समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का आलेखीय समाधान

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ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य:

• ग्राफ़िकल पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में कौशल विकसित करने पर काम जारी रखें;
• दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या के बारे में अनुसंधान करना और निष्कर्ष निकालना;
• खेल के माध्यम से विषय में रुचि विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण (योजना बैठक)- दो मिनट।

- शुभ दोपहर! हम अपनी पारंपरिक योजना बैठक शुरू कर रहे हैं। हमें आज हमारी प्रयोगशाला में आने वाले सभी लोगों का स्वागत करते हुए खुशी हो रही है (मैं मेहमानों का प्रतिनिधित्व करता हूं)। हमारी प्रयोगशाला का नाम है: "रुचि और आनंद के साथ काम करें"(स्लाइड 2 दिखा रहा हूँ)। नाम हमारे काम में एक आदर्श वाक्य के रूप में कार्य करता है। “रुचि और आनंद के साथ बनाएं, निर्णय लें, सीखें, हासिल करें" प्रिय अतिथियों, मैं आपको हमारी प्रयोगशाला के प्रमुखों से परिचित कराता हूँ (स्लाइड 3)।
हमारी प्रयोगशाला वैज्ञानिक कार्यों के अध्ययन, अनुसंधान, परीक्षण और रचनात्मक परियोजनाओं के निर्माण पर काम करती है।
आज हमारी चर्चा का विषय है: "रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का आलेखीय समाधान।" (मैं पाठ का विषय लिखने का सुझाव देता हूं)

दिन का कार्यक्रम:(स्लाइड 4)

1. योजना बैठक
2. विस्तारित अकादमिक परिषद:

• विषय पर भाषण
• कार्य करने की अनुमति

3. विशेषज्ञता
4. अनुसंधान और खोज
5. रचनात्मक परियोजना
6. रिपोर्ट
7. योजना

2. प्रश्नोत्तरी एवं मौखिक कार्य (विस्तारित शैक्षणिक परिषद)- दस मिनट।

- आज हम एक विस्तारित वैज्ञानिक परिषद का आयोजन कर रहे हैं, जिसमें न केवल विभागों के प्रमुख, बल्कि हमारी टीम के सभी सदस्य भी भाग लेते हैं। प्रयोगशाला ने अभी इस विषय पर काम शुरू किया है: "रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का ग्राफिकल समाधान।" हमें इस मामले में उच्चतम उपलब्धियां हासिल करने का प्रयास करना चाहिए। हमारी प्रयोगशाला इस विषय पर अपने शोध की गुणवत्ता के लिए प्रसिद्ध होनी चाहिए। एक वरिष्ठ शोधकर्ता के रूप में, मैं सभी को शुभकामनाएँ देता हूँ!

शोध के नतीजे प्रयोगशाला के प्रमुख को सूचित किए जाएंगे।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने पर एक रिपोर्ट के लिए मंजिल है... (मैं छात्र को बोर्ड में बुलाता हूं)। मैं कार्य को एक कार्य देता हूं (कार्ड 1)।

और प्रयोगशाला सहायक... (मैं उसका अंतिम नाम देता हूं) आपको याद दिलाएगा कि मापांक के साथ किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बनाया जाता है। मैं तुम्हें कार्ड 2 देता हूँ.

कार्ड 1(स्लाइड 7 पर कार्य का समाधान)

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

कार्ड 2(स्लाइड 9 पर कार्य का समाधान)

फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं: y = | 1.5x – 3 |

जबकि कर्मचारी रिपोर्ट की तैयारी कर रहे हैं, मैं जाँच करूँगा कि आप शोध पूरा करने के लिए कितने तैयार हैं। आपमें से प्रत्येक को काम करने की अनुमति लेनी होगी। (हम एक नोटबुक में उत्तर लिखने के साथ मौखिक गिनती शुरू करते हैं)

कार्य करने की अनुमति(स्लाइड 5 और 6 पर कार्य)

1) एक्सप्रेस परके माध्यम से एक्स:

3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) समीकरण हल करें:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

संख्याओं का कौन सा जोड़ा (- 1; 1) या (1; - 1) समीकरणों की इस प्रणाली का हल है?

उत्तर: (1;-1)

मौखिक गणना के प्रत्येक टुकड़े के तुरंत बाद, छात्र नोटबुक का आदान-प्रदान करते हैं (उसी अनुभाग में उनके बगल में बैठे छात्र के साथ), सही उत्तर स्लाइड पर दिखाई देते हैं; इंस्पेक्टर प्लस या माइनस देता है। कार्य के अंत में, विभाग प्रमुख परिणामों को सारांश तालिका में दर्ज करते हैं (नीचे देखें); प्रत्येक उदाहरण के लिए 1 अंक दिया गया है (9 अंक प्राप्त करना संभव है)।
5 या अधिक अंक प्राप्त करने वालों को काम करने की अनुमति है। बाकी को सशर्त प्रवेश मिलता है, यानी। विभागाध्यक्ष की देखरेख में काम करना होगा।

तालिका (बॉस द्वारा भरी गई)

(पाठ शुरू होने से पहले तालिकाएँ जारी की जाती हैं)

प्रवेश प्राप्त करने के बाद, हम ब्लैकबोर्ड पर छात्रों के उत्तर सुनते हैं। उत्तर के लिए, यदि उत्तर पूरा है तो छात्र को 9 अंक मिलते हैं (प्रवेश के लिए अधिकतम संख्या), यदि उत्तर पूरा नहीं है तो 4 अंक मिलते हैं। अंक "प्रवेश" कॉलम में दर्ज किए गए हैं।
यदि बोर्ड पर समाधान सही है, तो स्लाइड 7 और 9 को दिखाने की आवश्यकता नहीं है। यदि समाधान सही है, लेकिन स्पष्ट रूप से निष्पादित नहीं किया गया है, या समाधान गलत है, तो स्लाइडों को स्पष्टीकरण के साथ दिखाया जाना चाहिए।
मैं हमेशा कार्ड 1 पर छात्र के उत्तर के बाद स्लाइड 8 दिखाता हूँ। इस स्लाइड पर, पाठ के लिए निष्कर्ष महत्वपूर्ण हैं।

ग्राफ़िक रूप से सिस्टम को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

• सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में y को x के रूप में व्यक्त करें।
• सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को ग्राफ़ करें।
• ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें।
• जांच करें (मैं छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि ग्राफिकल विधि आमतौर पर एक अनुमानित समाधान देती है, लेकिन यदि ग्राफ का प्रतिच्छेदन पूरे निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर पहुंचता है, तो आप जांच कर सकते हैं और सटीक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं)।
• उत्तर लिखिए.

3. व्यायाम (परीक्षा)- 5 मिनट।

कल, कुछ कर्मचारियों के काम में गंभीर गलतियाँ हुईं। आज आप ग्राफ़िक समाधानों के मामले में पहले से ही अधिक सक्षम हैं। आपको प्रस्तावित समाधानों की परीक्षा आयोजित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है, अर्थात। समाधानों में त्रुटियाँ ढूँढ़ना। स्लाइड 10 दिखाया गया है.
विभागों में काम चल रहा है. (त्रुटियों वाले असाइनमेंट की फोटोकॉपी प्रत्येक डेस्क को दी जाती है; प्रत्येक विभाग में, कर्मचारियों को त्रुटियां ढूंढनी चाहिए और उन्हें उजागर करना चाहिए या उन्हें सही करना चाहिए; फोटोकॉपी वरिष्ठ शोधकर्ता, यानी शिक्षक को सौंपी जानी चाहिए)। गलती ढूंढने और उसे सुधारने वालों को बॉस 2 अंक जोड़ता है। फिर हम की गई गलतियों पर चर्चा करते हैं और उन्हें स्लाइड 10 पर इंगित करते हैं।

त्रुटि 1

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

उत्तर: कोई समाधान नहीं है.

विद्यार्थियों को पंक्तियाँ तब तक जारी रखनी चाहिए जब तक कि वे प्रतिच्छेद न कर लें और उत्तर प्राप्त न कर लें: (- 2; 1)।

त्रुटि 2.

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

उत्तर: (1; 4).

छात्रों को पहले समीकरण के परिवर्तन में त्रुटि ढूंढनी होगी और तैयार ड्राइंग पर इसे सही करना होगा। एक और उत्तर प्राप्त करें: (2; 5)।

4. नई सामग्री की व्याख्या करना (अनुसंधान और खोज)– 12 मिनट.

मेरा सुझाव है कि छात्र तीन प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करें। प्रत्येक छात्र एक नोटबुक में स्वतंत्र रूप से हल करता है। केवल सशर्त मंजूरी वाले लोग ही परामर्श ले सकते हैं।

समाधान

ग्राफ़ बनाए बिना, यह स्पष्ट है कि सीधी रेखाएँ संपाती होंगी।

स्लाइड 11 सिस्टम समाधान दिखाती है; यह उम्मीद की जाती है कि छात्रों को उदाहरण 3 में उत्तर लिखने में कठिनाई होगी। विभागों में काम करने के बाद, हम समाधान की जाँच करते हैं (बॉस सही उत्तर के लिए 2 अंक जोड़ता है)। अब यह चर्चा करने का समय है कि दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के कितने समाधान हो सकते हैं।
छात्रों को स्वयं ही निष्कर्ष निकालना चाहिए और एक समतल पर रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के मामलों को सूचीबद्ध करते हुए उन्हें समझाना चाहिए (स्लाइड 12)।

5. रचनात्मक परियोजना (व्यायाम)– 12 मिनट.

विभाग को टास्क दिया गया है. बॉस प्रत्येक प्रयोगशाला सहायक को उसकी क्षमताओं के अनुसार उसके प्रदर्शन का एक अंश देता है।

समीकरणों के सिस्टम को ग्राफ़िक तरीके से हल करें:

कोष्ठक खोलने के बाद, छात्रों को सिस्टम प्राप्त होना चाहिए:

कोष्ठक खोलने के बाद, पहला समीकरण इस प्रकार दिखता है: y = 2/3x + 4.

6. रिपोर्ट (कार्य पूरा होने की जाँच)- दो मिनट।

एक रचनात्मक परियोजना को पूरा करने के बाद, छात्र अपनी नोटबुकें पलटते हैं। स्लाइड 13 पर मैं दिखाता हूँ कि क्या होना चाहिए था। बॉस मेज सौंप देते हैं। अंतिम कॉलम शिक्षक द्वारा भरा जाता है और चिह्नित किया जाता है (अंकों को अगले पाठ में छात्रों को सूचित किया जा सकता है)। परियोजना में, पहली प्रणाली के समाधान का मूल्यांकन तीन बिंदुओं के साथ किया जाता है, और दूसरे का - चार के साथ।

7. योजना (सारांश और गृहकार्य)- दो मिनट।

आइए अपने काम को संक्षेप में प्रस्तुत करें। हमने अच्छा काम किया. हम कल योजना बैठक में परिणामों के बारे में विशेष रूप से बात करेंगे। बेशक, बिना किसी अपवाद के सभी प्रयोगशाला सहायकों ने समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की ग्राफिकल विधि में महारत हासिल की और सीखा कि एक प्रणाली में कितने समाधान हो सकते हैं। कल आपमें से प्रत्येक के पास एक व्यक्तिगत परियोजना होगी। अतिरिक्त तैयारी के लिए: पैराग्राफ 36; 647-649(2); सिस्टम को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों को दोहराएं। 649(2) और विश्लेषणात्मक रूप से हल करें।

पूरे दिन हमारे काम की निगरानी प्रयोगशाला के निदेशक नौमान नौ मनोविच ने की। उसके पास मंजिल है. (अंतिम स्लाइड दिखा रहा हूं)।

अनुमानित ग्रेडिंग स्केल

निशान	सहनशीलता	विशेषज्ञता	अध्ययन	परियोजना	कुल
3	5	2	2	2	11
4	7	2	4	3	16
5	9	3	5	4	21

पाठ "दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली"

पाठ का आदर्श वाक्य:

"गतिविधि ही ज्ञान का एकमात्र मार्ग है"

जे. बर्नार्ड शॉ

पाठ मकसद।

शिक्षाप्रद : बच्चों के मौजूदा ज्ञान और जीवन के अनुभव के आधार पर "दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली" की अवधारणा के गठन के लिए स्थितियां बनाएं।

विकास संबंधी : दो चर के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों और ग्राफ़ के रूप में एक विमान पर उनके प्रतिनिधित्व के बीच संबंधों के विश्लेषण के आधार पर अमूर्त वैचारिक सोच का गठन जारी रखें। निगमनात्मक तर्क के आधार पर, छात्रों को ग्राफिक रूप से सिस्टम को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करने और स्वतंत्र कार्य में इसका परीक्षण करने में मदद करें।

शिक्षात्मक : प्रणालीगत सोच और पर्याप्त आत्म-सम्मान के निर्माण में योगदान करें। कार्य को स्वतंत्र रूप से व्यवस्थित करने की क्षमता का विकास; इंटरनेट पर आवश्यक जानकारी खोजने और उसका उपयोग करने के कौशल का विकास।

प्रथम चरण। नई सामग्री को समझने की तैयारी

ए)प्रेरणा

मैं तुम्हें एक पहेली बताना चाहता हूँ:

सबसे तेज़ क्या है, लेकिन सबसे धीमा भी।

सबसे बड़ा, लेकिन सबसे छोटा भी.

सबसे लंबा, लेकिन सबसे छोटा भी।

सबसे महंगा, लेकिन हमारे द्वारा मूल्यांकित सबसे सस्ता?

यह समय है, दोस्तों. हमारे पास केवल 40 मिनट हैं, लेकिन मैं वास्तव में चाहूंगा कि वे देरी न करें, बल्कि उड़ जाएं। वे व्यर्थ में खर्च नहीं किये गये, बल्कि उपयोगी तरीके से खर्च किये गये।

बी) परिचयात्मक बातचीत

अपने दैनिक जीवन में, हमें सरल समस्याओं "तान्या, स्टोर पर जाओ" और जटिल समस्याओं "तान्या जाओ" दोनों को हल करना होगा। वी दुकान, कपड़े धोना, सूप पकाना, होमवर्क सीखना आदि।. ”, इसके लिए कई शर्तों को एक साथ पूरा करना आवश्यक है।

गणित में, सरल समस्याएँ भी हैं: "दो संख्याओं का योग 15 है। इन संख्याओं को खोजें," थोड़ा अधिक जटिल: "दो संख्याओं का अंतर 5 है। इन संख्याओं को खोजें," और जटिल, जिन्हें एक साथ पूरा करने की आवश्यकता होती है दो या दो से अधिक स्थितियों का. यह इन समस्याओं में से एक है जिससे हम आज के पाठ में परिचित होंगे।

इस समस्या के समाधान पर विचार करें: बोर्ड पर

“दो संख्याओं का योग 15 है और उनका अंतर 5 है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए।'' कार्य का प्रकार निर्धारित करें: सरल या जटिल। एक ही समय में कितनी शर्तें पूरी करनी होंगी? आइए इन दोनों स्थितियों को एक घुंघराले ब्रेस (पूर्णांक प्रतीक) के साथ संयोजित करें। समाधान की जटिलता क्या है? यह सच है, समाधान खोजने में बहुत समय लगेगा, और हम अभी तक कोई अन्य रास्ता नहीं जानते हैं। मुझे क्या करना चाहिए? - ऐसी समस्याओं को हल करने के नए तरीके से परिचित हों।

बी) शर्तों के साथ काम करना (फिसलना)

आइए याद रखें कि आप कौन सी अवधारणाएँ जानते हैं:

दो चरों वाला रैखिक समीकरण -...

2 चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ़ -...

ग्राफ़ बनाने के लिए एल्गोरिदम है...

ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति है...

प्रणाली - …

2 चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली - ...

सिस्टम समाधान है...

सिस्टम को हल करने के तरीके - ...

जिन शब्दों को आप जानते हैं उनके शब्दांकन बताएं (D.Z की जाँच करें .)

कौन से शब्द आपके लिए अपरिचित हैं? कौन सा शब्द कई बार आया? दरअसल, हमारे पाठ का मुख्य शब्द "सिस्टम" है।

चरण 2। नई सामग्री सीखना

क) एक प्रणाली की अवधारणा

यह पता चला है कि यदि हम ऐसी अवधारणा को एक प्रणाली के रूप में उपयोग करते हैं तो प्रस्तावित समस्या को तेजी से हल किया जा सकता है। क्या आप इस शब्द से परिचित हैं? आप इसे कैसे समझते हैं? विदेशी शब्दों का शब्दकोश इस शब्द की 9 व्याख्याएँ देता है। उनमें से कुछ को सुनें. (मैं चुन-चुन कर पढ़ता हूं .) से यूनानी . - , संकलित से पार्ट्स ; मिश्रण ) , समग्रतातत्वों, स्थितरिश्ते मेंऔरसम्बन्धदोस्तसाथदोस्त, कौनफार्मपरिभाषित. , एकता.

प्रणाली (σύστημα से - भागों से बना एक संपूर्ण; कनेक्शन) - एक दूसरे के साथ संबंधों और कनेक्शन में होना, जो एक निश्चित अखंडता बनाता है, .भीड़ को एक में सीमित करना सुंदरता का मूल सिद्धांत है।

रोजमर्रा के व्यवहार में, "सिस्टम" शब्द का प्रयोग विशेष रूप से विभिन्न अर्थों में किया जा सकता है :

लिखित , उदाहरण के लिए, सिस्टम;

वर्गीकरण , उदाहरण के लिए, डी. आई. मेंडेलीव;

व्यावहारिक गतिविधि की पूर्ण विधि , उदाहरण के लिए, ;

मानसिक गतिविधि को व्यवस्थित करने का तरीका , उदाहरण के लिए, ;

प्राकृतिक वस्तुओं का सेट , उदाहरण के लिए, ;

समाज की कुछ संपत्ति , उदाहरण के लिए, , और इसी तरह।;

जीवन के स्थापित मानदंडों और व्यवहार के नियमों का एक सेट , उदाहरण के लिए, या सिस्टम मूल्य;

नमूना ("उसके कार्यों में एक प्रणाली का पता लगाया जा सकता है");

डिज़ाइन ("नई प्रणाली के हथियार");

हमारे लिए कौन से विकल्प सर्वोत्तम हैं? क्यों?

“ प्रणाली (ग्रीक शब्द) - ... भागों से बना एक संपूर्ण; मिश्रण।

प्रतीक (चिह्न);

दो या दो से अधिक शर्तों की एक साथ पूर्ति की रिकॉर्डिंग के लिए प्रपत्र

आपके अनुसार पाठ का विषय क्या है?

पाठ विषय
दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ

( हम पाठ के विषय को एक नोटबुक और बोर्ड पर लिखते हैं )

बी) लक्ष्य निर्धारण

पाठ में आपका लक्ष्य क्या है? - हमें यह समझना चाहिए कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली क्या है और इसका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए कैसे किया जाता है, प्रणाली का समाधान क्या है, इसे कैसे हल करें, प्रणाली को हल करने के तरीके। इस ज्ञान को स्वतंत्र कार्य में लागू करें।

मैं बस इतना कर सकता हूं कि आपके लक्ष्य की सफल उपलब्धि की कामना करूं और यदि संभव हो तो आपमें से प्रत्येक की मदद करूं।

ग) समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

( समस्या को हल करने की प्रक्रिया में सिस्टम का एक प्रतीकात्मक रिकॉर्ड, स्थितियों का डिज़ाइन और समस्या का समाधान बोर्ड और नोटबुक में दिखाई देता है। .)

आइए समस्या कथन पर वापस लौटें और निष्पादित करेंस्थिति का संक्षिप्त विवरण :

माना x पहली संख्या है, y दूसरी संख्या है। 1 शर्त के अनुसार, उनका योग 15 है। इसका मतलब है x+y=15। हमें दो चरों वाला 1 समीकरण मिला। शर्त 2 के अनुसार, उनका अंतर 5 है। इसका मतलब है x-y=5। हमें दो चर वाले 2 समीकरण मिले।

कार्य प्रश्न का उत्तर कैसे दें?

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, चर x और y के ऐसे मान खोजना आवश्यक है जो प्रत्येक समीकरण को वास्तविक समानता में बदल दें, अर्थात। इन दो समीकरणों के सामान्य समाधान खोजें - आपको दो चर वाले दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है।

किसी सिस्टम को कैसे रिकॉर्ड करें? किस प्रतीक से? (मैं सब कुछ सुनता हूं उत्तर संस्करण )

दरअसल, घुंघराले ब्रैकेट का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली लिखने की प्रथा है, केवल ब्रैकेट को बाईं ओर रखा जाता है। (मैं सिस्टम को रिकॉर्ड करता हूं सामान्य दृश्य, कार्य के लिए सिस्टम के बगल में .)

रैखिक समीकरणों की प्रणाली 2 वेरिएबल्स के साथ...रिकॉर्ड कहा जाता है

किसी सिस्टम को हल करने का क्या मतलब है? इसे कैसे करना है?

हम संख्याओं के जोड़े चुन सकते हैं। (समाधान का चयन करना )

आइए संख्याओं की इस जोड़ी को सिस्टम में प्रतिस्थापित करके अपना समाधान जांचें: 10 और 5

दोनों समानताएँ सत्य हैं, जिसका अर्थ है कि संख्याओं की जोड़ी (10;5) प्रणाली का एक समाधान है। (उत्तर लिखिए ) उत्तर: (10;5)

क्या संख्याओं की जोड़ी का चयन करना सिस्टम को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका है? क्यों? आपका अनुमान क्या है? आइए समीकरणों के सिस्टम को हल करने के अन्य तरीकों से परिचित हों, लेकिन ऐसा करने के लिए आपको यह जानना होगा कि सिस्टम का समाधान क्या है।

आइए दो चर वाले दो समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। (मैं सामान्य रूप में लिखी गई प्रणाली की ओर संकेत करता हूं .)

वह निरूपित करें जिसे सिस्टम का समाधान कहा जाता है। अपने संस्करण की तुलना पाठ्यपुस्तक की परिभाषा से करें। (पाठ्यपुस्तक की परिभाषा के साथ कार्य करना .) किसके संस्करण की पुष्टि की गई?

सिस्टम समाधान दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को चर मानों का युग्म कहा जाता है(संख्याओं की एक जोड़ी ), उलटनाप्रत्येक सिस्टम का समीकरण सही समानता में।

परिभाषा के साथ काम करेंद्वारा तुम्हें ज्ञात हैकलन विधि : पढ़ें, मुख्य शब्दों को हाइलाइट करें, जोड़ियों में परिभाषा का उच्चारण करें।

आइए देखें कि हम इसे कैसे समझते हैं: - "किसी समीकरण को हल करने" का क्या मतलब है?

पहले (दूसरे) समीकरण का हल क्या है?

क्या ये संख्याओं के दो अलग-अलग जोड़े हैं?

"सिस्टम को हल करें" का क्या मतलब है? एक परिभाषा बनाएं और उसी तरह खुद को परखें। (द्वारा परिभाषा के साथ कार्य करना कलन विधि )

सिस्टम को हल करें समीकरण - यानि इसके सभी समाधान ढूंढनाया साबित करें कि कोई समाधान नहीं है।

आइए देखें कि हम इसे कैसे समझते हैं:सिस्टम में कितने समाधान हो सकते हैं: 0,1,2 या अधिक? आप पैराग्राफ को अंत तक पढ़कर अपने उत्तर की सत्यता की जांच कर सकते हैं।

चरण 3. नए ज्ञान का प्राथमिक समेकन

चलिए क्रमांक 1056 को हल करें (मौखिक रूप से) कौन समझा?

जो समान संख्या को हल कर सके. कौन सा? दोनों में से कोई एक चुनें: नंबर 1057 या नंबर 1058।

भावनात्मक विराम. कोई उत्सुक है? अपनी कुर्सी के नीचे देखो. वहां कुछ भी नहीं है? अजीब। आप क्या देखना चाहते थे? मैं क्या देखना चाहता था? यह सही है, मैं देखना चाहता थातौर तरीकों कुर्सी के नीचे देख रहे हैं. इसे दोबारा प्रदर्शित करें और दूसरों को भी इसे देखने दें। यह सब किस लिए है? यह शब्द हमारे पाठ के अगले चरण के शीर्षक में है:

चरण 4. नया ज्ञान प्राप्त करना

ए) सिस्टम को हल करने के तरीके...

हमने पाठ की शुरुआत में ही उनके अस्तित्व के बारे में बात की थी। कितने हैं? उनके नाम क्या हैं?

आपकी कक्षा में जिज्ञासु लोगों का होना बहुत अच्छी बात है। जिज्ञासु और जिज्ञासु में क्या अंतर है?

आइए पाठ्यपुस्तक को देखें और विधियों के बारे में प्रश्न का उत्तर खोजें। (स्क्रॉल करना या देखना सामग्री की तालिका के लिए ). आइए सिस्टम को हल करने के तरीकों को बोर्ड पर और एक नोटबुक में लिखें।

सिस्टम को हल करने के तरीके दो चर वाले रैखिक समीकरण: ग्राफ़िकल विधि; प्रतिस्थापन विधि; अतिरिक्त विधि.

- आइए सिस्टम को हल करने की एक विधि पर विचार करें जो पिछले पाठ की सामग्री पर आधारित है।मैं आपको याद दिला दूं कि समूह स्वतंत्र कार्य का परिणाम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की सापेक्ष स्थिति के ग्राफ़ थे। इसके अलावा, हमने ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति के बारे में कई निष्कर्ष निकाले; आपने उनकी शब्दावली को अपनी नोटबुक में लिखा।

- विधि के नाम में ही एक संकेत छिपा हुआ है। यह तरीका क्या है? चलो इसे लिख लें.

ग्राफ़िक विधि.

पाठ की शुरुआत में हमें कई शब्द याद आए। (शर्तों की सूची पर वापस लौट रहे हैं )

अब हमें किस ज्ञान की आवश्यकता है? (विद्यार्थी उत्तर देता है ):

2 चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।

सिस्टम में दो ऐसे समीकरण हैं, जिसका अर्थ है कि आपको दो सीधी रेखाएँ बनाने की आवश्यकता है।

एक समतल पर दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद कर सकती हैं, प्रतिच्छेद नहीं कर सकतीं, या संपाती नहीं हो सकतीं।(मैं बच्चों को ग्राफिक पद्धति के सार के बारे में निष्कर्ष पर ले जाता हूं)

क्या मैंने आपको सही ढंग से समझा?सार ग्राफ़िक विधि सिस्टम का समाधान यह है कि: दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली का ग्राफिकल समाधान खोजने के लिए कम किया जाता हैसामान्य बिंदुओं के निर्देशांक समीकरणों के ग्राफ़ (अर्थात् सीधी रेखाएँ)।

इसे कैसे करना है? (मैं सभी से अपील करता हूं, सभी संस्करणों को सुनें, उन लोगों का समर्थन करें जो सही रास्ते पर हैं - एक एल्गोरिदम बना रहे हैं।)

किसी निकाय के दो रैखिक समीकरणों के ग्राफ़ दो सीधी रेखाएँ हैं; प्रत्येक को निर्माण के लिए दो बिंदुओं की आवश्यकता होती है। यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक उभयनिष्ठ बिंदु होगा (सिस्टम का एक समाधान), यदि रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो कोई सामान्य बिंदु नहीं हैं (सिस्टम का कोई समाधान नहीं), और यदि रेखाएं मेल खाती हैं, तो सभी बिंदु होंगे सामान्य (सिस्टम के लिए असीमित कई समाधान)।

चरण 5. नई सामग्री का प्राथमिक समेकन

आइए उन प्रणालियों को हल करने की विधि का प्रयास करें जो आपने उस समस्या पर खोजी थी जिसे आपने पाठ की शुरुआत में चयन द्वारा हल किया था, क्योंकि हम पहले से ही इसका उत्तर जानते हैं। समाधान अलग-अलग हो सकते हैं, लेकिन उत्तर एक ही है। (हम सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करते हैं, वाक्यांशों के साथ समाधान पर टिप्पणी करते हैं जिससे हम बाद में एक एल्गोरिदम तैयार करेंगे।)

दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम

सिस्टम के ग्राफिक समाधान वाले पत्रक बोर्ड से जुड़े होते हैं।

चरण 6. ज्ञान का समेकन और प्राथमिक नियंत्रण

ए) एक एल्गोरिदम तैयार करना ( सामूहिक कार्य )

वार्ता : 4 लोगों के समूह में एकजुट होकर, ग्राफिक रूप से टुकड़ों में काटे गए सिस्टम को हल करने के लिए एल्गोरिदम वाला एक लिफाफा लें। आप की जरूरत है:

1) एल्गोरिथ्म को कागज के एक टुकड़े पर इकट्ठा करें, उसके भागों को क्रमांकित करें।

2) आपके लिए प्रस्तावित सिस्टम को हल करते समय तैयार एल्गोरिदम का उपयोग करें (नंबर 1060, 1061)

3) कार्यों की शुद्धता की जाँच करें - स्लाइड पर

एक समूह के लिए कार्य पूरा करने का समय 10 मिनट है (कार्य पूरा करने के बाद, समूह सिस्टम के एल्गोरिदम और समाधान की जांच करता है, समूह के काम का मूल्यांकन करता है, उसके मूल्यांकन पर टिप्पणी करता है ).

समूह के कार्य का परिणाम निम्नलिखित रूप का एक एकत्रित एल्गोरिदम होगा:

दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम निर्देशांक तल में निर्माण करते हैंप्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ सिस्टम, यानीदो सीधे (2 चर के साथ एक रैखिक समीकरण बनाने के लिए एक एल्गोरिदम पर आधारित)।

2. ढूँढनाचौराहे की जगह रेखांकन. चलो इसे लिख लेंCOORDINATES .

3. हम इसके बारे में निष्कर्ष निकालते हैंसिस्टम समाधानों की संख्या .

4. इसे लिख लेंउत्तर .

सिस्टम को हल करने की इस पद्धति को ग्राफ़िकल कहा जाता है। इसकी एक खामी है. हम किस नुकसान की बात कर रहे हैं?

समूहों के काम को सारांशित करते हुए, हम एक बार फिर एल्गोरिथम के चरणों के बारे में बात करते हैं (एल्गोरिथम के साथ अनुस्मारक सौंपना )

लैपटॉप (पाठ-अनुसंधान)

बी) टिप्पणियों के साथ समाधान संख्या 1060, ए, बी, सी, डी और 1061 ए), बी) - समूहों द्वारा).

कौन समझता है कि ऐसे कार्य कैसे किये जाते हैं?( आत्म मूल्यांकन )

चरण 7. समीकरणों की प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करें और निर्दिष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके उनका अध्ययन करें

समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय, प्रत्येक समीकरण में चर को व्यक्त करेंयके माध्यम सेएक्सऔर एक समन्वय प्रणाली में ग्राफ़ बनाएं);

प्रत्येक प्रणाली के लिए गुणांकों के अनुपात की तुलना करेंएक्स, पर

फिर सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है

फिर सिस्टम के पास कई समाधान हैं

चरण 8. गृहकार्य

(परिशिष्ट 3.)

1. परीक्षण कार्यों को हल करें और तालिका भरें:

नौकरी की नंबर

संभावित उत्तर

1.संख्याओं का कौन सा युग्म समीकरणों की प्रणाली का हल है:अनन्त रूप से अनेक समाधान हैं? . एक और समीकरण बनाएं ताकि दिए गए समीकरण के साथ मिलकर यह एक प्रणाली बना सके:

ए) अनंत रूप से कई समाधान होना;

बी) कोई समाधान नहीं है.

उत्तर: ए) बी)

ज्यामितीय और बीजीय दोनों भाषाओं में समान कथन तैयार करने की क्षमता हमें एक समन्वय प्रणाली द्वारा दी गई है, जिसका आविष्कार, जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, एक फ्रांसीसी दार्शनिक, गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी रेने डेसकार्टेस का है। यह वह था जिसने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की नींव बनाई, ज्यामितीय मात्रा की अवधारणा पेश की, एक समन्वय प्रणाली विकसित की और बीजगणित और ज्यामिति के बीच संबंध स्थापित किया।

एक अतिरिक्त कार्य के रूप में, आपसे रेने डेसकार्टेस के जीवन और कार्य के बारे में एक संदेश और प्रस्तुति तैयार करने के लिए कहा जाता है। आपकी प्रस्तुति में ऐतिहासिक जानकारी और वैज्ञानिक तथ्य शामिल हो सकते हैं। आप इसे रेने डेसकार्टेस से संबंधित किसी एक कार्य या समस्या के लिए समर्पित कर सकते हैं। मुख्य आवश्यकता यह है कि आपका संदेश 10-12 मिनट से अधिक का नहीं होना चाहिए। इस कार्य की समय सीमा 1 सप्ताह है। मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

मानदंड जिसके द्वारा प्रस्तुति का मूल्यांकन किया जाएगा:

प्रस्तुति की सामग्री के लिए मानदंड (5-7 अंक);

प्रस्तुति डिजाइन के लिए मानदंड (5-7 अंक);

कॉपीराइट का अनुपालन (2-3 अंक)।

9 अवस्था। पाठ का सारांश

- आइए पाठ के मुख्य बिंदुओं को याद रखें - नए शब्द (अधूरे वाक्यों की स्वीकृति: I मैं एक वाक्यांश शुरू करता हूं, और बच्चे उसे खत्म करते हैं ) प्रणाली, समाधान...

प्रतिबिंब - पत्ते. परीक्षण के बाद के अंक

पुरालेख-परिणाम। अपने पड़ोसी को गणित की समस्याएं हल करते हुए देखना आपको कभी नहीं सिखाएगा कि इसे स्वयं कैसे हल करें।

इस पाठ में हम दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणालियों को हल करने पर ध्यान देंगे। सबसे पहले, आइए दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के ग्राफिकल समाधान और उनके ग्राफ़ के सेट की विशिष्टताओं को देखें। आगे, हम ग्राफ़िकल पद्धति का उपयोग करके कई प्रणालियों को हल करेंगे।

विषय: समीकरणों की प्रणाली

पाठ: समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि

सिस्टम पर विचार करें

संख्याओं का वह युग्म जो एक साथ सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का समाधान हो, कहलाता है समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना.

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान ढूंढना, या यह स्थापित करना कि कोई समाधान नहीं है। हमने बुनियादी समीकरणों के ग्राफ़ को देख लिया है, आइए सिस्टम पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें।

उदाहरण 1. सिस्टम को हल करें

समाधान:

ये रैखिक समीकरण हैं, इनमें से प्रत्येक का ग्राफ एक सीधी रेखा है। पहले समीकरण का ग्राफ़ बिंदुओं (0; 1) और (-1; 0) से होकर गुजरता है। दूसरे समीकरण का ग्राफ़ बिंदुओं (0; -1) और (-1; 0) से होकर गुजरता है। रेखाएँ बिंदु (-1; 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं, यह समीकरणों की प्रणाली का समाधान है ( चावल। 1).

सिस्टम का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी है। संख्याओं की इस जोड़ी को प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही समानता प्राप्त होती है।

हमने रैखिक प्रणाली का एक अनूठा समाधान प्राप्त किया है।

याद रखें कि एक रैखिक प्रणाली को हल करते समय, निम्नलिखित मामले संभव हैं:

सिस्टम का एक अनोखा समाधान है - रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,

सिस्टम का कोई समाधान नहीं है - रेखाएँ समानांतर हैं,

सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं - सीधी रेखाएं मेल खाती हैं।

हमने सिस्टम के एक विशेष मामले पर विचार किया जब p(x; y) और q(x; y) x और y के रैखिक अभिव्यक्ति हैं।

उदाहरण 2. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान:

पहले समीकरण का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, दूसरे समीकरण का ग्राफ़ एक वृत्त है। आइए बिंदुओं के आधार पर पहला ग्राफ बनाएं (चित्र 2)।

वृत्त का केंद्र बिंदु O(0; 0) पर है, त्रिज्या 1 है।

ग्राफ़ बिंदु A(0; 1) और बिंदु B(-1; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

उदाहरण 3. सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करें

समाधान: आइए पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाएं - यह एक वृत्त है जिसका केंद्र t.O(0; 0) और त्रिज्या 2 है। दूसरे समीकरण का ग्राफ एक परवलय है। इसे मूल के सापेक्ष 2 द्वारा ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात। इसका शीर्ष बिंदु (0; 2) है (चित्र 3)।

ग्राफ़ में एक उभयनिष्ठ बिंदु है - अर्थात A(0; 2)। यह सिस्टम का समाधान है. यह सही है या नहीं यह जाँचने के लिए आइए समीकरण में कुछ संख्याएँ जोड़ें।

उदाहरण 4. सिस्टम को हल करें

समाधान: आइए पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाएं - यह एक वृत्त है जिसका केंद्र t.O(0; 0) और त्रिज्या 1 है (चित्र 4)।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें यह एक टूटी हुई रेखा है (चित्र 5)।

अब इसे ओय अक्ष के अनुदिश 1 नीचे ले जाएँ। यह फ़ंक्शन का ग्राफ़ होगा

आइए दोनों ग्राफ़ को एक ही समन्वय प्रणाली में रखें (चित्र 6)।

हमें तीन प्रतिच्छेदन बिंदु मिलते हैं - बिंदु A(1; 0), बिंदु B(-1; 0), बिंदु C(0; -1)।

हमने सिस्टम को हल करने के लिए ग्राफ़िकल विधि को देखा। यदि आप प्रत्येक समीकरण का एक ग्राफ बना सकते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक पा सकते हैं, तो यह विधि काफी पर्याप्त है।

लेकिन अक्सर ग्राफ़िकल विधि सिस्टम का केवल अनुमानित समाधान ढूंढना या समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर देना संभव बनाती है। इसलिए, अधिक सटीक अन्य तरीकों की आवश्यकता है, और हम निम्नलिखित पाठों में उनसे निपटेंगे।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थाएँ.- चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी.: बीमार।

2. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना, आदि - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार।

3. मकारिचेव यू. एन. बीजगणित। 9वीं कक्षा: शैक्षिक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए. संस्थान / यू. एन. मकारिचेव, एन. जी. मिंड्युक, के. आई. नेशकोव, आई. ई. फेओक्टिस्टोव। - 7वां संस्करण, रेव. और अतिरिक्त - एम.: मेनेमोसिन, 2008।

4. अलीमोव एस.ए., कोल्यागिन यू.एम., सिदोरोव यू.वी. बीजगणित. 9 वां दर्जा। 16वां संस्करण. - एम., 2011. - 287 पी।

5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। 9 वां दर्जा। 2 घंटे में। भाग 1. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी.सेमेनोव। - 12वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: 2010. - 224 पी.: बीमार।

6. बीजगणित. 9 वां दर्जा। 2 भागों में। भाग 2. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोवा, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य; ईडी। ए जी मोर्दकोविच। - 12वां संस्करण, रेव। - एम.: 2010.-223 पी.: बीमार।

1. गणित पर कॉलेज.आरयू अनुभाग ()।

2. इंटरनेट प्रोजेक्ट "कार्य" ()।

3. शैक्षिक पोर्टल "मैं एकीकृत राज्य परीक्षा को हल करूंगा" ()।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना, आदि - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार। क्रमांक 105, 107, 114, 115।