ज्ञान, स्थापित के साथ मिलकर स्पर्शोन्मुखपहले से ही फ़ंक्शन ग्राफ़ की उपस्थिति का एक बहुत अच्छा विचार देता है। औसत प्रशिक्षण वाला व्यक्ति मौखिक रूप से यह निर्धारित करने में सक्षम होता है कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो लंबवत अनंतस्पर्शी और एक तिरछा अनंतस्पर्शी होता है। यहाँ हमारा हीरो है:

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ अध्ययन के परिणामों को सहसंबंधित करने के लिए एक बार फिर प्रयास करें।
महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है, लेकिन है ग्राफ विभक्ति(जो, एक नियम के रूप में, समान मामलों में होता है)।

उदाहरण 4

फलन का चरम ज्ञात कीजिए

उदाहरण 5

फ़ंक्शन की एकरसता अंतराल, मैक्सिमा और मिनिमा खोजें

...आज यह लगभग किसी प्रकार की "एक्स इन ए क्यूब" छुट्टी जैसा है....
तो, गैलरी में किसने इसके लिए पीने की पेशकश की? =)

प्रत्येक कार्य की अपनी महत्वपूर्ण बारीकियाँ और तकनीकी सूक्ष्मताएँ होती हैं, जिन पर पाठ के अंत में टिप्पणी की जाती है।