قانون توزیع متغیر تصادفی x داده شده است. متغیر تصادفی گسسته و تابع توزیع آن

تصادفی گسستهمتغیرها متغیرهای تصادفی هستند که فقط مقادیری را می گیرند که از یکدیگر دور هستند و می توانند از قبل فهرست شوند.
قانون توزیع
قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها ارتباط برقرار می کند.
سری توزیع یک متغیر تصادفی گسسته فهرستی از مقادیر ممکن و احتمالات مربوطه است.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته تابع:
,
تعیین برای هر مقدار آرگومان x احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری کمتر از این x بگیرد.

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته
,
مقدار یک متغیر تصادفی گسسته کجاست. - احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقادیر X را بپذیرد.
اگر یک متغیر تصادفی مجموعه ای قابل شمارش از مقادیر ممکن را بگیرد، آنگاه:
.
انتظارات ریاضی تعداد وقوع یک رویداد در n آزمایش مستقل:
,

پراکندگی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی گسسته
پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته:
یا .
واریانس تعداد وقوع یک رویداد در n کارآزمایی مستقل
,
که در آن p احتمال وقوع رویداد است.
انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی گسسته:
.

مثال 1
یک قانون توزیع احتمال برای یک متغیر تصادفی گسسته (DRV) X ترسیم کنید - تعداد k وقوع حداقل یک "شش" در n = 8 پرتاب یک جفت تاس. یک چند ضلعی توزیع بسازید. مشخصه های عددی توزیع (حالت توزیع، انتظار ریاضی M(X)، پراکندگی D(X)، انحراف معیار s(X)) را بیابید. راه حل:اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: رویداد A - "هنگام پرتاب یک جفت تاس، یک شش حداقل یک بار ظاهر می شود." برای یافتن احتمال P(A) = p رویداد A، راحت‌تر است ابتدا احتمال P(Ā) = q رویداد مقابل Ā را پیدا کنید - "هنگام پرتاب یک جفت تاس، یک شش هرگز ظاهر نشد."
از آنجایی که احتمال ظاهر نشدن "شش" هنگام پرتاب یک قالب 5/6 است، پس با توجه به قضیه ضرب احتمال
P(Ā) = q = = .
به ترتیب،
p (a) = p = 1 - p (ā) =.
تست های موجود در مسئله از طرح برنولی پیروی می کنند، بنابراین d.s.v. اندازه ایکس- عدد کوقوع حداقل یک شش در هنگام پرتاب دو تاس از قانون دوجمله ای توزیع احتمال تبعیت می کند:

جایی که = تعداد ترکیبات است nتوسط ک.

محاسبات انجام شده برای این مشکل می تواند به راحتی در قالب یک جدول ارائه شود:
توزیع احتمال d.s.v. ایکس º ک (n = 8; پ = ; q = )

ک
Pn(ک)

چند ضلعی (چند ضلعی) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته ایکسدر شکل نشان داده شده است:

برنج. چند ضلعی توزیع احتمال d.s.v. ایکس=ک.
خط عمودی انتظار ریاضی توزیع را نشان می دهد م(ایکس).

بگذارید ویژگی های عددی توزیع احتمال D.S.V. ایکس. حالت توزیع 2 است (اینجا پ 8 (2) = 0.2932 حداکثر). انتظار ریاضی با تعریف برابر است با:
م(ایکس) = = 2,4444,
جایی که xk = ک- ارزش گرفته شده توسط d.s.v. ایکس. واریانس D(ایکس) توزیع را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:
D(ایکس) = = 4,8097.
انحراف استاندارد (RMS):
s( ایکس) = = 2,1931.

مثال 2
متغیر تصادفی گسسته ایکستوسط قانون توزیع ارائه شده است

تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و آن را رسم کنید.

راه حل.اگر، پس (مشخصیت سوم).
اگر پس از آن. واقعا، ایکسمی تواند مقدار 1 را با احتمال 0.3 بگیرد.
اگر پس از آن. در واقع، اگر نابرابری را ارضا کند
، سپس برابر با احتمال رویدادی که می تواند در زمان رخ دهد برابر است ایکسمقدار 1 (احتمال این رویداد 0.3) یا مقدار 4 (احتمال این رویداد 0.1) را می گیرد. از آنجایی که این دو رویداد ناسازگار هستند، پس طبق قضیه جمع، احتمال یک رویداد برابر است با مجموع احتمالات 0.3 + 0.1 = 0.4. اگر پس از آن. در واقع، واقعه مسلم است، بنابراین احتمال آن برابر با یک است. بنابراین، تابع توزیع را می توان به صورت تحلیلی به صورت زیر نوشت:

نمودار این تابع:
اجازه دهید احتمالات مربوط به این مقادیر را پیدا کنیم. طبق شرط، احتمال خرابی دستگاه ها برابر است: پس احتمال کارکرد دستگاه ها در طول دوره گارانتی برابر است:




قانون توزیع به شکل زیر است:

تعریف 2.3. یک متغیر تصادفی که با X نشان داده می‌شود، در صورتی گسسته نامیده می‌شود که مجموعه‌ای از مقادیر محدود یا قابل شمارش را به خود بگیرد. مجموعه - مجموعه ای محدود یا قابل شمارش.

بیایید نمونه هایی از متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیریم.

1. دو سکه یکبار پرتاب می شود. تعداد نمادها در این آزمایش یک متغیر تصادفی است ایکس. مقادیر ممکن آن 0،1،2 است، یعنی. - مجموعه ای محدود

2. تعداد تماس‌های آمبولانس در یک بازه زمانی معین ثبت می‌شود. مقدار تصادفی ایکس- تعداد تماس ها مقادیر احتمالی آن 0، 1، 2، 3، ... است، یعنی. =(0,1,2,3,...) یک مجموعه قابل شمارش است.

3. 25 دانش آموز در گروه هستند. در یک روز مشخص، تعداد دانش آموزانی که به کلاس آمده اند ثبت می شود - یک متغیر تصادفی ایکس. مقادیر ممکن آن: 0، 1، 2، 3، ...، 25 i.e. =(0، 1، 2، 3، ...، 25).

اگرچه همه 25 نفر در مثال 3 نمی توانند کلاس ها را از دست بدهند، متغیر تصادفی است ایکسمی تواند این مقدار را بگیرد. این بدان معنی است که مقادیر یک متغیر تصادفی احتمالات متفاوتی دارند.

بیایید یک مدل ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیریم.

اجازه دهید یک آزمایش تصادفی انجام شود که مربوط به فضای محدود یا قابل شمارش رویدادهای ابتدایی است. اجازه دهید نگاشت این فضا را روی مجموعه اعداد واقعی در نظر بگیریم، به عنوان مثال، اجازه دهید به هر رویداد ابتدایی یک عدد واقعی خاص اختصاص دهیم. مجموعه اعداد می تواند متناهی یا قابل شمارش باشد، یعنی. یا

سیستمی از زیر مجموعه‌ها که شامل هر زیرمجموعه‌ای از جمله یک نقطه‌ای است، یک جبر از یک مجموعه عددی (- محدود یا قابل شمارش) را تشکیل می‌دهد.

از آنجایی که هر رویداد ابتدایی با احتمالات خاصی همراه است p i(در مورد همه چیز متناهی)، و سپس هر مقدار از یک متغیر تصادفی را می توان با یک احتمال خاص مرتبط کرد. p i، به طوری که .

اجازه دهید ایکسیک عدد واقعی دلخواه است. بیایید نشان دهیم R X (x)احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقداری برابر با ایکس، یعنی P X (x)=P(X=x). سپس تابع R X (x)فقط برای آن ارزش ها می تواند مقادیر مثبت بگیرد ایکس، که به یک مجموعه محدود یا قابل شمارش تعلق دارند و برای تمام مقادیر دیگر احتمال این مقدار وجود دارد P X (x) = 0.

بنابراین، ما مجموعه مقادیر، جبر - را به عنوان سیستمی از هر زیر مجموعه و برای هر رویداد ( X = x) احتمال را مقایسه کرد برای هر کدام، یعنی یک فضای احتمال ایجاد کرد.

به عنوان مثال، فضای رویدادهای ابتدایی یک آزمایش شامل دو بار انداختن یک سکه متقارن شامل چهار رویداد ابتدایی است:

هنگامی که سکه دو بار پرتاب شد، دو دم ظاهر شد. هنگامی که سکه دو بار پرتاب شد، دو نشان سقوط کرد.

در اولین پرتاب سکه، یک هش بالا آمد و در دوم، یک نشان.

روی اولین پرتاب سکه، نشان ملی و روی پرتاب دوم، علامت هش بود.

اجازه دهید متغیر تصادفی ایکس- تعداد ترک تحصیل از گریتینگ. در و مجموعه ای از مقادیر آن تعریف شده است . همه زیرمجموعه های ممکن، از جمله زیر مجموعه های تک نقطه ای، جبر را تشکیل می دهند، یعنی. =(Ø، (1)، (2)، (0،1)، (0،2)، (1،2)، (0،1،2)).

احتمال وقوع یک رویداد ( X=x i}, і = 1،2،3، ما به عنوان احتمال وقوع یک رویداد که نمونه اولیه آن است تعریف می کنیم:

بنابراین، در رویدادهای ابتدایی ( X = x i) یک تابع عددی تنظیم کنید R X، بنابراین .

تعریف 2.4. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته مجموعه ای از جفت اعداد است (xi، р i)، که x i مقادیر ممکن متغیر تصادفی است، و р i احتمالاتی است که با آن این مقادیر را می گیرد، و .

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته، جدولی است که مقادیر ممکن متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه را فهرست می کند:

			…		…
			…		…

به چنین جدولی سری توزیع می گویند. برای اینکه سری توزیع ظاهر بصری بیشتری داشته باشد، به صورت گرافیکی به تصویر کشیده شده است: روی محور اوهنقطه ها x iو از آنها عمود بر طول بکشید p i. نقاط حاصل به هم متصل شده و چند ضلعی به دست می آید که یکی از اشکال قانون توزیع است (شکل 2.1).

بنابراین، برای تعیین یک متغیر تصادفی گسسته، باید مقادیر آن و احتمالات مربوطه را مشخص کنید.

مثال 2.2.هر بار که یک سکه با احتمال وارد می شود، شکاف نقدی دستگاه فعال می شود آر. به محض فعال شدن، سکه ها پایین نمی آیند. اجازه دهید ایکس- تعداد سکه هایی که باید قبل از راه اندازی شکاف نقدی دستگاه وارد شوند. یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی گسسته بسازید ایکس.

راه حل.مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی ایکس: x 1 = 1، x 2 = 2،...، x k = k، ...بیایید احتمالات این مقادیر را پیدا کنیم: ص 1- احتمال اینکه گیرنده پول در اولین باری که پایین می آید کار کند و p 1 = p; ص 2 -احتمال اینکه دو تلاش انجام شود. برای این کار لازم است: 1) گیرنده پول در اولین تلاش کار نکند. 2) در تلاش دوم جواب داد. احتمال این اتفاق است (1–р)р. به همین ترتیب و غیره، . محدوده توزیع ایکسشکل خواهد گرفت

	1	2	3	…	به	…
	آر	qp	q 2 p		q r -1 p

توجه داشته باشید که احتمالات r kیک تصاعد هندسی با مخرج تشکیل دهید: 1–p=q, q<1, بنابراین این توزیع احتمال نامیده می شود هندسی.

اجازه دهید فرض کنیم که یک مدل ریاضی ساخته شده است آزمایش توسط یک متغیر تصادفی گسسته توصیف شده است ایکس، و محاسبه احتمال وقوع حوادث دلخواه را در نظر بگیرید.

اجازه دهید یک رویداد دلخواه شامل مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از مقادیر باشد x i: A= {x 1، x 2،...، x i، ...) .رویداد آمی تواند به عنوان اتحادیه وقایع ناسازگار از فرم ارائه شود :. سپس با استفاده از اصل 3 کلموگروف , ما گرفتیم

از آنجا که ما احتمال وقوع وقایع را با احتمالات وقوع وقایع که نمونه های اولیه آنها هستند ، تعیین کردیم. این به این معنی است که احتمال هر رویداد ، ، می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد ، زیرا این رویداد را می توان در قالب اتحادیه وقایع ، جایی که .

سپس تابع توزیع F(x) = Р(-<Х<х) با فرمول پیدا می شود. نتیجه این است که تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته ایکسناپیوسته است و در پرش ها افزایش می یابد، یعنی یک تابع پله ای است (شکل 2.2):

اگر مجموعه متناهی باشد، تعداد جمله های فرمول محدود است، اما اگر قابل شمارش باشد، تعداد جمله ها قابل شمارش است.

مثال 2.3.دستگاه فنی از دو عنصر تشکیل شده است که مستقل از یکدیگر عمل می کنند. احتمال خرابی عنصر اول در زمان T 0.2 و احتمال خرابی عنصر دوم 0.1 است. مقدار تصادفی ایکس– تعداد عناصر شکست خورده در طول زمان T. تابع توزیع متغیر تصادفی را پیدا کنید و نمودار آن را رسم کنید.

راه حل.فضای رویدادهای ابتدایی یک آزمایش متشکل از مطالعه قابلیت اطمینان دو عنصر یک دستگاه فنی توسط چهار رویداد ابتدایی تعیین می‌شود: - هر دو عنصر عملیاتی هستند. - عنصر اول کار می کند، دومی معیوب است. - عنصر اول معیوب است، دومی کار می کند. - هر دو عنصر معیوب هستند. هر یک از رویدادهای ابتدایی را می توان از طریق رویدادهای ابتدایی فضاها بیان کرد و ، جایی که - اولین عنصر عملیاتی است. - عنصر اول شکست خورده است. - عنصر دوم کار می کند. - عنصر دوم شکست خورده است. سپس، و از آنجایی که عناصر یک دستگاه فنی مستقل از یکدیگر کار می کنند، پس

8. احتمال اینکه مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته به بازه تعلق داشته باشد چقدر است؟

ایکس; معنی اف(5)؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقادیر را از بخش می گیرد. یک چند ضلعی توزیع بسازید.

1. تابع توزیع F(x) یک متغیر تصادفی گسسته شناخته شده است ایکس:

قانون توزیع یک متغیر تصادفی را تنظیم کنید ایکسدر قالب یک جدول

1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

ایکس	–28	–20	–12	–4
پ	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. احتمال اینکه فروشگاه دارای گواهینامه کیفیت برای طیف کامل محصولات باشد 0.7 است. کمیسیون در دسترس بودن گواهینامه ها را در چهار فروشگاه در منطقه بررسی کرد. قانون توزیع را تهیه کنید ، انتظار ریاضی و پراکندگی تعداد فروشگاه هایی را که در آن گواهینامه های کیفیت در هنگام بازرسی پیدا نشده است ، محاسبه کنید.

1. برای تعیین میانگین زمان سوزش لامپهای برقی در دسته 350 جعبه یکسان ، یک لامپ برقی از هر جعبه برای آزمایش گرفته شد. تخمین از پایین تر از این احتمال که میانگین سوختگی لامپهای برقی انتخاب شده با میانگین مدت زمان سوزش کل دسته در ارزش مطلق کمتر از 7 ساعت متفاوت باشد ، اگر مشخص شود که انحراف استاندارد از مدت زمان سوزش لامپ های برقی در هر جعبه کمتر از 9 ساعت است.

1. در یک مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.002 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 500 اتصال موارد زیر رخ دهد:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس. ساخت نمودار توابع و . انتظارات ریاضی، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.

1. یک دستگاه اتوماتیک غلتک می سازد. اعتقاد بر این است که قطر آنها یک متغیر تصادفی معمولی با مقدار متوسط ​​10 میلی متر است. اگر قطر با احتمال 0.99 در محدوده 9.7 میلی متر تا 10.3 میلی متر باشد انحراف معیار چقدر است.

نمونه A: 6 9 7 6 4 4

نمونه B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

گزینه 17.

1. از بین 35 قطعه، 7 قطعه غیر استاندارد هستند. این احتمال را پیدا کنید که دو قسمت به طور تصادفی گرفته شده استاندارد شوند.

1. سه تاس انداخته می شود. احتمال اینکه مجموع نقاط اضلاع رها شده مضرب 9 باشد را پیدا کنید.

1. کلمه "ADVENTURE" از کارت هایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. این احتمال را پیدا کنید که حروف خارج شده به ترتیب ظاهر کلمه را تشکیل می دهند: a) ADVENTURE; ب) زندانی.

1. یک کوزه شامل 6 توپ سیاه و 5 توپ سفید است. 5 توپ به طور تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
1. 2 توپ سفید؛
2. کمتر از 2 توپ سفید؛
3. حداقل یک توپ سیاه

1. آدر یک آزمون برابر با 0.4 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
1. رویداد آ 3 بار در یک سری از 7 آزمایش مستقل ظاهر می شود.
2. رویداد آنه کمتر از 220 و نه بیشتر از 235 بار در یک سری از 400 آزمایش.

1. این کارخانه 5000 محصول مرغوب را به پایگاه ارسال کرد. احتمال آسیب دیدن هر محصول در حین حمل 0.002 است. این احتمال را پیدا کنید که بیش از 3 محصول در طول سفر آسیب نبینند.

1. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 9 توپ سیاه و کوزه دوم شامل 7 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. 3 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 4 توپ از کوزه دوم کشیده می شود.احتمال یک رنگ بودن همه توپ های کشیده شده را پیدا کنید.

1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

انتظارات و واریانس ریاضی آن را محاسبه کنید.

1. در جعبه 10 مداد وجود دارد. 4 مداد به صورت تصادفی کشیده شده است. مقدار تصادفی ایکس– تعداد مدادهای آبی در میان انتخاب‌شده‌ها. قانون توزیع آن، گشتاورهای اولیه و مرکزی مرتبه 2 و 3 را بیابید.

1. بخش کنترل فنی 475 محصول را از نظر ایراد بررسی می کند. احتمال معیوب بودن محصول 0.05 است. با احتمال 0.95 مرزهایی را بیابید که در آن تعداد محصولات معیوب در بین محصولات آزمایش شده قرار می گیرند.

1. در یک مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.003 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 1000 اتصال موارد زیر رخ دهد:
1. حداقل 4 اتصال نادرست؛
2. بیش از دو اتصال نادرست

1. متغیر تصادفی با تابع چگالی توزیع مشخص می شود:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس. ساخت نمودار توابع و . انتظارات ریاضی، واریانس، حالت و میانه متغیر تصادفی X را محاسبه کنید.

1. متغیر تصادفی با تابع توزیع مشخص می شود:

1. بر اساس نمونه آحل مشکلات زیر:
1. ایجاد یک سری تغییرات؛

· میانگین نمونه؛

· واریانس نمونه؛

حالت و میانه؛

نمونه A: 0 0 2 2 1 4

1. محاسبه مشخصات عددی سری تغییرات:

· میانگین نمونه؛

· واریانس نمونه؛

انحراف نمونه استاندارد؛

· حالت و میانه.

نمونه B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

گزینه 18.

1. از بین 10 بلیط قرعه کشی، 2 بلیط برنده هستند. این احتمال را پیدا کنید که از پنج بلیطی که به طور تصادفی گرفته می شود، یکی برنده خواهد شد.

1. سه تاس انداخته می شود. احتمال اینکه مجموع نقاط نورد شده بیشتر از 15 باشد را پیدا کنید.

1. کلمه "PERIMETER" از کارت هایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. احتمال اینکه حروف خارج شده از کلمه تشکیل شود را بیابید: الف) PERIMETER; ب) متر.

1. یک کوزه شامل 5 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. 5 توپ به طور تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
1. 4 توپ سفید؛
2. کمتر از 2 توپ سفید؛
3. حداقل یک توپ سیاه

1. احتمال وقوع یک رویداد آدر یک آزمایش برابر با 0.55 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
1. رویداد آ 3 بار در یک سری از 5 چالش ظاهر می شود.
2. رویداد آدر یک سری از 300 آزمایش، نه کمتر از 130 و نه بیشتر از 200 بار ظاهر می شود.

1. احتمال شکستن یک قوطی کنسرو 0.0005 است. این احتمال را پیدا کنید که از بین 2000 قوطی، دو قوطی نشتی داشته باشند.

1. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 8 توپ سیاه و گلدان دوم شامل 7 توپ سفید و 4 توپ سیاه است. دو توپ به طور تصادفی از کوزه اول و سه توپ به طور تصادفی از کوزه دوم کشیده می شود. احتمال اینکه همه توپ های کشیده شده همرنگ باشند را پیدا کنید.

1. از بین قطعاتی که برای مونتاژ می‌آیند، 0.1 درصد از دستگاه اول، 0.2 درصد از دستگاه دوم، 0.25 درصد از دستگاه سوم و 0.5 درصد از دستگاه چهارم معیوب هستند. نسبت بهره وری ماشین به ترتیب 4:3:2:1 است. بخشی که به طور تصادفی گرفته شد استاندارد بود. احتمال اینکه قطعه در اولین ماشین ساخته شده است را پیدا کنید.

1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

انتظارات و واریانس ریاضی آن را محاسبه کنید.

1. یک برقکار سه لامپ دارد که هر کدام دارای عیب به احتمال 0.1 هستند لامپ ها را به پریز پیچ می کنند و جریان را روشن می کنند. هنگامی که جریان روشن می شود، لامپ معیوب بلافاصله می سوزد و لامپ دیگری جایگزین می شود. قانون توزیع، انتظارات ریاضی و پراکندگی تعداد لامپ های آزمایش شده را پیدا کنید.

1. احتمال اصابت به هدف برای هر 900 شلیک مستقل 0.3 است. با استفاده از نابرابری چبیشف، احتمال اصابت به هدف را حداقل 240 بار و حداکثر 300 بار برآورد کنید.

1. در یک مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.002 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 800 اتصال موارد زیر رخ دهد:
1. حداقل سه اتصال نادرست؛
2. بیش از چهار اتصال نادرست

1. متغیر تصادفی با تابع چگالی توزیع مشخص می شود:

تابع توزیع متغیر تصادفی X را بیابید. نمودارهای توابع و . انتظارات ریاضی، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.

1. متغیر تصادفی با تابع توزیع مشخص می شود:

1. بر اساس نمونه آحل مشکلات زیر:
1. ایجاد یک سری تغییرات؛
2. محاسبه فرکانس های نسبی و انباشته؛
3. کامپایل یک تابع توزیع تجربی و رسم آن.
4. محاسبه مشخصات عددی سری تغییرات:

· میانگین نمونه؛

· واریانس نمونه؛

انحراف نمونه استاندارد؛

· حالت و میانه.

نمونه A: 4 7 6 3 3 4

1. با استفاده از نمونه B، مسائل زیر را حل کنید:
1. ایجاد یک سری تغییرات گروهی.
2. ساخت یک هیستوگرام و چند ضلعی فرکانس.
3. محاسبه مشخصات عددی سری تغییرات:

· میانگین نمونه؛

· واریانس نمونه؛

انحراف نمونه استاندارد؛

· حالت و میانه.

نمونه B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

گزینه 19.

1. 16 زن و 5 مرد در سایت مشغول به کار هستند. 3 نفر با استفاده از شماره پرسنل خود به صورت تصادفی انتخاب شدند. این احتمال را پیدا کنید که همه افراد انتخاب شده مرد باشند.

2. چهار سکه پرتاب می شود. این احتمال را بیابید که فقط دو سکه دارای "نشانه" باشند.

3. کلمه «روانشناسی» از کارتهایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. احتمال اینکه حروف خارج شده از یک کلمه تشکیل شود را بیابید: الف) روانشناسی. ب) کارکنان.

4. کوزه شامل 6 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. 5 توپ به طور تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:

آ. 3 توپ سفید؛

ب کمتر از 3 توپ سفید؛

ج حداقل یک توپ سفید

5. احتمال وقوع یک رویداد آدر یک آزمایش برابر با 0.5 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:

آ. رویداد آ 3 بار در یک سری از 5 آزمایش مستقل ظاهر می شود.

ب رویداد آحداقل 30 و بیش از 40 بار در یک سری 50 آزمایشی ظاهر می شود.

6. 100 دستگاه با قدرت یکسان وجود دارد که به طور مستقل از یکدیگر در یک حالت کار می کنند که درایو آنها به مدت 0.8 ساعت کاری روشن است. احتمال اینکه در هر لحظه از زمان از 70 تا 86 ماشین روشن شود چقدر است؟

7. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 7 گلوله سیاه و کوزه دوم شامل 8 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. 4 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 1 توپ از دومی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین توپ های کشیده شده فقط 4 توپ سیاه وجود دارد.

8. نمایشگاه فروش خودرو روزانه خودروهای سه برند را در حجم دریافت می کند: "Moskvich" - 40٪. "Oka" - 20٪؛ "ولگا" - 40 درصد از کل خودروهای وارداتی. در بین خودروهای Moskvich، 0.5٪ دارای دستگاه ضد سرقت هستند، Oka - 0.01٪، Volga - 0.1٪. این احتمال را پیدا کنید که خودرویی که برای بازرسی برده شده است دارای یک دستگاه ضد سرقت باشد.

9. اعداد و به طور تصادفی در بخش انتخاب می شوند. احتمال اینکه این اعداد نابرابری ها را برآورده کنند را پیدا کنید.

10. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

ایکس
پ	0,1	0,2	0,3	0,4

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس; معنی اف(2)؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقادیر را از بازه دریافت خواهد کرد. یک چند ضلعی توزیع بسازید.

قانون توزیع و خصوصیات

متغیرهای تصادفی

متغیرهای تصادفی، طبقه بندی آنها و روش های توصیف.

کمیت تصادفی کمیتی است که در نتیجه آزمایش می‌تواند یک یا مقدار دیگری به خود بگیرد، اما کدام یک از قبل مشخص نیست. بنابراین، برای یک متغیر تصادفی، فقط می‌توانید مقادیری را مشخص کنید که قطعاً در نتیجه آزمایش یکی از آنها را خواهد گرفت. در ادامه این مقادیر را مقادیر احتمالی متغیر تصادفی می نامیم. از آنجایی که یک متغیر تصادفی به طور کمی نتیجه تصادفی یک آزمایش را مشخص می کند، می توان آن را به عنوان یک مشخصه کمی یک رویداد تصادفی در نظر گرفت.

متغیرهای تصادفی معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین مانند X..Y..Z و مقادیر احتمالی آنها با حروف کوچک مربوطه نشان داده می شوند.

سه نوع متغیر تصادفی وجود دارد:

گسسته؛ مداوم؛ مختلط.

گسستهیک متغیر تصادفی است که تعداد مقادیر ممکن آن مجموعه ای قابل شمارش را تشکیل می دهد. به نوبه خود، مجموعه ای که عناصر آن قابل شماره گذاری باشد، قابل شمارش نامیده می شود. کلمه "گسسته" از کلمه لاتین discretus به معنای "ناپیوسته، متشکل از بخش های جداگانه" گرفته شده است.

مثال 1. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد قطعات معیوب X در یک دسته از n محصول است. در واقع، مقادیر ممکن این متغیر تصادفی یک سری اعداد صحیح از 0 تا n است.

مثال 2. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد شلیک های قبل از اولین ضربه به هدف است. در اینجا، مانند مثال 1، مقادیر ممکن را می توان شماره گذاری کرد، اگرچه در حالت محدود، مقدار ممکن یک عدد بی نهایت بزرگ است.

مداومیک متغیر تصادفی است که مقادیر ممکن آن به طور مداوم یک بازه مشخص از محور عددی را پر می کند که گاهی اوقات فاصله وجود این متغیر تصادفی نامیده می شود. بنابراین ، در هر بازه محدود وجود ، تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی مداوم بی نهایت بزرگ است.

مثال 3. یک متغیر تصادفی مداوم ، مصرف ماهانه برق یک شرکت است.

مثال 4. یک متغیر تصادفی مداوم خطایی در اندازه گیری ارتفاع با استفاده از ارتفاع سنج است. از اصل عملکرد ارتفاع سنج معلوم شود که خطا در محدوده 0 تا 2 متر است بنابراین فاصله وجود این متغیر تصادفی فاصله بین 0 تا 2 متر است.

قانون توزیع متغیرهای تصادفی

یک متغیر تصادفی در صورتی کاملاً مشخص در نظر گرفته می شود که مقادیر ممکن آن در محور عددی نشان داده شود و قانون توزیع ایجاد شود.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای است که بین مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه ارتباط برقرار می کند.

گفته می شود که یک متغیر تصادفی طبق یک قانون معین یا مشمول قانون توزیع معین توزیع می شود. تعدادی از احتمالات ، عملکرد توزیع ، چگالی احتمال و عملکرد مشخصه به عنوان قوانین توزیع استفاده می شود.

قانون توزیع توضیحات احتمالی کامل از یک متغیر تصادفی را ارائه می دهد. طبق قانون توزیع، می توان قبل از آزمایش قضاوت کرد که کدام مقادیر ممکن از یک متغیر تصادفی بیشتر و کدام کمتر ظاهر می شود.

برای یک متغیر تصادفی گسسته، قانون توزیع را می توان به صورت جدول، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی مشخص کرد.

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته یک جدول (ماتریس) است که تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را به ترتیب صعودی فهرست می کند.

به چنین جدولی سری توزیع یک متغیر تصادفی گسسته می گویند. 1

رویدادهای X 1، X 2،...، X n، شامل این واقعیت است که در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی X به ترتیب مقادیر x 1، x 2، ... x n را می گیرد. متناقض و تنها موارد ممکن (از آنجایی که جدول تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی را فهرست می کند)، به عنوان مثال. یک گروه کامل تشکیل دهید بنابراین، مجموع احتمالات آنها برابر با 1 است. بنابراین، برای هر متغیر تصادفی گسسته

(این واحد به نوعی بین مقادیر متغیر تصادفی توزیع می شود، از این رو اصطلاح "توزیع" نامیده می شود).

اگر مقادیر متغیر تصادفی در امتداد محور abscissa رسم شوند و احتمالات مربوطه آنها در امتداد محور ordinate رسم شود، سری توزیع را می توان به صورت گرافیکی به تصویر کشید. اتصال نقاط به دست آمده یک خط شکسته به نام چندضلعی یا چندضلعی توزیع احتمال را تشکیل می دهد (شکل 1).

مثالقرعه کشی شامل: یک ماشین به ارزش 5000 دکه می باشد. واحد، 4 تلویزیون به قیمت 250 den. واحد 5 دستگاه فیلمبرداری به ارزش 200 د. واحدها در مجموع 1000 بلیط به مدت 7 روز فروخته می شود. واحدها یک قانون توزیع برای برنده های خالص دریافت شده توسط یک شرکت کننده در قرعه کشی که یک بلیط خریداری کرده است، تهیه کنید.

راه حل. مقادیر احتمالی متغیر تصادفی X - برنده خالص هر بلیط - برابر است با 0-7 = -7 پول. واحدها (اگر بلیط برنده نشد)، 200-7 = 193، 250-7 = 243، 5000-7 = 4993 den. واحدها (اگر بلیت به ترتیب برنده یک VCR، تلویزیون یا ماشین باشد). با توجه به اینکه از 1000 بلیط تعداد غیر برنده ها 990 و برنده های مشخص شده به ترتیب 5، 4 و 1 می باشد و با استفاده از تعریف کلاسیک احتمال به دست می آوریم.

در این صفحه نمونه هایی از راهکارهای آموزشی را جمع آوری کرده ایم مشکلات مربوط به متغیرهای تصادفی گسسته. این بخش نسبتاً گسترده ای است: قوانین توزیع مختلف (دوجمله ای، هندسی، فوق هندسی، پواسون و دیگران)، خواص و ویژگی های عددی مورد مطالعه قرار می گیرند؛ برای هر سری توزیع، نمایش های گرافیکی می توان ساخت: چند ضلعی (چند ضلعی) احتمالات، تابع توزیع.

در زیر نمونه هایی از تصمیم گیری در مورد متغیرهای تصادفی گسسته را مشاهده خواهید کرد که در آنها باید دانش بخش های قبلی نظریه احتمال را برای ترسیم قانون توزیع به کار ببرید و سپس انتظارات ریاضی، پراکندگی، انحراف معیار، ساخت تابع توزیع، پاسخ را محاسبه کنید. سوالات در مورد DSV و غیره P.

مثال هایی برای قوانین توزیع احتمال رایج:

ماشین حساب برای ویژگی های DSV

• محاسبه انتظارات ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار DSV.

حل مشکلات مربوط به DSV

توزیع های نزدیک به هندسی

وظیفه 1.در طول مسیر خودرو 4 چراغ راهنمایی وجود دارد که هر کدام با احتمال 0.5 حرکت بیشتر خودرو را ممنوع می کند. سری توزیع تعداد چراغ های راهنمایی که قبل از اولین توقف از کنار ماشین عبور کرده است را بیابید. انتظارات و واریانس ریاضی این متغیر تصادفی چیست؟

وظیفه 2.شکارچی تا اولین ضربه به بازی شلیک می کند، اما موفق می شود بیش از چهار تیر شلیک نکند. در صورتی که احتمال اصابت به هدف با یک شلیک 0.7 باشد، قانون توزیع تعداد خطاها را تهیه کنید. واریانس این متغیر تصادفی را پیدا کنید.

وظیفه 3.تیرانداز با داشتن 3 فشنگ تا اولین ضربه به سمت هدف شلیک می کند. احتمال ضربه برای شلیک اول، دوم و سوم به ترتیب 0.6، 0.5، 0.4 است. S.V. $\xi$ - تعداد کارتریج های باقی مانده. یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی را کامپایل کنید، انتظارات ریاضی، واریانس، انحراف استاندارد متغیر تصادفی را پیدا کنید، تابع توزیع متغیر تصادفی را بسازید، $P(|\xi-m| \le \sigma$) را پیدا کنید.

وظیفه 4.جعبه شامل 7 قطعه استاندارد و 3 قطعه معیوب می باشد. آنها قطعات را به صورت متوالی بیرون می آورند تا زمانی که نمونه استاندارد ظاهر شود، بدون اینکه آنها را برگردانند. $\xi$ تعداد قطعات معیوب بازیابی شده است.
یک قانون توزیع برای یک متغیر تصادفی گسسته $\xi$ ترسیم کنید، انتظارات ریاضی، واریانس، انحراف معیار آن را محاسبه کنید، یک چند ضلعی توزیع و یک نمودار از تابع توزیع رسم کنید.

وظایف با رویدادهای مستقل

وظیفه 5. 3 دانش آموز برای امتحان مجدد نظریه احتمال حاضر شدند. احتمال قبولی نفر اول در امتحان 0.8، نفر دوم 0.7 و نفر سوم 0.9 است. سری توزیع متغیر تصادفی $\xi$ تعداد دانش آموزانی که امتحان را پس داده اند پیدا کنید، تابع توزیع را رسم کنید، $M(\xi)، D(\xi)$ را پیدا کنید.

وظیفه 6.احتمال اصابت به هدف با یک شلیک 0.8 است و با هر شلیک 0.1 کاهش می یابد. در صورت شلیک سه گلوله، یک قانون توزیع برای تعداد ضربه به هدف تهیه کنید. مقدار مورد انتظار، واریانس و S.K.O را بیابید. این متغیر تصادفی نموداری از تابع توزیع رسم کنید.

وظیفه 7. 4 گلوله به سمت هدف شلیک می شود. احتمال ضربه به شرح زیر افزایش می یابد: 0.2، 0.4، 0.6، 0.7. قانون توزیع متغیر تصادفی $X$ - تعداد بازدیدها را پیدا کنید. احتمال X \ge 1$ را پیدا کنید.

وظیفه 8.دو سکه متقارن پرتاب می شود و تعداد نشان های دو طرف بالای سکه ها شمرده می شود. ما یک متغیر تصادفی گسسته $X$ را در نظر می گیریم - تعداد نشان های هر دو سکه. قانون توزیع متغیر تصادفی $X$ را بنویسید و انتظارات ریاضی آن را پیدا کنید.

سایر مشکلات و قوانین توزیع DSV

وظیفه 9.دو بازیکن بسکتبال سه عکس به داخل سبد می دهند. احتمال ضربه زدن به اولین بسکتبالیست 0.6 ، برای دوم - 0.7 است. بگذارید $ x $ تفاوت بین تعداد عکسهای موفق بسکتبال اول و دوم باشد. سری توزیع ، حالت و عملکرد توزیع متغیر تصادفی $ x $ را پیدا کنید. چند ضلعی توزیع و نمودار عملکرد توزیع را بسازید. مقدار مورد انتظار، واریانس و انحراف معیار را محاسبه کنید. احتمال رویداد $(-2 \lt X \le 1)$ را بیابید.

مسئله 10.تعداد کشتی‌های غیرمقیم که روزانه برای بارگیری در یک بندر خاص وارد می‌شوند، یک متغیر تصادفی $X$ است که به شرح زیر است:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
الف) مطمئن شوید که سری توزیع مشخص شده است،
ب) تابع توزیع متغیر تصادفی $X$ را پیدا کنید،
ج) اگر بیش از سه کشتی در یک روز معین وارد شود، بندر مسئولیت هزینه ها را به دلیل نیاز به استخدام راننده و لودر اضافی بر عهده می گیرد. احتمال اینکه بندر متحمل هزینه های اضافی شود چقدر است؟
د) انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار متغیر تصادفی $X$ را پیدا کنید.

مسئله 11. 4 تاس انداخته می شود. انتظار ریاضی از مجموع تعداد نقاطی که در همه طرف ظاهر می شود را پیدا کنید.

مسئله 12.هر دو به نوبت یک سکه پرتاب می کنند تا اینکه برای اولین بار نشان اسلحه ظاهر شود. بازیکنی که نشان ملی را دریافت کرده است 1 روبل از بازیکن دیگر دریافت می کند. انتظارات ریاضی برنده شدن برای هر بازیکن را بیابید.