पूर्ण और सापेक्ष माप त्रुटियाँ। पूर्ण माप त्रुटि

माप त्रुटि- किसी मात्रा के मापे गए मूल्य के उसके वास्तविक मूल्य से विचलन का आकलन। मापन त्रुटि माप सटीकता की एक विशेषता (माप) है।

चूँकि पूर्ण सटीकता के साथ किसी भी मात्रा का सही मूल्य निर्धारित करना असंभव है, इसलिए वास्तविक मूल्य से मापा मूल्य के विचलन की मात्रा को इंगित करना असंभव है। (इस विचलन को आमतौर पर माप त्रुटि कहा जाता है। कई स्रोतों में, उदाहरण के लिए, ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया में, शब्द माप त्रुटिऔर माप त्रुटिसमानार्थक शब्द के रूप में उपयोग किया जाता है, लेकिन आरएमजी 29-99 के अनुसार यह शब्द है माप त्रुटिकम सफल के रूप में उपयोग के लिए अनुशंसित नहीं)। इस विचलन की भयावहता का अनुमान केवल सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग करके ही लगाया जा सकता है। व्यवहार में, वे वास्तविक मूल्य के बजाय उपयोग करते हैं मात्रा का वास्तविक मूल्य xd, अर्थात, प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त भौतिक मात्रा का मान और वास्तविक मान के इतना करीब कि दिए गए माप कार्य में इसके स्थान पर इसका उपयोग किया जा सकता है। इस मान की गणना आमतौर पर मापों की एक श्रृंखला के परिणामों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण से प्राप्त औसत मूल्य के रूप में की जाती है। यह प्राप्त मूल्य सटीक नहीं है, बल्कि केवल सबसे संभावित है। इसलिए, माप में यह बताना आवश्यक है कि उनकी सटीकता क्या है। ऐसा करने के लिए, प्राप्त परिणाम के साथ माप त्रुटि का संकेत दिया जाता है। उदाहरण के लिए, रिकार्ड टी=2.8±0.1सी। इसका मतलब है कि मात्रा का सही मूल्य टीकी सीमा में स्थित है 2.7 एस.पहले 2.9 एस.कुछ निर्दिष्ट संभाव्यता के साथ

2004 में, अंतर्राष्ट्रीय स्तर पर एक नया दस्तावेज़ अपनाया गया, जिसमें माप करने की शर्तों को निर्धारित किया गया और राज्य मानकों की तुलना के लिए नए नियम स्थापित किए गए। "त्रुटि" की अवधारणा अप्रचलित हो गई है; इसके बजाय, "माप अनिश्चितता" की अवधारणा पेश की गई थी, हालांकि GOST R 50.2.038-2004 इस शब्द के उपयोग की अनुमति देता है गलतीरूस में प्रयुक्त दस्तावेज़ों के लिए.

निम्न प्रकार की त्रुटियाँ प्रतिष्ठित हैं:

· पूर्ण त्रुटि;

· रिश्तेदारों की गलती;

· त्रुटि में कमी;

· बुनियादी त्रुटि;

· अतिरिक्त त्रुटि;

· सिस्टम में त्रुटि;

· कोई भी त्रुटि;

· वाद्य त्रुटि;

· पद्धतिगत त्रुटि;

· व्यक्तिगत त्रुटि;

· स्थैतिक त्रुटि;

· गतिशील त्रुटि.

मापन त्रुटियों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया गया है।

· गणितीय अभिव्यक्ति की विधि के अनुसार त्रुटियों को पूर्ण त्रुटियों और सापेक्ष त्रुटियों में विभाजित किया जाता है।

· समय में परिवर्तन और इनपुट मान की परस्पर क्रिया के अनुसार त्रुटियों को स्थैतिक त्रुटियों और गतिशील त्रुटियों में विभाजित किया जाता है।

· उनकी घटना की प्रकृति के आधार पर, त्रुटियों को व्यवस्थित त्रुटियों और यादृच्छिक त्रुटियों में विभाजित किया जाता है।

· प्रभावित करने वाली मात्राओं पर त्रुटि की निर्भरता की प्रकृति के अनुसार, त्रुटियों को मूल और अतिरिक्त में विभाजित किया जाता है।

· इनपुट मान पर त्रुटि की निर्भरता की प्रकृति के आधार पर, त्रुटियों को योगात्मक और गुणक में विभाजित किया जाता है।

पूर्ण त्रुटि- यह माप प्रक्रिया के दौरान प्राप्त मात्रा के मूल्य और इस मात्रा के वास्तविक (वास्तविक) मूल्य के बीच अंतर के रूप में गणना किया गया मूल्य है। पूर्ण त्रुटि की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

AQ n =Q n /Q 0, जहां AQ n पूर्ण त्रुटि है; प्रश्न एन- माप प्रक्रिया के दौरान प्राप्त एक निश्चित मात्रा का मूल्य; प्र0- तुलना के आधार के रूप में ली गई समान मात्रा का मूल्य (वास्तविक मूल्य)।

माप की पूर्ण त्रुटि- यह एक मान है जिसकी गणना संख्या के बीच अंतर के रूप में की जाती है, जो माप का नाममात्र मूल्य है, और माप द्वारा पुनरुत्पादित मात्रा का वास्तविक (वास्तविक) मूल्य है।

रिश्तेदारों की गलतीएक संख्या है जो माप सटीकता की डिग्री को दर्शाती है। सापेक्ष त्रुटि की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहां ∆Q पूर्ण त्रुटि है; प्र0– मापी गई मात्रा का वास्तविक (वास्तविक) मूल्य। सापेक्ष त्रुटि प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है।

त्रुटि कम हुईएक मान है जिसकी गणना पूर्ण त्रुटि मान और सामान्यीकरण मान के अनुपात के रूप में की जाती है।

मानक मान निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

· उन माप उपकरणों के लिए जिनके लिए नाममात्र मूल्य स्वीकृत है, इस नाममात्र मूल्य को मानक मूल्य के रूप में लिया जाता है;

· उन माप उपकरणों के लिए जिनमें शून्य मान माप पैमाने के किनारे पर या पैमाने के बाहर स्थित होता है, सामान्यीकरण मान को माप सीमा से अंतिम मान के बराबर लिया जाता है। इसका अपवाद काफी असमान माप पैमाने वाले माप उपकरण हैं;

· उन माप उपकरणों के लिए जिनका शून्य चिह्न माप सीमा के अंदर स्थित है, सामान्यीकरण मान को माप सीमा के अंतिम संख्यात्मक मानों के योग के बराबर लिया जाता है;

· माप उपकरणों (माप उपकरणों) के लिए जिसमें पैमाना असमान है, सामान्यीकरण मान को माप पैमाने की पूरी लंबाई या उसके उस हिस्से की लंबाई के बराबर लिया जाता है जो माप सीमा से मेल खाता है। पूर्ण त्रुटि तब लंबाई की इकाइयों में व्यक्त की जाती है।

मापन त्रुटि में वाद्य त्रुटि, विधि त्रुटि और गिनती त्रुटि शामिल है। इसके अलावा, माप पैमाने के विभाजन अंशों को निर्धारित करने में अशुद्धि के कारण गिनती में त्रुटि उत्पन्न होती है।

वाद्य त्रुटि- यह एक त्रुटि है जो माप उपकरणों के कार्यात्मक भागों की निर्माण प्रक्रिया के दौरान हुई त्रुटियों के कारण उत्पन्न होती है।

पद्धतिगत त्रुटिएक त्रुटि है जो निम्नलिखित कारणों से होती है:

· भौतिक प्रक्रिया का एक मॉडल बनाने में अशुद्धि जिस पर माप उपकरण आधारित है;

· माप उपकरणों का गलत उपयोग.

व्यक्तिपरक त्रुटि- यह मापने वाले उपकरण के ऑपरेटर की योग्यता की कम डिग्री के साथ-साथ मानव दृश्य अंगों की त्रुटि के कारण उत्पन्न होने वाली त्रुटि है, यानी व्यक्तिपरक त्रुटि का कारण मानव कारक है।

समय और इनपुट मात्रा के साथ परिवर्तनों की परस्पर क्रिया में त्रुटियों को स्थिर और गतिशील त्रुटियों में विभाजित किया गया है।

स्थैतिक त्रुटि- यह एक त्रुटि है जो एक स्थिर (समय के साथ नहीं बदलने वाली) मात्रा को मापने की प्रक्रिया में उत्पन्न होती है।

गतिशील त्रुटिएक त्रुटि है, जिसके संख्यात्मक मान की गणना उस त्रुटि के बीच अंतर के रूप में की जाती है जो एक गैर-स्थिर (समय-परिवर्तनीय) मात्रा को मापते समय होती है और स्थैतिक त्रुटि (एक निश्चित बिंदु पर मापी गई मात्रा के मूल्य में त्रुटि) समय)।

प्रभावित करने वाली मात्राओं पर त्रुटि की निर्भरता की प्रकृति के अनुसार, त्रुटियों को मूल और अतिरिक्त में विभाजित किया जाता है।

बुनियादी त्रुटि- यह मापने वाले उपकरण की सामान्य परिचालन स्थितियों (प्रभावकारी मात्राओं के सामान्य मूल्यों पर) के तहत प्राप्त त्रुटि है।

अतिरिक्त त्रुटि- यह एक त्रुटि है जो तब होती है जब प्रभावित करने वाली मात्राओं के मान उनके सामान्य मूल्यों के अनुरूप नहीं होते हैं, या यदि प्रभावित करने वाली मात्रा सामान्य मूल्यों के क्षेत्र की सीमाओं से अधिक हो जाती है।

सामान्य स्थितियाँ- ये ऐसी स्थितियाँ हैं जिनमें प्रभावित करने वाली मात्राओं के सभी मान सामान्य होते हैं या सामान्य सीमा की सीमाओं से आगे नहीं जाते हैं।

काम करने की स्थिति- ये ऐसी स्थितियाँ हैं जिनमें प्रभावित करने वाली मात्राओं में परिवर्तन की व्यापक सीमा होती है (प्रभावकारी मूल्य मूल्यों की कार्यशील सीमा की सीमाओं से आगे नहीं जाते हैं)।

मात्राओं को प्रभावित करने की कार्य सीमा- यह मानों की वह श्रेणी है जिसमें अतिरिक्त त्रुटि के मान सामान्यीकृत होते हैं।

इनपुट मान पर त्रुटि की निर्भरता की प्रकृति के आधार पर, त्रुटियों को योगात्मक और गुणक में विभाजित किया जाता है।

योगात्मक त्रुटि- यह एक त्रुटि है जो संख्यात्मक मूल्यों के योग के कारण उत्पन्न होती है और मापी गई मात्रा मॉड्यूलो (पूर्ण) के मूल्य पर निर्भर नहीं करती है।

गुणात्मक पूर्वाग्रहएक त्रुटि है जो मापी जा रही मात्रा के मूल्यों में परिवर्तन के साथ बदलती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पूर्ण योगात्मक त्रुटि का मूल्य मापी गई मात्रा के मूल्य और मापने वाले उपकरण की संवेदनशीलता से संबंधित नहीं है। संपूर्ण योगात्मक त्रुटियाँ संपूर्ण माप सीमा पर स्थिर रहती हैं।

पूर्ण योगात्मक त्रुटि का मान उस मात्रा का न्यूनतम मान निर्धारित करता है जिसे मापने वाले उपकरण द्वारा मापा जा सकता है।

गुणात्मक त्रुटियों के मान मापी गई मात्रा के मानों में परिवर्तन के अनुपात में बदलते हैं। गुणक त्रुटियों के मान भी मापने वाले उपकरण की संवेदनशीलता के समानुपाती होते हैं। गुणक त्रुटि उपकरण के तत्वों की पैरामीट्रिक विशेषताओं पर मात्राओं को प्रभावित करने के प्रभाव के कारण उत्पन्न होती है।

माप प्रक्रिया के दौरान उत्पन्न होने वाली त्रुटियों को उनकी घटना की प्रकृति के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। प्रमुखता से दिखाना:

· व्यवस्थित त्रुटियाँ;

· यादृच्छिक त्रुटियाँ.

माप प्रक्रिया के दौरान गंभीर त्रुटियाँ और त्रुटियाँ भी हो सकती हैं।

सिस्टम में त्रुटि- यह माप परिणाम की संपूर्ण त्रुटि का एक घटक है, जो एक ही मात्रा के बार-बार माप से स्वाभाविक रूप से परिवर्तित या परिवर्तित नहीं होता है। आमतौर पर, एक व्यवस्थित त्रुटि को संभावित तरीकों से समाप्त करने का प्रयास किया जाता है (उदाहरण के लिए, माप विधियों का उपयोग करके जो इसकी घटना की संभावना को कम करते हैं), लेकिन यदि व्यवस्थित त्रुटि को समाप्त नहीं किया जा सकता है, तो माप शुरू होने से पहले इसकी गणना की जाती है और उचित माप परिणाम में सुधार किए जाते हैं। व्यवस्थित त्रुटि को सामान्य करने की प्रक्रिया में, इसके अनुमेय मूल्यों की सीमाएँ निर्धारित की जाती हैं। व्यवस्थित त्रुटि माप उपकरणों (मेट्रोलॉजिकल संपत्ति) के माप की सटीकता निर्धारित करती है। कुछ मामलों में व्यवस्थित त्रुटियों को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। फिर सुधार लाकर माप परिणाम को स्पष्ट किया जा सकता है।

व्यवस्थित त्रुटियों को दूर करने की विधियों को चार प्रकारों में विभाजित किया गया है:

· माप शुरू होने से पहले त्रुटियों के कारणों और स्रोतों का उन्मूलन;

· प्रतिस्थापन के माध्यम से पहले से ही शुरू की गई माप की प्रक्रिया में त्रुटियों का उन्मूलन, संकेत, विरोध, सममित अवलोकन द्वारा त्रुटियों का मुआवजा;

· सुधार करके माप परिणामों में सुधार (गणना द्वारा त्रुटियों का उन्मूलन);

· यदि इसे समाप्त नहीं किया जा सकता है तो व्यवस्थित त्रुटि की सीमा का निर्धारण।

माप शुरू करने से पहले त्रुटियों के कारणों और स्रोतों का उन्मूलन। यह विधि सबसे अच्छा विकल्प है, क्योंकि इसका उपयोग माप के आगे के पाठ्यक्रम को सरल बनाता है (पहले से शुरू की गई माप की प्रक्रिया में त्रुटियों को खत्म करने या प्राप्त परिणाम में सुधार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।

पहले से शुरू की गई माप की प्रक्रिया में व्यवस्थित त्रुटियों को खत्म करने के लिए, विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है

संशोधन प्रस्तुत करने की विधिव्यवस्थित त्रुटि और उसके परिवर्तन के वर्तमान पैटर्न के ज्ञान पर आधारित है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, व्यवस्थित त्रुटियों के साथ प्राप्त माप परिणाम में सुधार किए जाते हैं, इन त्रुटियों के परिमाण के बराबर, लेकिन संकेत में विपरीत।

प्रतिस्थापन विधिइसमें यह तथ्य शामिल है कि मापी गई मात्रा को उसी स्थिति में रखे गए माप द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसमें माप की वस्तु स्थित थी। निम्नलिखित विद्युत मापदंडों को मापते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया जाता है: प्रतिरोध, समाई और अधिष्ठापन।

साइन त्रुटि क्षतिपूर्ति विधिइस तथ्य में शामिल है कि माप दो बार इस तरह से किया जाता है कि अज्ञात परिमाण की त्रुटि विपरीत चिह्न के साथ माप परिणामों में शामिल हो जाती है।

विरोध का तरीकासंकेत क्षतिपूर्ति विधि के समान। इस विधि में दो बार माप लेना शामिल है ताकि पहले माप में त्रुटि के स्रोत का दूसरे माप के परिणाम पर विपरीत प्रभाव पड़े।

कोई भी त्रुटि- यह माप परिणाम की त्रुटि का एक घटक है, जो एक ही मात्रा के बार-बार माप करने पर अनियमित रूप से, अनियमित रूप से बदलता है। किसी यादृच्छिक त्रुटि की घटना की भविष्यवाणी या भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। यादृच्छिक त्रुटि को पूरी तरह से समाप्त नहीं किया जा सकता है; यह हमेशा अंतिम माप परिणामों को कुछ हद तक विकृत कर देता है। लेकिन आप बार-बार माप लेकर माप परिणाम को अधिक सटीक बना सकते हैं। यादृच्छिक त्रुटि का कारण, उदाहरण के लिए, माप प्रक्रिया को प्रभावित करने वाले बाहरी कारकों में यादृच्छिक परिवर्तन हो सकता है। पर्याप्त उच्च स्तर की सटीकता के साथ बार-बार माप करते समय एक यादृच्छिक त्रुटि के कारण परिणाम बिखर जाते हैं।

गलतियाँ और घोर त्रुटियाँ- ये ऐसी त्रुटियां हैं जो दी गई माप शर्तों के तहत अपेक्षित व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियों से कहीं अधिक हैं। माप प्रक्रिया के दौरान सकल त्रुटियों, मापने वाले उपकरण की तकनीकी खराबी, या बाहरी स्थितियों में अप्रत्याशित परिवर्तन के कारण त्रुटियां और सकल त्रुटियां दिखाई दे सकती हैं।

चलो कुछ यादृच्छिक चर एमापा एनकई बार समान परिस्थितियों में। माप परिणामों ने एक सेट दिया एनअलग-अलग नंबर

पूर्ण त्रुटि- आयामी मूल्य. के बीच एनपूर्ण त्रुटि मान आवश्यक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हैं।

मात्रा के सबसे संभावित मूल्य के लिए एआमतौर पर लिया जाता है औसतमाप परिणामों का मूल्य

.

माप की संख्या जितनी अधिक होगी, औसत मान वास्तविक मान के उतना ही करीब होगा।

पूर्ण त्रुटिमैं

.

रिश्तेदारों की गलतीमैं-वें माप को मात्रा कहा जाता है

सापेक्ष त्रुटि एक आयामहीन मात्रा है। आमतौर पर इसके लिए सापेक्ष त्रुटि को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है ई मैं 100% से गुणा करें। सापेक्ष त्रुटि का परिमाण माप की सटीकता को दर्शाता है।

औसत निरपेक्ष त्रुटिइस प्रकार परिभाषित किया गया है:

.

हम मात्रा डी के निरपेक्ष मानों (मॉड्यूल) को जोड़ने की आवश्यकता पर जोर देते हैं और मैं।अन्यथा, परिणाम समान रूप से शून्य होगा.

औसत सापेक्ष त्रुटिमात्रा कहलाती है

.

बड़ी संख्या में माप के लिए.

सापेक्ष त्रुटि को मापे गए मान की प्रति इकाई त्रुटि मान माना जा सकता है।

माप की सटीकता का आकलन माप परिणामों की त्रुटियों की तुलना करके किया जाता है। इसलिए, माप त्रुटियों को ऐसे रूप में व्यक्त किया जाता है कि सटीकता का आकलन करने के लिए केवल परिणामों की त्रुटियों की तुलना करना पर्याप्त है, मापी जा रही वस्तुओं के आकार की तुलना किए बिना या इन आकारों को लगभग जानने के बिना। अभ्यास से यह ज्ञात होता है कि किसी कोण को मापने में पूर्ण त्रुटि कोण के मान पर निर्भर नहीं होती है, और लंबाई मापने में पूर्ण त्रुटि लंबाई के मान पर निर्भर करती है। लंबाई जितनी बड़ी होगी, दी गई विधि और माप स्थितियों के लिए पूर्ण त्रुटि उतनी ही अधिक होगी। नतीजतन, परिणाम की पूर्ण त्रुटि का उपयोग कोण माप की सटीकता का आकलन करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन लंबाई माप की सटीकता का आकलन नहीं किया जा सकता है। त्रुटि को सापेक्ष रूप में व्यक्त करने से ज्ञात मामलों में कोणीय और रैखिक माप की सटीकता की तुलना करना संभव हो जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ। कोई भी त्रुटि।

कोई भी त्रुटि इसे माप त्रुटि का घटक कहा जाता है जो एक ही मात्रा के बार-बार माप के दौरान यादृच्छिक रूप से बदलता है।

जब एक ही स्थिर, अपरिवर्तित मात्रा का बार-बार माप समान देखभाल के साथ और समान परिस्थितियों में किया जाता है, तो हमें माप परिणाम प्राप्त होते हैं - उनमें से कुछ एक दूसरे से भिन्न होते हैं, और उनमें से कुछ मेल खाते हैं। माप परिणामों में ऐसी विसंगतियाँ उनमें यादृच्छिक त्रुटि घटकों की उपस्थिति का संकेत देती हैं।

कई स्रोतों के एक साथ प्रभाव से यादृच्छिक त्रुटि उत्पन्न होती है, जिनमें से प्रत्येक अपने आप में माप परिणाम पर एक अगोचर प्रभाव डालता है, लेकिन सभी स्रोतों का कुल प्रभाव काफी मजबूत हो सकता है।

यादृच्छिक त्रुटियाँ किसी भी माप का अपरिहार्य परिणाम होती हैं और इनके कारण होती हैं:

ए) उपकरणों और यंत्रों के पैमाने पर रीडिंग की अशुद्धि;

बी) बार-बार माप के लिए शर्तों की गैर-पहचान;

ग) बाहरी स्थितियों (तापमान, दबाव, बल क्षेत्र, आदि) में यादृच्छिक परिवर्तन, जिसे नियंत्रित नहीं किया जा सकता;

घ) माप पर अन्य सभी प्रभाव, जिनके कारण हमारे लिए अज्ञात हैं। प्रयोग को कई बार दोहराने और प्राप्त परिणामों की संगत गणितीय प्रसंस्करण द्वारा यादृच्छिक त्रुटि की भयावहता को कम किया जा सकता है।

एक यादृच्छिक त्रुटि अलग-अलग निरपेक्ष मान ले सकती है, जिसकी किसी दिए गए माप के लिए भविष्यवाणी करना असंभव है। यह त्रुटि समान रूप से सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती है। किसी प्रयोग में यादृच्छिक त्रुटियाँ हमेशा मौजूद रहती हैं। व्यवस्थित त्रुटियों के अभाव में, वे वास्तविक मूल्य के सापेक्ष बार-बार माप के बिखराव का कारण बनते हैं।

आइए मान लें कि एक पेंडुलम के दोलन की अवधि को स्टॉपवॉच का उपयोग करके मापा जाता है, और माप को कई बार दोहराया जाता है। स्टॉपवॉच को शुरू करने और रोकने में त्रुटियां, रीडिंग वैल्यू में त्रुटि, पेंडुलम की गति में थोड़ी असमानता - यह सब बार-बार माप के परिणामों के बिखरने का कारण बनता है और इसलिए इसे यादृच्छिक त्रुटियों के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

यदि कोई अन्य त्रुटियाँ नहीं हैं, तो कुछ परिणाम कुछ हद तक अधिक अनुमानित होंगे, जबकि अन्य कुछ हद तक कम अनुमानित होंगे। लेकिन अगर इसके अलावा घड़ी भी पीछे हो तो सारे नतीजे कम आंके जाएंगे। यह पहले से ही एक व्यवस्थित त्रुटि है.

कुछ कारक एक ही समय में व्यवस्थित और यादृच्छिक दोनों त्रुटियों का कारण बन सकते हैं। इसलिए, स्टॉपवॉच को चालू और बंद करके, हम पेंडुलम की गति के सापेक्ष घड़ी के शुरुआती और रुकने के समय में एक छोटा अनियमित प्रसार बना सकते हैं और इस तरह एक यादृच्छिक त्रुटि उत्पन्न कर सकते हैं। लेकिन, इसके अलावा, अगर हम हर बार स्टॉपवॉच चालू करने की जल्दी में हैं और इसे बंद करने में कुछ देर कर देते हैं, तो इससे एक व्यवस्थित त्रुटि हो जाएगी।

उपकरण पैमाने के विभाजनों की गणना करते समय लंबन त्रुटि, किसी भवन की नींव का हिलना, हल्की हवा की गति का प्रभाव आदि के कारण यादृच्छिक त्रुटियां होती हैं।

यद्यपि व्यक्तिगत माप में यादृच्छिक त्रुटियों को समाप्त करना असंभव है, यादृच्छिक घटना का गणितीय सिद्धांत हमें अंतिम माप परिणाम पर इन त्रुटियों के प्रभाव को कम करने की अनुमति देता है। नीचे दिखाया जाएगा कि इसके लिए एक नहीं, बल्कि कई माप करना आवश्यक है, और जितना छोटा त्रुटि मान हम प्राप्त करना चाहते हैं, उतना अधिक माप करने की आवश्यकता होगी।

इस तथ्य के कारण कि यादृच्छिक त्रुटियों की घटना अपरिहार्य और अपरिहार्य है, किसी भी माप प्रक्रिया का मुख्य कार्य त्रुटियों को न्यूनतम करना है।

त्रुटियों का सिद्धांत अनुभव द्वारा पुष्टि की गई दो मुख्य मान्यताओं पर आधारित है:

1. बड़ी संख्या में मापों के साथ, समान परिमाण की यादृच्छिक त्रुटियां, लेकिन विभिन्न संकेतों की, यानी परिणाम को बढ़ाने और घटाने की दिशा में त्रुटियां अक्सर होती हैं।

2. जो त्रुटियां निरपेक्ष मान में बड़ी होती हैं, वे छोटी त्रुटियों की तुलना में कम आम होती हैं, इस प्रकार, जैसे-जैसे इसका परिमाण बढ़ता है, त्रुटि होने की संभावना कम हो जाती है।

यादृच्छिक चर के व्यवहार को सांख्यिकीय पैटर्न द्वारा वर्णित किया गया है, जो संभाव्यता सिद्धांत का विषय है। संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा डब्ल्यू मैंआयोजन मैंसंबंध है

कहाँ एन- प्रयोगों की कुल संख्या, एन मैं- प्रयोगों की संख्या जिसमें घटना मैंघटित। इस स्थिति में, प्रयोगों की कुल संख्या बहुत बड़ी होनी चाहिए ( एन®¥). बड़ी संख्या में मापों के साथ, यादृच्छिक त्रुटियां एक सामान्य वितरण (गाऊसी वितरण) का पालन करती हैं, जिसकी मुख्य विशेषताएं निम्नलिखित हैं:

1. मापे गए मान का वास्तविक मान से विचलन जितना अधिक होगा, ऐसे परिणाम की संभावना उतनी ही कम होगी।

2. वास्तविक मान से दोनों दिशाओं में विचलन समान रूप से संभावित है।

उपरोक्त धारणाओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि यादृच्छिक त्रुटियों के प्रभाव को कम करने के लिए इस मान को कई बार मापना आवश्यक है। मान लीजिए हम कोई मात्रा x माप रहे हैं। इसका उत्पादन होने दीजिए एनमाप: एक्स 1 , एक्स 2 , ... एक्स एन- समान विधि और समान देखभाल का उपयोग करना। उम्मीद की जा सकती है कि संख्या डीएनप्राप्त परिणाम, जो कि कुछ काफी संकीर्ण अंतराल में हैं एक्सपहले एक्स + डीएक्स, आनुपातिक होना चाहिए:

अंतराल का आकार लिया गया डीएक्स;

माप की कुल संख्या एन.

संभावना dw(एक्स) वह कुछ मूल्य एक्सकी सीमा में स्थित है एक्सपहले एक्स + डीएक्स,को इस प्रकार परिभाषित किया गया है :

(माप की संख्या के साथ एन ®¥).

समारोह एफ(एक्स) को वितरण फलन या संभाव्यता घनत्व कहा जाता है।

त्रुटि सिद्धांत के एक अभिधारणा के रूप में, यह स्वीकार किया जाता है कि प्रत्यक्ष माप के परिणाम और उनकी यादृच्छिक त्रुटियाँ, जब उनकी संख्या बड़ी होती है, सामान्य वितरण के नियम का पालन करते हैं।

गॉस द्वारा पाया गया एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन एक्सनिम्नलिखित रूप है:

, कहाँ ग़लत - वितरण पैरामीटर .

सामान्य वितरण का पैरामीटर m माध्य मान b के बराबर है एक्सñ एक यादृच्छिक चर, जो एक मनमाना ज्ञात वितरण फ़ंक्शन के लिए, अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

इस प्रकार, मान m मापी गई मात्रा x का सबसे संभावित मान है, अर्थात। उसका सर्वोत्तम अनुमान.

सामान्य वितरण का पैरामीटर एस 2 यादृच्छिक चर के विचरण डी के बराबर है, जो सामान्य स्थिति में निम्नलिखित अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

प्रसरण के वर्गमूल को यादृच्छिक चर का मानक विचलन कहा जाता है.

यादृच्छिक चर का औसत विचलन (त्रुटि) निम्नानुसार वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

गॉसियन वितरण फ़ंक्शन से गणना की गई औसत माप त्रुटि ásñ, मानक विचलन के मान से निम्नानुसार संबंधित है:

< एस > = 0.8s.

पैरामीटर s और m एक दूसरे से इस प्रकार संबंधित हैं:

.

यदि कोई सामान्य वितरण वक्र है तो यह अभिव्यक्ति आपको मानक विचलन खोजने की अनुमति देती है।

गॉसियन फ़ंक्शन का ग्राफ़ आंकड़ों में प्रस्तुत किया गया है। समारोह एफ(एक्स) बिंदु पर खींची गई कोटि के प्रति सममित है एक्स =एम; बिंदु पर अधिकतम से होकर गुजरता है एक्स = m और बिंदु m ±s पर विभक्ति है। इस प्रकार, विचरण वितरण फ़ंक्शन की चौड़ाई को दर्शाता है, या दिखाता है कि एक यादृच्छिक चर के मान उसके वास्तविक मूल्य के सापेक्ष कितने व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं। माप जितना अधिक सटीक होगा, व्यक्तिगत माप के परिणाम वास्तविक मूल्य के उतने ही करीब होंगे, अर्थात। मान s कम है. चित्र A फ़ंक्शन दिखाता है एफ(एक्स) एस के तीन मानों के लिए .

एक वक्र से घिरी आकृति का क्षेत्रफल एफ(एक्स) और बिंदुओं से खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखाएँ एक्स 1 और एक्स 2 (चित्र बी) , संख्यात्मक रूप से माप परिणाम के अंतराल डी में आने की संभावना के बराबर एक्स = एक्स 1 - एक्स 2, जिसे आत्मविश्वास संभाव्यता कहा जाता है। संपूर्ण वक्र के अंतर्गत क्षेत्र एफ(एक्स) 0 से ¥ तक के अंतराल में एक यादृच्छिक चर के गिरने की संभावना के बराबर है, अर्थात।

,

चूंकि एक विश्वसनीय घटना की संभावना एक के बराबर है।

सामान्य वितरण का उपयोग करते हुए, त्रुटि सिद्धांत दो मुख्य समस्याएं उत्पन्न करता है और उनका समाधान करता है। सबसे पहले लिए गए माप की सटीकता का आकलन है। दूसरा माप परिणामों के अंकगणितीय माध्य मान की सटीकता का आकलन है।5. विश्वास अंतराल। विद्यार्थी का गुणांक.

संभाव्यता सिद्धांत हमें ज्ञात संभाव्यता के साथ अंतराल के आकार को निर्धारित करने की अनुमति देता है डब्ल्यूव्यक्तिगत माप के परिणाम पाए जाते हैं। इस संभावना को कहा जाता है आत्मविश्वास की संभावना, और संबंधित अंतराल (<एक्स>±डी एक्स)डब्ल्यूबुलाया विश्वास अंतराल।आत्मविश्वास की संभावना भी विश्वास अंतराल के भीतर आने वाले परिणामों के सापेक्ष अनुपात के बराबर है।

यदि माप की संख्या एनपर्याप्त रूप से बड़ा है, तो आत्मविश्वास की संभावना कुल संख्या के अनुपात को व्यक्त करती है एनवे माप जिनमें मापा गया मान विश्वास अंतराल के भीतर था। प्रत्येक आत्मविश्वास की संभावना डब्ल्यूइसके आत्मविश्वास अंतराल से मेल खाता है। डब्ल्यू 2 80%। विश्वास अंतराल जितना व्यापक होगा, उस अंतराल के भीतर परिणाम प्राप्त करने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। संभाव्यता सिद्धांत में, आत्मविश्वास अंतराल के मूल्य, आत्मविश्वास संभावना और माप की संख्या के बीच एक मात्रात्मक संबंध स्थापित किया जाता है।

यदि हम आत्मविश्वास अंतराल के रूप में औसत त्रुटि के अनुरूप अंतराल चुनते हैं, यानी डी ए =áD एñ, तो पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप के लिए यह आत्मविश्वास की संभावना से मेल खाता है डब्ल्यू 60%. जैसे-जैसे मापों की संख्या घटती जाती है, ऐसे आत्मविश्वास अंतराल (á) के अनुरूप आत्मविश्वास की संभावना बढ़ जाती है एñ ± áD एñ), घट जाती है।

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर के विश्वास अंतराल का अनुमान लगाने के लिए, कोई औसत त्रुटि áD के मान का उपयोग कर सकता है एñ .

यादृच्छिक त्रुटि की भयावहता को दर्शाने के लिए, दो संख्याओं को निर्दिष्ट करना आवश्यक है, अर्थात् आत्मविश्वास अंतराल का मूल्य और आत्मविश्वास संभावना का मूल्य। . संबंधित आत्मविश्वास संभाव्यता के बिना केवल त्रुटि की भयावहता का संकेत देना काफी हद तक निरर्थक है।

यदि औसत माप त्रुटि ásñ ज्ञात है, तो विश्वास अंतराल को इस प्रकार लिखा जाता है (<एक्स> ±asñ) डब्ल्यू, आत्मविश्वास संभाव्यता के साथ निर्धारित डब्ल्यू= 0,57.

यदि मानक विचलन s ज्ञात है माप परिणामों का वितरण, निर्दिष्ट अंतराल का रूप है (<एक्स>± टी डब्ल्यूएस) डब्ल्यू, कहाँ टी डब्ल्यू- आत्मविश्वास संभाव्यता मान के आधार पर गुणांक और गाऊसी वितरण का उपयोग करके गणना की जाती है।

सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली मात्रा D एक्सतालिका 1 में दिए गए हैं।

पृष्ठ 1

निर्धारण की पूर्ण त्रुटि फॉस्फोरस की 0 01 μg से अधिक नहीं है। हमने नाइट्रिक, एसिटिक, हाइड्रोक्लोरिक और सल्फ्यूरिक एसिड और एसीटोन में फॉस्फोरस को उनके प्रारंभिक वाष्पीकरण के साथ निर्धारित करने के लिए इस विधि का उपयोग किया।

निर्धारण की पूर्ण त्रुटि 0 2 - 0 3 मिलीग्राम है।

प्रस्तावित विधि का उपयोग करके जिंक-मैंगनीज फेराइट्स में जिंक का निर्धारण करने में पूर्ण त्रुटि 0 2% रिले से अधिक नहीं है।

हाइड्रोकार्बन C2 - C4 के निर्धारण में पूर्ण त्रुटि, जब गैस में उनकी सामग्री 0 2 - 5 0% है, क्रमशः 0 01 - 0 2% है।

यहाँ Ау r/ निर्धारित करने में पूर्ण त्रुटि है, जो a निर्धारित करने में हाँ त्रुटि से उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, किसी संख्या के वर्ग की सापेक्ष त्रुटि स्वयं संख्या निर्धारित करने में हुई त्रुटि की दोगुनी है, और घनमूल के अंतर्गत संख्या की सापेक्ष त्रुटि संख्या निर्धारित करने में हुई त्रुटि का मात्र एक-तिहाई है।

दुर्घटना टीवी - टी की शुरुआत के समय को निर्धारित करने में पूर्ण त्रुटियों की तुलना के लिए एक उपाय चुनते समय अधिक जटिल विचार आवश्यक हैं, जहां टीवी और टी क्रमशः पुनर्निर्माण और वास्तविक दुर्घटना का समय हैं। सादृश्य से, वास्तविक निर्वहन से उन निगरानी बिंदुओं तक प्रदूषण शिखर की औसत यात्रा का समय, जिन्होंने प्रदूषण टीएसएम के पारित होने के दौरान दुर्घटना को दर्ज किया था, का उपयोग यहां किया जा सकता है। दुर्घटनाओं की शक्ति निर्धारित करने की विश्वसनीयता की गणना सापेक्ष त्रुटि एमवी - एमएस / एमवी की गणना पर आधारित है, जहां एमवी और एमएस क्रमशः बहाल और वास्तविक शक्ति हैं। अंत में, आपातकालीन रिलीज की अवधि निर्धारित करने में सापेक्ष त्रुटि को आरवी - आरएस / आरई के मूल्य से दर्शाया जाता है, जहां आरवी और आरएस क्रमशः दुर्घटनाओं की पुनर्निर्मित और वास्तविक अवधि हैं।

दुर्घटना टीवी - टी की शुरुआत के समय को निर्धारित करने में पूर्ण त्रुटियों की तुलना के लिए एक उपाय चुनते समय अधिक जटिल विचार आवश्यक हैं, जहां टीवी और टी क्रमशः पुनर्निर्माण और वास्तविक दुर्घटना का समय हैं। सादृश्य से, वास्तविक निर्वहन से उन निगरानी बिंदुओं तक प्रदूषण शिखर की औसत यात्रा का समय, जिन्होंने प्रदूषण टीएसएम के पारित होने के दौरान दुर्घटना को दर्ज किया था, का उपयोग यहां किया जा सकता है। दुर्घटनाओं की शक्ति निर्धारित करने की विश्वसनीयता की गणना सापेक्ष त्रुटि एमवी - एमएस / एमएस की गणना पर आधारित है, जहां एमवी और एमएस क्रमशः बहाल और वास्तविक शक्ति हैं। अंत में, आपातकालीन रिलीज की अवधि निर्धारित करने में सापेक्ष त्रुटि को मूल्य आरवी - आरएस / आरएस द्वारा दर्शाया जाता है, जहां आरवी और आरएस क्रमशः दुर्घटनाओं की पुनर्निर्मित और वास्तविक अवधि हैं।

समान निरपेक्ष माप त्रुटि ay के लिए, विधि की बढ़ती संवेदनशीलता के साथ मात्रा ax निर्धारित करने में पूर्ण त्रुटि कम हो जाती है।

चूँकि त्रुटियाँ यादृच्छिक पर नहीं, बल्कि व्यवस्थित त्रुटियों पर आधारित होती हैं, सक्शन कप निर्धारित करने में अंतिम पूर्ण त्रुटि हवा की सैद्धांतिक रूप से आवश्यक मात्रा के 10% तक पहुँच सकती है। केवल अस्वीकार्य रूप से लीक होने वाले फायरबॉक्स (ए ए0 25) के साथ आम तौर पर स्वीकृत विधि कम या ज्यादा संतोषजनक परिणाम देती है। यह सेवा तकनीशियनों को अच्छी तरह से पता है, जो घने फायरबॉक्स के वायु संतुलन को संतुलित करते समय, अक्सर नकारात्मक सक्शन मान प्राप्त करते हैं।

पालतू जानवर के मूल्य को निर्धारित करने में त्रुटि के विश्लेषण से पता चला कि इसमें 4 घटक शामिल हैं: मैट्रिक्स के द्रव्यमान को निर्धारित करने में पूर्ण त्रुटि, नमूना क्षमता, वजन, और संतुलन के आसपास नमूना द्रव्यमान में उतार-चढ़ाव के कारण सापेक्ष त्रुटि कीमत।

यदि GKhP-3 गैस विश्लेषक का उपयोग करके गैसों के चयन, माप और विश्लेषण के सभी नियमों का पालन किया जाता है, तो CO2 और O2 की सामग्री को निर्धारित करने में कुल पूर्ण त्रुटि उनके वास्तविक मूल्य के 0 2 - 0 4% से अधिक नहीं होनी चाहिए।

मेज से 1 - 3 हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विभिन्न स्रोतों से लिए गए शुरुआती पदार्थों के लिए हम जो डेटा उपयोग करते हैं, उसमें अपेक्षाकृत छोटे अंतर होते हैं, जो इन मात्राओं को निर्धारित करने में पूर्ण त्रुटियों के भीतर होते हैं।

यादृच्छिक त्रुटियाँ पूर्ण और सापेक्ष हो सकती हैं। मापे गए मान के आयाम वाली एक यादृच्छिक त्रुटि को निर्धारण की पूर्ण त्रुटि कहा जाता है। सभी व्यक्तिगत मापों की पूर्ण त्रुटियों के अंकगणितीय माध्य को विश्लेषणात्मक विधि की पूर्ण त्रुटि कहा जाता है।

अनुमेय विचलन, या आत्मविश्वास अंतराल का मूल्य मनमाने ढंग से निर्धारित नहीं किया जाता है, बल्कि विशिष्ट माप डेटा और उपयोग किए गए उपकरणों की विशेषताओं से गणना की जाती है। किसी मात्रा के वास्तविक मूल्य से व्यक्तिगत माप के परिणाम के विचलन को निर्धारण की पूर्ण त्रुटि या बस त्रुटि कहा जाता है। मापे गए मान से पूर्ण त्रुटि के अनुपात को सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है, जिसे आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। किसी व्यक्तिगत माप की त्रुटि को जानने का कोई स्वतंत्र अर्थ नहीं है, और किसी भी गंभीरता से किए गए प्रयोग में कई समानांतर माप किए जाने चाहिए, जिससे प्रयोगात्मक त्रुटि की गणना की जाती है। माप त्रुटियों को, उनके घटित होने के कारणों के आधार पर, तीन प्रकारों में विभाजित किया जाता है।

किसी भौतिक मात्रा का सही मूल्य बिल्कुल सटीक रूप से निर्धारित करना लगभग असंभव है, क्योंकि कोई भी माप ऑपरेशन कई त्रुटियों या, दूसरे शब्दों में, अशुद्धियों से जुड़ा होता है। त्रुटियों के कारण बहुत भिन्न हो सकते हैं। उनकी घटना अध्ययन के तहत वस्तु की भौतिक विशेषताओं के कारण मापने वाले उपकरण के निर्माण और समायोजन में अशुद्धियों से जुड़ी हो सकती है (उदाहरण के लिए, गैर-समान मोटाई के तार के व्यास को मापते समय, परिणाम यादृच्छिक रूप से निर्भर करता है माप स्थल का चुनाव), यादृच्छिक कारण, आदि।

प्रयोगकर्ता का कार्य परिणाम पर उनके प्रभाव को कम करना है, और यह भी इंगित करना है कि प्राप्त परिणाम सत्य के कितना करीब है।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि की अवधारणाएँ हैं।

अंतर्गत पूर्ण त्रुटिमाप माप परिणाम और मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य के बीच अंतर को समझेंगे:

∆x i =x i -x और (2)

जहां ∆x i, i-th माप की पूर्ण त्रुटि है, x i _, i-th माप का परिणाम है, x और मापे गए मान का सही मान है।

किसी भी भौतिक माप का परिणाम आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है:

मापे गए मान का अंकगणितीय माध्य मान कहां है, जो वास्तविक मान के सबसे करीब है (x और≈ की वैधता नीचे दिखाई जाएगी), पूर्ण माप त्रुटि है।

समानता (3) को इस प्रकार समझना चाहिए कि मापी गई मात्रा का वास्तविक मान अंतराल [ - , + ] में होता है।

निरपेक्ष त्रुटि एक आयामी मात्रा है; इसका आयाम मापी गई मात्रा के समान है।

पूर्ण त्रुटि लिए गए मापों की सटीकता को पूरी तरह से चित्रित नहीं करती है। वास्तव में, यदि हम समान पूर्ण त्रुटि ± 1 मिमी के साथ 1 मीटर और 5 मिमी लंबे खंडों को मापते हैं, तो माप की सटीकता अतुलनीय होगी। इसलिए, पूर्ण माप त्रुटि के साथ, सापेक्ष त्रुटि की गणना की जाती है।

रिश्तेदारों की गलतीमाप स्वयं मापे गए मान के लिए पूर्ण त्रुटि का अनुपात है:

सापेक्ष त्रुटि एक आयामहीन मात्रा है। इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है:

उपरोक्त उदाहरण में, सापेक्ष त्रुटियाँ 0.1% और 20% हैं। वे एक-दूसरे से स्पष्ट रूप से भिन्न हैं, हालाँकि निरपेक्ष मान समान हैं। सापेक्ष त्रुटि सटीकता के बारे में जानकारी देती है

माप त्रुटियाँ

अभिव्यक्ति की प्रकृति और त्रुटियों के घटित होने के कारणों के अनुसार, उन्हें निम्नलिखित वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: वाद्य, व्यवस्थित, यादृच्छिक और चूक (सकल त्रुटियाँ)।

त्रुटियाँ या तो डिवाइस की खराबी के कारण होती हैं, या कार्यप्रणाली या प्रयोगात्मक शर्तों के उल्लंघन के कारण होती हैं, या व्यक्तिपरक प्रकृति की होती हैं। व्यवहार में, उन्हें ऐसे परिणामों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दूसरों से बिल्कुल भिन्न होते हैं। उनकी घटना को खत्म करने के लिए, उपकरणों के साथ काम करते समय सावधानी और सावधानी बरतना आवश्यक है। त्रुटियों वाले परिणामों को विचार से बाहर रखा जाना चाहिए (त्याग दिया जाना चाहिए)।

उपकरण त्रुटियाँ. यदि मापने वाला उपकरण अच्छे कार्य क्रम में है और समायोजित किया गया है, तो उपकरण के प्रकार द्वारा निर्धारित सीमित सटीकता के साथ उस पर माप किया जा सकता है। सूचक उपकरण की उपकरण त्रुटि को उसके पैमाने के सबसे छोटे विभाजन के आधे के बराबर मानने की प्रथा है। डिजिटल रीडआउट वाले उपकरणों में, उपकरण त्रुटि उपकरण पैमाने के एक सबसे छोटे अंक के मूल्य के बराबर होती है।

व्यवस्थित त्रुटियाँ वे त्रुटियाँ हैं जिनका परिमाण और चिह्न एक ही विधि द्वारा और एक ही माप उपकरणों का उपयोग करके किए गए मापों की पूरी श्रृंखला के लिए स्थिर होते हैं।

माप करते समय, न केवल व्यवस्थित त्रुटियों को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है, बल्कि उनका उन्मूलन सुनिश्चित करना भी आवश्यक है।

व्यवस्थित त्रुटियों को पारंपरिक रूप से चार समूहों में विभाजित किया गया है:

1) त्रुटियाँ, जिनकी प्रकृति ज्ञात है और उनका परिमाण काफी सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। ऐसी त्रुटि, उदाहरण के लिए, हवा में मापे गए द्रव्यमान में परिवर्तन है, जो तापमान, आर्द्रता, वायु दबाव आदि पर निर्भर करता है;

2) त्रुटियाँ, जिनकी प्रकृति ज्ञात है, लेकिन त्रुटि की भयावहता अज्ञात है। ऐसी त्रुटियों में मापने वाले उपकरण के कारण होने वाली त्रुटियां शामिल हैं: डिवाइस की खराबी, एक पैमाना जो शून्य मान या डिवाइस की सटीकता वर्ग के अनुरूप नहीं है;

3) त्रुटियाँ, जिनके अस्तित्व पर संदेह नहीं किया जा सकता है, लेकिन उनकी भयावहता अक्सर महत्वपूर्ण हो सकती है। ऐसी त्रुटियाँ अक्सर जटिल मापों में होती हैं। ऐसी त्रुटि का एक सरल उदाहरण कुछ नमूनों के घनत्व का माप है जिसमें अंदर एक गुहा है;

4) माप वस्तु की विशेषताओं के कारण होने वाली त्रुटियाँ। उदाहरण के लिए, किसी धातु की विद्युत चालकता को मापते समय, धातु से तार का एक टुकड़ा लिया जाता है। यदि सामग्री में कोई दोष है तो त्रुटियाँ हो सकती हैं - दरार, तार का मोटा होना या असमानता जो इसके प्रतिरोध को बदल देती है।

यादृच्छिक त्रुटियाँ वे त्रुटियाँ हैं जो एक ही मात्रा के बार-बार माप की समान स्थितियों के तहत संकेत और परिमाण में यादृच्छिक रूप से बदलती हैं।

सम्बंधित जानकारी।

पूर्ण माप त्रुटिमाप परिणाम के बीच अंतर से निर्धारित मात्रा है एक्सऔर मापी गई मात्रा का सही मूल्य एक्स 0:

Δ एक्स = |एक्स - एक्स 0 |.

माप परिणाम के लिए पूर्ण माप त्रुटि के अनुपात के बराबर मान δ को सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है:

उदाहरण 2.1.π का अनुमानित मान 3.14 है। तब इसकी त्रुटि 0.00159 है। पूर्ण त्रुटि को 0.0016 के बराबर माना जा सकता है, और सापेक्ष त्रुटि को 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051% के बराबर माना जा सकता है।

महत्वपूर्ण लोग।यदि मान a की पूर्ण त्रुटि संख्या a के अंतिम अंक की एक स्थान इकाई से अधिक नहीं है, तो कहा जाता है कि संख्या में सभी सही चिह्न हैं। केवल सही चिह्न रखते हुए अनुमानित संख्याएँ लिखनी चाहिए। यदि, उदाहरण के लिए, संख्या 52400 की पूर्ण त्रुटि 100 है, तो इस संख्या को, उदाहरण के लिए, 524·10 2 या 0.524·10 5 के रूप में लिखा जाना चाहिए। आप किसी अनुमानित संख्या की त्रुटि का अनुमान यह बताकर लगा सकते हैं कि इसमें कितने सही महत्वपूर्ण अंक हैं। महत्वपूर्ण अंकों की गिनती करते समय, संख्या के बाईं ओर के शून्य को नहीं गिना जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 0.0283 में तीन वैध महत्वपूर्ण अंक हैं, और 2.5400 में पांच वैध महत्वपूर्ण अंक हैं।

संख्याओं को पूर्णांकित करने के नियम. यदि अनुमानित संख्या में अतिरिक्त (या गलत) अंक हैं, तो इसे पूर्णांकित किया जाना चाहिए। पूर्णांकन करते समय, एक अतिरिक्त त्रुटि उत्पन्न होती है जो अंतिम महत्वपूर्ण अंक के स्थान की आधी इकाई से अधिक नहीं होती है ( डी) गोलाकार संख्या. पूर्णांकन करते समय, केवल सही अंक ही बरकरार रहते हैं; अतिरिक्त वर्ण हटा दिए जाते हैं, और यदि पहला छोड़ा गया अंक इससे बड़ा या उसके बराबर है डी/2, फिर संग्रहीत अंतिम अंक एक से बढ़ जाता है।

पूर्णांकों में अतिरिक्त अंकों को शून्य से बदल दिया जाता है, और दशमलव में उन्हें हटा दिया जाता है (जैसे अतिरिक्त शून्य होते हैं)। उदाहरण के लिए, यदि माप त्रुटि 0.001 मिमी है, तो परिणाम 1.07005 को 1.070 तक पूर्णांकित किया जाता है। यदि शून्य द्वारा संशोधित और छोड़े गए अंकों में से पहला अंक 5 से कम है, तो शेष अंक नहीं बदले जाते हैं। उदाहरण के लिए, 50 की माप सटीकता के साथ संख्या 148935 का पूर्णांक मान 148900 है। यदि शून्य द्वारा प्रतिस्थापित या हटा दिए गए अंकों में से पहला अंक 5 है, और उसके बाद कोई अंक या शून्य नहीं है, तो इसे निकटतम तक पूर्णांकित किया जाता है सम संख्या। उदाहरण के लिए, संख्या 123.50 को 124 तक पूर्णांकित किया जाता है। यदि पहला शून्य या ड्रॉप अंक 5 से अधिक या 5 के बराबर है, लेकिन उसके बाद एक महत्वपूर्ण अंक है, तो अंतिम शेष अंक में एक की वृद्धि की जाती है। उदाहरण के लिए, संख्या 6783.6 को 6784 तक पूर्णांकित किया गया है।

उदाहरण 2.2. 1284 से 1300 तक पूर्णांकित करने पर, पूर्ण त्रुटि 1300 - 1284 = 16 है, और 1280 तक पूर्णांकित करने पर, पूर्ण त्रुटि 1280 - 1284 = 4 है।

उदाहरण 2.3. संख्या 197 से 200 तक पूर्णांकित करने पर, पूर्ण त्रुटि 200 - 197 = 3 है। सापेक्ष त्रुटि 3/197 ≈ 0.01523 या लगभग 3/200 ≈ 1.5% है।

उदाहरण 2.4. एक विक्रेता एक तरबूज़ को तराजू पर तोलता है। सेट में सबसे छोटा वजन 50 ग्राम है। वजन करने पर 3600 ग्राम निकला। यह संख्या अनुमानित है। तरबूज का सही वजन अज्ञात है। लेकिन पूर्ण त्रुटि 50 ग्राम से अधिक नहीं है। सापेक्ष त्रुटि 50/3600 = 1.4% से अधिक नहीं है।

समस्या को हल करने में त्रुटियाँ पीसी

आमतौर पर तीन प्रकार की त्रुटियों को त्रुटि का मुख्य स्रोत माना जाता है। इन्हें ट्रंकेशन त्रुटियाँ, पूर्णांकन त्रुटियाँ और प्रसार त्रुटियाँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जब गैर-रेखीय समीकरणों की जड़ों की खोज के लिए पुनरावृत्त तरीकों का उपयोग किया जाता है, तो परिणाम सटीक समाधान प्रदान करने वाले प्रत्यक्ष तरीकों के विपरीत, अनुमानित होते हैं।

काट-छाँट त्रुटियाँ

इस प्रकार की त्रुटि कार्य में निहित त्रुटि से ही जुड़ी होती है। यह स्रोत डेटा के निर्धारण में अशुद्धि के कारण हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि समस्या कथन में कोई आयाम निर्दिष्ट किया गया है, तो व्यवहार में वास्तविक वस्तुओं के लिए ये आयाम हमेशा कुछ सटीकता के साथ ज्ञात होते हैं। यही बात अन्य भौतिक मापदंडों पर भी लागू होती है। इसमें गणना सूत्रों और उनमें शामिल संख्यात्मक गुणांक की अशुद्धि भी शामिल है।

प्रसार त्रुटियाँ

इस प्रकार की त्रुटि किसी समस्या को हल करने के किसी न किसी तरीके के उपयोग से जुड़ी होती है। गणना के दौरान, त्रुटि संचय या, दूसरे शब्दों में, प्रसार अनिवार्य रूप से होता है। इस तथ्य के अलावा कि मूल डेटा स्वयं सटीक नहीं हैं, जब उन्हें गुणा, जोड़ा आदि किया जाता है तो एक नई त्रुटि उत्पन्न होती है। त्रुटि का संचय गणना में प्रयुक्त अंकगणितीय परिचालनों की प्रकृति और संख्या पर निर्भर करता है।

पूर्णांकन त्रुटियाँ

इस प्रकार की त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि किसी संख्या का सही मान हमेशा कंप्यूटर द्वारा सटीक रूप से संग्रहीत नहीं किया जाता है। जब एक वास्तविक संख्या को कंप्यूटर मेमोरी में संग्रहीत किया जाता है, तो इसे एक मंटिसा और घातांक के रूप में उसी तरह लिखा जाता है जैसे किसी संख्या को कैलकुलेटर पर प्रदर्शित किया जाता है।