जोड़ के गुणों को पढ़ते समय सूचीबद्ध करें। पूर्णांकों के जोड़, गुणा, घटाव और भाग के गुण

आइए चेकर पेपर के एक टुकड़े पर 5 सेमी और 3 सेमी भुजाओं वाला एक आयत बनाएं। इसे 1 सेमी भुजाओं वाले वर्गों में विभाजित करें (चित्र 143)। आइए आयत में स्थित कोशिकाओं की संख्या गिनें। यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह।

1 सेमी भुजा वाले वर्गों की संख्या 5 * 3 है। ऐसे प्रत्येक वर्ग में चार कोशिकाएँ होती हैं। इसलिए, कोशिकाओं की कुल संख्या (5 * 3) * 4 है।

एक ही समस्या को अलग-अलग तरीके से हल किया जा सकता है। आयत के पाँच स्तंभों में से प्रत्येक में 1 सेमी की भुजा वाले तीन वर्ग होते हैं। इसलिए, एक स्तंभ में 3 * 4 कोशिकाएँ होती हैं। अत: कुल मिलाकर 5*(3*4) सेल होंगे।

चित्र 143 में कोशिकाओं की गिनती दो तरह से दिखाई गई है गुणन का साहचर्य गुणसंख्या 5, 3 और 4 के लिए। हमारे पास है: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4)।

दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं।

(एबी)सी = ए(बीसी)

गुणन के क्रमविनिमेय और संयोजन गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि कई संख्याओं को गुणा करते समय, कारकों की अदला-बदली की जा सकती है और उन्हें कोष्ठक में रखा जा सकता है, जिससे गणना का क्रम निर्धारित होता है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

एबीसी = सीबीए,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

चित्र 144 में, खंड एबी ऊपर चर्चा किए गए आयत को एक आयत और एक वर्ग में विभाजित करता है।

आइए 1 सेमी भुजा वाले वर्गों की संख्या दो तरीकों से गिनें।

एक ओर, परिणामी वर्ग में उनमें से 3 * 3 हैं, और आयत में 3 * 2 हैं। कुल मिलाकर हमें 3 * 3 + 3 * 2 वर्ग मिलते हैं। दूसरी ओर, इस आयत की तीन रेखाओं में से प्रत्येक में 3 + 2 वर्ग हैं। तब इनकी कुल संख्या 3*(3+2) होती है।

3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 के बराबर दर्शाता है जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति.

किसी संख्या को दो संख्याओं के योग से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को प्रत्येक जोड़ से गुणा कर सकते हैं और परिणामी उत्पादों को जोड़ सकते हैं।

शाब्दिक रूप में यह गुण इस प्रकार लिखा जाता है:

ए(बी + सी) = एबी + एसी

जोड़ के सापेक्ष गुणन के वितरण गुण से यह इस प्रकार है

एबी + एसी = ए(बी + सी)।

यह समानता सूत्र P = 2 a + 2 b को इस रूप में लिखे जाने वाले आयत की परिधि ज्ञात करने की अनुमति देती है:

पी = 2 (ए + बी)।

ध्यान दें कि वितरण संपत्ति तीन या अधिक शर्तों के लिए वैध है। उदाहरण के लिए:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

घटाव के सापेक्ष गुणन का वितरण गुण भी सत्य है: यदि b > c या b = c, तो

ए(बी − सी) = एबी − एसी

उदाहरण 1 . सुविधाजनक तरीके से गणना करें:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) हम गुणन के क्रमविनिमेय और फिर साहचर्य गुणों का उपयोग करते हैं:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) हमारे पास है:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

उदाहरण 2 . अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 4 ए * 3 बी;

2) 18 मीटर − 13 मीटर।

1) गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

4 ए * 3 बी = (4 * 3 ) * एबी = 12 एबी।

2) घटाव के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

18 मी − 13 मी = मी(18 − 13 ) = मी * 5 = 5 मी.

उदाहरण 3 . व्यंजक 5 (2 मी + 7) लिखिए ताकि इसमें कोष्ठक न हों।

जोड़ के सापेक्ष गुणन के वितरण गुण के अनुसार, हमारे पास है:

5 (2 मी + 7) = 5 * 2 मी + 5 * 7 = 10 मी + 35।

इस परिवर्तन को कहा जाता है कोष्ठक खोलना.

उदाहरण 4 . सुविधाजनक तरीके से व्यंजक 125 * 24 * 283 के मान की गणना करें।

समाधान। हमारे पास है:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

उदाहरण 5 . गुणन करें: 3 दिन 18 घंटे * 6.

समाधान। हमारे पास है:

3 दिन 18 घंटे * 6 = 18 दिन 108 घंटे = 22 दिन 12 घंटे।

उदाहरण को हल करते समय, जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति का उपयोग किया गया था:

3 दिन 18 घंटे * 6 = (3 दिन + 18 घंटे) * 6 = 3 दिन * 6 + 18 घंटे * 6 = 18 दिन + 108 घंटे = 18 दिन + 96 घंटे + 12 घंटे = 18 दिन + 4 दिन + 12 घंटे = 22 दिन 12 घंटे.

इस क्रिया में निहित कई परिणाम देखे जा सकते हैं। ये परिणाम कहलाते हैं प्राकृतिक संख्याओं के योग के गुण. इस लेख में हम प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के गुणों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, उन्हें अक्षरों का उपयोग करके लिखेंगे और व्याख्यात्मक उदाहरण देंगे।

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प्राकृत संख्याओं के योग का संयोजन गुण।

आइए अब प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के साहचर्य गुण को दर्शाते हुए एक उदाहरण दें।

आइए एक स्थिति की कल्पना करें: पहले सेब के पेड़ से 1 सेब गिरा, और दूसरे सेब के पेड़ से 2 सेब और 4 और सेब गिरे। अब इस स्थिति पर विचार करें: पहले सेब के पेड़ से 1 सेब और 2 और सेब गिरे, और दूसरे सेब के पेड़ से 4 सेब गिरे। यह स्पष्ट है कि पहले और दूसरे दोनों मामलों में जमीन पर सेबों की संख्या समान होगी (जिसे जांचा जा सकता है) पुनर्गणना). अर्थात संख्या 1 को संख्या 2 और 4 के योग के साथ जोड़ने का परिणाम संख्या 1 और 2 के योग को संख्या 4 के साथ जोड़ने के परिणाम के बराबर है।

माना गया उदाहरण हमें प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने का संयोजन गुण तैयार करने की अनुमति देता है: किसी दी गई संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ने के लिए, हम दिए गए योग का पहला पद इस संख्या में जोड़ सकते हैं और दूसरा पद जोड़ सकते हैं। परिणामी परिणाम का योग दिया गया। इस गुण को इस प्रकार अक्षरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: a+(b+c)=(a+b)+c, जहां ए, बी और सी मनमानी प्राकृतिक संख्याएं हैं।

कृपया ध्यान दें कि समानता a+(b+c)=(a+b)+c में कोष्ठक "(" और ")" शामिल हैं। कोष्ठक का उपयोग अभिव्यक्तियों में उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाएं की जाती हैं - कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं (इसके बारे में अनुभाग में अधिक लिखा गया है)। दूसरे शब्दों में, जिन अभिव्यक्तियों के मूल्यों का मूल्यांकन पहले किया जाता है उन्हें कोष्ठक में रखा जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि जोड़ की साहचर्य संपत्ति हमें स्पष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है तीन, चार या अधिक प्राकृत संख्याओं का योग.

शून्य और प्राकृत संख्या को जोड़ने का गुण, शून्य और शून्य को जोड़ने का गुण।

हम जानते हैं कि शून्य कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। तो फिर हमने इस लेख में शून्य और एक प्राकृत संख्या जोड़ने के गुणधर्म पर गौर करने का निर्णय क्यों लिया? इसके लिए यहां तीन कारण हैं। पहला: इस संपत्ति का उपयोग कब किया जाता है किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ना. दूसरा: इस संपत्ति का उपयोग कब किया जाता है प्राकृतिक संख्याओं को घटाना. तीसरा: यदि हम मान लें कि शून्य का अर्थ किसी चीज़ का अभाव है, तो शून्य और एक प्राकृतिक संख्या को जोड़ने का अर्थ मेल खाता है दो प्राकृत संख्याओं को जोड़ने का अर्थ.

आइए हम कुछ तर्क करें जो हमें शून्य और एक प्राकृतिक संख्या को जोड़ने का गुण तैयार करने में मदद करेंगे। आइए कल्पना करें कि बॉक्स में कोई वस्तु नहीं है (दूसरे शब्दों में, बॉक्स में 0 वस्तुएं हैं), और इसमें एक वस्तु रखी गई है, जहां a कोई प्राकृतिक संख्या है। यानी, हमने 0 और एक ऑब्जेक्ट जोड़ा। यह स्पष्ट है कि इस क्रिया के बाद बॉक्स में ऑब्जेक्ट हैं। इसलिए, समानता 0+a=a सत्य है।

इसी प्रकार, यदि किसी बॉक्स में एक आइटम है और उसमें 0 आइटम जोड़े गए हैं (अर्थात कोई आइटम नहीं जोड़ा गया है), तो इस क्रिया के बाद बॉक्स में एक आइटम होगा। तो a+0=a .

अब हम शून्य और एक प्राकृत संख्या को जोड़ने के गुण का सूत्रीकरण दे सकते हैं: दो संख्याओं का योग, जिनमें से एक शून्य है, दूसरी संख्या के बराबर है. गणितीय रूप से, इस गुण को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: 0+ए=एया ए+0=ए, जहां a एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है।

अलग से, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक प्राकृतिक संख्या और शून्य को जोड़ने पर, जोड़ का क्रमविनिमेय गुण सत्य रहता है, अर्थात a+0=0+a।

अंत में, आइए हम शून्य में शून्य जोड़ने की संपत्ति तैयार करें (यह काफी स्पष्ट है और अतिरिक्त टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है): दो संख्याओं का योग, जिनमें से प्रत्येक शून्य के बराबर है, शून्य के बराबर है. वह है, 0+0=0 .

अब यह पता लगाने का समय आ गया है कि इसे कैसे किया जाए प्राकृतिक संख्याओं का योग.

ग्रंथ सूची.

• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की पहली, दूसरी, तीसरी, चौथी कक्षा के लिए कोई भी पाठ्यपुस्तकें।
• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की 5वीं कक्षा के लिए कोई भी पाठ्यपुस्तक।

यह पाठ जिस विषय को समर्पित है वह है "जोड़ के गुण।" इसमें आप जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों से परिचित होंगे, विशिष्ट उदाहरणों के साथ उनकी जांच करेंगे। पता लगाएं कि गणना प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए आप किन मामलों में उनका उपयोग कर सकते हैं। परीक्षण उदाहरण यह निर्धारित करने में मदद करेंगे कि आपने अध्ययन की गई सामग्री में कितनी अच्छी तरह महारत हासिल की है।

पाठ: जोड़ के गुण

अभिव्यक्ति को ध्यान से देखें:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

हमें इसका मूल्य ज्ञात करना होगा। चलो यह करते हैं।

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

व्यंजक का परिणाम 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40 है।
मुझे बताओ, क्या गणना करना सुविधाजनक था? गणना करना बहुत सुविधाजनक नहीं था. इस अभिव्यक्ति में संख्याओं को फिर से देखें। क्या उन्हें स्वैप करना संभव है ताकि गणना अधिक सुविधाजनक हो?

यदि हम संख्याओं को अलग ढंग से पुनर्व्यवस्थित करें:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

व्यंजक का अंतिम परिणाम 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40 है।
हम देखते हैं कि भावों के परिणाम समान हैं।

यदि यह गणना के लिए सुविधाजनक है तो शर्तों की अदला-बदली की जा सकती है, और योग का मूल्य नहीं बदलेगा।

गणित में एक नियम है: जोड़ का क्रमविनिमेय नियम. इसमें कहा गया है कि शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है।

अंकल फ्योडोर और शारिक ने बहस की। शारिक ने अभिव्यक्ति का अर्थ वैसा ही पाया जैसा लिखा गया था, और अंकल फ्योडोर ने कहा कि वह गणना का एक और, अधिक सुविधाजनक तरीका जानता था। क्या आपको गणना करने का कोई बेहतर तरीका दिखता है?

शारिक ने अभिव्यक्ति को वैसे ही हल किया जैसे लिखा गया था। और अंकल फ्योडोर ने कहा कि वह उस कानून को जानते हैं जो शर्तों की अदला-बदली की अनुमति देता है, और उन्होंने संख्याओं 25 और 3 की अदला-बदली की।

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

हम देखते हैं कि परिणाम वही रहता है, लेकिन गणना बहुत आसान हो गई है।

निम्नलिखित भावों को देखें और पढ़ें।

6 + (24 + 51) = 81 (6 में 24 और 51 का योग जोड़ें)
क्या गणना करने का कोई सुविधाजनक तरीका है?
हम देखते हैं कि यदि हम 6 और 24 को जोड़ते हैं, तो हमें एक पूर्ण संख्या प्राप्त होती है। किसी पूर्ण संख्या में कुछ जोड़ना हमेशा आसान होता है। आइए संख्या 6 और 24 के योग को कोष्ठक में रखें।
(6 + 24) + 51 = …
(संख्या 6 और 24 के योग में 51 जोड़ें)

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें और देखें कि क्या अभिव्यक्ति का मूल्य बदल गया है?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

हम देखते हैं कि अभिव्यक्ति का अर्थ वही रहता है।

आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें।

(27 + 19) + 1 = 47 (संख्या 27 और 19 के योग में 1 जोड़ें)
एक सुविधाजनक विधि बनाने के लिए किन संख्याओं को समूहीकृत करना सुविधाजनक है?
आपने अनुमान लगाया कि ये संख्याएँ 19 और 1 हैं। आइए संख्याओं 19 और 1 के योग को कोष्ठक में रखें।
27 + (19 + 1) = …
(27 में संख्या 19 और 1 का योग जोड़ें)
आइए इस अभिव्यक्ति का अर्थ जानें। हमें याद है कि कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है।
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

हमारी अभिव्यक्ति का अर्थ वही रहता है.

जोड़ का संयोजन नियम: दो आसन्न पदों को उनके योग से बदला जा सकता है।

आइए अब दोनों कानूनों का उपयोग करके अभ्यास करें। हमें अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है:

38 + 14 + 2 + 6 = …

सबसे पहले, आइए जोड़ के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करें, जो हमें जोड़ को स्वैप करने की अनुमति देता है। आइए पद 14 और 2 की अदला-बदली करें।

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

आइए अब संयोजन गुण का उपयोग करें, जो हमें दो आसन्न पदों को उनके योग से बदलने की अनुमति देता है।

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

सबसे पहले हम 38 और 2 के योग का मान ज्ञात करते हैं।

अब योग 14 और 6 है.

3. शैक्षणिक विचारों का उत्सव "खुला पाठ" ()।

इसे घर पर बनायें

1. विभिन्न तरीकों से पदों के योग की गणना करें:

ए) 5 + 3 + 5 बी) 7 + 8 + 13 सी) 24 + 9 + 16

2. भावों के परिणामों का मूल्यांकन करें:

ए) 19 + 4 + 16 + 1 बी) 8 + 15 + 12 + 5 सी) 20 + 9 + 30 + 1

3. सुविधाजनक तरीके से राशि की गणना करें:

ए) 10 + 12 + 8 + 20 बी) 17 + 4 + 3 + 16 सी) 9 + 7 + 21 + 13

हमने पूर्णांकों के जोड़, गुणा, घटाव और भाग को परिभाषित किया है। इन क्रियाओं (ऑपरेशंस) के कई विशिष्ट परिणाम होते हैं, जिन्हें गुण कहा जाता है। इस लेख में हम पूर्णांकों को जोड़ने और गुणा करने के मूल गुणों को देखेंगे, जिनसे इन क्रियाओं के अन्य सभी गुण निकलते हैं, साथ ही पूर्णांकों को घटाने और विभाजित करने के गुणों पर भी गौर करेंगे।

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पूर्णांकों के योग में कई अन्य अत्यंत महत्वपूर्ण गुण होते हैं।

उनमें से एक शून्य के अस्तित्व से संबंधित है। पूर्णांकों के योग का यह गुण यह बताता है किसी भी पूर्णांक में शून्य जोड़ने से वह संख्या नहीं बदलती. आइए योग के इस गुण को अक्षरों का उपयोग करके लिखें: a+0=a और 0+a=a (यह समानता योग के क्रमविनिमेय गुण के कारण सत्य है), a कोई भी पूर्णांक है। आपने सुना होगा कि पूर्णांक शून्य को इसके अलावा तटस्थ तत्व भी कहा जाता है। आइए कुछ उदाहरण दें. पूर्णांक −78 और शून्य का योग −78 है; यदि आप धनात्मक पूर्णांक 999 को शून्य में जोड़ते हैं, तो परिणाम 999 होता है।

अब हम पूर्णांकों के योग के एक अन्य गुण का सूत्रीकरण देंगे, जो किसी भी पूर्णांक के लिए विपरीत संख्या के अस्तित्व से जुड़ा है। किसी भी पूर्णांक का उसके विपरीत संख्या के साथ योग शून्य होता है. आइए इस गुण को लिखने का शाब्दिक रूप दें: a+(−a)=0, जहां a और −a विपरीत पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, योग 901+(−901) शून्य है; इसी प्रकार, विपरीत पूर्णांकों -97 और 97 का योग शून्य है।

पूर्णांकों को गुणा करने के मूल गुण

पूर्णांकों के गुणन में प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के सभी गुण होते हैं। आइए इन संपत्तियों में से मुख्य को सूचीबद्ध करें।

जिस प्रकार जोड़ के संबंध में शून्य एक तटस्थ पूर्णांक है, उसी प्रकार पूर्णांक गुणन के संबंध में एक तटस्थ पूर्णांक है। वह है, किसी पूर्णांक को एक से गुणा करने पर गुणा की जाने वाली संख्या नहीं बदलती. तो 1·a=a, जहां a कोई पूर्णांक है। अंतिम समानता को a·1=a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, यह हमें गुणन का क्रमविनिमेय गुण बनाने की अनुमति देता है। चलिए दो उदाहरण देते हैं. पूर्णांक 556 बटा 1 का गुणनफल 556 है; एक और ऋणात्मक पूर्णांक −78 का गुणनफल −78 के बराबर है।

पूर्णांकों को गुणा करने का अगला गुण शून्य से गुणा करने से संबंधित है। किसी भी पूर्णांक a को शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होता है, अर्थात a·0=0 . पूर्णांकों को गुणा करने के क्रमविनिमेय गुण के कारण समानता 0·a=0 भी सत्य है। विशेष स्थिति में जब a=0, शून्य और शून्य का गुणनफल शून्य के बराबर होता है।

पूर्णांकों के गुणन के लिए, पिछले वाले का व्युत्क्रम गुण भी सत्य है। ऐसा दावा है दो पूर्णांकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो. शाब्दिक रूप में, इस गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: a·b=0, यदि या तो a=0, या b=0, या दोनों a और b एक ही समय में शून्य के बराबर हैं।

योग के सापेक्ष पूर्णांकों के गुणन का वितरण गुण

पूर्णांकों का संयुक्त जोड़ और गुणन हमें जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति पर विचार करने की अनुमति देता है, जो दो संकेतित क्रियाओं को जोड़ता है। जोड़ और गुणन का एक साथ उपयोग करने से अतिरिक्त संभावनाएं खुलती हैं जिन्हें हम चूक जाएंगे यदि हम जोड़ को गुणन से अलग मानें।

तो, जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरण गुण बताता है कि एक पूर्णांक a और दो पूर्णांकों a और b का योग का गुणनफल a b और a c के गुणनफल के योग के बराबर है, अर्थात, ए·(बी+सी)=ए·बी+ए·सी. उसी गुण को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है: (ए+बी)सी=एसी+बीसी .

योग के सापेक्ष पूर्णांकों को गुणा करने का वितरणात्मक गुण, योग के संयोजन गुण के साथ, हमें तीन या अधिक पूर्णांकों के योग से एक पूर्णांक का गुणन निर्धारित करने की अनुमति देता है, और फिर पूर्णांकों के योग को योग से गुणा करने की अनुमति देता है।

यह भी ध्यान दें कि पूर्णांकों के योग और गुणन के अन्य सभी गुण हमारे द्वारा बताए गए गुणों से प्राप्त किए जा सकते हैं, अर्थात, वे ऊपर बताए गए गुणों के परिणाम हैं।

पूर्णांकों को घटाने के गुण

परिणामी समानता से, साथ ही पूर्णांकों के जोड़ और गुणन के गुणों से, पूर्णांकों के घटाव के निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं (ए, बी और सी मनमाना पूर्णांक हैं):

• सामान्य तौर पर पूर्णांकों के घटाव में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है: a−b≠b−a।
• समान पूर्णांकों का अंतर शून्य है: a−a=0.
• किसी दिए गए पूर्णांक से दो पूर्णांकों का योग घटाने का गुण: a−(b+c)=(a−b)−c .
• दो पूर्णांकों के योग से एक पूर्णांक घटाने का गुण: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• घटाव के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक गुण: a·(b−c)=a·b−ac·c और (a−b)·c=ac·c−b·c.
• और पूर्णांकों को घटाने के अन्य सभी गुण।

पूर्णांकों के विभाजन के गुण

पूर्णांकों को विभाजित करने के अर्थ पर चर्चा करते समय, हमने पाया कि पूर्णांकों को विभाजित करना गुणन की व्युत्क्रम क्रिया है। हमने निम्नलिखित परिभाषा दी है: पूर्णांकों को विभाजित करने का अर्थ है एक ज्ञात गुणनफल और एक ज्ञात गुणनखंड से एक अज्ञात गुणनखंड ज्ञात करना। अर्थात्, हम पूर्णांक c को पूर्णांक a को पूर्णांक b से विभाजित करने का भागफल कहते हैं, जब गुणनफल c·b, a के बराबर होता है।

यह परिभाषा, साथ ही ऊपर चर्चा की गई पूर्णांकों पर संक्रियाओं के सभी गुण, पूर्णांकों को विभाजित करने के निम्नलिखित गुणों की वैधता स्थापित करना संभव बनाते हैं:

• किसी भी पूर्णांक को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता.
• शून्य को शून्य के अलावा किसी अन्य मनमाने पूर्णांक से विभाजित करने का गुण: 0:a=0।
• समान पूर्णांकों को विभाजित करने का गुण: a:a=1, जहां a शून्य के अलावा कोई पूर्णांक है।
• एक मनमाना पूर्णांक a को एक से विभाजित करने का गुण: a:1=a.
• सामान्य तौर पर, पूर्णांकों के विभाजन में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है: a:b≠b:a ।
• दो पूर्णांकों के योग और अंतर को एक पूर्णांक से विभाजित करने के गुण: (a+b):c=a:c+b:c और (a−b):c=a:c−b:c, जहां a, b , और c ऐसे पूर्णांक हैं कि a और b दोनों c से विभाज्य हैं और c अशून्य है।
• दो पूर्णांक a और b के गुणनफल को शून्य के अलावा किसी पूर्णांक c से विभाजित करने का गुण: (a·b):c=(a:c)·b, यदि a, c से विभाज्य है; (a·b):c=a·(b:c) , यदि b, c से विभाज्य है; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) यदि a और b दोनों c से विभाज्य हैं।
• एक पूर्णांक a को दो पूर्णांकों b और c के गुणनफल से विभाजित करने का गुण (संख्याएँ a , b और c ऐसी हैं कि a को b c से विभाजित करना संभव है): a:(b c)=(a:b)c=(a :सी)·बी .
• पूर्णांकों को विभाजित करने का कोई अन्य गुण।