उदाहरण सहित भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। जटिल अभिन्न अंग

किसी दिए गए अंतराल X में अवकलनीय फ़ंक्शन F(x) को कहा जाता है फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न f(x), या f(x) का अभिन्न अंग, यदि प्रत्येक x ∈X के लिए निम्नलिखित समानता है:

एफ " (एक्स) = एफ(एक्स)। (8.1)

किसी दिए गए फलन के लिए सभी प्रतिअवकलन ज्ञात करना उसका कहलाता है एकीकरण। अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्यकिसी दिए गए अंतराल पर f(x) X फ़ंक्शन f(x) के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का सेट है; पद का नाम -

यदि F(x) फलन f(x) का कुछ प्रतिअवकलन है, तो ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।

अभिन्नों की तालिका

सीधे परिभाषा से हमें अनिश्चितकालीन अभिन्न के मुख्य गुण और सारणीबद्ध अभिन्न की एक सूची प्राप्त होती है:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

सारणीबद्ध अभिन्नों की सूची

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (एम ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - पाप x + C

7. = आर्कटैन x + C

8. = आर्क्सिन x + C

10. = - सीटीजी एक्स + सी

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

कई कार्यों को एकीकृत करने के लिए, परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें या प्रतिस्थापन,आपको इंटीग्रल को सारणीबद्ध रूप में कम करने की अनुमति देता है।

यदि फलन f(z) [α,β] पर सतत है, तो फलन z =g(x) का एक सतत अवकलज है और α ≤ g(x) ≤ β, तो

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

इसके अलावा, दाईं ओर एकीकरण के बाद, प्रतिस्थापन z=g(x) किया जाना चाहिए।

इसे सिद्ध करने के लिए, मूल अभिन्न को इस रूप में लिखना पर्याप्त है:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

उदाहरण के लिए:

भागों द्वारा एकीकरण की विधि

मान लीजिए u = f(x) और v = g(x) ऐसे फलन हैं जिनमें सततता है। फिर कार्य के अनुसार

d(uv))= udv + vdu या udv = d(uv) - vdu.

अभिव्यक्ति d(uv) के लिए, प्रतिअवकलन स्पष्ट रूप से uv होगा, इसलिए सूत्र इस प्रकार है:

∫ यूडीवी = यूवी - ∫ वीडीयू (8.4.)

यह सूत्र नियम को व्यक्त करता है भागों द्वारा एकीकरण. यह अभिव्यक्ति udv=uv"dx के एकीकरण को अभिव्यक्ति vdu=vu"dx के एकीकरण की ओर ले जाता है।

उदाहरण के लिए, आप ∫xcosx dx खोजना चाहते हैं। आइए हम u = x, dv = cosxdx रखें, इसलिए du=dx, v=sinx। तब

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x पाप x - ∫sin x dx = x पाप x + cosx + C.

भागों द्वारा एकीकरण के नियम का दायरा चरों के प्रतिस्थापन की तुलना में अधिक सीमित है। लेकिन अभिन्नों के पूरे वर्ग हैं, उदाहरण के लिए,

∫x k ln m xdx, ∫x k synbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax और अन्य, जिनकी गणना भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके सटीक रूप से की जाती है।

समाकलन परिभाषित करें

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा इस प्रकार प्रस्तुत की गई है। मान लीजिए कि एक फलन f(x) को एक अंतराल पर परिभाषित किया गया है। आइए हम खंड को [ए,बी] में विभाजित करें एनबिंदुओं के अनुसार भाग ए= एक्स 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ एक्स आई =एक्स आई - एक्स आई-1. f(ξ i)Δ x i के रूप का योग कहा जाता है अभिन्न योग, और λ = maxΔx i → 0 पर इसकी सीमा, यदि यह मौजूद है और परिमित है, कहलाती है समाकलन परिभाषित करेंफ़ंक्शन f(x) का एपहले बीऔर निर्दिष्ट है:

F(ξ i)Δx i (8.5).

इस मामले में फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अंतराल पर अभिन्न, संख्या ए और बी कहा जाता है अभिन्न की निचली और ऊपरी सीमाएँ.

निम्नलिखित गुण एक निश्चित अभिन्न के लिए सत्य हैं:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

अंतिम संपत्ति कहलाती है माध्य मान प्रमेय.

मान लीजिए f(x) निरंतर है। फिर इस खंड पर एक अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है

∫f(x)dx = F(x) + C

और होता है न्यूटन-लीबनिज सूत्र, निश्चित अभिन्न को अनिश्चितकालीन अभिन्न से जोड़ना:

एफ(बी) - एफ(ए)। (8.6)

ज्यामितीय व्याख्या: निश्चित अभिन्न अंग ऊपर से वक्र y=f(x), सीधी रेखाओं x = a और x = b और अक्ष के एक खंड से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार का क्षेत्र है बैल.

अनुचित अभिन्न अंग

अनंत सीमाओं वाले समाकलन तथा असंतत (अनबाउंड) कार्यों के समाकलन कहलाते हैं तुम्हारा अपना नहीं. प्रथम प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग -ये एक अनंत अंतराल पर अभिन्न अंग हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(8.7)

यदि यह सीमा अस्तित्व में है और परिमित है, तो इसे कहा जाता है f(x) का अभिसारी अनुचित समाकलनअंतराल पर [a,+ ∞), और फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अनंत अंतराल पर समाकलनीय[ए,+ ∞). अन्यथा अभिन्न कहा जाता है अस्तित्व में नहीं है या भिन्न है.

अंतराल (-∞,b] और (-∞, + ∞) पर अनुचित समाकलन को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

आइए हम एक असीमित फलन के समाकलन की अवधारणा को परिभाषित करें। यदि f(x) सभी मानों के लिए सतत है एक्सखंड, बिंदु c को छोड़कर, जिस पर f(x) में अनंत असंततता है दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न अंगएफ(एक्स) ए से लेकर बी तकराशि कहलाती है:

यदि ये सीमाएँ अस्तित्व में हैं और सीमित हैं। पद का नाम:

अभिन्न गणना के उदाहरण

उदाहरण 3.30.∫dx/(x+2) की गणना करें.

समाधान।आइए हम t = x+2 को निरूपित करें, फिर dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + सी = एलएन|एक्स+2| +सी.

उदाहरण 3.31. ∫ tgxdx ज्ञात कीजिए।

समाधान।∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. मान लीजिए t=cosx, तो ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + सी = -ln|cosx|+C.

उदाहरण3.32 . ∫dx/sinx खोजें

समाधान।

उदाहरण3.33. खोजो ।

समाधान। = .

उदाहरण3.34 . ∫arctgxdx खोजें।

समाधान। आइए भागों द्वारा एकीकृत करें। आइए हम u=arctgx, dv=dx को निरूपित करें। फिर du = dx/(x 2 +1), v=x, जहां से ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; क्योंकि
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

उदाहरण3.35 . ∫lnxdx की गणना करें.

समाधान।भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. फिर ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

उदाहरण3.36 . ∫e x synxdx की गणना करें।

समाधान।आइए हम u = e x, dv = synxdx, फिर du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x synxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx निरूपित करें। हम अभिन्न ∫e x cosxdx को भागों द्वारा भी एकीकृत करते हैं: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx। हमारे पास है:
∫ ई एक्स कॉसएक्सडीएक्स = ई एक्स सिनएक्स - ∫ ई एक्स सिनएक्सडीएक्स। हमने संबंध ∫e x synxdx = - e x cosx + e x synx - ∫ e x synxdx प्राप्त किया, जिससे 2∫e x synx dx = - e x cosx + e x synx + C.

उदाहरण 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x की गणना करें।

समाधान।चूँकि dx/x = dlnx, तो J= ∫cos(lnx)d(lnx)। एलएनएक्स को टी के माध्यम से प्रतिस्थापित करने पर, हम तालिका अभिन्न जे = ∫ लागतडीटी = सिंट + सी = पाप (एलएनएक्स) + सी पर पहुंचते हैं।

उदाहरण 3.38 . जे = की गणना करें।

समाधान।यह मानते हुए कि = d(lnx), हम lnx = t प्रतिस्थापित करते हैं। फिर जे = .

उदाहरण 3.39 . अभिन्न जे = की गणना करें .

समाधान।हमारे पास है: . इसलिए =
=
=. इस तरह दर्ज किया गया: sqrt(tan(x/2)).

और यदि परिणाम विंडो में आप ऊपरी दाएं कोने में शो स्टेप्स पर क्लिक करते हैं, तो आपको एक विस्तृत समाधान मिलेगा।

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निश्चित अभिन्नों को हल करना

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• इंटीग्रैंड एक्सप्रेशन (इंटीग्रल फ़ंक्शन) दर्ज करें
• इंटीग्रल के लिए निचली सीमा दर्ज करें
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दोहरे समाकलन को हल करना

• इंटीग्रैंड एक्सप्रेशन (इंटीग्रल फ़ंक्शन) दर्ज करें

अनुचित अभिन्नों को हल करना

• इंटीग्रैंड एक्सप्रेशन (इंटीग्रल फ़ंक्शन) दर्ज करें
• एकीकरण का ऊपरी क्षेत्र दर्ज करें (या + अनंत)
• एकीकरण का निचला क्षेत्र दर्ज करें (या - अनंत)

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भागों द्वारा एकीकरण- निश्चित और अनिश्चित समाकलन को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि, जब एक समाकलन आसानी से समाकलनीय होता है और दूसरा अवकलनीय होता है। अनिश्चित और निश्चित दोनों प्रकार के अभिन्नों को खोजने की एक काफी सामान्य विधि। जब आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता होती है तो मुख्य संकेत एक निश्चित फ़ंक्शन होता है जिसमें दो फ़ंक्शन के उत्पाद शामिल होते हैं जिन्हें बिंदु-रिक्त एकीकृत नहीं किया जा सकता है।

FORMULA

इस पद्धति का सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको सूत्रों को समझने और सीखने की आवश्यकता है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

एक निश्चित अभिन्न अंग में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

समाधान के उदाहरण

आइए अभ्यास में भागों द्वारा एकीकरण के समाधान के उदाहरणों पर विचार करें, जो अक्सर परीक्षणों के दौरान शिक्षकों द्वारा प्रस्तावित किए जाते हैं। कृपया ध्यान दें कि अभिन्न प्रतीक के अंतर्गत दो कार्यों का गुणनफल होता है। यह इस बात का संकेत है कि यह विधि समाधान के लिए उपयुक्त है।

उदाहरण 1

अभिन्न $ \int xe^xdx $ ज्ञात करें

समाधान

हम देखते हैं कि इंटीग्रैंड में दो कार्य होते हैं, जिनमें से एक, विभेदीकरण पर, तुरंत एकता में बदल जाता है, और दूसरा आसानी से एकीकृत हो जाता है। अभिन्न को हल करने के लिए, हम भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करते हैं। आइए मान लें कि $ u = x \rightarrow du=dx $ और $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ हम पाए गए मानों को पहले एकीकरण सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

उदाहरण 4

अभिन्न $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ की गणना करें

समाधान

पिछले हल किए गए उदाहरणों के अनुरूप, हम यह पता लगाएंगे कि किस फ़ंक्शन को बिना किसी समस्या के एकीकृत करना है, किसे अलग करना है। कृपया ध्यान दें कि यदि हम $ (x+5) $ को अलग करते हैं, तो यह अभिव्यक्ति स्वचालित रूप से एकता में परिवर्तित हो जाएगी, जो हमारे लाभ के लिए होगी। तो हम यह करते हैं: $$ u=x+5 \दायां तीर du=dx, dv=3^x dx \दायां तीर v=\frac(3^x)(ln3) $$ अब सभी अज्ञात फ़ंक्शन मिल गए हैं और उन्हें एक निश्चित अभिन्न अंग के लिए भागों द्वारा एकीकरण के दूसरे सूत्र में रखा जा सकता है। $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

उत्तर

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

एक निश्चित अभिन्न अंग द्वारा एक सतत कार्य से एफ(एक्स) अंतिम खंड पर [ ए, बी] (जहाँ ) इस खंड पर इसके कुछ प्रतिअवकलजों की वृद्धि है। (सामान्य तौर पर, यदि आप अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग के विषय को दोहराते हैं तो समझना काफी आसान हो जाएगा) इस मामले में, संकेतन का उपयोग किया जाता है

जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है (एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन की वृद्धि को इसके द्वारा दर्शाया गया है), एक निश्चित समाकलन या तो धनात्मक या ऋणात्मक संख्या हो सकता है(इसकी गणना ऊपरी सीमा में प्रतिअवकलन के मूल्य और निचली सीमा में इसके मूल्य के बीच अंतर के रूप में की जाती है, अर्थात एफ(बी) - एफ(ए)).

नंबर एऔर बीक्रमशः एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाएँ कहलाती हैं, और खंड [ ए, बी] - एकीकरण का खंड।

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) - के लिए कुछ प्रतिअवकलन कार्य एफ(एक्स), फिर, परिभाषा के अनुसार,

(38)

समानता (38) कहलाती है न्यूटन-लीबनिज सूत्र . अंतर एफ(बी) – एफ(ए) संक्षेप में इस प्रकार लिखा गया है:

इसलिए, हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र इस प्रकार लिखेंगे:

(39)

आइए हम सिद्ध करें कि निश्चित समाकलन इस बात पर निर्भर नहीं करता कि इसकी गणना करते समय समाकलन का कौन सा प्रतिअवकलन लिया जाता है। होने देना एफ(एक्स) और एफ( एक्स) इंटीग्रैंड के मनमाने एंटीडेरिवेटिव हैं। चूँकि ये एक ही फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज हैं, इसलिए इनमें एक स्थिर पद का अंतर होता है: Ф( एक्स) = एफ(एक्स) + सी. इसीलिए

इससे यह स्थापित होता है कि खंड पर [ ए, बी] फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि एफ(एक्स) मेल खाना।

इस प्रकार, एक निश्चित अभिन्न की गणना करने के लिए, पूर्णांक के किसी भी प्रतिअवकलन को खोजना आवश्यक है, अर्थात। सबसे पहले आपको अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की आवश्यकता है। स्थिर साथ बाद की गणनाओं से बाहर रखा गया। फिर न्यूटन-लीबनिज़ फॉर्मूला लागू किया जाता है: ऊपरी सीमा का मान एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित किया जाता है बी , आगे - निचली सीमा का मूल्य ए और अंतर की गणना की जाती है एफ(बी) - एफ(ए) . परिणामी संख्या एक निश्चित पूर्णांक होगी।.

पर ए = बीपरिभाषा के अनुसार स्वीकृत

उदाहरण 1।

समाधान। सबसे पहले, आइए अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग खोजें:

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को प्रतिअवकलन पर लागू करना

(पर साथ= 0), हमें मिलता है

हालाँकि, एक निश्चित अभिन्न की गणना करते समय, यह बेहतर है कि प्रतिअवकलन को अलग से न खोजा जाए, बल्कि अभिन्न को तुरंत फॉर्म (39) में लिखा जाए।

उदाहरण 2.निश्चित अभिन्न की गणना करें

समाधान। सूत्र का उपयोग करना

निश्चित अभिन्न के गुण

प्रमेय 2.निश्चित अभिन्न का मान एकीकरण चर के पदनाम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात।

(40)

होने देना एफ(एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स). के लिए एफ(टी) प्रतिअवकलन एक ही कार्य है एफ(टी), जिसमें स्वतंत्र चर को केवल अलग ढंग से नामित किया गया है। इस तरह,

सूत्र (39) के आधार पर, अंतिम समानता का अर्थ अभिन्नों की समानता है

प्रमेय 3.अचर गुणनखंड को निश्चित समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है, अर्थात।

(41)

प्रमेय 4.कार्यों की एक सीमित संख्या के बीजीय योग का निश्चित समाकलन इन कार्यों के निश्चित समाकलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, अर्थात।

(42)

प्रमेय 5.यदि एकीकरण के एक खंड को भागों में विभाजित किया जाता है, तो पूरे खंड पर निश्चित अभिन्न अंग उसके भागों पर निश्चित अभिन्नों के योग के बराबर होता है, अर्थात। अगर

(43)

प्रमेय 6.एकीकरण की सीमाओं को पुनर्व्यवस्थित करने पर, निश्चित अभिन्न का निरपेक्ष मान नहीं बदलता है, बल्कि केवल उसका चिह्न बदलता है, अर्थात।

(44)

प्रमेय 7(माध्य मान प्रमेय)। एक निश्चित इंटीग्रल एकीकरण खंड की लंबाई और उसके अंदर किसी बिंदु पर इंटीग्रैंड के मूल्य के उत्पाद के बराबर है, अर्थात।

(45)

प्रमेय 8.यदि एकीकरण की ऊपरी सीमा निचली सीमा से अधिक है और समाकलन गैर-नकारात्मक (सकारात्मक) है, तो निश्चित समाकलन भी गैर-नकारात्मक (सकारात्मक) है, अर्थात। अगर

प्रमेय 9.यदि एकीकरण की ऊपरी सीमा निचली सीमा से अधिक है और कार्य निरंतर हैं, तो असमानता

शब्द दर शब्द एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात।

(46)

निश्चित समाकलन के गुण समाकलन की प्रत्यक्ष गणना को सरल बनाना संभव बनाते हैं।

उदाहरण 5.निश्चित अभिन्न की गणना करें

प्रमेय 4 और 3 का उपयोग करते हुए, और प्रतिअवकलन ज्ञात करते समय - तालिका समाकलन (7) और (6), हम प्राप्त करते हैं

परिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ निश्चित अभिन्न अंग

होने देना एफ(एक्स) - खंड पर निरंतर [ ए, बी] फ़ंक्शन, और एफ(एक्स) इसका प्रतिअवकलन है। निश्चित अभिन्न पर विचार करें

(47)

और के माध्यम से टीएकीकरण चर को निर्दिष्ट किया गया है ताकि इसे ऊपरी सीमा के साथ भ्रमित न किया जाए। जब यह बदलता है एक्सनिश्चित समाकलन (47) भी बदलता है, अर्थात्। यह एकीकरण की ऊपरी सीमा का एक कार्य है एक्स, जिसे हम निरूपित करते हैं एफ(एक्स), अर्थात।

(48)

आइए हम सिद्ध करें कि फलन एफ(एक्स) के लिए एक प्रतिअवकलन है एफ(एक्स) = एफ(टी). वास्तव में, विभेद करना एफ(एक्स), हम पाते हैं

क्योंकि एफ(एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स), ए एफ(ए) एक स्थिर मान है.

समारोह एफ(एक्स) - के लिए अनंत संख्या में प्रतिअवकलजों में से एक एफ(एक्स), अर्थात् वह जो एक्स = एशून्य हो जाता है. यदि हम समानता (48) में रखते हैं तो यह कथन प्राप्त होता है एक्स = एऔर पिछले पैराग्राफ के प्रमेय 1 का उपयोग करें।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि तथा चर के परिवर्तन की विधि द्वारा निश्चित अभिन्नों की गणना

जहां, परिभाषा के अनुसार, एफ(एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स). यदि हम वेरिएबल को इंटीग्रैंड में बदलते हैं

तो, सूत्र (16) के अनुसार, हम लिख सकते हैं

इस अभिव्यक्ति में

के लिए प्रतिव्युत्पन्न कार्य

वास्तव में, इसका व्युत्पन्न, के अनुसार जटिल कार्यों के विभेदन का नियम, बराबर है

मान लीजिए α और β वेरिएबल के मान हैं टी, जिसके लिए फ़ंक्शन

तदनुसार मान लेता है एऔर बी, अर्थात।

लेकिन, न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, अंतर एफ(बी) – एफ(ए) वहाँ है

इंटीग्रल्स को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल कुछ चुनिंदा लोगों के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो अभिन्नों को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं या लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? निश्चित और अनिश्चित अभिन्न अंग क्या हैं? यदि इंटीग्रल के लिए आप जो एकमात्र उपयोग जानते हैं, वह दुर्गम स्थानों से कुछ उपयोगी प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल आइकन के आकार के क्रोकेट हुक का उपयोग करना है, तो स्वागत है! जानें कि इंटीग्रल को कैसे हल करें और आप इसके बिना क्यों नहीं कर सकते।

हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं

एकीकरण को प्राचीन मिस्र में जाना जाता था। बेशक, अपने आधुनिक रूप में नहीं, लेकिन फिर भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर कई किताबें लिखी हैं। उन्होंने स्वयं को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया न्यूटन और लाइबनिट्स , लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। शुरू से इंटीग्रल को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए, आपको अभी भी गणितीय विश्लेषण की बुनियादी बातों के बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होगी। हमारे ब्लॉग पर इंटीग्रल को समझने के लिए आवश्यक के बारे में पहले से ही जानकारी है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

आइये कुछ कार्य करें एफ(एक्स) .

अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स) , जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) .

दूसरे शब्दों में, अभिन्न एक विपरीत व्युत्पन्न या एक प्रतिअवकलन है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ें।

सभी सतत कार्यों के लिए एक प्रतिअवकलन मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिन्ह को अक्सर प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के व्युत्पन्न जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं, मेल खाते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।

सरल उदाहरण:

प्राथमिक कार्यों के प्रतिअवकलन की लगातार गणना न करने के लिए, उन्हें एक तालिका में संक्षेपित करना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है:

समाकलन परिभाषित करें

अभिन्न की अवधारणा से निपटते समय, हम अनंत मात्राओं से निपट रहे हैं। इंटीग्रल एक आकृति के क्षेत्रफल, एक गैर-समान पिंड का द्रव्यमान, असमान गति के दौरान तय की गई दूरी और बहुत कुछ की गणना करने में मदद करेगा। यह याद रखना चाहिए कि एक पूर्णांक एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या में अतिसूक्ष्म पदों का योग है।

उदाहरण के तौर पर, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एक अभिन्न का उपयोग करना! आइए हम निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अनंत छोटे खंडों में विभाजित करें। इस प्रकार आकृति पतले-पतले स्तम्भों में विभाजित हो जायेगी। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकीर्ण होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम कर दें कि लंबाई शून्य हो जाए, तो खंडों के क्षेत्रफलों का योग आकृति के क्षेत्रफल के बराबर हो जाएगा। यह एक निश्चित समाकलन है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:

बिंदु a और b को एकीकरण की सीमाएँ कहा जाता है।

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डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के नियम

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

अनिश्चितकालीन समाकलन को कैसे हल करें? यहां हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों को देखेंगे, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होंगे।

• इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:

• स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के अंतर्गत से निकाला जा सकता है:

• योग का समाकलन समाकलन के योग के बराबर होता है। यह अंतर के लिए भी सत्य है:

एक निश्चित अभिन्न के गुण

• रैखिकता:

• यदि एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली की जाती है तो अभिन्न का चिह्न बदल जाता है:

• पर कोईअंक ए, बीऔर साथ:

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक निश्चित अभिन्न एक योग की सीमा है। लेकिन किसी उदाहरण को हल करते समय विशिष्ट मान कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:

अभिन्नों को हल करने के उदाहरण

नीचे हम अनिश्चित समाकलन खोजने के कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। हमारा सुझाव है कि आप स्वयं समाधान की पेचीदगियों का पता लगाएं, और यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में एक वीडियो देखें। यदि अभिन्न तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। छात्रों के लिए एक पेशेवर सेवा से संपर्क करें, और एक बंद सतह पर कोई भी ट्रिपल या घुमावदार इंटीग्रल आपके अधिकार में होगा।