Valeurs extrêmes, maximales et minimales des fonctions. Étiquette : extrême local

$E \sous-ensemble \mathbb(R)^(n)$. On dit que $f$ a maximale locale au point $x_(0) \in E$ s'il existe un voisinage $U$ du point $x_(0)$ tel que pour tout $x \in U$ l'inégalité $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Le maximum local est appelé stricte , si le voisinage $U$ peut être choisi de telle sorte que pour tout $x \in U$ différent de $x_(0)$ il y ait $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Définition
Soit $f$ une fonction réelle sur un ensemble ouvert $E \subset \mathbb(R)^(n)$. On dit que $f$ a minimale locale au point $x_(0) \in E$ s'il existe un voisinage $U$ du point $x_(0)$ tel que pour tout $x \in U$ l'inégalité $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Un minimum local est dit strict si le voisinage $U$ peut être choisi tel que pour tout $x \in U$ différent de $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\droite)$.

Un extremum local combine les notions de minimum local et de maximum local.

Théorème (condition nécessaire pour extremum d'une fonction différentiable)
Soit $f$ une fonction réelle sur un ensemble ouvert $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Si au point $x_(0) \in E$ la fonction $f$ a également un extremum local à ce point, alors $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ L'égalité à zéro différentiel équivaut au fait que tous sont égaux à zéro, c'est-à-dire $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Dans le cas unidimensionnel, c'est . Soit $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, où $h$ est un vecteur arbitraire. La fonction $\phi$ est définie pour des valeurs modulo suffisamment petites de $t$. De plus, par rapport à , il est différentiable, et $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Soit $f$ un maximum local à x $0$. Ainsi, la fonction $\phi$ à $t = 0$ a un maximum local et, d'après le théorème de Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Donc, nous avons obtenu que $df \left(x_(0)\right) = 0$, c'est-à-dire fonction $f$ au point $x_(0)$ est égal à zéro sur tout vecteur $h$.

Définition
Les points auxquels le différentiel est égal à zéro, c'est-à-dire ceux dont toutes les dérivées partielles sont égales à zéro sont dits stationnaires. points critiques les fonctions $f$ sont les points auxquels $f$ n'est pas différentiable, ou est égal à zéro. Si le point est stationnaire, il ne s'ensuit pas encore que la fonction ait un extremum en ce point.

Exemple 1
Soit $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Alors $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, donc $\left(0,0\right)$ est un point stationnaire, mais la fonction n'a pas d'extremum à ce point. En effet, $f \left(0,0\right) = 0$, mais il est facile de voir que dans tout voisinage du point $\left(0,0\right)$ la fonction prend à la fois des valeurs positives et négatives.

Exemple 2
La fonction $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ a pour origine des coordonnées un point stationnaire, mais il est clair qu'il n'y a pas d'extremum en ce point.

Théorème (condition suffisante pour un extremum).
Soit une fonction $f$ continuellement différentiable deux fois sur un ensemble ouvert $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Soit $x_(0) \in E$ un point stationnaire et $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Alors

1. si $Q_(x_(0))$ – , alors la fonction $f$ au point $x_(0)$ a un extremum local, à savoir, le minimum si la forme est définie positive et le maximum si la forme est défini négatif ;
2. si la forme quadratique $Q_(x_(0))$ est indéfinie, alors la fonction $f$ au point $x_(0)$ n'a pas d'extremum.

Utilisons le développement selon la formule de Taylor (12.7 p. 292) . En tenant compte du fait que les dérivées partielles du premier ordre au point $x_(0)$ sont égales à zéro, on obtient $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ partiel x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ où $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, et $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pour $h \rightarrow 0$, alors le côté droit est positif pour tout vecteur $h$ de longueur suffisamment petite.
Ainsi, nous sommes arrivés à la conclusion qu'au voisinage du point $x_(0)$ l'inégalité $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ est satisfaite si seulement $ x \neq x_ (0)$ (on met $x=x_(0)+h$\right). Cela signifie qu'au point $x_(0)$ la fonction a un minimum local strict, et donc la première partie de notre théorème est prouvée.
Supposons maintenant que $Q_(x_(0))$ est une forme indéfinie. Alors il existe des vecteurs $h_(1)$, $h_(2)$ tels que $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. On obtient alors $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pour $t>0$ suffisamment petit, le côté droit est positif. Cela signifie qu'à tout voisinage du point $x_(0)$ la fonction $f$ prend des valeurs $f \left(x\right)$ supérieures à $f \left(x_(0)\right)$.
De même, on obtient qu'en tout voisinage du point $x_(0)$ la fonction $f$ prend des valeurs inférieures à $f \left(x_(0)\right)$. Ceci, ajouté au précédent, signifie que la fonction $f$ n'a pas d'extremum au point $x_(0)$.

Considérons un cas particulier de ce théorème pour une fonction $f \left(x,y\right)$ de deux variables définies dans un voisinage du point $\left(x_(0),y_(0)\right) $ et ayant des dérivées partielles continues des premier et deuxième ordres. Soit $\left(x_(0),y_(0)\right)$ un point stationnaire et soit $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Alors le théorème précédent prend la forme suivante.

Théorème
Soit $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Alors:

1. si $\Delta>0$, alors la fonction $f$ a un extremum local au point $\left(x_(0),y_(0)\right)$, soit un minimum si $a_(11)> 0$ , et maximum si $a_(11)<0$;
2. si $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Exemples de résolution de problèmes

Algorithme pour trouver l'extremum d'une fonction de plusieurs variables :

1. Nous trouvons des points stationnaires;
2. On retrouve la différentielle du 2ème ordre en tout point stationnaire
3. En utilisant la condition suffisante pour l'extremum d'une fonction de plusieurs variables, on considère la différentielle du second ordre en chaque point stationnaire

1. Étudiez la fonction jusqu'à l'extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   La solution

   Trouver les dérivées partielles du 1er ordre : $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Composez et résolvez le système : $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ A partir de la 2ème équation, on exprime $x=4 \cdot y^(2)$ — substituer dans la 1ère équation : $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ droite )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ On obtient ainsi 2 points stationnaires :
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$ ;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Vérifions la réalisation de la condition extremum suffisante :
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6 ; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pour le point $M_(1)= \left(0,0\right)$ :
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0 ; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6 ; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Pour le point $M_(2)$ :
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6 ; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6 ; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, donc il y a un extremum au point $M_(2)$, et puisque $A_(2)>0 $, alors c'est le minimum.
   Réponse : Le point $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ est le point minimum de la fonction $f$.
   

2. Étudiez la fonction pour l'extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   La solution

   Trouver des points stationnaires : $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Composez et résolvez le système : $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ est un point stationnaire.
   Vérifions la satisfaction de la condition extremum suffisante : $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2 ; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cpoint B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Réponse : il n'y a pas d'extrema.
   

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Étudiez la fonction $f$ pour les extrema : $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Correctement


Pas correctement


1. Tâche 2 sur 4

   2 .

   Nombre de points : 1

   La fonction $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Extrêmes

Fonction extrême

Définition de extrême

Fonction y = f(x) s'appelle en augmentant (déclin) dans un certain intervalle si pour x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Si une fonction différentiable y \u003d f (x) sur un segment augmente (diminue), alors sa dérivée sur ce segment f " (X )> 0

(F"(X)< 0).

Point X sur appelé point maximal local (le minimum) de la fonction f (x ) s'il existe un voisinage du point x o, pour tout point dont l'inégalité f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes, et les valeurs de la fonction en ces points sont ses extrêmes.

points extrêmes

Conditions nécessaires à un extremum . Si pointe X sur est un point extrême de la fonction f (x), alors soit f " (x o ) = 0, ou f(x o ) n'existe pas. De tels points sont appelés critique, où la fonction elle-même est définie au point critique. Les extrema d'une fonction doivent être recherchés parmi ses points critiques.

Première condition suffisante. Laisser X sur - point critique. Si f" (x ) en passant par le point X sur change le signe plus en moins, puis au point x o la fonction a un maximum, sinon elle a un minimum. Si la dérivée ne change pas de signe en passant par un point critique, alors au point X sur il n'y a pas d'extrême.

Deuxième condition suffisante. Soit la fonction f(x) avoir
F" (x ) au voisinage du point X sur et la dérivée seconde au point même x o. Si f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o est un point local minimum (maximum) de la fonction f(x). Si =0, alors il faut soit utiliser la première condition suffisante, soit impliquer des conditions supérieures.

Sur un segment, la fonction y \u003d f (x) peut atteindre la valeur la plus petite ou la plus grande soit aux points critiques, soit aux extrémités du segment.

Exemple 3.22.

La solution. Car F " (

Tâches pour trouver l'extremum d'une fonction

Exemple 3.23. un

La solution. X et y y
0 ≤ X≤
> 0, tandis que x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение les fonctions m². unités).

Exemple 3.24. p ≈

La solution. pp
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemple 3.22.Trouvez les extrema de la fonction f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

La solution. Car F " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), puis les points critiques de la fonction x 1 \u003d 2 et x 2 \u003d 3. Les points extrêmes ne peuvent être qu'à ces points. Puisqu'en passant par le point x 1 \u003d 2, la dérivée change de signe de plus à moins, alors à ce stade la fonction a un maximum. En passant par le point x 2 \u003d 3, la dérivée change de signe de moins à plus, donc, au point x 2 \u003d 3, la fonction a un minimum. Calcul des valeurs de la fonction en points
x 1 = 2 et x 2 = 3, on trouve les extrema de la fonction : maximum f (2) = 14 et minimum f (3) = 13.

Exemple 3.23.Il est nécessaire de construire une zone rectangulaire près du mur de pierre afin qu'elle soit clôturée avec un treillis métallique sur trois côtés et jouxte le mur sur le quatrième côté. Pour cela il y a un mètres linéaires du réseau. À quel rapport d'aspect le site aura-t-il la plus grande surface ?

La solution.Dénoter les côtés du site par X et y. La superficie du site est égale à S = xy. Laisser y est la longueur du côté adjacent au mur. Alors, par condition, l'égalité 2x + y = a doit être vérifiée. Donc y = a - 2x et S = x (a - 2x), où
0 ≤ X≤ a /2 (la longueur et la largeur du coussin ne peuvent pas être négatives). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pour x = a/4, d'où
y \u003d une - 2 × une / 4 \u003d une / 2. Parce que le x = a /4 est le seul point critique, vérifions si le signe de la dérivée change en passant par ce point. Pour x a /4 S "> 0, tandis que x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение les fonctions S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (m². unités). Puisque S est continu sur et que ses valeurs aux extrémités de S(0) et S(a/2) sont égales à zéro, alors la valeur trouvée sera la plus grande valeur de la fonction. Ainsi, le rapport d'aspect le plus favorable du site dans les conditions données du problème est y = 2x.

Exemple 3.24.Il est nécessaire de réaliser un réservoir cylindrique fermé d'une capacité de V=16 p ≈ 50m3. Quelles doivent être les dimensions du réservoir (rayon R et hauteur H) afin d'utiliser le moins de matière pour sa fabrication ?

La solution.La surface totale du cylindre est S = 2 p R(R+H). On connaît le volume du cylindre V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Donc S(R) = 2 p (R2+16/R). On trouve la dérivée de cette fonction :
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 pour R 3 = 8, donc,
R = 2, H = 16/4 = 4.

POINTS MAXIMUM ET MINIMUM

les points auxquels il prend les valeurs les plus grandes ou les plus petites dans le domaine de définition ; ces points sont appelés également des points de maximum absolu ou de minimum absolu. Si f est défini sur une topologie l'espace X, alors le point x 0 appelé point de maximum local (minimum local), si un tel point existe x 0, que pour la restriction de la fonction considérée à ce voisinage, le point x 0 est le point maximum (minimum) absolu. Distinguer les points de maximum strict et non strict (mini m u m a) (à la fois absolu et local). Par exemple, un point appelé point d'un maximum local non strict (strict) de la fonction f, s'il existe un tel voisinage du point x 0, qui vaut pour tout (respectivement, f(x) x0). )/

Pour les fonctions définies sur des domaines de dimension finie, en termes de calcul différentiel, il existe des conditions et des critères pour qu'un point donné soit un point maximum (minimum) local. Soit la fonction f définie dans un certain voisinage de la case x 0 de l'axe réel. Si un x 0 - point de maximum local non strict (minimum) et en ce point il existe f"( x0), alors il est égal à zéro.

Si une fonction donnée f est différentiable au voisinage d'un point x 0 , sauf, peut-être, pour ce point lui-même, auquel il est continu, et la dérivée f" de chaque côté du point x0 conserve un signe constant dans ce voisinage, alors afin de x0était un point d'un maximum local strict (minimum local), il faut et il suffit que la dérivée change de signe du plus au moins, c'est-à-dire que f "(x) > 0 en x<.x0 et f"(x)<0 при x>x0(respectivement de moins à plus : F"(X) <0 à x<x0 et f"(x)>0 lorsque x>x 0). Cependant, pas pour chaque fonction différentiable au voisinage d'un point x 0 , on peut parler d'un changement du signe de la dérivée à ce stade. . "

Si la fonction f admet au point x 0 t dérivés, en outre, afin de x 0 est un point de maximum local strict, il faut et il suffit que τ soit pair et que f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Soit la fonction f( x 1 ..., x p] est défini dans un voisinage à n dimensions d'un point et est différentiable en ce point. Si x (0) est un point maximum (minimum) local non strict, alors la fonction f en ce point est égale à zéro. Cette condition équivaut à l'égalité à zéro en ce point de toutes les dérivées partielles du 1er ordre de la fonction f. Si une fonction a des dérivées partielles continues en x(0) , toutes ses dérivées premières s'annulent en x(0) et la différentielle d'ordre 2 en x(0) est une forme quadratique négative (positive), alors x(0) est une point de maximum local strict (minimum). Les conditions sont connues pour les fonctions différentiables M. et M. T., lorsque certaines restrictions sont imposées sur les changements d'arguments : les équations de contrainte sont satisfaites. Les conditions nécessaires et suffisantes pour le maximum (minimum) d'une fonction réelle, qui a une structure plus complexe, sont étudiées dans des branches spéciales des mathématiques: par exemple, dans analyse convexe, programmation mathématique(voir également Maximisation et fonction de minimisation). Les fonctions M. et m.t. définies sur les variétés sont étudiées dans calcul des variations en général, et M. et m.t. pour les fonctions définies sur les espaces fonctionnels, c'est-à-dire pour les fonctionnelles, dans calcul variationnel. Il existe également diverses méthodes de recherche numérique approximative de M. et m. t.

Allumé.: Il'in V. A., Poznya à E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3e éd., Partie 1, M., 1971 ; Kudryavtsev L. L. D. Kudryavtsev.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Voyez ce que "POINT MAXIMUM ET MINIMUM" est dans d'autres dictionnaires :

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La plus grande et, par conséquent, la plus petite valeur d'une fonction qui prend des valeurs réelles. Le point du domaine de définition de la fonction en question, dans lequel elle prend un maximum ou un minimum, est appelé. respectivement le point maximum ou le point minimum ... ... Encyclopédie mathématique

Voir Maximum et minimum d'une fonction, Maximum et minimum d'un point... Encyclopédie mathématique

La valeur d'une fonction continue qui est le maximum ou le minimum (voir Points maximum et minimum). Le terme LE... Encyclopédie mathématique

Indicateur- (Indicateur) Un indicateur est un système d'information, une substance, un appareil, un appareil qui affiche les changements de n'importe quel paramètre.Indicateurs des graphiques du marché des devises Forex, que sont-ils et où peuvent-ils être téléchargés ? Description des indicateurs MACD, ... ... Encyclopédie de l'investisseur

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Le changement d'une fonction à un certain point et est défini comme la limite de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, qui tend vers zéro. Pour le trouver, utilisez le tableau des dérivées. Par exemple, la dérivée de la fonction y = x3 sera égale à y' = x2.

Égalez cette dérivée à zéro (dans ce cas x2=0).

Trouver la valeur de la variable donnée. Ce seront les valeurs lorsque cette dérivée sera égale à 0. Pour ce faire, substituez des nombres arbitraires dans l'expression au lieu de x, auquel toute l'expression deviendra nulle. Par exemple:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Appliquez les valeurs obtenues sur la ligne de coordonnées et calculez le signe de la dérivée pour chacune de celles obtenues. Les points sont marqués sur la ligne de coordonnées, qui sont prises comme origine. Pour calculer la valeur dans les intervalles, remplacez les valeurs arbitraires qui correspondent aux critères. Par exemple, pour la fonction précédente jusqu'à l'intervalle -1, vous pouvez choisir la valeur -2. Pour -1 à 1, vous pouvez choisir 0, et pour les valeurs supérieures à 1, choisissez 2. Remplacez ces nombres dans la dérivée et découvrez le signe de la dérivée. Dans ce cas, la dérivée avec x = -2 sera égale à -0,24, c'est-à-dire négatif et il y aura un signe moins sur cet intervalle. Si x=0, alors la valeur sera égale à 2, et un signe est mis sur cet intervalle. Si x=1, alors la dérivée sera également égale à -0,24 et un moins est mis.

Si, en passant par un point sur la ligne de coordonnées, la dérivée change de signe de moins à plus, il s'agit d'un point minimum, et si de plus à moins, il s'agit d'un point maximum.

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Conseil utile

Pour trouver la dérivée, il existe des services en ligne qui calculent les valeurs requises et affichent le résultat. Sur ces sites, vous pouvez trouver un dérivé allant jusqu'à 5 commandes.

Sources:

• L'un des services de calcul des dérivés
• point maximum de la fonction

Les points maximaux de la fonction ainsi que les points minimaux sont appelés points extrêmes. À ces points, la fonction modifie son comportement. Les extrema sont déterminés sur des intervalles numériques limités et sont toujours locaux.

Instruction

Le processus de recherche des extrema locaux est appelé une fonction et est effectué en analysant les dérivées première et seconde de la fonction. Avant de commencer l'exploration, assurez-vous que la plage de valeurs d'arguments spécifiée appartient aux valeurs autorisées. Par exemple, pour la fonction F=1/x, la valeur de l'argument x=0 est invalide. Ou pour la fonction Y=tg(x), l'argument ne peut pas avoir la valeur x=90°.

Assurez-vous que la fonction Y est différentiable sur tout l'intervalle donné. Trouvez la dérivée première Y". Il est évident qu'avant d'atteindre le point d'un maximum local, la fonction augmente et qu'en passant par le maximum, la fonction devient décroissante. La dérivée première dans son sens physique caractérise le taux de variation de la fonction. Pendant que la fonction augmente, le taux de ce processus est une valeur positive. En passant par un maximum local, la fonction commence à diminuer et le taux du processus de changement de la fonction devient négatif. La transition du taux de changement de la fonction par zéro se produit au point du maximum local.

On dit que la fonction a un point interne
domaines ré maximale locale(le minimum) s'il existe un tel voisinage du point
, pour chaque point
qui satisfait l'inégalité

Si la fonction a au point
maximum local ou minimum local, alors on dit qu'il a en ce point extrême local(ou juste extrême).

Théorème (une condition nécessaire à l'existence d'un extremum). Si la fonction différentiable atteint un extremum au point
, puis chaque dérivée partielle du premier ordre de la fonction disparaît à ce stade.

Les points auxquels toutes les dérivées partielles du premier ordre disparaissent sont appelés points stationnaires de la fonction
. Les coordonnées de ces points peuvent être trouvées en résolvant le système de équations

.

La condition nécessaire à l'existence d'un extremum dans le cas d'une fonction différentiable peut être brièvement formulée comme suit :

Il y a des cas où à certains points certaines dérivées partielles ont des valeurs infinies ou n'existent pas (alors que les autres sont égales à zéro). De tels points sont appelés points critiques de la fonction. Ces points doivent également être considérés comme "suspects" pour un extremum, ainsi que les points fixes.

Dans le cas d'une fonction de deux variables, la condition nécessaire pour un extremum, à savoir l'égalité à zéro des dérivées partielles (différentielles) au point extremum, a une interprétation géométrique : plan tangent à la surface
au point extrême doit être parallèle au plan
.

20. Conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum

La réalisation de la condition nécessaire à l'existence d'un extremum à un moment donné ne garantit nullement l'existence d'un extremum à cet endroit. A titre d'exemple, on peut prendre la fonction différentiable partout
. Ses dérivées partielles et la fonction elle-même disparaissent au point
. Cependant, dans tout voisinage de ce point, il existe à la fois des valeurs positives (grandes
) et négatif (plus petit
) valeurs de cette fonction. Donc, à ce stade, par définition, il n'y a pas d'extremum. Il est donc nécessaire de connaître des conditions suffisantes sous lesquelles un point suspecté d'être un extremum est un point extremum de la fonction étudiée.

Prenons le cas d'une fonction de deux variables. Supposons que la fonction
est défini, continu et a des dérivées partielles continues jusqu'au deuxième ordre inclus dans un voisinage d'un certain point
, qui est le point stationnaire de la fonction
, c'est-à-dire satisfait aux conditions

,
.

Introduisons la notation :

Théorème (conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum). Laissez la fonction
satisfait les conditions ci-dessus, à savoir : différentiable dans un certain voisinage du point stationnaire
et est deux fois dérivable au point lui-même
. Puis si

Si
alors la fonction
à ce point
atteint

maximale localeà
et

minimale localeà
.

En général, pour une fonction
condition suffisante d'existence en un point
localle minimum(maximum) est positif(négatif) la définition de la seconde différentielle.

En d'autres termes, l'affirmation suivante est vraie.

Théorème . Si au point
pour la fonction

pour tout non égal à zéro en même temps
, alors à ce point la fonction a le minimum(similaire maximum, si
).

Exemple 18.Trouver les points extrêmes locaux d'une fonction

La solution. Trouvez les dérivées partielles de la fonction et égalisez-les à zéro :

En résolvant ce système, on trouve deux points extrêmes possibles :

Trouvons les dérivées partielles du second ordre pour cette fonction :

Au premier point stationnaire , donc, et
Par conséquent, des recherches supplémentaires sont nécessaires pour ce point. Valeur de la fonction
à ce point est nul :
Plus loin,

à

un

à

Donc, dans tout voisinage du point
fonction
prend des valeurs aussi grandes
, et plus petit
, et donc au point
fonction
, par définition, n'a pas d'extremum local.

Au deuxième point fixe



donc, donc, puisque
puis au point
la fonction a un maximum local.